第五章 函 数
5.1 函数基本概念
5.2 函数类型
5.3 函数运算
5.4 基 数退出
5.1 函数基本概念函数也常称为映射或变换,其定义如下：
定义 5.1.1 设 A和 B是任意两个集合,且 F是从 A到 B的关系,若对每一个 x?A,都存在唯一的 y?B,使 <x,y>?F,则称 F为从 A到 B的函数,
并记作 F:A?B。 A称为函数 F的定义域,即
D(F)=A,B称为函数 F的陪域,R(F)称为函数 F
的值域,且 R(F)?B。 有时也用 F(A)表示函数 F
的值域,即
F(A)=R(F)={y|y?B?(?x)(x?A?y=F(x))}
并称 F(A)为函数 F的像。
对于 F:A?B来说，若 <x,y>?F，则称 x为函数的自变元，称 y为函数因变元，因为 y值依赖于 x所取的值，或称 y是 F在 x处的值，或称 y为 F
下 x的像。通常把 <x,y>?F记作 F(x)=y。
从本定义可以看出，从 A到 B的函数 F和一般从 A到 B的二元关系之不同有以下两点：
① A的每一元素都必须是 F的有序对之第一分量。
② 若 F(x)=y，则函数 F在 x处的值是唯一的，
即
F(x)=y?F(x)=z?y=z
考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号 F改为小写字母 f。
定义 5.1.2 设 f:A?B,g:C?D,若 A=C，
B=D,且对每一 x?A都有 f(x)=g(x),则称函数 f
和 g相等,记为 f=g。
本定义表明了,两函数相等,它们必须有相同的定义域,陪域和有序对集合 。
有时需要缩小所给函数的定义域,或扩大所给函数的定义域以创建新的函数,为此有下面定义 。
定义 5.1.3 设 f:A?B,且 C?A,若有
g=f∩(C?B)
则称 g是 f到 C的缩小,记为 f|c,即 g为 C到 B
的函数：
g:C?B
g(x)=f(x)
或 f|c(x)=f(x)
定义 5.1.4 设 f:C?B,g:A?B,且 C?A，
若 g|c=f,则称 g是 f到 A的扩大 。
下面讨论由集合 A和 B,构成这样函数
f:A?B会有多少呢？ 或者说,在 A?B的所有子集中,是全部还是部分子集可以定义函数？ 令
BA表示这些函数的集合,即
BA={f|f:A?B}
设 |A|=m,|B|=n,则 |BA|=nm。 这是因为对每个自变元,它的函数值都有 n种取法,故总共有 nm种从 A到 B的函数 。
上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义 。
定义 5.1.5 设 A1,A2,··,An和 B为集合,若 f:
Ai?B 为函数,则称 f 为 n 元函数 。 在
<x1,x2,··,xn>上的值用 f(x1,x2,··,xn)表示 。
一元函数中概念对 n元函数几乎完全适用,
在这里不多讨论了 。
5.2 函数类型根据函数具有的不同性质,可以将函数分成不同的类型 。 本节将定义这些函数,并给出相应的术语 。
定义 5.2.1 设 f:A?B是函数，若 R(f)=B，或对任意 b?B，存在 a?A，使得 f(a)=b，或形式表为：
(?y)(y?B?(?x)(x?A?f(x)=y))
则称 f:A?B是满射函数，或称函数 f:A?B
是满射的。
本定义表明了，在函数 f的作用下,B中每个元素 b，都至少是 A中某元素 a的像，因此，若
A和 B是有穷集合，存在满射函数 f:A?B，则
|A|≥|B|。
定义 5.2.2 设 f:A?B是函数，对任意的 a，
b?A，且 a?b，都有 f(a)?f(b)，或形式表为
(?x)(?y)(x,y?A?x?y?f(x)?f(y))
则称 f:A?B是单射函数（或一对一函数），
或称函数 f:A?B是单射的，或入射的。
本定义揭示了,A中不同的元素，其在 B中像也是不同的。于是，若 A的 B是有穷集合，存在单射函数 f:A?B，则 |A|≤|B|。
定义 5.2.3 设 f:A?B是函数，若 f既是满射又是单射，则称 f:A?B是双射函数（或一一对应），或称函数 f:A?B是双射的。
该定义说明了,B中的每个元素 b是且仅是
A中某个元素 a的像。因此，若 A和 B是有穷集合，
存在双射函数 f:A?B，则 |A|=|B|。
定义 5.2.4 设 f:A?B是函数,若存在 b?B，
使对任意 a?A 有 f(a)=b,即 f(A)={b},则称
f:A?B为常值函数 。
定义 5.2.5 设 f:A?A是函数，若对任意 a?A，
有 f(a)=a，亦即
f={<a,a>|x?A}
则称 f:A?A为 A上恒等函数，通常记为 IA，
因为恒等关系即是恒等函数。
由定义可知,A上恒等函数 IA是双射函数 。
定义 5.2.6 设 A和 B为集合,且 A?B,若函数?A:B?{0,1}为
1 x?A
xA(x)=
0 否则则称 xA为集合 A的特征函数 。
{
特征函数建立了函数与集合的一一对应关系 。 于是,可通过特征函数的计算来研究集合上的命题 。
定理 5.2.1 设 A和 B是全集合 U的任意两个子集 。 对任意 x?U,则下列关系式成立 。
①?A(x)=0?A=?
②?A(x)=1?A=U
③?A(x)≤?B(x)?A?B
④?A(x)=?B(x)?A=B
⑤?A’(x)=1-?A(x)
⑥?A∩B(x)=xA(x)*xB(x)
⑦?A∪ B(x)=?A(x)+?B(x)-?A∩B(x)
⑧?A-B(x)=?A∩B’(x)=?A(x)-?A∩B(x)
其中 +,-,*，为通常的算术运算 +,-，和
。
定义 5.2.7 设 <A,≤>和 <B,≤>为全序集,函数 f:A?B。 对于任意 a,b?A.
① 若 a≤b,有 f(a)≤f(b),则称 f为单调递增函数 。
② 若 a≥b,有 f(a)≥f(b),则称 f为单调递减函数 。
③ 若 a≤b，且 a?b，有 f(a)<f(b)，则称 f为严格单调递增函数。
④ 若 a≥b，且 a?b，有 f(a)>f(b)，则称 f为严格单调递减函数。
显然，严格单调递增函数是单调递增函数，
严格单调递减函数是单调递减函数。
定义 5.2.8 设 R是非空集合 A上的等价关系,
且函数 f:A?A/R,f(a)=[a]R,a?A,则称 f是从 A
到商集 A/R的自然映射 。
自然映射在代数结构中有重要的应用 。
定义 5.2.9 设 p:A?A为函数,若 p是双射,
则称 p为 A上的置换 。
置换在群论中作为一节进行讨论,有着重要的应用 。
5.3 函数运算函数是一种特殊关系,对关系可以进行运算,自然对函数也需要讨论运算问题,即如何由已知函数得到新的函数 。
1．函数复合利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。
定理 5.3.1 设 f:A?B和 g:B?C是函数，通过复合运算 o，可以得到新的从 A到 C的函数，
记为 gof，即对任意 a?A，有 (gof)(x)=g(f(x))。
注意,函数是一种关系,今用斜体,o”表示函数复合运算,记为 gof,这是,左复合,,
它与关系的,右复合,fog次序正好相反,为区分它们在同一公式中的出现,用粗体符号表示关系复合 fog,故有 gof=fog。
推论 1 若 f,g,h都是函数,则 (fog)oh=fo(goh)。
本推论表明,函数复合运算是可结合的 。
若对于集合 A,f:A?A,则函数 f能同自身复合成任意次 。 f的 n次复合定义为：
① f 0(x)=x
② f n+1(x)=f(fn(x)),n?N。
定理 5.3.2 设 f:A?B,g:B?C
① 若 f:A?B,g:B?C都是满射，则
gof:A?C也是满射。
② 若 f:A?B,g:B?C都是单射，则
gof:A?C也是单射。
③ 若 f:A?B,g:B?C都是双射，则
gof:A?C也是双射。
定理 5.3.3 若 f:A?B是函数,则 f=foIA=IBof。
本定理揭示了,恒等函数在复合函数运算中的特殊性质,特别地,对于 f:A?A,有 foIA=
IAof=f。
2,函数逆运算给定关系 R,其逆关系是存在,但对已知一函数,它作为关系其逆是存在,但未必是函数 。 例如,A={a,b,c},B={1,2,3},
f={<a,1>,<b,1>,<c,3>} 是函数,而 f-
1={<1,a>,<1,b>,<3,c>}却不是从 B到 A的函数 。 但若 f:A?B是双射,则 f-1便是从 B到 A的函数 。
定理 5.3.4 若 f:A?B是双射,则 f-1:B?A也是双射 。
定义 5.3.1 设 f:A?B 是 双 射 函 数,称
f -1:B?A是 f的逆函数,习惯上常称 f-1为 f的反函数 。
定理 5.3.5 设 f:A?B 是 双 射 函 数,则
f -1of=IA,fof-1=IB
定理 5.3.6 若 f:A?B是双射,则 (f-1)-1=f。
5.4 基 数
1,基数定义首先选取一个,标准集合,Nn={0,1,2,··,n-
1},称它为 N的 <截段 n；再用双射函数为工具,
给出集合基数的定义如下：
定义 5.4.1 设 A是集合，若 f:Nn?A为双射函数，则称集合 A是有限的,A的基数是 n，记为
|A|=n，或 card A=n。若集合 A不是有限的，则称 A是无穷的。
本定义表明了，对于有限集合 A，可以用
“数”数的方式来确定集合 A的基数。
定理 5.4.1 自然数集合 N是无穷的。
为了确定某些无穷集合的基数,选取第二个,标准集合,N来度量这些集合 。
定义 5.4.2 设 A是集合,若 f:N?A为双射函数,则称 A的基数是?0,记为 |A|=?0。
显然,存在从 N到 N的双射函数,故 |N|=?0，
0读作,阿列夫零,。 符号?0是康托引入的 。
若 f:Nn?A是双射函数,则示意 A的元素是可,数,的,但,数,的过程可能不会终止,
这导致了如下定义：
定义 5.4.3 设 A是集合，若 f:Nn?A是双射函数，则称集合 A是可数的；若 |A|=?0，则称 A是可数无穷的；若 A是不可数的，则称 A是不可数的或不可数无穷的。
可以证明下面一个很有用的定理：
定理 5.4.2 若集合 A1,A2,A3,··都是可数的，
则 Ai 是可数的。
本定理表明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。
在上述基数定义中，是使用两个“标准集合” Nn和 N以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：
与 Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是 n，与 N构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为?0。指派空集的基数为 0。
2,基数比较在有了集合基数的基础上,可以建立相等关系和次序关系,进行基数比较和基数运算,
这里仅讨论前者 。
定义 5.4.4 设 A和 B为任意集合。
①若有一个从 A到 B的双射函数，则称 A和
B有相同基数（或称 A与 B是等势），记为
|A|=|B|（或 A?B）。
② 若有一个从 A到 B的单射函数，则称 A的基数小于等于 B的基数，记为 |A|≤|B|。
③若有一个从 A到 B的单射函数，但不存在双射函数，则称 A的基数小于 B的基数，记为
|A|<|B|。
由于在复合运算下，双射函数是封闭的，
双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：
定理 5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。
综上可见，等势关系是个等价关系。
从上面定义及定理可知：
① 等势是集合族上的等价关系,它把集合族划分成等价类,在同一等价类中的集合具有相同的基数 。 因此可以说：基数是在等势关系下集合的等价类的特征 。 或者说：基数是在等势关系下集合的等价类的名称 。 这实际上就是基 数 的 一 种 定 义 。 例如,3 是 等 价 类
{{a,b,c},{p,q,r},{1,2,3},·}的名称 （ 或特征 ） 。
0是自然数集合 N所属等价类的名称 。
② 要证明一个集合 A有基数?，只需选取基数为?的任意集合 B，证明从 A到 B或从 B到 A存在一个双射函数。选取集合 B的原则是使证明尽可能容易。
上述定义中选用符号 ≤和 <,是因为它们具有这些符号的通常性质 。 然而,要证明这些性质是冗长和复杂的 。 下面将不加证明地引入说明这些性质的两个定理 。 第一个定理称为三歧性定律 。 第二定理表明,≤是反对称的 。
定理 5.4.4 （ Zermelo） 设 A和 B是任意两个集合,则下述情况恰有一个成立：
① |A|<|B| ② |B|<|A| ③ |A|=|B|
定理 5.4.5 （ Cantor-Schroder-Bernstein）
设 A和 B是任意两个集合，若 |A|≤|B|和 |B|≤|A|，
则 |A|=|B|。
本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数 f:A?B，
则有 |A|≤|B|；又能构造另一个单射函数 g:B?C，
以证明 |B|≤|A|。于是根据本定理即可得出 |A|=|B|。
特别要注意,f和 g不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。
定理 5.4.6 设 A是有限集合,则 |A|<?0。
引理 5.2.7 每个无穷集合包含一可数无穷集合 。
注意,本定理证明中应用,选择公理,,
若 A是非空集合族,则存在集合 B,使 B恰好包含 A中每个子集里的一个元素 x。
定理 5.4.7?0是最小无穷集合的基数 。
下面定理表明了，没有最大基数和没有最大集合。
定理 5.4.8 （ Cantor）设 A是任意集合，则
|A|<|P(A)|。
应用本定理,可以构造一个可数无穷的无穷基数的集合,其中每一个都大于它前边的一个
|N|<|P(N)|<|P(P(N))|<··。
5.1 函数基本概念
5.2 函数类型
5.3 函数运算
5.4 基 数退出
5.1 函数基本概念函数也常称为映射或变换,其定义如下：
定义 5.1.1 设 A和 B是任意两个集合,且 F是从 A到 B的关系,若对每一个 x?A,都存在唯一的 y?B,使 <x,y>?F,则称 F为从 A到 B的函数,
并记作 F:A?B。 A称为函数 F的定义域,即
D(F)=A,B称为函数 F的陪域,R(F)称为函数 F
的值域,且 R(F)?B。 有时也用 F(A)表示函数 F
的值域,即
F(A)=R(F)={y|y?B?(?x)(x?A?y=F(x))}
并称 F(A)为函数 F的像。
对于 F:A?B来说，若 <x,y>?F，则称 x为函数的自变元，称 y为函数因变元，因为 y值依赖于 x所取的值，或称 y是 F在 x处的值，或称 y为 F
下 x的像。通常把 <x,y>?F记作 F(x)=y。
从本定义可以看出，从 A到 B的函数 F和一般从 A到 B的二元关系之不同有以下两点：
① A的每一元素都必须是 F的有序对之第一分量。
② 若 F(x)=y，则函数 F在 x处的值是唯一的，
即
F(x)=y?F(x)=z?y=z
考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号 F改为小写字母 f。
定义 5.1.2 设 f:A?B,g:C?D,若 A=C，
B=D,且对每一 x?A都有 f(x)=g(x),则称函数 f
和 g相等,记为 f=g。
本定义表明了,两函数相等,它们必须有相同的定义域,陪域和有序对集合 。
有时需要缩小所给函数的定义域,或扩大所给函数的定义域以创建新的函数,为此有下面定义 。
定义 5.1.3 设 f:A?B,且 C?A,若有
g=f∩(C?B)
则称 g是 f到 C的缩小,记为 f|c,即 g为 C到 B
的函数：
g:C?B
g(x)=f(x)
或 f|c(x)=f(x)
定义 5.1.4 设 f:C?B,g:A?B,且 C?A，
若 g|c=f,则称 g是 f到 A的扩大 。
下面讨论由集合 A和 B,构成这样函数
f:A?B会有多少呢？ 或者说,在 A?B的所有子集中,是全部还是部分子集可以定义函数？ 令
BA表示这些函数的集合,即
BA={f|f:A?B}
设 |A|=m,|B|=n,则 |BA|=nm。 这是因为对每个自变元,它的函数值都有 n种取法,故总共有 nm种从 A到 B的函数 。
上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义 。
定义 5.1.5 设 A1,A2,··,An和 B为集合,若 f:
Ai?B 为函数,则称 f 为 n 元函数 。 在
<x1,x2,··,xn>上的值用 f(x1,x2,··,xn)表示 。
一元函数中概念对 n元函数几乎完全适用,
在这里不多讨论了 。
5.2 函数类型根据函数具有的不同性质,可以将函数分成不同的类型 。 本节将定义这些函数,并给出相应的术语 。
定义 5.2.1 设 f:A?B是函数，若 R(f)=B，或对任意 b?B，存在 a?A，使得 f(a)=b，或形式表为：
(?y)(y?B?(?x)(x?A?f(x)=y))
则称 f:A?B是满射函数，或称函数 f:A?B
是满射的。
本定义表明了，在函数 f的作用下,B中每个元素 b，都至少是 A中某元素 a的像，因此，若
A和 B是有穷集合，存在满射函数 f:A?B，则
|A|≥|B|。
定义 5.2.2 设 f:A?B是函数，对任意的 a，
b?A，且 a?b，都有 f(a)?f(b)，或形式表为
(?x)(?y)(x,y?A?x?y?f(x)?f(y))
则称 f:A?B是单射函数（或一对一函数），
或称函数 f:A?B是单射的，或入射的。
本定义揭示了,A中不同的元素，其在 B中像也是不同的。于是，若 A的 B是有穷集合，存在单射函数 f:A?B，则 |A|≤|B|。
定义 5.2.3 设 f:A?B是函数，若 f既是满射又是单射，则称 f:A?B是双射函数（或一一对应），或称函数 f:A?B是双射的。
该定义说明了,B中的每个元素 b是且仅是
A中某个元素 a的像。因此，若 A和 B是有穷集合，
存在双射函数 f:A?B，则 |A|=|B|。
定义 5.2.4 设 f:A?B是函数,若存在 b?B，
使对任意 a?A 有 f(a)=b,即 f(A)={b},则称
f:A?B为常值函数 。
定义 5.2.5 设 f:A?A是函数，若对任意 a?A，
有 f(a)=a，亦即
f={<a,a>|x?A}
则称 f:A?A为 A上恒等函数，通常记为 IA，
因为恒等关系即是恒等函数。
由定义可知,A上恒等函数 IA是双射函数 。
定义 5.2.6 设 A和 B为集合,且 A?B,若函数?A:B?{0,1}为
1 x?A
xA(x)=
0 否则则称 xA为集合 A的特征函数 。
{
特征函数建立了函数与集合的一一对应关系 。 于是,可通过特征函数的计算来研究集合上的命题 。
定理 5.2.1 设 A和 B是全集合 U的任意两个子集 。 对任意 x?U,则下列关系式成立 。
①?A(x)=0?A=?
②?A(x)=1?A=U
③?A(x)≤?B(x)?A?B
④?A(x)=?B(x)?A=B
⑤?A’(x)=1-?A(x)
⑥?A∩B(x)=xA(x)*xB(x)
⑦?A∪ B(x)=?A(x)+?B(x)-?A∩B(x)
⑧?A-B(x)=?A∩B’(x)=?A(x)-?A∩B(x)
其中 +,-,*，为通常的算术运算 +,-，和
。
定义 5.2.7 设 <A,≤>和 <B,≤>为全序集,函数 f:A?B。 对于任意 a,b?A.
① 若 a≤b,有 f(a)≤f(b),则称 f为单调递增函数 。
② 若 a≥b,有 f(a)≥f(b),则称 f为单调递减函数 。
③ 若 a≤b，且 a?b，有 f(a)<f(b)，则称 f为严格单调递增函数。
④ 若 a≥b，且 a?b，有 f(a)>f(b)，则称 f为严格单调递减函数。
显然，严格单调递增函数是单调递增函数，
严格单调递减函数是单调递减函数。
定义 5.2.8 设 R是非空集合 A上的等价关系,
且函数 f:A?A/R,f(a)=[a]R,a?A,则称 f是从 A
到商集 A/R的自然映射 。
自然映射在代数结构中有重要的应用 。
定义 5.2.9 设 p:A?A为函数,若 p是双射,
则称 p为 A上的置换 。
置换在群论中作为一节进行讨论,有着重要的应用 。
5.3 函数运算函数是一种特殊关系,对关系可以进行运算,自然对函数也需要讨论运算问题,即如何由已知函数得到新的函数 。
1．函数复合利用两个具有一定性质的已知函数通过复合运算可以得到新的函数。
定理 5.3.1 设 f:A?B和 g:B?C是函数，通过复合运算 o，可以得到新的从 A到 C的函数，
记为 gof，即对任意 a?A，有 (gof)(x)=g(f(x))。
注意,函数是一种关系,今用斜体,o”表示函数复合运算,记为 gof,这是,左复合,,
它与关系的,右复合,fog次序正好相反,为区分它们在同一公式中的出现,用粗体符号表示关系复合 fog,故有 gof=fog。
推论 1 若 f,g,h都是函数,则 (fog)oh=fo(goh)。
本推论表明,函数复合运算是可结合的 。
若对于集合 A,f:A?A,则函数 f能同自身复合成任意次 。 f的 n次复合定义为：
① f 0(x)=x
② f n+1(x)=f(fn(x)),n?N。
定理 5.3.2 设 f:A?B,g:B?C
① 若 f:A?B,g:B?C都是满射，则
gof:A?C也是满射。
② 若 f:A?B,g:B?C都是单射，则
gof:A?C也是单射。
③ 若 f:A?B,g:B?C都是双射，则
gof:A?C也是双射。
定理 5.3.3 若 f:A?B是函数,则 f=foIA=IBof。
本定理揭示了,恒等函数在复合函数运算中的特殊性质,特别地,对于 f:A?A,有 foIA=
IAof=f。
2,函数逆运算给定关系 R,其逆关系是存在,但对已知一函数,它作为关系其逆是存在,但未必是函数 。 例如,A={a,b,c},B={1,2,3},
f={<a,1>,<b,1>,<c,3>} 是函数,而 f-
1={<1,a>,<1,b>,<3,c>}却不是从 B到 A的函数 。 但若 f:A?B是双射,则 f-1便是从 B到 A的函数 。
定理 5.3.4 若 f:A?B是双射,则 f-1:B?A也是双射 。
定义 5.3.1 设 f:A?B 是 双 射 函 数,称
f -1:B?A是 f的逆函数,习惯上常称 f-1为 f的反函数 。
定理 5.3.5 设 f:A?B 是 双 射 函 数,则
f -1of=IA,fof-1=IB
定理 5.3.6 若 f:A?B是双射,则 (f-1)-1=f。
5.4 基 数
1,基数定义首先选取一个,标准集合,Nn={0,1,2,··,n-
1},称它为 N的 <截段 n；再用双射函数为工具,
给出集合基数的定义如下：
定义 5.4.1 设 A是集合，若 f:Nn?A为双射函数，则称集合 A是有限的,A的基数是 n，记为
|A|=n，或 card A=n。若集合 A不是有限的，则称 A是无穷的。
本定义表明了，对于有限集合 A，可以用
“数”数的方式来确定集合 A的基数。
定理 5.4.1 自然数集合 N是无穷的。
为了确定某些无穷集合的基数,选取第二个,标准集合,N来度量这些集合 。
定义 5.4.2 设 A是集合,若 f:N?A为双射函数,则称 A的基数是?0,记为 |A|=?0。
显然,存在从 N到 N的双射函数,故 |N|=?0，
0读作,阿列夫零,。 符号?0是康托引入的 。
若 f:Nn?A是双射函数,则示意 A的元素是可,数,的,但,数,的过程可能不会终止,
这导致了如下定义：
定义 5.4.3 设 A是集合，若 f:Nn?A是双射函数，则称集合 A是可数的；若 |A|=?0，则称 A是可数无穷的；若 A是不可数的，则称 A是不可数的或不可数无穷的。
可以证明下面一个很有用的定理：
定理 5.4.2 若集合 A1,A2,A3,··都是可数的，
则 Ai 是可数的。
本定理表明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。
在上述基数定义中，是使用两个“标准集合” Nn和 N以及双射函数（或一一对应），引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原则是：
与 Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是 n，与 N构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为?0。指派空集的基数为 0。
2,基数比较在有了集合基数的基础上,可以建立相等关系和次序关系,进行基数比较和基数运算,
这里仅讨论前者 。
定义 5.4.4 设 A和 B为任意集合。
①若有一个从 A到 B的双射函数，则称 A和
B有相同基数（或称 A与 B是等势），记为
|A|=|B|（或 A?B）。
② 若有一个从 A到 B的单射函数，则称 A的基数小于等于 B的基数，记为 |A|≤|B|。
③若有一个从 A到 B的单射函数，但不存在双射函数，则称 A的基数小于 B的基数，记为
|A|<|B|。
由于在复合运算下，双射函数是封闭的，
双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函数，因此等势关系有以下性质：
定理 5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。
综上可见，等势关系是个等价关系。
从上面定义及定理可知：
① 等势是集合族上的等价关系,它把集合族划分成等价类,在同一等价类中的集合具有相同的基数 。 因此可以说：基数是在等势关系下集合的等价类的特征 。 或者说：基数是在等势关系下集合的等价类的名称 。 这实际上就是基 数 的 一 种 定 义 。 例如,3 是 等 价 类
{{a,b,c},{p,q,r},{1,2,3},·}的名称 （ 或特征 ） 。
0是自然数集合 N所属等价类的名称 。
② 要证明一个集合 A有基数?，只需选取基数为?的任意集合 B，证明从 A到 B或从 B到 A存在一个双射函数。选取集合 B的原则是使证明尽可能容易。
上述定义中选用符号 ≤和 <,是因为它们具有这些符号的通常性质 。 然而,要证明这些性质是冗长和复杂的 。 下面将不加证明地引入说明这些性质的两个定理 。 第一个定理称为三歧性定律 。 第二定理表明,≤是反对称的 。
定理 5.4.4 （ Zermelo） 设 A和 B是任意两个集合,则下述情况恰有一个成立：
① |A|<|B| ② |B|<|A| ③ |A|=|B|
定理 5.4.5 （ Cantor-Schroder-Bernstein）
设 A和 B是任意两个集合，若 |A|≤|B|和 |B|≤|A|，
则 |A|=|B|。
本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。若能够构造一单射函数 f:A?B，
则有 |A|≤|B|；又能构造另一个单射函数 g:B?C，
以证明 |B|≤|A|。于是根据本定理即可得出 |A|=|B|。
特别要注意,f和 g不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。
定理 5.4.6 设 A是有限集合,则 |A|<?0。
引理 5.2.7 每个无穷集合包含一可数无穷集合 。
注意,本定理证明中应用,选择公理,,
若 A是非空集合族,则存在集合 B,使 B恰好包含 A中每个子集里的一个元素 x。
定理 5.4.7?0是最小无穷集合的基数 。
下面定理表明了，没有最大基数和没有最大集合。
定理 5.4.8 （ Cantor）设 A是任意集合，则
|A|<|P(A)|。
应用本定理,可以构造一个可数无穷的无穷基数的集合,其中每一个都大于它前边的一个
|N|<|P(N)|<|P(P(N))|<··。
