最大值、最小值问题在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是 2用料最省，
费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。
假定 f ( x )在 [ a,b ]上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为 0。我们就在这样的条件下讨论 f( x )在 [ a,b ]上的最值的求法。
一、最值的求法首先由闭区间上连续函数的性质 f( x )在 [ a,b ]
上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，
则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
)(),(,),(),(,),(),(m ax 11( m i n )m a x
( m i n )
bfdfdfcfcfafy nm
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
例 2 上的最值在求 ]2,2[)1()( 3
1
23
2
xxxf
解 xxxxf 2)1(3132)( 3
2
23
1
3
2
23
1
3
4
3
2
2
)1(
)1(
3
2
xx
xx
0)( xf令 得驻点 21x )1( 22 xx
不存在处易知，在 )(1,0 xfxx
这些点处的函数值为：
3
1
3
1
3
1
34)2(1)1(
4)
2
1
(1)0(
ff
ff
比较以上各点处的函数值可知
3
1
m a x 4)2
1( ff
3
1
3
1
m i n 34)2( ff
在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况：
f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点 x0，并且这个驻点 x0同时也是 f(x)的极值点，则当 f(x0)是极大
（小）值时,f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大
（小）值。
这是因为此时在 x0 的左、右两侧 )(xf? 的符号必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧 f ( x )的单调性必定相反。
敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B
处向正东追击速度为 2千米 /分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
例 3
解 (1)建立敌我相距函数关系公里5.0
公里4B
A?
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数 )(ts
)(ts
22 )24()5.0()( ttts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
例 4 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 101 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 350 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为?
10
3 5 068)203 5 0()( xR
)(1089 0 元?
例 5
大．所围成的三角形面积最及与直线使曲线在该点处的切线上求一点，曲边一个曲边三角形，在围成及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
T
x
y
o
P
A
B
C
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? ),0,8(C )16,8( 200 xxB?
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,2174096)316( 为极大值 s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
例 6 求使不等式 )0(245 52 xAxx
成立的最小正数 A
解 将不等式改写为 Axx )524( 25
则问题转化为：
求函数 )524()( 25 xxxf的最大值
)724(5)( 24 xxxf 0)( xf令
7
24 x )2148(10)( 23 xxxf
易见 0)724(f
)724(m a x ffA
2
7
7
242
三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?x
在 有最小值，但0?x 01)0(f
费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。
假定 f ( x )在 [ a,b ]上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为 0。我们就在这样的条件下讨论 f( x )在 [ a,b ]上的最值的求法。
一、最值的求法首先由闭区间上连续函数的性质 f( x )在 [ a,b ]
上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，
则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值 ;
)(),(,),(),(,),(),(m ax 11( m i n )m a x
( m i n )
bfdfdfcfcfafy nm
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,(最大值或最小值 )
二、应用举例例 1
解 )1)(2(6)( xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值的在求函数 xxxy
得解方程,0)( xf,1,2 21 xx
计算 )3(f ;23 )2(f ;34
)1(f ;7 ;142?)4(f
例 2 上的最值在求 ]2,2[)1()( 3
1
23
2
xxxf
解 xxxxf 2)1(3132)( 3
2
23
1
3
2
23
1
3
4
3
2
2
)1(
)1(
3
2
xx
xx
0)( xf令 得驻点 21x )1( 22 xx
不存在处易知，在 )(1,0 xfxx
这些点处的函数值为：
3
1
3
1
3
1
34)2(1)1(
4)
2
1
(1)0(
ff
ff
比较以上各点处的函数值可知
3
1
m a x 4)2
1( ff
3
1
3
1
m i n 34)2( ff
在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况：
f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点 x0，并且这个驻点 x0同时也是 f(x)的极值点，则当 f(x0)是极大
（小）值时,f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大
（小）值。
这是因为此时在 x0 的左、右两侧 )(xf? 的符号必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧 f ( x )的单调性必定相反。
敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸 B
处向正东追击速度为 2千米 /分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
例 3
解 (1)建立敌我相距函数关系公里5.0
公里4B
A?
).( 分追击至射击的时间处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数 )(ts
)(ts
22 )24()5.0()( ttts
.)()2( 的最小值点求 tss?
)(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
,0)( ts令得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
例 4 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元，x
租出去的房子有 套, 101 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( x
10
18050 x
1068)20()( xxxR
101)20(1068)( xxxR 570 x
0)( xR 350 x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为?
10
3 5 068)203 5 0()( xR
)(1089 0 元?
例 5
大．所围成的三角形面积最及与直线使曲线在该点处的切线上求一点，曲边一个曲边三角形，在围成及抛物线，由直线
80
80
2
2
xy
xy
xyxy
解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为为则切线 PT
T
x
y
o
P
A
B
C
),(2 000 xxxyy
,200 xy ),0,21( 0xA? ),0,8(C )16,8( 200 xxB?
)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x
,0)1616643(41 020 xxS令解得 ).(16,316 00 舍去 xx
8)316(s?,0?,2174096)316( 为极大值 s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故?s
例 6 求使不等式 )0(245 52 xAxx
成立的最小正数 A
解 将不等式改写为 Axx )524( 25
则问题转化为：
求函数 )524()( 25 xxxf的最大值
)724(5)( 24 xxxf 0)( xf令
7
24 x )2148(10)( 23 xxxf
易见 0)724(f
)724(m a x ffA
2
7
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三、小结注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
思考题 若 )( af 是 )( xf 在 ],[ ba 上的最大值或最小值，且 )( af? 存在，是否一定有 0)( af？
思考题解答结论不成立,因为最值点不一定是内点,
例 xxfy )( ]1,0[?x
在 有最小值，但0?x 01)0(f
