L.Hospital法则在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式,00
本节我们就利用 Cauchy中值定理来建立求未定式极限的 L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求
和
0
0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出
1,,0,,0 00等其它类型的未定式的极限洛必达法则型未定式解法型及一,:00
定义
.
0
0
)(
)(
lim
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xF
xf
xF
xfxax
x
ax
例如,,tanlim0 x xx?,s inln s inlnlim 0 bxaxx?)00( )(?
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfx
axax
ax
那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 xaxx
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1
ax
axxfxf,
,0
),()(
1
ax
axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
)(
)(
F
f
)( 之间与在 ax?
,,aax时当,)( )(lim AxF xfax,)( )(lim AFfa
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax
注 ① 定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于 0；导数之比的极限存在或为 ∞
② 定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限
③
未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若
)(),(
)(),(
)(
)(
lim
0
xgxf
xgxf
xg
xf
xx
)(
)(l i m
)(
)(l i m
00 xg
xf
xg
xf
xxxx?
)(
)(l i m
0 xg
xf
xx
④
x
xxxxxxxx,,,,000 换成将仍有类似的结论型的极限时 00x如：
定理
)(
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
)(
lim)3(
0)(||)(),()2(
0)(lim)(lim)1(
||)(),(
或则或时可导，且在上有定义，且在设
A
xg
xf
xg
xf
A
xg
xf
xgNxxgxf
xgxf
Nxxgxf
xx
x
xx
关于 型的极限,有下述定理定理
)(
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
)(
lim)3(
0)()(),()2(
)(lim)(lim)1(
)(),(
00
0
00
0
或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设
A
xg
xf
xg
xf
A
xg
xf
xgxgxf
xgxf
xxgxf
xxxx
xx
xxxx
x
xxxxxxxx,,,,000 换成将结论仍成立例 1,123lim 23
3
1
xxx
xx
x
求 )00(
解 123 33lim 2
2
1
xx
x
x
原式 )00(
26
6lim
1?
x
x
x,2
3?
例 2 xx
xee xx
x s in
2lim
0?
)00(
x
ee xx
x c os1
2lim
0?
)00(
x
ee xx
x s in
lim
0
)0
0(
x
ee xx
x c o s
lim
0
2?
注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。
例 3
解
.
1
a r c t a n
2lim
x
x
x
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
原式
2
2
1lim x
x
x?
,1?
例 4
解
.s inln s inlnlim
0 bx
ax
x?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c o s
c o slim
0?
例 5 证明 0lnlimx xx )0,,(0lim
xx e
x
证 分两种情况
① 正整数若 则连续使用 μ次法则，得
xxxx ee
x
!l i ml i m
0?
② 正整数若 )10( rr记则连续使用 [μ]次法则，得
xxxx e
x
e
x
][
][)1][()1(
limlim
x
r
x e
x
][
)1][()1(l i m
x
r
x e
x
1][
1][ ))(1][()1(
lim?
rxx xe
11][
])[)(1][()1(l i m
0?
本例说明, 都趋于时，当 xexxx,,ln
但它们趋于 +∞的速度有快有慢由慢到快依次是：
对数函数、幂函数、
指数函数这一点从图上即可看出 o x
y
xy?ln?
xy?
xey
例 6,3ta n
ta nlim
2
x
x
x
求 )(
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
x
x
x
x
x
x
xx c os
3c os
3s in
s inlim
3t an
t anlim
22
)00(
x
x
x
x
xx c os
3c osli m
3s i n
s i nli m
22
x
x
x c os
3c oslim
2
x
x
x s in
3s in3lim
2
3?
例 7 1
1sin
lim
2
0 xx e
x
x
)00(
xx e
xx
x 1co s1s in2
lim
0
分母 → 1，分子振荡而没有极限 L.Hospital法则,失效,
x
x
e
x
e
x
x
xxxx
1s i n
1
lim
1
1s i n
lim
0
2
0
但 01 0?
注 分子分母中出现
xxxxxx
1co s,1s i n,co s,s i n,0 时或时
不可使用 L.Hospital法则例 8,t a nt a nlim 20 xx xxx求解 3
0
t a nlim
x
xx
x
原式 2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
x
xx
x 6
t ans e c2lim 2
0?
x x
x
ta nlim
3
1
0?
,31?
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法 —— 尤其是等价无穷小的代换 —— 结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。
型未定式解法二,00,1,0,,0
关键,通过适当的恒等变形 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
仍可使用 L.Hospital法则来求极限型0.1
步骤,,10,000100或即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型或00
例 9 xx
x lnlim 0
x
x
x 1
lnlim
0
2
0 1
1
lim
x
x
x
xx 0lim 0?
注意,对数因子不下放，要放在分子上型.2
步骤,0101,00 00
例 10 ).1s in1(lim
0 xxx
求 )(
解
xx
xx
x s in
s inlim
0?
原式
xxx
x
x co ss in
co s1lim
0?
,0?
型00,1,0.3
步骤,
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0
例 11,lim
0
x
x x求
)0( 0
解 xx
x e
ln
0lim原式
xxxe lnlim0 x
x
x
e
1
lnlim
0
2
0 1
1
lim
x
x
x
e
0e?,1?
例 12,lim 1
1
1
x
x
x?
求 )1(?
解 xx
x
e ln1
1
1
lim?
原式 xxxe 1lnlim1
1
lim
1
x
xe,1e
例 13
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex取对数得
)ln ( co tln 1lim
0
xx
x
x
xx
x 1
s i n
1
cot
1
lim
2
0
xx
x
x s inco s
lim
0?
,1,
1 e原式例 14
解
.c o slim x xx
x
求
1
s in1lim x
x
原式 ).s in1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
)co s11(lim xx
x
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
几点说明
① L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为 ∞，当定理的条件不满足时，主要是指（ 3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不 ∞，函数之比的极限未必不存在，此时
L.Hospital法则：,失效,
xxxxxx
1co s,1s i n,co s,s i n,0 时或时若出现
不宜使用 L.Hospital法则
② L.Hospital法则只能对，00 这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化
③ L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用效果会更好
④ 使用 L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别是极限不为 0的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次乘积极限的运算法则）
⑤ 可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以简化计算三、小结洛必达法则 型00,1,0
型 型0型0
0
型 gfgf 1 fg fggf 11 11
取对数令 gfy?
思考题设
)(
)(
l i m
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
的极限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答不一定．
例,s in)( xxxf xxg?)(
显然
)(
)(lim
xg
xf
x 1
c os1lim x
x
极限不存在．
但?
)(
)(lim
xg
xf
x x
xx
x
s inlim?
1?
极限存在．
本节我们就利用 Cauchy中值定理来建立求未定式极限的 L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求
和
0
0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出
1,,0,,0 00等其它类型的未定式的极限洛必达法则型未定式解法型及一,:00
定义
.
0
0
)(
)(
lim
,)(
)(,)(
)(
型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当
xF
xf
xF
xfxax
x
ax
例如,,tanlim0 x xx?,s inln s inlnlim 0 bxaxx?)00( )(?
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfx
axax
ax
那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 xaxx
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1
ax
axxfxf,
,0
),()(
1
ax
axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
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xF
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)(
)(
F
f
)( 之间与在 ax?
,,aax时当,)( )(lim AxF xfax,)( )(lim AFfa
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax
注 ① 定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于 0；导数之比的极限存在或为 ∞
② 定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限
③
未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若
)(),(
)(),(
)(
)(
lim
0
xgxf
xgxf
xg
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xx
)(
)(l i m
)(
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xf
xg
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xxxx?
)(
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xx
④
x
xxxxxxxx,,,,000 换成将仍有类似的结论型的极限时 00x如：
定理
)(
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
)(
lim)3(
0)(||)(),()2(
0)(lim)(lim)1(
||)(),(
或则或时可导，且在上有定义，且在设
A
xg
xf
xg
xf
A
xg
xf
xgNxxgxf
xgxf
Nxxgxf
xx
x
xx
关于 型的极限,有下述定理定理
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)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
)(
lim)3(
0)()(),()2(
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00
0
00
0
或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设
A
xg
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A
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xgxgxf
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xxxx
xx
xxxx
x
xxxxxxxx,,,,000 换成将结论仍成立例 1,123lim 23
3
1
xxx
xx
x
求 )00(
解 123 33lim 2
2
1
xx
x
x
原式 )00(
26
6lim
1?
x
x
x,2
3?
例 2 xx
xee xx
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0?
)00(
x
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x c os1
2lim
0?
)00(
x
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x
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0
2?
注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。
例 3
解
.
1
a r c t a n
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x
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2
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1
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原式
2
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,1?
例 4
解
.s inln s inlnlim
0 bx
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求
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s i nco sl i m
0?
原式,1?
)00(
)(
ax
bx
x c o s
c o slim
0?
例 5 证明 0lnlimx xx )0,,(0lim
xx e
x
证 分两种情况
① 正整数若 则连续使用 μ次法则，得
xxxx ee
x
!l i ml i m
0?
② 正整数若 )10( rr记则连续使用 [μ]次法则，得
xxxx e
x
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x
][
][)1][()1(
limlim
x
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x
][
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x
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lim?
rxx xe
11][
])[)(1][()1(l i m
0?
本例说明, 都趋于时，当 xexxx,,ln
但它们趋于 +∞的速度有快有慢由慢到快依次是：
对数函数、幂函数、
指数函数这一点从图上即可看出 o x
y
xy?ln?
xy?
xey
例 6,3ta n
ta nlim
2
x
x
x
求 )(
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
x
x
x
x
x
x
xx c os
3c os
3s in
s inlim
3t an
t anlim
22
)00(
x
x
x
x
xx c os
3c osli m
3s i n
s i nli m
22
x
x
x c os
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2
x
x
x s in
3s in3lim
2
3?
例 7 1
1sin
lim
2
0 xx e
x
x
)00(
xx e
xx
x 1co s1s in2
lim
0
分母 → 1，分子振荡而没有极限 L.Hospital法则,失效,
x
x
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x
e
x
x
xxxx
1s i n
1
lim
1
1s i n
lim
0
2
0
但 01 0?
注 分子分母中出现
xxxxxx
1co s,1s i n,co s,s i n,0 时或时
不可使用 L.Hospital法则例 8,t a nt a nlim 20 xx xxx求解 3
0
t a nlim
x
xx
x
原式 2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
x
xx
x 6
t ans e c2lim 2
0?
x x
x
ta nlim
3
1
0?
,31?
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法 —— 尤其是等价无穷小的代换 —— 结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。
型未定式解法二,00,1,0,,0
关键,通过适当的恒等变形 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,),00( )(
仍可使用 L.Hospital法则来求极限型0.1
步骤,,10,000100或即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型或00
例 9 xx
x lnlim 0
x
x
x 1
lnlim
0
2
0 1
1
lim
x
x
x
xx 0lim 0?
注意,对数因子不下放，要放在分子上型.2
步骤,0101,00 00
例 10 ).1s in1(lim
0 xxx
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解
xx
xx
x s in
s inlim
0?
原式
xxx
x
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co s1lim
0?
,0?
型00,1,0.3
步骤,
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
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取对数
.0
例 11,lim
0
x
x x求
)0( 0
解 xx
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ln
0lim原式
xxxe lnlim0 x
x
x
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1
lnlim
0
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0 1
1
lim
x
x
x
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例 12,lim 1
1
1
x
x
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求 )1(?
解 xx
x
e ln1
1
1
lim?
原式 xxxe 1lnlim1
1
lim
1
x
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例 13
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex取对数得
)ln ( co tln 1lim
0
xx
x
x
xx
x 1
s i n
1
cot
1
lim
2
0
xx
x
x s inco s
lim
0?
,1,
1 e原式例 14
解
.c o slim x xx
x
求
1
s in1lim x
x
原式 ).s in1(lim xx
极限不存在洛必达法则失效。
)co s11(lim xx
x
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
几点说明
① L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为 ∞，当定理的条件不满足时，主要是指（ 3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不 ∞，函数之比的极限未必不存在，此时
L.Hospital法则：,失效,
xxxxxx
1co s,1s i n,co s,s i n,0 时或时若出现
不宜使用 L.Hospital法则
② L.Hospital法则只能对，00 这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化
③ L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用效果会更好
④ 使用 L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别是极限不为 0的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次乘积极限的运算法则）
⑤ 可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以简化计算三、小结洛必达法则 型00,1,0
型 型0型0
0
型 gfgf 1 fg fggf 11 11
取对数令 gfy?
思考题设
)(
)(
l i m
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
的极限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答不一定．
例,s in)( xxxf xxg?)(
显然
)(
)(lim
xg
xf
x 1
c os1lim x
x
极限不存在．
但?
)(
)(lim
xg
xf
x x
xx
x
s inlim?
1?
极限存在．
