第十四章 梁的弯曲
? 平面弯曲的情况
Q=0 称为纯弯曲 Q,M均不为 0，横
力弯曲
a a
P P
A BC D
CD:纯弯曲
AC,DB:横力弯曲
第十四章 梁的弯曲
? § 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
? § 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应
力 与剪应力
? § 14.3 梁的强度
? § 14.4,弯曲中心的概念
? § 14.5,提高弯曲强度的措施
? § 14.6 梁的挠曲线微分方程
第十四章 梁的弯曲
? § 14.7 计算梁位移的积分法
? § 14.8 位移计算中的叠加原理
? § 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正
应力
? 一、几何变形关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
弯 曲 正 应 力
平面假定：梁横截面变形后仍保持为平
面, 且垂直于变形后的梁轴线 。
将梁看成由很多纵向纤维所组成 。
假设：纤维间无挤压 (单向受力 )。
z
y
中性轴中性层
其间必有一层纤维即不伸长也不缩
短称为中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴
微段 mm相对 nn转
动 中性层曲率半径
bb的线应变 变形后
长度
变形前
dx
?d ?
?
? ? ?? dy?
dxd ???
???
????? y
d
ddy ???? )(
?d
O
?
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
p?? ? ?? E?
?
Ey?
三、静力学关系
横截面 A上的 为空
间平行力系
?
轴向力, ? ??
A dAN 0?
(1)
二、物理关系
A
dA
z
y
?
力矩, 0?? ?
Ay dAzM ?
(2)
0?? ?Az dAyM ? (3)
由 (1) 0???? ??
zAa S
Ey d AEdAyEN
???
中性轴为形心轴
由 (2) 0??? ?
yzAy I
EdAEzyM
??
要求 y z为主轴
由 (3) MIEdAEyyM
zAy ??? ? ??
zEI
M?
?
1有 (a)
?
1 ------梁的曲率
由
??
Ey? 则
zI
My?? (b)
上部纤维 受压0?y
下部纤维 受拉0?y
梁横截面上,的最大
正应力 ?
max?
zI
Mymax
令 抗弯截面模量
maxy
IW z?
?max?
W
M
MM
M ?
矩形
3
12
1 bhI
z ?
2
6
1 bhW ?
圆形
64
4D
I z ?? 32
3D
W ??
zh
b
z D
对深梁 ( )随 减小误差增大4?
h
l
h
l
横力弯曲 )(),( xxMM ?? ??
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正
应力与剪应力
一、正应力 剪应力引起的变形对细长
梁 ( >4 )影响很小
h
l
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
? zI
yxM )(?? ? ?
?? ??
W
M m a x
m a x
Q
?
二、弯曲剪应力
1、矩形截面梁
两点假设,
?横截面上,任一点
方向平行于 (两
侧,及中点方向 )
h
b
y
y
??y?
?
Q z
)( y?? ?
0??
1?bh2,沿截面宽度均布 ( )(上,下边缘
处 )
)(' y?? ?
微段 的平衡dx
bdxyd x bdT )(?? ???
设其合力为 dT
1 2
dx
x
1 2
m m
M
dMM?
y
1? 2?
dx
?? * 11 A dAN ? ?? * *A
z
dAy
I
M *
z
z
S
I
M?
*
2 z
z
S
I
dMMN ??
0?? xF由
12 NNdT ??
1N 2N
??m m
1? 2?
*y
*A
y
z
mm
y
*)(
z
z
S
I
dMbdxy ??
bI
QS
bI
S
dx
dM
y
z
z
z
z *
*
)( ??? (c)
)4(21))2(21)(2( 2
2
*** yhbyyhybbyAS
cz ???????
矩形 )
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Qy
z
???
2
hy ?? 处 0??
??y?
0?y 中性轴处 ][
2
3
m a x ?? ?? bh
Q
当 相
差很大且腹板承受
的剪力占截面绝大
部分
m i nm a x,?? 与bB ??
故 腹板上的剪应力
bh
Q??
2、工型截面梁
y
max?
min?
hH
b
B
3、圆型截面梁
截面边缘处的剪
应力与圆周相切
对称点 C剪应力铅
垂向下
假设,
1、水平弦各点剪
应力方向通过一
点,
z
y
D
A B
C
O
R
Q
与矩形截面的推导类似,有,
bI
QS
z
z
y
*
??
其中 b为距 z轴 y的水平弦宽
度
222 yRb ??
1
2
1
2
11
* 2
* dyyRydAySS
k
yAz ??? ?
2
3
22 )(
3
2 yR ??
y?2、水平弦各点剪应力的垂直分量 相等
R
1y
y
A B
*A?
z
y I
yRQ
3
)( 22 ???
y?( 求解 根据 的方向 求出对 A点
为 AB上最大的剪应力 ）
?
RyR /c o s 22 ???
z
y I
yRQR
3
c o s/
22 ?
?? ???
中性轴处 0?y
m a x??? ??y
由 4
4 RI z
??
A
Q
R
Q
3
4
3
4
2m a x ?? ??
横力弯曲 梁横截正应力最大处 单向
剪应力最大处为中性轴 纯剪
][m a xm a x ?? ?? WM (a)
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x ?? ][??
(b)
§ 14.3 梁的强度
对细长梁,强度由 (a)式控制
下述情况用 (b)式校核
1、深梁 或集中力作用靠近支座 因而 Q较大
2、薄腹梁 如 工 T形梁
3、梁截面是由几部分胶接 或焊接 铆钉处
其他位置 强度条件? 待定
?
?
例,试选用工字钢型
号 ml 2? ma 2.0?
mkNq /10? kNp 200?
材料 [ ]=160Mpa
[ ]=100Mpa
?
?
解,1.内力图
2,3m a x 2 8 1
][ cm
MW ??
?
8
210 208
8
208
210
)(KNQ
a a
l
P P
q
A B
选 I22a(W=309cm)
3,校核
cmSI
z
z 9.18
* ?
][1481075.09.18 10210 2
3*
m a xm a x
m a x ?? ????
??? M Pa
dI
SQ
z
z
4,改用 I25b cmSI
zz 3.21/ * ? cmd 1?
胶板厚 cmd 75.0?
210
208
208
210
8
8
8.41
45
)( mKNM ?
][6.98m a x ?? ?? M P a故选用 I25b
例,简支梁由两块木
版组成 两
板光滑接触
M Pa10][ ??
mmbml 2 0 0,3 ??
求 ][p
mmh 100?
b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
解,各板平面假设成立
plM 41m a x ?
单板 22
24
1)
2(6
1 bhhbW ??
][32/ 2m a xm a x ?? ??? bh plWM
Nlbhp 2222109230003 100200103][][ 4
22
???? ???? ?
??
?M
2M
2M
P
? § 14.4 弯曲中心的概念
对薄壁截面杆,平面弯曲条件下截面
上的剪应力
以槽钢为例 剪应力
的方向如图
tI
QS
z
z??
z
z
CO
Q
该分布力的等效力系为 Q其作用点在
O与形心 C不重合,
O点称为弯曲中心,
对实心截面杆,通常弯曲中心与形心
重合,或靠的很近
若外力 p作用线通
过形心,则可将外
力的弯曲中心简
化为一力 p和一力
偶 pe=m,m对杆的
作用效果是扭转
P
e
O C
槽 钢 演 示
槽 钢 演 示
? § 14.5 提高弯曲强度的措施
][m a xm a x ?? ?? WM
一, 合理安排梁的受力
支座位置
M281ql
2401ql
2501ql
M
q
l
l2.0 l2.0l6.0
q
分散载荷
4Pl
M
M
ql81
2l 2l
P 2P 2P
2l4l 4l
二, 梁的合理截面
放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
三, 等强度梁
使所有横截面上的最大正应力相
同或近似相同 c o n s fx ?)(m a x?
汽车上使用的叠板簧
2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
弯曲变形：
? ?
? ?
EI
xM
x ??
1
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程
O
?
?
x
y q
m P
横截面转动的角度称为转角 ? ?x?
的正负逆时针为正?
?? tgdxd ? ?? ?dxd小变形
由微积分学 ? ?
? ?
? ?
EI
xM
x
?
??
????
2
3
21
1
?
?
?
小变形 1??
dx
d? 则 ? ?
EI
xM
dx
d ??
2
2?
梁轴线的铅垂位移，称为挠度 ? ?x?
正负号的确定
在图示坐标系下取
正号
? ? )(
2
2
aEI xMdxd ?? x
v
0?M
0???v
O
对 (a)求积分若 连续函数? ?xM
? ? ? ?? ??? Cdx
KI
xM
dx
dx ??
? ? ? ??? ??? DCxd x d xEI xMx?
积分常数的确定，边界条件
§ 14.7 计算梁位移的积分法
对静定梁约束条件
A B
0?A? 0?A?
A
B
0?A? 0?B?
K
A
B
R
0?A?
K
R
B ??????
例：求
max? maxf
解：
PlbR A ? Pl
aR
B ?
AC,? ?
111 Pxl
bxM ?
ax ?? 10
CB,? ? ? ?axPPx
l
bxM ???
2222
lxa ?? 2
1x
2x
l
AR BR
Pa
b
?
x
A
BCEI
分段积分
AC：
1
2
11 2
1 CPx
l
bEI ????
11
3
11 6
1 DCPx
l
bEI ????
? ? 222222 2121 CaxPPxlbEI ??????
? ? 22232322 6161 DxCaxPPxlbEI ??????
CB：
光滑连续条件，在集中力或集中力偶
作用处，内力或其导数不连续
但在该处有：
?? ?
cc ??
连续条件 axx ??
21 21 ?? ?
则
21 DD ? ?? ? cc ??
光滑条件 axx ??
21 21 ?? ?
21 CC ?则
边界条件,0?A? 0?
B?
由 0
1 ?x 01 ?? 01 ?D 02 ?D
lx ?2 02 ?? ? ?2221 6 bllPbCC ????
? ?212211
6
xbl
l
P b xEI ?????
? ?21221 36 xbllPbEI ?????? ax ?? 10
22,?? ?
略，设 ba ?
01 ?x ? ? ? ?
lE I
blP a b
A 601
????? ?? )( ?实际
lx ?2 ? ? )(
62 allE I
P a bl
B ???? ?? )( ?实际
B?? ?m a x 3
22
0
blx ?? 0
1 ??
? ? ? ?
lE I
blPbxf
39
2
3
22
01m a x
??? ?
)( ?实际
? ?
EI
blPblf
48
43
2
22
1
???
?
?
??
?
?? ?
中 )( ?实际
当 时相差0?b %65.2
llx 5 7 7.030 ?? m a xff ?中
由于内力 是载荷 的
线性函数。
MQ,mqP,,
因此
mqP MMMM ???
称为叠加原理
梁的挠度和转角是弯矩的积分也是载荷的
线性函数，同样，可采用叠加原理
§ 14.8 位移计算中的叠加原理
一、叠加原理
例：求??
cf
? ???? cpcqc fff
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
?
ET
qlf
cq 3 8 4
5 4? EIPlfcP 48
3
?
q
cqf
P
cPf
?
例：求??
cf
? ? ? ?????? ?
EI
lqxl
EI
xqdxf l
c 2404348
02
0
22
2l 2l
0q
x
qdx
EIA
C
B
x
qdxP?
例：求??
cf
02 ?cf ? ??
?
?
??
?
?
??
EI
lq
ff cc
384
25
4
1
C
A B
2l 2l
q
EI
?
2q
1cf 2
q
2q
2cf
?
例：求??
cf
解：
? ?????? aEIqlaf Bcq 2 31?
二、分段刚化法
l a
Pq
EIA
B C
q B?
cqf
? ???
EI
Paf
c 3
3
1
AB段刚化 BC变形 P
P
1cf
A B
BC刚化 AB变形
? ??????? EI lPaaEImlaf Bc 33 222 ?
? ?????????? EI lPaEIPaEI aqlffff cccqc 332 23321
2cf
2B?
P mPa?
例：已知直径 GEad,,,
求
?cf??c?
解,AB刚化 BC变形
? ??? EIPaf c 3 31 ? ??? EIPac 2 21?
a
a
P
A
B C
P
B
C
1cf
1c?
4
64 dI
??
4
32 dI P
??
A
B
C
P
Pam?
2cf 02 ?c?
P
BC刚化 AB变形
? ??? EIPaf c 3 32
BA?
m
3c?
3cf
? ???
?
??
?
? ?????
GEd
Paffff
cccc
1
3
432
4
3
321 ?
? ???
?
??
?
? ??????
GEd
Pa
GI
Pa
EI
Pa
ccc
1132
22 4
222
31 ????
? ?????
P
cc GI
Paaf 3
33 ?
? ?????
PP
BAc GI
Pa
GI
ma 2
3 ??
三、挠曲线的大致形状
(1)约束条件
? ??? 0M ? ??? 0M(2)凹凸性
0?M(3) 处为挠曲线的拐点
例
l a
A
C
B
q
M
281qa
qalql 2121 2 ?
拐点
?
? 平面弯曲的情况
Q=0 称为纯弯曲 Q,M均不为 0，横
力弯曲
a a
P P
A BC D
CD:纯弯曲
AC,DB:横力弯曲
第十四章 梁的弯曲
? § 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
? § 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正应
力 与剪应力
? § 14.3 梁的强度
? § 14.4,弯曲中心的概念
? § 14.5,提高弯曲强度的措施
? § 14.6 梁的挠曲线微分方程
第十四章 梁的弯曲
? § 14.7 计算梁位移的积分法
? § 14.8 位移计算中的叠加原理
? § 14.1 纯弯曲时梁横截面上的正
应力
? 一、几何变形关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
弯 曲 正 应 力
平面假定：梁横截面变形后仍保持为平
面, 且垂直于变形后的梁轴线 。
将梁看成由很多纵向纤维所组成 。
假设：纤维间无挤压 (单向受力 )。
z
y
中性轴中性层
其间必有一层纤维即不伸长也不缩
短称为中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴
微段 mm相对 nn转
动 中性层曲率半径
bb的线应变 变形后
长度
变形前
dx
?d ?
?
? ? ?? dy?
dxd ???
???
????? y
d
ddy ???? )(
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O
?
1O
2O
m
m
n
n
a a
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?
Ey?
三、静力学关系
横截面 A上的 为空
间平行力系
?
轴向力, ? ??
A dAN 0?
(1)
二、物理关系
A
dA
z
y
?
力矩, 0?? ?
Ay dAzM ?
(2)
0?? ?Az dAyM ? (3)
由 (1) 0???? ??
zAa S
Ey d AEdAyEN
???
中性轴为形心轴
由 (2) 0??? ?
yzAy I
EdAEzyM
??
要求 y z为主轴
由 (3) MIEdAEyyM
zAy ??? ? ??
zEI
M?
?
1有 (a)
?
1 ------梁的曲率
由
??
Ey? 则
zI
My?? (b)
上部纤维 受压0?y
下部纤维 受拉0?y
梁横截面上,的最大
正应力 ?
max?
zI
Mymax
令 抗弯截面模量
maxy
IW z?
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W
M
MM
M ?
矩形
3
12
1 bhI
z ?
2
6
1 bhW ?
圆形
64
4D
I z ?? 32
3D
W ??
zh
b
z D
对深梁 ( )随 减小误差增大4?
h
l
h
l
横力弯曲 )(),( xxMM ?? ??
§ 14.2 横力弯曲时梁横截面上的正
应力与剪应力
一、正应力 剪应力引起的变形对细长
梁 ( >4 )影响很小
h
l
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
? zI
yxM )(?? ? ?
?? ??
W
M m a x
m a x
Q
?
二、弯曲剪应力
1、矩形截面梁
两点假设,
?横截面上,任一点
方向平行于 (两
侧,及中点方向 )
h
b
y
y
??y?
?
Q z
)( y?? ?
0??
1?bh2,沿截面宽度均布 ( )(上,下边缘
处 )
)(' y?? ?
微段 的平衡dx
bdxyd x bdT )(?? ???
设其合力为 dT
1 2
dx
x
1 2
m m
M
dMM?
y
1? 2?
dx
?? * 11 A dAN ? ?? * *A
z
dAy
I
M *
z
z
S
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M?
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12 NNdT ??
1N 2N
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y
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y
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bI
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y
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z
z *
*
)( ??? (c)
)4(21))2(21)(2( 2
2
*** yhbyyhybbyAS
cz ???????
矩形 )
4
(
2
)( 2
2
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I
Qy
z
???
2
hy ?? 处 0??
??y?
0?y 中性轴处 ][
2
3
m a x ?? ?? bh
Q
当 相
差很大且腹板承受
的剪力占截面绝大
部分
m i nm a x,?? 与bB ??
故 腹板上的剪应力
bh
Q??
2、工型截面梁
y
max?
min?
hH
b
B
3、圆型截面梁
截面边缘处的剪
应力与圆周相切
对称点 C剪应力铅
垂向下
假设,
1、水平弦各点剪
应力方向通过一
点,
z
y
D
A B
C
O
R
Q
与矩形截面的推导类似,有,
bI
QS
z
z
y
*
??
其中 b为距 z轴 y的水平弦宽
度
222 yRb ??
1
2
1
2
11
* 2
* dyyRydAySS
k
yAz ??? ?
2
3
22 )(
3
2 yR ??
y?2、水平弦各点剪应力的垂直分量 相等
R
1y
y
A B
*A?
z
y I
yRQ
3
)( 22 ???
y?( 求解 根据 的方向 求出对 A点
为 AB上最大的剪应力 ）
?
RyR /c o s 22 ???
z
y I
yRQR
3
c o s/
22 ?
?? ???
中性轴处 0?y
m a x??? ??y
由 4
4 RI z
??
A
Q
R
Q
3
4
3
4
2m a x ?? ??
横力弯曲 梁横截正应力最大处 单向
剪应力最大处为中性轴 纯剪
][m a xm a x ?? ?? WM (a)
bI
SQ
z
z
*
m a xm a x
m a x ?? ][??
(b)
§ 14.3 梁的强度
对细长梁,强度由 (a)式控制
下述情况用 (b)式校核
1、深梁 或集中力作用靠近支座 因而 Q较大
2、薄腹梁 如 工 T形梁
3、梁截面是由几部分胶接 或焊接 铆钉处
其他位置 强度条件? 待定
?
?
例,试选用工字钢型
号 ml 2? ma 2.0?
mkNq /10? kNp 200?
材料 [ ]=160Mpa
[ ]=100Mpa
?
?
解,1.内力图
2,3m a x 2 8 1
][ cm
MW ??
?
8
210 208
8
208
210
)(KNQ
a a
l
P P
q
A B
选 I22a(W=309cm)
3,校核
cmSI
z
z 9.18
* ?
][1481075.09.18 10210 2
3*
m a xm a x
m a x ?? ????
??? M Pa
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SQ
z
z
4,改用 I25b cmSI
zz 3.21/ * ? cmd 1?
胶板厚 cmd 75.0?
210
208
208
210
8
8
8.41
45
)( mKNM ?
][6.98m a x ?? ?? M P a故选用 I25b
例,简支梁由两块木
版组成 两
板光滑接触
M Pa10][ ??
mmbml 2 0 0,3 ??
求 ][p
mmh 100?
b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
解,各板平面假设成立
plM 41m a x ?
单板 22
24
1)
2(6
1 bhhbW ??
][32/ 2m a xm a x ?? ??? bh plWM
Nlbhp 2222109230003 100200103][][ 4
22
???? ???? ?
??
?M
2M
2M
P
? § 14.4 弯曲中心的概念
对薄壁截面杆,平面弯曲条件下截面
上的剪应力
以槽钢为例 剪应力
的方向如图
tI
QS
z
z??
z
z
CO
Q
该分布力的等效力系为 Q其作用点在
O与形心 C不重合,
O点称为弯曲中心,
对实心截面杆,通常弯曲中心与形心
重合,或靠的很近
若外力 p作用线通
过形心,则可将外
力的弯曲中心简
化为一力 p和一力
偶 pe=m,m对杆的
作用效果是扭转
P
e
O C
槽 钢 演 示
槽 钢 演 示
? § 14.5 提高弯曲强度的措施
][m a xm a x ?? ?? WM
一, 合理安排梁的受力
支座位置
M281ql
2401ql
2501ql
M
q
l
l2.0 l2.0l6.0
q
分散载荷
4Pl
M
M
ql81
2l 2l
P 2P 2P
2l4l 4l
二, 梁的合理截面
放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
三, 等强度梁
使所有横截面上的最大正应力相
同或近似相同 c o n s fx ?)(m a x?
汽车上使用的叠板簧
2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
弯曲变形：
? ?
? ?
EI
xM
x ??
1
§ 14.6 梁的挠曲线微分方程
O
?
?
x
y q
m P
横截面转动的角度称为转角 ? ?x?
的正负逆时针为正?
?? tgdxd ? ?? ?dxd小变形
由微积分学 ? ?
? ?
? ?
EI
xM
x
?
??
????
2
3
21
1
?
?
?
小变形 1??
dx
d? 则 ? ?
EI
xM
dx
d ??
2
2?
梁轴线的铅垂位移，称为挠度 ? ?x?
正负号的确定
在图示坐标系下取
正号
? ? )(
2
2
aEI xMdxd ?? x
v
0?M
0???v
O
对 (a)求积分若 连续函数? ?xM
? ? ? ?? ??? Cdx
KI
xM
dx
dx ??
? ? ? ??? ??? DCxd x d xEI xMx?
积分常数的确定，边界条件
§ 14.7 计算梁位移的积分法
对静定梁约束条件
A B
0?A? 0?A?
A
B
0?A? 0?B?
K
A
B
R
0?A?
K
R
B ??????
例：求
max? maxf
解：
PlbR A ? Pl
aR
B ?
AC,? ?
111 Pxl
bxM ?
ax ?? 10
CB,? ? ? ?axPPx
l
bxM ???
2222
lxa ?? 2
1x
2x
l
AR BR
Pa
b
?
x
A
BCEI
分段积分
AC：
1
2
11 2
1 CPx
l
bEI ????
11
3
11 6
1 DCPx
l
bEI ????
? ? 222222 2121 CaxPPxlbEI ??????
? ? 22232322 6161 DxCaxPPxlbEI ??????
CB：
光滑连续条件，在集中力或集中力偶
作用处，内力或其导数不连续
但在该处有：
?? ?
cc ??
连续条件 axx ??
21 21 ?? ?
则
21 DD ? ?? ? cc ??
光滑条件 axx ??
21 21 ?? ?
21 CC ?则
边界条件,0?A? 0?
B?
由 0
1 ?x 01 ?? 01 ?D 02 ?D
lx ?2 02 ?? ? ?2221 6 bllPbCC ????
? ?212211
6
xbl
l
P b xEI ?????
? ?21221 36 xbllPbEI ?????? ax ?? 10
22,?? ?
略，设 ba ?
01 ?x ? ? ? ?
lE I
blP a b
A 601
????? ?? )( ?实际
lx ?2 ? ? )(
62 allE I
P a bl
B ???? ?? )( ?实际
B?? ?m a x 3
22
0
blx ?? 0
1 ??
? ? ? ?
lE I
blPbxf
39
2
3
22
01m a x
??? ?
)( ?实际
? ?
EI
blPblf
48
43
2
22
1
???
?
?
??
?
?? ?
中 )( ?实际
当 时相差0?b %65.2
llx 5 7 7.030 ?? m a xff ?中
由于内力 是载荷 的
线性函数。
MQ,mqP,,
因此
mqP MMMM ???
称为叠加原理
梁的挠度和转角是弯矩的积分也是载荷的
线性函数，同样，可采用叠加原理
§ 14.8 位移计算中的叠加原理
一、叠加原理
例：求??
cf
? ???? cpcqc fff
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
?
ET
qlf
cq 3 8 4
5 4? EIPlfcP 48
3
?
q
cqf
P
cPf
?
例：求??
cf
? ? ? ?????? ?
EI
lqxl
EI
xqdxf l
c 2404348
02
0
22
2l 2l
0q
x
qdx
EIA
C
B
x
qdxP?
例：求??
cf
02 ?cf ? ??
?
?
??
?
?
??
EI
lq
ff cc
384
25
4
1
C
A B
2l 2l
q
EI
?
2q
1cf 2
q
2q
2cf
?
例：求??
cf
解：
? ?????? aEIqlaf Bcq 2 31?
二、分段刚化法
l a
Pq
EIA
B C
q B?
cqf
? ???
EI
Paf
c 3
3
1
AB段刚化 BC变形 P
P
1cf
A B
BC刚化 AB变形
? ??????? EI lPaaEImlaf Bc 33 222 ?
? ?????????? EI lPaEIPaEI aqlffff cccqc 332 23321
2cf
2B?
P mPa?
例：已知直径 GEad,,,
求
?cf??c?
解,AB刚化 BC变形
? ??? EIPaf c 3 31 ? ??? EIPac 2 21?
a
a
P
A
B C
P
B
C
1cf
1c?
4
64 dI
??
4
32 dI P
??
A
B
C
P
Pam?
2cf 02 ?c?
P
BC刚化 AB变形
? ??? EIPaf c 3 32
BA?
m
3c?
3cf
? ???
?
??
?
? ?????
GEd
Paffff
cccc
1
3
432
4
3
321 ?
? ???
?
??
?
? ??????
GEd
Pa
GI
Pa
EI
Pa
ccc
1132
22 4
222
31 ????
? ?????
P
cc GI
Paaf 3
33 ?
? ?????
PP
BAc GI
Pa
GI
ma 2
3 ??
三、挠曲线的大致形状
(1)约束条件
? ??? 0M ? ??? 0M(2)凹凸性
0?M(3) 处为挠曲线的拐点
例
l a
A
C
B
q
M
281qa
qalql 2121 2 ?
拐点
?
