第六章 代数结构概念及性质
6.1 代数结构的定义与例
6.2 代数结构的基本性质
6.3 同态与同构
6.4 同余关系
6.5 商代数
6.6 积代数退出
6.1 代数结构的定义与例在正式给出代数结构的定义之前,先来说明什么是在一个集合上的运算,因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念 。
定义 6.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数或 f:Sn → S,则称 f为一个 n元运算 。
其中 n是自然数,称为运算的元数或阶 。 当 n=1
时,称 f为一元运算,当 n=2时,称 f为二元运算,
等等 。
注意,n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 n元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，
称它为 S中的特异元或常数。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用’,?或 ˉ等符号表示一元运算符；用?,?,⊙,○,?,?,∩,∪ 等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如?x、,x’；而二元运算符习惯于前置、
中置或后置，如,+xy,x+y,xy+。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
定义 6.1.2 设 S是个非空集合且 fi是 S上的 ni
元运算，其中 i=1,2,…,m。由 S及 f1,f2,…,
fm组成的结构，称为代数结构，记作 <S,f1，
f2,…,fm>。
此外，集合 S的基数即 |S|定义代数结构的基数。如果 S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：
定义 6.1.3 设两个代数结构 <S,f1,f2,…,
fm>和 <T,g1,g2,…,gm>，如果 fi和 gi(1≤i≤m)
具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。
可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。
此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。
定义 6.1.4 设 <S,f1,f2,…,fm>是一代数结构且非空集 T?S在运算 f1,f2,…,fm作用下是封闭的，且 T含有与 S中相同的特异元，则称
<T,f1,f2,…,fm>为代数结构 <S,f1,f2,…,
fm>的子代数。记为 <T,f1,…>?<S,f1,…> 。
在结束本节时，声明记号 <S,f1,f2,··,fm>即为一代数结构，除特别指明外，运算符 f1,f2,··,fm
均为二元运算。根据需要对 S及 f1,f2,··,fm可置不同的集合符和运算符。
6.2 代数结构的基本性质所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所具有的性质 。
1.结合律给定 <S,⊙ >,则运算,⊙,满足结合律或,⊙,是可结合的,即 (?x)(?y)(?z)(x,y，
z∈ S→( x⊙ y)⊙ z=x⊙ (y⊙ z))。
2.交换律给定 <S,⊙ >,则运算,⊙,满足交换律或,⊙,是 可 交 换 的,即 (?x)(?y)(x,
y∈ S→ x⊙ y=y⊙ x)。
可见,如果一代数结构中的运算 ⊙ 是可结合 和 可 交 换 的,那么,在 计 算
a1⊙ a2⊙ ···⊙ a0=am。 称 am为 a的 m次幂,m称 a的指数 。 下面给出 am的归纳定义：
设有 <S,⊙ >且 a?S，对于 m?I+，其中 I+表示正整数集合，可有：
(1) a1=a
(2)am+1=am⊙ a
由此利用归纳法不难证明指数定律：
(1)am⊙ an=am+n
(2)(am)n=amn
这里,m,n?I+。
类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。
3.分配律一个代数结构若具有两个运算时,则分配律可建立这两个运算之间的某种联系 。
给定 <S,⊙,○ >,则运算 ⊙ 对于 ○ 满足左分配律,或者 ⊙ 对于 ○ 是可左分配的,即
(?x)(?y)(?z)(x,y,
z∈ S→ x⊙ (y○ z))=(y⊙ x)○ (x⊙ z))。
运算 ⊙ 对于○满足右分配律或 ⊙ 对于○是可右分配的，即 (?x)(?y)(?z)(x,y，
z∈ S→( y○ z)⊙ x=(y⊙ x)○ (z⊙ x))
类似地可定义○对于 ⊙ 是满足左或右分配律。
若 ⊙ 对于○既满足左分配律又满足右分配律，则称 ⊙ 对于○满足分配律或是可分配的。
同样可定义○对于 ⊙ 满足分配律。
由定义不难证明下面定理：
定理 6.2.1 给定 <S,⊙,○ >且 ⊙ 是可交换的。如果 ⊙ 对于○满足左或右分配律，则 ⊙ 对于○满足分配律。
例 6.2.3 给定 <B,⊙,○ >，其中 B={0,1}。表
6.2.1分别定义了运算 ⊙ 和○，问运算 ⊙ 对于○
是可分配的吗？○对于 ⊙ 呢？
形如表 6.2.1的表常常被称为运算表或复合表,它由运算符,行表头元素,列表头元素及复合元素四部分组成 。 当集合 S的基数很小,特别限于几个时,代数结构中运算常常用这种表给出 。 其优点简明直观,一目了然 。
解 可以验证 ⊙ 对于 ○ 是可分配的,但 ○ 对于 ⊙ 并非如此 。 因为
1○ (0⊙ 1)?(1○ 0)⊙ (1○ 1)
4.吸收律给定 <S,⊙,○ >，则
⊙ 对于○满足左吸收律,=(?x)(?y)(x，
y∈ S→ x⊙ (x○ y)=x)
⊙ 对于○满足右吸收律,=(?x)(?y)(x，
y∈ S→( x○ y)⊙ x=x)
若 ⊙ 对于 c既满足左吸收律又满足右吸收律，
则称 ⊙ 对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于 ⊙ 满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。
若 ⊙ 对于○是可吸收的且○对于 ⊙ 也是可吸收的，则 ⊙ 和○是互为吸收的或 ⊙ 和○同时满足吸收律。
5.等幂律与等幂元给定 <S,⊙ >,则
,⊙,是 等 幂 的 或,⊙,满 足 等 幂律,=(?x)(x∈ S→ x⊙ x=x)
给定 <S,⊙ >且 x∈ S,则
x是关于,⊙,的等幂元,=x⊙ x=x
于是,不难证明下面定理：
定理 6.2.2 若 x是 <S,⊙ >中关于 ⊙ 的等幂元,对于任意正整数 n,则 xn=x。
6,幺元或单位元给定 <S,⊙ >且 el,er,e∈ S,则
el为关于 ⊙ 的左幺元,=(?x)(x∈ S→ el⊙ x=x)
er为关于 ⊙ 的右幺元,=(?x)(x∈ S→ x⊙ er=x)
若 e既为 ⊙ 的左幺元又为 ⊙ 的右幺元,称 e
为关于 ⊙ 的幺元 。
e 为 关 于 ⊙ 的幺元,=(?x)(x∈ S→ e⊙ x=x⊙ e=x)。
定理 6.2.3 给定 <S,⊙ >且 el和 er
分别关于 ⊙ 的左,右幺元,则 el=er=e
且幺元 e唯一 。
7.零元给定 <S,○ >及 θl,θr,θ∈ S,则
θl为关于 ○ 的左零元,
=(?x)(x∈ S→ θl○ x=θl)
θr为关于 ○ 的右零元,
=(?x)(x∈ S→ x○ θr=θr)
θ为关于 ○ 的零元,
=(?x)(x∈ S→ θ○ x=x○ θ=θ)
定理 6.2.4 给定 <S,⊙ >且 θl和 θr分别为关于 ⊙ 的左零元和右零元,则 θl=θr=θ且零元 θ是唯一的 。
定理 6.2.5 给定 <S,⊙ >且 |S|＞ 1。 如果 θ，
e∈ S,其中 θ和 e分别为关于 ⊙ 的零元和幺元,
则 θ≠e。
8,逆元给定 <S,⊙ >且幺元 e,x∈ S,则
x为关于 ⊙ 的左逆元,=(?y)(y∈ S∧ x⊙ y=e)
x为关于 ⊙ 的右逆元,=(?y)(y∈ S∧ y⊙ x=e)
x 为关于 ⊙ 可逆的,=(?y)(y∈ S∧ y⊙ x=x⊙ y=e)
给定 <S,⊙ >及幺元 e； x,y∈ S，则
y为 x的左逆元,=y⊙ x=e
y为 x的右逆元,=x⊙ y=e
y为 x的逆元,=y⊙ x=x⊙ y=e
显然，若 y是 x的逆元，则 x也是 y的逆元，
因此称 x与 y互为逆元。通常 x的逆元表为 x-1。
一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素的左或右逆元还可以不是唯一的。
定理 6.2.6 给定 <S,⊙ >及幺元 e∈ S。 如果
⊙ 是可结合的并且一个元素 x的左逆元 xl-1和右逆元 xr-1存在,则 xl-1=xr-1。
定理 6.2.7 给定 <S,⊙ >及幺元 e∈ S。 如果
⊙ 是可结合的并且 x的逆元 x-1存在,则 x-1是唯一的 。
9.可约律与可约元给定 <S,⊙ >且零元 θ∈ S,则
⊙ 满足左可约律或是左可约的,=(?x)(?y)(?z)((x,y,
z∈ S∧ x≠θ∧ x⊙ y=x⊙ z)→ y=z),并称 x是关于 ⊙
的左可约元 。
⊙ 满足右可约律或是右可约的,=(?x)(?y)(?z)((x,y,
z∈ S∧ x≠θ∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z),并称 x是关于 ⊙
的右可约元 。
若 ⊙ 既满足左可约律又满足右可约律或 ⊙
既是左可约又是右可约的，则称 ⊙ 满足可约律或 ⊙
若 x既是关于 ⊙ 的左可约元又是关于 ⊙ 的右可约元，则称 x是关于 ⊙ 的可约元。可约律与可
⊙ 满足可约律,
=(?x)(?y)(?z)(x,y,z∈ S∧ x≠θ
∧ ((x⊙ y=x⊙ z∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z))
给定 <S,⊙ >且零元 θ,x∈ S。
x是关于 ⊙ 的可约元,
=(?y)(?z)(y,z∈ S∧ x≠θ∧ ((x⊙ y)
=x⊙ z∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z))。
定理 6.2.8 给定 <S,○ >且 ○ 是可结合的,
如果 x是关于 ○ 可逆的且 x≠θ,则 x也是关于 ○ 的可约元 。
证明 设 任 意 y,z?S 且有 x○ y=x○ z 或
y○ x=z○ x。 因为 ○ 是可结合的及 x是关于 ○ 可逆的,则有
x-1○ (x○ y)=(x-1○ x)○ y=e○ y=y
=x-1○ (x○ z)=(x-1○ x)○ z
=e○ z=z
故得 x○ y=x○ z?y=z，同样可证得
y○ x=z○ x?y=z，故 x是关于○的可约元。
最后，作一补充说明，用运算表定义一代数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种性质。为确定起见，假定 <S，○ >及 x,y，
θ,e∈ S。
(1)运算○具有封闭性，当且仅当表中的每个元素都属于 S。
(2)运算○满足交换律，当且仅当表关于主对角线是对称的。
(3)运算○是等幂的，当且仅当表的主对角线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。
(4)元素 x是关于○的左零元，当且仅当 x所对应的行中的每个元素都与 x相同；元素 y是关于○的右零元，当且仅当 y所对应的列中的每个元素都与 y相同；元素 θ是关于○的零元，当且仅当 θ所对应的行和列中的每个元素都与 θ相同。
(5)元素 x为关于○的左幺元，当且仅当 x所对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素 y
为关于○的右幺元，当且仅当 y所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素 e是关于○的幺元，当且仅当 e所对应的行和列中元素分别依次地行表头元素和列表头元素相同。
(6)x为关于○的左逆元，当且仅当位于 x所在行的元素中至少存在一个幺元,y为关于○的右逆元，当且仅当位于 y所在列的元素中至少存在一个幺元； x与 y互为逆元，当且仅当位于 x所在行和 y所在列的元素以及 y所在行和 x所在列的元素都是幺元。
6.3 同态与同构本节将阐明两个重要概念 —— 同态与同构 。
在以后各节中,它们会经常被使用到 。
定义 6.3.1 设 <X,⊙ >与 <Y，○ >是同类型的。称 <X,⊙ >同态于 <Y，○ >或 <Y，○ >为 <X，
⊙ >的同态象，记为 <X,⊙ >?<Y，○ >，其定义如下：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f∈ YX∧ (?x1)
(?x2)(x1,x2∈ X→ f(x1⊙ x2)=f(x1)○ f(x2)))
同时，称 f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同态映射。
可以看出，同态映射 f不必是唯一的。
两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适用于具有一个二元运算的代数结构,也可以推广到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构 。 例如,对于具有两个二元运算的两个同类型代数结构 <X,⊙,○ >和 <Y,?,?>的同态定义如下：
<X,⊙,○ >?<Y,?,?>:=(?f)(f?YX?(?x1)
(?x2)(x1,x2?X?(f(x1⊙ x2)=f(x1)?f(x2)?f(x1
○ x2)
=f(x1)?f(x2)))
定理 6.3.1 如果 <X,⊙ >?<Y,○ >且 f为其同态映射,则 <R(f),○ >?<Y,○ >。
由于函数 f?YX的不同性质,将给出不同种类的同态定义 。
定义 6.3.2 设 <X,⊙ >?<Y，○ >且 f为其同态映射。
(i)如果 f为满射，则称 f是从 <X,⊙ >到 <Y，
○ >的满同态映射。
(ii)如果 f为单射 (或一对一映射 )，则称 f为从
<X,⊙ >到 <Y，○ >的单一同态映射。
(iii)如果 f为双射 (或一一对应 )，则称 f为从
<X,⊙ >到 <Y，○ >的同构映射。记为
<X,⊙ >?<X,○ >。
显然，若 f是从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同构映射，则 f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的满同态映射及单一同态映射，反之亦然。
例 6.3.4 给定 <I,+>,其中 I为整数集合,+为一般加法 。 作函数 f?II:
f(x)=kx,其中 x,k?I
则当 k?0时,f为 <I,+>到 <I,+>的单一同态映射 。 当 k=-1或 k=1时,f为从 <I,+>到 <I,+>的同构映射 。
综上可以看出,同态映射具有一个特性,
即,保持运算,。 对于满同态映射来说,它能够保持运算的更多性质,为此,给出如下定理：
定理 6.3.2 给定 <X,⊙,○ >?<Y,?,?>
且 f为其满同态映射，则
(a)如果 ⊙ 和○满足结合律，则?和?也满足结合律。
(b)如果 ⊙ 和○满足交换律，则?和?也满足交换律。
(c)如果 ⊙ 对于○或○对于 ⊙ 满足分配律，
则?对于?或?对于?也相应满足分配律。
(d)如果 ⊙ 对于○或○对于 ⊙ 满足吸收律，
则?对于?或?对于?也满足吸收律。
(e)如果 ⊙ 和○满足等幂律，则?和?也满足等幂律。
(f)如果 e1和 e2分别是关于 ⊙ 和○的幺元，则
f(e1)和 f(e2)分别为关于?和?的幺元。
(g)如果 θ1和 θ2分别是关于 ⊙ 和○的零元，
则 f(θ1)和 f(θ2)分别为关于?和?的零元。
(h)如果对每个 x∈ X均存在关于 ⊙ 的逆元 x-1，
则对每个 f(x)∈ Y也均存在关于?的逆元 f(x-1)；
如果对每个 z∈ X均存在关于○的逆元 z-1，则对每个 f(z)∈ Y也均存在关于?的逆元 f(z-1)。
定理 6.3.2告诉我们,对于满同态映射来说,
代数系统的许多性质都能保持,如结合律,交换律,分配律,等幂律,幺元,零元,逆元等,
但这种保持性质是单向的,即如果 <X,⊙ >满同态于 <Y,○ >,则 <X,⊙ >所具有的性质,<Y，
○ >均具有 。 但反之不然,即 <Y,○ >所具有的某些性质,<X,⊙ >不一定具有 。 不尽要问,
在怎样条件下,<Y,○ >所具有的性质 <X,⊙ >
都完全具有呢?为了回答这个问题,需要引出两个代数结构同构的概念 。
定义 6.3.3 设 <X,⊙ >与 <Y，○ >是同类型的。称 <X,⊙ >同构于 <Y，○ >，记为 <X，
⊙ >?<Y，○ >，其定义如下：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f为从 <X,⊙ >到
<Y，○ >的同构映射或更详细地定义为：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f∈ YX∧ f为双射
∧ f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同态映射 )
由定义可知,同构的条件比同态强,关键是同构映射是双射,即一一对应 。 而同态映射不一定要求是双射 。 正因为如此,同构不再仅仅象满同态那样对保持运算是单向的了,而对保持运算成为双向的 。 两个同构的代数,表面上似乎很不相同,但在结构上实际是没有什么差别,只不过是集合中的元素名称和运算的标识不同而已,而它们的所有发生,彼此相通,。
这样，当探索新的代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的各种性质了。对于同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。
同构是一个关系,而且可以证明它是个等价关系,对此有如下定理：
定理 6.3.3 代数系统间的同构关系是等价关系 。
证明 显然 <S,⊙ >?<S,⊙ >,因为恒等映射是同构映射 。 又若 <S,⊙ >?<T,○ >且 f为其同构映射,则 f-1为从 <T,○ >到 <S,⊙ >的同构映射 。 因此,<T,○ >?<S,⊙ >。 再令 <S，
⊙ >?<T,○ >及 <T,○ >?<R,?>,则 <S，
⊙ >?<R,?>。 这里因为若 f为 <S,⊙ >到 <T,
○ >的同构映射,g为 <T,○ >到 <R,?>的同构映射,则 gof为从 <S,⊙ >到 <R,?>的同构映射 。
可见同构关系满足自反性,对称性和传递性 。
因此,同 构 关 系 是 等 价 关 系 。
由于同构关系是等价关系，故令所有的代数系统构成一个集合 S，于是可按同构关系将其分类，得到商集 S/?。因为同构的代数系统具有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究的总体并不是 S而是 S/?。
在同态与同构中有一个特例，即具有相同集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是自同态与自同构。
定义 6.3.4 给定 <S,⊙ >及 f∈ SS。
f为自同态映射,=f为从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >
的同态映射。
f为自同构映射,=f为从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >
的同构映射。
6.4 同余关系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。
主要内容如下：
定义 6.4.1 给定 <S,⊙ >且 E为 S中的等价关系。
E有代换性质,=(?x1)(?x2)(?y1)(?y2)((x1,x2，
y1,y2∈ S∧ xEx2∧ y1Ey2)→( x1⊙ y1)E(x2⊙ y2))。
E为 <S,⊙ >中的同余关系,=E有代换性质。
与此同时，称同余关系 E的等价类为同余类。
由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。即在 x1⊙ y1中，如果用集合 S
中的与 x1等价的任何其它元素 x2代换 x1，并且用与 y1等价的任何其它元素 y2代换 y1，则所求的结果 x2⊙ y2与 x1⊙ y1位于同一等价类之中。
亦即若 〔 x1〕 E=〔 x2〕 E并且 〔 y1〕 E=〔 y2〕
E，则 〔 x1⊙ y1〕 E=〔 x2⊙ y2〕 E。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同余关系不存在。
例 6.4.1 给定 <I,+,?>,其中 I是整数集合,
+和?是一般加,乘法 。 假设 I中的关系 R定义如下：
i1Ri2:=|i1|=|i2|,其中 i1,i2?I
试问,R为该结构的同余关系吗？
解 显然,R为 I中的等价关系。接着先考察
R对于 +运算的代换性质：
若取 i1,-i1,i2?I，则有 |i1|=|-i1|和 |i2|=|i2|，于是，
下式
(i1R(-i1))?(i1Ri2)?(i1+i2)R(-i1+i2)
不真。这是因为前件为真，后件为假。故
R对于 +运算不具有代换性质。
至此可以说,R不是该结构的同余关系。
但为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来考察 R对于?的代换性质。
令 i1,i2,j1,j2?I且 i1Ri2和 j1Rj2。于是，对任意
i1,i2,j1,j2都有：
(i1Ri2)和 (j1Rj2)?(i1?j1)R(i2?j2)
因此,E对于?具有代换性质。
可见,考察一个等价关系 E对于有多个运算的代数结构是否为同余关系,这里有个次序先后问题,选择得好,马上就考察到了 E对某个运算是不具有代换性质,那么便可立刻断定 E不是该结构的同余关系,否则验证应继续下去,
直至遇到不具有代换性质的运算为止 。 如果对于所有运算都有代换性质,则 E为该结构的同余关系 。
在例 6.4.1中，首先发现 R对于 +不具有代换性质，那么可断定 R不是该结构的同余关系。如果你首先验证是 R对于?的代换性质，结果 R对于?有代换性质，至此你只是有希望 E是同余关系，但还得继续工作，考察 R对于 +的代换性质，
由此结果才能判定 R是否为该结构的同余关系。
有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理：
定理 6.4.1 设 <S,⊙ >与 <T，○ >是同类型的且 f为其同态映射。对应于 f，定义关系 Ef如下：
xEfy:=f(x)=f(y),其中 x,y∈ S
则 Ef是 <S,⊙ >中的同余关系，并且称 Ef为由同态映射 f所诱导的同余关系。 1
由于同态映射不唯一,根据定理 6.4.1,可以推知同余关系也是不唯一 。
6.5 商代数定义 6.5.1 给定 <S,⊙ >及其上的同余关系
E,且由 E对 S所产生同余类构成一个商集 S/E。
若在 S/E中定义运算 如下：
[x]E○ [y]E=[x⊙ y]E 其中 [x]E,
[y]E∈ S/E
于是 <S/E,○ >构成了一个代数结构,则称 <S/E,○ 为代数结构 <S,⊙ >的商代数 。
可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点 。
定理 6.5.1 给定 <S,⊙ >及其上的商代数
<S/E，○ >，则 <S,⊙ >?<S/E，○ >。
通常,称 gE为从 S到 S/E上的正则映射,并且称 gE为从 <S,⊙ >到 <S/E,○ >的与 E相关的自然同态映射,简称自然同态 。
此外,容易看出自然同态 gE是满同态映射,
根据定理 6.3.2可知,代数结构 <S,⊙ >的各种性质在其商代数 <S/E,○ >中都被保持了下来 。
现在,可以利用自然同态及 Ef给出一个有关同构的重要定理 。
定理 6.5.2 设 <S,⊙ >?<T,○ >且 f为其满同态映射,Ef为 f所诱导的同余关系,gEf是从 <S，
⊙ >到 <S/Ef,☆ >的与 Ef相关的自然同态,则
<S/Ef,☆ >?<T,○ >。
6.6 积代数定义 6.6.1 设 <S,⊙ >与 <T,○ >是同类型的,而 <S× T,?>成为新的代数结构,其中
S× T是集合 S和集合 T的笛卡儿积,且?定义如下：
<s1,t1>?<s2,t2>=<s1⊙ s2,t1○ t2>,其中 s1,s2∈ S,t1,t2∈ T。
则称 <S× T,?>为代数结构 <S,⊙ >和 <T，
○ >的积代数,而代数结构 <S,⊙ >和 <T,○ >
称为 <S× T,○ >的因子代数 。
类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型的代数结构。另外，重复地使用定义中的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数。
可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子代数是同一类型的。而且还要注意到，
在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的运算。
6.1 代数结构的定义与例
6.2 代数结构的基本性质
6.3 同态与同构
6.4 同余关系
6.5 商代数
6.6 积代数退出
6.1 代数结构的定义与例在正式给出代数结构的定义之前,先来说明什么是在一个集合上的运算,因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念 。
定义 6.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数或 f:Sn → S,则称 f为一个 n元运算 。
其中 n是自然数,称为运算的元数或阶 。 当 n=1
时,称 f为一元运算,当 n=2时,称 f为二元运算,
等等 。
注意,n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 n元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，
称它为 S中的特异元或常数。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用’,?或 ˉ等符号表示一元运算符；用?,?,⊙,○,?,?,∩,∪ 等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如?x、,x’；而二元运算符习惯于前置、
中置或后置，如,+xy,x+y,xy+。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
定义 6.1.2 设 S是个非空集合且 fi是 S上的 ni
元运算，其中 i=1,2,…,m。由 S及 f1,f2,…,
fm组成的结构，称为代数结构，记作 <S,f1，
f2,…,fm>。
此外，集合 S的基数即 |S|定义代数结构的基数。如果 S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：
定义 6.1.3 设两个代数结构 <S,f1,f2,…,
fm>和 <T,g1,g2,…,gm>，如果 fi和 gi(1≤i≤m)
具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。
可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。
此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。
定义 6.1.4 设 <S,f1,f2,…,fm>是一代数结构且非空集 T?S在运算 f1,f2,…,fm作用下是封闭的，且 T含有与 S中相同的特异元，则称
<T,f1,f2,…,fm>为代数结构 <S,f1,f2,…,
fm>的子代数。记为 <T,f1,…>?<S,f1,…> 。
在结束本节时，声明记号 <S,f1,f2,··,fm>即为一代数结构，除特别指明外，运算符 f1,f2,··,fm
均为二元运算。根据需要对 S及 f1,f2,··,fm可置不同的集合符和运算符。
6.2 代数结构的基本性质所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所具有的性质 。
1.结合律给定 <S,⊙ >,则运算,⊙,满足结合律或,⊙,是可结合的,即 (?x)(?y)(?z)(x,y，
z∈ S→( x⊙ y)⊙ z=x⊙ (y⊙ z))。
2.交换律给定 <S,⊙ >,则运算,⊙,满足交换律或,⊙,是 可 交 换 的,即 (?x)(?y)(x,
y∈ S→ x⊙ y=y⊙ x)。
可见,如果一代数结构中的运算 ⊙ 是可结合 和 可 交 换 的,那么,在 计 算
a1⊙ a2⊙ ···⊙ a0=am。 称 am为 a的 m次幂,m称 a的指数 。 下面给出 am的归纳定义：
设有 <S,⊙ >且 a?S，对于 m?I+，其中 I+表示正整数集合，可有：
(1) a1=a
(2)am+1=am⊙ a
由此利用归纳法不难证明指数定律：
(1)am⊙ an=am+n
(2)(am)n=amn
这里,m,n?I+。
类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。
3.分配律一个代数结构若具有两个运算时,则分配律可建立这两个运算之间的某种联系 。
给定 <S,⊙,○ >,则运算 ⊙ 对于 ○ 满足左分配律,或者 ⊙ 对于 ○ 是可左分配的,即
(?x)(?y)(?z)(x,y,
z∈ S→ x⊙ (y○ z))=(y⊙ x)○ (x⊙ z))。
运算 ⊙ 对于○满足右分配律或 ⊙ 对于○是可右分配的，即 (?x)(?y)(?z)(x,y，
z∈ S→( y○ z)⊙ x=(y⊙ x)○ (z⊙ x))
类似地可定义○对于 ⊙ 是满足左或右分配律。
若 ⊙ 对于○既满足左分配律又满足右分配律，则称 ⊙ 对于○满足分配律或是可分配的。
同样可定义○对于 ⊙ 满足分配律。
由定义不难证明下面定理：
定理 6.2.1 给定 <S,⊙,○ >且 ⊙ 是可交换的。如果 ⊙ 对于○满足左或右分配律，则 ⊙ 对于○满足分配律。
例 6.2.3 给定 <B,⊙,○ >，其中 B={0,1}。表
6.2.1分别定义了运算 ⊙ 和○，问运算 ⊙ 对于○
是可分配的吗？○对于 ⊙ 呢？
形如表 6.2.1的表常常被称为运算表或复合表,它由运算符,行表头元素,列表头元素及复合元素四部分组成 。 当集合 S的基数很小,特别限于几个时,代数结构中运算常常用这种表给出 。 其优点简明直观,一目了然 。
解 可以验证 ⊙ 对于 ○ 是可分配的,但 ○ 对于 ⊙ 并非如此 。 因为
1○ (0⊙ 1)?(1○ 0)⊙ (1○ 1)
4.吸收律给定 <S,⊙,○ >，则
⊙ 对于○满足左吸收律,=(?x)(?y)(x，
y∈ S→ x⊙ (x○ y)=x)
⊙ 对于○满足右吸收律,=(?x)(?y)(x，
y∈ S→( x○ y)⊙ x=x)
若 ⊙ 对于 c既满足左吸收律又满足右吸收律，
则称 ⊙ 对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于 ⊙ 满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。
若 ⊙ 对于○是可吸收的且○对于 ⊙ 也是可吸收的，则 ⊙ 和○是互为吸收的或 ⊙ 和○同时满足吸收律。
5.等幂律与等幂元给定 <S,⊙ >,则
,⊙,是 等 幂 的 或,⊙,满 足 等 幂律,=(?x)(x∈ S→ x⊙ x=x)
给定 <S,⊙ >且 x∈ S,则
x是关于,⊙,的等幂元,=x⊙ x=x
于是,不难证明下面定理：
定理 6.2.2 若 x是 <S,⊙ >中关于 ⊙ 的等幂元,对于任意正整数 n,则 xn=x。
6,幺元或单位元给定 <S,⊙ >且 el,er,e∈ S,则
el为关于 ⊙ 的左幺元,=(?x)(x∈ S→ el⊙ x=x)
er为关于 ⊙ 的右幺元,=(?x)(x∈ S→ x⊙ er=x)
若 e既为 ⊙ 的左幺元又为 ⊙ 的右幺元,称 e
为关于 ⊙ 的幺元 。
e 为 关 于 ⊙ 的幺元,=(?x)(x∈ S→ e⊙ x=x⊙ e=x)。
定理 6.2.3 给定 <S,⊙ >且 el和 er
分别关于 ⊙ 的左,右幺元,则 el=er=e
且幺元 e唯一 。
7.零元给定 <S,○ >及 θl,θr,θ∈ S,则
θl为关于 ○ 的左零元,
=(?x)(x∈ S→ θl○ x=θl)
θr为关于 ○ 的右零元,
=(?x)(x∈ S→ x○ θr=θr)
θ为关于 ○ 的零元,
=(?x)(x∈ S→ θ○ x=x○ θ=θ)
定理 6.2.4 给定 <S,⊙ >且 θl和 θr分别为关于 ⊙ 的左零元和右零元,则 θl=θr=θ且零元 θ是唯一的 。
定理 6.2.5 给定 <S,⊙ >且 |S|＞ 1。 如果 θ，
e∈ S,其中 θ和 e分别为关于 ⊙ 的零元和幺元,
则 θ≠e。
8,逆元给定 <S,⊙ >且幺元 e,x∈ S,则
x为关于 ⊙ 的左逆元,=(?y)(y∈ S∧ x⊙ y=e)
x为关于 ⊙ 的右逆元,=(?y)(y∈ S∧ y⊙ x=e)
x 为关于 ⊙ 可逆的,=(?y)(y∈ S∧ y⊙ x=x⊙ y=e)
给定 <S,⊙ >及幺元 e； x,y∈ S，则
y为 x的左逆元,=y⊙ x=e
y为 x的右逆元,=x⊙ y=e
y为 x的逆元,=y⊙ x=x⊙ y=e
显然，若 y是 x的逆元，则 x也是 y的逆元，
因此称 x与 y互为逆元。通常 x的逆元表为 x-1。
一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素的左或右逆元还可以不是唯一的。
定理 6.2.6 给定 <S,⊙ >及幺元 e∈ S。 如果
⊙ 是可结合的并且一个元素 x的左逆元 xl-1和右逆元 xr-1存在,则 xl-1=xr-1。
定理 6.2.7 给定 <S,⊙ >及幺元 e∈ S。 如果
⊙ 是可结合的并且 x的逆元 x-1存在,则 x-1是唯一的 。
9.可约律与可约元给定 <S,⊙ >且零元 θ∈ S,则
⊙ 满足左可约律或是左可约的,=(?x)(?y)(?z)((x,y,
z∈ S∧ x≠θ∧ x⊙ y=x⊙ z)→ y=z),并称 x是关于 ⊙
的左可约元 。
⊙ 满足右可约律或是右可约的,=(?x)(?y)(?z)((x,y,
z∈ S∧ x≠θ∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z),并称 x是关于 ⊙
的右可约元 。
若 ⊙ 既满足左可约律又满足右可约律或 ⊙
既是左可约又是右可约的，则称 ⊙ 满足可约律或 ⊙
若 x既是关于 ⊙ 的左可约元又是关于 ⊙ 的右可约元，则称 x是关于 ⊙ 的可约元。可约律与可
⊙ 满足可约律,
=(?x)(?y)(?z)(x,y,z∈ S∧ x≠θ
∧ ((x⊙ y=x⊙ z∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z))
给定 <S,⊙ >且零元 θ,x∈ S。
x是关于 ⊙ 的可约元,
=(?y)(?z)(y,z∈ S∧ x≠θ∧ ((x⊙ y)
=x⊙ z∧ y⊙ x=z⊙ x)→ y=z))。
定理 6.2.8 给定 <S,○ >且 ○ 是可结合的,
如果 x是关于 ○ 可逆的且 x≠θ,则 x也是关于 ○ 的可约元 。
证明 设 任 意 y,z?S 且有 x○ y=x○ z 或
y○ x=z○ x。 因为 ○ 是可结合的及 x是关于 ○ 可逆的,则有
x-1○ (x○ y)=(x-1○ x)○ y=e○ y=y
=x-1○ (x○ z)=(x-1○ x)○ z
=e○ z=z
故得 x○ y=x○ z?y=z，同样可证得
y○ x=z○ x?y=z，故 x是关于○的可约元。
最后，作一补充说明，用运算表定义一代数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种性质。为确定起见，假定 <S，○ >及 x,y，
θ,e∈ S。
(1)运算○具有封闭性，当且仅当表中的每个元素都属于 S。
(2)运算○满足交换律，当且仅当表关于主对角线是对称的。
(3)运算○是等幂的，当且仅当表的主对角线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。
(4)元素 x是关于○的左零元，当且仅当 x所对应的行中的每个元素都与 x相同；元素 y是关于○的右零元，当且仅当 y所对应的列中的每个元素都与 y相同；元素 θ是关于○的零元，当且仅当 θ所对应的行和列中的每个元素都与 θ相同。
(5)元素 x为关于○的左幺元，当且仅当 x所对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素 y
为关于○的右幺元，当且仅当 y所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素 e是关于○的幺元，当且仅当 e所对应的行和列中元素分别依次地行表头元素和列表头元素相同。
(6)x为关于○的左逆元，当且仅当位于 x所在行的元素中至少存在一个幺元,y为关于○的右逆元，当且仅当位于 y所在列的元素中至少存在一个幺元； x与 y互为逆元，当且仅当位于 x所在行和 y所在列的元素以及 y所在行和 x所在列的元素都是幺元。
6.3 同态与同构本节将阐明两个重要概念 —— 同态与同构 。
在以后各节中,它们会经常被使用到 。
定义 6.3.1 设 <X,⊙ >与 <Y，○ >是同类型的。称 <X,⊙ >同态于 <Y，○ >或 <Y，○ >为 <X，
⊙ >的同态象，记为 <X,⊙ >?<Y，○ >，其定义如下：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f∈ YX∧ (?x1)
(?x2)(x1,x2∈ X→ f(x1⊙ x2)=f(x1)○ f(x2)))
同时，称 f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同态映射。
可以看出，同态映射 f不必是唯一的。
两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适用于具有一个二元运算的代数结构,也可以推广到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构 。 例如,对于具有两个二元运算的两个同类型代数结构 <X,⊙,○ >和 <Y,?,?>的同态定义如下：
<X,⊙,○ >?<Y,?,?>:=(?f)(f?YX?(?x1)
(?x2)(x1,x2?X?(f(x1⊙ x2)=f(x1)?f(x2)?f(x1
○ x2)
=f(x1)?f(x2)))
定理 6.3.1 如果 <X,⊙ >?<Y,○ >且 f为其同态映射,则 <R(f),○ >?<Y,○ >。
由于函数 f?YX的不同性质,将给出不同种类的同态定义 。
定义 6.3.2 设 <X,⊙ >?<Y，○ >且 f为其同态映射。
(i)如果 f为满射，则称 f是从 <X,⊙ >到 <Y，
○ >的满同态映射。
(ii)如果 f为单射 (或一对一映射 )，则称 f为从
<X,⊙ >到 <Y，○ >的单一同态映射。
(iii)如果 f为双射 (或一一对应 )，则称 f为从
<X,⊙ >到 <Y，○ >的同构映射。记为
<X,⊙ >?<X,○ >。
显然，若 f是从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同构映射，则 f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的满同态映射及单一同态映射，反之亦然。
例 6.3.4 给定 <I,+>,其中 I为整数集合,+为一般加法 。 作函数 f?II:
f(x)=kx,其中 x,k?I
则当 k?0时,f为 <I,+>到 <I,+>的单一同态映射 。 当 k=-1或 k=1时,f为从 <I,+>到 <I,+>的同构映射 。
综上可以看出,同态映射具有一个特性,
即,保持运算,。 对于满同态映射来说,它能够保持运算的更多性质,为此,给出如下定理：
定理 6.3.2 给定 <X,⊙,○ >?<Y,?,?>
且 f为其满同态映射，则
(a)如果 ⊙ 和○满足结合律，则?和?也满足结合律。
(b)如果 ⊙ 和○满足交换律，则?和?也满足交换律。
(c)如果 ⊙ 对于○或○对于 ⊙ 满足分配律，
则?对于?或?对于?也相应满足分配律。
(d)如果 ⊙ 对于○或○对于 ⊙ 满足吸收律，
则?对于?或?对于?也满足吸收律。
(e)如果 ⊙ 和○满足等幂律，则?和?也满足等幂律。
(f)如果 e1和 e2分别是关于 ⊙ 和○的幺元，则
f(e1)和 f(e2)分别为关于?和?的幺元。
(g)如果 θ1和 θ2分别是关于 ⊙ 和○的零元，
则 f(θ1)和 f(θ2)分别为关于?和?的零元。
(h)如果对每个 x∈ X均存在关于 ⊙ 的逆元 x-1，
则对每个 f(x)∈ Y也均存在关于?的逆元 f(x-1)；
如果对每个 z∈ X均存在关于○的逆元 z-1，则对每个 f(z)∈ Y也均存在关于?的逆元 f(z-1)。
定理 6.3.2告诉我们,对于满同态映射来说,
代数系统的许多性质都能保持,如结合律,交换律,分配律,等幂律,幺元,零元,逆元等,
但这种保持性质是单向的,即如果 <X,⊙ >满同态于 <Y,○ >,则 <X,⊙ >所具有的性质,<Y，
○ >均具有 。 但反之不然,即 <Y,○ >所具有的某些性质,<X,⊙ >不一定具有 。 不尽要问,
在怎样条件下,<Y,○ >所具有的性质 <X,⊙ >
都完全具有呢?为了回答这个问题,需要引出两个代数结构同构的概念 。
定义 6.3.3 设 <X,⊙ >与 <Y，○ >是同类型的。称 <X,⊙ >同构于 <Y，○ >，记为 <X，
⊙ >?<Y，○ >，其定义如下：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f为从 <X,⊙ >到
<Y，○ >的同构映射或更详细地定义为：
<X,⊙ >?<Y，○ >:=(?f)(f∈ YX∧ f为双射
∧ f为从 <X,⊙ >到 <Y，○ >的同态映射 )
由定义可知,同构的条件比同态强,关键是同构映射是双射,即一一对应 。 而同态映射不一定要求是双射 。 正因为如此,同构不再仅仅象满同态那样对保持运算是单向的了,而对保持运算成为双向的 。 两个同构的代数,表面上似乎很不相同,但在结构上实际是没有什么差别,只不过是集合中的元素名称和运算的标识不同而已,而它们的所有发生,彼此相通,。
这样，当探索新的代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的各种性质了。对于同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。
同构是一个关系,而且可以证明它是个等价关系,对此有如下定理：
定理 6.3.3 代数系统间的同构关系是等价关系 。
证明 显然 <S,⊙ >?<S,⊙ >,因为恒等映射是同构映射 。 又若 <S,⊙ >?<T,○ >且 f为其同构映射,则 f-1为从 <T,○ >到 <S,⊙ >的同构映射 。 因此,<T,○ >?<S,⊙ >。 再令 <S，
⊙ >?<T,○ >及 <T,○ >?<R,?>,则 <S，
⊙ >?<R,?>。 这里因为若 f为 <S,⊙ >到 <T,
○ >的同构映射,g为 <T,○ >到 <R,?>的同构映射,则 gof为从 <S,⊙ >到 <R,?>的同构映射 。
可见同构关系满足自反性,对称性和传递性 。
因此,同 构 关 系 是 等 价 关 系 。
由于同构关系是等价关系，故令所有的代数系统构成一个集合 S，于是可按同构关系将其分类，得到商集 S/?。因为同构的代数系统具有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究的总体并不是 S而是 S/?。
在同态与同构中有一个特例，即具有相同集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是自同态与自同构。
定义 6.3.4 给定 <S,⊙ >及 f∈ SS。
f为自同态映射,=f为从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >
的同态映射。
f为自同构映射,=f为从 <S,⊙ >到 <S,⊙ >
的同构映射。
6.4 同余关系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。
主要内容如下：
定义 6.4.1 给定 <S,⊙ >且 E为 S中的等价关系。
E有代换性质,=(?x1)(?x2)(?y1)(?y2)((x1,x2，
y1,y2∈ S∧ xEx2∧ y1Ey2)→( x1⊙ y1)E(x2⊙ y2))。
E为 <S,⊙ >中的同余关系,=E有代换性质。
与此同时，称同余关系 E的等价类为同余类。
由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。即在 x1⊙ y1中，如果用集合 S
中的与 x1等价的任何其它元素 x2代换 x1，并且用与 y1等价的任何其它元素 y2代换 y1，则所求的结果 x2⊙ y2与 x1⊙ y1位于同一等价类之中。
亦即若 〔 x1〕 E=〔 x2〕 E并且 〔 y1〕 E=〔 y2〕
E，则 〔 x1⊙ y1〕 E=〔 x2⊙ y2〕 E。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同余关系不存在。
例 6.4.1 给定 <I,+,?>,其中 I是整数集合,
+和?是一般加,乘法 。 假设 I中的关系 R定义如下：
i1Ri2:=|i1|=|i2|,其中 i1,i2?I
试问,R为该结构的同余关系吗？
解 显然,R为 I中的等价关系。接着先考察
R对于 +运算的代换性质：
若取 i1,-i1,i2?I，则有 |i1|=|-i1|和 |i2|=|i2|，于是，
下式
(i1R(-i1))?(i1Ri2)?(i1+i2)R(-i1+i2)
不真。这是因为前件为真，后件为假。故
R对于 +运算不具有代换性质。
至此可以说,R不是该结构的同余关系。
但为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来考察 R对于?的代换性质。
令 i1,i2,j1,j2?I且 i1Ri2和 j1Rj2。于是，对任意
i1,i2,j1,j2都有：
(i1Ri2)和 (j1Rj2)?(i1?j1)R(i2?j2)
因此,E对于?具有代换性质。
可见,考察一个等价关系 E对于有多个运算的代数结构是否为同余关系,这里有个次序先后问题,选择得好,马上就考察到了 E对某个运算是不具有代换性质,那么便可立刻断定 E不是该结构的同余关系,否则验证应继续下去,
直至遇到不具有代换性质的运算为止 。 如果对于所有运算都有代换性质,则 E为该结构的同余关系 。
在例 6.4.1中，首先发现 R对于 +不具有代换性质，那么可断定 R不是该结构的同余关系。如果你首先验证是 R对于?的代换性质，结果 R对于?有代换性质，至此你只是有希望 E是同余关系，但还得继续工作，考察 R对于 +的代换性质，
由此结果才能判定 R是否为该结构的同余关系。
有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理：
定理 6.4.1 设 <S,⊙ >与 <T，○ >是同类型的且 f为其同态映射。对应于 f，定义关系 Ef如下：
xEfy:=f(x)=f(y),其中 x,y∈ S
则 Ef是 <S,⊙ >中的同余关系，并且称 Ef为由同态映射 f所诱导的同余关系。 1
由于同态映射不唯一,根据定理 6.4.1,可以推知同余关系也是不唯一 。
6.5 商代数定义 6.5.1 给定 <S,⊙ >及其上的同余关系
E,且由 E对 S所产生同余类构成一个商集 S/E。
若在 S/E中定义运算 如下：
[x]E○ [y]E=[x⊙ y]E 其中 [x]E,
[y]E∈ S/E
于是 <S/E,○ >构成了一个代数结构,则称 <S/E,○ 为代数结构 <S,⊙ >的商代数 。
可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点 。
定理 6.5.1 给定 <S,⊙ >及其上的商代数
<S/E，○ >，则 <S,⊙ >?<S/E，○ >。
通常,称 gE为从 S到 S/E上的正则映射,并且称 gE为从 <S,⊙ >到 <S/E,○ >的与 E相关的自然同态映射,简称自然同态 。
此外,容易看出自然同态 gE是满同态映射,
根据定理 6.3.2可知,代数结构 <S,⊙ >的各种性质在其商代数 <S/E,○ >中都被保持了下来 。
现在,可以利用自然同态及 Ef给出一个有关同构的重要定理 。
定理 6.5.2 设 <S,⊙ >?<T,○ >且 f为其满同态映射,Ef为 f所诱导的同余关系,gEf是从 <S，
⊙ >到 <S/Ef,☆ >的与 Ef相关的自然同态,则
<S/Ef,☆ >?<T,○ >。
6.6 积代数定义 6.6.1 设 <S,⊙ >与 <T,○ >是同类型的,而 <S× T,?>成为新的代数结构,其中
S× T是集合 S和集合 T的笛卡儿积,且?定义如下：
<s1,t1>?<s2,t2>=<s1⊙ s2,t1○ t2>,其中 s1,s2∈ S,t1,t2∈ T。
则称 <S× T,?>为代数结构 <S,⊙ >和 <T，
○ >的积代数,而代数结构 <S,⊙ >和 <T,○ >
称为 <S× T,○ >的因子代数 。
类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型的代数结构。另外，重复地使用定义中的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数。
可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子代数是同一类型的。而且还要注意到，
在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的运算。
