第十七章 静不定结构
静不定结构强度大，刚度大。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的 83
maxv 为相应静定结构的 331
? § 17.1 概述
? § 17.2 力法求解静不定结构
? § 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
? § 17.4 装配应力和温度应力
? § 17.5 静不定结构的特点
§ 17.1 概述
17.1.1 什么是静不定结构
内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的
内力 。
“多余约束”, AB梁中 B端可动铰支
座，
绗架中的 CD杆称为多余约束，相应
的约束力或内力“多余约束力”
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的
约束反力。
注意,多余约束力对维持平衡是多余的, 但
对工程实际并不多余, 都是为了提高强度,
或刚度而加上去的 。
17.1,2 静不定次数
2, 内静不定结构
将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多
余约束, 使其变成静定的, 则切开截面上内
力分量的总数就是静不定次数
内力分量的总数 =原内部多余约束数
1,外静不定结构
约束反力数 -平衡方程数
（ 1） 切开一个链杆 （ 2力杆 ）, 只有 N,相当
于去掉 1个多余约束 。
P P
N
N
（ 2）切开一个单铰，有 2个内力分量,N,Q，
相当于去掉 2个多余约束。
P P
Q
Q NN
（ 3）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 N,Q、
M，相当于去掉 3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多一 3次静不定
P
（ 4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束。
M N
Q
P
3,静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知量个数 （ 约束反力和内力 ）
=未知量个数 -平衡方程数
例
17.1.3 求解静不定结构方法（三条件法）
1,力法：以多余未知力为基本未知量将位移
表示为未知力的函数, 然后按位移
协调条件建 立方程, 从而解除多
余未知力 。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力
表示为位移的函数，然后按平衡条件
建立方程，从而通过求解未知位移来
求解多余未知力。
本章重点：力法
§ 17.2 力法求解静不定结构
17.2.1 基本静定系和相当系统
1,基本静定系：去掉原载荷, 只考虑结构本
身解除多余约束后得到的静定结构, 称为原
结构的基本静定系 。
2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余
约束力代替被解除的多余约束，并加上原载
荷，则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构
完全相同。
m
（基）
（相）
1X
1X
m
P P
1X
2X 3X
P
1X
2X
3X
3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
P
1X
3X
2X P
3X
2X
1X
P
3X2X
1X
17.2.2 力法求解简单静不定结构
P
A B
P
1X
P
BPv
1BXv
1X
?1 静不定次数,1次
?2 相当系统
?3
01 ??? BXBPB vvv
位移协调条件（保证相
当系统的变形和位移与
原静不定结构相同）
? ??? EIPlv BP 485 3
? ??? EIlXv Bx 3 311
物理条件代入位移协调方程，求解多余未
知力
?5
1X
03485
3
1
3
?? EIlXEIPl
PX 1651 ? ???∴
?4 物理条件：位移表达为力的函数
2,求出后，原静不定结构就相当于在
P及 共同作用下的静定梁（相当系统）
进而可按静定梁的方法作 Q,M图，
求应力和变形，进行强度和刚度计算 。
1X
1X
讨论,1,即为原静不定结构 B端的约
束反力。 A端的 3个约束反力
可由静力平衡方程求出。
1X
17.2.3 力法正则方程
将上例中的位移协调方程改写一下：
BBPBX vvv ??1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXv ??
111X?
力与位移成线性关系
==================
PBPv 1??
1??Bv
则 ------------------ 力法正则方程11111 ???? PX?
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向
第二个下标表示位移发生的原因 （ 哪个
力引起的 ）
* —— 原静不定结构上，作用处沿方向的位移
（广义：线位移、角位移、绝对位移、
相对位移）
1?
1X* —— 多余未知力。可以是外约束力，也
可是内约束力（广义的。可以是
力，可以是力偶）
* —— 在相当系统中，只得保留,并令
由它引起的 作用处，沿 方向的位
移。（广义）
11? 1X 11 ?X
1X 1X
* —— 在相当系统中，只得保留原已知载
荷 P（广义力）
由所有原已知载荷引起的 作用处沿
方向的位移。（广义）
P1?
1X
1X
表示在相当系统中，只考虑（不考虑原有载
荷）的作用，在自身作用点和方向上引起的
位移。
111X?
表示在相当系统中（不考虑 ），只考虑
原有载荷作用，所有原已知载荷在 作用
点及方向上引起的位移。
1X
1X
P1?
由叠加原理,及 之和应等于原结构在 作用
点沿 方向的位移。相当系统本身只保证了“力”
的相当，而正则方程又保证了“位移”的相当。
111X? P1? 1X
1X
次静不定的力法正则方程。（不用力法位移协
调条件很难找）
n
?
?
?
?
?
?
?
?????????
??????
?????????
?????????
nnPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
???
???
???
2211
222222121
111212111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnP
P
P
nnnnn
n
n
X
X
X
???
?
?
?
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
..,.,,
???
???
???
* 第 i个方程物理意义：相当系统中，原已知
载荷与全部 n个多余未知力共同作用下，在
作用点，沿 方向的位移应等于原结构
在 作用点，沿 方向的位移。i
X iX
iX iX
* 多余未知力的系数 组成的方阵中ij?
1,主对角线上称为主系数。其物理意义：在相
当系统上只保留，并令。它在自身作用点，
沿方向引起的位移。由 于与 方向一致，ij?
iX
所以恒为正。
2,称为副系数。它的物理意义：在相当
系统中，只保留,并令,它在 作
用点，沿 方向引起的位移。由于 与 方
向不一定相同，所以可正可负可为零。
)( jiij ??
jX 1?jX iX
1X ij? iX
3,（位移互等定理），所以系数矩阵为对
称方阵。
jiij ?? ?
* 是自由项。物理意义：在相当系统上，去
掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷；
它们在 作用点沿 方向引起的位移可正、
可负、可为零。
iP?
iX iX
* 表示原静不定结构在 作用点沿 方向的
位移。 与 同向为,+”，反之为,-”，在很
多情况下
i? iX iX
i? iX
0??i
力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不
定结构上求一系列位移, 的问题。而它们
可由第十四章或第十六章知识求出。
ij? iP?
讨论,1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构
内力图。
例如 in
i
iP MXMM ?
?
??
1
图为相当系统，只保留原已知载荷作用的 图。PM M
图为相当系统，只保留,并令 时的 图。iM iX 1?iX M
“+”：代数值叠加。
2,求静不定结构上某点 K的位移（广义）时
可把单位力加在原静不定结构的 K点上，
也可把单位力加在基本静定系的 K点上。
P
2l 2l
A BC
D
P
1X
（相）
?
l
1X
)( 1M
?
P
2Pl
)( ?M
法 1
1,相当系统
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
EI
PllPll
EIP 48
5
6
5
222
11 3
1 ????
?
??
? ??
?
??
?
? ?????
4．, 代入正则方程。11? P1?
? ?IaAl P A lX 316 5 3
3
1 ??
BDN
例 17.1 求：
EA
aXX
P
1
1111 ?????
2,正则方程：
5,（拉力） ? ?IaAl PAlXN BD 316 5 3 31 ???
1X
1X
P
1X
1X
?
11?N ?l
1
1
N
M
P
?
2
Pl
P
P
N
M
法 2
1,相当系统
3,? ?? ?lal
EAEI
l ???? 1
3
3
11?
EI
Pl
P 48
5 3
1 ???
4,EIPlX 485 31 ??
5,（拉） EIPlXN BD 485 31 ???
01111 ??? PX?2,正则方程：
讨论,1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。
2．法 1中正则方程出现负号的原因：原结
构 B处位移向下与 反向1X
2l
2l
qlP?
解,1．相当系统
3．
? ? EIlllllllEI 3432211 311 ??
?
?
??
? ?????
?
??
?
? ????
01111 ??? PX?2．正则方程：
l
)( 1M
11 ?X
2
2ql
2
2ql )( PM
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????? l
qll
ll
ql
l
ql
l
EIP 222
1
24
3
23
11 222
1
EI
ql
4
3 4??
4,qlX 1691 ?
例 17.3 绘 M图
q
a
q
1X
1X
1．二次静不定，相当系统。
?
?
?
????
????
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
??
??
3,求 PP 2122211211,,)(,??????
2．正则方程
q
2
2qa
)( PM
11?
21?
11 ?X
)( 1M )(
2M
a
12?
22?
12 ?X
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
EI
aaaa
EI 22
11 3
12 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
? ? EIaaaaaaaEI 3432211 222 ???
?
?
??
? ??
?
??
?
? ???????
EI
qaaaqa
EIP 422
1 42
1 ???
?
?
?
?
? ?
???
?
???
? ????
EI
qaaqaaaaqa
EIP 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2 ???
?
?
?
?
? ?
???
?
???
? ????
???
?
???
? ????
4．以上各式代入正则方程：
qaX 2831 ? qaX 732 ?
5,2
211 MXMXMM P ???
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
例 17.5 在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所
示。若 AB梁与杆 CD的材料及截面形状、
尺寸完全相同，且知截面关于形心轴上
下对称，截面高度,又知
10
lh?
30
2l
A
I ?
求：（ 1）图中 D点的铅垂位移
（ 2）图示的转角
（ 3）结构中横截面上的, 及
D?
?
max? max? min?
l
PA B
D
I
I
l l
?
C
解,1．一次静不定，相当系
统（将 CD切）
11?X
11?X
1??N
?
2l
P2Pl
?
65PN ??
12Pl
2,01111 ??? PX?
3．
EI
llll
EI ???
?
??
? ??
?
??
?
? ???
322
12
11?
EI
l
5
3
?
?????? ??????? ????? 322121 lPllEIP
EI
Pl
6
3
??
4,（压力）PX
6
5
1 ?
5,? ?????? EIPlEAPlEI lXD 3665 31
1
1 6．求 ?
EI
PlPll
EIA 242
1
1222
11 3??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ????
EI
Pl
AB 24
2
?? ??
7．求 及max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a x
?
?
?
??
I
Pl
240
2
?
杆 CD：
I
lP
A
X
306
5 21 ?????
I
Pl
36
2
??
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x ?? 36
2
m a x
Pl??
I
Pl
36
2
m i n ???
讨论：求 法 2 相当系统上求? ?
PP 65? ? ?
EI
Pl
EI
lP
2416
2
6 2
2
???
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
结构对称, 载荷也对称, 其内力和变形必然也
对称 。
结构对称，载荷反对称，其内力和变形必然也
反对称。
* 由于剪力的符号规定，对称的内力 ——剪力画
出的内力图（剪力图）是反对称的 。
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构
内力对称,∴ C处只有 N,M无 Q。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移。
c C处切开，改用滑动支座即可。∴ 原 3次静不定结构的半边结构
等效为下图示的 2次静不定结构。
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P P
c
P
内力反对称,C处只有剪力 Q
无 N,M。
变形反对称,C处只有水平线
位移和转角，无铅垂位移。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等
效为 1次静不定结构。
P P
c
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构
与 1中相比较, 又 CD杆中只有
轴力 N（ 对称 ）, 则用固定支
座代替滑动支座即可 。 原 6次
静不定结构等效为 3次静不定
结构
4．结构对称，载荷也对称的偶数跨结构
等效
PP
2I 2I
PP
2I 2I
cQcQ P
2I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而
只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它
杆的内力。
cQ cQ
P P
c
I
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不
计。
原 6次静不定结构等效为 3次静不定问题。
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
而原中间竖杆的内力等于以两竖杆内力之和。
例 17.8 EI=C 求 AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结
构可等效为 1次静不
定结构。
AB
D
E C
a2
a P
A
CE
P
1X
2
P（等效）
2．求解 1次静不定，相当系统。
3,01111 ??? PX?
4,11 ?M
? ? ?s in2
PaM
ACP ??
? ? 2
PaM
CEP ??
EI
a
EI
a
EI
adxads
EIdsEI
M a 57.2
2
1 2
0 0
1
11 ?????
?
??
? ??? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?????? ????? 20 0211 2s i n21
?
?? aPP dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1 ??
???
?
???
? ???
1X
2
P?
5,PQX P 3 8 9.0
11
1
1 ?
???
?
6,11 MXMM P ??原
PaPaM AC 3 8 9.0s in2 ??? ?
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02 ?????
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处
加单位力
A? 1X
1
?s inaM AC ??
aM CE ??
??? dsMMEIA 1
? ? ? ?? ? ?
?
?
??
? ?????
?
??
?
? ??? ? ?2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
?
??? a dxaPaadaPPaEI
??
?
??
? ??
?
??
?
? ?? ? 2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
?
??? dEIPa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
? ?? 111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3 ?
?
???
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,? ??????? EIPaAAB 3229.02
§ 17.4 装配应力和温度应力
静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都
会产生内力和应力。（装配、温度、载荷）
静定结构：装载作用下才产生内力和应力。
17.4.1 装载内力和应力
一次静不定的力法正则方程：
11111 ???? eX?
n次静不定的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只
保留原制造误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的位移,与 方向一致时取正号，
反之取负号。 可正、可负、可为零。
iX ie? iX
ie?
例 17.9 设,,求21 EE ? 21 AA ? 321,,NNN
1 ? ? 2
3
l
e
1X
相当
解,1．一次静不定，相当系统
2,01111 ??? eX?
3．在相当系统中，只保留
，并令
（不计误差 e）
1X 11 ?X
（压）则 ?c o s2 121 ??? NN 13 ?N
33
2
11
11
c os4
c os2
AE
l
l
AE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?1 2
3
11 ?X
e1?
4．在相当系统中，去掉,只
保留误差 e，则
1X
ee ??? 1
5．
33
3
11
33
3
11
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
???
???
?
?
?
6,13 XN ?
?c o s2
3
21
NNN ???
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配
合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
,200321 GP aEEE ??? 可以求出
（压）M P a3.6521 ??? ??
（拉）M P a9.1 1 23 ??
装配应力不可忽视
,10 001?le,321 AAA ??,30 ???讨论,1．若设
17.4.2 温度内力和应力
：在相当系统中，去掉所有多余位知力，
只保留温度变化,由 引起的 作
用处沿 方向的位移。 与 方向一
致时取正号。可正、可负、可为零。
it?
t? t? 1X
1X it? 1X
§ 17.5 静不定结构的特点
1,强度, 刚度比相应的静定 （ 系统 ） 结构显
著提高
3．求解内力方法：
静定：静力平衡方程
静不定：除静力平衡方程，还需变形位移条
件及物理条件
2．引起内力和应力的原因：
静定：载荷
静不定：载荷，温度改变、制造误差、支座
移动的变形因素
4,内力与什么相关
静定：只与载荷有关
静不定：除载荷外, 与材料性质和截面尺寸
相关, 因此静定结构截面尺寸设计简单
（ 求出内力后, 由强度条件即可确定截面尺
寸 ） 。 而静不定结构中各部分内力分配与各
部分相对度有关 。 改变一根杆的截面尺寸, 会
使得所有杆件受力重新分布 。
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
而静不定结构由于具有多余约束, 当多余约
束遭破坏时, 整个结构仍能维持原位, 不
发生刚体位移, 还具有一定承载能力 。
静不定结构强度大，刚度大。
P
2
l
2
l
A B
P
l
maxM
为相应静定结构的 83
maxv 为相应静定结构的 331
? § 17.1 概述
? § 17.2 力法求解静不定结构
? § 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
? § 17.4 装配应力和温度应力
? § 17.5 静不定结构的特点
§ 17.1 概述
17.1.1 什么是静不定结构
内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的
内力 。
“多余约束”, AB梁中 B端可动铰支
座，
绗架中的 CD杆称为多余约束，相应
的约束力或内力“多余约束力”
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的
约束反力。
注意,多余约束力对维持平衡是多余的, 但
对工程实际并不多余, 都是为了提高强度,
或刚度而加上去的 。
17.1,2 静不定次数
2, 内静不定结构
将结构切开一个或 n个截面 ——去掉内部多
余约束, 使其变成静定的, 则切开截面上内
力分量的总数就是静不定次数
内力分量的总数 =原内部多余约束数
1,外静不定结构
约束反力数 -平衡方程数
（ 1） 切开一个链杆 （ 2力杆 ）, 只有 N,相当
于去掉 1个多余约束 。
P P
N
N
（ 2）切开一个单铰，有 2个内力分量,N,Q，
相当于去掉 2个多余约束。
P P
Q
Q NN
（ 3）切开一处刚性联结，有 3个内力分量 N,Q、
M，相当于去掉 3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多一 3次静不定
P
（ 4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉 1个多余约束。
M N
Q
P
3,静不定次数 =外静不定次数 +内静不定次数
=多余约束数 （ 内外多余约束数 ）
=多余未知量个数 （ 约束反力和内力 ）
=未知量个数 -平衡方程数
例
17.1.3 求解静不定结构方法（三条件法）
1,力法：以多余未知力为基本未知量将位移
表示为未知力的函数, 然后按位移
协调条件建 立方程, 从而解除多
余未知力 。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力
表示为位移的函数，然后按平衡条件
建立方程，从而通过求解未知位移来
求解多余未知力。
本章重点：力法
§ 17.2 力法求解静不定结构
17.2.1 基本静定系和相当系统
1,基本静定系：去掉原载荷, 只考虑结构本
身解除多余约束后得到的静定结构, 称为原
结构的基本静定系 。
2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余
约束力代替被解除的多余约束，并加上原载
荷，则称为相当系统。
“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构
完全相同。
m
（基）
（相）
1X
1X
m
P P
1X
2X 3X
P
1X
2X
3X
3．基本静定系和相当系统的选取：不唯一。
P
1X
3X
2X P
3X
2X
1X
P
3X2X
1X
17.2.2 力法求解简单静不定结构
P
A B
P
1X
P
BPv
1BXv
1X
?1 静不定次数,1次
?2 相当系统
?3
01 ??? BXBPB vvv
位移协调条件（保证相
当系统的变形和位移与
原静不定结构相同）
? ??? EIPlv BP 485 3
? ??? EIlXv Bx 3 311
物理条件代入位移协调方程，求解多余未
知力
?5
1X
03485
3
1
3
?? EIlXEIPl
PX 1651 ? ???∴
?4 物理条件：位移表达为力的函数
2,求出后，原静不定结构就相当于在
P及 共同作用下的静定梁（相当系统）
进而可按静定梁的方法作 Q,M图，
求应力和变形，进行强度和刚度计算 。
1X
1X
讨论,1,即为原静不定结构 B端的约
束反力。 A端的 3个约束反力
可由静力平衡方程求出。
1X
17.2.3 力法正则方程
将上例中的位移协调方程改写一下：
BBPBX vvv ??1
1?B （ B是 作用处）1X
11 1 XBXv ??
111X?
力与位移成线性关系
==================
PBPv 1??
1??Bv
则 ------------------ 力法正则方程11111 ???? PX?
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向
第二个下标表示位移发生的原因 （ 哪个
力引起的 ）
* —— 原静不定结构上，作用处沿方向的位移
（广义：线位移、角位移、绝对位移、
相对位移）
1?
1X* —— 多余未知力。可以是外约束力，也
可是内约束力（广义的。可以是
力，可以是力偶）
* —— 在相当系统中，只得保留,并令
由它引起的 作用处，沿 方向的位
移。（广义）
11? 1X 11 ?X
1X 1X
* —— 在相当系统中，只得保留原已知载
荷 P（广义力）
由所有原已知载荷引起的 作用处沿
方向的位移。（广义）
P1?
1X
1X
表示在相当系统中，只考虑（不考虑原有载
荷）的作用，在自身作用点和方向上引起的
位移。
111X?
表示在相当系统中（不考虑 ），只考虑
原有载荷作用，所有原已知载荷在 作用
点及方向上引起的位移。
1X
1X
P1?
由叠加原理,及 之和应等于原结构在 作用
点沿 方向的位移。相当系统本身只保证了“力”
的相当，而正则方程又保证了“位移”的相当。
111X? P1? 1X
1X
次静不定的力法正则方程。（不用力法位移协
调条件很难找）
n
?
?
?
?
?
?
?
?????????
??????
?????????
?????????
nnPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
???
???
???
2211
222222121
111212111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnP
P
P
nnnnn
n
n
X
X
X
???
?
?
?
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
..,.,,
???
???
???
* 第 i个方程物理意义：相当系统中，原已知
载荷与全部 n个多余未知力共同作用下，在
作用点，沿 方向的位移应等于原结构
在 作用点，沿 方向的位移。i
X iX
iX iX
* 多余未知力的系数 组成的方阵中ij?
1,主对角线上称为主系数。其物理意义：在相
当系统上只保留，并令。它在自身作用点，
沿方向引起的位移。由 于与 方向一致，ij?
iX
所以恒为正。
2,称为副系数。它的物理意义：在相当
系统中，只保留,并令,它在 作
用点，沿 方向引起的位移。由于 与 方
向不一定相同，所以可正可负可为零。
)( jiij ??
jX 1?jX iX
1X ij? iX
3,（位移互等定理），所以系数矩阵为对
称方阵。
jiij ?? ?
* 是自由项。物理意义：在相当系统上，去
掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷；
它们在 作用点沿 方向引起的位移可正、
可负、可为零。
iP?
iX iX
* 表示原静不定结构在 作用点沿 方向的
位移。 与 同向为,+”，反之为,-”，在很
多情况下
i? iX iX
i? iX
0??i
力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不
定结构上求一系列位移, 的问题。而它们
可由第十四章或第十六章知识求出。
ij? iP?
讨论,1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构
内力图。
例如 in
i
iP MXMM ?
?
??
1
图为相当系统，只保留原已知载荷作用的 图。PM M
图为相当系统，只保留,并令 时的 图。iM iX 1?iX M
“+”：代数值叠加。
2,求静不定结构上某点 K的位移（广义）时
可把单位力加在原静不定结构的 K点上，
也可把单位力加在基本静定系的 K点上。
P
2l 2l
A BC
D
P
1X
（相）
?
l
1X
)( 1M
?
P
2Pl
)( ?M
法 1
1,相当系统
3．
EI
llll
EI 33
2
2
11 3
11 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
EI
PllPll
EIP 48
5
6
5
222
11 3
1 ????
?
??
? ??
?
??
?
? ?????
4．, 代入正则方程。11? P1?
? ?IaAl P A lX 316 5 3
3
1 ??
BDN
例 17.1 求：
EA
aXX
P
1
1111 ?????
2,正则方程：
5,（拉力） ? ?IaAl PAlXN BD 316 5 3 31 ???
1X
1X
P
1X
1X
?
11?N ?l
1
1
N
M
P
?
2
Pl
P
P
N
M
法 2
1,相当系统
3,? ?? ?lal
EAEI
l ???? 1
3
3
11?
EI
Pl
P 48
5 3
1 ???
4,EIPlX 485 31 ??
5,（拉） EIPlXN BD 485 31 ???
01111 ??? PX?2,正则方程：
讨论,1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。
2．法 1中正则方程出现负号的原因：原结
构 B处位移向下与 反向1X
2l
2l
qlP?
解,1．相当系统
3．
? ? EIlllllllEI 3432211 311 ??
?
?
??
? ?????
?
??
?
? ????
01111 ??? PX?2．正则方程：
l
)( 1M
11 ?X
2
2ql
2
2ql )( PM
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????? l
qll
ll
ql
l
ql
l
EIP 222
1
24
3
23
11 222
1
EI
ql
4
3 4??
4,qlX 1691 ?
例 17.3 绘 M图
q
a
q
1X
1X
1．二次静不定，相当系统。
?
?
?
????
????
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
??
??
3,求 PP 2122211211,,)(,??????
2．正则方程
q
2
2qa
)( PM
11?
21?
11 ?X
)( 1M )(
2M
a
12?
22?
12 ?X
EI
aaaa
EI 33
2
2
11 3
11 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
EI
aaaa
EI 22
11 3
12 ???
?
??
? ??
?
??
?
? ????
? ? EIaaaaaaaEI 3432211 222 ???
?
?
??
? ??
?
??
?
? ???????
EI
qaaaqa
EIP 422
1 42
1 ???
?
?
?
?
? ?
???
?
???
? ????
EI
qaaqaaaaqa
EIP 8
5
4
3
23
1
2
1 422
2 ???
?
?
?
?
? ?
???
?
???
? ????
???
?
???
? ????
4．以上各式代入正则方程：
qaX 2831 ? qaX 732 ?
5,2
211 MXMXMM P ???
14
2qa
28
2qa
98
9 2qa
a73
例 17.5 在载荷 P作用下，梁 AB挠曲线如虚线所
示。若 AB梁与杆 CD的材料及截面形状、
尺寸完全相同，且知截面关于形心轴上
下对称，截面高度,又知
10
lh?
30
2l
A
I ?
求：（ 1）图中 D点的铅垂位移
（ 2）图示的转角
（ 3）结构中横截面上的, 及
D?
?
max? max? min?
l
PA B
D
I
I
l l
?
C
解,1．一次静不定，相当系
统（将 CD切）
11?X
11?X
1??N
?
2l
P2Pl
?
65PN ??
12Pl
2,01111 ??? PX?
3．
EI
llll
EI ???
?
??
? ??
?
??
?
? ???
322
12
11?
EI
l
5
3
?
?????? ??????? ????? 322121 lPllEIP
EI
Pl
6
3
??
4,（压力）PX
6
5
1 ?
5,? ?????? EIPlEAPlEI lXD 3665 31
1
1 6．求 ?
EI
PlPll
EIA 242
1
1222
11 3??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ????
EI
Pl
AB 24
2
?? ??
7．求 及max? max?
梁 AB：
I
lPl
I
hM
20122m a x
m a x
?
?
?
??
I
Pl
240
2
?
杆 CD：
I
lP
A
X
306
5 21 ?????
I
Pl
36
2
??
∴
I
Pl
2 4 0
2
m a x ?? 36
2
m a x
Pl??
I
Pl
36
2
m i n ???
讨论：求 法 2 相当系统上求? ?
PP 65? ? ?
EI
Pl
EI
lP
2416
2
6 2
2
???
§ 17.3 利用对称性简化静不定结构的计算
结构对称, 载荷也对称, 其内力和变形必然也
对称 。
结构对称，载荷反对称，其内力和变形必然也
反对称。
* 由于剪力的符号规定，对称的内力 ——剪力画
出的内力图（剪力图）是反对称的 。
1,结构对称，载荷也对称的奇数跨结构
内力对称,∴ C处只有 N,M无 Q。
变形对称,∴ C处只有铅垂位移。
c C处切开，改用滑动支座即可。∴ 原 3次静不定结构的半边结构
等效为下图示的 2次静不定结构。
2,结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
P P
c
P
内力反对称,C处只有剪力 Q
无 N,M。
变形反对称,C处只有水平线
位移和转角，无铅垂位移。
C处切开，改活动铰支座。
∴ 原 3次静不定结构的半边结构等
效为 1次静不定结构。
P P
c
3,结构对称，载荷也对称的偶数跨结构
与 1中相比较, 又 CD杆中只有
轴力 N（ 对称 ）, 则用固定支
座代替滑动支座即可 。 原 6次
静不定结构等效为 3次静不定
结构
4．结构对称，载荷也对称的偶数跨结构
等效
PP
2I 2I
PP
2I 2I
cQcQ P
2I
由于载荷反对称，切口处只有 （一对），而
只使二竖杆产生等值反号的轴力，不会影响其它
杆的内力。
cQ cQ
P P
c
I
∴ 对原结构内力及变形均无影响，可以略去不
计。
原 6次静不定结构等效为 3次静不定问题。
5．双对称结构：
结构和载荷关于两个互相垂直的轴都对称，
取四分之一结构进行计算。
q
q
而原中间竖杆的内力等于以两竖杆内力之和。
例 17.8 EI=C 求 AB?
解,1．原 3次静不定结构。
双对称，四分之一结
构可等效为 1次静不
定结构。
AB
D
E C
a2
a P
A
CE
P
1X
2
P（等效）
2．求解 1次静不定，相当系统。
3,01111 ??? PX?
4,11 ?M
? ? ?s in2
PaM
ACP ??
? ? 2
PaM
CEP ??
EI
a
EI
a
EI
adxads
EIdsEI
M a 57.2
2
1 2
0 0
1
11 ?????
?
??
? ??? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?????? ????? 20 0211 2s i n21
?
?? aPP dxPadPaEIdsEI MM
EI
PaPaPa
EI
222
22
1 ??
???
?
???
? ???
1X
2
P?
5,PQX P 3 8 9.0
11
1
1 ?
???
?
6,11 MXMM P ??原
PaPaM AC 3 8 9.0s in2 ??? ?
PaPaPaM CE 1 1 1.03 8 9.02 ?????
7,求,在相当系统上去掉 P及,在 A处
加单位力
A? 1X
1
?s inaM AC ??
aM CE ??
??? dsMMEIA 1
? ? ? ?? ? ?
?
?
??
? ?????
?
??
?
? ??? ? ?2
0 0
111.0s i n389.0s i n21
?
??? a dxaPaadaPPaEI
??
?
??
? ??
?
??
?
? ?? ? 2
0
2
3
111.0s i n389.0s i n21
?
??? dEIPa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
? ?? 111.0c o s389.02s i n
4
1
2
1
2
0
2
0
3 ?
?
???
EI
Pa
EI
Pa 31 1 4 7.0?
8,? ??????? EIPaAAB 3229.02
§ 17.4 装配应力和温度应力
静不定结构：只要存在使结构变形的因素，都
会产生内力和应力。（装配、温度、载荷）
静定结构：装载作用下才产生内力和应力。
17.4.1 装载内力和应力
一次静不定的力法正则方程：
11111 ???? eX?
n次静不定的力法正则方程
ie?
：在相当系统上，去掉所有多余未知力，只
保留原制造误差 e，由 e引起的 作用点沿
iX
方向的位移,与 方向一致时取正号，
反之取负号。 可正、可负、可为零。
iX ie? iX
ie?
例 17.9 设,,求21 EE ? 21 AA ? 321,,NNN
1 ? ? 2
3
l
e
1X
相当
解,1．一次静不定，相当系统
2,01111 ??? eX?
3．在相当系统中，只保留
，并令
（不计误差 e）
1X 11 ?X
（压）则 ?c o s2 121 ??? NN 13 ?N
33
2
11
11
c os4
c os2
AE
l
l
AE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?1 2
3
11 ?X
e1?
4．在相当系统中，去掉,只
保留误差 e，则
1X
ee ??? 1
5．
33
3
11
33
3
11
11
1
1 c o s2
c o s2
AEAE
AEAE
l
eX e
???
???
?
?
?
6,13 XN ?
?c o s2
3
21
NNN ???
2．有时也利用装配应力：机械制造中的过盈配
合，自行车轮的车条与轮缘的配合。
,200321 GP aEEE ??? 可以求出
（压）M P a3.6521 ??? ??
（拉）M P a9.1 1 23 ??
装配应力不可忽视
,10 001?le,321 AAA ??,30 ???讨论,1．若设
17.4.2 温度内力和应力
：在相当系统中，去掉所有多余位知力，
只保留温度变化,由 引起的 作
用处沿 方向的位移。 与 方向一
致时取正号。可正、可负、可为零。
it?
t? t? 1X
1X it? 1X
§ 17.5 静不定结构的特点
1,强度, 刚度比相应的静定 （ 系统 ） 结构显
著提高
3．求解内力方法：
静定：静力平衡方程
静不定：除静力平衡方程，还需变形位移条
件及物理条件
2．引起内力和应力的原因：
静定：载荷
静不定：载荷，温度改变、制造误差、支座
移动的变形因素
4,内力与什么相关
静定：只与载荷有关
静不定：除载荷外, 与材料性质和截面尺寸
相关, 因此静定结构截面尺寸设计简单
（ 求出内力后, 由强度条件即可确定截面尺
寸 ） 。 而静不定结构中各部分内力分配与各
部分相对度有关 。 改变一根杆的截面尺寸, 会
使得所有杆件受力重新分布 。
5．静定结构任何一个约束（内、外）遭破坏，
立即发生刚体位移，完全丧失承载能力。
而静不定结构由于具有多余约束, 当多余约
束遭破坏时, 整个结构仍能维持原位, 不
发生刚体位移, 还具有一定承载能力 。
