第八章 环 和 域
8.1 环
8.2 子环与理想
8.3 环同态与环同构
8.4 域
8.5 有限域退出
8.1 环定义 8.1.1 给定 <R,+,·>,其中 +和 ·都是二元运算,若 ① <R,+>是 Abel群,② <R,·> 是半群,③ ·对于 +是可分配的,则称 <R,+,·> 是环 。
为了方便,通常将 +称为加法,将 ·称为乘法,把 <R,+>称为加法群,<R,·> 称为乘法半群 。 而且还规定,运算的顺序先乘法后加法 。
环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以 0示之。若 a∈ R，则其加法逆元以 -a表之。
常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。
定义 8.1.2 给定环 <R,+,·>,若 <R,·> 是可交换半群，则称 <R,+,·> 是可交换环；若
<R,·> 是独异点，则称 <R,+,·> 是含幺环；若
<R,·> 满足等幂律，则称 <R,+,·> 是布尔环。
通常用 1表示 <R,·> 的幺元。在 <R,·> 中，
若 a∈ R的逆元存在，则以 a-1表示其乘法逆元。
定理 8.1.1 <R,+,·>是环?(?a)(a∈ R→ a·0=0·a=0)
下面讨论加法逆元的性质,为方便记,a+(-b)表成 a-b。
定理 8.1.2 <R,+,·> 是环? (?a)(?b)(a,
b∈ R→ -(a·b)=a·( -b)=(-a)·b
同理 -(a·b)=(-a)·b
推论 1 (?a)(?b)(a,b∈ R→( -a)·(-b)=a·b)
推论 2 (?a)(?b)(?c)(a,b,c∈ R→( a·( b-
c)=a·b-a·c)∧ ((b-c)·a=b·a-c·a))
由定理 8.1.1可知,环中任二元素相乘,若其中至少有一个为零元,则乘积必为零元 。 但反之未必真,这是因为在环中,两个非零元的乘积可能为零元,这便引出环的零因子的概念 。
定义 8.1.3 给定环 <R,+,·>,则环 <S，
+,·> 中有零因子,=(?a)(?b)(a，
b∈ R∧ a≠0∧ b≠0→ a·b=0)
并称该环为含零因子环,a和 b是零因子。
注意，零因子其自身非零也。
定理 8.1.3 给定环 <R,+,·>,则 <R，
+,·> 为无零因子环?<R,·> 满足可约律 。
定义 8.1.4 给定可交换含幺环 <R,+,·>,
若 <R,+,·> 无零因子,则称 <R,+,·> 为整环 。
由定义 8.1.3知道,环中可约律与无零因子是等价的,因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环 。
下面再给出一个定理以结束本节。
定理 8.1.4 给定含幺环 <R,+,·> 且
R≠{0}，则 |R|≥2。
8.2 子环与理想与讨论群与子群一样,对于环也要讨论子环 。
定义 8.2.1 给定环 <R,+,·> 和非空集合
S?R,若 <S,+>是 <R,+>的子群,<S,·> 是
<R,·> 的子半群,则称 <S,+,·> 是 <R,+,·>
的子环 。
这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。
由环的定义知道，若 <S,+>为群 <R,+>
的子群,<S,+>是 <R,·> 的子半群，在 R上乘法对于加法分配律成立，则 <S,+,·> 是 <R，
+,·> 的子环。显然由于 S?R而分配律、结合律在 R中成立。则在 S中亦成立。于是，子环可定义如下：
若 (1)?≠S?R
(2)<S,+>是 <R,+>的子群
(3)S对 ·满足封闭性则 <S,+,·> 为 <R,+,·> 的子环。
由此及上节定理 7.6.3,<S,⊙ >是 <R,⊙ >
的子群的充要条件是对任意 a,b∈ S则 a⊙ b-1∈ S，
便可得到下面定理。
定理 8.2.1 给定环 <R,+,·> 及?≠S?R，则
<S,+,·> 是 <R,+,·> 的子环?(?a)(?b)(a，
b∈ S→ a-b∈ S∧ a·b∈ S)
本定理表明 <S,+,·> 为 <R,+,·> 的子环的主要条件是 S对减法运算封闭和 S对乘法运算封闭。
由此看出,含幺环的子环未必也含幺元,
因为 <I,+,·>是含幺元 1的环,其子环 <E,+,·>不再含乘法幺元 。
下面引进一种特殊的子环,称之为理想,
理想在环中与正规子群对于群的地位相仿 。
定义 8.2.2 设 <T,+,·> 为 <R,+,·> 的子环,若对于 T中任何元 t和 R中任何元 a,有 a·t∈ T
且 t·a∈ T,则称 <T,+,·> 为环 <R,+,·> 的理想 。
显然,若 <R,+,·> 是可交换环,a·t∈ S或
t·a∈ S只要其一即可 。
由定义可知，若 <T,+,·> 为理想，则 R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于 T，则乘积必属于 T。
当 <S,+,·> 是环 <R,+,·> 的子环时，要求 S对于乘法运算封闭；而当 <T,+,·> 是环 <R，
+,·> 的理想时，要求更强的封闭性，即 T对于乘上 R中任一元素的运算封闭。
注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：
定理 8.2.2 给定环 <R,+,·> 及?≠T?R，则
<T,+,·> 为环 <R,+,·> 的理想
(?t)(?t1)(?a)(t,t1∈ T∧ a∈ R→( t-t1)∈ T∧
t·a∈ T∧ a·t∈ T)
定义 8.2.3 令 <T,+,·> 是环 <R,+,·> 之理想,若在 T中存在元 g,使得 T=R·g,其中
R·g={a·g|a∈ R},则称 <T,+,·> 为环 <R,+,·>
的主理想 。 并称 g为 <T,+,·> 的生成元或说由 g
生成 <T,+,·>,常常用 (g)表示 T。
对于环 <I,+,·> 来说,它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想 。 因此有下面待证定理 。
定理 8.2.3 设 <L,+,·> 为环 <I,+,·> 之理想，则存在 i∈ I+，使得 L=(i)。即 <I,+,·> 的每个理想皆为主理想。
对于任一环的理想,读者不难证明下面定理：
定理 8.2.4 若 <T1,+,·> 与 <T2,+,·> 同为环 <R,+,·> 之理想,则 <T1∩T2,+,·> 亦为环
<R,+,·> 之理想 。
定理 8.2.5 若 <T,+,·> 为含幺环 <R，
+,·> 之任一真理想,则 T中任一元素均无乘法逆元 。
现在用 R/T表示群 <R,+>中 T的所有不同陪集的簇 。 首先定义 R/T
(a+T)?(b+T)=(a+b)+T
则 <R/T,?>是 Abel群 。
其次定义 R/T中的乘法 ⊙ 如下：
(a+T)⊙ (b+T)=(a·b)+T
则 <R/T,⊙ >是半群 。
定理 8.2.6 若 <T,+,·> 是环 <R，
+,·> 的理想,则 <R/T,?,⊙ >是商环 。
８,３ 环同态与环同构定义 8.3.1 给定环 <R,+,·> 与 <S,?,⊙ >，
则环 <R,+,·>? 环 <S,?,
⊙ >:=(?f)(f∈ SR∧ (?a)(?b)(a,
b∈ R→( f(a+b)=f(a)?f(b)∧ f(a·b)=f(a)⊙ f(b))) 称 f
为从环 <R,+,·> 到环 <S,?,⊙ >的环同态映射 。
又若 f为双射，则环 <R,+,·>?环 <S,?，
⊙ >，此时称 f为从 <R,+,·> 到 <S,?,⊙ >的环同构映射。
不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且 f还能保持可分配性，即对任意 a,b，
c∈ R，则
f(a·( b+c))=f(a)⊙ f(b+c)
=f(a)⊙ (f(b)?f(c))
=(f(a)⊙ f(b))?(f(a)⊙ f(c))
定义 8.3.2 若 f为从环 <R,+,·> 到环 <S,?，
⊙ >的环同态映射,0S为环 <S,?,⊙ >的零元,
则集合 Kf={k|f(k)=0S∧ k∈ R},称为环同态映射 f
的核 。
关于环同态,环同构有群同态,群同构类似的定理,今仅叙述如下而其证明留给读者 。
定理 8.3.1 若 f为从环 <R,+,·> 到环 <S,?，
⊙ >的环同态映射，且 0R,0S,1R,1S分别为两个环的零元和幺元，则
(1) f(0R)=0S
(2) f(-a)=-f(a)
(3) <Kf,+,·> 是 <R,+,·> 的子环
(4) <f(R),?,⊙ >是 <S,?,⊙ >的子环
(5) f为单射?Kf={0R}
又若 f为双射，即 f为环同构映射，则
(6) f(1R)=1S
(7) 若 a∈ R有乘法逆元 a-1,f(a-1)=f(a)-1。
此外，由 (2)可证环同态映射保持减法运算，
因为对任意 a,b∈ R f(a-b)=f(a+(-
b))=f(a)?f(-b)=f(a)?(-f(b))=f(a)-f(b)
下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。
定理 8.3.2 若 f为从环 <R,+,·> 到环
<S,?,⊙ >的环同态映射，则 <Kf，
+,·> 为 <R,+,·> 之理想。
8.4 域对于环 <R,+,·> 施加进一步限制,即 <R-
{0},·> 是可交换群,便得到另外一个代数结构 —— 域 。
定义 8.4.1 给定可交换环 <R,+,·>,若
<R-{0},·> 为群,则称 <R,+,·> 为域 。
下面定理证明了域中无零因子,因而域中可约律成立 。
定理 8.4.1 <F,+,·> 为域?(?a)(?b)(a，
b∈ F∧ a·b=0→( a=0∨ b=0))
定理 8.4.2 设 <R,+,·> 是无零因子环,若
1<|R|<n,n?N+,则 <R,+,·> 是域 。
该定理说明了,元素大于 1的有限无零因子环是域 。
定理 8.4.3 设 <K,+,·> 是域,R?K，
且 <R,+,·> 是交换环，
F={ |a,b?R?b?0}，则 <F,+,·>
是交换域，且 R?F。并称 F是包含 R的商域，简称 F是 R的商域。
由定理证明可得出,① 只要 R能够嵌入一域中,则 R的商域 F必存在,并且商域 F的构造完全由 R 确定 。 因此,R的商域都同构,进而可知同构环的商域也是同构的 。 ② 任一域 K若包含
R,也就包含 R的商域 F,因此,F是包含 R的最小域 。 如有理数域 Q是整数环 Z的商域,它包含
Z的最小域 。
定理 8.4.4 给定环 <Zn,+n,·n>，则 <Zn，
+n,·n>为域?n为素数。
域与其理想之间有着很有趣的关系 。
定理 8.4.5 给定可交换含幺环 <R,+,·>,
则 <R,+,·> 为域?<R,+,·> 不具有真理想 。
8.5 有限域定义 8.5.1 给定域 <F,+,·>,若 |F|<n，
n?N+,则称 <F,+,·> 是有限域,或伽罗瓦
(Galois)域 。
根据 8.4节中定理 8.4.4可知,当 p是素数时,
<Zp,+p,·p>是有限域,并记为 GF(p)。
GF(p) 表明了,若 p 是 素 数 时,则
F={0,1,2,··,p-1}在 mod p的意义下关于加法 +和乘法 ·构成域 。
定义 8.5.2 设 <F,+,·> 是域,E?F。若对任意 a,b?E，有 a-b?E，且当 b?0时有 a·b-1?E，
则称 <E,+,·> 是域 <F,+,·> 的子域，称 <F，
+,·> 是域 <E,+,·> 的扩张。也简称 E是 F的子域,F是 E的扩张。若 <E∪ {?},+,·>是域，且
F=E∪ {?}，则 F是 E的单扩张，并记为 F=E(?)，
称?是 F关于 E的本原元素。
定义 8.5.3 若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。
例如，实数域 R中的在理数域 Q是素域，
<Zp,+p,·p>是素域。
定理 8.5.1 任何域包含一个且仅一个素域定义 8.5.4 设 <F,+,·> 是域,e是其单位元 。
若 e的任意倍均异于 0,则称该域的特征数是 0；
若 e的某素数 p倍是 0,称该域特征数是 p。
从上面讨论可得出：
定理 8.5.2 设素域 <E,+,·> 的特征数是 p，
则 <E,+,·>?<Zp,+p,·p>；若特征数是 0,则 <E，
+,·>?<Q,+,·> 。
注意域与其子域的单位元是一致的,可见域与其子域的特征数是相同的 。
定理 8.5.3 设 <F,+,·> 是域,n是整数，
对任意非零元 a?F，若特征数是 0，则 na=o iff
n=0；若特征数是 p，则 na=0 iff n?0(mod p)。
由定理可知,特征数是单位元的性质,也是域中任意元的公共性质 。
定理 8.5.4 设 <F,+,·> 是有限域,其素域
<E,+,·>,|F|=q,则特征数 p?0,且 q=pn,其中 n是 F关于 E的底之元数 。
定理 8.5.5 设 <F,+,·> 是域,|F|=q,则 F
的元是由多项式 xq-x的根所组成 。
定理 8.5.6 元数相等的有限域是同构的 。 在同构意义下,只有唯一的元素是 pn的有限域,
其中 p为素数 。 该有限域表为 GF(pn)。
8.1 环
8.2 子环与理想
8.3 环同态与环同构
8.4 域
8.5 有限域退出
8.1 环定义 8.1.1 给定 <R,+,·>,其中 +和 ·都是二元运算,若 ① <R,+>是 Abel群,② <R,·> 是半群,③ ·对于 +是可分配的,则称 <R,+,·> 是环 。
为了方便,通常将 +称为加法,将 ·称为乘法,把 <R,+>称为加法群,<R,·> 称为乘法半群 。 而且还规定,运算的顺序先乘法后加法 。
环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以 0示之。若 a∈ R，则其加法逆元以 -a表之。
常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。
定义 8.1.2 给定环 <R,+,·>,若 <R,·> 是可交换半群，则称 <R,+,·> 是可交换环；若
<R,·> 是独异点，则称 <R,+,·> 是含幺环；若
<R,·> 满足等幂律，则称 <R,+,·> 是布尔环。
通常用 1表示 <R,·> 的幺元。在 <R,·> 中，
若 a∈ R的逆元存在，则以 a-1表示其乘法逆元。
定理 8.1.1 <R,+,·>是环?(?a)(a∈ R→ a·0=0·a=0)
下面讨论加法逆元的性质,为方便记,a+(-b)表成 a-b。
定理 8.1.2 <R,+,·> 是环? (?a)(?b)(a,
b∈ R→ -(a·b)=a·( -b)=(-a)·b
同理 -(a·b)=(-a)·b
推论 1 (?a)(?b)(a,b∈ R→( -a)·(-b)=a·b)
推论 2 (?a)(?b)(?c)(a,b,c∈ R→( a·( b-
c)=a·b-a·c)∧ ((b-c)·a=b·a-c·a))
由定理 8.1.1可知,环中任二元素相乘,若其中至少有一个为零元,则乘积必为零元 。 但反之未必真,这是因为在环中,两个非零元的乘积可能为零元,这便引出环的零因子的概念 。
定义 8.1.3 给定环 <R,+,·>,则环 <S，
+,·> 中有零因子,=(?a)(?b)(a，
b∈ R∧ a≠0∧ b≠0→ a·b=0)
并称该环为含零因子环,a和 b是零因子。
注意，零因子其自身非零也。
定理 8.1.3 给定环 <R,+,·>,则 <R，
+,·> 为无零因子环?<R,·> 满足可约律 。
定义 8.1.4 给定可交换含幺环 <R,+,·>,
若 <R,+,·> 无零因子,则称 <R,+,·> 为整环 。
由定义 8.1.3知道,环中可约律与无零因子是等价的,因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环 。
下面再给出一个定理以结束本节。
定理 8.1.4 给定含幺环 <R,+,·> 且
R≠{0}，则 |R|≥2。
8.2 子环与理想与讨论群与子群一样,对于环也要讨论子环 。
定义 8.2.1 给定环 <R,+,·> 和非空集合
S?R,若 <S,+>是 <R,+>的子群,<S,·> 是
<R,·> 的子半群,则称 <S,+,·> 是 <R,+,·>
的子环 。
这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。
由环的定义知道，若 <S,+>为群 <R,+>
的子群,<S,+>是 <R,·> 的子半群，在 R上乘法对于加法分配律成立，则 <S,+,·> 是 <R，
+,·> 的子环。显然由于 S?R而分配律、结合律在 R中成立。则在 S中亦成立。于是，子环可定义如下：
若 (1)?≠S?R
(2)<S,+>是 <R,+>的子群
(3)S对 ·满足封闭性则 <S,+,·> 为 <R,+,·> 的子环。
由此及上节定理 7.6.3,<S,⊙ >是 <R,⊙ >
的子群的充要条件是对任意 a,b∈ S则 a⊙ b-1∈ S，
便可得到下面定理。
定理 8.2.1 给定环 <R,+,·> 及?≠S?R，则
<S,+,·> 是 <R,+,·> 的子环?(?a)(?b)(a，
b∈ S→ a-b∈ S∧ a·b∈ S)
本定理表明 <S,+,·> 为 <R,+,·> 的子环的主要条件是 S对减法运算封闭和 S对乘法运算封闭。
由此看出,含幺环的子环未必也含幺元,
因为 <I,+,·>是含幺元 1的环,其子环 <E,+,·>不再含乘法幺元 。
下面引进一种特殊的子环,称之为理想,
理想在环中与正规子群对于群的地位相仿 。
定义 8.2.2 设 <T,+,·> 为 <R,+,·> 的子环,若对于 T中任何元 t和 R中任何元 a,有 a·t∈ T
且 t·a∈ T,则称 <T,+,·> 为环 <R,+,·> 的理想 。
显然,若 <R,+,·> 是可交换环,a·t∈ S或
t·a∈ S只要其一即可 。
由定义可知，若 <T,+,·> 为理想，则 R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于 T，则乘积必属于 T。
当 <S,+,·> 是环 <R,+,·> 的子环时，要求 S对于乘法运算封闭；而当 <T,+,·> 是环 <R，
+,·> 的理想时，要求更强的封闭性，即 T对于乘上 R中任一元素的运算封闭。
注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：
定理 8.2.2 给定环 <R,+,·> 及?≠T?R，则
<T,+,·> 为环 <R,+,·> 的理想
(?t)(?t1)(?a)(t,t1∈ T∧ a∈ R→( t-t1)∈ T∧
t·a∈ T∧ a·t∈ T)
定义 8.2.3 令 <T,+,·> 是环 <R,+,·> 之理想,若在 T中存在元 g,使得 T=R·g,其中
R·g={a·g|a∈ R},则称 <T,+,·> 为环 <R,+,·>
的主理想 。 并称 g为 <T,+,·> 的生成元或说由 g
生成 <T,+,·>,常常用 (g)表示 T。
对于环 <I,+,·> 来说,它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想 。 因此有下面待证定理 。
定理 8.2.3 设 <L,+,·> 为环 <I,+,·> 之理想，则存在 i∈ I+，使得 L=(i)。即 <I,+,·> 的每个理想皆为主理想。
对于任一环的理想,读者不难证明下面定理：
定理 8.2.4 若 <T1,+,·> 与 <T2,+,·> 同为环 <R,+,·> 之理想,则 <T1∩T2,+,·> 亦为环
<R,+,·> 之理想 。
定理 8.2.5 若 <T,+,·> 为含幺环 <R，
+,·> 之任一真理想,则 T中任一元素均无乘法逆元 。
现在用 R/T表示群 <R,+>中 T的所有不同陪集的簇 。 首先定义 R/T
(a+T)?(b+T)=(a+b)+T
则 <R/T,?>是 Abel群 。
其次定义 R/T中的乘法 ⊙ 如下：
(a+T)⊙ (b+T)=(a·b)+T
则 <R/T,⊙ >是半群 。
定理 8.2.6 若 <T,+,·> 是环 <R，
+,·> 的理想,则 <R/T,?,⊙ >是商环 。
８,３ 环同态与环同构定义 8.3.1 给定环 <R,+,·> 与 <S,?,⊙ >，
则环 <R,+,·>? 环 <S,?,
⊙ >:=(?f)(f∈ SR∧ (?a)(?b)(a,
b∈ R→( f(a+b)=f(a)?f(b)∧ f(a·b)=f(a)⊙ f(b))) 称 f
为从环 <R,+,·> 到环 <S,?,⊙ >的环同态映射 。
又若 f为双射，则环 <R,+,·>?环 <S,?，
⊙ >，此时称 f为从 <R,+,·> 到 <S,?,⊙ >的环同构映射。
不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且 f还能保持可分配性，即对任意 a,b，
c∈ R，则
f(a·( b+c))=f(a)⊙ f(b+c)
=f(a)⊙ (f(b)?f(c))
=(f(a)⊙ f(b))?(f(a)⊙ f(c))
定义 8.3.2 若 f为从环 <R,+,·> 到环 <S,?，
⊙ >的环同态映射,0S为环 <S,?,⊙ >的零元,
则集合 Kf={k|f(k)=0S∧ k∈ R},称为环同态映射 f
的核 。
关于环同态,环同构有群同态,群同构类似的定理,今仅叙述如下而其证明留给读者 。
定理 8.3.1 若 f为从环 <R,+,·> 到环 <S,?，
⊙ >的环同态映射，且 0R,0S,1R,1S分别为两个环的零元和幺元，则
(1) f(0R)=0S
(2) f(-a)=-f(a)
(3) <Kf,+,·> 是 <R,+,·> 的子环
(4) <f(R),?,⊙ >是 <S,?,⊙ >的子环
(5) f为单射?Kf={0R}
又若 f为双射，即 f为环同构映射，则
(6) f(1R)=1S
(7) 若 a∈ R有乘法逆元 a-1,f(a-1)=f(a)-1。
此外，由 (2)可证环同态映射保持减法运算，
因为对任意 a,b∈ R f(a-b)=f(a+(-
b))=f(a)?f(-b)=f(a)?(-f(b))=f(a)-f(b)
下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。
定理 8.3.2 若 f为从环 <R,+,·> 到环
<S,?,⊙ >的环同态映射，则 <Kf，
+,·> 为 <R,+,·> 之理想。
8.4 域对于环 <R,+,·> 施加进一步限制,即 <R-
{0},·> 是可交换群,便得到另外一个代数结构 —— 域 。
定义 8.4.1 给定可交换环 <R,+,·>,若
<R-{0},·> 为群,则称 <R,+,·> 为域 。
下面定理证明了域中无零因子,因而域中可约律成立 。
定理 8.4.1 <F,+,·> 为域?(?a)(?b)(a，
b∈ F∧ a·b=0→( a=0∨ b=0))
定理 8.4.2 设 <R,+,·> 是无零因子环,若
1<|R|<n,n?N+,则 <R,+,·> 是域 。
该定理说明了,元素大于 1的有限无零因子环是域 。
定理 8.4.3 设 <K,+,·> 是域,R?K，
且 <R,+,·> 是交换环，
F={ |a,b?R?b?0}，则 <F,+,·>
是交换域，且 R?F。并称 F是包含 R的商域，简称 F是 R的商域。
由定理证明可得出,① 只要 R能够嵌入一域中,则 R的商域 F必存在,并且商域 F的构造完全由 R 确定 。 因此,R的商域都同构,进而可知同构环的商域也是同构的 。 ② 任一域 K若包含
R,也就包含 R的商域 F,因此,F是包含 R的最小域 。 如有理数域 Q是整数环 Z的商域,它包含
Z的最小域 。
定理 8.4.4 给定环 <Zn,+n,·n>，则 <Zn，
+n,·n>为域?n为素数。
域与其理想之间有着很有趣的关系 。
定理 8.4.5 给定可交换含幺环 <R,+,·>,
则 <R,+,·> 为域?<R,+,·> 不具有真理想 。
8.5 有限域定义 8.5.1 给定域 <F,+,·>,若 |F|<n，
n?N+,则称 <F,+,·> 是有限域,或伽罗瓦
(Galois)域 。
根据 8.4节中定理 8.4.4可知,当 p是素数时,
<Zp,+p,·p>是有限域,并记为 GF(p)。
GF(p) 表明了,若 p 是 素 数 时,则
F={0,1,2,··,p-1}在 mod p的意义下关于加法 +和乘法 ·构成域 。
定义 8.5.2 设 <F,+,·> 是域,E?F。若对任意 a,b?E，有 a-b?E，且当 b?0时有 a·b-1?E，
则称 <E,+,·> 是域 <F,+,·> 的子域，称 <F，
+,·> 是域 <E,+,·> 的扩张。也简称 E是 F的子域,F是 E的扩张。若 <E∪ {?},+,·>是域，且
F=E∪ {?}，则 F是 E的单扩张，并记为 F=E(?)，
称?是 F关于 E的本原元素。
定义 8.5.3 若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。
例如，实数域 R中的在理数域 Q是素域，
<Zp,+p,·p>是素域。
定理 8.5.1 任何域包含一个且仅一个素域定义 8.5.4 设 <F,+,·> 是域,e是其单位元 。
若 e的任意倍均异于 0,则称该域的特征数是 0；
若 e的某素数 p倍是 0,称该域特征数是 p。
从上面讨论可得出：
定理 8.5.2 设素域 <E,+,·> 的特征数是 p，
则 <E,+,·>?<Zp,+p,·p>；若特征数是 0,则 <E，
+,·>?<Q,+,·> 。
注意域与其子域的单位元是一致的,可见域与其子域的特征数是相同的 。
定理 8.5.3 设 <F,+,·> 是域,n是整数，
对任意非零元 a?F，若特征数是 0，则 na=o iff
n=0；若特征数是 p，则 na=0 iff n?0(mod p)。
由定理可知,特征数是单位元的性质,也是域中任意元的公共性质 。
定理 8.5.4 设 <F,+,·> 是有限域,其素域
<E,+,·>,|F|=q,则特征数 p?0,且 q=pn,其中 n是 F关于 E的底之元数 。
定理 8.5.5 设 <F,+,·> 是域,|F|=q,则 F
的元是由多项式 xq-x的根所组成 。
定理 8.5.6 元数相等的有限域是同构的 。 在同构意义下,只有唯一的元素是 pn的有限域,
其中 p为素数 。 该有限域表为 GF(pn)。
