第二章 逻辑代数基础
用数学方法表示命题陈述的逻辑结构，将形式逻辑归结为代数演算，
称为,布尔代数”。将布尔代数用于集成电路逻辑门，称为逻辑代数。
2,1 逻辑代数的基本概念
逻辑 代数由逻辑变量集 K，常量 0 和 1，以及,或”、“与”、
“非” 三种基本运算所构成。该系统满足以下公理，对应不同的律。
交换律,,
结合律,,
分配律,
0–1律,
互补 律,
ABBA ??? ABBA ???
)()( CBACBA ????? )()( CBACBA ?????
)()()( CABACBA ??????
A1A00A11AA0A ????????,，，
0AA1AA ????,
CABACBA ?????? )(
2,1,1 逻辑变量和基本逻辑运算
逻辑变量取值 0 或 1，用开关的通与断、电压的高与低、晶体管的
导通与截止来表征。可通过逻辑变量和,或”、“与”、“非” 组合
的逻辑算式描述数字系统。
1．,或” 运算
决定某一事件 发生的条件中有一个以上条件成立，事件便发生。这
种因果关系称为,或”。记做,F = A + B 或 F = A∨ B。
运算法则为,0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,见, 1” 为
,1”。实现该运算的门电路称为,或”门。
2．,与” 运算
决定某一事件 发生的条件同时成立，事件便发生。这种因果关系称
为,与”。记做,F = A ? B 或 F = A∧ B。
运算法则为,0 ? 0 = 0,0 ? 1 = 0,1 ? 0 = 0,1 ? 1 = 1,见, 0” 为
,0”。实现该运算的门电路称为,与”门。
2,1,1 逻辑变量和基本逻辑运算
3．,非” 运算
某一事件的发生取决于条件的否定,这种因果关系称为,非”。记
做 F =, 运算法则为,A 为 0 则 F 为 1,A 为 1 则 F 为 0。
+U A B +U
+U
F A F
B F
“或” 示意图,与” 示意图,非” 示意
图
2,1,2 逻辑函数的表示法
1,逻辑表达式
由变量通过,或”、“与”、“非” 三种运算符进行组合,三种
运算符的优先级排序为,非”,“与”,“或” 。
A
2,1,2 逻辑函数的表示法
“与” 运算符可省略，如,
“非” 运算、先,与” 后,或” 运算可省略
括弧，如：, 。
2,真值表
用表格的形式描述逻辑函数的方法称为真
值表。每个逻辑变量有两种取值,n 个变量有
2n 种取值组合。真值表左边一栏为变量，右边
一栏为逻辑函数值。
例,对应的真值表为：
3,卡诺图
将 n 个变量的 2n 种取值组合按某种顺序填
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
真值表
BA?
ABBA ??
CDABDCBA ????? )()(
CABAF ??
入小方格构成的平面图，构成一种描述逻辑函数的图形。称为卡诺图。
2,2 逻辑函数的基本定理和规则
2,2,1 基本定理
定理 1,0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1
0 ? 0 = 0,0 ? 1 = 0,1 ? 0 = 0,1 ? 1 = 1
定理 2,A + A = A,A ? A = A
定理 3,A + A ? B = A,A ?（ A + B） = A
定理 4：
定理 5：
定理 6：,
定理 7：
定理 8：
AA?
ABABAABABA ???????? ）（）、（
CABACBCABA ?????????
）（）（）（）（）（ CABACBCABA ?????????
BABAABABAA ???????? ）（，
BABA ??? BABA ???
2,2,2 重要规则
1,代入规则
将逻辑式中所有出现同一变量的地方用某一逻辑函数代替，等式仍
然成立。
例, A ( B + C ) = AB + AC，将所有出现 C 的地方都用 ( C + D ) 代
替，则等式仍然成立。 A ( B + ( C + D ) ) = AB + A ( C + D )。
2,反演规则
将函数式中的, ?, 变成, +,，,+, 变成, ?,,,0” 变成
,1”，,1” 变成, 0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保
持运算次序不变，得到的新函数为原函数 F 的反函数,这一规则称为
反演规则。
例：,则
3,对偶规则
将函数式中的, ?, 变成, +,，,+, 变成, ?,,,0” 变成
,1”，,1” 变成, 0”，并保持运算次序不变，得到的新的逻辑表达式
为原函数式的对偶式，记做 F’。 F 与 F’ 互为对偶式。
F
DCBAF ?? ）（）（ DCBAF ????
2,2,2 重要规则
例：
根据对偶规则，当两个逻辑表达式相等时，其对偶式也相等。如：
，则
2,2,3 复合逻辑
1,与非逻辑
由与、非两种逻辑复合而 成，实现与非逻辑的门电路称为与非门。
逻辑表达式为,。仅当输入全为 1 时 F 输出为 0，输入
有一个为 0 时 F 输出为 1。用与非门可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非
))()(()( DECCABAFEDCCAABF ???????? ’，
CABCBCAAB ???? CBACBCABA ?????? )())()((
?CBAF ???
))(()( 1CBBAF0CBBAF ??????? ’，
1ABABBA ????
1B1ABABA ???????
1AA ??
2,2,3 复合逻辑
2,或非逻辑
由或、非两种逻辑复合而 成，实现或非逻辑的门电路称为或非门。
逻辑表达式为,。输入全为 0 时 F 输出为 1，输入有一
个为 1 时 F 输出为 0。用或非门也可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非
3,与或非逻辑
由与、或、非三种逻辑复合而 成，实现与或非逻辑的门电路称为与
或非门。逻辑表达式为,。仅当每一个,与项” 均
为 0 时 F 输出为 1，否则 F 输出为 0。
可以将任一个逻辑表达式转换成与或非表达式。
例：
???? CDABF
CBCACBACBACBAF ????????? )(
?CBAF ???
0B0ABABA ???????
0BABABA ??????
0AA ??
2,2,3 复合逻辑
4,异或逻辑
一种 双变量逻辑关系。函数表达式为,。输入
相同时 F 输出为 0，输入不同时 F 输出为 1。
多个变量做异或时，若变量中 1 的个数为奇数，则异或结果为 1，
若变量中 1 的个数为偶数，则异或结果为 0。因此常用于奇偶校验 。
5,同或逻辑
一种 双变量逻辑关系。函数表达式为,F = A⊙ B 。输入
相同时 F 输出为 1，输入不同时 F 输出为 0。
同或和异或的关系即互为相反又互为对偶。
A⊙ B
A⊙ B
????????? BAABBABABABABA ))((
????????? ABBABABABABABA ))(()()( ’’
BABABAF ????
BAAB ??
1AA0AAA1AA0A ????????,、、
2,3 逻辑函数表达式的形式与变换
2,3,1 逻辑函数表达式的基本形式
1．,与 –或” 表达式
由若干,与项” 进行,或” 运算构成的表达式。每个,与项”
可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相
“与” 组成。
如：
“与项” 又被称为,积项”，“与 –或” 表达式称为,积之和”
表达式。
2．,或 –与” 表达式
由若干,或项” 进行,与” 运算构成的表达式。每个,或项”
可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相
“或” 组成。
如：
CCBABACBAF ???）,,(
DCBACBBADCBAF ?????? ))()((),,,(
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
1,最小项和最大项
⑴ 最小项的定义和性质
定义,一个 n 个变量的函数的,与项” 包含全部 n 个变量，每个
变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则该,与项” 被称为最小
项。
n个变量可构成 2n个最小项，如三个变量可构成,, … 。
用 mi 表示最小项，将最小项中原变量用 1 表示，反变量用 0 表示，
得到的二进制数对应的十进制数值即下标 i 的值。例如三变量函数中，
m3 表示, m6 表示 。
性质 1：任意一个最小项，其变量仅有一种取值使这个最小项为 1。
性质 2,相同变量构成的两个最小项相,与” 为 0。
性质 3,n 个变量的全部最小项相,或” 为 1。即 = 1
性质 4,n 个变量构成的最小项有 n 个相邻最小项。相邻最小项是
指除一个变量互为相反外，其余部分相同。如 与 。
???10i i2n m
CBA CBA
CBA CBA
BCA CAB
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
⑵ 最大项的定义和性质
一个 n 个变量的函数的,或项” 包含全部 n 个变量，每个变量都
以原变量或反变量的形式出现一次，则该,或项” 被称为最大项。
n 个变量可构成 2n 个最大项，三变量可构成
‘ … 等。
用 Mi 表示最大项，将最大项中原变量用 0 表示，反变量用 1 表示，
得到的二进制数对应的十进制数值即下标 i 的值。例如三变量函数中，
M4 表示, M6 表示 。
性质 1：任意一个最大项，其变量仅有一种取值使这个最大项为 0。
性质 2,相同变量构成的两个最大项相,或” 为 1。
性质 3,n 个变量的全部最大项相,与” 为 0。即 = 0
性质 4,n 个变量构成的最大项有 n 个相邻最大项。相邻最大项是
指除一个变量互为相反外，其余部分相同。如 。
??? 12n0i iM
CBACBA ????,
BCA CBA
CBACBA ???? 与
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
2,逻辑函数表达式的标准形式
⑴ 标准,与 – 或” 表达式
由若干最小项相,或” 构成的逻辑表达式称为标准,与 –或” 表
达式，或最小项表达式。
例：
= m1 + m2 + m4 + m7 =
⑵ 标准,或 –与” 表达式
由若干最大项相,与” 构成的逻辑表达式称为标准,或 –与” 表
达式，或最大项表达式。
例：
= M0 + M5 + M7 =
? )7,4,2,1(m
? )7,5,0(M
A B CCBACBACBACBAF ????),,(
))()((),,( CBACBACBACBAF ???????
2,3,3 通用函数表达式的转换
目的：将任意逻辑函数表达式转换为标准,与 – 或” 表达式或标
准,或 –与” 表达式。
1,代数转换法
转换成,与 – 或” 表达式的步骤分为两步：
第一步：将函数表达式转换成一般,与 – 或” 表达式。
第二步：使用 X = X ?（ Y + ）将表达式中所有非最小项的,与项”
扩展成最小项。
例：
F ( A,B,C ) = m0 + m1 + m3 + m6 + m7 =
Y
? )7,6,3,1,0(m
ABCBBAABCBBACBAF ?????? )(),,(
ABBCCABAABCBBA ???????? ))((
)()()()( CCABAABCBBCACCBA ????????
A B CCABA B CBCABCACBACBACBA ????????
A B CCABBCACBACBA ?????
2,3,3 通用函数表达式的转换
转换成,或 – 与” 表达式的步骤分为两步：
第一步：将函数表达式转换成一般,或 – 与” 表达式。
第二步：使用 A = ( A + B ) ( A + ) 将表达式中所有非最大项的
“或项”扩展成最大项。
例：
B
CBCAABCBCAABCBAF ??????),,(
CBCABA ???? ))((
]))([(]))([( CCABABCABA ????????
))()()(( CCACBABCABBA ?????????
))()(( CBACBABA ??????
))()()(( CBACBACBACBA ?????????
))()(( CBACBACBA ???????
????? ),,(),,( 763MMMMCBAF 763
假定在函数 F 的真值表中有 k 组变量取值使 F 值为 0，则函数 F 的
最大项表达式由这 k 组变量对应的 k个最大项组成。
例：将 变换成最大项表达式
解：列出真值表，有五项 F 为 0，根据真值表可写出最大项表达式。
2,3,3 通用函数表达式的转换 真值表
2,真值表转换法
假定在函数 F 的真值表中有 k 组变量取值
使 F 值为 1，则函数 F 的最小项表达式由这 k
组变量对应的 k 个最小项组成。
例：将 变换成最小
项表达式
解：列出真值表，有四项 F 为 1，根据真
值表可写出最小项表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
?????? )6,5,4,2(),,( mCABCBACBACBACBAF
CBACACBAF ??),,(
CBBACBAF ??),,(
2,3,3 通用函数表达式的转换
2,4 逻辑函数化简
化简目的：降低系统成本、减少复杂度、
提高可靠性。
2,4,1 代数化简法
1．,与 - 或” 表达式化简
最简,与 - 或” 表达式应满足两个条件：
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
表达式中的, 与, 项个数最少，每个, 与, 项中变量个数最少。
⑴ 并项法
利用定理 7 中,将两个,与” 项合并成一个,与”
项。合并后可消去一个变量。如：
ABAAB ??
BACBABCA ??
))()()()((),,( CBACBACBACBACBACBAF ???????????
?? ),,,,( 75210M
2,4,1 代数化简法
⑵ 吸收法
利用定理 3 中 A + AB = A，消去多余的项。如：
⑶ 消去法
利用定理 4 中,消去多余变量。
如：
⑷ 配项法
利用公理 4 和公理 5 中的 A ? 1 = A 及 A + = 1，选择某些,与”
项，并配上所缺的变量，再利用并项、吸收和消去等方法进行化简。
例 1：
A
BABAA ???
CABCABABCBAABCBCAAB ?????????? )(
)()( CCBACBAACBBABACBCBBA ???????????
CACBBA ??? BCACBACBACBACBBA ??????
BACBABA ??
2,4,1 代数化简法
2．,或 –与” 表达式的化简
最简,或 – 与” 表达式应满足两个条件：
表达式中的, 或, 项个数最少，每个, 或, 项中变量个数最少。
例：
2,4,2 卡诺图化简法
1,卡诺图的构成
卡诺图是一种真值表图形化的平面方格图,n变量卡诺图有 2n 个方
格，方格坐标值给出变量的 2n 种取值，每个方格与最小项对应。
方格上方和左方的坐标值表示该方格所表示最小项的下标，即该项
对应的二进制值。如 4 变量卡诺图中 m5 的列坐标为 01，行坐标也为 01，
则坐标 0101 对应的数值即为最小项的下标 5。
))()()(( DCBCBBABAF ??????
)())()(( CBACBBABA ??????
A
B
A
0 1
2,4,2 卡诺图化简法
卡诺图的排列方案应保证能清楚地反映最小项的相邻关系。 图中每
列坐标仅有一位不同，每行坐标也仅有一位不同 。在 n 个变量的卡诺图
中，每个变量有 n 个相邻最小项。
m0 m2
m1 m3
A
B
0
B 1
m0 m2 m6 m4
m1 m3 m7 m5
AB
C
0
C 1
m0 m4 m12 m8
m1 m5 m13 m9
m3 m7 m15 m1
1
m2 m6 m14 m1
0
AB
CD
00
01
11
10A
B
C
00 01 11 10
00 01 11 10
D
二变量卡诺图
三变量卡诺图
四变量卡诺图
2,4,2 卡诺图化简法
例,4 变量卡诺图中 m5 有 4 个相邻最小项 m1, m4,m7, m13，这
4 个最小项对应的小方格与 m5 小方格在几何位置上相邻，称为 几何相
邻 。 m0 的 4 个相邻最小项只有 m1, m4 几何相邻,m8,m2 在相对位置
上相邻，称为 相对相邻 。 5 变量卡诺图中 m3 除了和 m1, m2,m7 几何
相邻、和 m11 相对相邻 之外，还与 m19 相邻。将左边矩形与右边矩形重
叠，上下重叠的最小项也相邻，称为 重叠相邻 。
B
C
m0 m4 m1
2
m8
m1 m5 m1
3
m9
m3 m7 m1
5
m11
m2 m6 m1
4
m1
0
ABC
DE
00
01
11
10D
000 001 011 010
B
C
m1
6
m2
0
m28 m2
4
m1
7
m2
1
m29 m2
5
m1
9
m2
3
m31 m2
7
m1
8
m2
2
m30 m2
6
AB
CD 100 101 111 110
E
A
五变量卡诺图
2,4,2 卡诺图化简法
2,逻辑函数在卡诺图上的表示
当逻辑函数为标准,与 –或” 表达式时，在卡诺图上与最小项对
应的方格中填入 1，其余方格填入 0，即可得该函数的卡诺图 。
例,F（ A,B,C,D） =
在 4 变量卡诺图上找出和,与项” AB,CD,对应的方格填
入 1。由 AB,与项” 可知第三列均为 1，由 CD,与项” 可知第三行均
为 1，由 ‘,与项” 可知第一列第三、第四方格（ ABC = 001）均
为 1。
由填好的卡诺图可得,
3,卡诺图上最小项的合并规律
CBACDAB ??
CBA
CBA
?? )15,14,13,12,11,7,3,2(),,,( mDCBAF 0 0 1 0
0 0 1 0
1 1 1 1
1 0 1 0
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
卡诺图上两个或若干个相邻项可以合
并成一个或多个,与” 项。几何相邻、相
对相邻和重叠相邻均可合并。由一个简单
与项代替的若干最小项的“圈” 称为“卡
诺圈”。
A
B 0 1
0
1
2,4,2 卡诺图化简法
例 1：两个变量卡诺图中 2 个相邻最小项合并。
,该函数式对应的卡诺图为图 (a)，由图可见，
m1,m3 为相邻最小项，可合并,。
，该函数式对应的卡诺图为图 (b),m0,m1 为相邻最
小项，可合并,。
，该函数式对应的卡诺图为图 (c),m0,m1 为相
邻最小项,m0,m2 也为相邻最小项，均可合并，
(a) (b) (c)
两个相邻最小项合并后变成一个最小项，可减少一个变量 。
0 0
1 1
ABBABAF ??),(
BABBA ??
BABAF ??
A
B 0 1
0
1
1 0
1 0
ABABA ??
A
B 0 1
0
1
1 1
1 0
BABABAF ???
BABABABA ????
2,4,2 卡诺图化简法
例 2：三个变量卡诺图中 4 个相邻最小项合并。
例 3：四个变量卡诺图中 4 个相邻最小项合并。
⑴
1 0 0 1
1 0 0 1
AB
C
0
1
00 01 11 10
BCBACBACBACBA ???? BA B CCABBCACBA ????
0 1 1 0
0 1 1 0
AB
C
0
1
00 01 11 10
?? )15,13,10,8,7,5,2,0(),,,( mDCBAF
函数式对应的卡诺图中，最小项 m0, m2、
m8,m10 相邻，经合并后为,最小项 m5、
m7,m13,m15 相邻，经合并后为 BD。
函数式经化简后得：
DB
BDDBDCBAF ??),,,(
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
AB
CD
00
01
11
10
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
00 01 11 10
?? )15,14,13,12,7,6,5,4(),,,( mDCBAF
⑵
函数式对应的卡诺图中，最小项 m1,m3、
m9,m11相邻，经合并后为,最小项 m4、
m12,m6,m14 相邻，经合并后为 。则函
数式经化简后得：
⑶
函数式对应的卡诺图中，最小项 m4,m5、
m7,m6,m12,m13,m15,m14 相邻，经合并
后为 B。则函数式经化简后得：
?? )14,12,11,9,6,4,3,1(),,,( mDCBAF
DB
DB
DBDBDCBAF ??),,,(
BDCBAF ?),,,(
AB
CD
00
01
11
10
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
00 01 11 10
蕴涵项,,与 - 或, 表达式中的每一个, 与, 项 称为函数的蕴
涵项。
质蕴涵项,若函数的一个蕴涵项不是该函数中其他蕴涵项的子集，
则此蕴涵项称为质蕴涵项，简称 质项 。
必要质蕴涵项,若一个质蕴涵项含不被其他质蕴涵项所含的最小项，
称为必要质蕴涵项，简称 必要质项 。在图中,若某个卡诺圈包含不被其
他卡诺圈包含的 1 个方格，则卡诺圈所对应的,与”项为必要蕴涵项 。
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
⑷
函数式对应的卡诺图中，最小项 m0,m1、
m3,m2,m8,m9,m11,m10 相邻，经合并
后为得 。则函数式经化简后得：
4,卡诺图化简逻辑函数的步骤
B
BDCBAF ?),,,(
?? )11,10,9,8,3,2,1,0(),,,( mDCBAF
2,4,2 卡诺图化简法
⑴ 作出函数卡诺图，函数对应的最小项填 1。
⑵ 圈出函数全部质蕴涵项
⑶ 从全部蕴涵项中找出必要蕴涵项
⑷ 若所有必要蕴涵项不能覆盖 所有为 1 的方格,则从剩余质蕴涵
项中找出最简的所需蕴涵项，和必要蕴涵项构成函数最小覆盖。
例 4,简化逻辑函数
按以上步骤用图形简化 。 图上带有, *” 号的最小项只被一个卡
诺圈包围，称为必要最小项。该题所有质蕴涵项均为必要质蕴涵项。
?? )15,13,11,10,7,6,5,3,0(),,,( mDCBAF
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
1 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
1* 0 0 0
0 1* 1* 0
1* 1 1 1
0 1* 0 1*
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
图中带, *, 号的最小项为必要最小项。 5 个必要蕴涵项已将函数
的全部最小项覆盖，故可得函数 F 的最简表达式：
例 5,简化逻辑函数
选取必要质项后，尚有 m10 未被覆盖。为覆盖 m10，可选取质蕴
涵项,这两个质蕴涵项都包含三个变量，可任选一个。若
选第一个，则 F 的最简表达式为,。
CDBDCBABCADCBADCBAF ?????),,,(
AB
CD
00
01
11
10
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
0 0 1* 1
0 0 0 0
1* 1* 0 0
1 1* 0 1
00 01 11 10
DCBDBA 或
DBADCACADCBAF ???),,,(
?? )12,10,8,7,6,3,2(),,,( mDCBAF
2,4,3 列表化简法
用列表的方式找出 函数 F 的全部质蕴涵项、必要质蕴涵项以及最简
质蕴涵项，求得最简表达式 。具体步骤为：
⑴ 用二进制代码表示每一个最小项
⑵ 通过若干次相邻最小项的合并，每次消去一个变量，直至找出
函数的全部质蕴涵项。
⑶ 找出函数的必要质蕴涵项
⑷ 找出函数的最小覆盖
例：化简逻辑函数 ?? ),,,,,,,,(),,,( 1514111098750mDCBAF
项号 A B C D F 项号 A B C D F
0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1
7 0 1 1 1 1 14 1 1 1 0 1
8 1 0 0 0 1 15 1 1 1 1 1
9 1 0 0 1 1
2,4,3 列表化简法
相邻最小项的二进制代码中 1 的个数只能相差为 1，将表中的最小
项按二进制代码中 1 的个数进行分组，共分为 5 组。
对相邻两组代码逐个进行比较，找出只有一个变量不同的最小项合
并，消去一个变量，组成 n-1个变量的,与” 项列于表的第二栏中。
（ Ⅰ ）最小项 （ Ⅱ ） 3 变量,与”项 （ Ⅲ ） 2 变量,与”项
组号 mi ABCD Pi 组号 ABCD Pi 组号 ABCD Pi
0 0 0000 √ 0 0,8 -000 P1 0 8,9,10,11 10 - - P4
1 8 1000 √ 1 8,9 100- √ 1 10,11,14,15 1 - 1 - P5
2
5 0101 √ 8,10 10-0 √
9 1001 √
2
5,7 01-1 P2
10 1010 √ 9,11 10-1 √
3
7 0111 √ 10,11 101- √
11 1011 √ 10,14 1-10 √
14 1110 √
3
7,15 -111 P3
4 15 1111 √ 11,15 1-11 √
14,15 111- √
?mi ?mi
2,4,3 列表化简法
在第一栏中，对合并的最小项做标记（打勾）。
0 和 8 相邻，合并后为 –000,8 与 9 相邻，合并后为 100 -,8 与
10 相邻，合并后为 10 - 0 … 。在 第二栏的 中记录合并情况，生成
并记录 n - 1 个变量的,与” 项 。再按同样的方法在第三栏中生成 并记
录 n - 2个变量的,与” 项。 依此类推,直至无法再合并为止。
不能合并的项为质蕴涵项，用 pi 表示，第二栏中的第一、第四和
第八项无法合并，用 p1,p2,p3表示，第三栏剩余的两项无法合并，用
p4,p5 表示。
合并结束后，可得全部质蕴涵项：
p1 =
p2 =
p3 =
p4 =
p5 =
?mi
? ),( 80m
? ),( 75m
? ),( 157m
? ),,,( 111098m
? ),,,( 15141110m
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1
00 01 11 10
2,4,3 列表化简法
经过前两步处理后获得质蕴涵项，下一步求出必要质蕴涵项。
mi
pi
0 5 7 8 9 10 11 14 15
p1 * ×
p2 * ×
p3 × ×
p4 * × × ×
P5 * × × ×
覆盖 √ √ √ √ √ √ √ √ √
?
?
?
?
作出必要质蕴涵项产生表，在
表的左端标上质蕴涵项 pi、右端标
上所有最小项。对质蕴涵项可覆盖
的最小项用, ×, 标记。
只有一个, ×, 号的列的相应
最小项为必要最小项，用,,
标记。带,, 号的行对应的 质
蕴涵项为必要质蕴涵项，在这些必
要质
?
?
蕴涵项的右上角加, *, 标记。
第四步找出函数的最小覆盖。对每一个必要质蕴涵项覆盖的最小项
进行标注（打勾）。
必要质蕴涵项产生表
2,4,3 列表化简法
该例中,4 个必要质蕴涵项已覆盖了所有最小项，可直接得出函数
最终化简的结果为：
若必要质蕴涵项不能覆盖所有最小项时，则从剩余质蕴涵项中找出
所需质蕴涵项，原则是找出的质蕴涵项必须包含剩余最小项 。
ACBABDADCBDCBAF pppp 5421 ????????),,,(
用数学方法表示命题陈述的逻辑结构，将形式逻辑归结为代数演算，
称为,布尔代数”。将布尔代数用于集成电路逻辑门，称为逻辑代数。
2,1 逻辑代数的基本概念
逻辑 代数由逻辑变量集 K，常量 0 和 1，以及,或”、“与”、
“非” 三种基本运算所构成。该系统满足以下公理，对应不同的律。
交换律,,
结合律,,
分配律,
0–1律,
互补 律,
ABBA ??? ABBA ???
)()( CBACBA ????? )()( CBACBA ?????
)()()( CABACBA ??????
A1A00A11AA0A ????????,，，
0AA1AA ????,
CABACBA ?????? )(
2,1,1 逻辑变量和基本逻辑运算
逻辑变量取值 0 或 1，用开关的通与断、电压的高与低、晶体管的
导通与截止来表征。可通过逻辑变量和,或”、“与”、“非” 组合
的逻辑算式描述数字系统。
1．,或” 运算
决定某一事件 发生的条件中有一个以上条件成立，事件便发生。这
种因果关系称为,或”。记做,F = A + B 或 F = A∨ B。
运算法则为,0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,见, 1” 为
,1”。实现该运算的门电路称为,或”门。
2．,与” 运算
决定某一事件 发生的条件同时成立，事件便发生。这种因果关系称
为,与”。记做,F = A ? B 或 F = A∧ B。
运算法则为,0 ? 0 = 0,0 ? 1 = 0,1 ? 0 = 0,1 ? 1 = 1,见, 0” 为
,0”。实现该运算的门电路称为,与”门。
2,1,1 逻辑变量和基本逻辑运算
3．,非” 运算
某一事件的发生取决于条件的否定,这种因果关系称为,非”。记
做 F =, 运算法则为,A 为 0 则 F 为 1,A 为 1 则 F 为 0。
+U A B +U
+U
F A F
B F
“或” 示意图,与” 示意图,非” 示意
图
2,1,2 逻辑函数的表示法
1,逻辑表达式
由变量通过,或”、“与”、“非” 三种运算符进行组合,三种
运算符的优先级排序为,非”,“与”,“或” 。
A
2,1,2 逻辑函数的表示法
“与” 运算符可省略，如,
“非” 运算、先,与” 后,或” 运算可省略
括弧，如：, 。
2,真值表
用表格的形式描述逻辑函数的方法称为真
值表。每个逻辑变量有两种取值,n 个变量有
2n 种取值组合。真值表左边一栏为变量，右边
一栏为逻辑函数值。
例,对应的真值表为：
3,卡诺图
将 n 个变量的 2n 种取值组合按某种顺序填
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
真值表
BA?
ABBA ??
CDABDCBA ????? )()(
CABAF ??
入小方格构成的平面图，构成一种描述逻辑函数的图形。称为卡诺图。
2,2 逻辑函数的基本定理和规则
2,2,1 基本定理
定理 1,0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1
0 ? 0 = 0,0 ? 1 = 0,1 ? 0 = 0,1 ? 1 = 1
定理 2,A + A = A,A ? A = A
定理 3,A + A ? B = A,A ?（ A + B） = A
定理 4：
定理 5：
定理 6：,
定理 7：
定理 8：
AA?
ABABAABABA ???????? ）（）、（
CABACBCABA ?????????
）（）（）（）（）（ CABACBCABA ?????????
BABAABABAA ???????? ）（，
BABA ??? BABA ???
2,2,2 重要规则
1,代入规则
将逻辑式中所有出现同一变量的地方用某一逻辑函数代替，等式仍
然成立。
例, A ( B + C ) = AB + AC，将所有出现 C 的地方都用 ( C + D ) 代
替，则等式仍然成立。 A ( B + ( C + D ) ) = AB + A ( C + D )。
2,反演规则
将函数式中的, ?, 变成, +,，,+, 变成, ?,,,0” 变成
,1”，,1” 变成, 0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保
持运算次序不变，得到的新函数为原函数 F 的反函数,这一规则称为
反演规则。
例：,则
3,对偶规则
将函数式中的, ?, 变成, +,，,+, 变成, ?,,,0” 变成
,1”，,1” 变成, 0”，并保持运算次序不变，得到的新的逻辑表达式
为原函数式的对偶式，记做 F’。 F 与 F’ 互为对偶式。
F
DCBAF ?? ）（）（ DCBAF ????
2,2,2 重要规则
例：
根据对偶规则，当两个逻辑表达式相等时，其对偶式也相等。如：
，则
2,2,3 复合逻辑
1,与非逻辑
由与、非两种逻辑复合而 成，实现与非逻辑的门电路称为与非门。
逻辑表达式为,。仅当输入全为 1 时 F 输出为 0，输入
有一个为 0 时 F 输出为 1。用与非门可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非
))()(()( DECCABAFEDCCAABF ???????? ’，
CABCBCAAB ???? CBACBCABA ?????? )())()((
?CBAF ???
))(()( 1CBBAF0CBBAF ??????? ’，
1ABABBA ????
1B1ABABA ???????
1AA ??
2,2,3 复合逻辑
2,或非逻辑
由或、非两种逻辑复合而 成，实现或非逻辑的门电路称为或非门。
逻辑表达式为,。输入全为 0 时 F 输出为 1，输入有一
个为 1 时 F 输出为 0。用或非门也可以实现与、或、非三种操作。
与
或
非
3,与或非逻辑
由与、或、非三种逻辑复合而 成，实现与或非逻辑的门电路称为与
或非门。逻辑表达式为,。仅当每一个,与项” 均
为 0 时 F 输出为 1，否则 F 输出为 0。
可以将任一个逻辑表达式转换成与或非表达式。
例：
???? CDABF
CBCACBACBACBAF ????????? )(
?CBAF ???
0B0ABABA ???????
0BABABA ??????
0AA ??
2,2,3 复合逻辑
4,异或逻辑
一种 双变量逻辑关系。函数表达式为,。输入
相同时 F 输出为 0，输入不同时 F 输出为 1。
多个变量做异或时，若变量中 1 的个数为奇数，则异或结果为 1，
若变量中 1 的个数为偶数，则异或结果为 0。因此常用于奇偶校验 。
5,同或逻辑
一种 双变量逻辑关系。函数表达式为,F = A⊙ B 。输入
相同时 F 输出为 1，输入不同时 F 输出为 0。
同或和异或的关系即互为相反又互为对偶。
A⊙ B
A⊙ B
????????? BAABBABABABABA ))((
????????? ABBABABABABABA ))(()()( ’’
BABABAF ????
BAAB ??
1AA0AAA1AA0A ????????,、、
2,3 逻辑函数表达式的形式与变换
2,3,1 逻辑函数表达式的基本形式
1．,与 –或” 表达式
由若干,与项” 进行,或” 运算构成的表达式。每个,与项”
可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相
“与” 组成。
如：
“与项” 又被称为,积项”，“与 –或” 表达式称为,积之和”
表达式。
2．,或 –与” 表达式
由若干,或项” 进行,与” 运算构成的表达式。每个,或项”
可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相
“或” 组成。
如：
CCBABACBAF ???）,,(
DCBACBBADCBAF ?????? ))()((),,,(
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
1,最小项和最大项
⑴ 最小项的定义和性质
定义,一个 n 个变量的函数的,与项” 包含全部 n 个变量，每个
变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则该,与项” 被称为最小
项。
n个变量可构成 2n个最小项，如三个变量可构成,, … 。
用 mi 表示最小项，将最小项中原变量用 1 表示，反变量用 0 表示，
得到的二进制数对应的十进制数值即下标 i 的值。例如三变量函数中，
m3 表示, m6 表示 。
性质 1：任意一个最小项，其变量仅有一种取值使这个最小项为 1。
性质 2,相同变量构成的两个最小项相,与” 为 0。
性质 3,n 个变量的全部最小项相,或” 为 1。即 = 1
性质 4,n 个变量构成的最小项有 n 个相邻最小项。相邻最小项是
指除一个变量互为相反外，其余部分相同。如 与 。
???10i i2n m
CBA CBA
CBA CBA
BCA CAB
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
⑵ 最大项的定义和性质
一个 n 个变量的函数的,或项” 包含全部 n 个变量，每个变量都
以原变量或反变量的形式出现一次，则该,或项” 被称为最大项。
n 个变量可构成 2n 个最大项，三变量可构成
‘ … 等。
用 Mi 表示最大项，将最大项中原变量用 0 表示，反变量用 1 表示，
得到的二进制数对应的十进制数值即下标 i 的值。例如三变量函数中，
M4 表示, M6 表示 。
性质 1：任意一个最大项，其变量仅有一种取值使这个最大项为 0。
性质 2,相同变量构成的两个最大项相,或” 为 1。
性质 3,n 个变量的全部最大项相,与” 为 0。即 = 0
性质 4,n 个变量构成的最大项有 n 个相邻最大项。相邻最大项是
指除一个变量互为相反外，其余部分相同。如 。
??? 12n0i iM
CBACBA ????,
BCA CBA
CBACBA ???? 与
2,3,2 逻辑函数表达式的标准形式
2,逻辑函数表达式的标准形式
⑴ 标准,与 – 或” 表达式
由若干最小项相,或” 构成的逻辑表达式称为标准,与 –或” 表
达式，或最小项表达式。
例：
= m1 + m2 + m4 + m7 =
⑵ 标准,或 –与” 表达式
由若干最大项相,与” 构成的逻辑表达式称为标准,或 –与” 表
达式，或最大项表达式。
例：
= M0 + M5 + M7 =
? )7,4,2,1(m
? )7,5,0(M
A B CCBACBACBACBAF ????),,(
))()((),,( CBACBACBACBAF ???????
2,3,3 通用函数表达式的转换
目的：将任意逻辑函数表达式转换为标准,与 – 或” 表达式或标
准,或 –与” 表达式。
1,代数转换法
转换成,与 – 或” 表达式的步骤分为两步：
第一步：将函数表达式转换成一般,与 – 或” 表达式。
第二步：使用 X = X ?（ Y + ）将表达式中所有非最小项的,与项”
扩展成最小项。
例：
F ( A,B,C ) = m0 + m1 + m3 + m6 + m7 =
Y
? )7,6,3,1,0(m
ABCBBAABCBBACBAF ?????? )(),,(
ABBCCABAABCBBA ???????? ))((
)()()()( CCABAABCBBCACCBA ????????
A B CCABA B CBCABCACBACBACBA ????????
A B CCABBCACBACBA ?????
2,3,3 通用函数表达式的转换
转换成,或 – 与” 表达式的步骤分为两步：
第一步：将函数表达式转换成一般,或 – 与” 表达式。
第二步：使用 A = ( A + B ) ( A + ) 将表达式中所有非最大项的
“或项”扩展成最大项。
例：
B
CBCAABCBCAABCBAF ??????),,(
CBCABA ???? ))((
]))([(]))([( CCABABCABA ????????
))()()(( CCACBABCABBA ?????????
))()(( CBACBABA ??????
))()()(( CBACBACBACBA ?????????
))()(( CBACBACBA ???????
????? ),,(),,( 763MMMMCBAF 763
假定在函数 F 的真值表中有 k 组变量取值使 F 值为 0，则函数 F 的
最大项表达式由这 k 组变量对应的 k个最大项组成。
例：将 变换成最大项表达式
解：列出真值表，有五项 F 为 0，根据真值表可写出最大项表达式。
2,3,3 通用函数表达式的转换 真值表
2,真值表转换法
假定在函数 F 的真值表中有 k 组变量取值
使 F 值为 1，则函数 F 的最小项表达式由这 k
组变量对应的 k 个最小项组成。
例：将 变换成最小
项表达式
解：列出真值表，有四项 F 为 1，根据真
值表可写出最小项表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
?????? )6,5,4,2(),,( mCABCBACBACBACBAF
CBACACBAF ??),,(
CBBACBAF ??),,(
2,3,3 通用函数表达式的转换
2,4 逻辑函数化简
化简目的：降低系统成本、减少复杂度、
提高可靠性。
2,4,1 代数化简法
1．,与 - 或” 表达式化简
最简,与 - 或” 表达式应满足两个条件：
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
表达式中的, 与, 项个数最少，每个, 与, 项中变量个数最少。
⑴ 并项法
利用定理 7 中,将两个,与” 项合并成一个,与”
项。合并后可消去一个变量。如：
ABAAB ??
BACBABCA ??
))()()()((),,( CBACBACBACBACBACBAF ???????????
?? ),,,,( 75210M
2,4,1 代数化简法
⑵ 吸收法
利用定理 3 中 A + AB = A，消去多余的项。如：
⑶ 消去法
利用定理 4 中,消去多余变量。
如：
⑷ 配项法
利用公理 4 和公理 5 中的 A ? 1 = A 及 A + = 1，选择某些,与”
项，并配上所缺的变量，再利用并项、吸收和消去等方法进行化简。
例 1：
A
BABAA ???
CABCABABCBAABCBCAAB ?????????? )(
)()( CCBACBAACBBABACBCBBA ???????????
CACBBA ??? BCACBACBACBACBBA ??????
BACBABA ??
2,4,1 代数化简法
2．,或 –与” 表达式的化简
最简,或 – 与” 表达式应满足两个条件：
表达式中的, 或, 项个数最少，每个, 或, 项中变量个数最少。
例：
2,4,2 卡诺图化简法
1,卡诺图的构成
卡诺图是一种真值表图形化的平面方格图,n变量卡诺图有 2n 个方
格，方格坐标值给出变量的 2n 种取值，每个方格与最小项对应。
方格上方和左方的坐标值表示该方格所表示最小项的下标，即该项
对应的二进制值。如 4 变量卡诺图中 m5 的列坐标为 01，行坐标也为 01，
则坐标 0101 对应的数值即为最小项的下标 5。
))()()(( DCBCBBABAF ??????
)())()(( CBACBBABA ??????
A
B
A
0 1
2,4,2 卡诺图化简法
卡诺图的排列方案应保证能清楚地反映最小项的相邻关系。 图中每
列坐标仅有一位不同，每行坐标也仅有一位不同 。在 n 个变量的卡诺图
中，每个变量有 n 个相邻最小项。
m0 m2
m1 m3
A
B
0
B 1
m0 m2 m6 m4
m1 m3 m7 m5
AB
C
0
C 1
m0 m4 m12 m8
m1 m5 m13 m9
m3 m7 m15 m1
1
m2 m6 m14 m1
0
AB
CD
00
01
11
10A
B
C
00 01 11 10
00 01 11 10
D
二变量卡诺图
三变量卡诺图
四变量卡诺图
2,4,2 卡诺图化简法
例,4 变量卡诺图中 m5 有 4 个相邻最小项 m1, m4,m7, m13，这
4 个最小项对应的小方格与 m5 小方格在几何位置上相邻，称为 几何相
邻 。 m0 的 4 个相邻最小项只有 m1, m4 几何相邻,m8,m2 在相对位置
上相邻，称为 相对相邻 。 5 变量卡诺图中 m3 除了和 m1, m2,m7 几何
相邻、和 m11 相对相邻 之外，还与 m19 相邻。将左边矩形与右边矩形重
叠，上下重叠的最小项也相邻，称为 重叠相邻 。
B
C
m0 m4 m1
2
m8
m1 m5 m1
3
m9
m3 m7 m1
5
m11
m2 m6 m1
4
m1
0
ABC
DE
00
01
11
10D
000 001 011 010
B
C
m1
6
m2
0
m28 m2
4
m1
7
m2
1
m29 m2
5
m1
9
m2
3
m31 m2
7
m1
8
m2
2
m30 m2
6
AB
CD 100 101 111 110
E
A
五变量卡诺图
2,4,2 卡诺图化简法
2,逻辑函数在卡诺图上的表示
当逻辑函数为标准,与 –或” 表达式时，在卡诺图上与最小项对
应的方格中填入 1，其余方格填入 0，即可得该函数的卡诺图 。
例,F（ A,B,C,D） =
在 4 变量卡诺图上找出和,与项” AB,CD,对应的方格填
入 1。由 AB,与项” 可知第三列均为 1，由 CD,与项” 可知第三行均
为 1，由 ‘,与项” 可知第一列第三、第四方格（ ABC = 001）均
为 1。
由填好的卡诺图可得,
3,卡诺图上最小项的合并规律
CBACDAB ??
CBA
CBA
?? )15,14,13,12,11,7,3,2(),,,( mDCBAF 0 0 1 0
0 0 1 0
1 1 1 1
1 0 1 0
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
卡诺图上两个或若干个相邻项可以合
并成一个或多个,与” 项。几何相邻、相
对相邻和重叠相邻均可合并。由一个简单
与项代替的若干最小项的“圈” 称为“卡
诺圈”。
A
B 0 1
0
1
2,4,2 卡诺图化简法
例 1：两个变量卡诺图中 2 个相邻最小项合并。
,该函数式对应的卡诺图为图 (a)，由图可见，
m1,m3 为相邻最小项，可合并,。
，该函数式对应的卡诺图为图 (b),m0,m1 为相邻最
小项，可合并,。
，该函数式对应的卡诺图为图 (c),m0,m1 为相
邻最小项,m0,m2 也为相邻最小项，均可合并，
(a) (b) (c)
两个相邻最小项合并后变成一个最小项，可减少一个变量 。
0 0
1 1
ABBABAF ??),(
BABBA ??
BABAF ??
A
B 0 1
0
1
1 0
1 0
ABABA ??
A
B 0 1
0
1
1 1
1 0
BABABAF ???
BABABABA ????
2,4,2 卡诺图化简法
例 2：三个变量卡诺图中 4 个相邻最小项合并。
例 3：四个变量卡诺图中 4 个相邻最小项合并。
⑴
1 0 0 1
1 0 0 1
AB
C
0
1
00 01 11 10
BCBACBACBACBA ???? BA B CCABBCACBA ????
0 1 1 0
0 1 1 0
AB
C
0
1
00 01 11 10
?? )15,13,10,8,7,5,2,0(),,,( mDCBAF
函数式对应的卡诺图中，最小项 m0, m2、
m8,m10 相邻，经合并后为,最小项 m5、
m7,m13,m15 相邻，经合并后为 BD。
函数式经化简后得：
DB
BDDBDCBAF ??),,,(
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
AB
CD
00
01
11
10
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
00 01 11 10
?? )15,14,13,12,7,6,5,4(),,,( mDCBAF
⑵
函数式对应的卡诺图中，最小项 m1,m3、
m9,m11相邻，经合并后为,最小项 m4、
m12,m6,m14 相邻，经合并后为 。则函
数式经化简后得：
⑶
函数式对应的卡诺图中，最小项 m4,m5、
m7,m6,m12,m13,m15,m14 相邻，经合并
后为 B。则函数式经化简后得：
?? )14,12,11,9,6,4,3,1(),,,( mDCBAF
DB
DB
DBDBDCBAF ??),,,(
BDCBAF ?),,,(
AB
CD
00
01
11
10
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
00 01 11 10
蕴涵项,,与 - 或, 表达式中的每一个, 与, 项 称为函数的蕴
涵项。
质蕴涵项,若函数的一个蕴涵项不是该函数中其他蕴涵项的子集，
则此蕴涵项称为质蕴涵项，简称 质项 。
必要质蕴涵项,若一个质蕴涵项含不被其他质蕴涵项所含的最小项，
称为必要质蕴涵项，简称 必要质项 。在图中,若某个卡诺圈包含不被其
他卡诺圈包含的 1 个方格，则卡诺圈所对应的,与”项为必要蕴涵项 。
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
⑷
函数式对应的卡诺图中，最小项 m0,m1、
m3,m2,m8,m9,m11,m10 相邻，经合并
后为得 。则函数式经化简后得：
4,卡诺图化简逻辑函数的步骤
B
BDCBAF ?),,,(
?? )11,10,9,8,3,2,1,0(),,,( mDCBAF
2,4,2 卡诺图化简法
⑴ 作出函数卡诺图，函数对应的最小项填 1。
⑵ 圈出函数全部质蕴涵项
⑶ 从全部蕴涵项中找出必要蕴涵项
⑷ 若所有必要蕴涵项不能覆盖 所有为 1 的方格,则从剩余质蕴涵
项中找出最简的所需蕴涵项，和必要蕴涵项构成函数最小覆盖。
例 4,简化逻辑函数
按以上步骤用图形简化 。 图上带有, *” 号的最小项只被一个卡
诺圈包围，称为必要最小项。该题所有质蕴涵项均为必要质蕴涵项。
?? )15,13,11,10,7,6,5,3,0(),,,( mDCBAF
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
1 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
1* 0 0 0
0 1* 1* 0
1* 1 1 1
0 1* 0 1*
00 01 11 10
2,4,2 卡诺图化简法
图中带, *, 号的最小项为必要最小项。 5 个必要蕴涵项已将函数
的全部最小项覆盖，故可得函数 F 的最简表达式：
例 5,简化逻辑函数
选取必要质项后，尚有 m10 未被覆盖。为覆盖 m10，可选取质蕴
涵项,这两个质蕴涵项都包含三个变量，可任选一个。若
选第一个，则 F 的最简表达式为,。
CDBDCBABCADCBADCBAF ?????),,,(
AB
CD
00
01
11
10
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
00 01 11 10 ABCD
00
01
11
10
0 0 1* 1
0 0 0 0
1* 1* 0 0
1 1* 0 1
00 01 11 10
DCBDBA 或
DBADCACADCBAF ???),,,(
?? )12,10,8,7,6,3,2(),,,( mDCBAF
2,4,3 列表化简法
用列表的方式找出 函数 F 的全部质蕴涵项、必要质蕴涵项以及最简
质蕴涵项，求得最简表达式 。具体步骤为：
⑴ 用二进制代码表示每一个最小项
⑵ 通过若干次相邻最小项的合并，每次消去一个变量，直至找出
函数的全部质蕴涵项。
⑶ 找出函数的必要质蕴涵项
⑷ 找出函数的最小覆盖
例：化简逻辑函数 ?? ),,,,,,,,(),,,( 1514111098750mDCBAF
项号 A B C D F 项号 A B C D F
0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1
5 0 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1
7 0 1 1 1 1 14 1 1 1 0 1
8 1 0 0 0 1 15 1 1 1 1 1
9 1 0 0 1 1
2,4,3 列表化简法
相邻最小项的二进制代码中 1 的个数只能相差为 1，将表中的最小
项按二进制代码中 1 的个数进行分组，共分为 5 组。
对相邻两组代码逐个进行比较，找出只有一个变量不同的最小项合
并，消去一个变量，组成 n-1个变量的,与” 项列于表的第二栏中。
（ Ⅰ ）最小项 （ Ⅱ ） 3 变量,与”项 （ Ⅲ ） 2 变量,与”项
组号 mi ABCD Pi 组号 ABCD Pi 组号 ABCD Pi
0 0 0000 √ 0 0,8 -000 P1 0 8,9,10,11 10 - - P4
1 8 1000 √ 1 8,9 100- √ 1 10,11,14,15 1 - 1 - P5
2
5 0101 √ 8,10 10-0 √
9 1001 √
2
5,7 01-1 P2
10 1010 √ 9,11 10-1 √
3
7 0111 √ 10,11 101- √
11 1011 √ 10,14 1-10 √
14 1110 √
3
7,15 -111 P3
4 15 1111 √ 11,15 1-11 √
14,15 111- √
?mi ?mi
2,4,3 列表化简法
在第一栏中，对合并的最小项做标记（打勾）。
0 和 8 相邻，合并后为 –000,8 与 9 相邻，合并后为 100 -,8 与
10 相邻，合并后为 10 - 0 … 。在 第二栏的 中记录合并情况，生成
并记录 n - 1 个变量的,与” 项 。再按同样的方法在第三栏中生成 并记
录 n - 2个变量的,与” 项。 依此类推,直至无法再合并为止。
不能合并的项为质蕴涵项，用 pi 表示，第二栏中的第一、第四和
第八项无法合并，用 p1,p2,p3表示，第三栏剩余的两项无法合并，用
p4,p5 表示。
合并结束后，可得全部质蕴涵项：
p1 =
p2 =
p3 =
p4 =
p5 =
?mi
? ),( 80m
? ),( 75m
? ),( 157m
? ),,,( 111098m
? ),,,( 15141110m
AB
CD
00
01
11
10
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1
00 01 11 10
2,4,3 列表化简法
经过前两步处理后获得质蕴涵项，下一步求出必要质蕴涵项。
mi
pi
0 5 7 8 9 10 11 14 15
p1 * ×
p2 * ×
p3 × ×
p4 * × × ×
P5 * × × ×
覆盖 √ √ √ √ √ √ √ √ √
?
?
?
?
作出必要质蕴涵项产生表，在
表的左端标上质蕴涵项 pi、右端标
上所有最小项。对质蕴涵项可覆盖
的最小项用, ×, 标记。
只有一个, ×, 号的列的相应
最小项为必要最小项，用,,
标记。带,, 号的行对应的 质
蕴涵项为必要质蕴涵项，在这些必
要质
?
?
蕴涵项的右上角加, *, 标记。
第四步找出函数的最小覆盖。对每一个必要质蕴涵项覆盖的最小项
进行标注（打勾）。
必要质蕴涵项产生表
2,4,3 列表化简法
该例中,4 个必要质蕴涵项已覆盖了所有最小项，可直接得出函数
最终化简的结果为：
若必要质蕴涵项不能覆盖所有最小项时，则从剩余质蕴涵项中找出
所需质蕴涵项，原则是找出的质蕴涵项必须包含剩余最小项 。
ACBABDADCBDCBAF pppp 5421 ????????),,,(
