第七章 半群与群
7.1 半群和独异点的定义及其性质
7.2 半群和独异点的同态与同构
7.3 积半群
7.4 群的基本定义与性质
7.5 置换群和循环群
7.6 子群与陪集
7.7 群的同态与同构退出
7.1 半群和独异点的定义及其性质定义 7.1.1 给定 <S,⊙ >,若 ⊙ 满足结合律,
则称 <S,⊙ >为半群 。
可见,半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构 。
定义 7.1.2 定 <M,○ >,若 <M,○ >是半群且 ○ 有幺元或 ○ 满足结合律且拥有幺元,则称
<M,○ >为独异点 。
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元 e，独异点表为 <M，○,e>。
如果半群 <S,⊙ >中的集合 S是有限的,则称半群为有限半群,对于有限半群可以给出下面有趣定理 。
定理 7.1.1 <S,⊙ > 为有限半群
(?x)(x∈ S∧ x⊙ x=x)
本定理告诉我们,有限半群存在等幂元 。
定义 7.1.3 给定半群 <S,⊙ >,若 ⊙ 是可交换的,则称 <S,⊙ >是可交换半群 。 类似地可定义可交换独异点 <M,○,e>。
定义 7.1.4 给定半群 <S,⊙ >和 g∈ S,以及自然数集合 N,则
g 为 <S,⊙ > 的 生 成元,=(?x)(x∈ S→(?n)(n∈ N∧ x=gn))
此时也说,元素 g生成半群 <S,⊙ >,而且称该半群为循环半群 。
类似地定义独异点 <M,○,e>的生成元 g
和循环独异点,并且规定 g0=e。
定理 7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。
可见,○ 是可交换的,故 <M,○,e>是可交换的 。 显然,每个循环半群也是可交换的 。
对于生成元的概念加以推广便得出生成集的概念 。
定义 7.1.5 给定半群 <S,⊙ >及 G?S，则
G为 <S,⊙ >的生成集,=(?a)(a∈ S→ a=⊙ (G))∧ |G|
这里 ⊙ (G)表示用 G中的元素经 ⊙ 的复合而生成的元素。
类似地定义独异点 <M，○,e>的生成集。
定义 7.1.6 给定半群 <S,⊙ >及非空集 T?S，
若 T对 ⊙ 封闭,则称 <T,⊙ >为 <S,⊙ >的子半群 。
类似地定义独异点 <M,○,e>的子独异点
<P,○,e>,应注意的是 e∈ P。
定理 7.1.3 给定半群 <S,⊙ >及任意 a∈ S，
则 <{a,a2,a3,… },⊙ >是循环子半群。
显然,a是 <{a,a2,a3,… },⊙ >的生成元。故 <{a,a2,a3,… },⊙ >是循环子半群。
定理 7.1.4 给定可交换独异点 <M,○,e>，
若 P为其等幂元集合,则 <P,○,e>为子独异点 。
定理 7.1.5 设 <M,○,e>为独异点,则关于 ○ 的运算表中任两列或任两行均不相同 。
定理 7.1.6 给定独异点 <M，○,e>，对任意 a,b∈ M且 a,b均有逆元，则
(1) (a-1)-1=a。
(2) a○ b有逆元，且 (a○ b)-1=b-1○ a-1。
7.2 半群和独异点的同态与同构在本节里,将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点 。 有些定义与性质,几乎完全就是平行地搬过来 。
主要内容如下：
定义 7.2.1 给定两个半群 <S,⊙ >与 <T，
○ >，则半群 <S,⊙ >?半群 <T，
○ >:=(?f)(f∈ TS∧ (?x)(?y)(x，
y∈ S→ f(x⊙ y)=f(x) f(y))
并称 f为从 <S,⊙ >到 <T，○ >的半群同态映射。
由定义可以知道，半群同态映射 f可以不是唯一的。
与前面的定义类似，根据半群同态映射 f是单射 (一对一 )、满射、双射，把半群同态映射 f
分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群同构映射。
如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。
由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。
下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。
定理 7.2.1 如果 f为从 <S,⊙ >到 <T，○ >的半群同态映射，对任意 a∈ S且 a⊙ a=a，则
f(a)○ f(a)=f(a)。
由于半群同态映射是个函数，因此可对半群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群同态映射。请看如下定理：
定理 7.2.2 如果 g是从 <S,⊙ >到 <T，☆ >的半群同态映射,h是从 <T，☆ >到 <U，○ >的半群同态映射，则 h o g是从 <S,⊙ >到 <U，○ >的半群同态映射。
定义 7.2.2 若 g是从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群同态映射,则称 g为半群自同态映射；若 g是从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群同构映射,则称 g
为半群自同构映射 。
定理 7.2.3 给定半群 <S,⊙ >，如果 A={g|g
为 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群自同态映射 }且 o是函数复合运算，则 <A,o>为半群。
由于恒等映射 i是复合运算 o的幺元,因此可得下面定理：
定理 7.2.4 给定半群 <S,⊙ >，若 B={h|h为
<S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群自同构映射 },o为函数复合运算，则 <B,o,i>是独异点。
定理 7.2.5 给定半群 <S,⊙ >，又 <SS,o>
是从 S到 S的所有函数在复合运算 o下构成的函数半群，则存在从 <S,⊙ >到 <SS,o>的半群同态映射 g，或者说 <S,⊙ >半群同态于 <SS,o>。
上面介绍半群同态及有关定理 。 下面接着来讨论独异点之间的同态及其有关定理 。
定义 7.2.3 给定独异点 <M,⊙,eM>和 <T，
○,eT>,则
<M,⊙,eM>?<T,○,eT>
:=(?g)(g∈ TM∧ (?x)(?y)(x,y∈ M→ g(x⊙ y)
=g(x) ○ g(y))∧ g(eM)=eT
并称 g为从 <M,⊙,eM>到 <T,○,eT>的独异点同态映射 。
注意，独异点同态区别半群同态就在于保持幺元，即 g(eM)=eT。因此，半群同态未必是独异点同态，反之都真。
对于独异点满同态,独异点单同态,独异点同构,以及独异点满同态保持运算性质等,
这里也一并略去了 。 下面给出一个有关同构的定理以结束本节 。
定理 7.2.6 给定独异点 <M,⊙ >，则存在 T?MM，使 <M,⊙ >?<T,o>。
本定理表明,一个独异点可与复合运算下的函数独异点同构 。
7.3 积半群把积代数方法应用于特殊一类代数结构：半群,便产生积半群 。
定义 7.3.1 给定两个半群 <S,⊙ >和 <T，
○ >。称 <S× T,?>为 <S,⊙ >和 <T，○ >的积半群，其中 S× T为集合 S与 T的笛卡儿积，运算
定义如下：
<s1,t1>?<s2,t2>=<s1⊙ s2,t1○ t2>，其中
s1,s2∈ S,t1,t2∈ T
由于运算?是经 ⊙ 和○定义的，易知，积半群是个半群。
不难证明下列定理：
定理 7.3.1 若半群 <S,⊙ >和 <T，○ >是可交换的，则 <S× T,?>也是可交换的。
定理 7.3.2 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 e1和 e2分别是它们的幺元，则积半群 <S× T，
>含有幺元 <e1,e2>。换言之，若 <S,⊙,e1>和
<T，○,e2>是独异点，则 <S× T,?,<e1，
e2>>是独异点。
定理 7.3.3 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 θ1和 θ2分别为它们的零元，则积半群 <S× T，
>含有零元 <θ1,θ2>。
定理 7.3.4 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 s∈ Ｓ 的逆元 s-1,t∈ T的逆元 t-1，则积半群
<S× T,?>中 <s,t>的逆元是 <s-1,t-1>。
7.4 群的基本定义与性质定义 7.4.1 给定 <G,⊙ >,若 <G,⊙ >是独异点且每个元素存在逆元,或者 ① ⊙ 是可结合的,② 关于 ⊙ 存在幺元,③ G中每个元素关于 ⊙
是可逆的,则称 <G,⊙ >是群 。
可见,群是独异点的特例,或者说,群比独异点有更强的条件 。
定义 7.4.2 给定群 <G,⊙ >,若 G是有限集,则称 <G,⊙ >是有限群 。 并且把 G
的基数称为该有限群的阶数,若集合 G是无穷的,则称 <G,⊙ >为无穷群 。
由群的定义可知，群具有半群和独异点的性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己独特的性质，仅此讨论如下：
定理 7.4.1 <G,⊙ >是群 ∧ |G|＞ 1?<G，
⊙ >无零元。
定理 7.4.2 <G,⊙ >是群?<G,⊙ >中的唯一等幂元是幺元 。
定理 7.4.3 给定群 <G,⊙ >,则有
(?a)(?b)(?c)(a,b,
c∈ G∧ ((a⊙ b=a⊙ c∨ b⊙ a=c⊙ a)→ b=c))
即群满足可约律 。
定理 7.4.4 给定群 <G,⊙ >，则
(?a)(?b)(a，
b∈ G→((?!x)(x∈ G∧ a⊙ x=b)∨ (?!y)(y∈ G∧ y⊙
a=b))
(?a)(?b)(a,b∈ G→(?!x)(?!y)(x，
y∈ G∧ (a⊙ x=b∨ y⊙ a=b))
即群中方程解是唯一的。
定理 7.4.5 <G,⊙ >是群?(?a)(?b)(a，
b∈ G→( a⊙ b)-1=b-1⊙ a-1)
定义 7.4.3 给定群 <G,⊙ >,若 ⊙ 是可交换的,则称 <G,⊙ >是可交换群或 <G,⊙ >是 Abel
群 。
定理 7.4.6 给定群 <G,⊙ >,则
<G,⊙ > 为 Abel 群? (?a)(?b)(a,
b∈ G→( a⊙ b)2=a2⊙ b2
定义 7.4.4 给定群 <G,⊙ >,且 a∈ G，
幺元 e,则 a的阶或周期为 n:=(?k)(k∈ I+∧
{ak=e}=n),并称 a的阶是有限的；
否则,a的阶是无穷的 。
定理 7.4.7 给定群 <G,⊙ >,且 a∈ G的阶 n
是有限的,则
(?m)(m∈ I+∧ k=mn)?ak=e
推论,若 an=e且没有 n的因子 d(1＜ d＜ n)使
ad=e,则 n为 a的阶 。
定理 7.4.8 给定群 <G,⊙ >及 a∈ G,则 a与
a-1具有相同的阶 。
7.5 置换群和循环群本节里,将讨论群论中两种常见而又重要的群：置换群和循环群,特别在研究群的同构群时,置换群扮演着极重要的角色 。
在正式讨论置换群以前,需要先作些必要的准备 。
定义 7.5.1 令 X是非空有穷集合,从 X到 X的双射,称为集合 X中的置换,并称 |X|为置换的阶 。
若 X={x1,x2,…,xn},则 n阶置换表为并称为置换中的反置换，记为 p-1。特别把置换称为 X中的幺置换或恒等置换,记为 pe。
此外，用 PX表示集合 X中的所有置换的集合。
为了说明 n个元素的集合可以有多少不同的置换，特给出如下定理：
定理 7.5.1 若 X={x1,x2,…,xn},则
|PX|=n!
定义 7.5.2 给定集合 X且 pi,pj∈ PX,由 X的元素先进行置换 pi后继之作置换 pj所得到的置换,
表为 pi◇ pj,称 pi◇ pj是置换 pi和 pj的复合,◇ 是复合置换运算 。
可以看出,若把置换看成一种特殊关系时,
复合置换 pi◇ pj就是复合关系 piopj,常称之右复合；又若把置换看成函数时,那么复合置换又可表成如下的复合函数即所谓左复合：
pi◇ pj=pj o pi,其中 o表示函数的复合于是,对于 x∈ X有：
(pi◇ pj)(x)=(pj o pi)(x)=pj(pi(x))
由定义 7.5.1可知，置换即是双射，亦即 1-1
函数，故 PX中的元素满足下列四个性质：
(1)
(?p1)(?p2)(p1,p2?PX?p1◇ p2?PX?p2◇ p1?P
X)
(2)
(?p1)(?p2)(?p3)(p1,p2,p3?PX?(p1◇ p2)◇ p3=
p1◇ (p2◇ p3))
(3)
(?pe)(pe?PX?(?p)(p?PX?pe◇ p=p◇ pe=p))
(4)
(?p)(p?PX?(?p-1)(p-1?PX?p◇ p-1=p-1◇ p=pe))
(1)表明 PX对于◇是封闭的； (2)表明 PX对于
◇是可结合的； (3)表明 PX中有幺置换； (4)表明
PX中每个置换都有反置换。因此，可知 <PX,◇ >
是一个群，并称它为对称群，习惯上记为
<S|X|,◇ >。若 Q?PX=S|X|，则称由 Q和◇构成的群 <Q,◇ >为置换群。
对称群 <S3,◇ >独立于集合 X中各个元素,
但却依赖于集合 X中的元素个数 。 这就是说,任何三个其它元素的集合都会生成,同样,的置换,这 就 是 为 什 么 将 对 称 群 <PX,◇ > 写成
<S|X|,◇ >,即 <S3,◇ >的理由 。 此外,把集合 X的基数称为对称群 <S3,◇ >的次数 。 因此,<S3,◇ >
是三次六阶群,因为 |S3|=3!=6。
一般地说来，由 n个元素的集合而构成的所有 n!个 n阶置换的集合 Sn与复合置换运算◇构成群 <Sn,◇ >，它便 n次 n!阶对称群。
应该注意，置换群一般都不是对称群，因为它并不要求一定要包括全部给定阶的置换。
例如，三次置换群 <{p1,p2},◇ >和 <{p1,p5,p6},◇ >
都不是对称群，其中 p1,p2,p5,p6?S3。
若说置换是个关系即有序对集合，那么由置换和◇构成置换群，它会确立怎样的二元关系呢？下面就来回答这个问题。
定义 7.5.3 令 <Q，◇ >是一置换群且 Q?S|X|。
称 R={<a,b＞ |a,b∈ X∧ p∈ Q∧ p(a)=b}为由
<Q，◇ >所诱导的 X上的二元关系。
定理 7.5.2 由置换群 <Q,◇ >诱导的 X上的二元关系是一等价关系 。
定理 7.5.3 在有限群 <G,⊙ >中,每行或每列都是 G中元素的置换 。
一阶群仅有幺元,即 <{e},⊙ >。
二阶群除幺元 e外,还有一个元素,比如 a，
则有 <{e,a},⊙ >,其运算表如表 7.5.2。 由定理 7.5.3可知,不可能再有其它运算表 。 在此预先指出,所有的二阶群都与该群 <{e,a},⊙ >
同构 。
三阶群，可令 <{e,a,b},⊙ >，其运算表如表 7.5.3。由定理 7.5.3知，不可能再有别的运算表。同样，任何三阶群都与它同构。
从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群都是 Abel群。事实上，四、五阶群也是 Abel群，
但六阶群未必都是 Abel群。
上面讲了由有限集合 X到 X的双射即置换,
以及置换群；下面不再限于 X是有限集,换言之,
它可以是个无穷集 。 这时从集合 X到 X的双射,
称之为一一变换或变换 。 如果令 TX表示所有从集合 X到 X的变换的集合,则显然有 TX?XX,并且 TX类似 PX所具有的四条性质,具体如下：
(1) (?f)(?g)(f,g?TX?fog,gof?TX)
(2) (?f)(?g)(?h)(f,g,h?TX?(fog)oh=fo(goh)
(3) (?i)(i?TX?(?f)(f?TX?iof=foi=f
(4) (?f)(f?TX?(?f-1)(f-1?TX?fof-1=f-1of=i))
因而，可证 <TX,o>构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。
请注意，由 TX中的一些变换与运算 o构成的群，都称为变换群，而 <TX,o>只不过是个特殊情形而已。
最后，介绍循环群。
定义 7.5.4 给定群 <G,⊙ >及 I为整数集合，
若 (?g)(g∈ G∧ (?a)(a∈ G)→(?n)(n∈ I∧ a=gn)))，
则称 <G,⊙ >是循环群。同时也可说循环群 <G，
⊙ >是由 g生成的,g是循环群 <G,⊙ >的生成元。
定义 7.5.5 设 g生成循环群 <G,⊙ >且 I+是正整数集合,则 g的周期或阶为 n:=(?k)(k∈ I+∧
{gk=e}=n),如果这样 n不存在,则称 g的周期为无穷 。
定理 7.5.4 每个循环群都是 Abel群 。
定理 7.5.5 设 <G,⊙ >是 g生成的有限循环群,如果 |G|=n,则 gn=e,G={g,g2,…,gn=e}
及 {gk=e}=n,并且把 n称为循环群 <G,⊙ >
的周期 。
7.6 子群与陪集子群概念,类似于子群和子独异点 。
定义 7.6.1 给定群 <G,⊙ >及非空集合 H?G，
若 <H,⊙ >是群,则称 <H,⊙ >为群 <G,⊙ >的子群 。 显然,<{e},⊙ >和 <G,⊙ >都是 <G，
⊙ >的子群,并且分别是 <G,⊙ >的,最小,和
,最大,的子群,这对任何群来说,都有这样的子群,因此称为平凡子群,而其余子群称为真子群 。
群与其子群有如下的明显性质：
定理 7.6.1 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群?eH=eG,其中 eH和 eG分别是 <H,⊙ >
和 <G,⊙ >的幺元,即群与其子群具有相同幺元 。
下面给出关于子群充要条件的定理 。
定理 7.6.2 给定群 <G,⊙ >及非空 H?G,则
<H,⊙ >是 <G,⊙ >的子群?(?a)(?b)(a，
b∈ H→
a⊙ b∈ H)∧ (?a)(a∈ H→ a-1∈ H)
本定理表明 <H,⊙ >为 <G,⊙ >的子群的充要条件是 H对于 ⊙ 封闭及 H中每个元素存在逆元 。
定理 7.6.3 给定群 <G,⊙ >及非空 H?G,则
<H,⊙ >是 <G,⊙ >的子群?(?a)(?b)(a，
b∈ H→ a⊙ b-1∈ H)
定理 7.6.4 给定群 <G,⊙ >及非空有限集
H?G,则
<H,⊙ > 是 <G,⊙ > 的 子 群
(?a)(?b)(a,b∈ H→ a⊙ b∈ H)
定义 7.6.2 群 <G,⊙ >的中心为一集合，记作 cent G,cent G
:={a|a∈ G∧ (?x)(x∈ G→ a⊙ x=x⊙ a)}。
可见,cent G包含了所有与 G中的每个元素皆可交换的元素。并且显然若 <G,⊙ >为群，
则 <G,⊙ >是 Abel群，当且仅当 cent G=G。
定理 7.6.5 <cent G,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群定理 7.6.6 若 <G1,⊙ >和 <G2,⊙ >都是群
<G,⊙ >的子群,则 <G1∩G2,⊙ >也是群 <G，
⊙ >的子群 。
确定已知群的全部子群,一般来说是很困难的,但对于循环群而言,却是容易办到的,
这可由下面定理得出：
定理 7.6.7 循环群 <G,⊙ >的任何子群都是循环群 。
定义 7.6.3 令 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群且 a∈ G,则把下面集合：
a⊙ H={a⊙ h|h∈ H}
称为由元素 a所确定的群 <G,⊙ >中的 H的左陪集,或简称为左陪集并简记 aH。 此外,称
a是左陪集 aH的代表元素 。
类似地可定义由 a所确定群 <G,⊙ >中的 H
的右陪集 Ha。
显然，若 <G,⊙ >是 Abel群，并且 <H，
⊙ >是其子群，则 aH=Ha，即任意元素的左陪集等于其右陪集。
定义 7.6.4 给定群 <G,⊙ >，子群 <H,⊙ >
的左陪集关系，记作，其定义为：,={<a,b＞ |a，
b∈ G∧ b-1⊙ a∈ H}。
根据左陪集的定义,可得到下列结论：
(1) 若 <H,⊙ >为群 <G,⊙ >的子群,则 H
为 <G,⊙ >中的左陪集 。
因为若 e 是 <G,⊙ > 的幺元,则
e⊙ H={e⊙ h|h?H|=H。
(2) 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，对任意 a∈ G，则 a∈ aH。
因为 e?H，故 a=a⊙ e?aH。
(3) 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，则 H
的每个左陪集与 H势等。
令 f?(aH)H如下：
f(h)=a⊙ h,其中 h?H
则 f是双射。
满射是显然的，下面再证它是单射。
若 a⊙ h1=a⊙ h2,h1,h2?H，则根据群的可约律知 h1=h2，即 f(h1)=f(h2)导出 h1=h2。
对于右陪集有同样结论,不重复了 。
下面介绍有关左陪集的定理 。
定理 7.6.8 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 aH=H?a∈ H。
定理 7.6.9 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 aH=bH?b-1⊙ a∈ H
推论 左陪集 aH中的任何元素 a1均可决定该陪集,或者说,陪集中的每个元素都可作为陪集的代表 。
因为若 a1?aH,则存在 h1?H,使得
a1=a⊙ h1,于是 a-1⊙ a1=h1?H。
再根据定理 7.6.9知,a1H=aH。
定理 7.6.10 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则或者 aH∩bH=?或者 aH=bH。
由于 G中每个元素 a必在 H的左陪集 aH中,
从定理 7.6.10又知道,G中每个元素恰好能属于
H的某个左陪集中 。 因此 H的左陪集簇构成 G的划分,而且划分中每个块与 H具有相同的元素个数 。 因此可得下面定理：
定理 7.6.11 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 <G,⊙ >中的 H的左陪集簇构成 G的一种划分 。 并且称它为 G的对于 H的左陪集划分 。
假若群 <G,⊙ >为有限群,其子群是 <H，
⊙ >,且 |G|=n,|H|=m,则 G的对于 H的左陪集划分可表为 G=a1H∪ a2H∪ ··∪ akH,其中 k为不同的左陪集个数,称为 H在 G中的指标,由于每个左陪集皆有 m个元素,故 G具有 km个元素,
即 n=mk,这便得到著名拉格朗日 (J.L.Lagrange)
定理：
定理 7.6.12 若 <H,⊙ >是有限群 <G，
⊙ >的子群，且 |G|=n,|H|=m，则 n=mk，
其中 k∈ I+,I+是正整数集合。
本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。
推论 任何其阶为素数的有限群必无真子群。
最后应用陪集概念来定义一个子群，
它是非常重要的子群 —— 正规子群或不变子群。
定义 7.6.5 设 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，
若对于 G中任意元 a，有 aH=Ha，则称 <H,⊙ >
是群 <G,⊙ >的正规子群。
由本定义可知，每个 Abel群的子群均为正规子群。
请注意，正规子群 <H,⊙ >导出可交换性是比较弱的。这是因为，若 h∈ H，并非总有
a⊙ h=h⊙ a，而仅仅知道必存在 h1,h2∈ H，使得 a⊙ h1=h2⊙ a。
下面定理提供了简便的手段判定一已知子群是否为正规子群,它很有用途 。
定理 7.6.13 给定群 <G,⊙ >的子群 <H，
⊙ >,它 是 群 <G,⊙ > 的 正 规 子 群
(?a)(a∈ G→ aHa-1?H)。
本节一开始已讨论了,一个群的子群所确定的左陪集关系是等价关系 。 一般地说,它未必是同余关系,那么自然会问,满足怎样的条件才能是同余关系呢？ 下面定理回答了这个问题 。
定理 7.6.14 群 <G,⊙ >的正规子群 <H，
⊙ >所确定的左 (或右 )陪集关系 (或 )
是同余关系 。
7.7 群的同态与同构本节中,将同态与同构概念作用于群,便导出群的同态和同构 。
定义 7.7.1 给定群 <G,⊙ >和群 <H,○ >，
则群 <G,⊙ >? 群 <H,
○ >:=(?g)(g∈ HG∧ (?a)(?b)(a,
b∈ G→ g(a⊙ b)=g(a) ○ g(b))),并称 g为从群 <G，
⊙ >到群 <H,⊙ >的群同态映射 。
群同态有很好的性质，它保持幺元、逆元和子群，请看下面定理：
定理 7.7.1 设 g为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群同态映射，则
(1) 若 eG和 eH分别为两群的幺元，那么，
g(eG)=eH。
(2) 若 a∈ G，那么,g(a-1)=(g(a))-1。
(3) 若 <S,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群且
g(S)={g(a)|a∈ S}，那么,<g(S)，○ >为群 <H，
○ >的子群。
定理 7.7.2 给定群 <G,⊙ >和代数系统 <H，
○ >,若 g是从群 <G,⊙ > <H,○ >的满同态映射,则 <H,○ >为群 。
同半群,独异点类似,可根据 g是单射,满射和双射,群同态分别称为群单一同态映射,
群满同态映射和群同构映射 。
群自同态和群自同构也类似于半群自同态和半群自同构进行定义 。
定义 7.7.2 设 f是从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群同态映射,eH为 <H,⊙ >的幺元,记
Kf={k|f(k)=eH∧ k∈ G},称 Kf为群同态映射 f的核 。
显然,Kf≠?,因为 eG∈ Kf。
定理 7.7.3 若 f是从 <G,⊙ >到 <H,○ >的群同态映射,则 <Kf,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群 。
显然,同态映射未必是一对一的,但发现一对一的群同态映射的核有一简单特性 。
定理 7.7.4 设 f是从 <G,⊙ >到 <H，
○ > 的群同态映射,则 f 是一对一的
Kf={eG}。
定理 7.7.5 设 f是从 <G,⊙ >到 <H,○ >的群同态映射,为由同态 f的核 Kf所确定的陪集关系,则 a b?f(a)=f(b),其中 a,b∈ G。
本定理表明,群同态 f的核 Kf所确定的陪集关系与以前所述的同态 f所诱导同余关系 Ef是一致的 。
定理 7.7.6 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群且 g∈ (G/CH)G:g(a)=,则 g为从 <G,⊙ >到 <G/CH,?>的群同态映射,
通常称它为群自然同态映射 。 与此同时
Kg= 。
定理 7.7.7 设 f为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群满同态映射,为同态映射 f的核 Kf所确定的陪集关系，且 为从 <G,⊙ >到 <G/,
>的群自然同态，则 <G/,?>?<H，○ >。
值得注意的是,对于定理 10.7.6和定理
10.7.7可以通过另一途径给出与其等价形式 。
若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群，则在 <G,⊙ >中利用 H的不同陪集构造新集合记作
G/H:G/H={aH|a∈ G}，再在 G/H中定义运算?：
aH?bH=(a⊙ b)H。
可证该定义运算?仅依赖陪集而与从中选出元素无关。进而证明 <G/H,?>是群。于是能够得到下面两定理。
定理 7.7.6* 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群，定义 g∈ (G/H)G:g(a)=aH，则 g是从 <G，
⊙ >到 <G/H,?>的群同态映射且 Kg=H。
定理 7.7.7* 若 f为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的满同态映射,Kf为同态映射 f的核，则
<G/Kf,?>?<H，○ >。
最后再介绍两个定理，实则是一个定理来结束本节。
对于任何一个群 <G,⊙ >，由恒等映射
f(x)=x,x∈ G，显然 <G,⊙ >?<G,⊙ >。自然会想到，群 <G,⊙ >是否还与除自身外的其它群同构呢?1854年,A.Cayley回答了这个问题，
即所谓群的表示定理。
定理 7.7.8 任何群均与一个变换群同构。
对于有限群,也能类似地证明下面结果：
定理 7.7.9 每个 n阶有限群均与一个 n阶置换群同构 。
把积代数概念应用群上,便产生积群 。 由此可知,两个或更多个群能产生更高阶的积群,
这部分几乎与积半群完全相同 。
7.1 半群和独异点的定义及其性质
7.2 半群和独异点的同态与同构
7.3 积半群
7.4 群的基本定义与性质
7.5 置换群和循环群
7.6 子群与陪集
7.7 群的同态与同构退出
7.1 半群和独异点的定义及其性质定义 7.1.1 给定 <S,⊙ >,若 ⊙ 满足结合律,
则称 <S,⊙ >为半群 。
可见,半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构 。
定义 7.1.2 定 <M,○ >,若 <M,○ >是半群且 ○ 有幺元或 ○ 满足结合律且拥有幺元,则称
<M,○ >为独异点 。
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元 e，独异点表为 <M，○,e>。
如果半群 <S,⊙ >中的集合 S是有限的,则称半群为有限半群,对于有限半群可以给出下面有趣定理 。
定理 7.1.1 <S,⊙ > 为有限半群
(?x)(x∈ S∧ x⊙ x=x)
本定理告诉我们,有限半群存在等幂元 。
定义 7.1.3 给定半群 <S,⊙ >,若 ⊙ 是可交换的,则称 <S,⊙ >是可交换半群 。 类似地可定义可交换独异点 <M,○,e>。
定义 7.1.4 给定半群 <S,⊙ >和 g∈ S,以及自然数集合 N,则
g 为 <S,⊙ > 的 生 成元,=(?x)(x∈ S→(?n)(n∈ N∧ x=gn))
此时也说,元素 g生成半群 <S,⊙ >,而且称该半群为循环半群 。
类似地定义独异点 <M,○,e>的生成元 g
和循环独异点,并且规定 g0=e。
定理 7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。
可见,○ 是可交换的,故 <M,○,e>是可交换的 。 显然,每个循环半群也是可交换的 。
对于生成元的概念加以推广便得出生成集的概念 。
定义 7.1.5 给定半群 <S,⊙ >及 G?S，则
G为 <S,⊙ >的生成集,=(?a)(a∈ S→ a=⊙ (G))∧ |G|
这里 ⊙ (G)表示用 G中的元素经 ⊙ 的复合而生成的元素。
类似地定义独异点 <M，○,e>的生成集。
定义 7.1.6 给定半群 <S,⊙ >及非空集 T?S，
若 T对 ⊙ 封闭,则称 <T,⊙ >为 <S,⊙ >的子半群 。
类似地定义独异点 <M,○,e>的子独异点
<P,○,e>,应注意的是 e∈ P。
定理 7.1.3 给定半群 <S,⊙ >及任意 a∈ S，
则 <{a,a2,a3,… },⊙ >是循环子半群。
显然,a是 <{a,a2,a3,… },⊙ >的生成元。故 <{a,a2,a3,… },⊙ >是循环子半群。
定理 7.1.4 给定可交换独异点 <M,○,e>，
若 P为其等幂元集合,则 <P,○,e>为子独异点 。
定理 7.1.5 设 <M,○,e>为独异点,则关于 ○ 的运算表中任两列或任两行均不相同 。
定理 7.1.6 给定独异点 <M，○,e>，对任意 a,b∈ M且 a,b均有逆元，则
(1) (a-1)-1=a。
(2) a○ b有逆元，且 (a○ b)-1=b-1○ a-1。
7.2 半群和独异点的同态与同构在本节里,将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点 。 有些定义与性质,几乎完全就是平行地搬过来 。
主要内容如下：
定义 7.2.1 给定两个半群 <S,⊙ >与 <T，
○ >，则半群 <S,⊙ >?半群 <T，
○ >:=(?f)(f∈ TS∧ (?x)(?y)(x，
y∈ S→ f(x⊙ y)=f(x) f(y))
并称 f为从 <S,⊙ >到 <T，○ >的半群同态映射。
由定义可以知道，半群同态映射 f可以不是唯一的。
与前面的定义类似，根据半群同态映射 f是单射 (一对一 )、满射、双射，把半群同态映射 f
分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群同构映射。
如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。
由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。
下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。
定理 7.2.1 如果 f为从 <S,⊙ >到 <T，○ >的半群同态映射，对任意 a∈ S且 a⊙ a=a，则
f(a)○ f(a)=f(a)。
由于半群同态映射是个函数，因此可对半群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群同态映射。请看如下定理：
定理 7.2.2 如果 g是从 <S,⊙ >到 <T，☆ >的半群同态映射,h是从 <T，☆ >到 <U，○ >的半群同态映射，则 h o g是从 <S,⊙ >到 <U，○ >的半群同态映射。
定义 7.2.2 若 g是从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群同态映射,则称 g为半群自同态映射；若 g是从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群同构映射,则称 g
为半群自同构映射 。
定理 7.2.3 给定半群 <S,⊙ >，如果 A={g|g
为 <S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群自同态映射 }且 o是函数复合运算，则 <A,o>为半群。
由于恒等映射 i是复合运算 o的幺元,因此可得下面定理：
定理 7.2.4 给定半群 <S,⊙ >，若 B={h|h为
<S,⊙ >到 <S,⊙ >的半群自同构映射 },o为函数复合运算，则 <B,o,i>是独异点。
定理 7.2.5 给定半群 <S,⊙ >，又 <SS,o>
是从 S到 S的所有函数在复合运算 o下构成的函数半群，则存在从 <S,⊙ >到 <SS,o>的半群同态映射 g，或者说 <S,⊙ >半群同态于 <SS,o>。
上面介绍半群同态及有关定理 。 下面接着来讨论独异点之间的同态及其有关定理 。
定义 7.2.3 给定独异点 <M,⊙,eM>和 <T，
○,eT>,则
<M,⊙,eM>?<T,○,eT>
:=(?g)(g∈ TM∧ (?x)(?y)(x,y∈ M→ g(x⊙ y)
=g(x) ○ g(y))∧ g(eM)=eT
并称 g为从 <M,⊙,eM>到 <T,○,eT>的独异点同态映射 。
注意，独异点同态区别半群同态就在于保持幺元，即 g(eM)=eT。因此，半群同态未必是独异点同态，反之都真。
对于独异点满同态,独异点单同态,独异点同构,以及独异点满同态保持运算性质等,
这里也一并略去了 。 下面给出一个有关同构的定理以结束本节 。
定理 7.2.6 给定独异点 <M,⊙ >，则存在 T?MM，使 <M,⊙ >?<T,o>。
本定理表明,一个独异点可与复合运算下的函数独异点同构 。
7.3 积半群把积代数方法应用于特殊一类代数结构：半群,便产生积半群 。
定义 7.3.1 给定两个半群 <S,⊙ >和 <T，
○ >。称 <S× T,?>为 <S,⊙ >和 <T，○ >的积半群，其中 S× T为集合 S与 T的笛卡儿积，运算
定义如下：
<s1,t1>?<s2,t2>=<s1⊙ s2,t1○ t2>，其中
s1,s2∈ S,t1,t2∈ T
由于运算?是经 ⊙ 和○定义的，易知，积半群是个半群。
不难证明下列定理：
定理 7.3.1 若半群 <S,⊙ >和 <T，○ >是可交换的，则 <S× T,?>也是可交换的。
定理 7.3.2 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 e1和 e2分别是它们的幺元，则积半群 <S× T，
>含有幺元 <e1,e2>。换言之，若 <S,⊙,e1>和
<T，○,e2>是独异点，则 <S× T,?,<e1，
e2>>是独异点。
定理 7.3.3 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 θ1和 θ2分别为它们的零元，则积半群 <S× T，
>含有零元 <θ1,θ2>。
定理 7.3.4 给定半群 <S,⊙ >和 <T，○ >，
且 s∈ Ｓ 的逆元 s-1,t∈ T的逆元 t-1，则积半群
<S× T,?>中 <s,t>的逆元是 <s-1,t-1>。
7.4 群的基本定义与性质定义 7.4.1 给定 <G,⊙ >,若 <G,⊙ >是独异点且每个元素存在逆元,或者 ① ⊙ 是可结合的,② 关于 ⊙ 存在幺元,③ G中每个元素关于 ⊙
是可逆的,则称 <G,⊙ >是群 。
可见,群是独异点的特例,或者说,群比独异点有更强的条件 。
定义 7.4.2 给定群 <G,⊙ >,若 G是有限集,则称 <G,⊙ >是有限群 。 并且把 G
的基数称为该有限群的阶数,若集合 G是无穷的,则称 <G,⊙ >为无穷群 。
由群的定义可知，群具有半群和独异点的性质，这里不再重复罗列了，而且群还有自己独特的性质，仅此讨论如下：
定理 7.4.1 <G,⊙ >是群 ∧ |G|＞ 1?<G，
⊙ >无零元。
定理 7.4.2 <G,⊙ >是群?<G,⊙ >中的唯一等幂元是幺元 。
定理 7.4.3 给定群 <G,⊙ >,则有
(?a)(?b)(?c)(a,b,
c∈ G∧ ((a⊙ b=a⊙ c∨ b⊙ a=c⊙ a)→ b=c))
即群满足可约律 。
定理 7.4.4 给定群 <G,⊙ >，则
(?a)(?b)(a，
b∈ G→((?!x)(x∈ G∧ a⊙ x=b)∨ (?!y)(y∈ G∧ y⊙
a=b))
(?a)(?b)(a,b∈ G→(?!x)(?!y)(x，
y∈ G∧ (a⊙ x=b∨ y⊙ a=b))
即群中方程解是唯一的。
定理 7.4.5 <G,⊙ >是群?(?a)(?b)(a，
b∈ G→( a⊙ b)-1=b-1⊙ a-1)
定义 7.4.3 给定群 <G,⊙ >,若 ⊙ 是可交换的,则称 <G,⊙ >是可交换群或 <G,⊙ >是 Abel
群 。
定理 7.4.6 给定群 <G,⊙ >,则
<G,⊙ > 为 Abel 群? (?a)(?b)(a,
b∈ G→( a⊙ b)2=a2⊙ b2
定义 7.4.4 给定群 <G,⊙ >,且 a∈ G，
幺元 e,则 a的阶或周期为 n:=(?k)(k∈ I+∧
{ak=e}=n),并称 a的阶是有限的；
否则,a的阶是无穷的 。
定理 7.4.7 给定群 <G,⊙ >,且 a∈ G的阶 n
是有限的,则
(?m)(m∈ I+∧ k=mn)?ak=e
推论,若 an=e且没有 n的因子 d(1＜ d＜ n)使
ad=e,则 n为 a的阶 。
定理 7.4.8 给定群 <G,⊙ >及 a∈ G,则 a与
a-1具有相同的阶 。
7.5 置换群和循环群本节里,将讨论群论中两种常见而又重要的群：置换群和循环群,特别在研究群的同构群时,置换群扮演着极重要的角色 。
在正式讨论置换群以前,需要先作些必要的准备 。
定义 7.5.1 令 X是非空有穷集合,从 X到 X的双射,称为集合 X中的置换,并称 |X|为置换的阶 。
若 X={x1,x2,…,xn},则 n阶置换表为并称为置换中的反置换，记为 p-1。特别把置换称为 X中的幺置换或恒等置换,记为 pe。
此外，用 PX表示集合 X中的所有置换的集合。
为了说明 n个元素的集合可以有多少不同的置换，特给出如下定理：
定理 7.5.1 若 X={x1,x2,…,xn},则
|PX|=n!
定义 7.5.2 给定集合 X且 pi,pj∈ PX,由 X的元素先进行置换 pi后继之作置换 pj所得到的置换,
表为 pi◇ pj,称 pi◇ pj是置换 pi和 pj的复合,◇ 是复合置换运算 。
可以看出,若把置换看成一种特殊关系时,
复合置换 pi◇ pj就是复合关系 piopj,常称之右复合；又若把置换看成函数时,那么复合置换又可表成如下的复合函数即所谓左复合：
pi◇ pj=pj o pi,其中 o表示函数的复合于是,对于 x∈ X有：
(pi◇ pj)(x)=(pj o pi)(x)=pj(pi(x))
由定义 7.5.1可知，置换即是双射，亦即 1-1
函数，故 PX中的元素满足下列四个性质：
(1)
(?p1)(?p2)(p1,p2?PX?p1◇ p2?PX?p2◇ p1?P
X)
(2)
(?p1)(?p2)(?p3)(p1,p2,p3?PX?(p1◇ p2)◇ p3=
p1◇ (p2◇ p3))
(3)
(?pe)(pe?PX?(?p)(p?PX?pe◇ p=p◇ pe=p))
(4)
(?p)(p?PX?(?p-1)(p-1?PX?p◇ p-1=p-1◇ p=pe))
(1)表明 PX对于◇是封闭的； (2)表明 PX对于
◇是可结合的； (3)表明 PX中有幺置换； (4)表明
PX中每个置换都有反置换。因此，可知 <PX,◇ >
是一个群，并称它为对称群，习惯上记为
<S|X|,◇ >。若 Q?PX=S|X|，则称由 Q和◇构成的群 <Q,◇ >为置换群。
对称群 <S3,◇ >独立于集合 X中各个元素,
但却依赖于集合 X中的元素个数 。 这就是说,任何三个其它元素的集合都会生成,同样,的置换,这 就 是 为 什 么 将 对 称 群 <PX,◇ > 写成
<S|X|,◇ >,即 <S3,◇ >的理由 。 此外,把集合 X的基数称为对称群 <S3,◇ >的次数 。 因此,<S3,◇ >
是三次六阶群,因为 |S3|=3!=6。
一般地说来，由 n个元素的集合而构成的所有 n!个 n阶置换的集合 Sn与复合置换运算◇构成群 <Sn,◇ >，它便 n次 n!阶对称群。
应该注意，置换群一般都不是对称群，因为它并不要求一定要包括全部给定阶的置换。
例如，三次置换群 <{p1,p2},◇ >和 <{p1,p5,p6},◇ >
都不是对称群，其中 p1,p2,p5,p6?S3。
若说置换是个关系即有序对集合，那么由置换和◇构成置换群，它会确立怎样的二元关系呢？下面就来回答这个问题。
定义 7.5.3 令 <Q，◇ >是一置换群且 Q?S|X|。
称 R={<a,b＞ |a,b∈ X∧ p∈ Q∧ p(a)=b}为由
<Q，◇ >所诱导的 X上的二元关系。
定理 7.5.2 由置换群 <Q,◇ >诱导的 X上的二元关系是一等价关系 。
定理 7.5.3 在有限群 <G,⊙ >中,每行或每列都是 G中元素的置换 。
一阶群仅有幺元,即 <{e},⊙ >。
二阶群除幺元 e外,还有一个元素,比如 a，
则有 <{e,a},⊙ >,其运算表如表 7.5.2。 由定理 7.5.3可知,不可能再有其它运算表 。 在此预先指出,所有的二阶群都与该群 <{e,a},⊙ >
同构 。
三阶群，可令 <{e,a,b},⊙ >，其运算表如表 7.5.3。由定理 7.5.3知，不可能再有别的运算表。同样，任何三阶群都与它同构。
从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群都是 Abel群。事实上，四、五阶群也是 Abel群，
但六阶群未必都是 Abel群。
上面讲了由有限集合 X到 X的双射即置换,
以及置换群；下面不再限于 X是有限集,换言之,
它可以是个无穷集 。 这时从集合 X到 X的双射,
称之为一一变换或变换 。 如果令 TX表示所有从集合 X到 X的变换的集合,则显然有 TX?XX,并且 TX类似 PX所具有的四条性质,具体如下：
(1) (?f)(?g)(f,g?TX?fog,gof?TX)
(2) (?f)(?g)(?h)(f,g,h?TX?(fog)oh=fo(goh)
(3) (?i)(i?TX?(?f)(f?TX?iof=foi=f
(4) (?f)(f?TX?(?f-1)(f-1?TX?fof-1=f-1of=i))
因而，可证 <TX,o>构成群，在代数中称为变换群，显然，置换群是变换群的特例。
请注意，由 TX中的一些变换与运算 o构成的群，都称为变换群，而 <TX,o>只不过是个特殊情形而已。
最后，介绍循环群。
定义 7.5.4 给定群 <G,⊙ >及 I为整数集合，
若 (?g)(g∈ G∧ (?a)(a∈ G)→(?n)(n∈ I∧ a=gn)))，
则称 <G,⊙ >是循环群。同时也可说循环群 <G，
⊙ >是由 g生成的,g是循环群 <G,⊙ >的生成元。
定义 7.5.5 设 g生成循环群 <G,⊙ >且 I+是正整数集合,则 g的周期或阶为 n:=(?k)(k∈ I+∧
{gk=e}=n),如果这样 n不存在,则称 g的周期为无穷 。
定理 7.5.4 每个循环群都是 Abel群 。
定理 7.5.5 设 <G,⊙ >是 g生成的有限循环群,如果 |G|=n,则 gn=e,G={g,g2,…,gn=e}
及 {gk=e}=n,并且把 n称为循环群 <G,⊙ >
的周期 。
7.6 子群与陪集子群概念,类似于子群和子独异点 。
定义 7.6.1 给定群 <G,⊙ >及非空集合 H?G，
若 <H,⊙ >是群,则称 <H,⊙ >为群 <G,⊙ >的子群 。 显然,<{e},⊙ >和 <G,⊙ >都是 <G，
⊙ >的子群,并且分别是 <G,⊙ >的,最小,和
,最大,的子群,这对任何群来说,都有这样的子群,因此称为平凡子群,而其余子群称为真子群 。
群与其子群有如下的明显性质：
定理 7.6.1 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群?eH=eG,其中 eH和 eG分别是 <H,⊙ >
和 <G,⊙ >的幺元,即群与其子群具有相同幺元 。
下面给出关于子群充要条件的定理 。
定理 7.6.2 给定群 <G,⊙ >及非空 H?G,则
<H,⊙ >是 <G,⊙ >的子群?(?a)(?b)(a，
b∈ H→
a⊙ b∈ H)∧ (?a)(a∈ H→ a-1∈ H)
本定理表明 <H,⊙ >为 <G,⊙ >的子群的充要条件是 H对于 ⊙ 封闭及 H中每个元素存在逆元 。
定理 7.6.3 给定群 <G,⊙ >及非空 H?G,则
<H,⊙ >是 <G,⊙ >的子群?(?a)(?b)(a，
b∈ H→ a⊙ b-1∈ H)
定理 7.6.4 给定群 <G,⊙ >及非空有限集
H?G,则
<H,⊙ > 是 <G,⊙ > 的 子 群
(?a)(?b)(a,b∈ H→ a⊙ b∈ H)
定义 7.6.2 群 <G,⊙ >的中心为一集合，记作 cent G,cent G
:={a|a∈ G∧ (?x)(x∈ G→ a⊙ x=x⊙ a)}。
可见,cent G包含了所有与 G中的每个元素皆可交换的元素。并且显然若 <G,⊙ >为群，
则 <G,⊙ >是 Abel群，当且仅当 cent G=G。
定理 7.6.5 <cent G,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群定理 7.6.6 若 <G1,⊙ >和 <G2,⊙ >都是群
<G,⊙ >的子群,则 <G1∩G2,⊙ >也是群 <G，
⊙ >的子群 。
确定已知群的全部子群,一般来说是很困难的,但对于循环群而言,却是容易办到的,
这可由下面定理得出：
定理 7.6.7 循环群 <G,⊙ >的任何子群都是循环群 。
定义 7.6.3 令 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群且 a∈ G,则把下面集合：
a⊙ H={a⊙ h|h∈ H}
称为由元素 a所确定的群 <G,⊙ >中的 H的左陪集,或简称为左陪集并简记 aH。 此外,称
a是左陪集 aH的代表元素 。
类似地可定义由 a所确定群 <G,⊙ >中的 H
的右陪集 Ha。
显然，若 <G,⊙ >是 Abel群，并且 <H，
⊙ >是其子群，则 aH=Ha，即任意元素的左陪集等于其右陪集。
定义 7.6.4 给定群 <G,⊙ >，子群 <H,⊙ >
的左陪集关系，记作，其定义为：,={<a,b＞ |a，
b∈ G∧ b-1⊙ a∈ H}。
根据左陪集的定义,可得到下列结论：
(1) 若 <H,⊙ >为群 <G,⊙ >的子群,则 H
为 <G,⊙ >中的左陪集 。
因为若 e 是 <G,⊙ > 的幺元,则
e⊙ H={e⊙ h|h?H|=H。
(2) 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，对任意 a∈ G，则 a∈ aH。
因为 e?H，故 a=a⊙ e?aH。
(3) 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，则 H
的每个左陪集与 H势等。
令 f?(aH)H如下：
f(h)=a⊙ h,其中 h?H
则 f是双射。
满射是显然的，下面再证它是单射。
若 a⊙ h1=a⊙ h2,h1,h2?H，则根据群的可约律知 h1=h2，即 f(h1)=f(h2)导出 h1=h2。
对于右陪集有同样结论,不重复了 。
下面介绍有关左陪集的定理 。
定理 7.6.8 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 aH=H?a∈ H。
定理 7.6.9 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 aH=bH?b-1⊙ a∈ H
推论 左陪集 aH中的任何元素 a1均可决定该陪集,或者说,陪集中的每个元素都可作为陪集的代表 。
因为若 a1?aH,则存在 h1?H,使得
a1=a⊙ h1,于是 a-1⊙ a1=h1?H。
再根据定理 7.6.9知,a1H=aH。
定理 7.6.10 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则或者 aH∩bH=?或者 aH=bH。
由于 G中每个元素 a必在 H的左陪集 aH中,
从定理 7.6.10又知道,G中每个元素恰好能属于
H的某个左陪集中 。 因此 H的左陪集簇构成 G的划分,而且划分中每个块与 H具有相同的元素个数 。 因此可得下面定理：
定理 7.6.11 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群,则 <G,⊙ >中的 H的左陪集簇构成 G的一种划分 。 并且称它为 G的对于 H的左陪集划分 。
假若群 <G,⊙ >为有限群,其子群是 <H，
⊙ >,且 |G|=n,|H|=m,则 G的对于 H的左陪集划分可表为 G=a1H∪ a2H∪ ··∪ akH,其中 k为不同的左陪集个数,称为 H在 G中的指标,由于每个左陪集皆有 m个元素,故 G具有 km个元素,
即 n=mk,这便得到著名拉格朗日 (J.L.Lagrange)
定理：
定理 7.6.12 若 <H,⊙ >是有限群 <G，
⊙ >的子群，且 |G|=n,|H|=m，则 n=mk，
其中 k∈ I+,I+是正整数集合。
本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。
推论 任何其阶为素数的有限群必无真子群。
最后应用陪集概念来定义一个子群，
它是非常重要的子群 —— 正规子群或不变子群。
定义 7.6.5 设 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群，
若对于 G中任意元 a，有 aH=Ha，则称 <H,⊙ >
是群 <G,⊙ >的正规子群。
由本定义可知，每个 Abel群的子群均为正规子群。
请注意，正规子群 <H,⊙ >导出可交换性是比较弱的。这是因为，若 h∈ H，并非总有
a⊙ h=h⊙ a，而仅仅知道必存在 h1,h2∈ H，使得 a⊙ h1=h2⊙ a。
下面定理提供了简便的手段判定一已知子群是否为正规子群,它很有用途 。
定理 7.6.13 给定群 <G,⊙ >的子群 <H，
⊙ >,它 是 群 <G,⊙ > 的 正 规 子 群
(?a)(a∈ G→ aHa-1?H)。
本节一开始已讨论了,一个群的子群所确定的左陪集关系是等价关系 。 一般地说,它未必是同余关系,那么自然会问,满足怎样的条件才能是同余关系呢？ 下面定理回答了这个问题 。
定理 7.6.14 群 <G,⊙ >的正规子群 <H，
⊙ >所确定的左 (或右 )陪集关系 (或 )
是同余关系 。
7.7 群的同态与同构本节中,将同态与同构概念作用于群,便导出群的同态和同构 。
定义 7.7.1 给定群 <G,⊙ >和群 <H,○ >，
则群 <G,⊙ >? 群 <H,
○ >:=(?g)(g∈ HG∧ (?a)(?b)(a,
b∈ G→ g(a⊙ b)=g(a) ○ g(b))),并称 g为从群 <G，
⊙ >到群 <H,⊙ >的群同态映射 。
群同态有很好的性质，它保持幺元、逆元和子群，请看下面定理：
定理 7.7.1 设 g为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群同态映射，则
(1) 若 eG和 eH分别为两群的幺元，那么，
g(eG)=eH。
(2) 若 a∈ G，那么,g(a-1)=(g(a))-1。
(3) 若 <S,⊙ >是群 <G,⊙ >的子群且
g(S)={g(a)|a∈ S}，那么,<g(S)，○ >为群 <H，
○ >的子群。
定理 7.7.2 给定群 <G,⊙ >和代数系统 <H，
○ >,若 g是从群 <G,⊙ > <H,○ >的满同态映射,则 <H,○ >为群 。
同半群,独异点类似,可根据 g是单射,满射和双射,群同态分别称为群单一同态映射,
群满同态映射和群同构映射 。
群自同态和群自同构也类似于半群自同态和半群自同构进行定义 。
定义 7.7.2 设 f是从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群同态映射,eH为 <H,⊙ >的幺元,记
Kf={k|f(k)=eH∧ k∈ G},称 Kf为群同态映射 f的核 。
显然,Kf≠?,因为 eG∈ Kf。
定理 7.7.3 若 f是从 <G,⊙ >到 <H,○ >的群同态映射,则 <Kf,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群 。
显然,同态映射未必是一对一的,但发现一对一的群同态映射的核有一简单特性 。
定理 7.7.4 设 f是从 <G,⊙ >到 <H，
○ > 的群同态映射,则 f 是一对一的
Kf={eG}。
定理 7.7.5 设 f是从 <G,⊙ >到 <H,○ >的群同态映射,为由同态 f的核 Kf所确定的陪集关系,则 a b?f(a)=f(b),其中 a,b∈ G。
本定理表明,群同态 f的核 Kf所确定的陪集关系与以前所述的同态 f所诱导同余关系 Ef是一致的 。
定理 7.7.6 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群且 g∈ (G/CH)G:g(a)=,则 g为从 <G,⊙ >到 <G/CH,?>的群同态映射,
通常称它为群自然同态映射 。 与此同时
Kg= 。
定理 7.7.7 设 f为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的群满同态映射,为同态映射 f的核 Kf所确定的陪集关系，且 为从 <G,⊙ >到 <G/,
>的群自然同态，则 <G/,?>?<H，○ >。
值得注意的是,对于定理 10.7.6和定理
10.7.7可以通过另一途径给出与其等价形式 。
若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群，则在 <G,⊙ >中利用 H的不同陪集构造新集合记作
G/H:G/H={aH|a∈ G}，再在 G/H中定义运算?：
aH?bH=(a⊙ b)H。
可证该定义运算?仅依赖陪集而与从中选出元素无关。进而证明 <G/H,?>是群。于是能够得到下面两定理。
定理 7.7.6* 若 <H,⊙ >是群 <G,⊙ >的正规子群，定义 g∈ (G/H)G:g(a)=aH，则 g是从 <G，
⊙ >到 <G/H,?>的群同态映射且 Kg=H。
定理 7.7.7* 若 f为从群 <G,⊙ >到群 <H，
○ >的满同态映射,Kf为同态映射 f的核，则
<G/Kf,?>?<H，○ >。
最后再介绍两个定理，实则是一个定理来结束本节。
对于任何一个群 <G,⊙ >，由恒等映射
f(x)=x,x∈ G，显然 <G,⊙ >?<G,⊙ >。自然会想到，群 <G,⊙ >是否还与除自身外的其它群同构呢?1854年,A.Cayley回答了这个问题，
即所谓群的表示定理。
定理 7.7.8 任何群均与一个变换群同构。
对于有限群,也能类似地证明下面结果：
定理 7.7.9 每个 n阶有限群均与一个 n阶置换群同构 。
把积代数概念应用群上,便产生积群 。 由此可知,两个或更多个群能产生更高阶的积群,
这部分几乎与积半群完全相同 。
