工程力学
? 第十六章 能量法
? 第十七章 静不定结构
? 第十八章 压杆稳定
? 第二十四章 变形固体的几个动力失效问题
? 附 录 平面图形的几何性质和弯曲强度
第十六章 能量法
? § 16.1 弹性变形势能的计算
? § 16.2 虚位移原理用于变形固体
? § 16.3 单位载荷法
? § 16.4 计算莫尔积分的图乘法
? § 16.5 互等定理
? § 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
§ 16.1 弹性变形势能的计算
?? V duU
⒈ 弹性变形能：简称变形能、应变能。用 U表示。
量纲,[力 ][长度 ] 单位：焦耳,1J=1N?m
⒉ 比能：ｕ，单位体积的变形能。
⒊ 功能原理：静载 （动能及其它能量变化均略去）
U=W（外力所做的功）
16.1.1 外力功的计算
??? 0 ?pdW
是曲线与横轴所包面积
若材料服从胡克定律，曲线 斜直线。
其中力和位移都是广义的?? PW
2
1
?
静载：外力由 0缓慢增加到最终值 P，外力作用
点的位置也由 0增加到最终值 Δ。
P
P
p
???
?d
P
P 力 —— 线位移
力偶 —— 角位移
??
1P
?
16,1,2～ 3 应变能及比能的计算
⒈ 基本变形件的应变能和比能。
EA
lNlPU
22
1 2???
?? l dxEAxNU 2 )(2
Eu 22
1 2??? ??
???
?
???
? ??
EAlEA
lN
2
1
2
22 ?
轴向拉（压）
比能 u 杆件变形能 U 基本变形
圆轴扭转
m PGI
lTmU
22
1 2?? ?
?? l
P
dxGI xTU 2 )(
2 G
u 221
2?
?? ??
m m
? EI
lMmU
22
1 2?? ?
dxEI xMU l?? 2 )(
2
Eu 22
1 2??? ??
弯曲 纯弯曲
注,1）纯弯曲时,的证明：
EI
Ml??
法⒉ 而,BA ??? ?? EIMlEIMlBA 26131 ??????? ??? ??
dx
GA
xKQU
l?
?
2
)(2
2）剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相
对应的应变能。剪切应变能为
EI
M
ds
d ?? ?
?
1
EI
Ml??法⒈,
K 是无量纲系数，与截面形状，尺寸有
关,,,
但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯
曲应变能相比，一般很小，长略去不计。
5
6
9
10
3）应变能的计算，不能用叠加原理。
习题 16.1 试判断应变能的下列叠加形式是否
正确。
1P
2P)(a
1P
2P
)(b
P
P
)(d
P
M
)(e
);()(),()( 2121 PUPUPPUa ??
);()(),()( 2121 PUPUPPUb ??
);()(),()( 2121 MUMUMMUc ??
);(2)2()( PUPUd ?
)()(),()( MUPUMUe ??
1M
2M
)(c
16.2 杆件受力如图,EA为常量，下面两种对
变形能的计算是否正确？
EA
lP
EA
lP
EA
lP
EA
lPP
U
EA
lP
EA
lP
EA
llP
EA
lP
U
2
2
22
)(
)2(
2
2
)(
2
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
??
?
?
?
??
?
??
P
P
1l
2l
⒉ 复杂应力状态下应变比能由主应力，主
应变表现出。
? ?33221121 ?????? ???u
? ?? ?133221232221 22 1 ?????????? ?????? E
?
?
?
形变比能
体变比能
d
V
u
u
u
⒊ 体变比能和形变比能
（ 1）体变比能
2?
1?
3?
=
m?
m?
m?
+
m?? ?2
m?? ?1
m?? ?3
图 (b)单元体由于 3个主应力相等，只能
发生体积改变，其应变比能就是（ a）的
体变比能
?m? ? ?32131 ??? ??图中
（ 2） 图（ c）单元体的应变比能 =（ a） 的
形变比能
? ?? ?22)( 3232 1 mmbV Euu ??? ???
? ?232 21 mE ????
? ? 23216 21 ???? ???? E
? ?? ? ? ? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
2
13
2
32
2
21
133221
2
3
2
2
2
1)(
6
1
2
2
1
??????
?
?????????????
??????
?????
?
?
?????????
???????
E
E
uu
mmmmmm
mmmcd
（ 3）体变比能与形变比能关系：比较
可知
dV uuu,,
dV uuu ??
? ?
EI
Pl
vWU
vPW
l
EI
P
dxPx
EI
dx
EI
xM
U
B
B
l
l
3
2
1
322
1
2
)(
3
322
0
2
???
??
???? ??
由
A B
P
l
x
Bv例 16,１求
注：直接用功能原理, 只能解决结构受单个载
荷作用时求载荷作用处的位移 。
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
16.2.1 虚位移原理用于变形固体
在 § 9.4中,对由弹簧连接的刚体系统或变形
体中虚位移原理表达式为
? ? ? ? 00
11
???? ??
??
ie
n
i
i
i
n
i
e
i WWWW ???? 简记为
此处的内力虚功指内力在相应的变形虚位移
上作的功。
16.2.2 内力虚功的表达式
M
N
Q
dQQ?
dNN ?
dMM ?
dx
对 这一微段而言
原内力 都应看作
“外力”，这个微段的虚位移可分为刚体虚位
移和变形虚位移。
dx
dMMdQQdNNMQN ???,,,,,
刚体虚位移：该微段因其它各微段的变形而引
起的虚位移（将该段视为刚体）
变形虚位移：该微段本身变形引起的虚位移，
由任何原因引起的，只要满足是
小变形及变形协调条件。
可分解为,,,)( ???? dadQld
? ?
2
??ld ? ?
2
??ld
2
??d
2
??d
2
??d
2
??d
2
??d2
??d
对于刚体虚位移所做的总虚功 =0
作用下该微段在“外力” dMMdQQdNNMQN ???,,,,,∵
∴ 只需考虑“外力”在变形虚位移上所作的虚
功。
? ? 2)(22)(22 )(2 )( ?????? ????????? ???? ddQQdQddMMdMlddNNldN
? ? ? ? ??? ???? ??? QdMdlNdWd e
由 得该微段内力虚功为,0)()( ?? ie WdWd ??
? ?? ???? ?????? ????? QdMdlNdWdWd ei )()(
∴ 整个结构的内力虚功为：
略去高阶无穷小，得该阶段的“外力”虚功为
? ?? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ??? QdMdlNdW i
? ? ? ?? ?? ?? ?? ????? ?????? ??? TdQdMdlNdP ii
式中,作用在结构上的原力系中的广义力
,沿 作用方向的广义虚位移
iP
??i 点i iP
0?? ie WW ?? 即
用于变形固体的虚位移原理可具体表达为：
? ? ?? ?Td若横截面上还有扭矩，则应加一项：
注：虚位移既然与作用的力无关，就不受外力
与位移关系的限制, 材料的应力应变关系
可以非线性 。
规定 的符号与相应的
指向或转向一致者为正。
? ? ????? ?? ??? dddldi,,,,
TQMNP i,,,,
§ 16.3单位载荷法
16.3.1 单位载荷法（又称莫尔积分法）
?
a
a
K
(a)
a
a
1
内力,QMN,,
(b)
要求 （ a） 中任一点 K,沿任意方向的位移：
⒈ 取同样的梁, 只在 K点沿方向作用单位 （ b）
⒉ 考虑 (b)梁，将单位力看作实际载荷，将 (a)中
位移作为虚位移，则：
? ? ?? dQdMldN lll ??? ??????1
注,⒈ 若要求某点角位移，则应施加单位力偶。
若要求两点间相对线位移, 则应在两点
处同时施加一对方向相反的单位力,
若要求两点间的相对角位移, 则应在两点
同时施加一对方向相反的单位力偶 。
? ? ??? dTdQdMldN ? ?? ?? ?? ? ??????
一般情况下，求结构中一点位移：
⒉ 左端是的缩写,∴ 若求出为,+”说明单位
力作功为, +”,也就是所求的位移与单位
力方向相同 。
⒊ 第三项 常可略去不计 。?dQ??
若, Q引起的 B处挠度仅为 M引起的挠度
的 1%。
10
1?
l
h
A B
q
l b
h
例,
i
n
i
i lN ??? ?
?1
4．以弯曲为主的杆件，只记右端第二项。
只扭转，只记右端第四项。
只轴向拉压，只记右端第一项，且若 N为
常量。（绗架）
16.3.2 单位载荷法用于线弹性结构
若材料线弹性, 服从胡克定律
? ? EAN dxld ??
EI
M d xdx
dx
vddx
dx
dv
dx
dd ???
?
??
?
??
2
2
?
pGI
Td xd ??
注,1）对平面刚架和曲杆，截面上通常有：
N,Q,M,除了 Q可以略去不计 。 轴
力 N的影响也比 M小的多 。 因此只按
刚架上某段有 M和 N同时存在, N可
? ?? ?? ? ????
pGI
dxTT
EI
dxMM
EA
dxNN∴
所以常称为莫尔定理或莫尔积分。
推广：对截面高度 <<轴线曲率半径的平面
曲杆也适用
例 16.1 已知,AD=DB=BC=,求a
cv
A D B C
1x
2x
3x
qqaP ?
4
qa
4
7qa
2
1
2
3
1
略去不计。
???
ii
iii
AE
lNN2）对绗架，
解,1,求支反力
AD段 （ ）ax ?? 10
? ? ? ? 1111 214 xxMxqaxM ???
DB段 （ ）axa 22 ??
? ? ? ? ? ? 22222 214 xxMaxqaxqaxM ?????
2,分段列 M方程。 （每段的坐标系可不
同，但同段上的及所取坐标原点方向
必须相同）
BC段 （ ）ax ?? 30
? ? ? ? 33233 21 xxMqxxM ????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ???
??
?
??
? ???
???
EI
qa
dxxMxMdxxMxMdxxMxM
EI
v
aa
a
a
c
24
5
1
4
33
0
322
2
211
0
1
（结果为,+”，说明 与单位力方向一至，即向下）
cv
cv
3.计算
?
B
Aq
?
?d ?qRd
?
1
1
? ? ? ?
? ??
????
?
c o s1
s i n
2
0
???
???? ?
qR
RqR dM
? ? ? ??? c o s1 ??? RM
?2 ? ??M,单位力作用下
? ??M?1, q作用下任一截面上
AB?
例 16,2 求 A,B之间相对位移
?
?
?3
? ??
EI
qR
ds R d
EI
MM
AB
4
0
3
2
?
?
?
?
?? ?
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
) ?
??xM cM
l
x
cx
dx
??xM
C?
y
x0
dxMM? 对等直杆可采用图乘法计算。
? ? ?x tgxM ?
? ? ? ? ? ?dxxxMtgdxxMxM ll ?? ? ?
对应的纵坐标值图形心图中与,cMMM C
? ? ? ? ccl MtgxdxxMxM ??? ???∴
? ? 轴静矩图对是 yMdxxxM
l?
∴
? ?dxxxM 是阴影部分面积对 y轴静矩
M 图,直线（或折线、折线分段）
M 图,形状任意，面积为 W
注 1）对扭矩项或轴力项也得类似公式
2）常用图形的面积和形心见书 P402
1,与 在同一侧时，互乘结果为,+”。M M
2,为折线时，转折点处要将, 图分段
分别图乘，再按代数值叠加。
M M M
图乘法注意事项：
? ? ? ?
EI
Mdx
EI
xMxM c
l
???? ?∴
3,有变化时，需分段图乘，再叠加。EI
4,图的面积 及形心 不好求时，可将
图划分为几个简单部分，分别图乘，
再叠加。
M ? cx
M
5,当梁上载荷较复杂时，为避免绘出的
图 及 不好找，可令每种载荷单独作
用在梁上，绘 图，再放在一起。
M
?
cx
M
6,同一杆件，同种类型的内力图才能互乘。
双向弯曲的梁，同一平面内的 图和
图才能互乘。
M M
7．当 图及 图均为直线段时，谁取 均可。M M ?
qaP ? q
a a a
2
2qa
2
2qa
1?
2? 3?
⊕? ?
M
例 16.4 用图乘法重新计算例 16.2
1
对直梁和刚架, 图乘法比积分法要简单方便 。
21
aM c ?
aM c 322 ? aM c 433 ?
? ?M
? ?321 3211 cccc MMMEIv ??? ???
? ???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
????
EI
qa
a
qa
aa
qa
a
aqa
a
EI
24
5
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
11
4
222
例 16.5 求中间铰两侧截面相对转角。
4
Pl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
11
? ?M
23
1
2l 2l 2l
l
qP
?
?
? ?
?
??
?
? ??
???
?
???
? ?????
?
??
?
? ????
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllpl
EI?
??
??
???
?
???
? ????
?
??
?
? ???
???
?
???
? ???
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
???
?
???
? ??
32
3
6
1 23 plql
EI
例 16.10 求 C处的线位移 。
q
A B
C
l
l
y
z
x
)( TM ?
2ql
2
2ql
求,则应在 C处沿 x方向加单位力。?1
cx?
1
l
? ?xM
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
?2 求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
1
l l
? ?yTM ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
? ???????? ?? GEdql 23118 44?
求,在 C处沿 z向加单位力。?3
cz?
l
1
? ?zM
0?cz?
思考,若想求杆 1的转角（杆 1长）,如何加
单位反力？
P
1
§ 16.5 互等定理
16.5.1 功的互等定理
ij?, i表示位移发生在 i点。 j表示引起 的
载荷作用在 j点。
ij?
1 2
11? 21?
1P
先加,然后在加1P 2P
1212221111 2
1
2
1 ?????? PPPW
12? 22?
1 2
2P
1P
2P
先加,再加2P 1P
2121112222 2
1
2
1 ?????? PPPW
∵ 21 WW ?
∴
212121 ??? PP
在 由引起的位移 上所作的功 = 在由
引起的位移 上所作的功称为功的互等定理
1P 2P 12? 2P 1P
21?
注,和 可以推广为一组力系。?1 1P 2P
1P 2P
?2 可以推广到两种应力状态：第一种应力状
态在第二种应力状态引起的位移上作的功
等于第二种应力状态在第一种应力状态引
起的位移上做的功
例 16.７ 轴承中滚珠，直径为,沿直径两
端作用一对大小相等方向相反的集中力 F,材
料的弹性模量 E和泊松比已知。试用功的互等
定理求滚珠的体积改变。
d
F
F
第一状态
q
第二状态
由功的互等定理：
? ? ? ? Fq VqdF ???
对第二状态，滚珠的任一点应力状态均为
q???? 321 ???
? ? ? ?? ?
? ?d
E
q
d
E
qd
?
????
21
1
321
???
?????
∴ ? ? ? ? ? ??21 ?????? EFdq dFV qF
负号表示体积缩小
16.5.2位移互等定理
若,则有,即两个广义力,
数值上相等。 则 在 作用处引起的广义
位移 = 在 作用处引起的广义位移。
21 PP ? 2112 ??? 1P 2P
1P 2P
2P 1P
例 16.8 欲用测量方法画挠曲线（描点绘图）
而测挠度的千分表又不能动，请拟定实验
方案。
利用位移互等定理，如想测中点 C的挠度
P
A BC
PC
B
PC
B∵
作用在 B处引起的 C处挠度 =P作用在 C处引起的 B
处挠度
∴ 只要将 P移至 C点，千分表测得的 B处挠度
就是原题图中要求的中点 C的挠度。
注,1,只要在线性及小变形条件下，互等定
理都成立。
以此类推，将 AB平分为 8等份，将 P依次
移动。千分表测得各处挠度，描点作出挠曲线。
2,及 为广义的，若为力偶矩，则对
应的角位移：
?
????? mP
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
1,势能驻值原理：
§ 9.5中,平衡位形出现在势能取驻值处。0?V?
对变形体,? ? 0???? VU??
其中 V 仍为外力势能
U为弹性变形势能（应变能）
结构平衡时，总势能对某一位移函数取驻值，
或说总势能的一阶变分为零。
2,最小势能原理：
结构在稳定的平衡状态下所具有的总势能
必为最小。
?1 假设一位移函数近似地表示结构的真实位
移，此函数包括一个或多个待定的位移参
数。
3.瑞利 -里茨法
用于求近似解，其原理和方法：
对位移函数最低要求：满足变形连续条
件及位移边界条件 。
对位移函数最高要求：再满足力的边界
条件更好 。
?2 将总势能 用待定的位移参数表示出来。?
?3 将总势能对每一个参数取偏导数，并另其为
零（势能驻值原理）。得到包含待定参数的
联立方程组，解之，可求待定参数。
注：假设的位移函数中包含的待参数越多，结
果越精确。从理论上说如果假设的位移函
数为完备的函数系列构成的无穷级数，应
该得到精确结果。在工程实际中取两个或
三个待定参数就可以达到满意结果。
?4 参数一经求出，假设的位移函数就已确
定,进而可求出结构的内力。
例 16.9 求自由端挠度、转角及固定端弯矩。
位移函数（即挠度函数）：?1
?????? ?? lxy 2c os1 ??
l
x
ly 2s in2
' ????
l
x
ly 2c o s4 2
2
'' ????
满足 处 。待定参数,表示自
由端挠度（ ）
0?x 0,0 ' ?? yy ?
???lxy
q
y
xl
o2 ? ?
3
242
0
''
0
2
6422 l
EIdxyEIdx
EI
MU ll ????? ??
??? ?
?
??
?
? ?????? l qlyqdxV
0
21
???? ?????? ???? 2164 3
24
qllEI
?3 由 得
0???dd ? ??
?
?
?
?
?
? ?
?
EI
ql
4
42132
?
?
?
?4 自由端挠度即为 ?
固定端弯矩,''E IyM ??
? ?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
??
??
2
1
8
4
2
2
2
2
0
ql
EI
l
M
x
讨论：
1．自由端挠度，即最大挠度。
3
3
'
2116
2
ql
EIl
y
lx ?
????
?
?
?
?
?
? ?
???
?
自由端转角：
EI
ql
EI
ql 44 1 2 5.0
8 ?
精确解：
误差,4%
2．自由端转角。
精确解：
EI
ql
EI
ql 33 167.0
6 ?
近似解,EIqlEIql
33
3 18 7.0
2116
?
?
?
??
?
? ?
?
?
误差,-12%
EI
ql
EI
ql 44
4 12.0
2132
?
?
?
??
?
? ?
?
?近似解：
3,固定端弯矩 。
精确解,22 5.0
2
1 qlql ?
近似解,22
2 3.0
218 qlql ??
?
??
?
? ?
??
误差,40%
原因：位移函数是不精确的，其导数就更不
精确了，微分次数越大，误差越大。
提高精确度办法：取包含两个或三个待定位
移参数的挠度函数 。 精确度会有明显提高 。
工程上精确度足够 。
? 第十六章 能量法
? 第十七章 静不定结构
? 第十八章 压杆稳定
? 第二十四章 变形固体的几个动力失效问题
? 附 录 平面图形的几何性质和弯曲强度
第十六章 能量法
? § 16.1 弹性变形势能的计算
? § 16.2 虚位移原理用于变形固体
? § 16.3 单位载荷法
? § 16.4 计算莫尔积分的图乘法
? § 16.5 互等定理
? § 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
§ 16.1 弹性变形势能的计算
?? V duU
⒈ 弹性变形能：简称变形能、应变能。用 U表示。
量纲,[力 ][长度 ] 单位：焦耳,1J=1N?m
⒉ 比能：ｕ，单位体积的变形能。
⒊ 功能原理：静载 （动能及其它能量变化均略去）
U=W（外力所做的功）
16.1.1 外力功的计算
??? 0 ?pdW
是曲线与横轴所包面积
若材料服从胡克定律，曲线 斜直线。
其中力和位移都是广义的?? PW
2
1
?
静载：外力由 0缓慢增加到最终值 P，外力作用
点的位置也由 0增加到最终值 Δ。
P
P
p
???
?d
P
P 力 —— 线位移
力偶 —— 角位移
??
1P
?
16,1,2～ 3 应变能及比能的计算
⒈ 基本变形件的应变能和比能。
EA
lNlPU
22
1 2???
?? l dxEAxNU 2 )(2
Eu 22
1 2??? ??
???
?
???
? ??
EAlEA
lN
2
1
2
22 ?
轴向拉（压）
比能 u 杆件变形能 U 基本变形
圆轴扭转
m PGI
lTmU
22
1 2?? ?
?? l
P
dxGI xTU 2 )(
2 G
u 221
2?
?? ??
m m
? EI
lMmU
22
1 2?? ?
dxEI xMU l?? 2 )(
2
Eu 22
1 2??? ??
弯曲 纯弯曲
注,1）纯弯曲时,的证明：
EI
Ml??
法⒉ 而,BA ??? ?? EIMlEIMlBA 26131 ??????? ??? ??
dx
GA
xKQU
l?
?
2
)(2
2）剪切弯曲时，应分别计算弯曲和剪切变形相
对应的应变能。剪切应变能为
EI
M
ds
d ?? ?
?
1
EI
Ml??法⒈,
K 是无量纲系数，与截面形状，尺寸有
关,,,
但在细长梁情况下，对应的剪切应变能与弯
曲应变能相比，一般很小，长略去不计。
5
6
9
10
3）应变能的计算，不能用叠加原理。
习题 16.1 试判断应变能的下列叠加形式是否
正确。
1P
2P)(a
1P
2P
)(b
P
P
)(d
P
M
)(e
);()(),()( 2121 PUPUPPUa ??
);()(),()( 2121 PUPUPPUb ??
);()(),()( 2121 MUMUMMUc ??
);(2)2()( PUPUd ?
)()(),()( MUPUMUe ??
1M
2M
)(c
16.2 杆件受力如图,EA为常量，下面两种对
变形能的计算是否正确？
EA
lP
EA
lP
EA
lP
EA
lPP
U
EA
lP
EA
lP
EA
llP
EA
lP
U
2
2
22
)(
)2(
2
2
)(
2
)1(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
??
?
?
?
??
?
??
P
P
1l
2l
⒉ 复杂应力状态下应变比能由主应力，主
应变表现出。
? ?33221121 ?????? ???u
? ?? ?133221232221 22 1 ?????????? ?????? E
?
?
?
形变比能
体变比能
d
V
u
u
u
⒊ 体变比能和形变比能
（ 1）体变比能
2?
1?
3?
=
m?
m?
m?
+
m?? ?2
m?? ?1
m?? ?3
图 (b)单元体由于 3个主应力相等，只能
发生体积改变，其应变比能就是（ a）的
体变比能
?m? ? ?32131 ??? ??图中
（ 2） 图（ c）单元体的应变比能 =（ a） 的
形变比能
? ?? ?22)( 3232 1 mmbV Euu ??? ???
? ?232 21 mE ????
? ? 23216 21 ???? ???? E
? ?? ? ? ? ?
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
2
13
2
32
2
21
133221
2
3
2
2
2
1)(
6
1
2
2
1
??????
?
?????????????
??????
?????
?
?
?????????
???????
E
E
uu
mmmmmm
mmmcd
（ 3）体变比能与形变比能关系：比较
可知
dV uuu,,
dV uuu ??
? ?
EI
Pl
vWU
vPW
l
EI
P
dxPx
EI
dx
EI
xM
U
B
B
l
l
3
2
1
322
1
2
)(
3
322
0
2
???
??
???? ??
由
A B
P
l
x
Bv例 16,１求
注：直接用功能原理, 只能解决结构受单个载
荷作用时求载荷作用处的位移 。
§ 16.2 虚位移原理用于变形固体
16.2.1 虚位移原理用于变形固体
在 § 9.4中,对由弹簧连接的刚体系统或变形
体中虚位移原理表达式为
? ? ? ? 00
11
???? ??
??
ie
n
i
i
i
n
i
e
i WWWW ???? 简记为
此处的内力虚功指内力在相应的变形虚位移
上作的功。
16.2.2 内力虚功的表达式
M
N
Q
dQQ?
dNN ?
dMM ?
dx
对 这一微段而言
原内力 都应看作
“外力”，这个微段的虚位移可分为刚体虚位
移和变形虚位移。
dx
dMMdQQdNNMQN ???,,,,,
刚体虚位移：该微段因其它各微段的变形而引
起的虚位移（将该段视为刚体）
变形虚位移：该微段本身变形引起的虚位移，
由任何原因引起的，只要满足是
小变形及变形协调条件。
可分解为,,,)( ???? dadQld
? ?
2
??ld ? ?
2
??ld
2
??d
2
??d
2
??d
2
??d
2
??d2
??d
对于刚体虚位移所做的总虚功 =0
作用下该微段在“外力” dMMdQQdNNMQN ???,,,,,∵
∴ 只需考虑“外力”在变形虚位移上所作的虚
功。
? ? 2)(22)(22 )(2 )( ?????? ????????? ???? ddQQdQddMMdMlddNNldN
? ? ? ? ??? ???? ??? QdMdlNdWd e
由 得该微段内力虚功为,0)()( ?? ie WdWd ??
? ?? ???? ?????? ????? QdMdlNdWdWd ei )()(
∴ 整个结构的内力虚功为：
略去高阶无穷小，得该阶段的“外力”虚功为
? ?? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ??? QdMdlNdW i
? ? ? ?? ?? ?? ?? ????? ?????? ??? TdQdMdlNdP ii
式中,作用在结构上的原力系中的广义力
,沿 作用方向的广义虚位移
iP
??i 点i iP
0?? ie WW ?? 即
用于变形固体的虚位移原理可具体表达为：
? ? ?? ?Td若横截面上还有扭矩，则应加一项：
注：虚位移既然与作用的力无关，就不受外力
与位移关系的限制, 材料的应力应变关系
可以非线性 。
规定 的符号与相应的
指向或转向一致者为正。
? ? ????? ?? ??? dddldi,,,,
TQMNP i,,,,
§ 16.3单位载荷法
16.3.1 单位载荷法（又称莫尔积分法）
?
a
a
K
(a)
a
a
1
内力,QMN,,
(b)
要求 （ a） 中任一点 K,沿任意方向的位移：
⒈ 取同样的梁, 只在 K点沿方向作用单位 （ b）
⒉ 考虑 (b)梁，将单位力看作实际载荷，将 (a)中
位移作为虚位移，则：
? ? ?? dQdMldN lll ??? ??????1
注,⒈ 若要求某点角位移，则应施加单位力偶。
若要求两点间相对线位移, 则应在两点
处同时施加一对方向相反的单位力,
若要求两点间的相对角位移, 则应在两点
同时施加一对方向相反的单位力偶 。
? ? ??? dTdQdMldN ? ?? ?? ?? ? ??????
一般情况下，求结构中一点位移：
⒉ 左端是的缩写,∴ 若求出为,+”说明单位
力作功为, +”,也就是所求的位移与单位
力方向相同 。
⒊ 第三项 常可略去不计 。?dQ??
若, Q引起的 B处挠度仅为 M引起的挠度
的 1%。
10
1?
l
h
A B
q
l b
h
例,
i
n
i
i lN ??? ?
?1
4．以弯曲为主的杆件，只记右端第二项。
只扭转，只记右端第四项。
只轴向拉压，只记右端第一项，且若 N为
常量。（绗架）
16.3.2 单位载荷法用于线弹性结构
若材料线弹性, 服从胡克定律
? ? EAN dxld ??
EI
M d xdx
dx
vddx
dx
dv
dx
dd ???
?
??
?
??
2
2
?
pGI
Td xd ??
注,1）对平面刚架和曲杆，截面上通常有：
N,Q,M,除了 Q可以略去不计 。 轴
力 N的影响也比 M小的多 。 因此只按
刚架上某段有 M和 N同时存在, N可
? ?? ?? ? ????
pGI
dxTT
EI
dxMM
EA
dxNN∴
所以常称为莫尔定理或莫尔积分。
推广：对截面高度 <<轴线曲率半径的平面
曲杆也适用
例 16.1 已知,AD=DB=BC=,求a
cv
A D B C
1x
2x
3x
qqaP ?
4
qa
4
7qa
2
1
2
3
1
略去不计。
???
ii
iii
AE
lNN2）对绗架，
解,1,求支反力
AD段 （ ）ax ?? 10
? ? ? ? 1111 214 xxMxqaxM ???
DB段 （ ）axa 22 ??
? ? ? ? ? ? 22222 214 xxMaxqaxqaxM ?????
2,分段列 M方程。 （每段的坐标系可不
同，但同段上的及所取坐标原点方向
必须相同）
BC段 （ ）ax ?? 30
? ? ? ? 33233 21 xxMqxxM ????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ???
??
?
??
? ???
???
EI
qa
dxxMxMdxxMxMdxxMxM
EI
v
aa
a
a
c
24
5
1
4
33
0
322
2
211
0
1
（结果为,+”，说明 与单位力方向一至，即向下）
cv
cv
3.计算
?
B
Aq
?
?d ?qRd
?
1
1
? ? ? ?
? ??
????
?
c o s1
s i n
2
0
???
???? ?
qR
RqR dM
? ? ? ??? c o s1 ??? RM
?2 ? ??M,单位力作用下
? ??M?1, q作用下任一截面上
AB?
例 16,2 求 A,B之间相对位移
?
?
?3
? ??
EI
qR
ds R d
EI
MM
AB
4
0
3
2
?
?
?
?
?? ?
§ 16.4 计算莫尔积分的图乘法
) ?
??xM cM
l
x
cx
dx
??xM
C?
y
x0
dxMM? 对等直杆可采用图乘法计算。
? ? ?x tgxM ?
? ? ? ? ? ?dxxxMtgdxxMxM ll ?? ? ?
对应的纵坐标值图形心图中与,cMMM C
? ? ? ? ccl MtgxdxxMxM ??? ???∴
? ? 轴静矩图对是 yMdxxxM
l?
∴
? ?dxxxM 是阴影部分面积对 y轴静矩
M 图,直线（或折线、折线分段）
M 图,形状任意，面积为 W
注 1）对扭矩项或轴力项也得类似公式
2）常用图形的面积和形心见书 P402
1,与 在同一侧时，互乘结果为,+”。M M
2,为折线时，转折点处要将, 图分段
分别图乘，再按代数值叠加。
M M M
图乘法注意事项：
? ? ? ?
EI
Mdx
EI
xMxM c
l
???? ?∴
3,有变化时，需分段图乘，再叠加。EI
4,图的面积 及形心 不好求时，可将
图划分为几个简单部分，分别图乘，
再叠加。
M ? cx
M
5,当梁上载荷较复杂时，为避免绘出的
图 及 不好找，可令每种载荷单独作
用在梁上，绘 图，再放在一起。
M
?
cx
M
6,同一杆件，同种类型的内力图才能互乘。
双向弯曲的梁，同一平面内的 图和
图才能互乘。
M M
7．当 图及 图均为直线段时，谁取 均可。M M ?
qaP ? q
a a a
2
2qa
2
2qa
1?
2? 3?
⊕? ?
M
例 16.4 用图乘法重新计算例 16.2
1
对直梁和刚架, 图乘法比积分法要简单方便 。
21
aM c ?
aM c 322 ? aM c 433 ?
? ?M
? ?321 3211 cccc MMMEIv ??? ???
? ???
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
????
EI
qa
a
qa
aa
qa
a
aqa
a
EI
24
5
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
11
4
222
例 16.5 求中间铰两侧截面相对转角。
4
Pl
8
2ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
11
? ?M
23
1
2l 2l 2l
l
qP
?
?
? ?
?
??
?
? ??
???
?
???
? ?????
?
??
?
? ????
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllpl
EI?
??
??
???
?
???
? ????
?
??
?
? ???
???
?
???
? ???
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
???
?
???
? ??
32
3
6
1 23 plql
EI
例 16.10 求 C处的线位移 。
q
A B
C
l
l
y
z
x
)( TM ?
2ql
2
2ql
求,则应在 C处沿 x方向加单位力。?1
cx?
1
l
? ?xM
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
?2 求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
1
l l
? ?yTM ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
? ???????? ?? GEdql 23118 44?
求,在 C处沿 z向加单位力。?3
cz?
l
1
? ?zM
0?cz?
思考,若想求杆 1的转角（杆 1长）,如何加
单位反力？
P
1
§ 16.5 互等定理
16.5.1 功的互等定理
ij?, i表示位移发生在 i点。 j表示引起 的
载荷作用在 j点。
ij?
1 2
11? 21?
1P
先加,然后在加1P 2P
1212221111 2
1
2
1 ?????? PPPW
12? 22?
1 2
2P
1P
2P
先加,再加2P 1P
2121112222 2
1
2
1 ?????? PPPW
∵ 21 WW ?
∴
212121 ??? PP
在 由引起的位移 上所作的功 = 在由
引起的位移 上所作的功称为功的互等定理
1P 2P 12? 2P 1P
21?
注,和 可以推广为一组力系。?1 1P 2P
1P 2P
?2 可以推广到两种应力状态：第一种应力状
态在第二种应力状态引起的位移上作的功
等于第二种应力状态在第一种应力状态引
起的位移上做的功
例 16.７ 轴承中滚珠，直径为,沿直径两
端作用一对大小相等方向相反的集中力 F,材
料的弹性模量 E和泊松比已知。试用功的互等
定理求滚珠的体积改变。
d
F
F
第一状态
q
第二状态
由功的互等定理：
? ? ? ? Fq VqdF ???
对第二状态，滚珠的任一点应力状态均为
q???? 321 ???
? ? ? ?? ?
? ?d
E
q
d
E
qd
?
????
21
1
321
???
?????
∴ ? ? ? ? ? ??21 ?????? EFdq dFV qF
负号表示体积缩小
16.5.2位移互等定理
若,则有,即两个广义力,
数值上相等。 则 在 作用处引起的广义
位移 = 在 作用处引起的广义位移。
21 PP ? 2112 ??? 1P 2P
1P 2P
2P 1P
例 16.8 欲用测量方法画挠曲线（描点绘图）
而测挠度的千分表又不能动，请拟定实验
方案。
利用位移互等定理，如想测中点 C的挠度
P
A BC
PC
B
PC
B∵
作用在 B处引起的 C处挠度 =P作用在 C处引起的 B
处挠度
∴ 只要将 P移至 C点，千分表测得的 B处挠度
就是原题图中要求的中点 C的挠度。
注,1,只要在线性及小变形条件下，互等定
理都成立。
以此类推，将 AB平分为 8等份，将 P依次
移动。千分表测得各处挠度，描点作出挠曲线。
2,及 为广义的，若为力偶矩，则对
应的角位移：
?
????? mP
§ 16.6 势能驻值原理和最小势能原理
1,势能驻值原理：
§ 9.5中,平衡位形出现在势能取驻值处。0?V?
对变形体,? ? 0???? VU??
其中 V 仍为外力势能
U为弹性变形势能（应变能）
结构平衡时，总势能对某一位移函数取驻值，
或说总势能的一阶变分为零。
2,最小势能原理：
结构在稳定的平衡状态下所具有的总势能
必为最小。
?1 假设一位移函数近似地表示结构的真实位
移，此函数包括一个或多个待定的位移参
数。
3.瑞利 -里茨法
用于求近似解，其原理和方法：
对位移函数最低要求：满足变形连续条
件及位移边界条件 。
对位移函数最高要求：再满足力的边界
条件更好 。
?2 将总势能 用待定的位移参数表示出来。?
?3 将总势能对每一个参数取偏导数，并另其为
零（势能驻值原理）。得到包含待定参数的
联立方程组，解之，可求待定参数。
注：假设的位移函数中包含的待参数越多，结
果越精确。从理论上说如果假设的位移函
数为完备的函数系列构成的无穷级数，应
该得到精确结果。在工程实际中取两个或
三个待定参数就可以达到满意结果。
?4 参数一经求出，假设的位移函数就已确
定,进而可求出结构的内力。
例 16.9 求自由端挠度、转角及固定端弯矩。
位移函数（即挠度函数）：?1
?????? ?? lxy 2c os1 ??
l
x
ly 2s in2
' ????
l
x
ly 2c o s4 2
2
'' ????
满足 处 。待定参数,表示自
由端挠度（ ）
0?x 0,0 ' ?? yy ?
???lxy
q
y
xl
o2 ? ?
3
242
0
''
0
2
6422 l
EIdxyEIdx
EI
MU ll ????? ??
??? ?
?
??
?
? ?????? l qlyqdxV
0
21
???? ?????? ???? 2164 3
24
qllEI
?3 由 得
0???dd ? ??
?
?
?
?
?
? ?
?
EI
ql
4
42132
?
?
?
?4 自由端挠度即为 ?
固定端弯矩,''E IyM ??
? ?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
??
??
2
1
8
4
2
2
2
2
0
ql
EI
l
M
x
讨论：
1．自由端挠度，即最大挠度。
3
3
'
2116
2
ql
EIl
y
lx ?
????
?
?
?
?
?
? ?
???
?
自由端转角：
EI
ql
EI
ql 44 1 2 5.0
8 ?
精确解：
误差,4%
2．自由端转角。
精确解：
EI
ql
EI
ql 33 167.0
6 ?
近似解,EIqlEIql
33
3 18 7.0
2116
?
?
?
??
?
? ?
?
?
误差,-12%
EI
ql
EI
ql 44
4 12.0
2132
?
?
?
??
?
? ?
?
?近似解：
3,固定端弯矩 。
精确解,22 5.0
2
1 qlql ?
近似解,22
2 3.0
218 qlql ??
?
??
?
? ?
??
误差,40%
原因：位移函数是不精确的，其导数就更不
精确了，微分次数越大，误差越大。
提高精确度办法：取包含两个或三个待定位
移参数的挠度函数 。 精确度会有明显提高 。
工程上精确度足够 。
