第三章、复合运动
§ 3.1 绝对运动, 相对运动, 牵连运动
§ 3.2 变矢量的绝对导数和相对导数
§ 3.3 点的复合运动的分析解法
§ 3.4,点的复合运动的矢量解法
§ 3.5.刚体复合运动
第三章、复合运动
§ 3.1 绝对运动, 相对运动, 牵连运动
? 运动学研究物体在空间位置改变的
几何性质,一切运动都是相对的,
? 前二章只对一种参考空间描述物体
的运动；实际中常需在不同的参考
空间描述同一物体的运动,
? 本章将学习物体相对个不同的参考
空间运动之间的关系,即将已知运
动 加以合成或分解,称为复合运动,
? 两个不同空间,定系动系
的选取是人为的；
?
?
?
动系
定系
?
? 牵连运动：动系相对于定系的运
动 动空间的运动，为刚体
运动 ；;均为研究对象的运动
动系的运动相对运动：物体相对于
定系的运动绝对运动：物体相对于
?
?
?
物体（点或刚体）的相对运动
与其随同动系的牵连运动合成为物
体的绝对运动，或者说，物体的绝
对运动可分解为物体的相对运动和
其随同动系的牵连运动，可以用下
式来表示
结论：
（牵连运动）（相对运动）
合成
分解
绝对运动） ?(
§ 3.2 变矢量的绝对导数和相对导数
y
O x
A?
时刻t
A?A?~
eA?
)( ttA ??
时刻tt ??
：相对增量（动系）2~ AAA ??? ????
AAAA a ?????? ~0 12 ???,时，当 ?
牵连增量（由于动坐标系方
位 变化引起 改变所产
生的增量）；
?? A?
?? eA?
：绝对增量（定系）AAAAA a ????? ??????? 1
AAA a ?? ????? ~由图知：
AdAdAd ???? ???? ~
：图形微小角位移）；（其中 ??d
Adt
d
dt
Ad
dt
Ad ?
???
?
??? ~
A
dt
Ad
dt
Ad ??
??
????
~
动系作转动时，
dt
Ad
dt
Ad
dt
d
??? ~
,0 ??
?
动系作平动时，
A
dt
Ad
dt
Ad ??
??
????
~
，动系作一般平面运动时
§ 3.3 点的复合运动的分析解法
§ 3.4,点的复合运动的矢量解法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
点相对动系
速度
加速度
相对
点相对定系
速度
加速度
绝对
）（动点
研究对象
M
v
a
M
v
a
M
r
r
a
a
?
?
?
?§ 3.4.1,速度合成定理
一、
dt
rd
v a
?
?
?
dt
vd
a aa
?
?
?
dt
rd
v r
?
? ?
?
~
dt
vd
a rr
?
?
~
?
)
~
(
dt
rd
dt
rd
?? ?
?
?
重合点：
动系上与动点（ M）相重合之
点（ N）；
动系作平面运动,N点速度、加速度为：
ONON vvv ?? ??
???
相对定系重合点
速度
加速度
牵连 N
v
a
e
e
?
?
?
?
?
?
?
?
y
xO
y?
x?
O?
r?
or?
?
r??
rvv eOe ????? ? ????即：
n
ONONON aaaa ??? ???
????
y
xO
y?
x?
O?
r?
or??
r??
)( rraa eeeOe ??????????? ? ???????
)( rr
dt
d
dt
rdv
Oa ???? ?
????
re
e
O
O
vv
dt
rd
r
dt
rd
dt
rd
dt
rd
??
?
??
?
??
??
?
??????
?
??
?
?
~
，可得因为，
二、
rrr O ??? ?
???
?点的速度合成定理：
在任一瞬时, 动点的绝对速度
等于其相对速度与牵连速度的矢量
和 。
方程，描述瞬时关系；
矢量从而得 ??? rea vvv
???
例,曲柄连杆机构带动摇杆 EH 绕 E 轴摆动，如
图所示，在连杆 ABD 上装有两个滑块，滑块 B
沿水平槽滑动，而滑块 D则沿摇杆 EH 滑动。
A
B
D
H
EO
?
? ?
.
30.
EEHOEEH
rBDABOA
OA
?
?
?
的角速度。试求该瞬时摇杆
，在图示位置时，
逆时针转动，以匀角速度已知：曲柄
?
???? ?
解,1、连杆 AD作平面运动，杆上 A点的速度
可由曲柄 OA得出为
OArv A 方向垂直于??
又由滑块 B可以确定 B点的速
度沿水平方向，因此找到 P点
为 AD杆的速度瞬心，
如图。 点速度为D
PDrr
r
r
v
PA
PD
v
AD
，方向垂直??
?
3
c os2
??
??
Dv
?
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
2、取滑块 D为动点，动坐标系固连于摇杆 EH，
定坐标系固连于机架。
动点的绝对运动就是 AD杆上 D点的曲线运动。
相对运动是沿 EH杆的
直线运动。
Da vv
??? ?
作速度矢量图得
?
?
r
vv Dr
2
3
s in
?
?
?? rvv De 23c o s ??
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
Dv
?
rv
?
ev
?
???? 3s i n2 3 ??? r rEDv eE所以
转向逆时针
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
Dv
?
rv
?
ev
?
E?
§ 3.4.2 加速度合成定理
一、定理推导：
vvv ea ??? ??
dt
vd
dt
vdvv
dt
d
dt
vda re
re
a
a
??????
????? )(
上式两端对时间求导,
由于刚体作平面运动
故
牵连速度, 加速度为,
?
?
?
?
?
??????????
?
??????
?
?
)( rraa
aa
rvvv
eeo
Ne
eoNe
??????
??
?????
)( rv
dt
d
dt
vd
eO
e ?????
?
????
)( rvraa eereeO ???????? ????????????? ?
)
~
( r
dt
rdraa
eeeO ????
?
??????? ?
??????
dt
rdr
dt
d
dt
vd
e
eo
????? ?
???????? ?
re
rr v
dt
vd
dt
vd ??
??
????
~
rer va
??? ????
ree
e va
dt
vd ???
?
????
科氏加速度令 ???? reC va ??? 2
加速度合成定理：
任一瞬时动点的绝对加速度
等于其相对加速度, 牵连加速度,
与科式加速度的矢量和 。
Crea aaaa
???? ????
、刨床机构如图。例 2
的速度和加速度。滑枕
时，试求：在图示位置
轴转动，绕以允角速度已知：曲柄
ED
rlBD
OrOA
????
?
30.4
,
?
?
l
B
A
D
E
?
O
?
解,1、求滑枕 ED 的速度
取滑块 A 为动点，动坐标系
固连于 BD 杆，定坐标系固
连于机架。
绝对运动,O为圆心,r为半径的圆
相对运动,A沿 BD 杆的直线运动
牵连运动：动坐标系随 BD 杆做平面
运动
2、速度分析
rea vvv ??
??
方向
大小
? ??
作速度矢量图，如图：
?? s ins in ea vv ?
则有
方向如图得 ?rvv ae ??
方向如图??? rrvv ar 330c o s2c o s2 ??? ?
?r
Bv?
P
ev?
rv
?
av?
A
B
D
O
?
转向逆时针
杆的角速度于是，
22
1
??
? ???
r
r
AP
v
BD
e
方向向左
所以，滑枕的速度为
???? rlDPv D 3c o s 11 ????
?
Bv?
P
ev?
rv
?
av?
A
B
D
O
?
Dv?
的加速度、求滑枕 ED2
t
BD
n
BDDB aaaa
BD
???? ???
点的加速度为为基点，则取
BDrra nBD 方向沿式中,2214 ?? ??
知。指向假设如图，大小未
，方向垂直于 BDraa tBD 14?
?? c o ss i n0 tBDnBDD aaa ???
则有
?
??
c o s
s i n2raa Dt
BD
??即：
tBDa? nBDa?
1a
Da?
A?
B
D
Ba?
Da?
点的加速度为为基点，则仍取 AD ?
t DAn DADA aaaa ??? ??? ????
DArara nBDn DA ????? 方向沿式中：
22
12 22
1
??
方向如图
?
??
?
c o s2
s i n
2
2
1
ra
ra Dt DA
?
???
t DAa ??
A?
B
D
1a
D?
Da?
Ba?
nBDa?tBDa?
Da?
nDAa ??
、用点的复合运动方法2
的加速度合成定理根据牵连运动为转动时
creA aaaa
???? ???
则式中,Ae aa ???
cr
t
DA
n
DADA aaaaaa
????? ?????
??
大小
方向
2?r 2
2?r
rev?2?
?? ? ? ??
作出加速度矢量图
Aa?
t DAa ??
n DAa ??
ta?
Da?A
Ca?
c
t
DADA aaaa ???? ??? c o sc o s
由此可得
c
D
D a
raa ?????
?
???
c o s2
s i nc o s 2
2
2
22
4
1c o s2
c o s2c o s2s i n
?
?
????
r
aar
a AcD ?
?
??
?
为最后得出滑枕的加速度
Aa?
t DAa ??
n DAa ??
ta?
Da?A
Ca?
度方向相反方向水平向右，即与速
二、意义
t
rvevrvev
t ?
?????
??
?
????
lim
0
t
rvrvrvrv
t ?
????????
??
? )()(
0
lim
????
t
avav
tdt
avd
?
??
??
?
???
lim
0
t
evevevev
t ?
????????
??
? )()(
0
lim
????
t
evevevev
t ?
????????
??
?
????
lim
0
t
evev
tdt
evd
?
??
??
?
???
lim
0
t
evev
t ?
??
??
?
??
li m
0
t
evev
t ?
????
??
?
??
li m
0
t
evev
t
ea ?
???
??
?
??
?
lim
0
)
(
0
lim
生的加速度运动使重合点改变所产
由于相对????
?
????
??
ve
t
evev
t
??
??
t
MOeMOe
t ?
????????
??
?
??
lim
0
t
vvvv
dt
vd rrrr
t
r
?
????????
?
??
?????
lim
0
t
rvrv
t ?
???
??
?
??
li m
0
t
rvrv
t ?
????
??
?
??
li m
0
t
rvrv
t
ra ?
???
??
?
??
?
lim
0
ve
t
rvrv
t
??
??
???
?
????
??
lim
0
由于牵连运动使得方向改变
所产生的加速度；
?
?
?
?
?
????
构成右手系方向：
大小：
carve
rve
???
?
,,
s i n2
rv
?
?
e?
?
rv??
ca
?
rec va
??? ?? ?2
ca?三、求
0
0,//
00
.2 ??
?
?
?
?
?
?
???
???
ca
rve
rve
即
，或
某瞬时 ??
??
牵连运动为平动.1
00 ???? cae?
§ 3.5.刚体复合运动
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
,
,
,
,
krr
r
kaa
aa
S
?
?
?
?
?
?
?
?
相对角速度
绝对角速度
图形
§ 3.5.1.平面运动角速度合成公式
?分解为两个平面运动
动系：牵连运动
,kee ??? ??
dt
d
dt
d rr ??? ??~
,ee ??? ?
,
dt
d e
e
??? ??
由图知：任一瞬时
rea ??? ??
求导：
rea ??? ??? ??
rea ??????
如图示；
的转向上式推导所得 rea ???,,
a?
r?
y
xO
y?
x?e
?
e?
O?
a?
r?
A
B
rea ?????
???
再求导得（绝对）：
写成矢量形式为：
rea ?????
???
a?
r?
y
xO
y?
x?
e?
e?
O?
a?
r?
A
B
y
xO
y?
x?
O?
r?
or?
?
r??
§ 3.1 绝对运动, 相对运动, 牵连运动
§ 3.2 变矢量的绝对导数和相对导数
§ 3.3 点的复合运动的分析解法
§ 3.4,点的复合运动的矢量解法
§ 3.5.刚体复合运动
第三章、复合运动
§ 3.1 绝对运动, 相对运动, 牵连运动
? 运动学研究物体在空间位置改变的
几何性质,一切运动都是相对的,
? 前二章只对一种参考空间描述物体
的运动；实际中常需在不同的参考
空间描述同一物体的运动,
? 本章将学习物体相对个不同的参考
空间运动之间的关系,即将已知运
动 加以合成或分解,称为复合运动,
? 两个不同空间,定系动系
的选取是人为的；
?
?
?
动系
定系
?
? 牵连运动：动系相对于定系的运
动 动空间的运动，为刚体
运动 ；;均为研究对象的运动
动系的运动相对运动：物体相对于
定系的运动绝对运动：物体相对于
?
?
?
物体（点或刚体）的相对运动
与其随同动系的牵连运动合成为物
体的绝对运动，或者说，物体的绝
对运动可分解为物体的相对运动和
其随同动系的牵连运动，可以用下
式来表示
结论：
（牵连运动）（相对运动）
合成
分解
绝对运动） ?(
§ 3.2 变矢量的绝对导数和相对导数
y
O x
A?
时刻t
A?A?~
eA?
)( ttA ??
时刻tt ??
：相对增量（动系）2~ AAA ??? ????
AAAA a ?????? ~0 12 ???,时，当 ?
牵连增量（由于动坐标系方
位 变化引起 改变所产
生的增量）；
?? A?
?? eA?
：绝对增量（定系）AAAAA a ????? ??????? 1
AAA a ?? ????? ~由图知：
AdAdAd ???? ???? ~
：图形微小角位移）；（其中 ??d
Adt
d
dt
Ad
dt
Ad ?
???
?
??? ~
A
dt
Ad
dt
Ad ??
??
????
~
动系作转动时，
dt
Ad
dt
Ad
dt
d
??? ~
,0 ??
?
动系作平动时，
A
dt
Ad
dt
Ad ??
??
????
~
，动系作一般平面运动时
§ 3.3 点的复合运动的分析解法
§ 3.4,点的复合运动的矢量解法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
点相对动系
速度
加速度
相对
点相对定系
速度
加速度
绝对
）（动点
研究对象
M
v
a
M
v
a
M
r
r
a
a
?
?
?
?§ 3.4.1,速度合成定理
一、
dt
rd
v a
?
?
?
dt
vd
a aa
?
?
?
dt
rd
v r
?
? ?
?
~
dt
vd
a rr
?
?
~
?
)
~
(
dt
rd
dt
rd
?? ?
?
?
重合点：
动系上与动点（ M）相重合之
点（ N）；
动系作平面运动,N点速度、加速度为：
ONON vvv ?? ??
???
相对定系重合点
速度
加速度
牵连 N
v
a
e
e
?
?
?
?
?
?
?
?
y
xO
y?
x?
O?
r?
or?
?
r??
rvv eOe ????? ? ????即：
n
ONONON aaaa ??? ???
????
y
xO
y?
x?
O?
r?
or??
r??
)( rraa eeeOe ??????????? ? ???????
)( rr
dt
d
dt
rdv
Oa ???? ?
????
re
e
O
O
vv
dt
rd
r
dt
rd
dt
rd
dt
rd
??
?
??
?
??
??
?
??????
?
??
?
?
~
，可得因为，
二、
rrr O ??? ?
???
?点的速度合成定理：
在任一瞬时, 动点的绝对速度
等于其相对速度与牵连速度的矢量
和 。
方程，描述瞬时关系；
矢量从而得 ??? rea vvv
???
例,曲柄连杆机构带动摇杆 EH 绕 E 轴摆动，如
图所示，在连杆 ABD 上装有两个滑块，滑块 B
沿水平槽滑动，而滑块 D则沿摇杆 EH 滑动。
A
B
D
H
EO
?
? ?
.
30.
EEHOEEH
rBDABOA
OA
?
?
?
的角速度。试求该瞬时摇杆
，在图示位置时，
逆时针转动，以匀角速度已知：曲柄
?
???? ?
解,1、连杆 AD作平面运动，杆上 A点的速度
可由曲柄 OA得出为
OArv A 方向垂直于??
又由滑块 B可以确定 B点的速
度沿水平方向，因此找到 P点
为 AD杆的速度瞬心，
如图。 点速度为D
PDrr
r
r
v
PA
PD
v
AD
，方向垂直??
?
3
c os2
??
??
Dv
?
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
2、取滑块 D为动点，动坐标系固连于摇杆 EH，
定坐标系固连于机架。
动点的绝对运动就是 AD杆上 D点的曲线运动。
相对运动是沿 EH杆的
直线运动。
Da vv
??? ?
作速度矢量图得
?
?
r
vv Dr
2
3
s in
?
?
?? rvv De 23c o s ??
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
Dv
?
rv
?
ev
?
???? 3s i n2 3 ??? r rEDv eE所以
转向逆时针
Av
?
?
?
Bv
?
E
H
D
B
O
A
θ
θ
PAD?
Dv
?
rv
?
ev
?
E?
§ 3.4.2 加速度合成定理
一、定理推导：
vvv ea ??? ??
dt
vd
dt
vdvv
dt
d
dt
vda re
re
a
a
??????
????? )(
上式两端对时间求导,
由于刚体作平面运动
故
牵连速度, 加速度为,
?
?
?
?
?
??????????
?
??????
?
?
)( rraa
aa
rvvv
eeo
Ne
eoNe
??????
??
?????
)( rv
dt
d
dt
vd
eO
e ?????
?
????
)( rvraa eereeO ???????? ????????????? ?
)
~
( r
dt
rdraa
eeeO ????
?
??????? ?
??????
dt
rdr
dt
d
dt
vd
e
eo
????? ?
???????? ?
re
rr v
dt
vd
dt
vd ??
??
????
~
rer va
??? ????
ree
e va
dt
vd ???
?
????
科氏加速度令 ???? reC va ??? 2
加速度合成定理：
任一瞬时动点的绝对加速度
等于其相对加速度, 牵连加速度,
与科式加速度的矢量和 。
Crea aaaa
???? ????
、刨床机构如图。例 2
的速度和加速度。滑枕
时，试求：在图示位置
轴转动，绕以允角速度已知：曲柄
ED
rlBD
OrOA
????
?
30.4
,
?
?
l
B
A
D
E
?
O
?
解,1、求滑枕 ED 的速度
取滑块 A 为动点，动坐标系
固连于 BD 杆，定坐标系固
连于机架。
绝对运动,O为圆心,r为半径的圆
相对运动,A沿 BD 杆的直线运动
牵连运动：动坐标系随 BD 杆做平面
运动
2、速度分析
rea vvv ??
??
方向
大小
? ??
作速度矢量图，如图：
?? s ins in ea vv ?
则有
方向如图得 ?rvv ae ??
方向如图??? rrvv ar 330c o s2c o s2 ??? ?
?r
Bv?
P
ev?
rv
?
av?
A
B
D
O
?
转向逆时针
杆的角速度于是，
22
1
??
? ???
r
r
AP
v
BD
e
方向向左
所以，滑枕的速度为
???? rlDPv D 3c o s 11 ????
?
Bv?
P
ev?
rv
?
av?
A
B
D
O
?
Dv?
的加速度、求滑枕 ED2
t
BD
n
BDDB aaaa
BD
???? ???
点的加速度为为基点，则取
BDrra nBD 方向沿式中,2214 ?? ??
知。指向假设如图，大小未
，方向垂直于 BDraa tBD 14?
?? c o ss i n0 tBDnBDD aaa ???
则有
?
??
c o s
s i n2raa Dt
BD
??即：
tBDa? nBDa?
1a
Da?
A?
B
D
Ba?
Da?
点的加速度为为基点，则仍取 AD ?
t DAn DADA aaaa ??? ??? ????
DArara nBDn DA ????? 方向沿式中：
22
12 22
1
??
方向如图
?
??
?
c o s2
s i n
2
2
1
ra
ra Dt DA
?
???
t DAa ??
A?
B
D
1a
D?
Da?
Ba?
nBDa?tBDa?
Da?
nDAa ??
、用点的复合运动方法2
的加速度合成定理根据牵连运动为转动时
creA aaaa
???? ???
则式中,Ae aa ???
cr
t
DA
n
DADA aaaaaa
????? ?????
??
大小
方向
2?r 2
2?r
rev?2?
?? ? ? ??
作出加速度矢量图
Aa?
t DAa ??
n DAa ??
ta?
Da?A
Ca?
c
t
DADA aaaa ???? ??? c o sc o s
由此可得
c
D
D a
raa ?????
?
???
c o s2
s i nc o s 2
2
2
22
4
1c o s2
c o s2c o s2s i n
?
?
????
r
aar
a AcD ?
?
??
?
为最后得出滑枕的加速度
Aa?
t DAa ??
n DAa ??
ta?
Da?A
Ca?
度方向相反方向水平向右，即与速
二、意义
t
rvevrvev
t ?
?????
??
?
????
lim
0
t
rvrvrvrv
t ?
????????
??
? )()(
0
lim
????
t
avav
tdt
avd
?
??
??
?
???
lim
0
t
evevevev
t ?
????????
??
? )()(
0
lim
????
t
evevevev
t ?
????????
??
?
????
lim
0
t
evev
tdt
evd
?
??
??
?
???
lim
0
t
evev
t ?
??
??
?
??
li m
0
t
evev
t ?
????
??
?
??
li m
0
t
evev
t
ea ?
???
??
?
??
?
lim
0
)
(
0
lim
生的加速度运动使重合点改变所产
由于相对????
?
????
??
ve
t
evev
t
??
??
t
MOeMOe
t ?
????????
??
?
??
lim
0
t
vvvv
dt
vd rrrr
t
r
?
????????
?
??
?????
lim
0
t
rvrv
t ?
???
??
?
??
li m
0
t
rvrv
t ?
????
??
?
??
li m
0
t
rvrv
t
ra ?
???
??
?
??
?
lim
0
ve
t
rvrv
t
??
??
???
?
????
??
lim
0
由于牵连运动使得方向改变
所产生的加速度；
?
?
?
?
?
????
构成右手系方向：
大小：
carve
rve
???
?
,,
s i n2
rv
?
?
e?
?
rv??
ca
?
rec va
??? ?? ?2
ca?三、求
0
0,//
00
.2 ??
?
?
?
?
?
?
???
???
ca
rve
rve
即
，或
某瞬时 ??
??
牵连运动为平动.1
00 ???? cae?
§ 3.5.刚体复合运动
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
,
,
,
,
krr
r
kaa
aa
S
?
?
?
?
?
?
?
?
相对角速度
绝对角速度
图形
§ 3.5.1.平面运动角速度合成公式
?分解为两个平面运动
动系：牵连运动
,kee ??? ??
dt
d
dt
d rr ??? ??~
,ee ??? ?
,
dt
d e
e
??? ??
由图知：任一瞬时
rea ??? ??
求导：
rea ??? ??? ??
rea ??????
如图示；
的转向上式推导所得 rea ???,,
a?
r?
y
xO
y?
x?e
?
e?
O?
a?
r?
A
B
rea ?????
???
再求导得（绝对）：
写成矢量形式为：
rea ?????
???
a?
r?
y
xO
y?
x?
e?
e?
O?
a?
r?
A
B
y
xO
y?
x?
O?
r?
or?
?
r??
