肿瘤的生长规律
倪致祥 教授
问题
? 恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀
手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人
类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措
施。
? 为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希
望建立一个肿瘤生长的数学模型。
? 建立数学模型的第一步是从实践的观察结
果出发。
观察数据
? 通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现
象：
? 1,按照现有手段，肿瘤细胞数目超过 1011时，临床才
可能观察到。
? 2,在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数
目就增加一倍。
? 3,在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤
细胞数目逐渐趋向某个稳定值。
? 根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的
数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？
模型一
? 设时刻 t肿瘤细胞数目为 n ( t ),由观察 2 我们可
以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成
正比，比例系数（相对增长率）为 k 。则可以得
到如下方程：
? n’(t) = k n (1)
? 其解为
? n(t) = n(0) ekt (2)
? 据临床观察 1，可令 n(0) = 1011；据临床观察 2，
设细胞增加一倍所需时间为 T，则有
? n ( t＋ T ) = 2 n ( t ) (3)
模型一
? n(t) = n(0) ekt (2)
? 据临床观察 1，可令 n(0) = 1011；据临床观察 2，
设细胞增加一倍所需时间为 T，则有
? n ( t＋ T ) = 2 n ( t ) (3)
? 将 (2)式代入 (3)式后，有 T = ln2 / k 。
? 由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为
? n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4)
? 上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反
映临床观察 1和观察 2。但是该模型未能反映出临
床观察 3，因此需要进一步修改。
模型二
? 考虑到临床观察 3，我们需要对指数模型进行修正。
? 荷兰生物数学家 Verhulst提出设想：相对增长率
随细胞数目 n ( t ) 的增加而减少。
? 若用 N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值,f
( n ) 表示相对增长率，则 f ( n ) 为 n的减函数，
? 为处理方便，令 f ( n ) 为 n的线性函数：
? f(n) = a – b n (5)
? 显然当 n = N 时,f (n)＝ 0；
? 假设当 n = 0 时,f (n) = k，代入上式即可解得
? a = k,b = k / N (6)
模型二
? a = k,b = k / N (6)
? f(n) = k ( 1 – n/N )
? 则 n (t) 满足微分方程
? n’(t) = kn (1 - n/N ) (7)
? 该方程称为 Logistic模型或者 Verhulst-Pearl阻滞
方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领
域。
? Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：
k是肿瘤的固有增长率 (Potential rate)，即如果没
有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。
模型二
? Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：
k是肿瘤的固有增长率 (Potential rate)，即如果没
有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。
? 由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一
个最大可能的细胞数目 N。细胞数目为 n的肿瘤中
还未出生部分所占的比例为 1－ n / N 。
? 因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增
长率乘以上述比例，即
? k (1 – n/N ) (8)
? 这个结果与方程 (7)完全一致。
模型二
? n’(t) = k n (1 - n/N ) (7)
? 利用分离变量法，上述方程可以化为 (9)
? 由此可以解出 (10)
k d tNnn dn ?? )/1(
)e x p ()1/(1)e x p ()/1(/ 000
0)(
ktnN
N
ktNnNn
ntn
?????? ??
模型二
? 由上面的结果,n (0) = n0 = 1011 ；
? 在肿瘤生长初期,t～ 0，因此有
? n(t) = n0 ekt
? 容易验证 n ( t＋ ln2/k ) = 2 n ( t ),即每经过一定
的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；
? 在肿瘤生长后期,t ? ?, n ( t ) ? N,即肿瘤
细胞数目逐渐趋向某个稳定值。
? 这些与观察结果完全一致。
)e x p ()1/(1)e x p ()/1(/ 000 0)( ktnN NktNnNn
ntn
?????? ??
Gompertzlan模型
? 在某些情况下,Verhulst模型与实测数据吻合得
不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际
增长率。
? 这时我们可以考虑将相对增长率从 n的线性函数修
改为 n的对数函数，即把相对增长率取为
? f(n) = - k ln(n/N) (11)
? 其中负号表示随 n的增加而减少，但不是线性关系，
而是与 n在极限值中所占比例的对数有关。
? 由此得到微分方程
? n’(t) = - k n ln(n/N) (12)
Gompertzlan模型
? 由此得到微分方程
? n’(t) = - k n ln(n/N) (12)
? 解为
? n(t) = n0 [N/n0] 1-exp(-kt) (13)
? 在肿瘤生长初期,t～ 0,exp(-kt)=1-kt 因此有
? n(t) = n0 (N/n0)kt
? 容易验证 每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；
? 在肿瘤生长后期,t ??, n ( t ) ? N,即肿瘤细胞数目
逐渐趋向某个稳定值。
? 这些与观察结果完全一致。
一般模型
? 本世纪 80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一
般的模型：
? n’(t) = (kn/a)[1-(n/N)a],a≥0 (14)
? 其解为
? n(t) = N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a (15)
? 显然当 a = 1时，我们回到了 Logistic模型；而当 a
? 0时，我们又可以得到 Gompertzlan模型。由于
参数 a 可以在大于零的范围内任意取值，故上述
模型具有高度的一般性和广泛的适应性。
结束语
? 人类的认识就是这样由简单到复杂、由特
殊到普遍、由个别到一般的。
? 看了上述的应用数学范例，你能把我们已
经学过的各种数学物理模型也来改造一番，
使其具有更广泛的适用性吗？
? 试试看，路就在脚下！
倪致祥 教授
问题
? 恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀
手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人
类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措
施。
? 为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希
望建立一个肿瘤生长的数学模型。
? 建立数学模型的第一步是从实践的观察结
果出发。
观察数据
? 通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现
象：
? 1,按照现有手段，肿瘤细胞数目超过 1011时，临床才
可能观察到。
? 2,在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数
目就增加一倍。
? 3,在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤
细胞数目逐渐趋向某个稳定值。
? 根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的
数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？
模型一
? 设时刻 t肿瘤细胞数目为 n ( t ),由观察 2 我们可
以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成
正比，比例系数（相对增长率）为 k 。则可以得
到如下方程：
? n’(t) = k n (1)
? 其解为
? n(t) = n(0) ekt (2)
? 据临床观察 1，可令 n(0) = 1011；据临床观察 2，
设细胞增加一倍所需时间为 T，则有
? n ( t＋ T ) = 2 n ( t ) (3)
模型一
? n(t) = n(0) ekt (2)
? 据临床观察 1，可令 n(0) = 1011；据临床观察 2，
设细胞增加一倍所需时间为 T，则有
? n ( t＋ T ) = 2 n ( t ) (3)
? 将 (2)式代入 (3)式后，有 T = ln2 / k 。
? 由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为
? n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4)
? 上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反
映临床观察 1和观察 2。但是该模型未能反映出临
床观察 3，因此需要进一步修改。
模型二
? 考虑到临床观察 3，我们需要对指数模型进行修正。
? 荷兰生物数学家 Verhulst提出设想：相对增长率
随细胞数目 n ( t ) 的增加而减少。
? 若用 N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值,f
( n ) 表示相对增长率，则 f ( n ) 为 n的减函数，
? 为处理方便，令 f ( n ) 为 n的线性函数：
? f(n) = a – b n (5)
? 显然当 n = N 时,f (n)＝ 0；
? 假设当 n = 0 时,f (n) = k，代入上式即可解得
? a = k,b = k / N (6)
模型二
? a = k,b = k / N (6)
? f(n) = k ( 1 – n/N )
? 则 n (t) 满足微分方程
? n’(t) = kn (1 - n/N ) (7)
? 该方程称为 Logistic模型或者 Verhulst-Pearl阻滞
方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领
域。
? Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：
k是肿瘤的固有增长率 (Potential rate)，即如果没
有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。
模型二
? Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：
k是肿瘤的固有增长率 (Potential rate)，即如果没
有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。
? 由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一
个最大可能的细胞数目 N。细胞数目为 n的肿瘤中
还未出生部分所占的比例为 1－ n / N 。
? 因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增
长率乘以上述比例，即
? k (1 – n/N ) (8)
? 这个结果与方程 (7)完全一致。
模型二
? n’(t) = k n (1 - n/N ) (7)
? 利用分离变量法，上述方程可以化为 (9)
? 由此可以解出 (10)
k d tNnn dn ?? )/1(
)e x p ()1/(1)e x p ()/1(/ 000
0)(
ktnN
N
ktNnNn
ntn
?????? ??
模型二
? 由上面的结果,n (0) = n0 = 1011 ；
? 在肿瘤生长初期,t～ 0，因此有
? n(t) = n0 ekt
? 容易验证 n ( t＋ ln2/k ) = 2 n ( t ),即每经过一定
的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；
? 在肿瘤生长后期,t ? ?, n ( t ) ? N,即肿瘤
细胞数目逐渐趋向某个稳定值。
? 这些与观察结果完全一致。
)e x p ()1/(1)e x p ()/1(/ 000 0)( ktnN NktNnNn
ntn
?????? ??
Gompertzlan模型
? 在某些情况下,Verhulst模型与实测数据吻合得
不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际
增长率。
? 这时我们可以考虑将相对增长率从 n的线性函数修
改为 n的对数函数，即把相对增长率取为
? f(n) = - k ln(n/N) (11)
? 其中负号表示随 n的增加而减少，但不是线性关系，
而是与 n在极限值中所占比例的对数有关。
? 由此得到微分方程
? n’(t) = - k n ln(n/N) (12)
Gompertzlan模型
? 由此得到微分方程
? n’(t) = - k n ln(n/N) (12)
? 解为
? n(t) = n0 [N/n0] 1-exp(-kt) (13)
? 在肿瘤生长初期,t～ 0,exp(-kt)=1-kt 因此有
? n(t) = n0 (N/n0)kt
? 容易验证 每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；
? 在肿瘤生长后期,t ??, n ( t ) ? N,即肿瘤细胞数目
逐渐趋向某个稳定值。
? 这些与观察结果完全一致。
一般模型
? 本世纪 80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一
般的模型：
? n’(t) = (kn/a)[1-(n/N)a],a≥0 (14)
? 其解为
? n(t) = N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a (15)
? 显然当 a = 1时，我们回到了 Logistic模型；而当 a
? 0时，我们又可以得到 Gompertzlan模型。由于
参数 a 可以在大于零的范围内任意取值，故上述
模型具有高度的一般性和广泛的适应性。
结束语
? 人类的认识就是这样由简单到复杂、由特
殊到普遍、由个别到一般的。
? 看了上述的应用数学范例，你能把我们已
经学过的各种数学物理模型也来改造一番，
使其具有更广泛的适用性吗？
? 试试看，路就在脚下！
