为什么理科的差生比文科多
物理系 倪致祥
问题
班级教学是我国普遍采用的一种教学模式 。 在
班级教学的模式下, 入学时的水平基本相同的学生
经过一段时间的班级教学之后往往会出现不同程度
的成绩分化 。 一般来说, 理科课程的分化程度要比
文科课程明显；应试教育的分化程度要比非应试教
育明显, 教育的应试程度越高分化越明显 。 其中的
原因究竟是什么？ 你能不能找出学生水平分化的规
律, 并且用数学语言来加以说明？
分析
在班级教学的模式下，传授知识的主要手段是课堂
集体教学，而不是针对各个人的不同特点的因材施教。
因此，班级教学模式的本身不是产生分化的根本原因。
那么产生分化的根本原因是什么呢？这要从学生的个性
差异中去寻找。虽然学生在入学时的水平基本相同，但
不可避免的存在一些差异，他们在学习态度、学习方法
等方面的差异往往更大。这些差异在班级教学的模式下
得到了放大，因此在一段时间之后就出现了明显的分化
现象。
马克思曾经说过：, 一种科学只有在成功
地运用数学时，才算达到了真正完善的地步, 。
为了能在教学规律的研究中运用数学，我们必
需建立一个模型。
下面将给出一个班级教学模式的简单数学
模型，并由此应用数学为工具来研究学生水平
演化的规律及其相应的教学方法。
不失一般性, 假定班里有 n个学生 。 设第 i个学生的
水平为 xi, 其接受能力 （ 该学生水平的提高量与教师的知
识传授量之比 ） 可以用自然接受系数 k i 来描述 。 如教师
在单位时间内的知识传授量为 m,而在单位时间里学生水
平的提高量为 d xi / d t,则应有
d xi / d t = k i m 。 (1)
为了简单起见,我们假定知识传授量 m 为常数,由此
可得
xi = k i m t,(2)
上式中我们已经取了 xi (t = 0 ) - 0,即假定学生入学时起点
都是零,水平没有差别。
由 (1)式还可得到
d X / d t = K m,(3)
其中 X为学生的平均水平,K 为学生的平均接受能力 。 由方
程 (3)可解得学生平均水平的演化规律为
X = K m t 。 (4)
一般来说,教学进度应该与学生平均水平的发展相一致
。 因此 (4)式也可以看成是教学进度 。 比较 (2),(4)两式, 不
难看出由于接受能力的差别, 学生水平 xi 与教学进度 Kmt的
偏差 ?xi 的绝对值将随时间而增大, 即
?xi = ( ki?K ) m t 。 (5)
这种情况与我们的经验是一致的 。
在实际教学中, 新知识的学习是在旧知识的基础上进行
的, 往往受旧知识掌握程度的影响 。 新旧知识之间联系越
密切, 影响越大 。 设 ? 为新旧知识之间的联系因子, 考虑
这个因素后公式 (1) 应该修正为
d xi / d t = k i m +? ( xi? K m t) 。 (6)
上式可解得
xi = K m t + m ( k i ? K) (e ? t ? 1)/ ? 。
(7)
这时新的偏差为
? xi = m ( k i ? K) (e ? t ? 1)/ ? 。
(8)
由于 (e ? t ? 1)/ ? ? t, 可见考虑新旧知识
之间的联系后, 学生具体水平与教学进度的偏差将
变得更大 。 这种偏差的程度随着新旧知识之间联系
因子的增大而迅速增大 。 一般来说, 理科课程中新
旧知识之间的联系往往要比文科课程密切的多, 因
此学生理科成绩的分化程度和分化速度也往往要比
文科课程严重的多 。 上面的模型从理论上定量地说
明了这种教学现象, 揭示了它的内在原因 。
现在我们在上述模型的基础上来考虑应试教育的
情况。顾名思义，应试教育的主要目的是对付升学考
试。因此它的教学重点在一部分升学有望的尖子学生
身上，教学的进度以适应这部分学生的需要为主。在
我们的模型中，则表现在教学进度大幅度地超过了学
生平均水平的发展。由方程 (4)容易看出，这将大大
地增大中等及中等以下学生的水平 xi与教学进度之间
的偏差 ?xi 。而这种增大了的偏差又在班级教学模式
下受到了进一步的放大，造成了学生大面积的掉队的
结果。
补救措施 1—— 补课
在班级教学模式下, 为了进行正常教学, 往往要求学
生水平与教学进度相比不能过低 。 否则就必须对部分差生
进行补课, 使其能够跟上新课 。 为了方便, 我们定义一个
补课强度因子：单位时间内补课节数与正常上课的节数之
比, 记为 ?。 则对于那些自然接受系数 ki 小于平均接受
系数 K的同学来说, 在补课的条件下, 其水平演化的微分
方程为
d xi / d t = k i m + ? ( xi ? K m t) + ? k i m 。
(9)
上式可以简化为
d xi / d t = ( 1 + ?) k i m + ? ( xi ? K m t) 。
(10)
将 (10)式与 (6)式相比, 不难看出补课的作用相当于把接受
系数 ki 提高到 ki’= ( 1 + ?) k i.。 由此可知, 补课后能跟上
班级教学的条件为
ki ’= ( 1 + ?) k i.? K 。
(11)
因为补课强度因子的大小受到在校时间等因素的限制
,有一个上限, 故自然接受能力过差的学生将由于跟不上
班而需要留级 。
补救措施 2—— 努力
一般来说,学生的实际接受情况还与其主观努力程度
有关。俗话说得好，熟能生巧，勤能补拙。上面没有考虑
学生的主观能动性,因此不够全面。设个人努力程度用因
子 g i来描述，则其实际接受系数应为 g i k i 。用实际接受系
数取代 (6)式中的自然接受系数，我们得到
d xi / d t =g i k i m +? ( xi? K m t) 。 (12)
与前面类似地可以得到通过努力能跟上班级教学的
条件为
g i k i.? K 。 (13)
同时采取补课和提高个人努力程度两种方法, 我们得到
d xi / d t = ( 1 + ?) g i k i m + ? ( xi? K m t) 。 (14)
于是得到通过努力和补课后能跟上班级教学的条件为
( 1 + ?) g i k i.?K 。 (15)
从灵敏度的角度看, 提高个人努力程度比增大补课强度
更有效 。 这个结果与实际情况是相符合的, 它从理论上定
量地说明了加强思想教育, 鼓励学生努力学习的作用及其
对提高教学质量的重要性 。
小 结
很明显，上面所建立的班级教学的数
学模型并不很精确，但是考虑到问题的复
杂性和模型的简单程度，我们的尝试还是
相当成功的。如果考虑到学生之间的相互
影响，比如说互相帮助和互相竞争，应该
怎样进一步修改这个模型呢？请同学们课
后自己考虑。
物理系 倪致祥
问题
班级教学是我国普遍采用的一种教学模式 。 在
班级教学的模式下, 入学时的水平基本相同的学生
经过一段时间的班级教学之后往往会出现不同程度
的成绩分化 。 一般来说, 理科课程的分化程度要比
文科课程明显；应试教育的分化程度要比非应试教
育明显, 教育的应试程度越高分化越明显 。 其中的
原因究竟是什么？ 你能不能找出学生水平分化的规
律, 并且用数学语言来加以说明？
分析
在班级教学的模式下，传授知识的主要手段是课堂
集体教学，而不是针对各个人的不同特点的因材施教。
因此，班级教学模式的本身不是产生分化的根本原因。
那么产生分化的根本原因是什么呢？这要从学生的个性
差异中去寻找。虽然学生在入学时的水平基本相同，但
不可避免的存在一些差异，他们在学习态度、学习方法
等方面的差异往往更大。这些差异在班级教学的模式下
得到了放大，因此在一段时间之后就出现了明显的分化
现象。
马克思曾经说过：, 一种科学只有在成功
地运用数学时，才算达到了真正完善的地步, 。
为了能在教学规律的研究中运用数学，我们必
需建立一个模型。
下面将给出一个班级教学模式的简单数学
模型，并由此应用数学为工具来研究学生水平
演化的规律及其相应的教学方法。
不失一般性, 假定班里有 n个学生 。 设第 i个学生的
水平为 xi, 其接受能力 （ 该学生水平的提高量与教师的知
识传授量之比 ） 可以用自然接受系数 k i 来描述 。 如教师
在单位时间内的知识传授量为 m,而在单位时间里学生水
平的提高量为 d xi / d t,则应有
d xi / d t = k i m 。 (1)
为了简单起见,我们假定知识传授量 m 为常数,由此
可得
xi = k i m t,(2)
上式中我们已经取了 xi (t = 0 ) - 0,即假定学生入学时起点
都是零,水平没有差别。
由 (1)式还可得到
d X / d t = K m,(3)
其中 X为学生的平均水平,K 为学生的平均接受能力 。 由方
程 (3)可解得学生平均水平的演化规律为
X = K m t 。 (4)
一般来说,教学进度应该与学生平均水平的发展相一致
。 因此 (4)式也可以看成是教学进度 。 比较 (2),(4)两式, 不
难看出由于接受能力的差别, 学生水平 xi 与教学进度 Kmt的
偏差 ?xi 的绝对值将随时间而增大, 即
?xi = ( ki?K ) m t 。 (5)
这种情况与我们的经验是一致的 。
在实际教学中, 新知识的学习是在旧知识的基础上进行
的, 往往受旧知识掌握程度的影响 。 新旧知识之间联系越
密切, 影响越大 。 设 ? 为新旧知识之间的联系因子, 考虑
这个因素后公式 (1) 应该修正为
d xi / d t = k i m +? ( xi? K m t) 。 (6)
上式可解得
xi = K m t + m ( k i ? K) (e ? t ? 1)/ ? 。
(7)
这时新的偏差为
? xi = m ( k i ? K) (e ? t ? 1)/ ? 。
(8)
由于 (e ? t ? 1)/ ? ? t, 可见考虑新旧知识
之间的联系后, 学生具体水平与教学进度的偏差将
变得更大 。 这种偏差的程度随着新旧知识之间联系
因子的增大而迅速增大 。 一般来说, 理科课程中新
旧知识之间的联系往往要比文科课程密切的多, 因
此学生理科成绩的分化程度和分化速度也往往要比
文科课程严重的多 。 上面的模型从理论上定量地说
明了这种教学现象, 揭示了它的内在原因 。
现在我们在上述模型的基础上来考虑应试教育的
情况。顾名思义，应试教育的主要目的是对付升学考
试。因此它的教学重点在一部分升学有望的尖子学生
身上，教学的进度以适应这部分学生的需要为主。在
我们的模型中，则表现在教学进度大幅度地超过了学
生平均水平的发展。由方程 (4)容易看出，这将大大
地增大中等及中等以下学生的水平 xi与教学进度之间
的偏差 ?xi 。而这种增大了的偏差又在班级教学模式
下受到了进一步的放大，造成了学生大面积的掉队的
结果。
补救措施 1—— 补课
在班级教学模式下, 为了进行正常教学, 往往要求学
生水平与教学进度相比不能过低 。 否则就必须对部分差生
进行补课, 使其能够跟上新课 。 为了方便, 我们定义一个
补课强度因子：单位时间内补课节数与正常上课的节数之
比, 记为 ?。 则对于那些自然接受系数 ki 小于平均接受
系数 K的同学来说, 在补课的条件下, 其水平演化的微分
方程为
d xi / d t = k i m + ? ( xi ? K m t) + ? k i m 。
(9)
上式可以简化为
d xi / d t = ( 1 + ?) k i m + ? ( xi ? K m t) 。
(10)
将 (10)式与 (6)式相比, 不难看出补课的作用相当于把接受
系数 ki 提高到 ki’= ( 1 + ?) k i.。 由此可知, 补课后能跟上
班级教学的条件为
ki ’= ( 1 + ?) k i.? K 。
(11)
因为补课强度因子的大小受到在校时间等因素的限制
,有一个上限, 故自然接受能力过差的学生将由于跟不上
班而需要留级 。
补救措施 2—— 努力
一般来说,学生的实际接受情况还与其主观努力程度
有关。俗话说得好，熟能生巧，勤能补拙。上面没有考虑
学生的主观能动性,因此不够全面。设个人努力程度用因
子 g i来描述，则其实际接受系数应为 g i k i 。用实际接受系
数取代 (6)式中的自然接受系数，我们得到
d xi / d t =g i k i m +? ( xi? K m t) 。 (12)
与前面类似地可以得到通过努力能跟上班级教学的
条件为
g i k i.? K 。 (13)
同时采取补课和提高个人努力程度两种方法, 我们得到
d xi / d t = ( 1 + ?) g i k i m + ? ( xi? K m t) 。 (14)
于是得到通过努力和补课后能跟上班级教学的条件为
( 1 + ?) g i k i.?K 。 (15)
从灵敏度的角度看, 提高个人努力程度比增大补课强度
更有效 。 这个结果与实际情况是相符合的, 它从理论上定
量地说明了加强思想教育, 鼓励学生努力学习的作用及其
对提高教学质量的重要性 。
小 结
很明显，上面所建立的班级教学的数
学模型并不很精确，但是考虑到问题的复
杂性和模型的简单程度，我们的尝试还是
相当成功的。如果考虑到学生之间的相互
影响，比如说互相帮助和互相竞争，应该
怎样进一步修改这个模型呢？请同学们课
后自己考虑。
