2、电路的分析方法
考试点
? 1,掌握常用的电路等效变换的方法
? 2、熟练掌握节点电压方程的列写及求解
方法
? 3、了解回路电流的列写方法
? 4、熟练掌握叠加原理、戴维宁定理和诺
顿定理
2.1 电路的等效变换
对电路进行分析和计算时，有时可以把电
路中某一部分简化，即用一个较为简单的电路
替代原电路。
等效概念：
当电路中某一部分用其等效电路替代后，
未被替代部分的电压和电流均应保持不变。
对外等效：
用等效电路的方法求解电路时，电压和电
流保持不变的部分仅限于 等效电路以外 。
电阻的串联和并联
一、电阻的串联
1R 2R nR
1、特点：
电阻串联时，通过各电阻的电流是 同一个电
流 。
+
-
u
i
neq RRRi
uR ????????
21
?
?
?
n
k
kR
1
keq RR ?
2、等效电阻：
eqR
1R 2R nR
3、分压公式
u
RR
R
u
21
1
1 ??
u
RR
R
u
21
2
2 ??
4、应用
分压、限流。
u
i
2R
1R
+
_
+
_
1u
2u
+
_
二、电阻的并联
1R nR2R
1、特点
电阻并联时，各电阻上的电压是 同一个电压 。
+
-
u
i
neq RRRR
1111
21
???????
?
?
?
n
k kR1
1 keq RR ?
2、等效电阻
1R nR2R eq
R
两个电阻并联的等效电阻为
21
21
RR
RRR
eq ??
三个电阻并联的等效电阻为
321
321
RRR
RRRR
eq ???×
计算多个电阻并联的等效电阻时，利用公式
neq RRRR
1111
21
???????
3、分流公式：
i
+
_
u
1R 2R
1i 2i
i
RR
R
i
21
2
1 ??
i
RR
R
i
21
1
2 ??
4、应用
分流或调节电流。
5i
5i
求电流 i 和 i5
例
等效电阻
R = 1.5Ω
Ai 11 ?
1126 12 ??? ??5i -
A
3
1 ? -
5i
1i
1i
i = 2A
×
B3Ω
5Ω
2Ω
3Ω
A
3Ω
3Ω
RAB =？
电阻的 Y形联接与△形联接
的等效变换
一、问题的引入
求等效电阻
要求它们的外部性能相同，
即当它们对应端子间的电压相同时，
流入对应端子的电流也必须分别相等。
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
二、星形联接和三角形联接的等效变换的条件
星接（ Y接） 三角接（△接）
1R
2R
3R
1
23
星接（ Y接） 三角接（△接）
Y→ △
3
21
2112 R
RRRRR ???
2
13
3131 R
RRRRR ???
1
32
3223 R
RRRRR ???
1
23
12R31
R
23R
△ →Y
312312
1231
1 RRR
RRR
??
?
312312
3123
3 RRR
RRR
??
?
312312
2312
2 RRR
RRR
??
?
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
星接 三角接
形电阻之和
形相邻电阻的乘积
形电阻
Δ
Δ
Y ?
形不相邻电阻
形电阻两两乘积之和
形电阻
Y
Y
Δ ?
特别若星形电路的 3 个电阻相等
YRRRR ??? 321
则等效的三角形电路的电阻也相等
YRRRRR 3312312 ?????
?? RR Y 3
1,则反之
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
星接 三角接
D
B3Ω
5Ω
2Ω
3Ω
A
3Ω
3Ω
C
E B3Ω
5Ω
2Ω
A
D
E1Ω
1Ω
1Ω
B
5Ω
2Ω
CA
D
E
3Ω
R=3+1+(1+2)∥ (1+5)
=6Ω
×
电压源、电流源的串联和并联
一、电压源串联
+ -
su
+ - + - + -
1su snu2su
snsss uuuu ??????? 21 ?
?
?
n
k
sku
1
二、电流源并联
si
sni
2si1si
snsss iiii ??????? 21 ?
?
?
n
k
ski
1
三、电压源的并联
只有电压相等的电压源才允许并联。
四、电流源的串联
+
-
+
-5V 3V
i
??i
只有电压相等的电压源才允许并联。
2A 4A
只有电流相等的电流源才允许串联
五、电源与支路的串联和并联
+
- su
R
i
+
-su
i
+
- su
si
i
1i R
iii s ??1
等效是对外而言
等效电压源中的电流不等于替代前的电压源的
电流，而等于外部电流 i 。
+
- su
si
i
R+
-su
i
+
- su
si +
-
u
si
R
+
-
u
si
+
-
u
等效电流源的电压不等于替代前的电流源的
电压，而等于外部电压 u 。
实际电源的两种模型及其等效变换
一、电压源和电阻的串联组合
R
+
-su
i
+
-
u
O
u
i
Riuu s ??
外特性曲线
su
R
us
二、电流源和电阻的并联组合
0R
uii
s ??
外特性曲线 O
u
isi
0Ris?
si
+
-
u
i
0R
三、电源的等效变换
0RR ?
ss iRu ??
电压源、电阻的串联组合与电流源、电阻的并
联组合可以相互等效变换。
R
+
-su
i
+
-
u
si
+
-
u
i
0R
注意电压源和电流源的参考方向，
电流源 的参考方向由电压源的 负极指向正极 。
如果令
例：求图中电流 i。
+
-
+ -
i =0.5A(1+2+7)i+4 -9=0
受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电导
的并联组合也可以用上述方法进行变换。
此时应把受控电源当作独立电源处理，但应注意在
变换过程中 保存控制量所在支路,而不要把它消掉。
四、有关受控源
su
Ru Ci Ru
su cRi
+
-
scR uRiRiu ???
sRR uuu ?? 42
Vu R 2?
已知 uS=12V,R =2 Ω，
iC=2uR，求 uR。
2.2 结点电压法
一、结点电压
1、定义：
在电路中任意选择某一结点为 参考结点,其他
结点与此结点之间的电压称为 结点电压 。
2、极性：
结点电压 的参考极性是以 参考结点为负,其余
独立结点为正。
二、结点电压法
1、结点电压法以结点电压为求解变量，用 uni来
表示。
2、结点电压方程：
[ G ][U n ] = [ I s ]
1,[G]为结点电导矩阵
Gii-自电导, 与结点 i相连的全部电导之和，
恒为 正 。
Gij-互电导, 结点 i和结点 j之间的公共电导，
恒为 负 。
注意,和电流源串联的电导不计算在内
结点电压方程的一般形式
2,[Un]
结点电压列向量
3,[Is]
Isi -和第 i个结点相联的电源注入该结点的电流
之和。
电流源,流入为正 。
电压源：当电压源的参考 正极 性 联到该结点 时，
该项前取 正号,否则取负。
[ G ][U n ] = [ I s ]
结点电压方程的一般形式
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 1：
un1 un2 un3 un4=(G1+G4+G8) G1- +0 G4- is13 is4- +
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 2：
un1 un2 un3 un4=-G1 +(G1+G2+G5) -G2 +0 0
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 3：
un1 un2 un3 un4=0 -G2 +(G2+G3+G6) -G3 is13 G3us3-
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 4：
un1 un2 un3 un4=-G4 -G3+0 +(G3+G4+G7) -is4+G3us3+G7us7
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
(G1+G4+G8) G1- +0 G4- is13 is4- +
-G1 +(G1+G2+G5) -G2 +0 0
0 -G2 +(G2+G3+G6) -G3 is13 G3us3-
-G4 -G3+0 +(G3+G4+G7) -is4+G3us3+G7us7
电路的结点电压方程：
电路中含有理想（无伴）电压源的处理方法
1G
3G
2G
1su
2si
1 2
设理想（无伴）电压源支路的电流为 i,
i
电路的结点电压方程为
补充的约束方程
un1 un2=(G1+G2) -G2 i
un1 un2=-G2 +(G2+G3) is2
un1=us1
电路中含有受控源的处理方法
1R 3
R
2R
2u
1si
2gu
0
2
1
un1 un2=(G1+G2) -G1 is1
un1 un2=-G1 +(G1+G3) -gu2 –is1
u2 = un1
电路中含有受控源的处理方法
1R 3
R
2R
2u
1si
2gu
0
2
1
整理有：
un1 un2=(G1+G2) -G1 is1
un1 un2=(g-G1) +(G1+G3) –is1
1、指定参考结点
其余结点与参考结点之间的电压就是结点电
压。
2、列出结点电压方程
自导总是正的，互导总是负的，
注意注入各结点的电流项前的正负号。
3、如电路中含有受控电流源
把控制量用有关的结点电压表示，
暂把受控电流源当作独立电流源。
4、如电路中含有无伴电压源
把电压源的电流作为变量。
5、从结点电压方程解出结点电压
可求出各支路电压和支路电流。
结点法的步骤归纳如下：
2.3 回路电流法 (了解 )
网孔电流法仅适用于 平面电路,
回路电流法则无此限制。
回路电流法是以一组 独立回路 电流为电路变量，
通常选择 基本回路 作为独立回路。
对任一个树，每加进一个连支
便形成一个只包含该连支的回路，
这样的回路称为单连支回路，
又叫做基本回路。
回路电流方程的一般形式 [R] [I] = [US ]
1R
2R
4R
6R
5R
3R
1su
5su
1
2
34 5
61lI
2lI 3lI
选择支路 4,5,6为树。
1lI 2lI 3lI
=
1lI
2lI
3lI
)( 4561 RRRR ??? )( 54 RR ?+ )( 65 RR ?-
1lI 2lI 3lI
=)(
54 RR ?
+ )(
542 RRR ??+ 5R
-
1lI 2lI 3lI
=)(
65 RR ?
-
5R
- )(
653 RRR ??+
1su 5su
5su
5su
- +
+
-
1R
3R
4R
5R
1su 5su
2si
1li 2l
i 3li
1li 2li 3li
=
1R? )( 431 RRR ??? 4R? 1su?
2li 3li
=4R? )( 54 RR ?? 5su?
2si?1li
1、在选取回路电流时，只让 一个回路电流 通过电流源。
理想（无伴）电流源 的处理方法
1R
3R
4R
5R
1su 5su
2si
2、把 电流源的电压 作为变量。
+
-iu1i
2i
3i
is uuiR ??? 111
iuiRiRR ??? 3423 )( 4
535424 )( suiRRiR ?????
再补充一个约束关系式
221 siii ???
含 受控电压源 的电路
1u
cu
.,50 1 方程写出此电路的回路电流uu c ?
1li 2l
i
5100)10025( 21 ??? ll ii
cll uii ????? 21 )1 0 0 0 01 0 0 0 0 0100(100
150 uuc ? 11 25 liu ?
整理后，得
5100125 21 ?? ll ii
01 1 0 1 0 01 3 5 0 21 ??? ll ii
2.4 熟练掌握叠加原理、
戴维宁定理和诺顿定理
叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电
压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路
产生的电流（或电压）之叠加。
二、说明
1、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电
路；
2、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受控
源都不予更动；
以电阻为例：
RiiRip ????? 2212 )( RiRi 2221 ??
电压源不作用
就是把该电压源的电压置零，
即在该电压源处用 短路替代 ；
电流源不作用
就是把该电流源的电流置零，
即在该电流源处用 开路替代 。
3、叠加时要注意电流和电压的 参考方向 ；
4、不能用叠加定理来计算功率，
因为功率不是电流或电压的一次函数。
= +
1i
2i
)1(1i
)1(2i
)2(
1i
)2(2i
图 a
图 b 图 c
例
)2(
2
)1(
22 iii ??
)2(
1
)1(
11 iii ??
在图 b中 A1
46
10)1(
2
)1(
1 ???? ii
在图 c中
A6.1446 4)2(1 ????i
A4.2446 6)2(2 ????i
)1(1i
)1(2i
)2(
1i
)2(2i
图 b 图 c
所以
A6.06.11)2(1)1(11 ?????? iii
A4.34.21)2(2)1(22 ????? iii
1i
2i
110i
1i
2i
(a)
3u
= +
)1(
1i )1(110i
)1(
2i
)1(
3u
(b)
)2(
1i
)2(
2i
)2(110i
)2(
3u
(c)
受控电压源
求 u3
在图 b中
A146 10)1(2)1(1 ???? ii
V6410 )1(2)1(1)1(3 ????? iiu
在图 c中
A6.1446 4)2(1 ?????i
A4.2446 6)2(2 ????i
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )3 1 210 4 25,6 Vu i i? ? ? ?
所以 V6.19)2(
3
)1(
33 ??? uuu
)1(
1i )1(110i
)1(
2i
)1(
3u
)2(
1i
)2(
2i
)2(110i
)2(
3u
(b) (c)
1i
110i
3u
(a)
= +
)2(
3u
+
-
)2(1i
)2(2i
)2(110i
(c)(b)
)1(110i
)1(1i
)1(
3u)2(
2i
在图 b中
V6.19u )1(3 ?
在图 c中
A6.046 6)2(2)2(1 ?????? ii
V6.9
6410 )2(2)2(1)2(3
?
???? iiu
所以 Vuuu 2.29)2(
3)1(33 ???
(b)
)2(
3u
+
-
)2(1i
)2(2i
)2(110i
(c)
)1(110i
)1(1i
)1(
3u)2(
2i
求各元件的电压和电流。
+
1V
-
1A+ 2V -
+
3V
-
+ 30V- + 8V-
+
11V
-
3A
4A
11A
15A
给定的电压源电压为 82V，
这相当于将激励增加了 82/41倍（即 K=2），
故各支元件的电压和电流也同样增加了 2倍。
本例计算是先从梯形电路最远离电源的一端算起，
倒退到激励处，故把这种计算方法叫做,倒退法,。
线性电路中，当 所有激励 （电压源和电流源）
都增大或缩小 K倍,K为实常数，
响应 （电压和电流）也将同样增大或缩小 K倍。
这里所谓的激励是指 独立 电源；
必须全部激励 同时 增大或缩小 K倍，
否则将导致错误的结果。
用齐性定理分析 梯形电路 特别有效。
齐性定理
戴维宁定理和诺顿定理
一、戴维宁定理
内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，
对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串
联组合等效置换，此电压源的电压等于一端口
的开路电压，电阻等于一端口的全部独立电源
置零后的输入电阻。
Req
+
-ocu
Req
Ns
外
电
路
1
1′
No
1
1′
1
1′
外
电
路
1
1′
Ns
+
-ocu
I
- 4V ++
4V
-
a
b
求电流 I 。
例：
2、求开路电压
1、如图断开电路
解：
Uabo=4+4+1=9V
电源置 0
R0
3、求 R0
R0=2+2.4
=4.4Ω
4、恢复原电路
I
6.00 ?
?
R
U
I abo
=1.8A
I 求电流 I 。
解：
1、如图断开电路；
2、求开路电压
-
20V
+
Uabo= 20V-+12V
-
U a b o = 12+ 3
= 15V
3、求 R0
R0=6Ω
R0
+
Uabo
-
a
b
4、恢复原电路
I
10
9
0 ?
?
R
U a b oI =
二、最大功率传输
含源一端口外接可调电阻 R，
当 R等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？
求此最大功率。
一端口的戴维宁等效电路可作前述方法求得：
Uoc=4V
Req=20kΩ
结点电压法求开路电压
20
1
5
1
3
5
10
?
??
?U o c =4V
等效电阻
Req Req=16+20//5=20kΩ
i
电阻 R的改变不会影响原一端口的戴维宁等效电路，
R吸收的功率为
2
2
2
)( RR
RURip
eq
oc
?
??
R变化时，最大功率发生在 dp/dR=0的条件下。
这时有 R=Req 。
本题中,Req=20kΩ，故 R=20kΩ时才能获得最大功率，
mW
R
up
eq
oc 2.0
4
2
m a x ??
最大功率问题的结论可以推广到更一般的情况
Ns R
当满足 R=Req（ Req为一端口的输入电阻）的
条件时，
电阻 R将获得最大功率。
此时称电阻与一端口的 输入电阻匹配 。
扩音机为例
iu
Ri R=8Ω
信号源的内阻 Ri为 1kΩ，
扬声器上不可能得到最大功率。
为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变
压器。
变
压
器
变压器还有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用
不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电
导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
Ns
i
+
u
-
Req
+
- ocu
+
u
-
i
+
u
-
i
sci
Geq
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，
对外电路来说，可以用一个 电流源和电导的并联组
合 等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电
流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输
入电导。
三、诺顿定理
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电
导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
Ns
i
+
u
-
Req
+
- ocu
+
u
-
i
+
u
-
i
sci
Geq
输入电阻
一、一端口
向外引出一对端子的电路或网络。
又叫二端网络。
+
-
u
i
二、输入电阻
1、定义：
不含独立电源的一端口电阻网络的端电压与端电
流之比。
i
u
R
d e f
in ?
电压、电流法。
s
s
in i
u
i
u
R ??
在端口加以电压源 uS，然后求出端口电流 i，
或在端口加以电流源 iS，然后求出端口电压 u。
2、计算方法：
+
- s
u
1R
2R
3R
i
是用来代替不含独立源的一端口的电阻。
i
1R
2R
3R
i?
+
- s
u
+iR2?-1i
2i
1322 )( iRRiRu s ???? ?
21iRu s ? 21 iii ??
321
2131 )1(
RRR
RRRR
i
uR s
in ??
???? ?
电压、电流法
三、等效电阻
考试点
? 1,掌握常用的电路等效变换的方法
? 2、熟练掌握节点电压方程的列写及求解
方法
? 3、了解回路电流的列写方法
? 4、熟练掌握叠加原理、戴维宁定理和诺
顿定理
2.1 电路的等效变换
对电路进行分析和计算时，有时可以把电
路中某一部分简化，即用一个较为简单的电路
替代原电路。
等效概念：
当电路中某一部分用其等效电路替代后，
未被替代部分的电压和电流均应保持不变。
对外等效：
用等效电路的方法求解电路时，电压和电
流保持不变的部分仅限于 等效电路以外 。
电阻的串联和并联
一、电阻的串联
1R 2R nR
1、特点：
电阻串联时，通过各电阻的电流是 同一个电
流 。
+
-
u
i
neq RRRi
uR ????????
21
?
?
?
n
k
kR
1
keq RR ?
2、等效电阻：
eqR
1R 2R nR
3、分压公式
u
RR
R
u
21
1
1 ??
u
RR
R
u
21
2
2 ??
4、应用
分压、限流。
u
i
2R
1R
+
_
+
_
1u
2u
+
_
二、电阻的并联
1R nR2R
1、特点
电阻并联时，各电阻上的电压是 同一个电压 。
+
-
u
i
neq RRRR
1111
21
???????
?
?
?
n
k kR1
1 keq RR ?
2、等效电阻
1R nR2R eq
R
两个电阻并联的等效电阻为
21
21
RR
RRR
eq ??
三个电阻并联的等效电阻为
321
321
RRR
RRRR
eq ???×
计算多个电阻并联的等效电阻时，利用公式
neq RRRR
1111
21
???????
3、分流公式：
i
+
_
u
1R 2R
1i 2i
i
RR
R
i
21
2
1 ??
i
RR
R
i
21
1
2 ??
4、应用
分流或调节电流。
5i
5i
求电流 i 和 i5
例
等效电阻
R = 1.5Ω
Ai 11 ?
1126 12 ??? ??5i -
A
3
1 ? -
5i
1i
1i
i = 2A
×
B3Ω
5Ω
2Ω
3Ω
A
3Ω
3Ω
RAB =？
电阻的 Y形联接与△形联接
的等效变换
一、问题的引入
求等效电阻
要求它们的外部性能相同，
即当它们对应端子间的电压相同时，
流入对应端子的电流也必须分别相等。
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
二、星形联接和三角形联接的等效变换的条件
星接（ Y接） 三角接（△接）
1R
2R
3R
1
23
星接（ Y接） 三角接（△接）
Y→ △
3
21
2112 R
RRRRR ???
2
13
3131 R
RRRRR ???
1
32
3223 R
RRRRR ???
1
23
12R31
R
23R
△ →Y
312312
1231
1 RRR
RRR
??
?
312312
3123
3 RRR
RRR
??
?
312312
2312
2 RRR
RRR
??
?
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
星接 三角接
形电阻之和
形相邻电阻的乘积
形电阻
Δ
Δ
Y ?
形不相邻电阻
形电阻两两乘积之和
形电阻
Y
Y
Δ ?
特别若星形电路的 3 个电阻相等
YRRRR ??? 321
则等效的三角形电路的电阻也相等
YRRRRR 3312312 ?????
?? RR Y 3
1,则反之
1R
2R
3R
1
23
1
23
12R31
R
23R
星接 三角接
D
B3Ω
5Ω
2Ω
3Ω
A
3Ω
3Ω
C
E B3Ω
5Ω
2Ω
A
D
E1Ω
1Ω
1Ω
B
5Ω
2Ω
CA
D
E
3Ω
R=3+1+(1+2)∥ (1+5)
=6Ω
×
电压源、电流源的串联和并联
一、电压源串联
+ -
su
+ - + - + -
1su snu2su
snsss uuuu ??????? 21 ?
?
?
n
k
sku
1
二、电流源并联
si
sni
2si1si
snsss iiii ??????? 21 ?
?
?
n
k
ski
1
三、电压源的并联
只有电压相等的电压源才允许并联。
四、电流源的串联
+
-
+
-5V 3V
i
??i
只有电压相等的电压源才允许并联。
2A 4A
只有电流相等的电流源才允许串联
五、电源与支路的串联和并联
+
- su
R
i
+
-su
i
+
- su
si
i
1i R
iii s ??1
等效是对外而言
等效电压源中的电流不等于替代前的电压源的
电流，而等于外部电流 i 。
+
- su
si
i
R+
-su
i
+
- su
si +
-
u
si
R
+
-
u
si
+
-
u
等效电流源的电压不等于替代前的电流源的
电压，而等于外部电压 u 。
实际电源的两种模型及其等效变换
一、电压源和电阻的串联组合
R
+
-su
i
+
-
u
O
u
i
Riuu s ??
外特性曲线
su
R
us
二、电流源和电阻的并联组合
0R
uii
s ??
外特性曲线 O
u
isi
0Ris?
si
+
-
u
i
0R
三、电源的等效变换
0RR ?
ss iRu ??
电压源、电阻的串联组合与电流源、电阻的并
联组合可以相互等效变换。
R
+
-su
i
+
-
u
si
+
-
u
i
0R
注意电压源和电流源的参考方向，
电流源 的参考方向由电压源的 负极指向正极 。
如果令
例：求图中电流 i。
+
-
+ -
i =0.5A(1+2+7)i+4 -9=0
受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电导
的并联组合也可以用上述方法进行变换。
此时应把受控电源当作独立电源处理，但应注意在
变换过程中 保存控制量所在支路,而不要把它消掉。
四、有关受控源
su
Ru Ci Ru
su cRi
+
-
scR uRiRiu ???
sRR uuu ?? 42
Vu R 2?
已知 uS=12V,R =2 Ω，
iC=2uR，求 uR。
2.2 结点电压法
一、结点电压
1、定义：
在电路中任意选择某一结点为 参考结点,其他
结点与此结点之间的电压称为 结点电压 。
2、极性：
结点电压 的参考极性是以 参考结点为负,其余
独立结点为正。
二、结点电压法
1、结点电压法以结点电压为求解变量，用 uni来
表示。
2、结点电压方程：
[ G ][U n ] = [ I s ]
1,[G]为结点电导矩阵
Gii-自电导, 与结点 i相连的全部电导之和，
恒为 正 。
Gij-互电导, 结点 i和结点 j之间的公共电导，
恒为 负 。
注意,和电流源串联的电导不计算在内
结点电压方程的一般形式
2,[Un]
结点电压列向量
3,[Is]
Isi -和第 i个结点相联的电源注入该结点的电流
之和。
电流源,流入为正 。
电压源：当电压源的参考 正极 性 联到该结点 时，
该项前取 正号,否则取负。
[ G ][U n ] = [ I s ]
结点电压方程的一般形式
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 1：
un1 un2 un3 un4=(G1+G4+G8) G1- +0 G4- is13 is4- +
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 2：
un1 un2 un3 un4=-G1 +(G1+G2+G5) -G2 +0 0
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 3：
un1 un2 un3 un4=0 -G2 +(G2+G3+G6) -G3 is13 G3us3-
1R
8R
7R
6R
5R
4R 3R
2R
4si
3su
13si
7su
+
-
+
-
0
4
3
2
1
列结点电压方程
对结点 4：
un1 un2 un3 un4=-G4 -G3+0 +(G3+G4+G7) -is4+G3us3+G7us7
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
un1 un2 un3 un4=
(G1+G4+G8) G1- +0 G4- is13 is4- +
-G1 +(G1+G2+G5) -G2 +0 0
0 -G2 +(G2+G3+G6) -G3 is13 G3us3-
-G4 -G3+0 +(G3+G4+G7) -is4+G3us3+G7us7
电路的结点电压方程：
电路中含有理想（无伴）电压源的处理方法
1G
3G
2G
1su
2si
1 2
设理想（无伴）电压源支路的电流为 i,
i
电路的结点电压方程为
补充的约束方程
un1 un2=(G1+G2) -G2 i
un1 un2=-G2 +(G2+G3) is2
un1=us1
电路中含有受控源的处理方法
1R 3
R
2R
2u
1si
2gu
0
2
1
un1 un2=(G1+G2) -G1 is1
un1 un2=-G1 +(G1+G3) -gu2 –is1
u2 = un1
电路中含有受控源的处理方法
1R 3
R
2R
2u
1si
2gu
0
2
1
整理有：
un1 un2=(G1+G2) -G1 is1
un1 un2=(g-G1) +(G1+G3) –is1
1、指定参考结点
其余结点与参考结点之间的电压就是结点电
压。
2、列出结点电压方程
自导总是正的，互导总是负的，
注意注入各结点的电流项前的正负号。
3、如电路中含有受控电流源
把控制量用有关的结点电压表示，
暂把受控电流源当作独立电流源。
4、如电路中含有无伴电压源
把电压源的电流作为变量。
5、从结点电压方程解出结点电压
可求出各支路电压和支路电流。
结点法的步骤归纳如下：
2.3 回路电流法 (了解 )
网孔电流法仅适用于 平面电路,
回路电流法则无此限制。
回路电流法是以一组 独立回路 电流为电路变量，
通常选择 基本回路 作为独立回路。
对任一个树，每加进一个连支
便形成一个只包含该连支的回路，
这样的回路称为单连支回路，
又叫做基本回路。
回路电流方程的一般形式 [R] [I] = [US ]
1R
2R
4R
6R
5R
3R
1su
5su
1
2
34 5
61lI
2lI 3lI
选择支路 4,5,6为树。
1lI 2lI 3lI
=
1lI
2lI
3lI
)( 4561 RRRR ??? )( 54 RR ?+ )( 65 RR ?-
1lI 2lI 3lI
=)(
54 RR ?
+ )(
542 RRR ??+ 5R
-
1lI 2lI 3lI
=)(
65 RR ?
-
5R
- )(
653 RRR ??+
1su 5su
5su
5su
- +
+
-
1R
3R
4R
5R
1su 5su
2si
1li 2l
i 3li
1li 2li 3li
=
1R? )( 431 RRR ??? 4R? 1su?
2li 3li
=4R? )( 54 RR ?? 5su?
2si?1li
1、在选取回路电流时，只让 一个回路电流 通过电流源。
理想（无伴）电流源 的处理方法
1R
3R
4R
5R
1su 5su
2si
2、把 电流源的电压 作为变量。
+
-iu1i
2i
3i
is uuiR ??? 111
iuiRiRR ??? 3423 )( 4
535424 )( suiRRiR ?????
再补充一个约束关系式
221 siii ???
含 受控电压源 的电路
1u
cu
.,50 1 方程写出此电路的回路电流uu c ?
1li 2l
i
5100)10025( 21 ??? ll ii
cll uii ????? 21 )1 0 0 0 01 0 0 0 0 0100(100
150 uuc ? 11 25 liu ?
整理后，得
5100125 21 ?? ll ii
01 1 0 1 0 01 3 5 0 21 ??? ll ii
2.4 熟练掌握叠加原理、
戴维宁定理和诺顿定理
叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电
压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路
产生的电流（或电压）之叠加。
二、说明
1、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电
路；
2、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受控
源都不予更动；
以电阻为例：
RiiRip ????? 2212 )( RiRi 2221 ??
电压源不作用
就是把该电压源的电压置零，
即在该电压源处用 短路替代 ；
电流源不作用
就是把该电流源的电流置零，
即在该电流源处用 开路替代 。
3、叠加时要注意电流和电压的 参考方向 ；
4、不能用叠加定理来计算功率，
因为功率不是电流或电压的一次函数。
= +
1i
2i
)1(1i
)1(2i
)2(
1i
)2(2i
图 a
图 b 图 c
例
)2(
2
)1(
22 iii ??
)2(
1
)1(
11 iii ??
在图 b中 A1
46
10)1(
2
)1(
1 ???? ii
在图 c中
A6.1446 4)2(1 ????i
A4.2446 6)2(2 ????i
)1(1i
)1(2i
)2(
1i
)2(2i
图 b 图 c
所以
A6.06.11)2(1)1(11 ?????? iii
A4.34.21)2(2)1(22 ????? iii
1i
2i
110i
1i
2i
(a)
3u
= +
)1(
1i )1(110i
)1(
2i
)1(
3u
(b)
)2(
1i
)2(
2i
)2(110i
)2(
3u
(c)
受控电压源
求 u3
在图 b中
A146 10)1(2)1(1 ???? ii
V6410 )1(2)1(1)1(3 ????? iiu
在图 c中
A6.1446 4)2(1 ?????i
A4.2446 6)2(2 ????i
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )3 1 210 4 25,6 Vu i i? ? ? ?
所以 V6.19)2(
3
)1(
33 ??? uuu
)1(
1i )1(110i
)1(
2i
)1(
3u
)2(
1i
)2(
2i
)2(110i
)2(
3u
(b) (c)
1i
110i
3u
(a)
= +
)2(
3u
+
-
)2(1i
)2(2i
)2(110i
(c)(b)
)1(110i
)1(1i
)1(
3u)2(
2i
在图 b中
V6.19u )1(3 ?
在图 c中
A6.046 6)2(2)2(1 ?????? ii
V6.9
6410 )2(2)2(1)2(3
?
???? iiu
所以 Vuuu 2.29)2(
3)1(33 ???
(b)
)2(
3u
+
-
)2(1i
)2(2i
)2(110i
(c)
)1(110i
)1(1i
)1(
3u)2(
2i
求各元件的电压和电流。
+
1V
-
1A+ 2V -
+
3V
-
+ 30V- + 8V-
+
11V
-
3A
4A
11A
15A
给定的电压源电压为 82V，
这相当于将激励增加了 82/41倍（即 K=2），
故各支元件的电压和电流也同样增加了 2倍。
本例计算是先从梯形电路最远离电源的一端算起，
倒退到激励处，故把这种计算方法叫做,倒退法,。
线性电路中，当 所有激励 （电压源和电流源）
都增大或缩小 K倍,K为实常数，
响应 （电压和电流）也将同样增大或缩小 K倍。
这里所谓的激励是指 独立 电源；
必须全部激励 同时 增大或缩小 K倍，
否则将导致错误的结果。
用齐性定理分析 梯形电路 特别有效。
齐性定理
戴维宁定理和诺顿定理
一、戴维宁定理
内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，
对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串
联组合等效置换，此电压源的电压等于一端口
的开路电压，电阻等于一端口的全部独立电源
置零后的输入电阻。
Req
+
-ocu
Req
Ns
外
电
路
1
1′
No
1
1′
1
1′
外
电
路
1
1′
Ns
+
-ocu
I
- 4V ++
4V
-
a
b
求电流 I 。
例：
2、求开路电压
1、如图断开电路
解：
Uabo=4+4+1=9V
电源置 0
R0
3、求 R0
R0=2+2.4
=4.4Ω
4、恢复原电路
I
6.00 ?
?
R
U
I abo
=1.8A
I 求电流 I 。
解：
1、如图断开电路；
2、求开路电压
-
20V
+
Uabo= 20V-+12V
-
U a b o = 12+ 3
= 15V
3、求 R0
R0=6Ω
R0
+
Uabo
-
a
b
4、恢复原电路
I
10
9
0 ?
?
R
U a b oI =
二、最大功率传输
含源一端口外接可调电阻 R，
当 R等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？
求此最大功率。
一端口的戴维宁等效电路可作前述方法求得：
Uoc=4V
Req=20kΩ
结点电压法求开路电压
20
1
5
1
3
5
10
?
??
?U o c =4V
等效电阻
Req Req=16+20//5=20kΩ
i
电阻 R的改变不会影响原一端口的戴维宁等效电路，
R吸收的功率为
2
2
2
)( RR
RURip
eq
oc
?
??
R变化时，最大功率发生在 dp/dR=0的条件下。
这时有 R=Req 。
本题中,Req=20kΩ，故 R=20kΩ时才能获得最大功率，
mW
R
up
eq
oc 2.0
4
2
m a x ??
最大功率问题的结论可以推广到更一般的情况
Ns R
当满足 R=Req（ Req为一端口的输入电阻）的
条件时，
电阻 R将获得最大功率。
此时称电阻与一端口的 输入电阻匹配 。
扩音机为例
iu
Ri R=8Ω
信号源的内阻 Ri为 1kΩ，
扬声器上不可能得到最大功率。
为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变
压器。
变
压
器
变压器还有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用
不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电
导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
Ns
i
+
u
-
Req
+
- ocu
+
u
-
i
+
u
-
i
sci
Geq
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，
对外电路来说，可以用一个 电流源和电导的并联组
合 等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电
流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输
入电导。
三、诺顿定理
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电
导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
Ns
i
+
u
-
Req
+
- ocu
+
u
-
i
+
u
-
i
sci
Geq
输入电阻
一、一端口
向外引出一对端子的电路或网络。
又叫二端网络。
+
-
u
i
二、输入电阻
1、定义：
不含独立电源的一端口电阻网络的端电压与端电
流之比。
i
u
R
d e f
in ?
电压、电流法。
s
s
in i
u
i
u
R ??
在端口加以电压源 uS，然后求出端口电流 i，
或在端口加以电流源 iS，然后求出端口电压 u。
2、计算方法：
+
- s
u
1R
2R
3R
i
是用来代替不含独立源的一端口的电阻。
i
1R
2R
3R
i?
+
- s
u
+iR2?-1i
2i
1322 )( iRRiRu s ???? ?
21iRu s ? 21 iii ??
321
2131 )1(
RRR
RRRR
i
uR s
in ??
???? ?
电压、电流法
三、等效电阻
