平面图形的几何性质和弯曲强度
编者 材料力学教研室 周际平
PI
一.平面图形几何性质
杆件的和截面是平面图形,它的几何性
质与强度、刚度计算密切相关,必须很好掌
握。拉压中的面积 A,扭转中的极惯性矩 都
属于截面图形的几何性质。在附录 1中我们还
要学到静矩、惯性矩和惯性积。
( 2)截面图形对形心轴的静矩等于零。
(一)静矩(一次矩)和形心
?? Ay zdAS
?? Az ydAS
A
Sz
A
Sy y
c
z
c ??,
1.定义:截面图形对 y轴的静矩:
截面图形对 z轴的静矩:
截面图形形心坐标:
2.静矩的性质:
( 1)截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。
静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为
长度的三次方。
( 3) 组合截面对某一轴的静矩等于各部分对
该轴静矩的代数和 。 其形心坐标,
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1
1
(二)惯性矩(二次矩)和惯性半径
1,定义:
截面图形对 y轴的惯性矩,??
Ay dAzI
2
截面图形对 y轴的惯性半径:
A
Ii y
y ?
截面图形对 z轴的惯性半径:
A
Ii z
z ?
2.惯性矩的性质
( 1)截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不
同的,但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。
( 2)组合截面对某一轴的惯性矩等于各部
分对该轴的惯性矩之代数和。
?? Az dAyI 2截面图形对 z轴的惯性矩:
4.几种常用图形的几何特性:
见教科书 P340、表 I— 1,其中长方形、圆、圆
环及工字形的公式应该记住。
(三)惯性积
1.定义:
截面图形对 y,z轴的惯性积 ??
Ayz yzd AI
2.性质:
( 1) 的数值可正、可负、可为零。量
纲是长度的四次方。 yz
I
???? AzyP dAIII 2?3.惯性矩与极惯性矩的关系:
( 2)若 y,z轴中有一个是图形的对称轴。
则 0?
yzI
(四)平行移轴公式
设 是通过形心的一对坐标轴,y,z是与其平
行的另一对坐标轴,则有,
cc zy,
AaII ycy 2?? 轴之间距离)与为 cyya(
AbII zcz 2?? 轴之间距离)与为 czzb(
abAII y c z cyz ??
标)坐标中的纵坐标和横坐为形心在 zyba,,(
(五)转轴公式
1.设 y,z为任一对坐标轴,将其绕 O点逆时针
旋转 角,得到新坐标轴,则有:?
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
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I
I
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I
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1
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22
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?? 2c o s2s in211 yzzyzy IIII ???
注:待学完第八章后,可将此公式与任意斜截
面上的应力公式相比较,形式相同。
2,主惯性轴, 主惯性矩
( 1)主惯性轴:若圆形对一对坐标轴的惯性积
等于零,这一对坐标轴就称为主惯性轴。
( 2)主惯性矩:对主惯性轴的惯性矩。
注意:圆形对通过 O点的所有轴的惯性矩中,两个
主惯性矩中的一个是最大值,另一个是最小值。
( 3)形心主惯性轴:通过形心 C的主惯性轴。
注意:对称轴一定是形心主惯性轴 。
例 1 求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
z
a
a
)4(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
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42
24
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1
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1
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'z
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正方形对 和 轴的惯性矩
均为 。而 与 轴是形
心主惯性轴,及 则是形
心主惯性矩。对所有的形
心轴来说,及 中的一个
是最大值,另一个是最小值。
'y 'z
12
4a
'y 'z
'yI 'zI
'yI 'zI
而,所以正方形对任一形心轴的惯性
12
4
''
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zy ??
12
4a
12,
4a
I z ?即矩也等于
此结论可推广到任意正多边形,即正多边形对任
一形心轴的惯性矩为常量。
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例 2 判断正误
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bhhII yy 2121 ???
1212
33 bhBH
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B
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Z轴为槽形的形心轴
编者 材料力学教研室 周际平
PI
一.平面图形几何性质
杆件的和截面是平面图形,它的几何性
质与强度、刚度计算密切相关,必须很好掌
握。拉压中的面积 A,扭转中的极惯性矩 都
属于截面图形的几何性质。在附录 1中我们还
要学到静矩、惯性矩和惯性积。
( 2)截面图形对形心轴的静矩等于零。
(一)静矩(一次矩)和形心
?? Ay zdAS
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1.定义:截面图形对 y轴的静矩:
截面图形对 z轴的静矩:
截面图形形心坐标:
2.静矩的性质:
( 1)截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。
静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为
长度的三次方。
( 3) 组合截面对某一轴的静矩等于各部分对
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(二)惯性矩(二次矩)和惯性半径
1,定义:
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2
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A
Ii y
y ?
截面图形对 z轴的惯性半径:
A
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2.惯性矩的性质
( 1)截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不
同的,但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。
( 2)组合截面对某一轴的惯性矩等于各部
分对该轴的惯性矩之代数和。
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4.几种常用图形的几何特性:
见教科书 P340、表 I— 1,其中长方形、圆、圆
环及工字形的公式应该记住。
(三)惯性积
1.定义:
截面图形对 y,z轴的惯性积 ??
Ayz yzd AI
2.性质:
( 1) 的数值可正、可负、可为零。量
纲是长度的四次方。 yz
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( 2)若 y,z轴中有一个是图形的对称轴。
则 0?
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(四)平行移轴公式
设 是通过形心的一对坐标轴,y,z是与其平
行的另一对坐标轴,则有,
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AaII ycy 2?? 轴之间距离)与为 cyya(
AbII zcz 2?? 轴之间距离)与为 czzb(
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标)坐标中的纵坐标和横坐为形心在 zyba,,(
(五)转轴公式
1.设 y,z为任一对坐标轴,将其绕 O点逆时针
旋转 角,得到新坐标轴,则有:?
zyzy
yz
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注:待学完第八章后,可将此公式与任意斜截
面上的应力公式相比较,形式相同。
2,主惯性轴, 主惯性矩
( 1)主惯性轴:若圆形对一对坐标轴的惯性积
等于零,这一对坐标轴就称为主惯性轴。
( 2)主惯性矩:对主惯性轴的惯性矩。
注意:圆形对通过 O点的所有轴的惯性矩中,两个
主惯性矩中的一个是最大值,另一个是最小值。
( 3)形心主惯性轴:通过形心 C的主惯性轴。
注意:对称轴一定是形心主惯性轴 。
例 1 求图示截面对 z轴的惯性矩 。
R
z)1(
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正方形对 和 轴的惯性矩
均为 。而 与 轴是形
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心主惯性矩。对所有的形
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Z轴为槽形的形心轴