平面及其方程平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、
线线关系。
确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。
先介绍平面的点法式方程
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的 法线向量,
法线向量的 特征,垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM0必有? 00 nMM?
一、平面的点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM
0)()()( 000 zzCyyBxxA
平面的点法式方程其中法向量 },,,{ CBAn 已知点 ).,,( 000 zyx
若取平面的另一法向量 m?
此时由于 nm //CBAnm,,
平面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)()()( 000 zzCyyBxxA
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形．
例 1 求过三点 )4,1,2(?A,)2,3,1(B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{AB
}1,3,2{AC
取 ACABn },1,9,14{
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx
化简得,015914 zyx
一般地过不共线的三点
),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM ),,( 3333 zyxM
的平面的法向量
3121 MMMMn
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
平面方程为
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
—— 三点式方程例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7 zyx 和
051223 zyx 的平面方程,
},1,1,1{1n? }12,2,3{2n?
取法向量 21 nnn },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 zyx
化简得,0632 zyx
所求平面方程为解由平面的点法式方程
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)( 000 CzByAxCzByAx D?
0 DCzByAx 平面的一般方程法向量 }.,,{ CBAn
二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：
,0)1(?D 平面通过坐标原点；
,0)2(?A
,0
,0
D
D 平面通过 轴；x
平面平行于 轴；x
,0)3( BA 平面平行于 坐标面；xoy
类似地可讨论 情形,0,0 CBCA
0,0 CB类似地可讨论 情形,
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6(?,且与平面
824 zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6(? 知0236 CBA
},2,1,4{n 024 CBA
,32 CBA
.0322 zyx所求平面方程为解例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ,),0,0( cR （其中 0?a,0?b,0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
将三点坐标代入得?
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
,aDA,bDB,cDC
解
,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得
1 czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距例 5 求平行于平面 0566 zyx 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1 czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba化简得 令 tcba 61161
,61ta,1tb?,61tc?
ttt 6
11
6
1
6
11
代入体积式
,61 t
,1,6,1 cba
.666 zyx所求平面方程为例 6 求过点 )3,0,1(),2,1,1( 21 MM 且平行于
z 轴的平面方程解一 用点法式设所求平面的法向量为 n?
则 knMMn,21
kjiMM 221
100
112
kji
n
ji 2
由点法式得，所求平面的方程为
0)1(2)1( yx
即 012 yx
解二 用一般式因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为
0 DByAx
21,MM 在平面上
0 DBA
0 DA
解得 DBDA 2,
所求平面方程为 02 DDyDx
即 012 yx
由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤,两定 —— 定点，定向定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn
},,,{ 2222 CBAn
三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
两平面夹角余弦公式两平面位置特征：
21)1( ;0212121 CCBBAA
21)2(//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
例 7 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( zyzyx
01224,012)2( zyxzyx
02224,012)3( zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos
60
1cos 两平面相交，夹角
.601ar c c os
)2( },1,1,2{1n? }2,2,4{2n?
,212 142 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行两平面重合,?
例 8 一平面过点 )1,3,0(),1,1,1( 21 MM 且垂直于平面 01 zyx 求其方程解 设所求平面的法向量为CBAn,,
24,121MM 在所求平面上
21 MMn
024 CBA
又所求平面与已知平面垂直
0 CBA
解得 BABC 2,3
代入点法式方程并整理得 0332 zyx
例 9 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx? 0 DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
1P N
n?
0P?
00101Pr nPPPPj n
},,{ 10101001 zzyyxxPP
解
222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
00101Pr nPPPPj n
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx
0111 DCzByAx? )( 1P
01Pr PPj n?,222 000 CBA DCzByAx
.|| 222 000 CBA DCzByAxd
点到平面距离公式平面的方程
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角,
点到平面的距离公式,
点法式方程,
一般方程,
截距式方程,
（注意两平面的 位置 特征）
四、小结思考题 若平面 02 zkyx 与平面
032 zyx 的夹角为
4
，求k
思考题解答
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c os 222222
k
k
,145 321 2 k k,
2
70 k
线线关系。
确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。
先介绍平面的点法式方程
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的 法线向量,
法线向量的 特征,垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM0必有? 00 nMM?
一、平面的点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM
0)()()( 000 zzCyyBxxA
平面的点法式方程其中法向量 },,,{ CBAn 已知点 ).,,( 000 zyx
若取平面的另一法向量 m?
此时由于 nm //CBAnm,,
平面方程为
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)()()( 000 zzCyyBxxA
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形．
例 1 求过三点 )4,1,2(?A,)2,3,1(B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{AB
}1,3,2{AC
取 ACABn },1,9,14{
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx
化简得,015914 zyx
一般地过不共线的三点
),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM ),,( 3333 zyxM
的平面的法向量
3121 MMMMn
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
平面方程为
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
—— 三点式方程例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7 zyx 和
051223 zyx 的平面方程,
},1,1,1{1n? }12,2,3{2n?
取法向量 21 nnn },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 zyx
化简得,0632 zyx
所求平面方程为解由平面的点法式方程
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)( 000 CzByAxCzByAx D?
0 DCzByAx 平面的一般方程法向量 }.,,{ CBAn
二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：
,0)1(?D 平面通过坐标原点；
,0)2(?A
,0
,0
D
D 平面通过 轴；x
平面平行于 轴；x
,0)3( BA 平面平行于 坐标面；xoy
类似地可讨论 情形,0,0 CBCA
0,0 CB类似地可讨论 情形,
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6(?,且与平面
824 zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6(? 知0236 CBA
},2,1,4{n 024 CBA
,32 CBA
.0322 zyx所求平面方程为解例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ,),0,0( cR （其中 0?a,0?b,0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
将三点坐标代入得?
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
,aDA,bDB,cDC
解
,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得
1 czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距例 5 求平行于平面 0566 zyx 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1 czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba化简得 令 tcba 61161
,61ta,1tb?,61tc?
ttt 6
11
6
1
6
11
代入体积式
,61 t
,1,6,1 cba
.666 zyx所求平面方程为例 6 求过点 )3,0,1(),2,1,1( 21 MM 且平行于
z 轴的平面方程解一 用点法式设所求平面的法向量为 n?
则 knMMn,21
kjiMM 221
100
112
kji
n
ji 2
由点法式得，所求平面的方程为
0)1(2)1( yx
即 012 yx
解二 用一般式因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为
0 DByAx
21,MM 在平面上
0 DBA
0 DA
解得 DBDA 2,
所求平面方程为 02 DDyDx
即 012 yx
由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤,两定 —— 定点，定向定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn
},,,{ 2222 CBAn
三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
两平面夹角余弦公式两平面位置特征：
21)1( ;0212121 CCBBAA
21)2(//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
例 7 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( zyzyx
01224,012)2( zyxzyx
02224,012)3( zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos
60
1cos 两平面相交，夹角
.601ar c c os
)2( },1,1,2{1n? }2,2,4{2n?
,212 142 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行两平面重合,?
例 8 一平面过点 )1,3,0(),1,1,1( 21 MM 且垂直于平面 01 zyx 求其方程解 设所求平面的法向量为CBAn,,
24,121MM 在所求平面上
21 MMn
024 CBA
又所求平面与已知平面垂直
0 CBA
解得 BABC 2,3
代入点法式方程并整理得 0332 zyx
例 9 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx? 0 DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
1P N
n?
0P?
00101Pr nPPPPj n
},,{ 10101001 zzyyxxPP
解
222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
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An
00101Pr nPPPPj n
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx
0111 DCzByAx? )( 1P
01Pr PPj n?,222 000 CBA DCzByAx
.|| 222 000 CBA DCzByAxd
点到平面距离公式平面的方程
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角,
点到平面的距离公式,
点法式方程,
一般方程,
截距式方程,
（注意两平面的 位置 特征）
四、小结思考题 若平面 02 zkyx 与平面
032 zyx 的夹角为
4
，求k
思考题解答
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c os 222222
k
k
,145 321 2 k k,
2
70 k
