工 程 力 学 (c)
北京理工大学
工程力学系
工 程 力 学 （ C）
?第十章 变形固体静力学概述
?第十一章 应力应变分析
?第十二章 轴向拉压
?第十三章 扭转
?第十四章 梁的弯曲
?第十五章 组合变形
第十章 变形固体静力学概述
? 静力学主要研究的是原点，刚体的受
力与平衡问题而实际上物体受力后都
会发生变形，即两点间的距离相对变
化。工程结构中的构件。均为可变形
固体构件的类型可分为：杆，板壳。
块。本课程主要以杆为研究对象。
? 例如：屋梁，柱桥梁，传动轴。
? 一、任务
? 1、强度 —— 构件抵抗破坏的能力，
如屋架，梁等
? 2、刚度 —— 构件抵抗变形的能力，
如传动轴等
? 3、稳定性 —— 构件维持原有平衡形
式的能力，即平衡的稳定性问题，
如柱等
? 注意：构件在使用中，存在安全性与
经济性的矛盾，变形固体静力学的任
务就是确定结构的承载力，解决构件
安全与经济的矛盾。
? 变形体力学的发展：十七世纪 Galileo
开创了实验和数学分析相结合的科学
方法。变形固体力学的分析方法与工
程有更为紧密的联系,,实验和基本
理论有同等重要的地位,
? 二、变形固体的基本假设
? 1、连续性假设：材料是密实的，在
整个几何体内是连续分布的
? 2、均匀性假设：材料在各处的力学
性质相同（统计平均）
? 3、各向同性假设：材料在各方面上
的力学性能相同
? 4、小变形假设：构件受力后的变形
同其几何尺寸相比非常小。
? 因此,研究物体的平衡时,可以忽略
变形,以确定其支反力和内力
? 例如下图
A
B
AM
P
AR
? 三, 杆件变形
的基本形式
? 杆的几何特性：
轴线, 横截面,
形心, 轴线过
横截面的形心,
横截面与轴线
垂直, 杆可用
其轴线表示 。
轴线
横截面
形心
? 杆的分类：曲杆，直杆，变截面杆，
等截面杆
? 直杆的四种基本变形形式：
? 1、轴向的拉伸或压缩,
?
1P
?
2P ?
3P
拉伸（压缩）演示
拉伸（压缩）演示
1
?P
2
?
P 2
?P
1
?
P
1M 2M
3,扭转,
2,剪切,
剪 切 演 示
剪 切 演 示
扭 转 演 示
矩 形 扭 转
?
P
4,弯曲,
杆件的变形由上述几种基本变形组
合而成时, 称为组合变形 。
? 四、杆件的内力
? 杆件所受到的载荷（主动力）和约束
反力，统称为外力。
? 内力是指：在外力的作用下构件一部
分对另一部分的作用力。
? 研究内力的目的是确定构件的强度和
刚度。
? 研究内力的方法
? 1、截面法,
以轴向拉 （ 压 ） 杆
为例,
在 n-n处切开取分离
体用内力替代
沿杆件轴线的作用
的内力称为轴力
CBA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1P
1N
n
n
1N
2P 3P
n
n
2P
1P
2N
m
m
m
m
2N
3P
CBA
n
n
m
m
1P
2P
3P
A B
C1P
3P
? 取一微段，其作
用
n
n
N N使微段伸长时的轴
力为拉力
使微段缩短时的轴
力为压力
? 约定：截面上的轴力均要按拉力假
设，其方向与截面的外法线方向相
同。
? 轴力图：横轴表示截面位置，纵轴
表示轴力大小。
? 2、扭转内力
a b
n
n
A CB
AM
0m
n
n
T
AM
bmM A 0?
例：求 T
支反力
? 扭矩图，如图
A CB
a b
n
n
AM
0m
CBA
bm0
T
?约定,T的方
向按截面的外
法线方向假设。
? 3、弯曲内力
? (1)弯曲的概念：
以弯曲变形为住的
杆见称为梁通常梁
的横截面有一对称
轴与轴线构成纵向
对称面。对称弯曲
或平面弯曲静定梁 。
x
m qP
2R
1R
q
简支梁
P
外伸梁
悬臂梁
m
? (2)梁横截面上
的内力,
q
x
x BA
AR BR
l
xq
A
AR
? ?xQ
? ?xM
q
B
BR? ?xQ
? ?xM
? ?xQ 剪力
? ?xM 弯矩
约定：剪力, 弯矩的正负规定
QQ 为正
为正
剪力 Q
弯矩 M M
M
B
q
x
xA
AR BR
l
M图
Q图 2ql
2
ql
2
8
1ql
? ?
2m a x
qlQ ?
? ? qlM
8
1
m a x ?
? (3)q,Q,M间的关系
? ?xqdxd ?? ? ?xQdxdM ?
? ?xqdxdQdx Md ??22
利用 q,Q,M的积分关系作内力图
dx
? ?xq
? ?xQ
? ?xM ? ? dMxM ?
? ? dQxQ ?? ?xq 向上为正
?(1)若 q(x)=0 即
Q图为一水平直线由
M图斜率为一常量，即 M图为一斜直线
（ Q>0,Q<0 )
? ? c o n s txQdxd ??,0?
c o ns tQdxdM ??
?(2)若
Q图为一斜直线 而 M图为
一抛物线
? ? 0?? c o n s txq
? ?\/; ?? qq
???
?
???
? ?????? 图图 M
dx
MdqM
dx
Mdq,0,;,0,
2
2
2
2
例 qaR
A 4
5? qaR B
4
3?
\,0,0,MQqCA ??
/,0,0,MQqAD ??
?? MQqDB \,,0:
0x0
0
?
? xxdx
dM? ?
00 ?xQ(3)若 即 M在
截面处有极值。
a a a
AR BR
DC A B
qaP?
q20 qam ?
?M的 极值点：
2
4
3
2
1
4
3 ?
?
??
?
???? aqaRM
Bm
2
32
9 qa? 4qa
qa qa
4
3
2qa
243qa
2329 qa
a a a
AR BR
q
C A B
qaP ? 20 qam ?
? 4、多跨静定
梁分成两段：
P
2P 2P
2
P
ql
Pql
22
1 2 ?
2
Pql ?
C BA P
l a a
q
?一段简支
一段悬臂。
BA P
l a a
q
2
P
2
P
:Q
:M
Plql 2121 2 ?
4
Pl
? 5、刚架
? 刚结点：弯曲变形时
与该结点连接的各杆
间夹角不变
? 刚架：若干杆由刚节
点连接而成的结构
BC
A
?例,C结点为刚结点
? 约定,M图画在杆的纵向纤维受压一侧，
不标出正负 Q 图画在哪一侧均可标出
正负。
1Q
2Q
1M
2M
1M
2M 2
Q
1Q
例：
1,支反力
qaR A 21?
qaR B 21?
qaH B ?
aq
CA
B
AR
a
BR
BH
2,分段求杆端力
:AC
qaRQ ACA 21??
2
2
1 qaaRM
ACA ???
A
C
?
AR CAM
CAQ
:CB
0?CBQ
qaRN BCB 21??
2
2
1 qaM
CB ?
BH
BR
CBQ
CBM
CBN
3,内力图
qa21
M
A
C
B
qa21
N
qa21
qa
Q
例,1/4圆弧曲杆
（ 微分关系不适用 ）
约定：
?
O
a
A
B
P P2
拉为正?N 与梁和刚架相同?Q
使轴线曲率增加为正?M 如下图
?6、平面曲杆
P
P2
? ??N
? ??M
? ??Q ?? c o s2s in PPN ??
?? s in2c o s PPQ ???
)c o s1(2s in ?? ???? PaPaM
极值点：
0s in2c o s 00 ???? ??
?
PaPa
d
dM
2
1
0
??tg o6.260 ??
? ? PaM 2 3 6.00 ??? Pa
A
B
6.26
Pa263.0
M
? 弯曲内力分析讨论课
? ? ? ? ? ????? 2
1
12
x
x
dxxqxQxQqdxd 积分有?
? ? ? ? ? ????? 2
1
12
x
x
dxxQxMxMQdxdM 积分由
二, 积分关系
? ??? qdxd? Q
dx
dM ? Q
dx
Md ?
2
2一,
（ 面积的正负 ）
=剪力图面积 ? ?
21 ~ xx由? ??
2
1
x
x
dxxQ
条件无集中力偶作用 ? ?
21 ~ xx由
习题 3,已知剪力图求外力图及 M图 （
无集中力偶作用 ）
AC,Q水平 q=0 M/
?? KN2AP
?? KN2CP
mKN212 ????CM
KN2
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
Q
CD,0?Q 0?q
??M
DB,\Q
? ???? mKN1m2KN2q
?? KN2BP
?M 为极值DM
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
KN2
KN2
mKN1
KN2
KN2
KN2
mKN1
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
M
习题 4,已知 M图求剪力图和外力图
/MQ图, AC：
0?QQ 水平
1K N1m m1K N ???Q
CD,\M 水平0?Q
KN13 12 ?????Q
DB,??M 0?Q
mKN ?2
m1 m3 m1
mKN ?1 mKN ?1 M
A C D B
KN1
KN1
Q
外力图,
AC,??Q 0?q
?? KN1AP ?? KN2BP
CD,??Q 0?q
?? KN1DP
DB:D处 M突变外力偶
mKN3 ??Dm
mKN1 ??Bm
mKN ?2
m1 m3 m1
mKN ?1 mKN ?1 M
A C D B
KN1
KN2
KN1
mKN ?1
mKN ?3
三, 用叠加法作 M图
A
B C
q qaP ?
aa2
2a
2
8
1qa
2qa
M
A
B C
qaP ?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
北京理工大学
工程力学系
工 程 力 学 （ C）
?第十章 变形固体静力学概述
?第十一章 应力应变分析
?第十二章 轴向拉压
?第十三章 扭转
?第十四章 梁的弯曲
?第十五章 组合变形
第十章 变形固体静力学概述
? 静力学主要研究的是原点，刚体的受
力与平衡问题而实际上物体受力后都
会发生变形，即两点间的距离相对变
化。工程结构中的构件。均为可变形
固体构件的类型可分为：杆，板壳。
块。本课程主要以杆为研究对象。
? 例如：屋梁，柱桥梁，传动轴。
? 一、任务
? 1、强度 —— 构件抵抗破坏的能力，
如屋架，梁等
? 2、刚度 —— 构件抵抗变形的能力，
如传动轴等
? 3、稳定性 —— 构件维持原有平衡形
式的能力，即平衡的稳定性问题，
如柱等
? 注意：构件在使用中，存在安全性与
经济性的矛盾，变形固体静力学的任
务就是确定结构的承载力，解决构件
安全与经济的矛盾。
? 变形体力学的发展：十七世纪 Galileo
开创了实验和数学分析相结合的科学
方法。变形固体力学的分析方法与工
程有更为紧密的联系,,实验和基本
理论有同等重要的地位,
? 二、变形固体的基本假设
? 1、连续性假设：材料是密实的，在
整个几何体内是连续分布的
? 2、均匀性假设：材料在各处的力学
性质相同（统计平均）
? 3、各向同性假设：材料在各方面上
的力学性能相同
? 4、小变形假设：构件受力后的变形
同其几何尺寸相比非常小。
? 因此,研究物体的平衡时,可以忽略
变形,以确定其支反力和内力
? 例如下图
A
B
AM
P
AR
? 三, 杆件变形
的基本形式
? 杆的几何特性：
轴线, 横截面,
形心, 轴线过
横截面的形心,
横截面与轴线
垂直, 杆可用
其轴线表示 。
轴线
横截面
形心
? 杆的分类：曲杆，直杆，变截面杆，
等截面杆
? 直杆的四种基本变形形式：
? 1、轴向的拉伸或压缩,
?
1P
?
2P ?
3P
拉伸（压缩）演示
拉伸（压缩）演示
1
?P
2
?
P 2
?P
1
?
P
1M 2M
3,扭转,
2,剪切,
剪 切 演 示
剪 切 演 示
扭 转 演 示
矩 形 扭 转
?
P
4,弯曲,
杆件的变形由上述几种基本变形组
合而成时, 称为组合变形 。
? 四、杆件的内力
? 杆件所受到的载荷（主动力）和约束
反力，统称为外力。
? 内力是指：在外力的作用下构件一部
分对另一部分的作用力。
? 研究内力的目的是确定构件的强度和
刚度。
? 研究内力的方法
? 1、截面法,
以轴向拉 （ 压 ） 杆
为例,
在 n-n处切开取分离
体用内力替代
沿杆件轴线的作用
的内力称为轴力
CBA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1P
1N
n
n
1N
2P 3P
n
n
2P
1P
2N
m
m
m
m
2N
3P
CBA
n
n
m
m
1P
2P
3P
A B
C1P
3P
? 取一微段，其作
用
n
n
N N使微段伸长时的轴
力为拉力
使微段缩短时的轴
力为压力
? 约定：截面上的轴力均要按拉力假
设，其方向与截面的外法线方向相
同。
? 轴力图：横轴表示截面位置，纵轴
表示轴力大小。
? 2、扭转内力
a b
n
n
A CB
AM
0m
n
n
T
AM
bmM A 0?
例：求 T
支反力
? 扭矩图，如图
A CB
a b
n
n
AM
0m
CBA
bm0
T
?约定,T的方
向按截面的外
法线方向假设。
? 3、弯曲内力
? (1)弯曲的概念：
以弯曲变形为住的
杆见称为梁通常梁
的横截面有一对称
轴与轴线构成纵向
对称面。对称弯曲
或平面弯曲静定梁 。
x
m qP
2R
1R
q
简支梁
P
外伸梁
悬臂梁
m
? (2)梁横截面上
的内力,
q
x
x BA
AR BR
l
xq
A
AR
? ?xQ
? ?xM
q
B
BR? ?xQ
? ?xM
? ?xQ 剪力
? ?xM 弯矩
约定：剪力, 弯矩的正负规定
QQ 为正
为正
剪力 Q
弯矩 M M
M
B
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xA
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M图
Q图 2ql
2
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qlQ ?
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8
1
m a x ?
? (3)q,Q,M间的关系
? ?xqdxd ?? ? ?xQdxdM ?
? ?xqdxdQdx Md ??22
利用 q,Q,M的积分关系作内力图
dx
? ?xq
? ?xQ
? ?xM ? ? dMxM ?
? ? dQxQ ?? ?xq 向上为正
?(1)若 q(x)=0 即
Q图为一水平直线由
M图斜率为一常量，即 M图为一斜直线
（ Q>0,Q<0 )
? ? c o n s txQdxd ??,0?
c o ns tQdxdM ??
?(2)若
Q图为一斜直线 而 M图为
一抛物线
? ? 0?? c o n s txq
???
?
???
? ?????? 图图 M
dx
MdqM
dx
Mdq,0,;,0,
2
2
2
2
例 qaR
A 4
5? qaR B
4
3?
\,0,0,MQqCA ??
/,0,0,MQqAD ??
?? MQqDB \,,0:
0x0
0
?
? xxdx
dM? ?
00 ?xQ(3)若 即 M在
截面处有极值。
a a a
AR BR
DC A B
qaP?
q20 qam ?
?M的 极值点：
2
4
3
2
1
4
3 ?
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???? aqaRM
Bm
2
32
9 qa? 4qa
qa qa
4
3
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243qa
2329 qa
a a a
AR BR
q
C A B
qaP ? 20 qam ?
? 4、多跨静定
梁分成两段：
P
2P 2P
2
P
ql
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22
1 2 ?
2
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C BA P
l a a
q
?一段简支
一段悬臂。
BA P
l a a
q
2
P
2
P
:Q
:M
Plql 2121 2 ?
4
Pl
? 5、刚架
? 刚结点：弯曲变形时
与该结点连接的各杆
间夹角不变
? 刚架：若干杆由刚节
点连接而成的结构
BC
A
?例,C结点为刚结点
? 约定,M图画在杆的纵向纤维受压一侧，
不标出正负 Q 图画在哪一侧均可标出
正负。
1Q
2Q
1M
2M
1M
2M 2
Q
1Q
例：
1,支反力
qaR A 21?
qaR B 21?
qaH B ?
aq
CA
B
AR
a
BR
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2,分段求杆端力
:AC
qaRQ ACA 21??
2
2
1 qaaRM
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A
C
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AR CAM
CAQ
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qaRN BCB 21??
2
2
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CB ?
BH
BR
CBQ
CBM
CBN
3,内力图
qa21
M
A
C
B
qa21
N
qa21
qa
Q
例,1/4圆弧曲杆
（ 微分关系不适用 ）
约定：
?
O
a
A
B
P P2
拉为正?N 与梁和刚架相同?Q
使轴线曲率增加为正?M 如下图
?6、平面曲杆
P
P2
? ??N
? ??M
? ??Q ?? c o s2s in PPN ??
?? s in2c o s PPQ ???
)c o s1(2s in ?? ???? PaPaM
极值点：
0s in2c o s 00 ???? ??
?
PaPa
d
dM
2
1
0
??tg o6.260 ??
? ? PaM 2 3 6.00 ??? Pa
A
B
6.26
Pa263.0
M
? 弯曲内力分析讨论课
? ? ? ? ? ????? 2
1
12
x
x
dxxqxQxQqdxd 积分有?
? ? ? ? ? ????? 2
1
12
x
x
dxxQxMxMQdxdM 积分由
二, 积分关系
? ??? qdxd? Q
dx
dM ? Q
dx
Md ?
2
2一,
（ 面积的正负 ）
=剪力图面积 ? ?
21 ~ xx由? ??
2
1
x
x
dxxQ
条件无集中力偶作用 ? ?
21 ~ xx由
习题 3,已知剪力图求外力图及 M图 （
无集中力偶作用 ）
AC,Q水平 q=0 M/
?? KN2AP
?? KN2CP
mKN212 ????CM
KN2
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
Q
CD,0?Q 0?q
??M
DB,\Q
? ???? mKN1m2KN2q
?? KN2BP
?M 为极值DM
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
KN2
KN2
mKN1
KN2
KN2
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mKN1
m1 m1 m2
A C D
B
KN2
KN2
KN2
M
习题 4,已知 M图求剪力图和外力图
/MQ图, AC：
0?QQ 水平
1K N1m m1K N ???Q
CD,\M 水平0?Q
KN13 12 ?????Q
DB,??M 0?Q
mKN ?2
m1 m3 m1
mKN ?1 mKN ?1 M
A C D B
KN1
KN1
Q
外力图,
AC,??Q 0?q
?? KN1AP ?? KN2BP
CD,??Q 0?q
?? KN1DP
DB:D处 M突变外力偶
mKN3 ??Dm
mKN1 ??Bm
mKN ?2
m1 m3 m1
mKN ?1 mKN ?1 M
A C D B
KN1
KN2
KN1
mKN ?1
mKN ?3
三, 用叠加法作 M图
A
B C
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aa2
2a
2
8
1qa
2qa
M
A
B C
qaP ?
PM
2qa
A
B C
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