曲 率前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。
我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度 —— 切线的倾斜角）
的改变量一、弧微分
N
RTA
0x
M
x xx
.
),()(
内具有连续导数在区间设函数 baxf
x
y
o
),,(,00 yxA基点
,),( 为任意一点yxM
规定,;)1( 增大的方向一致曲线的正向与 x
,)2( sAM?
.,,,取负号相反时取正号一致时的方向与曲线正向当
ss
AM
).( xss?单调增函数
),,( yyxxN设 如图，
NTMTMNMN,0 时当 x
22 )()( yxMN xxy 2)(1,1 2 dxy
sMN,ds?
22 )()( dydxMT,1 2 dxy
dyyNT,0?,1 2 dxyds故
,)( 为单调增函数xss,1 2 dxyds故弧微分公式
N
M TRA
0x x xx x
y
o
二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1M
3M
2
2M 2S?
1S?
M M?1S?
2S?N N
弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大
1.曲率的定义
1
S?S
)?.
M?,
M
C
0M
y
xo
.sKMM的平均曲率为弧段设曲线 C是光滑的，
.0 是基点M,sMM
. 切线转角为MM
定义
sK s?
0
l i m曲线 C在点 M处的曲率
,lim
0
存在的条件下在 dsds
s
.dsdK
2.曲率的计算公式注意,(1) 直线的曲率处处为零 ;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,
,)( 二阶可导设 xfy?,t an y
,1 2 dxyyd
.
)1( 2
3
2y
yk
,a r ct a n y
有
.1 2 dxyds
,),( ),( 二阶可导设
ty
tx
.
)]()([
)()()()(
2
3
22 tt
ttttk
,)( )( ttdxdy,)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
例 1?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy
解,2 baxy,2ay
.
])2(1[
2
2
3
2bax
ak
显然,,2 时当 abx,最大k
,)4 4,2(
2
为抛物线的顶点又 a acbab
.最大抛物线在顶点处的曲率?
).
(
1
,
,
半径为圆弧轨道的到使曲率连续地由零过渡入一段缓冲段之间接稳，往往在直道和弯道驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变道时，若接头处弯铁轨由直道转入圆弧
R
R
例 2
.
1
)1(
,
],0[
6
1
0
3
R
A
R
l
R
l
OOA
OAlOA
xxx
Rl
y
的曲率近似为时，在终端很小并且当的曲率为零在始端冲段的长度，验证缓为，其中作为缓冲段
．，通常用三次抛物线
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
证 如图的负半轴表示直道，x
.,是圆弧轨道是缓冲段 ABOA
在缓冲段上,
,2 1 2xRly,1 xRly
,0,0,0 yyx 处在,00?k故缓冲始点的曲率实际要求,0xl?
l
2
02
1
0 xRly xx有
2
2
1 l
Rl?,2R
l?
0
1
0 xRly xx lRl
1?,1
R?
的曲率为故在终端 A
0
2
3
2 )1(
xxA
y
yk
2
3
2
2
)
4
1(
1
R
l
R
,1Rl?,1Rk A?得,4 2
2
R
l略去二次项
x
y
o
R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
l
三、曲率圆与曲率半径定义
D )(xfy?
M
k1
.),(
,.
1
,
,
).0(),(
)(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
M
kkyxM
xfy
,曲率中心D,曲率半径
x
y
o
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数,
.1,1 kk即注意,
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲 ).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ).
曲率圆 y=y(x)与曲线 y=f(x)的关系
① 过同一点 )()( 00 xfxy?
② 有公切线 )()( 00 xfxy
③ 圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
2
3
0
2
0
2
3
0
2
0
)](1[
|)(|
)](1[
|)(|
xf
xf
xy
xy
|)(||)(| 00 xfxy )()( 00 xfxy
设圆的方程为 222 )()( byax
连续求导两次，将上述条件代入得
22020 ])([)( bxfax
0)(])([)( 000 xfbxfax
0)(])([)]([1 0020 xfbxfxf
解得 )( )]([1)(
0
2
0
00 xf
xfxfxa
)(
)]([1)(
0
2
0
0 xf
xfxfb
|)(|
)](1[
0
2
3
0
2
xf
xf
例 3
x
y
o
Q
P
.
,
.70
,/4 0 0
,)(
4 0 0 0
2
压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线
vO
x
y
解 如图,受力分析,PQF
视飞行员在点 o作匀速圆周运动,.
2
mvF
O点处抛物线轨道的曲率半径
00 2000 xx
xy,0?,
2 0 0 0
1
0xy
得曲率为,2 0 0 010 xxk 曲率半径为,2000 米
20 0 0
40070 2 F ),(4.5 7 1)(5 6 0 0 千克牛
),(4.5 7 1)(70 千克力千克力 Q
).(5.6 4 1 千克力?
即,飞行员对座椅的压力为 641.5千克力,
四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支 —— 微分几何学,
基本概念,弧微分,曲率,曲率圆,
曲线弯曲程度的描述 —— 曲率 ;
曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ).
思考题椭圆 上哪些点处曲率最大？
,c o s2 tx? ty s in3?
思考题解答
2
3
2 ])(1[
||
y
yk
2
3
22 )cos9s i n4(
6
tt?
2
3
2 )cos54(
6
t?
要使 最大，k 2
3
2 )c o s54( t?必有 最小，
2
3,
2
t 此时 最大，k
我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向（角度 —— 切线的倾斜角）
的改变量一、弧微分
N
RTA
0x
M
x xx
.
),()(
内具有连续导数在区间设函数 baxf
x
y
o
),,(,00 yxA基点
,),( 为任意一点yxM
规定,;)1( 增大的方向一致曲线的正向与 x
,)2( sAM?
.,,,取负号相反时取正号一致时的方向与曲线正向当
ss
AM
).( xss?单调增函数
),,( yyxxN设 如图，
NTMTMNMN,0 时当 x
22 )()( yxMN xxy 2)(1,1 2 dxy
sMN,ds?
22 )()( dydxMT,1 2 dxy
dyyNT,0?,1 2 dxyds故
,)( 为单调增函数xss,1 2 dxyds故弧微分公式
N
M TRA
0x x xx x
y
o
二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1M
3M
2
2M 2S?
1S?
M M?1S?
2S?N N
弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大
1.曲率的定义
1
S?S
)?.
M?,
M
C
0M
y
xo
.sKMM的平均曲率为弧段设曲线 C是光滑的，
.0 是基点M,sMM
. 切线转角为MM
定义
sK s?
0
l i m曲线 C在点 M处的曲率
,lim
0
存在的条件下在 dsds
s
.dsdK
2.曲率的计算公式注意,(1) 直线的曲率处处为零 ;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,
,)( 二阶可导设 xfy?,t an y
,1 2 dxyyd
.
)1( 2
3
2y
yk
,a r ct a n y
有
.1 2 dxyds
,),( ),( 二阶可导设
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,)( )( ttdxdy,)( )()()()( 32
2
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例 1?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy
解,2 baxy,2ay
.
])2(1[
2
2
3
2bax
ak
显然,,2 时当 abx,最大k
,)4 4,2(
2
为抛物线的顶点又 a acbab
.最大抛物线在顶点处的曲率?
).
(
1
,
,
半径为圆弧轨道的到使曲率连续地由零过渡入一段缓冲段之间接稳，往往在直道和弯道驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变道时，若接头处弯铁轨由直道转入圆弧
R
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例 2
.
1
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,
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6
1
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3
R
A
R
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OOA
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xxx
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的曲率近似为时，在终端很小并且当的曲率为零在始端冲段的长度，验证缓为，其中作为缓冲段
．，通常用三次抛物线
x
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R
),( 00 yxA
)0,( 0xC
证 如图的负半轴表示直道，x
.,是圆弧轨道是缓冲段 ABOA
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,2 1 2xRly,1 xRly
,0,0,0 yyx 处在,00?k故缓冲始点的曲率实际要求,0xl?
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x
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三、曲率圆与曲率半径定义
D )(xfy?
M
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.),(
,.
1
,
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处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
M
kkyxM
xfy
,曲率中心D,曲率半径
x
y
o
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数,
.1,1 kk即注意,
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲 ).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ).
曲率圆 y=y(x)与曲线 y=f(x)的关系
① 过同一点 )()( 00 xfxy?
② 有公切线 )()( 00 xfxy
③ 圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
2
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2
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设圆的方程为 222 )()( byax
连续求导两次，将上述条件代入得
22020 ])([)( bxfax
0)(])([)( 000 xfbxfax
0)(])([)]([1 0020 xfbxfxf
解得 )( )]([1)(
0
2
0
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例 3
x
y
o
Q
P
.
,
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,/4 0 0
,)(
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2
压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线
vO
x
y
解 如图,受力分析,PQF
视飞行员在点 o作匀速圆周运动,.
2
mvF
O点处抛物线轨道的曲率半径
00 2000 xx
xy,0?,
2 0 0 0
1
0xy
得曲率为,2 0 0 010 xxk 曲率半径为,2000 米
20 0 0
40070 2 F ),(4.5 7 1)(5 6 0 0 千克牛
),(4.5 7 1)(70 千克力千克力 Q
).(5.6 4 1 千克力?
即,飞行员对座椅的压力为 641.5千克力,
四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支 —— 微分几何学,
基本概念,弧微分,曲率,曲率圆,
曲线弯曲程度的描述 —— 曲率 ;
曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ).
思考题椭圆 上哪些点处曲率最大？
,c o s2 tx? ty s in3?
思考题解答
2
3
2 ])(1[
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y
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2
3
22 )cos9s i n4(
6
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2
3
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要使 最大，k 2
3
2 )c o s54( t?必有 最小，
2
3,
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