复习：
N=n-ik 复折射率
称为光学导纳
的另一种表达式，这是 N
Er
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? ?111 EkNH ??
? ? ? ????? ????? tantantantan ; EkHEkH ??
? 的定义为：仿照光纳定义，
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所确定的方向传播则：，，若光波沿
薄 膜 光 学 —— 基础理论
平面电磁波理论 —— 反射和折射定律
1100
0
s ins in ??
??
NN
r
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结论：
---菲涅尔折射定律
它不仅适用于介质，同样适用于金属。
复习：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
光在两种材料交界面上的反射
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光：
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0
10
0
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光能的反射率：
振幅反射系数,
? ? ? ????? ????? tantantantan ; EkHEkH ??
? 的定义为：仿照光纳定义，
薄 膜 光 学 —— 基础理论
布儒斯特角
特角这一入射角称为布儒斯当分子为零反射为零，
光：对于
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c o sc o s
c o sc o s
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N
N
NN
NN
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布儒斯特角
薄 膜 光 学 —— 基础理论
当第二介质是吸收介质，菲涅尔公式也是有效的，不同
的只是这种介质的折射率 N为复数,N=n-ik 由菲涅耳定律
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iknn
iknn
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ikn
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iknn
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s i n
s i ns i n
时，当
不再为折射角；时，为复数，除可见
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????
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第二种介质为吸收时的情况
薄 膜 光 学 —— 基础理论
第二种介质为吸收时的情况
反射率由模的平方确定
，辐角是反射的位相变化
的和都是复数，、可见
时情况要复杂的多当
ps
p
s
i
pp
i
ssps
i
pp
i
ss
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Nn
Nn
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Nn
Nn
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0110
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1100
0
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
0
薄 膜 光 学 —— 基础理论
波长为
546nm的
光入射到金
属 Ag和 Cu
上的情形
薄 膜 光 学 —— 基础理论
不管入射角如何，反射光的位相变化不
再是 00或 1800而是它们中间的某一角度,
同时 s— 分量和 P— 分量之间有一个不为 0的
相对位相差,因而当入射光为线偏振光在吸
收介质上反射后通常成为椭圆偏振光,正
是基于这种认识，利用反射光的椭圆偏振
测量就可确定吸收介质的光学常数。
第二种介质为吸收时的情况
薄 膜 光 学 —— 基础理论
本节主要内容,
?单层膜反射率及其特征矩阵
?膜系的等效光纳及特征矩阵
?薄膜 的 反射、透射、吸收
?光学薄膜的透射定理
光学薄膜系统特性计算
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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b
b
b
b
b
b
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bbbbb
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Ek
H
Ek
EkEkEkEEE
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? 在膜层内 b界面上：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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i
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应乘以负向行进的波位相因子
应乘以正向行进的波位相因子的点具有位相差
上具有坐标（的点和界面上具有坐标（对于另一界面
,c o s
2
)0,,),,
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方向的平面波对于沿
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
在膜层内 E和 H在边界 a上的值为：
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1
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即
即
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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1
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在入射介质中看 a界面上：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
上述结果用矩阵表示：
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1
1
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在知道界面 a处 Ea和 Ha后，利用上堂课的方法可求
出反射率，仿造导纳的定义公式，定义膜系的导
纳 Y为：
a
a
Ek
HY
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这时的问题就可以当作求光纳为 的入射媒质和光纳为 Y膜
系之间单一界面的问题。
0?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的特征矩阵
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称为膜系的特征矩阵则：
令：
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由公式：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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单层膜的反射率为：
这样就把单层膜的问题等效成了单一
界面的问题，而不是用多次干涉的方法。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
薄膜的特征矩：
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c o ss in
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当单层膜光学厚度为
λ/2和 λ/4的整数倍
为单位矩阵其矩阵：
为偶数当
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10
01
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2
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
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其矩阵：
为奇数时，当
这时的情况虽不象 n为偶数时那么简单，但是计算还是方便
的。如果基片或膜系具有等效光纳 Y,在其上镀一层厚度为
λ/4奇数倍，特征光纳 η 的薄膜后，膜系的等效光纳变为
η2/Y。由于 λ/2和 λ/4的光学厚度的膜层组成的膜系比较简
单，所以膜系设计常常用指定波长 1/4的倍数来表示，一般
只用两种或三种不同的膜料构造膜系,λ/4光学厚度的常用
缩写符号是 H,M,L分别表示高、中、低折射率。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
当膜层的光学厚度为 λ/2时
2
10
01
c o ss in
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当膜层的光学厚度为 λ/4时
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Y
Y
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
假设在前面讨论的单层膜上再加上一层膜，如图
这时与基底相连的界面为 c，
则紧贴基底的膜层的特征矩阵：
?
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222
2
2
2
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
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容易得到,
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s i nc o s
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称为该双层膜系的特征矩阵,Y=C/B则反射率为：
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
将这一结果推广到多层膜,
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波）波（对于
波）波（对于
其中：
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薄膜的特征矩阵的行列式等于 1
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
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11
1
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B
C
????
?
??
应该说在上面的方程中已经包含了足够的数据，不
仅能够计算膜系的反射率、也可以计算透射率和吸
收。为了使计算有意义，我们要求入射媒质、基片
都是透明的。由坡印廷矢量的平均值公式：
? ? rEHcs ?
?
?
?
?
?? ?Re
8 ?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
如果在最末一个界面的电矢量振幅为 Ek，则基
片中的坡印廷矢量为：
0
2
11 8 SrE
cs
knn ?? ?? ??
如果膜系的特征矩阵为,?
?
??
?
?
C
B 那么在入射界面坡印廷矢量为：
? ? rEBCc k2Re
8
?
?
假定入射能流 Si，以上公式代表实际进入膜系的能流，
即（ 1-R)Si
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
所以：
? ? ? ?
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S
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k
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ki
Re
1
1
Re
8
Re
8
1
10
2
2
?
?
?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
? ?
? ???
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BC
RT n
Re
11?
透射率公式
还可以有如下形式：
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T n
00
014
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吸收率 A:
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BCRTRA
n
Re111
1?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
可以证明当每一层的吸收都为 0时，整个膜系的吸收
A=0，因为薄膜特征矩阵的行列式为 1并且任意多的矩
阵乘积的行列式也等于 1，于是特征矩阵可写成：
? ? ? ?
0
Re
,1
1
11
1
1
1
?
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C
B
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n
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???
???
???
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或全为虚数，于是：
或全为实数、、、无吸收时其中
薄 膜 光 学 —— 基础理论
膜系的透射定理
无论膜层是否有吸收，膜系的透
射率与光的传播方向无关。
? ? ? ? ? ?
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1122
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21
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aMa
MMMM
MMMM
MM
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ij
ijij
nn
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M
则
和如果：
可以用归纳法证明：对于对角相等的矩阵，
，，
表示，那么
和向的两种乘积用对应两种可能的传播方
，，的矩阵为证明：设膜系中各膜层
?
?
?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
膜系的透射定理
我们将膜系一侧的介质记为 η0另一侧记为 ηn+1,其中 η0
紧贴第一层膜。在第一中方向时，膜系特征矩阵：
? ?
? ?
? ?
21
02221012221
10
2
12221112110
10
1
011210
'
22
'
21
012220
'
12
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11
1222111211
1
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4
4
,,
1
TT
aaaa
T
aaaa
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aaaaC
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C
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可以看出
带入透射率公式：
在第二种方向时：
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CBCB
T n
00
014
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
膜系的透射定理
由此可见根据膜系的透射定理，薄膜的透射率从
两个方向看时是一样的，所以不可能用薄膜的办法制
作单向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，
人们根据这个原理来制作有些特殊用途的玻璃。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
小结
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波）波（对于
波）波（对于
其中：
TM
对于多层膜：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
小结
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CBCB
T n
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014
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BCRTRA
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Re111
1?
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CB
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CB
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?反射率
透射率
吸收率
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CCBB
BCCBia r c t g
2
0
0
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??反射相移
N=n-ik 复折射率
称为光学导纳
的另一种表达式，这是 N
Er
HN
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? ?111 EkNH ??
? ? ? ????? ????? tantantantan ; EkHEkH ??
? 的定义为：仿照光纳定义，
? ?
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???? zyx
N
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所确定的方向传播则：，，若光波沿
薄 膜 光 学 —— 基础理论
平面电磁波理论 —— 反射和折射定律
1100
0
s ins in ??
??
NN
r
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?
结论：
---菲涅尔折射定律
它不仅适用于介质，同样适用于金属。
复习：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
光在两种材料交界面上的反射
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c o s
c o s,
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光：
光：
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??
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0
10
0
10R
光能的反射率：
振幅反射系数,
? ? ? ????? ????? tantantantan ; EkHEkH ??
? 的定义为：仿照光纳定义，
薄 膜 光 学 —— 基础理论
布儒斯特角
特角这一入射角称为布儒斯当分子为零反射为零，
光：对于
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0;t a n
c o sc o s
c o sc o s
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N
N
NN
NN
r-p
布儒斯特角
薄 膜 光 学 —— 基础理论
当第二介质是吸收介质，菲涅尔公式也是有效的，不同
的只是这种介质的折射率 N为复数,N=n-ik 由菲涅耳定律
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iknn
iknn
rr
ikn
n
iknn
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s i n
s i n
s i ns i n
时，当
不再为折射角；时，为复数，除可见
??
????
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第二种介质为吸收时的情况
薄 膜 光 学 —— 基础理论
第二种介质为吸收时的情况
反射率由模的平方确定
，辐角是反射的位相变化
的和都是复数，、可见
时情况要复杂的多当
ps
p
s
i
pp
i
ssps
i
pp
i
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Nn
Nn
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0110
0110
1100
1100
0
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
c o sc o s
0
薄 膜 光 学 —— 基础理论
波长为
546nm的
光入射到金
属 Ag和 Cu
上的情形
薄 膜 光 学 —— 基础理论
不管入射角如何，反射光的位相变化不
再是 00或 1800而是它们中间的某一角度,
同时 s— 分量和 P— 分量之间有一个不为 0的
相对位相差,因而当入射光为线偏振光在吸
收介质上反射后通常成为椭圆偏振光,正
是基于这种认识，利用反射光的椭圆偏振
测量就可确定吸收介质的光学常数。
第二种介质为吸收时的情况
薄 膜 光 学 —— 基础理论
本节主要内容,
?单层膜反射率及其特征矩阵
?膜系的等效光纳及特征矩阵
?薄膜 的 反射、透射、吸收
?光学薄膜的透射定理
光学薄膜系统特性计算
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
? ? ? ?
b
b
b
b
b
b
bbbbbb
bbbbb
Ek
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Ek
Ek
H
Ek
EkEkEkEEE
EkEkHHH
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111111
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? 在膜层内 b界面上：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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i
i
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N
yxbdyxa
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应乘以负向行进的波位相因子
应乘以正向行进的波位相因子的点具有位相差
上具有坐标（的点和界面上具有坐标（对于另一界面
,c o s
2
)0,,),,
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1
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方向的平面波对于沿
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
在膜层内 E和 H在边界 a上的值为：
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H
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eEk
H
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eEk
H
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2
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2
1
,
即
即
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
111
1
1
1
1
1
11
c o ss i n
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2
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2
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1111
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H
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EkEkEkEk
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在入射介质中看 a界面上：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
上述结果用矩阵表示：
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i
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111
1
1
1
c o ss i n
s i nc o s
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在知道界面 a处 Ea和 Ha后，利用上堂课的方法可求
出反射率，仿造导纳的定义公式，定义膜系的导
纳 Y为：
a
a
Ek
HY
?
?
这时的问题就可以当作求光纳为 的入射媒质和光纳为 Y膜
系之间单一界面的问题。
0?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的特征矩阵
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称为膜系的特征矩阵则：
令：
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1
c o ss i n
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c o ss i n
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111
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1
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1
111
1
1
1
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由公式：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
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Y
Y
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0
0
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0
0
0,
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单层膜的反射率为：
这样就把单层膜的问题等效成了单一
界面的问题，而不是用多次干涉的方法。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
薄膜的特征矩：
?
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c o ss in
s inc o s
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i
当单层膜光学厚度为
λ/2和 λ/4的整数倍
为单位矩阵其矩阵：
为偶数当
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???
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10
01
0s in,1c o s
,3,2,1,0,
2
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
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0
0
0c o s,1s in
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i
i
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其矩阵：
为奇数时，当
这时的情况虽不象 n为偶数时那么简单，但是计算还是方便
的。如果基片或膜系具有等效光纳 Y,在其上镀一层厚度为
λ/4奇数倍，特征光纳 η 的薄膜后，膜系的等效光纳变为
η2/Y。由于 λ/2和 λ/4的光学厚度的膜层组成的膜系比较简
单，所以膜系设计常常用指定波长 1/4的倍数来表示，一般
只用两种或三种不同的膜料构造膜系,λ/4光学厚度的常用
缩写符号是 H,M,L分别表示高、中、低折射率。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
λ/2和 λ/4的光学厚度
当膜层的光学厚度为 λ/2时
2
10
01
c o ss in
s inc o s
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Y
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当膜层的光学厚度为 λ/4时
2
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1
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2
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1
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1
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Y
Y
r
薄 膜 光 学 —— 基础理论
单层膜的反射
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
假设在前面讨论的单层膜上再加上一层膜，如图
这时与基底相连的界面为 c，
则紧贴基底的膜层的特征矩阵：
?
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222
2
2
2
c o ss i n
s i nc o s
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2
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
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1
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1
c o ss i n
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s i nc o s
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容易得到,
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2
2
2
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1
1
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1
c o ss i n
s i nc o s
c o ss i n
s i nc o s
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B
C
称为该双层膜系的特征矩阵,Y=C/B则反射率为：
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Y
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0
0
0
0
0
0,
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射
将这一结果推广到多层膜,
rr
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r
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r
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NN
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波）波（对于
波）波（对于
其中：
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薄膜的特征矩阵的行列式等于 1
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
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11
1
c o ss i n
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n
n
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r
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B
C
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?
??
应该说在上面的方程中已经包含了足够的数据，不
仅能够计算膜系的反射率、也可以计算透射率和吸
收。为了使计算有意义，我们要求入射媒质、基片
都是透明的。由坡印廷矢量的平均值公式：
? ? rEHcs ?
?
?
?
?
?? ?Re
8 ?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
如果在最末一个界面的电矢量振幅为 Ek，则基
片中的坡印廷矢量为：
0
2
11 8 SrE
cs
knn ?? ?? ??
如果膜系的特征矩阵为,?
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??
?
?
C
B 那么在入射界面坡印廷矢量为：
? ? rEBCc k2Re
8
?
?
假定入射能流 Si，以上公式代表实际进入膜系的能流，
即（ 1-R)Si
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
所以：
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ki
Re
1
1
Re
8
Re
8
1
10
2
2
?
?
?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
? ?
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BC
RT n
Re
11?
透射率公式
还可以有如下形式：
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T n
00
014
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吸收率 A:
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BCRTRA
n
Re111
1?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
多层膜的反射、透射、吸收
可以证明当每一层的吸收都为 0时，整个膜系的吸收
A=0，因为薄膜特征矩阵的行列式为 1并且任意多的矩
阵乘积的行列式也等于 1，于是特征矩阵可写成：
? ? ? ?
0
Re
,1
1
11
1
1
1
?
???
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?
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C
B
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n
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????????
???
???
???
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或全为虚数，于是：
或全为实数、、、无吸收时其中
薄 膜 光 学 —— 基础理论
膜系的透射定理
无论膜层是否有吸收，膜系的透
射率与光的传播方向无关。
? ? ? ? ? ?
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? ? ? ?? ? ? ?
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1122
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2211
'
21
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21
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,,aaaajiaa
aMa
MMMM
MMMM
MM
MMM
ij
ijij
nn
n
n
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'
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M
则
和如果：
可以用归纳法证明：对于对角相等的矩阵，
，，
表示，那么
和向的两种乘积用对应两种可能的传播方
，，的矩阵为证明：设膜系中各膜层
?
?
?
薄 膜 光 学 —— 基础理论
膜系的透射定理
我们将膜系一侧的介质记为 η0另一侧记为 ηn+1,其中 η0
紧贴第一层膜。在第一中方向时，膜系特征矩阵：
? ?
? ?
? ?
21
02221012221
10
2
12221112110
10
1
011210
'
22
'
21
012220
'
12
'
11
1222111211
1
1
4
4
,,
1
TT
aaaa
T
aaaa
T
aaaaC
aaaaB
aaCaaBM
C
B
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nn
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可以看出
带入透射率公式：
在第二种方向时：
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CBCB
T n
00
014
??
??
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
膜系的透射定理
由此可见根据膜系的透射定理，薄膜的透射率从
两个方向看时是一样的，所以不可能用薄膜的办法制
作单向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，
人们根据这个原理来制作有些特殊用途的玻璃。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
小结
rr
r
r
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rrr
rrr
r
n
n
r
rrr
r
r
r
NN
p
N
sTEN
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s i ns i n
c o s
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c o s2
1
c o ss i n
s i n
c o s
00
11
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波）波（对于
波）波（对于
其中：
TM
对于多层膜：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
小结
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CBCB
T n
00
014
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BCRTRA
n
Re111
1?
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CB
CB
CB
CBR
0
0
0
0
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?反射率
透射率
吸收率
? ?
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CCBB
BCCBia r c t g
2
0
0
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??反射相移
