薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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复习：对于多层膜
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
膜系的透射定理
膜系的透射定理, 薄膜的透射率与光线的入射方向无
关，所以不可能用薄膜的办法制作单向透光的元件，
而反射率、吸收率可是不同的。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
本此课的主要内容
光学薄膜在倾斜入射时的表现
考虑到基片背面反射时的情况
对称膜系的等效折射率
矢量法
麦克劳德纳图解法简介
用麦克劳德纳图解法解释单、双层增透膜
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
当光线倾斜入射到薄膜上的情况
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波）波（对于
其中：
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考虑薄膜的特征矩阵以及其中的参数：
入射角的变化将影响等效导纳和膜层的光学厚度
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
0
20
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自然光 45 度入射到 11 层反射膜波长漂移情况
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对膜层光学厚度的影响导致波长漂移
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
当光线倾斜入射到薄膜上的情况
由于对 P光和 S光等效导纳的影响不一致，导致倾斜入射偏振分离
0
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60
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400 450 500 550 600 650 700
11 层反射膜 45 度入射的偏振分离情况
%
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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400 450 500 550 600 650 700
自然光以 0, 30, 45 度入射到 19 层滤光片波长漂移情况
%
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对膜层光学厚度的影响导致波长漂移
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
考虑到基片背面反射的情况
在厚基片下，考虑
到背面的反射：
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如果没有吸收
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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同理：对于透射率
对于红外高折射率材料 Si,Ge等尤其要考虑基片
中多次反射的非相干叠加
考虑到基片背面反射的情况
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对称膜系的等效折射率
对于单层膜我们可以用一个矩阵 M单 来表示，对于
一个多层膜可以用一组矩阵的乘积来表示,M多
=M1M2M3…M n,一般来讲 M多 中的每一层都是无
吸收介质时，矩阵 M多中 m11和 m22为纯实数,m12
和 m21为纯虚数，并且，行列式值为 1，但是一般
情况下 m11和 m22并不相等，这一点与单层膜的性
质是不同的，所以在数学上就不能等同于一个单
层膜。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对于以中间一层为中心，两边对称安置的多层膜，
却具有单层膜特征矩阵的所有特点，在数学上存在着
一个等效层，这为等效折射率理论奠定了基础。 下面
我们就以最简单的对称膜系 (pqp)为例说明对称膜系在
数学上存在一个等效折射率的概念。这个称膜系的特
征矩阵为：
对称膜系的等效折射率
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对称膜系的等效折射率
做矩阵的乘法运算得：
正是由于第四个关系式成立才使我们有可能引入等
效折射率的概念
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
由于对称膜系的待征矩阵和单层膜的特征矩阵具有相同
的性质，可以假定以相似的形式来表示：
对称膜系的等效折射率
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因此它可以用一层特殊的等效单层膜来描写,这层等效膜
的折射率 E（等效折射率）和位相厚度 τ (等效位相厚度 ) 可
以由下面方程求得：
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12
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对称膜系的等效折射率
12
21
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
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对称膜系的等效折射率
从 M=pqp可以推广到任意多层的对称膜系在数学上都可
以用一个单层膜的特征矩阵所表示。
例如,M=h(u(v(pqp)v)u)h
另：最常用的周期膜系如,M=HLHLHLHLHLH
一方面表示为,M=H(L(H(L(H)L)H)L)H
另一方面可以表示为,M=H/2（ H/2LH/2)5H/2的形式
H/2LH/2是一个对称单元
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
L/2HL/2等
效折射率
H/2LH/2
对称膜系的等效折射率
g—
相 对波数
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对称膜系的等效折射率
对于某些波长范围 M11的绝对值大于 1
截止区。
对应的波长范围是的概念不再存在，这时
也是虚数等效折射率为虚数，可以得到
即
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2211
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对称膜系的等效折射率
对于 M11的绝对值小于 1的情况：
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可以证明：
膜系的特征矩阵为：
为：的基本周期的特征矩阵令一个周期性对称膜系
上式表示一个周期性对称膜系在它的透射带中仍然存在有一
个等效折射率，它和基本周期对称组合等效折射率 E完全相
同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度 s
倍．
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
当对称膜系中各分层的厚度很小时 (例如不
超过 10nm)，等效折射率 E几乎是一常数，它介
于 Np和 Nq之间，取决于分层厚度的比值，同时
位相厚度和对称膜系实际的总的位相厚度成比例，
在大多数情况下其比例常数接近于 1。 因此这种
基本周期的厚度很小的周期性对称膜系非常类似
于色散很小的单层均匀薄膜，可以用来替换那些
折射率无法实现的膜层,它在减反膜的设计中，
得到了实际应用。
对称膜系的等效折射率
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
利用组合导纳的递推法或短阵法计算膜系的反射率虽然
比较严格和精确，计算却较为复杂,其工作量也较大。 对
于层数较少的减反射膜可以用矢量法作近似计算和设计，这
种方法有两个前提：
?膜层没有吸收；
?在确定多层膜的特性时只考虑入射波在每
个界面的单次反射；
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
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4
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3
2
21
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如果忽略膜层内的多次反射，
则合成的振幅反射系数由每
一界面的反射系数的矢量和
确定。每个界面的反射系数
都联带着一个特定的相位滞
后，它对应于光波从入射表
面进至该界面又回到入射表
面的过程
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
如果膜层没有吸收那么各个界面的振幅反射系数为实数
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
矢量法的计算步骤是首先计算各个界面的
振幅反射系数和各层膜的位相厚度，把各个矢
量按比例地画在同 一张极坐标图上，然后按三
角形法则求合矢量,求得的合矢量的模即为膜
系的振幅反射系数，幅角就是反射光的位相变
化而能量反射率是振幅反射系数的平方。
若在所考虑的整个波段内，忽略膜的色散，
则对于所有波长振幅反射系数 r1,r2,r3和 r4均
相同。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
为了避免在作矢量图时方向混乱，我们可以规定：
1,矢量的模 r1,r2,r3,r4…,正值为指向坐标原点负
值为离开原点．
2,矢量之间的夹角仅决定于膜层的光学厚度和所考察
的波长 (即决定于膜层的位相厚度 )按逆时针方向旋转。界
面上的位相跃变已经包含在振幅反射系数的符号中，不必
另作考虑。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
举例,3层膜 N0=1 N1=1.38 N2=1.9 N3=1.65 N4=1.52
各层的光学厚度,N1d1=λ/4 N2d2=λ/2 N3d3=λ/4
λ 0=520nm,我们分别计算 400nm 520nm 650nm处的反射率
04.0,07.0
,16.0,16.0
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为：
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角：
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
矢量法
R400nm=0.81%
R520nm=0.09%
R650nm=0.49%
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
麦克劳得导纳图解技术简介
如果从基片开始通过每一层膜直到多
层膜的前表面，把 平行于基片的任意平面
处的光学导纳画在一复平面上则描述了整
个生长过程中多层膜导纳的变化轨迹。对
于每一层介质膜，导纳轨迹是圆心位于实
轴上的园或圆弧。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
麦克劳得导纳图解技术简介
? ?
率等值线也是园同样道理可以推导反射
，并通过点
心坐标这是一个园的方程，圆
，经过整理消去分别取实部、虚部相等
一般为复数，设组合导纳
的单层膜的基片上有导纳为假定导纳为
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
1/2λ厚 度单层 MgF2在 K9玻璃上的导纳轨迹
麦克劳得导纳图解技术简介
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
麦克劳得导纳图解技术简介
HLH导
纳轨迹
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
双层增透膜的导纳轨迹
麦克劳得导纳图解技术简介
H:ZrO2(2.07)
L:SiO2(1.46)
HL H
1L
H:Y2O3(1.79)
L:SiO2(1.46)
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
非规整双层层增透膜
麦克劳得导纳图解技术简介
膜系：
Air L/2H/10 Sub
H:ZrO2(2.07)
L:SiO2(1.46)
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
：是我们所考察的波长
是膜系设计的中心波长
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
：反射相移
，反射系数：
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1
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
对于底折射率的基底材料，如 K9
n=1.516
Ra=Rb=4.2% 双面 R=8.06%，和
Ra+Rb=8.4%相差无几
如果基底材料是高折射率材料，情况
就不同了，如锗（ Ge) n=4
Ra=Rb=36%，双面 R=52.9%，和
Ra+Rb=72% 比较差距较大
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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复习：对于多层膜
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
膜系的透射定理
膜系的透射定理, 薄膜的透射率与光线的入射方向无
关，所以不可能用薄膜的办法制作单向透光的元件，
而反射率、吸收率可是不同的。
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
本此课的主要内容
光学薄膜在倾斜入射时的表现
考虑到基片背面反射时的情况
对称膜系的等效折射率
矢量法
麦克劳德纳图解法简介
用麦克劳德纳图解法解释单、双层增透膜
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
当光线倾斜入射到薄膜上的情况
rr
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波）波（对于
波）波（对于
其中：
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考虑薄膜的特征矩阵以及其中的参数：
入射角的变化将影响等效导纳和膜层的光学厚度
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
0
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400 450 500 550 600 650 700
自然光 45 度入射到 11 层反射膜波长漂移情况
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对膜层光学厚度的影响导致波长漂移
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
当光线倾斜入射到薄膜上的情况
由于对 P光和 S光等效导纳的影响不一致，导致倾斜入射偏振分离
0
20
40
60
80
100
400 450 500 550 600 650 700
11 层反射膜 45 度入射的偏振分离情况
%
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
0
20
40
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80
100
400 450 500 550 600 650 700
自然光以 0, 30, 45 度入射到 19 层滤光片波长漂移情况
%
T
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对膜层光学厚度的影响导致波长漂移
薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
考虑到基片背面反射的情况
在厚基片下，考虑
到背面的反射：
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ba
baba
ba
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RR
RRRR
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如果没有吸收
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薄 膜 光 学 —— 基础理论
中国科学院长春光学精密机械与物理研究所
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ba
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babaabbaba
RR
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1
1
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同理：对于透射率
对于红外高折射率材料 Si,Ge等尤其要考虑基片
中多次反射的非相干叠加
考虑到基片背面反射的情况
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对称膜系的等效折射率
对于单层膜我们可以用一个矩阵 M单 来表示，对于
一个多层膜可以用一组矩阵的乘积来表示,M多
=M1M2M3…M n,一般来讲 M多 中的每一层都是无
吸收介质时，矩阵 M多中 m11和 m22为纯实数,m12
和 m21为纯虚数，并且，行列式值为 1，但是一般
情况下 m11和 m22并不相等，这一点与单层膜的性
质是不同的，所以在数学上就不能等同于一个单
层膜。
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对于以中间一层为中心，两边对称安置的多层膜，
却具有单层膜特征矩阵的所有特点，在数学上存在着
一个等效层，这为等效折射率理论奠定了基础。 下面
我们就以最简单的对称膜系 (pqp)为例说明对称膜系在
数学上存在一个等效折射率的概念。这个称膜系的特
征矩阵为：
对称膜系的等效折射率
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1211
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对称膜系的等效折射率
做矩阵的乘法运算得：
正是由于第四个关系式成立才使我们有可能引入等
效折射率的概念
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由于对称膜系的待征矩阵和单层膜的特征矩阵具有相同
的性质，可以假定以相似的形式来表示：
对称膜系的等效折射率
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E
i
MM
MM
M pqp
因此它可以用一层特殊的等效单层膜来描写,这层等效膜
的折射率 E（等效折射率）和位相厚度 τ (等效位相厚度 ) 可
以由下面方程求得：
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s i n
s i n
,c o s
21
12
2211
iEM
E
i
M
MM
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对称膜系的等效折射率
12
21
M
ME ??所以有：
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对称膜系的等效折射率
从 M=pqp可以推广到任意多层的对称膜系在数学上都可
以用一个单层膜的特征矩阵所表示。
例如,M=h(u(v(pqp)v)u)h
另：最常用的周期膜系如,M=HLHLHLHLHLH
一方面表示为,M=H(L(H(L(H)L)H)L)H
另一方面可以表示为,M=H/2（ H/2LH/2)5H/2的形式
H/2LH/2是一个对称单元
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L/2HL/2等
效折射率
H/2LH/2
对称膜系的等效折射率
g—
相 对波数
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对称膜系的等效折射率
对于某些波长范围 M11的绝对值大于 1
截止区。
对应的波长范围是的概念不再存在，这时
也是虚数等效折射率为虚数，可以得到
即
E?
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2211
??? MM
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对称膜系的等效折射率
对于 M11的绝对值小于 1的情况：
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c o ss i n
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可以证明：
膜系的特征矩阵为：
为：的基本周期的特征矩阵令一个周期性对称膜系
上式表示一个周期性对称膜系在它的透射带中仍然存在有一
个等效折射率，它和基本周期对称组合等效折射率 E完全相
同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度 s
倍．
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当对称膜系中各分层的厚度很小时 (例如不
超过 10nm)，等效折射率 E几乎是一常数，它介
于 Np和 Nq之间，取决于分层厚度的比值，同时
位相厚度和对称膜系实际的总的位相厚度成比例，
在大多数情况下其比例常数接近于 1。 因此这种
基本周期的厚度很小的周期性对称膜系非常类似
于色散很小的单层均匀薄膜，可以用来替换那些
折射率无法实现的膜层,它在减反膜的设计中，
得到了实际应用。
对称膜系的等效折射率
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矢量法
利用组合导纳的递推法或短阵法计算膜系的反射率虽然
比较严格和精确，计算却较为复杂,其工作量也较大。 对
于层数较少的减反射膜可以用矢量法作近似计算和设计，这
种方法有两个前提：
?膜层没有吸收；
?在确定多层膜的特性时只考虑入射波在每
个界面的单次反射；
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矢量法
? ? ? ?321211 2
4
2
3
2
21
?????? ?????? ???? iii erererrr
如果忽略膜层内的多次反射，
则合成的振幅反射系数由每
一界面的反射系数的矢量和
确定。每个界面的反射系数
都联带着一个特定的相位滞
后，它对应于光波从入射表
面进至该界面又回到入射表
面的过程
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矢量法
如果膜层没有吸收那么各个界面的振幅反射系数为实数
43
43
4
32
32
3
21
21
2
10
10
1
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各层薄膜的位相厚度为,
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2
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2
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dN
dNdN
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矢量法
矢量法的计算步骤是首先计算各个界面的
振幅反射系数和各层膜的位相厚度，把各个矢
量按比例地画在同 一张极坐标图上，然后按三
角形法则求合矢量,求得的合矢量的模即为膜
系的振幅反射系数，幅角就是反射光的位相变
化而能量反射率是振幅反射系数的平方。
若在所考虑的整个波段内，忽略膜的色散，
则对于所有波长振幅反射系数 r1,r2,r3和 r4均
相同。
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矢量法
为了避免在作矢量图时方向混乱，我们可以规定：
1,矢量的模 r1,r2,r3,r4…,正值为指向坐标原点负
值为离开原点．
2,矢量之间的夹角仅决定于膜层的光学厚度和所考察
的波长 (即决定于膜层的位相厚度 )按逆时针方向旋转。界
面上的位相跃变已经包含在振幅反射系数的符号中，不必
另作考虑。
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矢量法
举例,3层膜 N0=1 N1=1.38 N2=1.9 N3=1.65 N4=1.52
各层的光学厚度,N1d1=λ/4 N2d2=λ/2 N3d3=λ/4
λ 0=520nm,我们分别计算 400nm 520nm 650nm处的反射率
04.0,07.0
,16.0,16.0
43
43
4
32
32
3
21
21
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10
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rr
rr反射系
数分别
为：
不同波
长的夹
角：
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矢量法
R400nm=0.81%
R520nm=0.09%
R650nm=0.49%
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麦克劳得导纳图解技术简介
如果从基片开始通过每一层膜直到多
层膜的前表面，把 平行于基片的任意平面
处的光学导纳画在一复平面上则描述了整
个生长过程中多层膜导纳的变化轨迹。对
于每一层介质膜，导纳轨迹是圆心位于实
轴上的园或圆弧。
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麦克劳得导纳图解技术简介
? ?
率等值线也是园同样道理可以推导反射
，并通过点
心坐标这是一个园的方程，圆
，经过整理消去分别取实部、虚部相等
一般为复数，设组合导纳
的单层膜的基片上有导纳为假定导纳为
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2
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22
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B
C
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C
B
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1/2λ厚 度单层 MgF2在 K9玻璃上的导纳轨迹
麦克劳得导纳图解技术简介
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麦克劳得导纳图解技术简介
HLH导
纳轨迹
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双层增透膜的导纳轨迹
麦克劳得导纳图解技术简介
H:ZrO2(2.07)
L:SiO2(1.46)
HL H
1L
H:Y2O3(1.79)
L:SiO2(1.46)
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非规整双层层增透膜
麦克劳得导纳图解技术简介
膜系：
Air L/2H/10 Sub
H:ZrO2(2.07)
L:SiO2(1.46)
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：是我们所考察的波长
是膜系设计的中心波长
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0
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：反射相移
，反射系数：
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Y
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1
1
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对于底折射率的基底材料，如 K9
n=1.516
Ra=Rb=4.2% 双面 R=8.06%，和
Ra+Rb=8.4%相差无几
如果基底材料是高折射率材料，情况
就不同了，如锗（ Ge) n=4
Ra=Rb=36%，双面 R=52.9%，和
Ra+Rb=72% 比较差距较大
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