扭 转 内 力
第十三章 扭转
? 外力偶方向垂直横截面，变形，相
对扭转角
Am
BmCm
A
m
B
BA?
轴
其横截面上的内力
为一力偶,T称为扭
矩，转规定外法线
方向为正
cm 1T
cm
Bm
T
第十三章 扭转
? § 13.1 圆轴扭转时的应力
? § 13.2 圆轴扭转时的变形
? § 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
? § 13.4 薄壁圆筒的扭转
? § 13.5 非圆截面杆的扭转
? 附录,平面图形几何性质
圆 轴 扭 转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
? 一、变形几何关系
矩形格变为四边形
mm
? 平面假定：横截面仍保持为平面，
大小，形状不变，各横截面间的经
历不变，只发生相对转动（绕轴线）
从圆轴中切取段
再切取一楔体
dx取横截面的相对扭转角 dx
?? RddxBB R ???
dx
dR
R
?? ?
??? ? ddxbb ???
dx
d???
? ?
R?矩形 ABCD的直角改变量
??
矩形 abcd的直角
改变量
dx
1O 2O
?
R
A
B
C
D
B?
C?
a b
cd
b?
c?
?d
R?
对同一横截面 为一常量,单位长度
上的相对扭转角 dx
d?
二、物理关系
单元体处于纯剪切
应力状态 (无正应力 )
?? ?? G?
(b)沿圆向
dx
dG ???
? ?
(c)
T
A
? ??
? ???
O
dA
的“合力”构成扭矩 T??
?? A dAT ??? (d)
将 (c)代入 (d)
dx
dGIdA
dx
dGT
PA
??? ?? ? 2
则
PGI
T
dx
d ?? (13.1)
三, 静力学关系
dAI AP ?? 2? （ 13.2）
为一几何量称为圆截面对圆心
的极惯性矩P
I
4][长度
令, [弧度 ]/[长度 ]
dx
d?? ?
PGI
T??
将（ 13.1）代入（ c） 式
PI
T ??
?
?? R??
PI
TR?
m ax?
令 抗扭截面模量
R
IW P
P ?
则 上述公式适用于实心和
空心圆轴 PW
T?
max?
对实心圆轴,直径为 D
4
32 DI P
?? 3
16 DW P
??
D
对外径为 D内径为 d的空心圆轴,
? ?43 116 dDW P ?? ?
? ?4432 dDI P ?? ? Dd??
圆轴强度条件
? ??? ??
PW
T
m a x
d D
由 dx
GI
Td
P
??
P
l
Pl GI
Tldx
GI
Td ??? ??
0
??
PGI
—— 抗扭刚度
PGI
T
l ??
??
§ 13.2圆轴扭转时的变形
l
dx
?
m m
设 为允许的单位长度扭转角? ?o? ? ?mo
刚度条件
? ?oo ??? ??? 1 8 0m a xm a x
PGI
T ? ?
mo
精密机械 ? ? ? ?moo 5.0~25.0??
一般机械 ? ? ? ?moo 0.1~5.0??
例：已知,KNmm
c 5.4?
mmd 701 ? mmd 552 ?
mml 11 ? mml 5.12 ?
G P aG 80? ? ? M P a60??
? ? moo 1??
校核轴的强度和刚度
1l 2l
1d
A BC
cm
2d
解,1,求支反力：
AmT ?1 BmT ??2
BAc mmm ??
几何,0???
CBACAB ???
物理：
1
1
1
11
P
A
P
AC GI
lm
GI
lT ???
2
2
2
22
P
B
P
CB GI
lm
GI
lT ????
59.3
91.0
)( mKNT ?
cmAm
Bm
0
2
2
1
1 ??
P
B
P
A
GI
lm
GI
lm则
1
2
2
1
l
l
I
Im
p
P
A ??
解得,KNmm A 59.3? KNmm B 91.0?
2,强度
AC段,? ??
?
? ???? M P a
d
m
W
T A
p
3.53
16
3
1
1
1
1m a x
BC段,M P a
d
m
W
T B
P
9.27
16
1 3
2
2
2
2m a x ?????
?
?
? ??? ?2m ax 安全
3,刚度：
AC段,? ? ? ?oo ?
?? ???? mGI
T
P
0 0 1 1.01 8 0
1
1
1
BC段：
? ?m
GI
T
P
o00073.0180
2
2
2 ???? ??
? ??? ?2 安全
铸 铁 扭 转 破 坏
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
塑性材料：沿
轴线 45度角的
螺旋面断裂变
形很小
塑性材料的扭转破坏
? 脆性材料抗拉能力低于抗剪能力因而
被拉断
塑性材料抗拉能力高于抗剪能力因而
被剪断
?
?? ?3
?45
???1
???r 10?
?
r
则 rrT ???? ??? 2
??? 22 r
T?
???? 32 22 rrrI P ????
?? 22 rrIW PP ??
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
T
?
r
?
薄 壁 圆 筒 扭 转
其换算关系为
? ?
? ? ? ?mNr p mn
KWPm ??? 9549
根据功的等量代换：
?????? ?????? 1000260,10001 PnmsmNKW ?
? 对非圆截面杆的扭转，刚性平面的
假定不成立，以矩形截面为例，受
扭后，原横截面成为凹凸不平的曲
面，称为翘曲
? 1、自由扭转：各横截面可自由翘曲
且程度相同，因而横截面上只有，
而正应力很小，可忽略。
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
0??
?
对矩形截面, 截面
周边上各点 方向
与周边平行且四个
角处
?FLI,,
???
2,约束扭转：杆两端受约束不能自由翘
曲, 各横截面翘曲程度不同, 横截面上
不仅有 且有 。 对实心杆 很小可忽
略, 但对薄壁杆如,则 不可忽略
T
的大致分布如图,?
发生在截面长 边的中点处max? h
2m a x hb
T
?? ?
短边中点的应力：
m a x1 ??? ?
T
C
1?
max?
b
h
相距为, 不变的两截面相对扭转角l T ?
3hbG
Tl
?? ? ???,,根据 由 表 13.1查得bh 302?P
由表可见当 时10?bh
3
1,???
因此对长度为, 长度
为 的狭长矩形
?
h
2
m ax
3
1 ?? h
T?
3
3
1 ?? hG
Tl?
矩 形 扭 转
对于开口的薄壁杆, 可将截面看成若
干狭长矩形所组成
各部分承受的扭矩 可根据各部分的
抗扭刚度确定且
iT
?? iTT
例：试计算开口
及闭口薄壁圆筒
在相同情况下
2
1 ????
2
1 ???
T r
?
解,1,开口
rh ?2? 221 2
3
3
1 ??
?
?
r
T
h
T
??
Gr
Tl
hG
Tl
3
3
1 2
3
3
1 ??
?
? ??
2,闭口
??
? 22
2 r
T? ? ??? 22 rW
P ?
22 rrI
P ?? ?? Gr
Tl
GI
Tl
P ??
? 32
2
??
3,比较：
?
?
??
?
??
??
? r3
2
1
2
2
1 3 ?
?
??
?
??
??
? r
开 闭 环 扭 转 剪 应 力
开 口 圆 筒 扭 转
静矩 (A对 y轴静矩 )
yS
?? Ay zd AS ? ?3长度
一次矩, 有正有负
形心
A
Sy z
c ?
附录：平面图形几何性质
一, 形心与静矩
O
y
z
cz
cy
C
A
dA
对组合图形, 如 T型
21 AAA ?? 0?cy??cz
221121 ccAAAy zAzAz d Az d Az d AS ????? ???
21
2211
AA
zAzA
A
Sz ccy
c ?
???
?
??
i
cii
c A
zA
z一般
1A
2A
C
1C
2C
y
z
如图
zy II ?
二, 惯性矩, 极惯性矩, 惯性积
? ?4长度0?yI
?? Ay dAzI 21,惯性矩,图形对某轴的
二次矩, 显然, 图形离
坐标轴越远则对该轴的惯性矩越大
y
z
02 ?? ? dAI
AP
?
显然, 由于 222 zy ???
zyP III ??
3、惯性积，图形对两相互垂直轴的二
次矩
?? Ayz y zd AI 可正可负
2,极惯性矩, 图形对某点的二次矩
性质：若坐标轴之一为图形的对
称轴则 0?
yzI
例：矩形截面
0?yzI
3
12
1 bhI
y ?
bdzdA ?
3
12
1 hbI
z ?
同理
dA
h
z
y
b
C
例：圆形截面
42
32 DdAI Ap
?? ?? ?
??? ddA 2?
Pzy III ??
4
64 DII zy
???
0?yzI 利用积分的可叠加性
? ?4422 32 dDdAdAI AdADP ???? ?? ???
? ?4464 dDII zy ??? ?
C
D
y
z
d D
例：求
yI
解,3
12
1 hbI
y ?
4
64 dI y
??
43
3212
12 dhbIII
yyy
?????
?zI
O
z
y2b
2b
4h 4h 4h 4h
d
若 则称 轴为主轴0?
yzI zy,
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩
形心主轴, 形心主惯性矩
4,主轴, 主惯性矩
三、惯性矩与惯性积的平行移轴公式
ycycAy aSAaIdAzI 2
22 ???? ?
azz c ?? 0?ycS
AaII ycy 2??
同理 AbII
zcz
2??
abAII y c z cyz ??
z
y
dA
C
b
O
A a
cz
cy
上例 3
12
1 bhI
z ?
2
24
4464
?
?
?
?
?
???? hddI
z
??
? ?2223
3212
12 hddbhIII
zzz ?????
?
逆时针转动 角yoz ?
11ozy?
?? s inc o s1 zyy ??
?? s inc o s1 yzz ??
四, 惯性矩和惯性积的转轴公式
?
dA
O
z
y
1z 1
y
?? 2c o s2s in
21111 yz
zy
Azy
IIIdAzyI ???? ?
?? 2s in2c o s22211 yzzyzy
Ay
IIIIIdAzI ?????? ?
11 zyzy IIII ???
类比
yx I?? zy I?? yzxy I??
主轴, 主惯性矩
主轴方位,
zy
yz
II
Itg
???
22
0?
主惯性矩
minmax,II
例：证明若对任意正多边形其形心
主轴均为主轴且 为一常量
1yI
0y证：设 为形心对称轴, 轴00 yz ?
为另一形心对称轴, 轴1y 11 yz ?
101 ??? oyy 000 ?zyI
02c o s2s in2 10010011 ???? ?? zyzyzy IIII
00 zy II ?
对任意对形心轴 zy,
02c o s2s in
2 00
00 ???? ??
zy
zy
yz I
II
I
也是主轴且zy,0yy II ?
第十三章 扭转
? 外力偶方向垂直横截面，变形，相
对扭转角
Am
BmCm
A
m
B
BA?
轴
其横截面上的内力
为一力偶,T称为扭
矩，转规定外法线
方向为正
cm 1T
cm
Bm
T
第十三章 扭转
? § 13.1 圆轴扭转时的应力
? § 13.2 圆轴扭转时的变形
? § 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
? § 13.4 薄壁圆筒的扭转
? § 13.5 非圆截面杆的扭转
? 附录,平面图形几何性质
圆 轴 扭 转
§ 13.1 圆轴扭转时的应力
? 一、变形几何关系
矩形格变为四边形
mm
? 平面假定：横截面仍保持为平面，
大小，形状不变，各横截面间的经
历不变，只发生相对转动（绕轴线）
从圆轴中切取段
再切取一楔体
dx取横截面的相对扭转角 dx
?? RddxBB R ???
dx
dR
R
?? ?
??? ? ddxbb ???
dx
d???
? ?
R?矩形 ABCD的直角改变量
??
矩形 abcd的直角
改变量
dx
1O 2O
?
R
A
B
C
D
B?
C?
a b
cd
b?
c?
?d
R?
对同一横截面 为一常量,单位长度
上的相对扭转角 dx
d?
二、物理关系
单元体处于纯剪切
应力状态 (无正应力 )
?? ?? G?
(b)沿圆向
dx
dG ???
? ?
(c)
T
A
? ??
? ???
O
dA
的“合力”构成扭矩 T??
?? A dAT ??? (d)
将 (c)代入 (d)
dx
dGIdA
dx
dGT
PA
??? ?? ? 2
则
PGI
T
dx
d ?? (13.1)
三, 静力学关系
dAI AP ?? 2? （ 13.2）
为一几何量称为圆截面对圆心
的极惯性矩P
I
4][长度
令, [弧度 ]/[长度 ]
dx
d?? ?
PGI
T??
将（ 13.1）代入（ c） 式
PI
T ??
?
?? R??
PI
TR?
m ax?
令 抗扭截面模量
R
IW P
P ?
则 上述公式适用于实心和
空心圆轴 PW
T?
max?
对实心圆轴,直径为 D
4
32 DI P
?? 3
16 DW P
??
D
对外径为 D内径为 d的空心圆轴,
? ?43 116 dDW P ?? ?
? ?4432 dDI P ?? ? Dd??
圆轴强度条件
? ??? ??
PW
T
m a x
d D
由 dx
GI
Td
P
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P
l
Pl GI
Tldx
GI
Td ??? ??
0
??
PGI
—— 抗扭刚度
PGI
T
l ??
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§ 13.2圆轴扭转时的变形
l
dx
?
m m
设 为允许的单位长度扭转角? ?o? ? ?mo
刚度条件
? ?oo ??? ??? 1 8 0m a xm a x
PGI
T ? ?
mo
精密机械 ? ? ? ?moo 5.0~25.0??
一般机械 ? ? ? ?moo 0.1~5.0??
例：已知,KNmm
c 5.4?
mmd 701 ? mmd 552 ?
mml 11 ? mml 5.12 ?
G P aG 80? ? ? M P a60??
? ? moo 1??
校核轴的强度和刚度
1l 2l
1d
A BC
cm
2d
解,1,求支反力：
AmT ?1 BmT ??2
BAc mmm ??
几何,0???
CBACAB ???
物理：
1
1
1
11
P
A
P
AC GI
lm
GI
lT ???
2
2
2
22
P
B
P
CB GI
lm
GI
lT ????
59.3
91.0
)( mKNT ?
cmAm
Bm
0
2
2
1
1 ??
P
B
P
A
GI
lm
GI
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1
2
2
1
l
l
I
Im
p
P
A ??
解得,KNmm A 59.3? KNmm B 91.0?
2,强度
AC段,? ??
?
? ???? M P a
d
m
W
T A
p
3.53
16
3
1
1
1
1m a x
BC段,M P a
d
m
W
T B
P
9.27
16
1 3
2
2
2
2m a x ?????
?
?
? ??? ?2m ax 安全
3,刚度：
AC段,? ? ? ?oo ?
?? ???? mGI
T
P
0 0 1 1.01 8 0
1
1
1
BC段：
? ?m
GI
T
P
o00073.0180
2
2
2 ???? ??
? ??? ?2 安全
铸 铁 扭 转 破 坏
§ 13.3 圆轴扭转时斜截面上的应力
塑性材料：沿
轴线 45度角的
螺旋面断裂变
形很小
塑性材料的扭转破坏
? 脆性材料抗拉能力低于抗剪能力因而
被拉断
塑性材料抗拉能力高于抗剪能力因而
被剪断
?
?? ?3
?45
???1
???r 10?
?
r
则 rrT ???? ??? 2
??? 22 r
T?
???? 32 22 rrrI P ????
?? 22 rrIW PP ??
§ 13.4 薄壁圆筒的扭转
T
?
r
?
薄 壁 圆 筒 扭 转
其换算关系为
? ?
? ? ? ?mNr p mn
KWPm ??? 9549
根据功的等量代换：
?????? ?????? 1000260,10001 PnmsmNKW ?
? 对非圆截面杆的扭转，刚性平面的
假定不成立，以矩形截面为例，受
扭后，原横截面成为凹凸不平的曲
面，称为翘曲
? 1、自由扭转：各横截面可自由翘曲
且程度相同，因而横截面上只有，
而正应力很小，可忽略。
§ 13.5 非圆截面杆的扭转
0??
?
对矩形截面, 截面
周边上各点 方向
与周边平行且四个
角处
?FLI,,
???
2,约束扭转：杆两端受约束不能自由翘
曲, 各横截面翘曲程度不同, 横截面上
不仅有 且有 。 对实心杆 很小可忽
略, 但对薄壁杆如,则 不可忽略
T
的大致分布如图,?
发生在截面长 边的中点处max? h
2m a x hb
T
?? ?
短边中点的应力：
m a x1 ??? ?
T
C
1?
max?
b
h
相距为, 不变的两截面相对扭转角l T ?
3hbG
Tl
?? ? ???,,根据 由 表 13.1查得bh 302?P
由表可见当 时10?bh
3
1,???
因此对长度为, 长度
为 的狭长矩形
?
h
2
m ax
3
1 ?? h
T?
3
3
1 ?? hG
Tl?
矩 形 扭 转
对于开口的薄壁杆, 可将截面看成若
干狭长矩形所组成
各部分承受的扭矩 可根据各部分的
抗扭刚度确定且
iT
?? iTT
例：试计算开口
及闭口薄壁圆筒
在相同情况下
2
1 ????
2
1 ???
T r
?
解,1,开口
rh ?2? 221 2
3
3
1 ??
?
?
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T
h
T
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Gr
Tl
hG
Tl
3
3
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3
3
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?
? ??
2,闭口
??
? 22
2 r
T? ? ??? 22 rW
P ?
22 rrI
P ?? ?? Gr
Tl
GI
Tl
P ??
? 32
2
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3,比较：
?
?
??
?
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2
1
2
2
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?
??
?
??
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? r
开 闭 环 扭 转 剪 应 力
开 口 圆 筒 扭 转
静矩 (A对 y轴静矩 )
yS
?? Ay zd AS ? ?3长度
一次矩, 有正有负
形心
A
Sy z
c ?
附录：平面图形几何性质
一, 形心与静矩
O
y
z
cz
cy
C
A
dA
对组合图形, 如 T型
21 AAA ?? 0?cy??cz
221121 ccAAAy zAzAz d Az d Az d AS ????? ???
21
2211
AA
zAzA
A
Sz ccy
c ?
???
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??
i
cii
c A
zA
z一般
1A
2A
C
1C
2C
y
z
如图
zy II ?
二, 惯性矩, 极惯性矩, 惯性积
? ?4长度0?yI
?? Ay dAzI 21,惯性矩,图形对某轴的
二次矩, 显然, 图形离
坐标轴越远则对该轴的惯性矩越大
y
z
02 ?? ? dAI
AP
?
显然, 由于 222 zy ???
zyP III ??
3、惯性积，图形对两相互垂直轴的二
次矩
?? Ayz y zd AI 可正可负
2,极惯性矩, 图形对某点的二次矩
性质：若坐标轴之一为图形的对
称轴则 0?
yzI
例：矩形截面
0?yzI
3
12
1 bhI
y ?
bdzdA ?
3
12
1 hbI
z ?
同理
dA
h
z
y
b
C
例：圆形截面
42
32 DdAI Ap
?? ?? ?
??? ddA 2?
Pzy III ??
4
64 DII zy
???
0?yzI 利用积分的可叠加性
? ?4422 32 dDdAdAI AdADP ???? ?? ???
? ?4464 dDII zy ??? ?
C
D
y
z
d D
例：求
yI
解,3
12
1 hbI
y ?
4
64 dI y
??
43
3212
12 dhbIII
yyy
?????
?zI
O
z
y2b
2b
4h 4h 4h 4h
d
若 则称 轴为主轴0?
yzI zy,
图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩
形心主轴, 形心主惯性矩
4,主轴, 主惯性矩
三、惯性矩与惯性积的平行移轴公式
ycycAy aSAaIdAzI 2
22 ???? ?
azz c ?? 0?ycS
AaII ycy 2??
同理 AbII
zcz
2??
abAII y c z cyz ??
z
y
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上例 3
12
1 bhI
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2
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逆时针转动 角yoz ?
11ozy?
?? s inc o s1 zyy ??
?? s inc o s1 yzz ??
四, 惯性矩和惯性积的转轴公式
?
dA
O
z
y
1z 1
y
?? 2c o s2s in
21111 yz
zy
Azy
IIIdAzyI ???? ?
?? 2s in2c o s22211 yzzyzy
Ay
IIIIIdAzI ?????? ?
11 zyzy IIII ???
类比
yx I?? zy I?? yzxy I??
主轴, 主惯性矩
主轴方位,
zy
yz
II
Itg
???
22
0?
主惯性矩
minmax,II
例：证明若对任意正多边形其形心
主轴均为主轴且 为一常量
1yI
0y证：设 为形心对称轴, 轴00 yz ?
为另一形心对称轴, 轴1y 11 yz ?
101 ??? oyy 000 ?zyI
02c o s2s in2 10010011 ???? ?? zyzyzy IIII
00 zy II ?
对任意对形心轴 zy,
02c o s2s in
2 00
00 ???? ??
zy
zy
yz I
II
I
也是主轴且zy,0yy II ?
