同学们好！
课程简介：
本课程为,脉冲和数字电路,,以 数字电路 为主,脉冲电路 的内容较少,课程为 4个学分，另有 1个学分的 实验,
属专业 基础课,
本课程具有较强的 实践性,有广泛的 应用 领域,
学好本课程的要点,听懂每一堂课的内容、培养逻辑思维方法、多做练习,
第 1章 数字逻辑电路基础两类信号,模拟信号 ;数字信号,
在时间上和幅值上均连续的信号称为模拟信号 ;
在时间上和幅值上均离散的信号称为数字信号,
处理数字信号的电路称为数字电路,
2) 电路中器件工作于“开”和“关”两种状态,电路的输出和输入为逻辑关系 ;
3) 电路既能进行“代数”运算,也能进行“逻辑”运算 ;
4) 电路工作可靠,精度高,抗干扰性好,
数字电路特点,
1) 工作信号是二进制表示的二值信号 (具有,0” 和,1”
两种取值 );
1.1 数制与 BCD码所谓“数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计数,
数制包括 计数符号（数码） 和 进位规则 两个方面。
常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。
1.1.1 常用数制
1,十进制
(1) 计数符号,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
(2)进位规则,逢十进一,
例,1987.45=1× 103 +9× 102 + 8× 101 + 7× 100
+4× 10-1 +5× 10-2
(3) 十进制数按权展开式权系数
2,二进制
(1) 计数符号,0,1,
(2)进位规则,逢二进一,
(3) 二进制数按权展开式
1n
mi
i
i10 10a)N(
1n
mi
i
i2 2a)N(
1）数字装置 简单可靠 ；
2）二进制数运算 规则 简单 ；
3）数字电路既可以进行 算术运算,也可以进行 逻辑运算,
3.十六进制和八进制十六进制数计数符号,0,1,.,9,A,B,C,D,E,F.
十六进制数进位规则,逢十六进一,
按权展开式：
数字电路中采用二进制的原因：
2101 16111641613166
210116 16B16416D166)B4.D6(
例,
八进制数计数符号,0,1,.,,6,7.
八进制数进位规则,逢八进一,
按权展开式,
1n
mi
i
i8 8a)N(
2101
8 85848386)45.63(
4,二进制数与十进制数之间的转换
(1)二进制数转换为十进制数 (按权展开法 )
例,310132 2121212121)101.1011(
1 2 5.05.0128
例,
例：
数制转换还可以采用 基数连乘、连除 等方法,
0,514832( 4 5,5 ) 10
1-012345 21212021212021
2( 1 0 1 1 0 1,1 )?
（ 2）十进制数转换为二进制数 (提取 2的幂法 )
1.1.2 几种简单的编码用四位二进制代码来表示一位十进制数码,这样的代码称为二 -十进制码,或 BCD码,
四位 二进制有 16种不同的组合,可以在这 16种代码中任选 10种表示十进制数的 10个不同符号,选择方法很多,选择方法不同,就能得到不同的编码形式,
1,二 - 十进制码 (BCD码 )( Binary Coded Decimal codes)
常见的 BCD码有 8421码,5421码,2421码、余 3码等。
十进制数 8421码 5421码 2421码 余 3码
0 0000 0000 0000 0011
1 0001 0001 0001 0100
2 0010 0010 0010 0101
3 0011 0011 0011 0110
4 0100 0100 0100 0111
5 0101 1000 1011 1000
6 0110 1001 1100 1001
7 0111 1010 1101 1010
8 1000 1011 1110 1011
9 1001 1100 1111 1100
常用 BCD码
(1) 有权 BCD码,每位数码都有确定的位权的码，
例如,8421码,5421码,2421码,
如,5421码 1011代表 5+0+2+1=8;
2421码 1100代表 2+4+0+0=6.
* 5421BCD码和 2421BCD码不唯一,
例,2421BCD码 0110也可表示 6
* 在表中：
① 8421BCD码和代表 0~9的二进制数一一对应；
② 5421BCD码 的前 5个码和 8421BCD码 相同，后 5个码在前 5个码的基础上加 1000构成，这样的码，前 5个码和后 5
个码一一对应相同，仅高位不同；
③ 2421BCD码 的前 5个码和 8421BCD码 相同，后 5个码以中心对称取反,这样的码称为 自反代码,
例,4→ 0100 5→ 1011
0→ 0000 9→ 1111
(2) 无权 BCD码,每位数码无确定的位权，例如：余 3码,
余 3码的编码规律为,在 8421BCD码上加 0011,
2,格雷码 (Gray码 )
格雷码为无权码,特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同,其余各位均相同,具有这种特点的代码称为 循环码,
格雷码是 循环码,
例 6的余 3码为,0110+0011=1001
格雷码和四位二进制码之间的关系,
设四位二进制码为 B3B2B1B0,格雷码为 R3R2R1R0,
则 R
3=B3,
R2=B3? B2
R1=B2 B1?
R0=B1 B0?
其中,?为 异或 运算符,其运算规则为,若两运算数 相 同,结果为,0”; 两运算数 不同,结果为
,1”.
1.2 逻辑代数基础研究数字电路的基础为 逻辑代数,由英国数学家
George Boole在 1847年提出的，逻辑代数也称 布尔 代数,
1.2.1 基本逻辑运算在逻辑代数中,变量常用字母 A,B,C,……Y,Z,a,b,
c,……x.y.z 等表示，变量的取值只能是,0” 或,1”.
逻辑代数中只有三种基本逻辑运算,即,与,、
,或,、,非,。
1,与 逻辑运算定义,只有决定一事件的 全部 条件都具备时，这件事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事就不成立。这样的因果关系称为,与,逻辑关系。
与逻辑电路状态表开关 A状态 开关 B状态 灯 F状态断 断 灭断 合 灭合 断 灭合 合 亮
A B
E F
与逻辑电路若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量,0” 表示 ;将开关合上和灯亮的状态用逻辑量,1” 表示,则上述状态表可表示为,
与 逻辑真值表
A B F=A · B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
&A
B
F=AB
与门 逻辑符号与门 的逻辑功能概括：
1）有,0” 出,0” ；
2）全,1” 出,1” 。
2,或 逻辑运算定义：在决定一事件的各种条件中,只要有 一个 或 一个以上 条件具备时，这件事就成立 ;只有所有的条件都不具备时,这件事就不成立,这样的因果关系称为,或,逻辑关系。 或 逻辑真值表
A B F=A+ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A
B
E F
或逻辑电路
≥1A
B
F=A+B
或门 逻辑符号或门 的逻辑功能概括为,
1) 有,1” 出,1”;
2) 全,0” 出,0”.
3,非 逻辑运算定义,假定事件 F成立与否同条件 A的具备与否有关,
若 A具备,则 F不成立 ;若 A不具备,则 F成立,F和 A之间的这种因果关系称为“非”逻辑关系,
1
A F=A
非门 逻辑符号非逻辑真值表
A F=A
0 1
1 0
与门和或门均可以有 多个 输入端,
AE F
非逻辑电路
1.2.2 复合逻辑运算
1,与非 逻辑 (将 与 逻辑和 非 逻辑组合而成 )
与非逻辑真值表
A B F=A · B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
&A
B
F=AB
与非 门逻辑符号
2,或非 逻辑 (将或逻辑和非逻辑组合而成 )
或非 逻辑真值表
A B F=A +B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
≥1A
B
F=A+B
或非 门逻辑符号
3.与或非 逻辑 (由 与,或,非 三种逻辑组合而成）
与或非 逻辑函数式：
F=AB+CD
与或非 门的逻辑符号
≥1
&
A B C D
F=AB+CD
异或 逻辑真值表
A B F=A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
=1A
B F=A B
异或 门逻辑符号异或 逻辑的功能为,1) 相同 得,0”;2) 相异 得,1”.
4.异或 逻辑异或 逻辑的函数式为,F=AB+AB = A B?
=A
B
同或 门逻辑符号
F=A B.
同或逻辑 真值表
A B F=A B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
.
对照 异或 和 同或 逻辑真值表,可以发现,同或 和 异或 互为反函数,即,
A B = A B?,
5.同或 逻辑同或 逻辑式为,F = A B + A B =A B.
表 1.12给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用,国标,。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，
特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，
常使用这些符号。
表 1.12给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用,国标,。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，
常使用这些符号。
1.2.3 逻辑电平及正、负逻辑门电路的输入、输出为二值信号,用,0” 和,1” 表示,这里的,0”,,1” 一般用两个不同 电平值 来表示,
若用高电平 VH表示逻辑,1”,用低电平 VL表示逻辑
,0”,则称为 正 逻辑约定,简称 正 逻辑 ;
若用高电平 VH表示逻辑,0”,用低电平 VL表示逻辑
,1”,则称为 负 逻辑约定,简称 负 逻辑,
在本课程中,如不作特殊说明,一般都采用 正 逻辑表示,
VH和 VL的具体值,由所使用的集成电路品种以及所加电源电压而定,有两种常用的集成电路,
1)TTL电路,电源电压为 5伏,VH约为 3V左右,VL约为
0.2伏左右 ;
2) CMOS电路,电源电压范围较宽,CMOS4000系列的电源电压 VDD为 3~18伏,CMOS电路的 VH约为 0.9 VDD,
而 VL约为 0伏左右,
对一个特定的逻辑门,采用不同的逻辑表示时,其门的名称也就不同,
正负 逻辑转换举例电平真值表 正 逻辑 (与非 门 ) 负 逻辑 (或非 门 )
Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y
VL VL VH 0 0 1 1 1 0
VL VH VH 0 1 1 1 0 0
VH VL VH 1 0 1 0 1 0
VH VH VL 1 1 0 0 0 1
1.2.4 基本定律和规则
1,逻辑函数的相等因此,如两个函数的 真值表 相等,则这两个函数一定相等,
设有两个逻辑,F1=f1(A1,A2,…,A n)
F2=f2(A1,A2,…,A n)
如果对于 A1,A2,…,A n 的任何一组取值 (共 2n组 ),
F1 和 F2均相等,则称 F1和 F2相等,
② 自等律 A ·1=A ; A+0=A
③ 重迭律 A ·A=A ; A+A=A
⑤ 交换律 A · B= B · A ; A+B=B+A
⑥ 结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C
⑦ 分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)
⑧ 反演律 A+B=A·B ; AB=A + B
2,基本定律
① 0－ 1律 A · 0=0 ; A+1=1
④ 互补律 A · A=0 ; A+A=1
⑨ 还原律 A = A=
反演律 也称 德 · 摩根 定理,是一个非常有用的定理,
3,逻辑代数的三条规则
(1) 代入 规则任何一个含有变量 x的等式,如果将所有出现 x的位置,
都用一个逻辑函数式 F代替,则等式仍然成立,
例,已知等式 A+B=A · B,有函数式 F=B+C,则用 F代替等式中的 B,
有 A+(B+C)=A B+C
即 A+B+C=A B C
由此可以证明反演定律对 n变量仍然成立,
(2) 反演 规则设 F为任意逻辑表达式,若将 F中 所有 运算符,常量 及变量 作如下变换：
· + 0 1 原变量 反变量
+ · 1 0 反变量 原变量则所得新的逻辑式即为 F的反函数，记为 F。
例 已知 F=A B + A B,根据上述规则可得：
F=(A+B)(A+B)
例 已知 F=A+B+C+D+E,则
F=A B C D E
由 F求反函数 注意,
1）保持原式运算的优先次序；
2）原式中的不属于 单 变量上的 非号 不变；
(3) 对偶 规则设 F为任意逻辑表达式,若将 F中所有运算符和常量作如下变换：
· + 0 1
+ · 1 0
则所得新的逻辑表达式即为 F的对偶式，记为 F’.
F’=(A+B)(C+D)例 有 F=A B + C D
例 有 F=A+B+C+D+E F’=A B C D E
对偶是相互的,F和 F’互为对偶式,求对偶式注意：
1） 保持原式运算的优先次序；
2）原式中的长短,非,号不变；
3）单变量的对偶式为自己。
对偶规则,若有两个逻辑表达式 F和 G相等，则各自的对偶式 F’和 G’也相等。
使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。
已知 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)对偶关系例,
4.常用公式
1） 消去律 AB+AB=A
证明：
AB+AB=A(B+B)=A?1=A 对偶关系 (A+B)(A+B)=A
2) 吸收律 1 A+AB=A
证明：
A+AB=A(1+B)=A?1=A 对偶关系 A(A+B)=A
3) 吸收律 2 A+AB=A+B
证明：
对偶关系A+AB=(A+A)(A+B)=1?(A+B)
=A+B
A(A+B)=AB
4） 包含律 AB+AC+BC=AB+AC
证明：
5) 关于异或和同或运算对 奇数 个变量而言，
有 A1?A2?..,? An=A1?A2?..,?An
对 偶数 个变量而言，
有 A1?A2?..,? An=A1?A2?..,?An
AB+AC+BC
=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C)+AC(1+B)
=AB+AC
对偶关系 (A+B)(A+C)(B+C)
=(A+B)(A+C)
异或和同或的其他性质,
A? 0=A
A? 1=A
A? A=0
A? (B? C)=(A? B )? C
A (B? C)=AB? AC
A? 1=A
A? 0 =A
A?A= 1
A? (B? C)=(A? B)? C
A+(B? C )=(A+B)? (A+C)
利用异或门可实现数字信号的极性控制,
同或功能由异或门实现,
1.2.5 逻辑函数的标准形式
1,函数的,与 – 或,式和,或 – 与,式
,与 – 或,式，指一个函数表达式中包含若干个 与,
项，这些,与,项的,或,表示这个函数。
例,F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD
“或 – 与,式，指一个函数表达式中包含若干个,或,
项，这些,或,项的,与,表示这个函数。
例,F(A,B,C,D)=(A+C+D)(B+D)(A+B+D)
2,逻辑函数的两种标准形式
1）最小项的概念
1）最小项特点 最小项是,与,项。
① n个变量构成的每个最小项，一定是包含 n个因子的 乘积项 ；
② 在各个最小项中，每个变量必须以 原 变量或 反 变量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。
例 有 A,B两变量的最小项共有 四 项 (22)：
A BA B A B A B
例 有 A,B,C三变量的最小项共有 八 项 (23)：
ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC
（ 2） 最小项编号任一个最小项用 mi 表示,m表示最小项，下标 i
为使该最小项为 1的变量取值所对应的等效十进制数。
例,有最小项 A B C,要使该最小项为 1,A,B,C的取值应 为 0,1,1，二进制数 011所等效的十进制数为 3，
所以 ABC = m3
(3) 最小项的性质
① 变量任取一组值，仅有一个最小项为 1，其他最小项为零；
② n变量的全体最小项之和为 1；
③ 不同的最小项相 与,结果为 0；
④ 两最小项 相邻,相邻最小项相,或,，可以合并成一项，并可以消去一个变量因子。
相邻 的概念,两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项 相邻,
相邻 最小项相“或”的情况：
例,A B C+A B C =A B
任一 n 变量的最小项，必定和其他 n 个不同最小项 相邻 。
2）最大项的概念
（ 1）最大项特点 最大项是,或,项 。
① n个变量构成的每个最大项，一定是包含 n个因子的
,或,项；
② 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。
例 有 A,B两变量的最大项共有四项：
例 有 A,B,C三变量的最大项共有八项：
A+ BA+ B A+ BA+ B
A+B+C,A+B+C,A+B+C,A+B+C、
A+B+C,A+B+C,A+B+C,A+B+C
(2) 最大项编号任一个最大项用 Mi 表示,M表示最大项，下标 i
为使该最大项为 0的变量取值所对应的等效十进制数。
A+B+C =M4
(3) 最大项的性质
① 变量任取一组值，仅有一个最大项为 0，其它最大项为 1；
② n变量的全体最大项之 积 为 0；
③ 不同的最大项相 或,结果为 1；
例,有最大项 A +B+ C,要使该最大项为 0,A,B,C
的取值应 为 1,0,0，二进制数 100所等效的十进制数为
4，所以
④ 两 相邻 的最大项相,与,，可以合并成一项，并可以消去一个变量因子。
相邻 的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最大项 相邻 。
相邻 最大项相,与,的情况：
例,(A+B+C)(A+B+C)=A+B
任一 n 变量的最大项，必定和其他 n 个不同最大项相邻 。
3) 最小项和最大项的关系编号下标相同的最小项和最大项互为反函数,即
Mi = mi 或 mi = Mi
4) 逻辑函数的最小项之和形式最小项之和式为,与或,式，例：
=Σm(2,4,6)
=Σ(2,4,6)
F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC
任一 逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式,而且是 唯一 的,
例,F(A,B,C) = A B +A C 该式不是最小项之和形式
=Σm（ 1,3,6,7）
5）逻辑函数的最大项之积的形式
=AB（ C+C） +AC（ B+B）
=ABC+ABC+ABC+ABC
逻辑函数的最大项之积的形式为,或与,式，
例：
=Π M (0,2,4 )
= Π (0,2,4 )
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
任一 逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式,而且是 唯一 的,
=Π M (1,4,5,6 )
例,F(A,B,C) = (A + C )(B + C)
=(A+B · B+C)(A · A+B+C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
6) 最小项之和的形式和最大项之积的形式之间的关系若 F = Σmi 则 F = Σ mjj? i
F = Σ mjj? i =Π mj = Π Mj
j? i j? i
例,F (A,B,C) = Σ(1,3,4,6,7)
=Π (0,2,5 )
3,真值表 与 逻辑表达式真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法。
（ 1） 由逻辑函数式列真值表由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：
例,试列出下列逻辑函数式的真值表。
F（ A,B,C） =AB+BC
方法一,将 A,B,C三变量的所有取值的组合（共八种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入真值表中。
方法二,先将函数式 F表示为最小项之和的形式：
=Σm（ 3,6,7）
F（ A,B,C） =AB（ C+C） +BC（ A+A）
=ABC+ABC+ABC
最后根据最小项的性质，在真值表中对应于 ABC取值为
011,110,111处填,1”,其它位置填,0” 。
方法三,根据函数式 F的含义，直接填表。
函数 F=AB+BC表示的含义为：
1）当 A和 B同时为,1” （即 AB=1）时,F=1
2）当 B和 C同时为,1” （即 BC=1）时,F=1
3）当不满足上面两种情况时,F=0
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
方法三是一种较好的方法，要熟练掌握。
A B C F1 F2 F F
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1
例,F=(A?B) (B?C)
令,F1=(A?B) ; F2=(B?C)
F=F1F2
（ 2）由真值表写逻辑函数式根据最小项的性质，用观察法，可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式。
例：已知函数 F的真值表如下，求逻辑函数表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
解,由真值表可见，当
ABC取 001,011、
100,111时,F为
,1” 。
所以,F由 4个最小项组成：
F（ A,B,C） =Σm（ 1,3,4,7）
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
=ABC+ABC+ABC+ABC
1.2.6 逻辑函数的化简化简的意义,① 节省元器件,降低电路成本 ;
② 提高电路可靠性 ;
③ 减少连线,制作方便,
逻辑函数的几种常用表达式,
F(A,B,C) =AB+AC 与或式
=(A+C)(A+B) 或与式
=AB·AC 与非－与非式
=A+C+A+B 或非－或非式
=AB+AC 与或非式最简 与或 表达式的标准：
1） 所得 与或 表达式中,乘积项 （与项）数目最少；
2） 每个乘积项中所含的 变量数 最少。
逻辑函数常用的化简方法有,公式法,卡诺图法 和 列表法 。本课程要求掌握 公式法 和 卡诺图法 。
1,公式化简法针对某一逻辑式,反复运用逻辑代数公式消去 多余的乘积项 和每个乘积项中 多余的因子,使函数式符合 最简标准,
化简中常用方法,
(1) 并项法
=（ A?B） C+（ A?B） C
在化简中注意代入规则的使用
(2)吸收法 利用公式 A+AB=A
利用公式 AB+AB=A
例,F=ABC+ABC+ABC+ABC
=（ AB+AB） C+（ AB+AB） C
=（ A? B） C+（ A? B） C=C
=A+BC
=(A+BC)+(A+BC)B+AC+D
例,F=A+ABC B+AC+D+BC
(3) 消项法 利用公式 AB+AC+BC=AB+AC
例,F=ABCD+AE+BE+CDE
=ABCD+(A+B)E+CDE
=ABCD+ABE+CDE
=ABCD+(A+B)E
=ABCD+AE+BE
(4) 消因子法 利用公式 A+AB=A+B
=AB+C
(5) 配项法例,F=AB+AC+BC
=AB+（ A+B） C
=AB+ABC
利用公式 A+A=1 ； A? 1=A 等例,F=AB+AC+BC
=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=(AB+ABC)+(AC+ABC)
=AB+AC
对比较复杂的函数式，要求熟练掌握上述方法，才能把函数化成最简。
2,卡诺图 化简法该方法是将逻辑函数用一种称为,卡诺图,的图形来表示,然后在卡诺图上进行函数的化简的方法,
1)卡诺图 的构成卡诺图是一种包含一些 小方块 的几何图形,图中每个 小方块 称为一个单元,每个单元对应一个 最小项,两个 相邻 的最小项在卡诺图中也必须是 相邻 的,卡诺图中相邻的含义,
① 几何相邻性,即几何位置上相邻,也就是左右紧挨着或者上下相接 ;
② 对称相邻性,即图形中对称位置的单元是相邻的,
例 三变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
ABCm
0
ABCm
1
ABCm
2
ABCm
3
ABCm
4
ABCm
5
ABCm
6
ABCm
7
二、四、五变量卡诺图
A B
0
1
0 1
0 1
2 3
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
8 9 11 10
12 13 15 14
AB
CDE
00
01
11
10
000 001 011 010
0 1 3 2
8 9 11 10
24 25 27 26
110 111 101 100
6 7 5 4
14 15 13 12
22 23 21 20
30 31 29 28
16 17 19 18
2）逻辑函数的卡诺图表示法用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的逻辑函数 F的值，填在对应的小方格中 。
（其实卡诺图是真值表的另一种画法）
A
BC
0
1
00 01 11 10
m3
m5 m7
0 0 0
0 0
1
1 1
例,F（ A,B,C） =ABC+ABC+ABC
用卡诺图表示为：
3) 在卡诺图上 合并 最小项的 规则当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标 1的方格相邻 )，
可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。
规则为：
（ 1） 卡诺图上任何 两个 标 1的方格相邻，可以合为 1
项，并可消去 1个变量。
例,ABC
0
1
00 01 11 10
0 0 0
0 0
1
1 1
ABC+ABC
=BC
ABC+ABC=AC
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
ABD
（ 2）卡诺图上任何四个标 1方格相邻，可合并为一项，并可消去两个变量。
四个标 1方格相邻的特点：
① 同在一行或一列； ② 同在一田字格中。
ABD
例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1
1 1
1
CD
AB
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
1 1
1 1
BD
同在一行或一列同在一个田字格中
BD
（ 3）卡诺图上任何八个标 1的方格相邻，可以并为一项，并可消去三个变量。例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1 1
1 11
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 11 1
1 11 1
B
A
4） 用卡诺图化简逻辑函数（化为最简与或式）
项数最少,意味着卡诺图中 圈数 最 少 ；
每项中的变量数最少,意味着卡诺图中的 圈 尽可能 大 。
最简标准：①
例 将 F（ A,B,C） =Σm（ 3,4,5,6,7）
化为 最简 与或式。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1 1
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1 1
F=A+BC（最简） （非最简）F=AB+BC+ABC
② 化简步骤（结合举例说明）
例 将 F（ A,B,C,D） =Σm（ 0,1,3,7,8,10,13） 化为最简与或式。
解,(1) 由表达式填卡诺图 ;
(2) 圈出孤立的标 1方格 ;
(3) 找出只被一个最大的圈所覆盖的标 1方格,并圈出覆盖该标 1方格的最大圈 ;
(4) 将剩余的相邻标 1方格,圈成尽可能少,而且尽可能大的圈,
(5) 将各个对应的乘积项相加,写出最简与或式,
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1 1
1 1
1
1
例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
F=ABCD+ACD+ABD+ABC
F=ABD+BD+AD+CD
③ 化简中注意的问题
(1) 每一个标 1的方格必须至少被圈一次 ;
(2) 每个圈中包含的相邻小方格数,必须为 2的整数次幂 ;
(3) 为了得到尽可能大的圈,圈与圈之间可以重叠 ;
(4) 若某个圈中的标 1方格,已经完全被其它圈所覆盖,
则该圈为多余的,
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1
11
1
1
蓝色 的圈为多余的,
F=ABC+ACD+ACD+ABC
+ (BD)
例如,
④ 用卡诺图求 反函数 的最简与或式方法,在卡诺图中合并标 0 方格,可得到 反函数 的最简 与或 式,
例,
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1
0 0 0
0
F=AB+BC+AC
常利用该方法来求逻辑函数 F的最简与或非式,例如将上式 F上 的非号移到右边,就得到 F的最简 与或非 表达式,
F=AB+BC+AC
逻辑函数化简的技巧
对较为复杂的逻辑函数，可将函数分解成多个部分，先将每个部分分别填入各自的卡诺图中，然后通过卡诺图对应方格的运算，求出函数的卡诺图。
对卡诺图进行化简。
例：化简逻辑函数
F=(AB+AC+BD)?(ABCD+ACD+BCD+BC)
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 1
1 1
1111
11
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10 1
1
1
1
1
1 1
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
11 1
1
=
F=ABCD+ABC+BCD+ACD
在某些实际数字电路中,逻辑函数的输出只和一部分最小项有 确定 对应关系,而和余下的最小项无关,余下的最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式,都不影响电路的逻辑功能,把这些最小项称为 无关项,
包含 无关项 的逻辑函数称为 不完全确定 的逻辑函数,
利用 不完全确定 的逻辑函数中的 无关项 往往可以将函数化得更简单,
5) 不完全确定 的逻辑函数及其化简例,设计一个奇偶判别电路,电路输入为 8421BCD码,当输入为偶数时,输出为 0 ;当电路输入为奇数时,输出为 1,
由于 8421BCD码中无 1010~1111这 6个码,电路禁止输入这 6个码,这 6个码对应的最小项为 无关项,
奇偶判别电路
A
B
C
D
F A B C D F A B C D F0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 1 0 ×
0 0 1 1 1 1 0 1 1 ×
0 1 0 0 0 1 1 0 0 ×
0 1 0 1 1 1 1 0 1 ×
0 1 1 0 0 1 1 1 0 ×
0 1 1 1 1 1 1 1 1 ×
真值表
F(A,B,C,D)=Σm(1,3,5,7,9)
+Σd(10 ~ 15)
F(A,B,C,D)=Σm(1,3,5,7,9)+Σd(10 ~ 15)
F=D
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1
1
1
0 0
00
0
× × × ×
××
若将卡诺图中的 × 均作 0处理,则化简结果为,
F=AD+BCD
若将卡诺图中的 × 任意处理
(即按化简的需要,将有些 ×
当作 0,有些 × 当作 1),则化简结果为,
注意,在无特殊说明的情况下,为使逻辑函数化的更简单,
均应按上述 第二种 方法处理最小项,
同学们好！
课程简介：
本课程为,模拟电路和数字电路,的 数字电路 部分，
为 2.5学分,另有 1个学分的 综合实验,属专业 基础课,
本课程具有较强的 实践性,有广泛的 应用 领域,
学好本课程的要点,听懂每一堂课的内容、培养逻辑思维方法、多做练习。
主要介绍,数字电路,教材的 1,3,4,5和第 7章的部分。
课程简介：
本课程为,脉冲和数字电路,,以 数字电路 为主,脉冲电路 的内容较少,课程为 4个学分，另有 1个学分的 实验,
属专业 基础课,
本课程具有较强的 实践性,有广泛的 应用 领域,
学好本课程的要点,听懂每一堂课的内容、培养逻辑思维方法、多做练习,
第 1章 数字逻辑电路基础两类信号,模拟信号 ;数字信号,
在时间上和幅值上均连续的信号称为模拟信号 ;
在时间上和幅值上均离散的信号称为数字信号,
处理数字信号的电路称为数字电路,
2) 电路中器件工作于“开”和“关”两种状态,电路的输出和输入为逻辑关系 ;
3) 电路既能进行“代数”运算,也能进行“逻辑”运算 ;
4) 电路工作可靠,精度高,抗干扰性好,
数字电路特点,
1) 工作信号是二进制表示的二值信号 (具有,0” 和,1”
两种取值 );
1.1 数制与 BCD码所谓“数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计数,
数制包括 计数符号（数码） 和 进位规则 两个方面。
常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。
1.1.1 常用数制
1,十进制
(1) 计数符号,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
(2)进位规则,逢十进一,
例,1987.45=1× 103 +9× 102 + 8× 101 + 7× 100
+4× 10-1 +5× 10-2
(3) 十进制数按权展开式权系数
2,二进制
(1) 计数符号,0,1,
(2)进位规则,逢二进一,
(3) 二进制数按权展开式
1n
mi
i
i10 10a)N(
1n
mi
i
i2 2a)N(
1）数字装置 简单可靠 ；
2）二进制数运算 规则 简单 ；
3）数字电路既可以进行 算术运算,也可以进行 逻辑运算,
3.十六进制和八进制十六进制数计数符号,0,1,.,9,A,B,C,D,E,F.
十六进制数进位规则,逢十六进一,
按权展开式：
数字电路中采用二进制的原因：
2101 16111641613166
210116 16B16416D166)B4.D6(
例,
八进制数计数符号,0,1,.,,6,7.
八进制数进位规则,逢八进一,
按权展开式,
1n
mi
i
i8 8a)N(
2101
8 85848386)45.63(
4,二进制数与十进制数之间的转换
(1)二进制数转换为十进制数 (按权展开法 )
例,310132 2121212121)101.1011(
1 2 5.05.0128
例,
例：
数制转换还可以采用 基数连乘、连除 等方法,
0,514832( 4 5,5 ) 10
1-012345 21212021212021
2( 1 0 1 1 0 1,1 )?
（ 2）十进制数转换为二进制数 (提取 2的幂法 )
1.1.2 几种简单的编码用四位二进制代码来表示一位十进制数码,这样的代码称为二 -十进制码,或 BCD码,
四位 二进制有 16种不同的组合,可以在这 16种代码中任选 10种表示十进制数的 10个不同符号,选择方法很多,选择方法不同,就能得到不同的编码形式,
1,二 - 十进制码 (BCD码 )( Binary Coded Decimal codes)
常见的 BCD码有 8421码,5421码,2421码、余 3码等。
十进制数 8421码 5421码 2421码 余 3码
0 0000 0000 0000 0011
1 0001 0001 0001 0100
2 0010 0010 0010 0101
3 0011 0011 0011 0110
4 0100 0100 0100 0111
5 0101 1000 1011 1000
6 0110 1001 1100 1001
7 0111 1010 1101 1010
8 1000 1011 1110 1011
9 1001 1100 1111 1100
常用 BCD码
(1) 有权 BCD码,每位数码都有确定的位权的码，
例如,8421码,5421码,2421码,
如,5421码 1011代表 5+0+2+1=8;
2421码 1100代表 2+4+0+0=6.
* 5421BCD码和 2421BCD码不唯一,
例,2421BCD码 0110也可表示 6
* 在表中：
① 8421BCD码和代表 0~9的二进制数一一对应；
② 5421BCD码 的前 5个码和 8421BCD码 相同，后 5个码在前 5个码的基础上加 1000构成，这样的码，前 5个码和后 5
个码一一对应相同，仅高位不同；
③ 2421BCD码 的前 5个码和 8421BCD码 相同，后 5个码以中心对称取反,这样的码称为 自反代码,
例,4→ 0100 5→ 1011
0→ 0000 9→ 1111
(2) 无权 BCD码,每位数码无确定的位权，例如：余 3码,
余 3码的编码规律为,在 8421BCD码上加 0011,
2,格雷码 (Gray码 )
格雷码为无权码,特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同,其余各位均相同,具有这种特点的代码称为 循环码,
格雷码是 循环码,
例 6的余 3码为,0110+0011=1001
格雷码和四位二进制码之间的关系,
设四位二进制码为 B3B2B1B0,格雷码为 R3R2R1R0,
则 R
3=B3,
R2=B3? B2
R1=B2 B1?
R0=B1 B0?
其中,?为 异或 运算符,其运算规则为,若两运算数 相 同,结果为,0”; 两运算数 不同,结果为
,1”.
1.2 逻辑代数基础研究数字电路的基础为 逻辑代数,由英国数学家
George Boole在 1847年提出的，逻辑代数也称 布尔 代数,
1.2.1 基本逻辑运算在逻辑代数中,变量常用字母 A,B,C,……Y,Z,a,b,
c,……x.y.z 等表示，变量的取值只能是,0” 或,1”.
逻辑代数中只有三种基本逻辑运算,即,与,、
,或,、,非,。
1,与 逻辑运算定义,只有决定一事件的 全部 条件都具备时，这件事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事就不成立。这样的因果关系称为,与,逻辑关系。
与逻辑电路状态表开关 A状态 开关 B状态 灯 F状态断 断 灭断 合 灭合 断 灭合 合 亮
A B
E F
与逻辑电路若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量,0” 表示 ;将开关合上和灯亮的状态用逻辑量,1” 表示,则上述状态表可表示为,
与 逻辑真值表
A B F=A · B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
&A
B
F=AB
与门 逻辑符号与门 的逻辑功能概括：
1）有,0” 出,0” ；
2）全,1” 出,1” 。
2,或 逻辑运算定义：在决定一事件的各种条件中,只要有 一个 或 一个以上 条件具备时，这件事就成立 ;只有所有的条件都不具备时,这件事就不成立,这样的因果关系称为,或,逻辑关系。 或 逻辑真值表
A B F=A+ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A
B
E F
或逻辑电路
≥1A
B
F=A+B
或门 逻辑符号或门 的逻辑功能概括为,
1) 有,1” 出,1”;
2) 全,0” 出,0”.
3,非 逻辑运算定义,假定事件 F成立与否同条件 A的具备与否有关,
若 A具备,则 F不成立 ;若 A不具备,则 F成立,F和 A之间的这种因果关系称为“非”逻辑关系,
1
A F=A
非门 逻辑符号非逻辑真值表
A F=A
0 1
1 0
与门和或门均可以有 多个 输入端,
AE F
非逻辑电路
1.2.2 复合逻辑运算
1,与非 逻辑 (将 与 逻辑和 非 逻辑组合而成 )
与非逻辑真值表
A B F=A · B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
&A
B
F=AB
与非 门逻辑符号
2,或非 逻辑 (将或逻辑和非逻辑组合而成 )
或非 逻辑真值表
A B F=A +B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
≥1A
B
F=A+B
或非 门逻辑符号
3.与或非 逻辑 (由 与,或,非 三种逻辑组合而成）
与或非 逻辑函数式：
F=AB+CD
与或非 门的逻辑符号
≥1
&
A B C D
F=AB+CD
异或 逻辑真值表
A B F=A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
=1A
B F=A B
异或 门逻辑符号异或 逻辑的功能为,1) 相同 得,0”;2) 相异 得,1”.
4.异或 逻辑异或 逻辑的函数式为,F=AB+AB = A B?
=A
B
同或 门逻辑符号
F=A B.
同或逻辑 真值表
A B F=A B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
.
对照 异或 和 同或 逻辑真值表,可以发现,同或 和 异或 互为反函数,即,
A B = A B?,
5.同或 逻辑同或 逻辑式为,F = A B + A B =A B.
表 1.12给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用,国标,。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，
特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，
常使用这些符号。
表 1.12给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用,国标,。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，
常使用这些符号。
1.2.3 逻辑电平及正、负逻辑门电路的输入、输出为二值信号,用,0” 和,1” 表示,这里的,0”,,1” 一般用两个不同 电平值 来表示,
若用高电平 VH表示逻辑,1”,用低电平 VL表示逻辑
,0”,则称为 正 逻辑约定,简称 正 逻辑 ;
若用高电平 VH表示逻辑,0”,用低电平 VL表示逻辑
,1”,则称为 负 逻辑约定,简称 负 逻辑,
在本课程中,如不作特殊说明,一般都采用 正 逻辑表示,
VH和 VL的具体值,由所使用的集成电路品种以及所加电源电压而定,有两种常用的集成电路,
1)TTL电路,电源电压为 5伏,VH约为 3V左右,VL约为
0.2伏左右 ;
2) CMOS电路,电源电压范围较宽,CMOS4000系列的电源电压 VDD为 3~18伏,CMOS电路的 VH约为 0.9 VDD,
而 VL约为 0伏左右,
对一个特定的逻辑门,采用不同的逻辑表示时,其门的名称也就不同,
正负 逻辑转换举例电平真值表 正 逻辑 (与非 门 ) 负 逻辑 (或非 门 )
Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y
VL VL VH 0 0 1 1 1 0
VL VH VH 0 1 1 1 0 0
VH VL VH 1 0 1 0 1 0
VH VH VL 1 1 0 0 0 1
1.2.4 基本定律和规则
1,逻辑函数的相等因此,如两个函数的 真值表 相等,则这两个函数一定相等,
设有两个逻辑,F1=f1(A1,A2,…,A n)
F2=f2(A1,A2,…,A n)
如果对于 A1,A2,…,A n 的任何一组取值 (共 2n组 ),
F1 和 F2均相等,则称 F1和 F2相等,
② 自等律 A ·1=A ; A+0=A
③ 重迭律 A ·A=A ; A+A=A
⑤ 交换律 A · B= B · A ; A+B=B+A
⑥ 结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C
⑦ 分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)
⑧ 反演律 A+B=A·B ; AB=A + B
2,基本定律
① 0－ 1律 A · 0=0 ; A+1=1
④ 互补律 A · A=0 ; A+A=1
⑨ 还原律 A = A=
反演律 也称 德 · 摩根 定理,是一个非常有用的定理,
3,逻辑代数的三条规则
(1) 代入 规则任何一个含有变量 x的等式,如果将所有出现 x的位置,
都用一个逻辑函数式 F代替,则等式仍然成立,
例,已知等式 A+B=A · B,有函数式 F=B+C,则用 F代替等式中的 B,
有 A+(B+C)=A B+C
即 A+B+C=A B C
由此可以证明反演定律对 n变量仍然成立,
(2) 反演 规则设 F为任意逻辑表达式,若将 F中 所有 运算符,常量 及变量 作如下变换：
· + 0 1 原变量 反变量
+ · 1 0 反变量 原变量则所得新的逻辑式即为 F的反函数，记为 F。
例 已知 F=A B + A B,根据上述规则可得：
F=(A+B)(A+B)
例 已知 F=A+B+C+D+E,则
F=A B C D E
由 F求反函数 注意,
1）保持原式运算的优先次序；
2）原式中的不属于 单 变量上的 非号 不变；
(3) 对偶 规则设 F为任意逻辑表达式,若将 F中所有运算符和常量作如下变换：
· + 0 1
+ · 1 0
则所得新的逻辑表达式即为 F的对偶式，记为 F’.
F’=(A+B)(C+D)例 有 F=A B + C D
例 有 F=A+B+C+D+E F’=A B C D E
对偶是相互的,F和 F’互为对偶式,求对偶式注意：
1） 保持原式运算的优先次序；
2）原式中的长短,非,号不变；
3）单变量的对偶式为自己。
对偶规则,若有两个逻辑表达式 F和 G相等，则各自的对偶式 F’和 G’也相等。
使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。
已知 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)对偶关系例,
4.常用公式
1） 消去律 AB+AB=A
证明：
AB+AB=A(B+B)=A?1=A 对偶关系 (A+B)(A+B)=A
2) 吸收律 1 A+AB=A
证明：
A+AB=A(1+B)=A?1=A 对偶关系 A(A+B)=A
3) 吸收律 2 A+AB=A+B
证明：
对偶关系A+AB=(A+A)(A+B)=1?(A+B)
=A+B
A(A+B)=AB
4） 包含律 AB+AC+BC=AB+AC
证明：
5) 关于异或和同或运算对 奇数 个变量而言，
有 A1?A2?..,? An=A1?A2?..,?An
对 偶数 个变量而言，
有 A1?A2?..,? An=A1?A2?..,?An
AB+AC+BC
=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C)+AC(1+B)
=AB+AC
对偶关系 (A+B)(A+C)(B+C)
=(A+B)(A+C)
异或和同或的其他性质,
A? 0=A
A? 1=A
A? A=0
A? (B? C)=(A? B )? C
A (B? C)=AB? AC
A? 1=A
A? 0 =A
A?A= 1
A? (B? C)=(A? B)? C
A+(B? C )=(A+B)? (A+C)
利用异或门可实现数字信号的极性控制,
同或功能由异或门实现,
1.2.5 逻辑函数的标准形式
1,函数的,与 – 或,式和,或 – 与,式
,与 – 或,式，指一个函数表达式中包含若干个 与,
项，这些,与,项的,或,表示这个函数。
例,F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD
“或 – 与,式，指一个函数表达式中包含若干个,或,
项，这些,或,项的,与,表示这个函数。
例,F(A,B,C,D)=(A+C+D)(B+D)(A+B+D)
2,逻辑函数的两种标准形式
1）最小项的概念
1）最小项特点 最小项是,与,项。
① n个变量构成的每个最小项，一定是包含 n个因子的 乘积项 ；
② 在各个最小项中，每个变量必须以 原 变量或 反 变量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。
例 有 A,B两变量的最小项共有 四 项 (22)：
A BA B A B A B
例 有 A,B,C三变量的最小项共有 八 项 (23)：
ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC
（ 2） 最小项编号任一个最小项用 mi 表示,m表示最小项，下标 i
为使该最小项为 1的变量取值所对应的等效十进制数。
例,有最小项 A B C,要使该最小项为 1,A,B,C的取值应 为 0,1,1，二进制数 011所等效的十进制数为 3，
所以 ABC = m3
(3) 最小项的性质
① 变量任取一组值，仅有一个最小项为 1，其他最小项为零；
② n变量的全体最小项之和为 1；
③ 不同的最小项相 与,结果为 0；
④ 两最小项 相邻,相邻最小项相,或,，可以合并成一项，并可以消去一个变量因子。
相邻 的概念,两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项 相邻,
相邻 最小项相“或”的情况：
例,A B C+A B C =A B
任一 n 变量的最小项，必定和其他 n 个不同最小项 相邻 。
2）最大项的概念
（ 1）最大项特点 最大项是,或,项 。
① n个变量构成的每个最大项，一定是包含 n个因子的
,或,项；
② 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。
例 有 A,B两变量的最大项共有四项：
例 有 A,B,C三变量的最大项共有八项：
A+ BA+ B A+ BA+ B
A+B+C,A+B+C,A+B+C,A+B+C、
A+B+C,A+B+C,A+B+C,A+B+C
(2) 最大项编号任一个最大项用 Mi 表示,M表示最大项，下标 i
为使该最大项为 0的变量取值所对应的等效十进制数。
A+B+C =M4
(3) 最大项的性质
① 变量任取一组值，仅有一个最大项为 0，其它最大项为 1；
② n变量的全体最大项之 积 为 0；
③ 不同的最大项相 或,结果为 1；
例,有最大项 A +B+ C,要使该最大项为 0,A,B,C
的取值应 为 1,0,0，二进制数 100所等效的十进制数为
4，所以
④ 两 相邻 的最大项相,与,，可以合并成一项，并可以消去一个变量因子。
相邻 的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最大项 相邻 。
相邻 最大项相,与,的情况：
例,(A+B+C)(A+B+C)=A+B
任一 n 变量的最大项，必定和其他 n 个不同最大项相邻 。
3) 最小项和最大项的关系编号下标相同的最小项和最大项互为反函数,即
Mi = mi 或 mi = Mi
4) 逻辑函数的最小项之和形式最小项之和式为,与或,式，例：
=Σm(2,4,6)
=Σ(2,4,6)
F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC
任一 逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式,而且是 唯一 的,
例,F(A,B,C) = A B +A C 该式不是最小项之和形式
=Σm（ 1,3,6,7）
5）逻辑函数的最大项之积的形式
=AB（ C+C） +AC（ B+B）
=ABC+ABC+ABC+ABC
逻辑函数的最大项之积的形式为,或与,式，
例：
=Π M (0,2,4 )
= Π (0,2,4 )
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
任一 逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式,而且是 唯一 的,
=Π M (1,4,5,6 )
例,F(A,B,C) = (A + C )(B + C)
=(A+B · B+C)(A · A+B+C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
6) 最小项之和的形式和最大项之积的形式之间的关系若 F = Σmi 则 F = Σ mjj? i
F = Σ mjj? i =Π mj = Π Mj
j? i j? i
例,F (A,B,C) = Σ(1,3,4,6,7)
=Π (0,2,5 )
3,真值表 与 逻辑表达式真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法。
（ 1） 由逻辑函数式列真值表由逻辑函数式列真值表可采用三种方法，以例说明：
例,试列出下列逻辑函数式的真值表。
F（ A,B,C） =AB+BC
方法一,将 A,B,C三变量的所有取值的组合（共八种），分别代入函数式，逐一算出函数值，填入真值表中。
方法二,先将函数式 F表示为最小项之和的形式：
=Σm（ 3,6,7）
F（ A,B,C） =AB（ C+C） +BC（ A+A）
=ABC+ABC+ABC
最后根据最小项的性质，在真值表中对应于 ABC取值为
011,110,111处填,1”,其它位置填,0” 。
方法三,根据函数式 F的含义，直接填表。
函数 F=AB+BC表示的含义为：
1）当 A和 B同时为,1” （即 AB=1）时,F=1
2）当 B和 C同时为,1” （即 BC=1）时,F=1
3）当不满足上面两种情况时,F=0
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
方法三是一种较好的方法，要熟练掌握。
A B C F1 F2 F F
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1
例,F=(A?B) (B?C)
令,F1=(A?B) ; F2=(B?C)
F=F1F2
（ 2）由真值表写逻辑函数式根据最小项的性质，用观察法，可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式。
例：已知函数 F的真值表如下，求逻辑函数表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
解,由真值表可见，当
ABC取 001,011、
100,111时,F为
,1” 。
所以,F由 4个最小项组成：
F（ A,B,C） =Σm（ 1,3,4,7）
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
=ABC+ABC+ABC+ABC
1.2.6 逻辑函数的化简化简的意义,① 节省元器件,降低电路成本 ;
② 提高电路可靠性 ;
③ 减少连线,制作方便,
逻辑函数的几种常用表达式,
F(A,B,C) =AB+AC 与或式
=(A+C)(A+B) 或与式
=AB·AC 与非－与非式
=A+C+A+B 或非－或非式
=AB+AC 与或非式最简 与或 表达式的标准：
1） 所得 与或 表达式中,乘积项 （与项）数目最少；
2） 每个乘积项中所含的 变量数 最少。
逻辑函数常用的化简方法有,公式法,卡诺图法 和 列表法 。本课程要求掌握 公式法 和 卡诺图法 。
1,公式化简法针对某一逻辑式,反复运用逻辑代数公式消去 多余的乘积项 和每个乘积项中 多余的因子,使函数式符合 最简标准,
化简中常用方法,
(1) 并项法
=（ A?B） C+（ A?B） C
在化简中注意代入规则的使用
(2)吸收法 利用公式 A+AB=A
利用公式 AB+AB=A
例,F=ABC+ABC+ABC+ABC
=（ AB+AB） C+（ AB+AB） C
=（ A? B） C+（ A? B） C=C
=A+BC
=(A+BC)+(A+BC)B+AC+D
例,F=A+ABC B+AC+D+BC
(3) 消项法 利用公式 AB+AC+BC=AB+AC
例,F=ABCD+AE+BE+CDE
=ABCD+(A+B)E+CDE
=ABCD+ABE+CDE
=ABCD+(A+B)E
=ABCD+AE+BE
(4) 消因子法 利用公式 A+AB=A+B
=AB+C
(5) 配项法例,F=AB+AC+BC
=AB+（ A+B） C
=AB+ABC
利用公式 A+A=1 ； A? 1=A 等例,F=AB+AC+BC
=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=(AB+ABC)+(AC+ABC)
=AB+AC
对比较复杂的函数式，要求熟练掌握上述方法，才能把函数化成最简。
2,卡诺图 化简法该方法是将逻辑函数用一种称为,卡诺图,的图形来表示,然后在卡诺图上进行函数的化简的方法,
1)卡诺图 的构成卡诺图是一种包含一些 小方块 的几何图形,图中每个 小方块 称为一个单元,每个单元对应一个 最小项,两个 相邻 的最小项在卡诺图中也必须是 相邻 的,卡诺图中相邻的含义,
① 几何相邻性,即几何位置上相邻,也就是左右紧挨着或者上下相接 ;
② 对称相邻性,即图形中对称位置的单元是相邻的,
例 三变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
ABCm
0
ABCm
1
ABCm
2
ABCm
3
ABCm
4
ABCm
5
ABCm
6
ABCm
7
二、四、五变量卡诺图
A B
0
1
0 1
0 1
2 3
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
8 9 11 10
12 13 15 14
AB
CDE
00
01
11
10
000 001 011 010
0 1 3 2
8 9 11 10
24 25 27 26
110 111 101 100
6 7 5 4
14 15 13 12
22 23 21 20
30 31 29 28
16 17 19 18
2）逻辑函数的卡诺图表示法用卡诺图表示逻辑函数，只是把各组变量值所对应的逻辑函数 F的值，填在对应的小方格中 。
（其实卡诺图是真值表的另一种画法）
A
BC
0
1
00 01 11 10
m3
m5 m7
0 0 0
0 0
1
1 1
例,F（ A,B,C） =ABC+ABC+ABC
用卡诺图表示为：
3) 在卡诺图上 合并 最小项的 规则当卡诺图中有最小项相邻时（即：有标 1的方格相邻 )，
可利用最小项相邻的性质，对最小项合并。
规则为：
（ 1） 卡诺图上任何 两个 标 1的方格相邻，可以合为 1
项，并可消去 1个变量。
例,ABC
0
1
00 01 11 10
0 0 0
0 0
1
1 1
ABC+ABC
=BC
ABC+ABC=AC
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
ABD
（ 2）卡诺图上任何四个标 1方格相邻，可合并为一项，并可消去两个变量。
四个标 1方格相邻的特点：
① 同在一行或一列； ② 同在一田字格中。
ABD
例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1
1 1
1
CD
AB
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
1 1
1 1
BD
同在一行或一列同在一个田字格中
BD
（ 3）卡诺图上任何八个标 1的方格相邻，可以并为一项，并可消去三个变量。例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1 1
1 11
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 11 1
1 11 1
B
A
4） 用卡诺图化简逻辑函数（化为最简与或式）
项数最少,意味着卡诺图中 圈数 最 少 ；
每项中的变量数最少,意味着卡诺图中的 圈 尽可能 大 。
最简标准：①
例 将 F（ A,B,C） =Σm（ 3,4,5,6,7）
化为 最简 与或式。
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1 1
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1 1
F=A+BC（最简） （非最简）F=AB+BC+ABC
② 化简步骤（结合举例说明）
例 将 F（ A,B,C,D） =Σm（ 0,1,3,7,8,10,13） 化为最简与或式。
解,(1) 由表达式填卡诺图 ;
(2) 圈出孤立的标 1方格 ;
(3) 找出只被一个最大的圈所覆盖的标 1方格,并圈出覆盖该标 1方格的最大圈 ;
(4) 将剩余的相邻标 1方格,圈成尽可能少,而且尽可能大的圈,
(5) 将各个对应的乘积项相加,写出最简与或式,
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1 1
1 1
1
1
例：
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
F=ABCD+ACD+ABD+ABC
F=ABD+BD+AD+CD
③ 化简中注意的问题
(1) 每一个标 1的方格必须至少被圈一次 ;
(2) 每个圈中包含的相邻小方格数,必须为 2的整数次幂 ;
(3) 为了得到尽可能大的圈,圈与圈之间可以重叠 ;
(4) 若某个圈中的标 1方格,已经完全被其它圈所覆盖,
则该圈为多余的,
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1
1
11
1
1
蓝色 的圈为多余的,
F=ABC+ACD+ACD+ABC
+ (BD)
例如,
④ 用卡诺图求 反函数 的最简与或式方法,在卡诺图中合并标 0 方格,可得到 反函数 的最简 与或 式,
例,
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 1 1
0 0 0
0
F=AB+BC+AC
常利用该方法来求逻辑函数 F的最简与或非式,例如将上式 F上 的非号移到右边,就得到 F的最简 与或非 表达式,
F=AB+BC+AC
逻辑函数化简的技巧
对较为复杂的逻辑函数，可将函数分解成多个部分，先将每个部分分别填入各自的卡诺图中，然后通过卡诺图对应方格的运算，求出函数的卡诺图。
对卡诺图进行化简。
例：化简逻辑函数
F=(AB+AC+BD)?(ABCD+ACD+BCD+BC)
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 1
1 1
1111
11
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10 1
1
1
1
1
1 1
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
11 1
1
=
F=ABCD+ABC+BCD+ACD
在某些实际数字电路中,逻辑函数的输出只和一部分最小项有 确定 对应关系,而和余下的最小项无关,余下的最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式,都不影响电路的逻辑功能,把这些最小项称为 无关项,
包含 无关项 的逻辑函数称为 不完全确定 的逻辑函数,
利用 不完全确定 的逻辑函数中的 无关项 往往可以将函数化得更简单,
5) 不完全确定 的逻辑函数及其化简例,设计一个奇偶判别电路,电路输入为 8421BCD码,当输入为偶数时,输出为 0 ;当电路输入为奇数时,输出为 1,
由于 8421BCD码中无 1010~1111这 6个码,电路禁止输入这 6个码,这 6个码对应的最小项为 无关项,
奇偶判别电路
A
B
C
D
F A B C D F A B C D F0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 1 0 ×
0 0 1 1 1 1 0 1 1 ×
0 1 0 0 0 1 1 0 0 ×
0 1 0 1 1 1 1 0 1 ×
0 1 1 0 0 1 1 1 0 ×
0 1 1 1 1 1 1 1 1 ×
真值表
F(A,B,C,D)=Σm(1,3,5,7,9)
+Σd(10 ~ 15)
F(A,B,C,D)=Σm(1,3,5,7,9)+Σd(10 ~ 15)
F=D
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1
1
1
0 0
00
0
× × × ×
××
若将卡诺图中的 × 均作 0处理,则化简结果为,
F=AD+BCD
若将卡诺图中的 × 任意处理
(即按化简的需要,将有些 ×
当作 0,有些 × 当作 1),则化简结果为,
注意,在无特殊说明的情况下,为使逻辑函数化的更简单,
均应按上述 第二种 方法处理最小项,
同学们好！
课程简介：
本课程为,模拟电路和数字电路,的 数字电路 部分，
为 2.5学分,另有 1个学分的 综合实验,属专业 基础课,
本课程具有较强的 实践性,有广泛的 应用 领域,
学好本课程的要点,听懂每一堂课的内容、培养逻辑思维方法、多做练习。
主要介绍,数字电路,教材的 1,3,4,5和第 7章的部分。
