函数的微分前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念 —— 微分。
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
,00 xxx变到设边长由 0x
0x
x?
x?,2
0xA?正方形面积?
20xA? 2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1(
xx?0
xx?0
:)1( ;,的主要部分且为的线性函数 Ax
)2(
2)( x?
:)2(,,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x? ),()2( xox 的高阶无穷小是
.3 20 xxy 既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
y
xA
xo
)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx
三、可微的条件定理
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy,)( xxoAxy
x
xoA
x
y
xx?
)(l i ml i m
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf且可导在点即函数
(2) 充分性,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(lim 00 xfxyx,)( 0 xfxy即
),()( 0 xxxfy从而 ),0(0 x?
),()( 0 xoxxf
.)(,)( 00 Axfxxf且可微在点函数?
).(,0xfA 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数由微分的定义及上述定理可知 处可导在若 0)( xxf
xxfdyxxf?)()( 00处可微，且在则时当 0)( 0 xf 1)(l i ml i m
000
xxf
y
dy
y
xx?
)0(~ xdyy )( yodyy
y
xxfy
y
dyy
xx?
)(l i ml i m 0
00
x
y
xf
x
)(
1l i m 0
0 0?
这表明 的条件下在 0)( 0 xf 时当 0?x dyy
不仅是比 x? 高阶的无穷小，而且也是比 y?
高阶的无穷小，因此 的主要部分是 ydy?
.,
,
xdxdx
xx
即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
".",微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
四、微分的几何意义几何意义,(如图 )
x
y
o
)(xfy?
0x
M
T
）?
xx0
P
N
x?
y?dy
)( xo?
.
,
对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当
dy
y?
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当?
五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
xdxxxdxdxxxd
xdxxdxdxxd
xdxxdxdxxd
dxxxdCd
c otc s c)( c s ct ans e c)( s e c
c s c)( c ots e c)( t an
s i n)( c osc os)( s i n
)(0)(
22
1
dx
x
xa r cddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeeda d xaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u dvv du
v
u
du dvv duuvd
C duCuddvduvud
例 1,),l n ( 2 dyexy x 求设
解,21 2
2
x
x
ex
xey
,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
例 2,,c o s31 dyxey x 求设
解 )( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx
.s in)( c o s,3)( 3131 xxee xx
dxxedxexdy xx )s in()3(c o s 3131
.)s inc o s3(31 dxxxe x
六、微分形式的不变性
),()( xfxfy 有导数设函数;)(,)1( dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
,)( dxdtt,)( dxxfdy
结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
dxxfdy )(
微分形式的不变性例 3,),12s i n( dyxy 求设
解,12,s in xuuy?
ud udy c o s )12()12c o s ( xdx
dxx 2)12c o s (,)12c o s (2 dxx
例 4,,s i n dybxey ax 求设
解 )(s in)(c o s axdebxbxb x dedy axax
dxaebxb d xbxe axax )(s inc o s
.)s inc o s( dxbxabxbe ax
例 5 dxdydybae yxxy,,求设?
解一 两边同时求微分得 )()( yxxy baded?
)()()( yxxyxy bdaadbxyde
]ln[ ln][ bdyadxbay d xxdye yxxy
bdyadxxdyy d x lnln
dxbx yady lnln
bx
ya
dx
dy
ln
ln
解二 两边取对数得
byaxxy lnln 两边对 x 求导，有
byayxy lnln
bx
ya
dx
dy
ln
ln
dx
bx
yady?
ln
ln
由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为 微分法七、微分在近似计算中的应用
1.计算函数的近似值;)().1( 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xf
.)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x?;0)().2( 附近的近似值在点求?xxf
.,00 xxx令
,)()()( 000 xxfxfxxf
.)0()0()( xffxf
2.常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(ta n)3(
);(s i n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
为弧度为弧度证明,1)()1( n xxf设,)1(1)(
11 nx
nxf
.1)0(,1)0( nff
xffxf )0()0()(,1 nx
八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题 导数的概念函数的增量问题 微分的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
★ 导数与微分的联系,,可微可导?
★ 导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
00
00
它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxfdy
xfxxf
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量方程在点处的切线在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
近似计算的基本公式
,很小时当 x?
00 xxxx dyy,)( 0xf
),()()()( 000 xxxfxfxf
,0时当?x
.)0()0()( xffxf
思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
一、问题的提出实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
,00 xxx变到设边长由 0x
0x
x?
x?,2
0xA?正方形面积?
20xA? 2020 )( xxxA
.)(2 20 xxx )1(
xx?0
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:)1( ;,的主要部分且为的线性函数 Ax
)2(
2)( x?
:)2(,,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx
再例如,
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求函数的改变量时为处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy
.)()(33 32020 xxxxx )1( )2(
,很小时当 x? ),()2( xox 的高阶无穷小是
.3 20 xxy 既容易计算又是较好的近似值问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义定义
.),(
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即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA
dy
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)(1 ).0(1 x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA?
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三、可微的条件定理
).(,)(
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且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
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00则,A?
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(2) 充分性,)( 0 可导在点函数 xxf?
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.)(,)( 00 Axfxxf且可微在点函数?
).(,0xfA 可微可导
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即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数由微分的定义及上述定理可知 处可导在若 0)( xxf
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这表明 的条件下在 0)( 0 xf 时当 0?x dyy
不仅是比 x? 高阶的无穷小，而且也是比 y?
高阶的无穷小，因此 的主要部分是 ydy?
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,
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即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ).( xfdxdy
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四、微分的几何意义几何意义,(如图 )
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五、微分的求法
dxxfdy )(
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
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六、微分形式的不变性
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结论,
的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论
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微分形式的不变性例 3,),12s i n( dyxy 求设
解,12,s in xuuy?
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例 5 dxdydybae yxxy,,求设?
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bdyadxxdyy d x lnln
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解二 两边取对数得
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由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为 微分法七、微分在近似计算中的应用
1.计算函数的近似值;)().1( 0 附近的近似值在点求 xxxf?
)()( 00 xfxxfy,)( 0 xf
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,)()()( 000 xxfxfxxf
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11 nx
nxf
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八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题 导数的概念函数的增量问题 微分的概念求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学,
★ 导数与微分的联系,,可微可导?
★ 导数与微分的区别,
.,,
,))((
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00
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它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数
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00
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.
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000
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的纵坐标增量方程在点处的切线在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
近似计算的基本公式
,很小时当 x?
00 xxxx dyy,)( 0xf
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思考题 因为一元函数 )( xfy? 在
0x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说,微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,
