第二十四章 变形固体的几个动力
失效问题
已学,静载荷下的强度, 刚度, 稳定性计算 。
初载荷下如何进行计算？
? § 24.1 概述
? § 24.2 惯性力问题
? § 24.3 冲击问题 （重点）
? § 24.4 交变应力问题
静载荷,从 0开始, 缓慢增加到某一值后就保
持不变 。
§ 24,1 概述
动应力：构件中因动载荷引起的应力称动荷
应力．简称动应力．用 表示．d? )( d?
动载荷：构件在载荷作用下处于运动状态，其
内各点的速度发生显著的变化，或载
荷随时间变化．
* 同静载的地方：实验表明：
只要,胡克定律仍成立,E也不变。Pd ?? ?
* 不同静载的地方：
1,std ?? ?
2．材料的强度指标有可能发生变化，要注意。
* 本章研究
1．惯性力问题
2．冲击力问题 （重点）
3．交变应力问题
§ 24,2惯性力问题
处理方法：构件或其上部件作匀加速直线运
动或匀速转动时, 再将其做静载
处理不行,可以根据达朗贝尔原理,
把相应均惯性力加在构件上, 这
样就把动力学问题在形式上作为
静力学问题来处理,
强度指标：对于惯性力问题, 材料性能的变
化可以忽略不计,
∴ 在进行强度计算时，可以采用静强度指标,
24.2.1 构件作匀加速直线运动
若ＡＢ杆以加速度 a 向上提升，每单位长度
的重量为,Ａ是横截面面积．相应的
惯性力为,方向向下
)(?gA?
gA? )(?
A B
l
a
受力分析
gAq st ??
AyF ByF
静载
)1( gagAaAgAq st ???? ???
dAyF
动载：加速度为 a上升
8
2
m a x
lqM st
st ? 8
2
m a x
lqM d
d ?
W
glA
W
M st
st 8
2
m a x
m a x
?? ?? )1(8
2
m a x g
a
W
glA
d ??
??
EI
glA
EI
lq st
st 3 8 4
5
3 8 4
5 44
m a x
?? ??
)1(3 8 45
4
m a x g
a
EI
glA
d ??
??
现,)1(
m a xm a x g
a
std ?? ?? )1(m a xm a x g
a
std ?? ??
强度条件,? ??? ?m a xd
? ??,静载时的许用应力。
24.2.2 构件作匀速转动（或匀加速转动）
?
?d?
dq
以匀角速 旋转的飞轮，可
忽略轮辐视为薄圆环：平均
直径,D>>t（厚度），设
圆环横截面积为 A，材料密
度为,求动应力（不计自
重）
?
?
1．若不旋转，则无应力。因 产生的动应力与
法向 相反,为沿圆环轴线均匀分布的惯性力
集度 。
?
na dq
2,内力, 应力
取上半部研究
2
2
1 ??? DAaAq
nd ??
DqdDqN ddd ???? ? ? ??0 s in22
222
4
1
2 vAdA
DqN d
d ??? ??? )2(
?Dv ?
2v
A
N d
d ?? ?? (t<<D认为均布 )
3,强度条件,
? ???? ?? 2vd
? ?
?
??v 称为极限速度，相应的
D
v2?? 称为极限转速
讨论：
1．若飞轮强度不够，增加截面面积 A可否？
无用，且增加重量，浪费材料
2．要保证强度，只能限制转速。但飞轮是储
存机械能的元件，希望其速度越高越好。
例 24,1
一般是用强度较高的材料来制作飞轮，即
使 提高。? ??
?
?
?
mg
A
O
OA：质量 m，长 l，匀质，由铅
垂位置受扰动倒下。试求杆中的
弯矩分布，最大弯
矩及位置。
?
mgl?
dN
dM
dQ
解：
1．以 A为原点，沿杆轴方
向,轴。沿任一部位 B
切开，以 为研究对
象。截面上的动轴力,动剪力
?
??AB
dN
，动弯矩 我们要求的是 。 ∴ 惯性力系中
只需求出红线部分（切向加速度 引起）
dQ dM dM
?
? ?
? ?? ? 0
3
2
2
1
22
s i n:0
??????
?????????
????
?
???
?
?
?
ll
l
m
l
l
m
mg
l
Mm dB
2．求 0
2s in:0 ?????
lmgMm
oqo ?
?
讨论：拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，根部开
始断裂，烟囱象刚体一样整体下落。当下落角
度 较大时,增大、惯性力的切向分量增大、
也增大。当弯矩最大值所在截面 上的最
大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱
就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引
起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应从
背向地面一侧有最大拉应力）
? ?
dM ??
??
?
? l
3
2
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.3 冲击问题 （重点）
冲击会引起很大的动应力和变形, 此处研
究的只限于, 被冲击构件, 始终处于线弹性范
围 。
采用能量法 dUVT ??
冲击物在冲击过程中减少动能 势能 V1T
被冲击物在冲击过程中增加的变形能
dU
假设：
1．冲击物为刚体,并略去冲击过程
中的能量损失（声能、热能等）
2．被冲击构件质量可以略去不计。
3．冲击与被冲击一经接触，即附着在一起，
直至构件上被冲击处的位移达到最大值。
（冲击过程认为到此结束）
)0( ?冲U
:pd ?? ?
d
st
d
st
d
st
d K
P
P ???
?
?
?
?
dK
：称为动荷系数
式中 为被冲击构件达到最大变形位置
（此时冲击物速度为 0）时的瞬时载荷，变形和
应力 时的冲击问题，可以采用静强度
指标。
实例：冲床、轴急刹车
dddP ??,,
pd ?? ?
24.3.1 铅垂刹车
1,冲击物自由下落：重为 P的冲击物, 初速
度为 0,自高度为 h处自由下落, 冲击到构
件上 。
dUVT ??
T,冲击开始时,结束时ghv 2? 0?v
V,冲击过程势能减少为 dP?
铅垂刹车指冲击物与被冲击构件即将接
触的瞬间，冲击物的速度是铅垂向下的。
dU
:冲击过程增加变形能为 ddP?21
∴ ddd PPghgP ?? 21221 ???
又 d
st
dd K
P
P ??
?
? ∴
st
d
d PP ?
?? 代入上式
0222 ??? stdstd h ????
?
?
?
?
?
?
???
st
std
h
?
?? 211
由于 总大于相应的 。 ∴ 取,+”号
d? st?
stst
d
d
hK
??
? 211 ????∴
冲击物自由下落时的动荷系数。
讨论：
1．式中 的含义：将冲击物的重力 P以静载荷
的方式沿冲击方向作用在被冲击构件的冲击
点处。此处沿冲击方向产生的静位移。具体
应用时，根据不同情况分析和计算。
st?
例：
l
h
P
P
EA
Pl
st ??
P
2
l
2
l
EI
Pl
st 48
3
?? )2(2148
3
k
P
EI
Pl
st ???
P
k
2．冲击物以初速度 下落
方向不受限制。在接触到被冲击构件之
前下落了高度为 h的一段距离。但最终接触
到被冲击构件时，冲击方向是铅垂向下的。
将冲击物以 开始下落到冲击结束作为
一个全过程。
0v
0v
0v
P 0v
d?
h
?
h
d?
例：
2
02
1 v
g
PT ?
)( dhPV ???
st
d
ddd PPU ?
?? 2
2
1
2
1 ??
代入
dUVT ??
022
2
02 ???
?
?
???
? ???
stdstd hg
v ????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
st
std g
ghv
?
?? 211
2
0
st
d g
ghvK
?
211 20 ????
公式讨论,1．当初速度 时，即得自由
下落公式。
dK 00 ?v
2,临冲击到被冲击构件（梁）时，速度方向必
须是铅垂向下的。否则
)s in( ?? dhPV ??
3．式中 含义同前。st?
24.3.2 水平冲击
重量为 P的物体，沿水平方向，以速度 冲击
到构件上。
v
∵ 0?v ∴ 即
dUT ?
st
d
dd PPvg
P
?
?? 22
2
1
2
1
2
1 ??
st
std g
v
???
2
?
st
d g
vK
?
2
?
例 24,3 水平面内 AC杆（质量不计）,C端
重物重量 Q,AC绕 A以 匀速转动。因故障
在 B点卡住而突然停止转动。求 AC杆内最大
冲击应力（ AC弯矩截面系数 W已知）
?
A B
l
A B
1l
C
d?
1．求 dK
2)(
2
1 ?l
g
QT ?
0?V
相当于水平冲击
Q
st? std g
vK
?
2
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
?
?
???????
??????
?
?
?
111
111
3
2
2
1
3
2
2
11
llllllQ
lllllQ
EI
st?
? ?
EI
llQl
3
2
1??
∴ gQ lEIll lK d 3
1?
? ?
)( 1llQ ?
)(M
)( 1ll?
2,? ?
W
llQ
W
M
st
1m a x
m a x
????
∴ gE I Q lWK stdd 3m a xm a x ??? ???
24.3.3 扭转冲击
A B ?
刹车时使
，, AB轴：,
B端有一转动惯量很大的
飞轮，与其相比,AB轴质
量略去不计,A端装有刹车
离 合器。已知飞轮转速
m in1 0 0 rn ? 25 0 0 mKgT ?? mmd 100?
，G P aG 80?,ml 1? ? ?,M P a40?? ? ?,m?5.1' ??
轴在 10秒内匀速停 止转动，问 AB轴是否安全？
分析,10秒内匀减速球属惯性力问题, 若 A
端突然急刹车, 瞬间停止转动, 则属
扭转冲击问题 。
解,)(
3
10
60
2
sr a d
n ??? ??
)(
310
3
100
0
2s
r ad
t
???? ??????
（负号表示与方向相反，减速）
惯性力偶矩：
)(6)3(5 0 0 mKNJm d ??????? ???
离合器作用在轴上，摩擦力偶矩,由 ? ?,0xm
)(6 mKNmm df ??? ?
AB轴在 及 作用下扭转变形dm fm
)(6 mKNmT dd ??? ?
? ??
?
?
? ???
?
?
??
?
Pa
W
T
p
d
d
6
33
3
m a x 1067.2
)10100(
16
10
6
? ?'038.0
180
)10100(
32
1080
10
6180
'
439
3
?
??
?
?
?
??
?
???
?
???
?
m
GI
T
P
d
d
o
此轴安全
考虑急刹车，瞬间停止：飞轮由于惯性将继续转
动。视为冲击物,AB轴视为被冲击物 。
动能损失,2
2
1 ?JT ?
0?V
p
d
ddd GI
lTTU
22
1 2?? ?
由 即
dUT ?
p
d
GI
lTJ
22
1 22 ??
l
JGIT p
d ??
? ????? ?????? M P a
Al
GJ
lW
JGI
W
T
p
p
p
d
d 1 0 5 7
2
2m a x
不安全
讨论：
1．扭转冲击时 与轴的体积 Al有关，体
积,
maxd?
? ?maxd?
2．突然急刹车的 与正常刹车（ 10秒匀速）
相比，是 396倍,∴ 工程实际中重要轴是不允
许突然刹车的。在操作规程中规定刹车过程
不得少于若干秒，以保证轴的安全。
maxd?
* 若不属于 24.3.1～ 24.3.3各种情况，不能直接用
公式，但应会从 去推。另外 还可以
由定义式去求,
参见书 P606，例 24.8
dUVT ??
st
d
st
d
st
d
d P
PK
?
?
?
? ???
dK
24.3.4 冲击与其它问题的组合
* 若被冲击结构为静不定结构：
dK3．求
2．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结
构上求位移）
1．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方
向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此
静不定结构。
4．进一步求被冲击结构上,解决强
度,刚度问题。
)( m a xm a x dd ??
* 若被冲击结构上有压杆，还应考虑稳定性问题
（不管是静定，还是静不定结构上）
A
C
B
l l
v
D
E
l
a
P
例 24,4：书 P604 例 24.7
ABC：直角拐,CD段刚体，
AC段,EI,CE段,EA
AlI 24? al 3? EI gPav 584
3
?
求,（ B处挠度）
（不考虑 CE杆失稳）
Bd?
P
1X
1XP
Pa
0
)(
?P
P
N
M
1．求解静不定
01111 ??? Px?
? ? ?????? ?????? llPaEIP 221211
EI
Pal 21??
EI
Pl
6??
???
?
???
?
1
1
N
M )(?
l2
11?X
11?X
11 ??N
? ?? ?
EA
l
EA
l
EI
l
l
EI
lll
EI
3
5
3
8
11
1
2
3
2
22
2
11
3
11
?
??
????
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
∴
1011
1
1
PX P ????
?
11 MXMM P ??原
11 NXNN P ??原
)(?Pa
Pa52 10
PN?
0
)(
?N
M
1
a
0
)(
?N
M
2．求 （将下图 与,图乘）
Dst? 原M 原N
?
?
?
?
?
? ?
??
?
??
? ??
?
??
?
? ?? alPaPa
EID s t 25
21?
EI
Pa
EI
lPa
5
21
5
7 32 ??
3,22 ??
D s t
d g
vK
?
1
l
4,求 先求
Bd? Bst?
?????? ??????? ????????? ?? 3103212521 lPalllPaEIB s t?
EI
Pal
20
5 2?
)(12
3
?? EIPl
∴ )(
6
3
???? EIPlK B s tdBd ??
* 若要考虑 CE杆失稳角：
将其去和 CE杆的 比较。 510
2 PPNKN stdd ?????
crP
24.3.5 提高构件抗冲击能力措施
?dK ?st? EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G较低的材料。可以提高抗冲击
能力。若减小,则在减小了刚度的同时，
也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲
击应力目的。工程上一般采用的方法是增设
缓冲装置。如习题 24.12，以达既能增加静位
移，又不增加静应力。
AII p,,
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆
1A 1A2A
s
)1(
v
?
2A)2( ?
v
∵ m a x2m a x1 stst ?? ?
stst 21 ?? ? ??
??
?
?
EA
Pl
∴ 且 s越小，动应力越大。dd 21 ?? ?
§ 24.4 交变应力问题
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
实例 *齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到
最大值。然后又减小为零。引起赤根部的弯
曲正应力也有 0增大到,再减小为零。
max?
* 火车轮轴
t?
若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心
外，任一点的应力都随时间变化。
?
tRIMIMy ?? s in??
* 弹簧等
2．疲劳失效的概念及特点
实际上并非疲劳，是一种损伤积累的过程。其
破坏完全不同于静应力引起的破坏。
疲劳失效：有些构件（设计或加工工艺有问
题），在交变应力作用下，经过
长期的应力重复变化，会发生突
然断裂。这种破坏现象习惯上称
为疲劳破坏（失效）。
特点 （ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,
疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进
行强度计算时, 不能再采用静强
度指标 ） 但这种破坏不是立刻发
生的, 而要经历一段时间, 甚至很
长时间 。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲
劳破坏时，均表现为脆性断裂，即
使塑性好的材料，事先也没有明显
的塑性变形。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然, 后果
严重 。 应掌握疲劳强度计算 。
本节只研究金属疲劳 。 （ 非金属疲劳, 高湿疲
劳, 声疲劳, 冲击疲劳 ）
3．疲劳失效的断口特征及成因
断口包含光滑区和粗糙区
疲劳失效过程可见成因：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
24.4.2 交变应力表现法
?
max?
min?
a?
m?
t
循环特征（应力比）：
max
min
?
??r
应力幅,2 m i nm a x ??? ??a
平均应力,2 m i nm a x ??? ??m
任何一个交变应力均可用,表示
三种典型的交变应力。
rma,,,,m i nm a x ????
（ 1）对称循环,m i nm a x ?? ?? 火车轮轴
0,,1 m a x ???? mar ???
（ 2）脉动循环,0min ?? 齿根
m a x2
1,0 ??? ???
mar
（ 3）静载,minmax ?? ?
m i nm a x,0,1 ???? ???? mar
* 时，统称非对称循环。可将其视为一个
相当于 的静应力叠加一个应力幅为 的对
称循环交变应力。
1??r
m? a?
*,以上均适用?? ?
24.4.3 材料的持久极限
1,疲劳寿命
在交变应力下, 产生疲劳破坏所需的应力循环
数称疲劳寿命 。 按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏循环
次数 。因其 较低，应力
应变关系是线性的。所以工作应力仍
可按静载时的公式计算。
54 10~10? ma ??,
本节介绍的就是高循环疲劳的强度计算 。
例传动轴 。
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数 。
材料处于塑性状态。 例 压力容器
54 10~10?
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强
度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
? ??? ??m a x
? ??
n
构件的持久极限许用应力 ?
材料的持久极限由标准试件实物得到。
2,材料的持久极限：
标准试件经历“无限次” 应力循环而不发
生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每
组十根。
)10( 7
（ 1）简介钢弯曲对称循环疲劳试验。
max?
1??
)(寿命N
b?
?
静%60
1.m a x
?
1N
：当减小到时，疲劳曲线趋于水平。
即, ∴ 称 的钢在对称循环下疲劳
破坏。则再增加循环次数也不会疲劳 。
1??
??N 1??
∴ 将 称为循环基数（代替 次）。
与其对应的仍未疲劳的最大应力 规
定为钢的持久极限
710?DN ?
max?
镁合金等有色金属的疲劳曲线没有明显趋于
水平的直线部分。通常取 把它对
应的 作为材料的持久极限，称名义持久
极限。
870 10~10?N
max?
同样原理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
可参见关于疲劳试验的专门著作,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
b
b
??
??
??
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压
弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料（例钢）在不同循环特征的交
变应力作用下，持久极限是不同的。仍可
设计试验同理进行测定。画出一组曲线
max?
N
1??r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1?? 0
?
得到各种应力循环下的,r? ),,,( 6.03.001 LL???? ?
其中 为最低。1??
* 持久极限可以理解为交变应力下的极限应力，
但它与静载下的极限应力完全不同：
a．静载下的极限应力只需用材料破坏时的应力值
即可表示。而交变应力下的极限应力
必须用破坏时的最大工作应力 和循环次数
N才能表示清楚。
)( bs ?? 或 r?
max?
b,不仅因材料不同而异，即使是同一种材
料也会因循环特征 r不同而异，还会因变形
形式而异。
r?
a?
m?
A )2,2( 00 ??C
D
B0
F
1??r
1??r
0?r
?
∵ am ??? ??m a x
∴ armrr )()( ??? ??
∴ 任一循环下的 都
与坐标系中一点对应
r?
3．材料的持久极限曲线
该曲线上任一点的横纵坐标之和就是该点所对
应的那种循环特征下的持久极限。
（ 1） 坐标系中任一点 F对应一个具体的应力
循环：有 F就知
am ?? ?
???,,am
则,am ??? ??m a x
am ??? ??m i n
r可由下式求出,rrtg
m
a
?
??
?
???
1
1
m i nm a x
m i nm a x
??
??
?
??
由此式还可看出：从原点 O出发的同一条射线
上的各点所对应的应力循环具有相同的 r。
（ 2）射线 OF与持久极限曲线的交点，表示该
循环特征下的持久极限 。只要 F位于曲
线之下则,材料就不会发生疲劳失
效。
r?
r?? ?max
（ 3）工程上常用简化折线代替曲线，这样只
需,, 即可解出，而且偏于
安全。
1?? 0? b?? ??1
24.4.4 对称循环下构件的持久极限
与标准试件不同，实际构件的形状、尺寸、
表面质量均不同，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变
引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆
断）有效应力集中系数
?r?
?k
1．构件外形的影响（应力集中）
?rr ?? ?修正
K
k )(
1
1
?
??
?
?
?
1??,无应力集中标准试件
K)( 1??,有应力集中试件（除应力集中外，其
它均与标准试件同）
显然 （也有 ）1??k
?k
比较有效应力集中与 12章中介绍的理论应力集中
系数不同：
后者仅与构件外形有关
前者不仅与构件外形有关，而且与材料性能有
关。这点由图可见。材料的强度极限越高，
越大。 ?k
2．构件尺寸的影响
随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
??
1
1 )(
?
??
?
?? ?
?
：大试件（除 d大外，其它同标准试件）?? )( 1?
：标准试件1??
一般 d>标准试件时,但当轴向拉压时，因横
截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可
取 。
1???
r?
1???
3．构件表面加工质量的影响
表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳
裂纹源，使 ?
r?
表面质量系数,?
1
1 )(
?
??
?
?? ?
：其它各种表面加工试件（其它同标准
试件）
?? )( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1??
若想提高的值，可对表面进行强化处理。
可使 1??
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压
应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素，构件的持久极限为：
11 ?? ? ?
???
?
?
k
?
11 ?? ? ?
???
?
?
k
?
24.4.5 构件的疲劳强度计算
1．对称循环下的疲劳强度计算
1
1
1 ][ ?
?
? ?? ?
????
?
?
nkn
?
（ n为疲劳安全系数，一般取 1.5~2.5）
通常写为：
n??
max
1
?
? ?
左侧：构件的持久极限与最大工作应力之比。
代表构件工作时的安全储备。称为工作安全
系数。
nkn ??? ??
m a x
1
m a x
1
?
???
?
?
?
?
?
?
2．非对称循环下构件的强度条件
（ 1）非对称循环下构件的持久极限
原则：用 对材料的持久极限曲线加以
修正就可得构件的持久极限曲线。
????,,k
注意：各种因素只对属于动应力部分的 有影响，
而对属于静应力部分的 无影响。
a?
m?
∴ 修正时，只需将各点的纵坐标乘以,
横坐标不动 ?
???
k
a?
m?b?
B
A
'A )2,2( 00
??C
'C
s?
1??
2
0???
?
?
k
s?
1??
??
?
?
k
A-B-C：材料的持久极限曲线
A`-C`-B：构件的持久极限曲线
（ 2）非对称循环下构件的疲劳强度计算
nn ?? ?n 分以下三种情况
① 01 ??? r
ma
k
n
???
??
?
?
?
?
?
?
? ? 1
式中 及 为构件危险点处工作应力的应力幅和
平均应力。 为材料对非对称循环的敏感系数
a? m?
a?
0
012
?
??? ?? ?
a
② 循环特征接近 +1时，构件承受的交变应力接
近于静应力。此时，钢等塑性材料制成的构
件在产生疲劳破坏之前会因 达到 而发生
显著的塑性变形。若与危险点工作应力相对
应的点，落在横坐标轴上截距均为 的斜线
之下，则既不疲劳破坏也不屈服破坏。
此时
max? s?
s?
nn s ??
m a x?
?
?
（对屈服破坏规定的 n）
③ 1,0 ?? 但又不接近r
有可能在塑性变形很小时就发生疲劳破坏。
∴ 既校核疲劳强度，又校核屈服强度。
3．弯扭组合交变应力作用下构件的强度条件
n
nn
nnn ?
?
?
22
??
??
??
式中 为只考虑弯曲（设 ）时构件的工作安
全系数
?n 0??
为只考虑扭转（设 ）时构件的工作安
全系数
?n 0??
?
t
120
40
例,24.5 构件承受图示交变应力
又知 M PaM Pa b 600,2001 ??? ?? ?
8.0,4 2 0 ??
?
? ???
kM P aD
（ 1）作出构件的持久极限简化折线
（ 2）标出与图示应力循环对应的点 F
（ 3）标出表示此构件在此种应力循环下的持久
极限的点 P
（ 4）设 P点横坐标为,纵坐标为,写出Pm )(? Pa)(?
?r?
A
'A
B m?
a?
0
80
168
200
250
'C
P
)210,210(C
PaPmr )()( ??? ???
失效问题
已学,静载荷下的强度, 刚度, 稳定性计算 。
初载荷下如何进行计算？
? § 24.1 概述
? § 24.2 惯性力问题
? § 24.3 冲击问题 （重点）
? § 24.4 交变应力问题
静载荷,从 0开始, 缓慢增加到某一值后就保
持不变 。
§ 24,1 概述
动应力：构件中因动载荷引起的应力称动荷
应力．简称动应力．用 表示．d? )( d?
动载荷：构件在载荷作用下处于运动状态，其
内各点的速度发生显著的变化，或载
荷随时间变化．
* 同静载的地方：实验表明：
只要,胡克定律仍成立,E也不变。Pd ?? ?
* 不同静载的地方：
1,std ?? ?
2．材料的强度指标有可能发生变化，要注意。
* 本章研究
1．惯性力问题
2．冲击力问题 （重点）
3．交变应力问题
§ 24,2惯性力问题
处理方法：构件或其上部件作匀加速直线运
动或匀速转动时, 再将其做静载
处理不行,可以根据达朗贝尔原理,
把相应均惯性力加在构件上, 这
样就把动力学问题在形式上作为
静力学问题来处理,
强度指标：对于惯性力问题, 材料性能的变
化可以忽略不计,
∴ 在进行强度计算时，可以采用静强度指标,
24.2.1 构件作匀加速直线运动
若ＡＢ杆以加速度 a 向上提升，每单位长度
的重量为,Ａ是横截面面积．相应的
惯性力为,方向向下
)(?gA?
gA? )(?
A B
l
a
受力分析
gAq st ??
AyF ByF
静载
)1( gagAaAgAq st ???? ???
dAyF
动载：加速度为 a上升
8
2
m a x
lqM st
st ? 8
2
m a x
lqM d
d ?
W
glA
W
M st
st 8
2
m a x
m a x
?? ?? )1(8
2
m a x g
a
W
glA
d ??
??
EI
glA
EI
lq st
st 3 8 4
5
3 8 4
5 44
m a x
?? ??
)1(3 8 45
4
m a x g
a
EI
glA
d ??
??
现,)1(
m a xm a x g
a
std ?? ?? )1(m a xm a x g
a
std ?? ??
强度条件,? ??? ?m a xd
? ??,静载时的许用应力。
24.2.2 构件作匀速转动（或匀加速转动）
?
?d?
dq
以匀角速 旋转的飞轮，可
忽略轮辐视为薄圆环：平均
直径,D>>t（厚度），设
圆环横截面积为 A，材料密
度为,求动应力（不计自
重）
?
?
1．若不旋转，则无应力。因 产生的动应力与
法向 相反,为沿圆环轴线均匀分布的惯性力
集度 。
?
na dq
2,内力, 应力
取上半部研究
2
2
1 ??? DAaAq
nd ??
DqdDqN ddd ???? ? ? ??0 s in22
222
4
1
2 vAdA
DqN d
d ??? ??? )2(
?Dv ?
2v
A
N d
d ?? ?? (t<<D认为均布 )
3,强度条件,
? ???? ?? 2vd
? ?
?
??v 称为极限速度，相应的
D
v2?? 称为极限转速
讨论：
1．若飞轮强度不够，增加截面面积 A可否？
无用，且增加重量，浪费材料
2．要保证强度，只能限制转速。但飞轮是储
存机械能的元件，希望其速度越高越好。
例 24,1
一般是用强度较高的材料来制作飞轮，即
使 提高。? ??
?
?
?
mg
A
O
OA：质量 m，长 l，匀质，由铅
垂位置受扰动倒下。试求杆中的
弯矩分布，最大弯
矩及位置。
?
mgl?
dN
dM
dQ
解：
1．以 A为原点，沿杆轴方
向,轴。沿任一部位 B
切开，以 为研究对
象。截面上的动轴力,动剪力
?
??AB
dN
，动弯矩 我们要求的是 。 ∴ 惯性力系中
只需求出红线部分（切向加速度 引起）
dQ dM dM
?
? ?
? ?? ? 0
3
2
2
1
22
s i n:0
??????
?????????
????
?
???
?
?
?
ll
l
m
l
l
m
mg
l
Mm dB
2．求 0
2s in:0 ?????
lmgMm
oqo ?
?
讨论：拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，根部开
始断裂，烟囱象刚体一样整体下落。当下落角
度 较大时,增大、惯性力的切向分量增大、
也增大。当弯矩最大值所在截面 上的最
大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱
就产生第二次断裂。这第二次断裂由惯性力引
起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应从
背向地面一侧有最大拉应力）
? ?
dM ??
??
?
? l
3
2
§ 24.3 冲击问题 （重点）
§ 24.3 冲击问题 （重点）
冲击会引起很大的动应力和变形, 此处研
究的只限于, 被冲击构件, 始终处于线弹性范
围 。
采用能量法 dUVT ??
冲击物在冲击过程中减少动能 势能 V1T
被冲击物在冲击过程中增加的变形能
dU
假设：
1．冲击物为刚体,并略去冲击过程
中的能量损失（声能、热能等）
2．被冲击构件质量可以略去不计。
3．冲击与被冲击一经接触，即附着在一起，
直至构件上被冲击处的位移达到最大值。
（冲击过程认为到此结束）
)0( ?冲U
:pd ?? ?
d
st
d
st
d
st
d K
P
P ???
?
?
?
?
dK
：称为动荷系数
式中 为被冲击构件达到最大变形位置
（此时冲击物速度为 0）时的瞬时载荷，变形和
应力 时的冲击问题，可以采用静强度
指标。
实例：冲床、轴急刹车
dddP ??,,
pd ?? ?
24.3.1 铅垂刹车
1,冲击物自由下落：重为 P的冲击物, 初速
度为 0,自高度为 h处自由下落, 冲击到构
件上 。
dUVT ??
T,冲击开始时,结束时ghv 2? 0?v
V,冲击过程势能减少为 dP?
铅垂刹车指冲击物与被冲击构件即将接
触的瞬间，冲击物的速度是铅垂向下的。
dU
:冲击过程增加变形能为 ddP?21
∴ ddd PPghgP ?? 21221 ???
又 d
st
dd K
P
P ??
?
? ∴
st
d
d PP ?
?? 代入上式
0222 ??? stdstd h ????
?
?
?
?
?
?
???
st
std
h
?
?? 211
由于 总大于相应的 。 ∴ 取,+”号
d? st?
stst
d
d
hK
??
? 211 ????∴
冲击物自由下落时的动荷系数。
讨论：
1．式中 的含义：将冲击物的重力 P以静载荷
的方式沿冲击方向作用在被冲击构件的冲击
点处。此处沿冲击方向产生的静位移。具体
应用时，根据不同情况分析和计算。
st?
例：
l
h
P
P
EA
Pl
st ??
P
2
l
2
l
EI
Pl
st 48
3
?? )2(2148
3
k
P
EI
Pl
st ???
P
k
2．冲击物以初速度 下落
方向不受限制。在接触到被冲击构件之
前下落了高度为 h的一段距离。但最终接触
到被冲击构件时，冲击方向是铅垂向下的。
将冲击物以 开始下落到冲击结束作为
一个全过程。
0v
0v
0v
P 0v
d?
h
?
h
d?
例：
2
02
1 v
g
PT ?
)( dhPV ???
st
d
ddd PPU ?
?? 2
2
1
2
1 ??
代入
dUVT ??
022
2
02 ???
?
?
???
? ???
stdstd hg
v ????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???
st
std g
ghv
?
?? 211
2
0
st
d g
ghvK
?
211 20 ????
公式讨论,1．当初速度 时，即得自由
下落公式。
dK 00 ?v
2,临冲击到被冲击构件（梁）时，速度方向必
须是铅垂向下的。否则
)s in( ?? dhPV ??
3．式中 含义同前。st?
24.3.2 水平冲击
重量为 P的物体，沿水平方向，以速度 冲击
到构件上。
v
∵ 0?v ∴ 即
dUT ?
st
d
dd PPvg
P
?
?? 22
2
1
2
1
2
1 ??
st
std g
v
???
2
?
st
d g
vK
?
2
?
例 24,3 水平面内 AC杆（质量不计）,C端
重物重量 Q,AC绕 A以 匀速转动。因故障
在 B点卡住而突然停止转动。求 AC杆内最大
冲击应力（ AC弯矩截面系数 W已知）
?
A B
l
A B
1l
C
d?
1．求 dK
2)(
2
1 ?l
g
QT ?
0?V
相当于水平冲击
Q
st? std g
vK
?
2
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
?
?
???????
??????
?
?
?
111
111
3
2
2
1
3
2
2
11
llllllQ
lllllQ
EI
st?
? ?
EI
llQl
3
2
1??
∴ gQ lEIll lK d 3
1?
? ?
)( 1llQ ?
)(M
)( 1ll?
2,? ?
W
llQ
W
M
st
1m a x
m a x
????
∴ gE I Q lWK stdd 3m a xm a x ??? ???
24.3.3 扭转冲击
A B ?
刹车时使
，, AB轴：,
B端有一转动惯量很大的
飞轮，与其相比,AB轴质
量略去不计,A端装有刹车
离 合器。已知飞轮转速
m in1 0 0 rn ? 25 0 0 mKgT ?? mmd 100?
，G P aG 80?,ml 1? ? ?,M P a40?? ? ?,m?5.1' ??
轴在 10秒内匀速停 止转动，问 AB轴是否安全？
分析,10秒内匀减速球属惯性力问题, 若 A
端突然急刹车, 瞬间停止转动, 则属
扭转冲击问题 。
解,)(
3
10
60
2
sr a d
n ??? ??
)(
310
3
100
0
2s
r ad
t
???? ??????
（负号表示与方向相反，减速）
惯性力偶矩：
)(6)3(5 0 0 mKNJm d ??????? ???
离合器作用在轴上，摩擦力偶矩,由 ? ?,0xm
)(6 mKNmm df ??? ?
AB轴在 及 作用下扭转变形dm fm
)(6 mKNmT dd ??? ?
? ??
?
?
? ???
?
?
??
?
Pa
W
T
p
d
d
6
33
3
m a x 1067.2
)10100(
16
10
6
? ?'038.0
180
)10100(
32
1080
10
6180
'
439
3
?
??
?
?
?
??
?
???
?
???
?
m
GI
T
P
d
d
o
此轴安全
考虑急刹车，瞬间停止：飞轮由于惯性将继续转
动。视为冲击物,AB轴视为被冲击物 。
动能损失,2
2
1 ?JT ?
0?V
p
d
ddd GI
lTTU
22
1 2?? ?
由 即
dUT ?
p
d
GI
lTJ
22
1 22 ??
l
JGIT p
d ??
? ????? ?????? M P a
Al
GJ
lW
JGI
W
T
p
p
p
d
d 1 0 5 7
2
2m a x
不安全
讨论：
1．扭转冲击时 与轴的体积 Al有关，体
积,
maxd?
? ?maxd?
2．突然急刹车的 与正常刹车（ 10秒匀速）
相比，是 396倍,∴ 工程实际中重要轴是不允
许突然刹车的。在操作规程中规定刹车过程
不得少于若干秒，以保证轴的安全。
maxd?
* 若不属于 24.3.1～ 24.3.3各种情况，不能直接用
公式，但应会从 去推。另外 还可以
由定义式去求,
参见书 P606，例 24.8
dUVT ??
st
d
st
d
st
d
d P
PK
?
?
?
? ???
dK
24.3.4 冲击与其它问题的组合
* 若被冲击结构为静不定结构：
dK3．求
2．求静载方式下冲击点的静位移（静不定结
构上求位移）
1．首先将冲击物重力 P以静载方式沿冲击方
向作用在被冲击结构的冲击点上，求解此
静不定结构。
4．进一步求被冲击结构上,解决强
度,刚度问题。
)( m a xm a x dd ??
* 若被冲击结构上有压杆，还应考虑稳定性问题
（不管是静定，还是静不定结构上）
A
C
B
l l
v
D
E
l
a
P
例 24,4：书 P604 例 24.7
ABC：直角拐,CD段刚体，
AC段,EI,CE段,EA
AlI 24? al 3? EI gPav 584
3
?
求,（ B处挠度）
（不考虑 CE杆失稳）
Bd?
P
1X
1XP
Pa
0
)(
?P
P
N
M
1．求解静不定
01111 ??? Px?
? ? ?????? ?????? llPaEIP 221211
EI
Pal 21??
EI
Pl
6??
???
?
???
?
1
1
N
M )(?
l2
11?X
11?X
11 ??N
? ?? ?
EA
l
EA
l
EI
l
l
EI
lll
EI
3
5
3
8
11
1
2
3
2
22
2
11
3
11
?
??
????
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
∴
1011
1
1
PX P ????
?
11 MXMM P ??原
11 NXNN P ??原
)(?Pa
Pa52 10
PN?
0
)(
?N
M
1
a
0
)(
?N
M
2．求 （将下图 与,图乘）
Dst? 原M 原N
?
?
?
?
?
? ?
??
?
??
? ??
?
??
?
? ?? alPaPa
EID s t 25
21?
EI
Pa
EI
lPa
5
21
5
7 32 ??
3,22 ??
D s t
d g
vK
?
1
l
4,求 先求
Bd? Bst?
?????? ??????? ????????? ?? 3103212521 lPalllPaEIB s t?
EI
Pal
20
5 2?
)(12
3
?? EIPl
∴ )(
6
3
???? EIPlK B s tdBd ??
* 若要考虑 CE杆失稳角：
将其去和 CE杆的 比较。 510
2 PPNKN stdd ?????
crP
24.3.5 提高构件抗冲击能力措施
?dK ?st? EA
Pl
PGI
Tl
EI
Pl
48
3,.....
1．,EAGIEI
p,,
若能选择 E,G较低的材料。可以提高抗冲击
能力。若减小,则在减小了刚度的同时，
也会使静应力增大。结果未必能达到降低冲
击应力目的。工程上一般采用的方法是增设
缓冲装置。如习题 24.12，以达既能增加静位
移，又不增加静应力。
AII p,,
2,尽量增加构件长度 （ 许可范围 ）
3,受拉压冲击构件最好采用等截面杆
1A 1A2A
s
)1(
v
?
2A)2( ?
v
∵ m a x2m a x1 stst ?? ?
stst 21 ?? ? ??
??
?
?
EA
Pl
∴ 且 s越小，动应力越大。dd 21 ?? ?
§ 24.4 交变应力问题
24.4.1 交变应力与疲劳失效
1．交变应力：随时间作周期性变化的应力。
实例 *齿轮每转一周，每个轮齿只啮合一次。
啮合时，作用于轮齿上的力 P由 0迅速增大到
最大值。然后又减小为零。引起赤根部的弯
曲正应力也有 0增大到,再减小为零。
max?
* 火车轮轴
t?
若火车行驶，轮轴以角速度 转动，则除轴心
外，任一点的应力都随时间变化。
?
tRIMIMy ?? s in??
* 弹簧等
2．疲劳失效的概念及特点
实际上并非疲劳，是一种损伤积累的过程。其
破坏完全不同于静应力引起的破坏。
疲劳失效：有些构件（设计或加工工艺有问
题），在交变应力作用下，经过
长期的应力重复变化，会发生突
然断裂。这种破坏现象习惯上称
为疲劳破坏（失效）。
特点 （ 1） 最大工作应力远低于静强度指标时,
疲劳破坏就可能发生 。 （ 所以进
行强度计算时, 不能再采用静强
度指标 ） 但这种破坏不是立刻发
生的, 而要经历一段时间, 甚至很
长时间 。
（ 2）无论是脆性还是塑性材料。发生疲
劳破坏时，均表现为脆性断裂，即
使塑性好的材料，事先也没有明显
的塑性变形。
∴ 疲劳破坏没有先兆 。 断裂突然, 后果
严重 。 应掌握疲劳强度计算 。
本节只研究金属疲劳 。 （ 非金属疲劳, 高湿疲
劳, 声疲劳, 冲击疲劳 ）
3．疲劳失效的断口特征及成因
断口包含光滑区和粗糙区
疲劳失效过程可见成因：
（ 1）裂纹疲劳源的形成
（ 2）疲劳裂纹的扩展
（ 3）最后发生脆性断裂
24.4.2 交变应力表现法
?
max?
min?
a?
m?
t
循环特征（应力比）：
max
min
?
??r
应力幅,2 m i nm a x ??? ??a
平均应力,2 m i nm a x ??? ??m
任何一个交变应力均可用,表示
三种典型的交变应力。
rma,,,,m i nm a x ????
（ 1）对称循环,m i nm a x ?? ?? 火车轮轴
0,,1 m a x ???? mar ???
（ 2）脉动循环,0min ?? 齿根
m a x2
1,0 ??? ???
mar
（ 3）静载,minmax ?? ?
m i nm a x,0,1 ???? ???? mar
* 时，统称非对称循环。可将其视为一个
相当于 的静应力叠加一个应力幅为 的对
称循环交变应力。
1??r
m? a?
*,以上均适用?? ?
24.4.3 材料的持久极限
1,疲劳寿命
在交变应力下, 产生疲劳破坏所需的应力循环
数称疲劳寿命 。 按疲劳寿命的高低将疲劳分为：
（ 1）高循环疲劳（高周疲劳）：破坏循环
次数 。因其 较低，应力
应变关系是线性的。所以工作应力仍
可按静载时的公式计算。
54 10~10? ma ??,
本节介绍的就是高循环疲劳的强度计算 。
例传动轴 。
（ 2）低循环疲劳：破坏时循环次数 。
材料处于塑性状态。 例 压力容器
54 10~10?
∵ 时，疲劳破坏就可发生。所以静强
度指标 不能用。那么许用应力怎么定？
? ??? ??m a x
? ??
n
构件的持久极限许用应力 ?
材料的持久极限由标准试件实物得到。
2,材料的持久极限：
标准试件经历“无限次” 应力循环而不发
生疲劳失效的最大应力。
标准试件：国家标准规定的光滑小试件，每
组十根。
)10( 7
（ 1）简介钢弯曲对称循环疲劳试验。
max?
1??
)(寿命N
b?
?
静%60
1.m a x
?
1N
：当减小到时，疲劳曲线趋于水平。
即, ∴ 称 的钢在对称循环下疲劳
破坏。则再增加循环次数也不会疲劳 。
1??
??N 1??
∴ 将 称为循环基数（代替 次）。
与其对应的仍未疲劳的最大应力 规
定为钢的持久极限
710?DN ?
max?
镁合金等有色金属的疲劳曲线没有明显趋于
水平的直线部分。通常取 把它对
应的 作为材料的持久极限，称名义持久
极限。
870 10~10?N
max?
同样原理可测定拉压疲劳极限，扭转疲劳极限等。
可参见关于疲劳试验的专门著作,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
b
b
??
??
??
25.0
38.0)(
43.0(
1
1
1
拉压
弯曲）
经验公式，可用于估算。
（ 2）同一种材料（例钢）在不同循环特征的交
变应力作用下，持久极限是不同的。仍可
设计试验同理进行测定。画出一组曲线
max?
N
1??r
0?r
3.0?r
6.0?r
A
C
D
E
1?? 0
?
得到各种应力循环下的,r? ),,,( 6.03.001 LL???? ?
其中 为最低。1??
* 持久极限可以理解为交变应力下的极限应力，
但它与静载下的极限应力完全不同：
a．静载下的极限应力只需用材料破坏时的应力值
即可表示。而交变应力下的极限应力
必须用破坏时的最大工作应力 和循环次数
N才能表示清楚。
)( bs ?? 或 r?
max?
b,不仅因材料不同而异，即使是同一种材
料也会因循环特征 r不同而异，还会因变形
形式而异。
r?
a?
m?
A )2,2( 00 ??C
D
B0
F
1??r
1??r
0?r
?
∵ am ??? ??m a x
∴ armrr )()( ??? ??
∴ 任一循环下的 都
与坐标系中一点对应
r?
3．材料的持久极限曲线
该曲线上任一点的横纵坐标之和就是该点所对
应的那种循环特征下的持久极限。
（ 1） 坐标系中任一点 F对应一个具体的应力
循环：有 F就知
am ?? ?
???,,am
则,am ??? ??m a x
am ??? ??m i n
r可由下式求出,rrtg
m
a
?
??
?
???
1
1
m i nm a x
m i nm a x
??
??
?
??
由此式还可看出：从原点 O出发的同一条射线
上的各点所对应的应力循环具有相同的 r。
（ 2）射线 OF与持久极限曲线的交点，表示该
循环特征下的持久极限 。只要 F位于曲
线之下则,材料就不会发生疲劳失
效。
r?
r?? ?max
（ 3）工程上常用简化折线代替曲线，这样只
需,, 即可解出，而且偏于
安全。
1?? 0? b?? ??1
24.4.4 对称循环下构件的持久极限
与标准试件不同，实际构件的形状、尺寸、
表面质量均不同，必须考虑这些因素。
构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，截面尺寸突变
引起应力集中。导致 （促裂纹产生、扩展、脆
断）有效应力集中系数
?r?
?k
1．构件外形的影响（应力集中）
?rr ?? ?修正
K
k )(
1
1
?
??
?
?
?
1??,无应力集中标准试件
K)( 1??,有应力集中试件（除应力集中外，其
它均与标准试件同）
显然 （也有 ）1??k
?k
比较有效应力集中与 12章中介绍的理论应力集中
系数不同：
后者仅与构件外形有关
前者不仅与构件外形有关，而且与材料性能有
关。这点由图可见。材料的强度极限越高，
越大。 ?k
2．构件尺寸的影响
随着试件横截面尺寸的增大,?
r?
（试件中处于高应力状态的金属结晶颗粒多，
包含的缺陷就多，更多形成疲劳纹）
尺寸系数,
??
1
1 )(
?
??
?
?? ?
?
：大试件（除 d大外，其它同标准试件）?? )( 1?
：标准试件1??
一般 d>标准试件时,但当轴向拉压时，因横
截面上应力均匀分布，尺寸大小对 无影响。可
取 。
1???
r?
1???
3．构件表面加工质量的影响
表面加工时的切削痕迹、擦伤等都会成为疲劳
裂纹源，使 ?
r?
表面质量系数,?
1
1 )(
?
??
?
?? ?
：其它各种表面加工试件（其它同标准
试件）
?? )( 1?
：标准试件（表面磨削加工）1??
若想提高的值，可对表面进行强化处理。
可使 1??
（ 1）淬火、渗碳、氮化等热处理及化学处理。
（ 2）滚压、喷丸等机械处理，使表面形成预压
应力，减弱容易引起裂纹的工作拉应力。
综合上述三种因素，构件的持久极限为：
11 ?? ? ?
???
?
?
k
?
11 ?? ? ?
???
?
?
k
?
24.4.5 构件的疲劳强度计算
1．对称循环下的疲劳强度计算
1
1
1 ][ ?
?
? ?? ?
????
?
?
nkn
?
（ n为疲劳安全系数，一般取 1.5~2.5）
通常写为：
n??
max
1
?
? ?
左侧：构件的持久极限与最大工作应力之比。
代表构件工作时的安全储备。称为工作安全
系数。
nkn ??? ??
m a x
1
m a x
1
?
???
?
?
?
?
?
?
2．非对称循环下构件的强度条件
（ 1）非对称循环下构件的持久极限
原则：用 对材料的持久极限曲线加以
修正就可得构件的持久极限曲线。
????,,k
注意：各种因素只对属于动应力部分的 有影响，
而对属于静应力部分的 无影响。
a?
m?
∴ 修正时，只需将各点的纵坐标乘以,
横坐标不动 ?
???
k
a?
m?b?
B
A
'A )2,2( 00
??C
'C
s?
1??
2
0???
?
?
k
s?
1??
??
?
?
k
A-B-C：材料的持久极限曲线
A`-C`-B：构件的持久极限曲线
（ 2）非对称循环下构件的疲劳强度计算
nn ?? ?n 分以下三种情况
① 01 ??? r
ma
k
n
???
??
?
?
?
?
?
?
? ? 1
式中 及 为构件危险点处工作应力的应力幅和
平均应力。 为材料对非对称循环的敏感系数
a? m?
a?
0
012
?
??? ?? ?
a
② 循环特征接近 +1时，构件承受的交变应力接
近于静应力。此时，钢等塑性材料制成的构
件在产生疲劳破坏之前会因 达到 而发生
显著的塑性变形。若与危险点工作应力相对
应的点，落在横坐标轴上截距均为 的斜线
之下，则既不疲劳破坏也不屈服破坏。
此时
max? s?
s?
nn s ??
m a x?
?
?
（对屈服破坏规定的 n）
③ 1,0 ?? 但又不接近r
有可能在塑性变形很小时就发生疲劳破坏。
∴ 既校核疲劳强度，又校核屈服强度。
3．弯扭组合交变应力作用下构件的强度条件
n
nn
nnn ?
?
?
22
??
??
??
式中 为只考虑弯曲（设 ）时构件的工作安
全系数
?n 0??
为只考虑扭转（设 ）时构件的工作安
全系数
?n 0??
?
t
120
40
例,24.5 构件承受图示交变应力
又知 M PaM Pa b 600,2001 ??? ?? ?
8.0,4 2 0 ??
?
? ???
kM P aD
（ 1）作出构件的持久极限简化折线
（ 2）标出与图示应力循环对应的点 F
（ 3）标出表示此构件在此种应力循环下的持久
极限的点 P
（ 4）设 P点横坐标为,纵坐标为,写出Pm )(? Pa)(?
?r?
A
'A
B m?
a?
0
80
168
200
250
'C
P
)210,210(C
PaPmr )()( ??? ???
