第二十二章 动量原理
动量原理 动量定理
动量矩定理
刚体基本运动形式
动量和动量矩定理则是描述这两种运动
形式的动力学基本物理量。
平动 转动
动量定理,阐述的是质点系动量的
变化与外力系冲量之间的关系, 它的另
一种重要形式 —— 质心运动定理则是用
来描述质点系质心的运动与外力系主矢
之间的关系 。
动量矩定理,建立起质点系对某点动
量矩的变化与外力系对该点主矩之间的关
系,用它可方便的研究质点系中各质点相
对于空间固定点或质心的运动。
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.1 动量
※ 22.2 冲量
※ 22.3 动量定理
※ 22.4 质心运动定理
例题 1
第二十二章 达朗伯原理
※ 22.8 刚体一般运动方程
※ 22.6 动量矩定理
※ 22.5 动量矩 例题 2
例题 3,4,5、
6,7,8
1 质点的动量,质点的质量 与其速度
的乘积, 用 表示, 即
m v?
K?
vmK
?? ?
22.1 动量
它用来表示质点机械运动强弱的一种
物理量,矢量,其方向与速度方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时,动量
可用来描述质点之间机械运动的传递关系
2 质点系的动量:
质点系的动量,
质点系中各质点的动量的矢量和
将质点系质心的矢径公式
若质点系中质点 相对于空间某一固定
点 o的矢径为
它的质量为,速度为,则其动
量为
Di
ri?
mi vi? )....,2,1( ni ?
vm i
n
i
i
??
?
?
1
K?
M
n
i
ii rm?
?? 1r
c
?
质点系的动量等于想象地将质点系的质
量都集中于质心时质心的动量。
质点系的动量是表示其质心运动的一个
特征量。
表明
vm i
n
i
icvM
?? ?
?
?
1
两边对时间求一阶导数可得
将它代入 得质点系动量的简洁表达式vm
i
n
i i
K ?? ?
?
?
1
cvMK
?? ?
由质点系的动量定理的定义知, 质点系的
动量符合叠加原理,
因此, 当一个质点系由 个刚体组成时, 其
动量可写成
n
式中 分别为第个刚体的质量和质心
的速度。
vm cii ?,i
?
?
?
n
i
i vm c i
1
?K?
例 22.1图示各均质物体重量为 Q,物体
尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如
图所示,试计算各物体对 O点的动量矩,
解, 由于杆绕 O轴转动,
根据转动刚体对于
转轴的动量矩公式,
??? zz JL ?
有 ???
00 JL ?

g
QlMlJ
33
22
0 ??
L

??
?
g
QlL
3
2
0 ?
2,由于圆盘绕 O轴转动,仿上可有
??? 00 JL ?

g
QRMRJ
22
22
0 ??
所以
??
?
g
QRL
2
2
0 ?
R
??
3,由于圆盘绕 O轴转动,故有
g
QRR
g
QR
g
QMRJJ
c 2
3
2
2
222
0 ?????
将之值代入 (1)式中
??? 00 JL ?
(1)

??
?
g
QRL
2
3 2
0 ?
??
C
4.由于圆盘绕瞬时中心 O转动,
其对转轴 O之动量矩为
??? 00 JL ?
根据转动惯量的平行移轴定理,得
2222
0 2
3
2 Rg
QR
g
QR
g
QMRJJ
c ?????
所以
??
? 2
0 2
3 R
g
QL ? ( 2)
但因 O轴瞬时中心,故
R
v?? ( 3)
R
C
v?
将 (3)式代入 (2)中,得
vR
g
QL ??
2
3
0 ?
力的冲量,用来度量在一段时间内的积累
的效果
通常 定义为任意力 在微小时间间隔
dt 内的元冲量
dtF? F?
?? tt dtFI 1
2
??
22.2冲量
将 定义为力 在时间间隔
内的冲量,并用 表示,?
t
t dtF
1
2
? F? tt 12?
I?
力系的冲量, 将作用于质点上各力
的冲量的矢量和定义为力系的冲
量。即力系的冲量为
).,,2,1( nIF i ??
dtFI
n
i
t
t i
1
2
1
? ?
?
? ?
?
交换求和与积分的顺序,并将力系的主矢
?
?
?
n
i iR
FF
1
??
代入得
dttt F RI 2
1
?? ?
?
表明
力系的冲量等于力系的主矢在同一个时
间间隔内的冲量。
由于内力系和力偶系的主矢都为零,故
这两种力系的冲量也都为零。
22.3 动量定理
1) 质点的动量定理的微分形式:
当质点的质量不变时,牛顿第二定律可写为
22.3.1 动量定理
?)( vm
dt
d ? F?
它又可以写为 ? ? dtFvmd ?? ?
即质点的动量的微分等于作用于其上的
合力的元冲量,称为 质点动量定理的微分
形式。
2)质点的动量定理的积分形式:
将式 在时间 至 积分
并将 代入可得
t2t1? ? dtFvmd ?? ?
?? tt dtFI 1
2
??
?? 22 mvmv IdtFt
t
??
?? 1
2
即质点在至时间间隔内动量等于作用于
其上的合力在同一时间间隔内的冲量,称
为 质点动量定理的积分形式 。
22.3.2质点系的动量定理
1) 质点系动量定理的微分形式
设作用于质点系中质点 上质点系的内
力和外力的合力分别为
Di
FF eiii ?? )()(,
质点系的动量的微分等于作用于其上的外
力系的主矢的元冲量,称为 质点系动量定理的
微分形式
表明
根据
? ? dtFvmd ?? ?
dtFF eiii )( )()( ?? ??)( vmd ii ? ),.,,,2,1( ni ?
将它们求矢量和,再交换求和与求微分的
次序,并将式 和
代入得 vm i
n
i i
K ?? ?
?
?
1 ?? ???? FFFF
e
R
e
i
i
R
n
i
i
i
???? )()()(
1
)(,0
dtFKd eR?? )(?
表明
2)质点系动量定理的积分形式
将上式在时间 至 内积分得t
1 t2
)()(
12
2
1
ee
R IdtFKK
t
t
????
??? ?
质点系在至时间间隔内动量的改变量
等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间
间隔内的冲量,称为 质点系动量定理的积分
形式。
PS
尽管质点系的内力不会改变质点系的动
量,但是它能够引起质点系内各质点的动
量的相互改变,
动能定理的表达式都是矢量式,
它们可以向固连于惯性参考系的直角坐
标轴投影,得到相应的投影式,
22.3.3 质点系的动能守恒定律
若质点系的外力系的主矢 则由
式 可得,质点系的动量 K=常矢量 ;
若质点系的外力系的主矢在某一个固
连于惯性参考空间的直角坐标轴,如 轴上
的投影,则由 得质
点系的动量在该轴上的投影 =常数
这就称为 质点系的动量守恒定律 。
0)( ?F eR?
0)( ?F eR?
dtFdK eR? )(?
Kx?
dtFKdKd eRxxx ??? )()()( ??
x
表明
dtFMd eRcv ?? )()( ?
FM eRcv ?? )(?
对于不变质点系,则 M =常数。此时上式两边
同除 得dt
质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用
与其上外力系的主矢,称为 质心的运动定理。
22.4质心运动定理
22.4.1质心运动定理
将质点系的动量表达式 代入
质点系的动量定理得微分形式
dtFKd eR?? )(?
MK ??
cv
?
质点系的动量定理其实质只能描述
其质心的运动,且与这样的一个质点的
运动相同,该质点的质量等于质点系的
质量,并受到一个大小和方向与该质点
系的外力系的主矢相同的力的作用。
质点系质心的这种运动不仅与质点
系的内力无关,而且与作用在其上个外
力的作用点位置也无关 。
注意
Fam eRC
n
i
i i
?? )(
1
??
?
式中 分别为第 i个刚体的质量和其质心
的加速度 。
ici am,
若一个质点系由 n个刚体组成,则由式
或质心矢径公式知,其质心运动
定理可表示为 ic
n
i
i vm
?
1
?
?
?K?
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内
产生的有限位移,则由上式及系统的
质心矢径公式可得 icr??
)(
11 iii
cc
n
i
ic
n
i
ic rrmmrM r
??? ? ???? ??
??
当质点系由 n个刚体组成时,若作用在
其上的外力系主矢,且初始时,系统的质心
速度为零,则根据式 知,系统的质
心相对于某固定点 O的矢径
=常矢量
FeR? )(
FM eRcv )(?
rc?
22.4.2质心运动守恒定律
于是有
0
1
???
?
ic
n
i
i rm
?
FaM eRxcx ?? )(?
易知系统得质心在该轴上的坐标值
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直
角坐标轴,如 轴上的投影,且初始时系
统得质心速度在该轴上的投影等于零,则由
式 在该轴上的投影式
FeRx? )(x
FaM eRc ?? )(?
xC =常数
)(
11
x cx cmx cmMx iii
n
i
i
n
i
ic ???? ??
??
0
1
???
?
x cm
i
n
i
i
于是有
这个结论就是 质心运动的守恒定律
现假设各刚体对该轴得坐标值同时产生
有限改变量,则由上式及系统的质心坐
标公式可得 x iC?
把质点 D在某瞬时相对于空间某一固定点
的矢径 与其动量 的叉积定义为该瞬
时质点 D的动量对点 O的动量矩,记作
22.5动量矩
22..5.1 质点的动量矩
vm?
)( vmL O ??
r?
vmrvmL O ??? ??)(
若在 O点建立直角坐标系,则
Oxyz
kyxmjxzmizym
mmm
zyx
kji
vm
vvvvvv
vvv
L
xyzxyz
zyx
O
???
???
??
)()()(
)(
??????
?
式中 i,j,k,分别为 轴正向的单位矢量
为点 D的坐标 分别为 沿
轴的投影。
zyx,,
zyx,,
vvv zyx,,zyx,,v?
与定义力对轴的矩类似,可定义动量对
轴的矩,又称为质点对轴的动量矩,并且相
应的有以下结论:质点对某一固定轴 的动
量矩 等于质点对该轴上任意一点 A的动
量矩在该轴上的投影。即
l
)(1 vmL ?
lvmLvmL A ??? 01 )()( ??
式 中为 轴正向的单位矢量。lo
l
质点对点的动量矩式一个定位矢量
而质点对轴的动量矩是一个代数量
注意
22.5.2质点系的动量矩
1) 质点系对某个固定点、某固定轴的动量矩 。
vmrvm iin
i
iii
n
i
OO LL
????? ??? ??
?? 11
)(
设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径
为,动量为 。将质点系中各质点对
固定点 o得动量矩的矢量和定义为 质点系对该点
的动量矩 。用表示,即
Di
ri? vm ii
LO
)...2,1( ni ?
与力系对不同两点的主矩关系类似,质点对不
同的两固定点 O,A得动量矩的关系为
将质点系中各质点对某一固定轴 的动量矩的
代数和为 质点系对该轴的动量矩 用 表示
l
Ll?
KAOLL OA ??? ???
(式中 为系统的动量 )K?
即,
)(
1
v ii
n
i
ll mLL
??? ?
?
?
BA
va
vb
O ?
例 22.2 图示无重细杆长为 L,两端各固连一
个质量为 m的小球 A和 B,在杆的中点 O受固
定铰支座约束 ;杆的角速度为,转向为逆
时针,求系统对 O的动量矩,
?
解, 的大小为L
O
?
???
???
???
2
2
1
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)(
2
)(
mL
LL
m
LL
m
L
v
L
vL B
BAAO mm
???
??
的方向为垂直纸面向外LO?
2) 质点系对动点的动量矩
设在惯性参考系中有任意一动点 A,
其速度为 v
A?
现以 A为原点建立平动直角坐标系 zyxA ???
设质点系中质点 相对于 A的矢径为D
i ri
??
相对于平动直角坐标系 的相对速度为zyxA ??? vi??
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量
矩,用表示,
vm ii ?
LA?
vvv Aii ??? ?? ? )...,2,1( ni ?
质点 的绝对速度为D
i
则由复合运动的知识知,
即 )()(
11
vmrvmLL iin
i
iii
n
i AA
????? ??? ? ??
??
将质点系中各质点的相对动量对动点 A的
矩的矢量和定义为 质点系对该点的相对动量矩
用 表示L
A
??

)()(
11
vmrvm iin
i
iii
n
i
AA LL
????? ?? ??? ?????
??
将 代入vvv
Aii
??? ?? ? )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ??? ? ??
??
并由 )()(
11
vmrvm iin
i iii
n
i AA
LL ????? ?? ??? ?????
??
可得 )(
ACAA vr MLL
???? ???? ?
这就是质点系对动点的绝对动量矩的关系式
当 A取质心时 LL CC ?? ?? )0( ??r C
质点系质心 C相对于 A的矢径公式
质点系对质心的绝对动量矩与相对动量矩相等
M
rm i
n
i
i
???
?? 1
cr?
?
22.5.3刚体的动量矩
(1)平动刚体,
平动刚体对任意固定点 A的动量矩为将
平动刚体的质量全部集中在质心时对 A
的动量矩
(2)定轴转动刚体, kJjJiJL zyzxzO ???? ??? ????
根据 代入各相关式子
所得,结果说明定轴转动刚体对轴上
任意一点的动量矩方向一般不沿转

dmrrL MO )( ???? ??? ? ?
(3)一般平面运动刚体,
cCA vMACLL
??? ???
)( cA vMACL ?? ??
22.6 动量矩定理
22.6.1 质点的动量矩定理
设质量为 m的质点 D对固定点 O的矢径 r,作用
在其上的合力为 F,将该质点对 O点的动量矩
对时间求一阶导数 得
)()()( vmdtdrvmdt rdvmrdtdvmLdtd O ???
?????
??????
vdtrd ?
?
?
因 则
0?? vmdtrd ?
?
由牛顿第二定律知
故右端第二项为合力 F对 O点的矩,Famvmdt
d ??? ??)(
质点对某一固定点的动量矩对时
间得一阶导数等于作用在其上的合力对同
一点的矩,称为 质点的动量矩定理,
表明
)()( FvmLdtd m OO ??? ?
于是
22.6.2质点系对固定点的动量矩定理
1)质点系对固定点的动量矩定理
由质点的动量矩定理即
知,质点系中有 )()( FvmLdt
d m
OO
??? ?
)()()( )()( FFLdtd eiOiiOiiO mmvm ??? ? ?? ).,,,3,2,1( ni ?
表明
对各质点求和,交换求和与求导的关系
内力成对出现,它们对同一点的动量矩的矢
量和为零
0)( )(
1
??
?
F ii
n
i
Om
?即

)()(
1
)( eoein
i O
O MF
dt
Ld m ??? ?? ?
?
质点系对某一固定点得动量矩对时间
的一阶导数等于作用在其上外力系对同一点
的主矩,称为 质点系对固定点得动量矩定理,
例 22.3图示均质圆轮 A和 B的质量均为 m,半径
都为 r在轮 A上作用一力偶矩为 的主动力偶
并通过不可伸长的,质量可不计的柔绳带动轮 B
在与水平段绳平行的水平地面上作纯滚动,绳与
轮之间无相对滑动,
试求圆轮 B中心的加速度及圆轮 B与地面间的摩
擦力,
MO
BA
MO
解:
即需求加速度,又要求约束反力的
问题,受力分析很关键,纯滚动的摩擦力
属静摩擦力,其方向依赖于主动力,一般
可先假定其指向。动量矩定理经常与质心
运动定理联合使用。若列写的独立动力学
方程个数比其中未知量个数少,则一般可
补充运动学关系是方程封闭。其具体解题
过程为:
1,取圆轮 B为研究对象,
其受力分析如图
F摩
?B
?Ba
B
N
T摩
mg
由质心运动定理,得到
aFT Bm ??? ?? 摩绳
0?? mgN
由对定点 A的动量矩定理
MdtL
d e
A
A )(?
由 知 )(
BBA vmABLL
??? ???
?? ???? BBBBA rJ mLL 221???
得到
rFTM eA )()( 摩绳 ??
于是 化为ML e
A
Adtd )(? rm FTr
B )(2
1 2
摩绳 ???
2,取圆轮 A为研究对象,
其受力分析如图。
FAX
MO
aA
T摩
FAYA
mg
由对定点 A的动量矩定理
rT 绳绳 ???? ? MTMr OOA rm ?221
3,以上方程含有 5个未知量,
补充以下两个运动学关系
??
?
BA
BB ra
2?
?
4,联立以上几个方程,可以得
mr
Ma O
B 7
4?
r
MF O
7??摩
PS
2)质点系对动点的动量矩定理
)()( aML AeAA MACdtd ?????
A的主矩外力
系对动点 A为移动点,C为刚体的质心
这就是 质点系对动点的动量矩定理的数学表达式,
对于动点 A,一般不
成立,但是有三种例外,
)()( )(
1
edtd MFmL
O
e
i
n
i O
O ?? ?
?
质点系对其质心的动量矩对时间的一
阶导数等于作用于其上外力系对质心的主矩,
称为 质点系相对于质心的动量矩定理,
这说明
(1)动点 A就取质点系的质心,因
LL CC ??
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML e
C
C
dt
d )(?
(2)当 0?a
A 时
)()( aML AeAA MACdtd ????? 变为 ML eAAdtd )(??
此时 =常矢量,
即平动坐标系也是一个惯性参考系
vA
这说明
(3)当动点 A取为刚体的速度瞬心 P的时候,将
两边对时间求一阶导数,并将)( vrLL
ACAA M??? ??
0?vP 代入
)( aLL PPP MPCdtddtd ??? ?得
ML ePPdtd )(?

刚体对其速度瞬心得动量矩定理,
其形式与刚体对定点的动量矩定理相同,
将 代入 )()( aML AeAA MACdtd ?????
注意
(1)若利用动量矩定理来建立系统的动
力学方程,一般是对定点或质心来列写动量矩
方程,这样比较方便,
(2)在动力学中,必须将刚体运动和它所
受的力联系起来,考虑到质心运动定理可将刚
体的质心运动与外力联系起来,相对于质心的
动量矩定理又可将质心平动坐标系的转动和外
力系对质心的主矩联系起来,
因此在动力学中,将一般平面运动的刚
体的基点选在质心上是方便的,
刚体运动 所受的力
质心运动定理
质心运动 外力
质心平动坐标系的转动 外力系对质心的主矩
相对于质心的动量矩定理
图示
例 22.4图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端
面与光滑水平面接触,初始时杆与前垂线的夹
角为,试求杆无初速度释放的瞬间,水平面
对杆的约束反力,
?0
x
y
C
B o
A
NB
mg
?
?
?解,
(1)对杆进行受力分析如图
(2)建立图示直角坐标系
用,且初始
时,则,即质
心沿铅垂线运动,于是
Oxyz 0)( ?F eRx
0?vC 常数?xC
?c o s21 ly C ? (1)
对时间求一阶导数,
将初瞬时,代入得
0,0 ?? ?? ?
???? c o s21s i n21 2lly C ???
?? (2)
(3)由质心运动定理
(4)由对质心的动量矩定理
(5)联立 (2)(3)(4)解得
?? 02 s i n2121 lNm l ?? (4)
mgNym C ???? (3)
l
g
mg
N
)s i n31(
s i n6
s i n31
0
2
0
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
转向如图所示
4.质点系动量矩守恒定律
作用于其上的外力系对 O点
的主矩为零,即,0)( ?M eO
常矢量?L O











作用于其上的外力系对某一
固定直角坐标系的坐标轴的
矩为零,即,0)( ?M eZ 常数?L Z
x
y
C
B O
A
NB
mg
?
?
?
规定转角 顺时针方向为正?
例 22.5圆柱体的质量是,在其中部绕以细
绳,绳的一端 固定不动,圆柱体解开绳子而
下坠,其初速度为零,求当圆柱体的轴降落了
高度 时,这轴的速度 和绳子的张力,
m
h v T
B
解,
研究圆柱体,在当解开绳
子它下落时,作平面运动,其上
作用有绳子的张力 和重力T P
A
A h
B
0A
以圆柱体重心下落的起始
位置 为原点,选静止坐
标系 如图,
0A
yxA0
由刚体平面运动微分方程,可有
TPym A ????
Trmr ????221
(1)
(2)
因点为瞬心,故
?rya ? ????? ry A ?
将此值代入 (1)式中,得 TPmr ?????
所以
???mrPT ?? (3)
将 (3)式代入 (2)中,则 ?? ??? ?????? 22
2
1 mrm g rmrPrmr ????
?? ???? rgr ??21

由此得到
r
g
3
2????
根据初始条件,当 时0?t 0?
Ay?
因之 0?C 所以 tgyv AA 32?? ? (5)
再将 (5)式进行积分,并考虑到
dt
dhy
A ??
将 (6)式得入 (5)中,即得圆柱体的轴下落
时的速度为
h
ghghgyv AA 332332 ??? ?
绳子的张力为
???mrPT ??
33
2
3
2 PPP
r
gmrP ??????

2
3 t
gh ?

g
ht 3? (6)
2.这里考虑到圆柱体沿绳滚而不滑的运动条
件,建立了补充方程 ?ry
A ?
1.在解平面运动问题时,质心加速度的
正向与绕质心转动的角加速度的正向,
必须规定一致,否则出现正负号上的麻
烦。
小结
例 22.6 位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,长度
均为 L重量都是 P.杆 AB的 A端预固定绞支座连
接,B端与杆 BD铰连,杆 BD的 D端与可沿铅垂滑
槽滑动的滑块 D绞接,今用一细绳将 B点拉住,使
杆 AB和 BD位于同一直线上,该直线与水平面
间的夹角为,系统保持平衡,如图各处摩擦
和滑块 D的质量与大小略去不计。
试求( 1)剪断绳子瞬时,滑槽相对于滑块
D的反力
( 2)杆 AB运动至水平位置时,杆 AB
的角速度
030
解 1)求剪断绳子后
滑槽对滑块 D的反力
设 AB杆有瞬钟向角
加速度, BD杆有
逆钟向角加速度
?1
?2
由于初瞬时两杆角速度 和
均等于零,所以
BD杆作平面运动,以 B点为基点
分析 D点的加速度。
?1 ?2
?1LaB ?
aaaa nDBDBBD ??? ?其中
0,22 ??? ??? LL aa nDBDB
030
D
B
A
将上式分别沿 DB和垂直于 DB方向投影,
可得
030s in 0 ?a D
aaa DBBD ???030c o s
求得 0?aD ?? 21 ?
即 D点为该瞬时加速度瞬心
所以 BD杆质心 C的加速度 ?
22
La
C ?
030A
B
D
B
D
?2
C
P
aC
aD
ND
NBx
NBy
取 BD为研究对象,
受力如图。 BD杆作
平面运动,根据平面
运动微分方程,有
NNa BxDCgP ???030s in
Na ByC PgP ???? 030c o s
000
1
2 30c o s
230s in230s in212
1 LLL
g
P NNNL
ByBxD ???????
取 AB为研究对象,受力如图。 AB杆作定轴
转动,应用定轴转动微分方程,有
2
3
222
3
3
1
1
2 ??????? ?? LPLL
g
P NNL
BxBy?
考虑到 NNNNa
ByByBxBxC
L ???? ??,,,,
2 212 ???
由以上几式解得剪断绳子瞬时时,AB杆和
BD杆的角加速度以及滑块 D处反力分别为
B
A
?1
NAx
NAy
NBx?
NBy?
P
gL4 3321 ?? ??
PN D 43?
2)求杆 AB运动至水平位置时的角速度
取整个系统为研究对象,利用动能定理求解。
因为系统在初瞬时,AB杆与 BD杆的角速度
均为零,且 BD杆的质心速度也为零。
而当 AB杆运动到水平位置时,若设 AB杆
的角速度为,此时 BD杆为瞬时平动。
所以系统在这一过程的初动能和末动能为
?1
01 ?T ??? 212212122 32)(21)31(21 LgPLgPLgPT ???
系统在上述运动过程中重力所作的功
]2
332
1[]2
)13(
30s i n23[30s i n2
222
00
?
??
??
???? PL
L
LPLPW L
根据动能定理 ?
?? WTT 22
有 ]
2
332
1[32 2 `12
?
?? PLgP L ?
解得杆 AB运动至水平位置时,杆 AB角速度
L
g9 9 4.0
1 ??
顺钟向
C
?1
030
B
A
vB
a
例 22.7两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L
用光滑的铰链 D连接并放在光滑水平面上,
如图所示。开始时,系统静止于铅直面内,且
杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰销 D的
速度和加速度,并求水平面的支反力。
?0
?
?0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分
布和受力对称,以及
所给的初始条件,将
保留在原铅直平面内
它的位置用 角确定。?
取整个系统为研究对象,受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度,用动量定理
或质心运动定理求反力。
C2
y
C1
x
?
vDG
1 G2NA NB
D
OA B
?
vC1
(1) 求速度和加速度
由于对称,在系统
的铅垂平面内取固
定坐标系 Oxy,
在系统的运动过程中,,系统的
初速度等于零,因此系统的质心 C在水平
方向的位置守恒,即 C将沿铅垂线下降
0?? F x
因而铰销 D也沿铅垂线下降。同时杆端 A,B
只能沿着 x轴按反方向分开。所以两杆在平
面运动中各自的速度瞬心分别是 E,F.
根据动能定理的积分形式
??? WTT 12
其中初动能,系统在任意位置的动能0
1 ?T
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???

?? co sL
v D
AD ? ??? c o s22c o s11 vvCv DDADC LLE ????? LI mC 21 121?
)2121(22 212 12 ? ADCCAD IvTT m ???代入 得
?2
2
2 c o s2
vT Dm?
系统在运动过程中只有重力做功,故
)s i n( s i n)s i n( s i n22 00 ?? ?? ????? m g LLmgW
??? WTT 12代入 得
)s i n( s i nc o s2 02
2
?? ? ?? m g Lm v D
从而得所求铰销 D的速度
?? ? s in( s in3c o s 0 ?? gLv D
表示为变量 的函数,对时间求导得
铰销 D的加速度
)(t?vD
即 mgm NNy
BAC 22 ?????
(2)求水平面的支反力
根据质心运动定理,得 ?? Fy
yCM ??
即 mgmmg yNN
CBA )s i n2
3s i n
4
9
4
1(
0
2 ?? ?????? ??
例 22.8 摆杆滑槽机构如图所示。均质摆杆
OA在主动力偶矩 L作用下绕 O轴摆动,并
带动滑块 A在滑槽中运动,从而推动滑槽
沿水平方向运动。设当 时,摆杆的
角加速度,角速度,杆
OA长 m,质量,滑槽质量
质心在 C处,,滑块 A
的质量及各处摩擦不计。
试求此瞬时支承 B和 D处的反力以及力偶矩
L.
045??
kg5?
sr a d 22?? srad4??
24.0 kgm 102 ?
.3.0,4.1,3.0,7.0 mdmlmbma ????
?
l
dCA B
L A
解:先分析滑杆的加速
度。取滑块 A为动点,
动系固连于滑槽,定系
固连于机座。根据牵连
运动为平动时的加速度
合成定理,有
aaaa renAA ????
A
045
anA a?
ae
aA?
aaaa renAA ????
其中
22 4*24.0
,2*24.0
??
??
?
??
r
r
a
a
n
A
A
两边投影到水平方向即的滑槽的加速度
20 2.745c o s)( smaaa
n
AAe ???
?
NA?
取滑槽为研究对象,受力如图所示。
由质心运动定理得
0
72
2
2
???
??
g
N
mNN
amN
DB
eA
由相对质心得动量矩定理得
5 0 473
0)45s in( 0
??
?????
NN
NNN
DB
ADB rdlb
即:
联立求解 ;可得所求支承处的反力
NN NN DB 21,9.118 ???
为求力偶矩 L,再取摆杆连同滑块为研究
对象,受力如图所示,由刚体定轴转动
微分方程得
00
1
2
1 45s i n45c o s23
1 rrgL Nmrm
A
?????
代入已知值,
注意到 NN
AA ?
?
解得所求力偶矩
L=39.66N M (逆钟向 )?
ND NB
ae
NA
B
A
a bD
C
22.8刚体一般运动的方程
刚体的一般运动
随质心的平动
绕质心平动坐
标系的定点运

设刚体质量为 M,质心在 C.以 C为坐标原点建立
与刚体相固连的惯量主轴坐标系 Cxyz
在惯性参考空间中建立定直角坐标系 ???O
作用在刚体上的外力系的主矢为 Fe
R
)(
力系对质心的主矩为 Me
C
)(
由质心运动定理,刚体随质心的平动部分的
动力学方程为
Fa eRCM )(?
将它沿各轴投影,得 F e
RCM
)(
?? ?
??
F eRCM )( ?? ???
F eRCM )( ?? ???
由对质心得动量矩定理,刚体绕质心平动坐
标系坐定点运动的欧拉动力学方程为,
MJJJ eCxzyyzxx )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???
MJJJ eCyxzzxyy )()( ???? ???