曲面及其方程水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面,
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为 R
的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx
例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911 634132
2
2
2
zyx
所求方程为例 3 已知 )3,2,1(A,)4,1,2(?B,求线段 AB 的垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA?
222 321 zyx
,412 222 zyx
化简得所求方程,07262 zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
以上几例表明研究空间曲面有 两个基本问题,
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,播放
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz
0),( 11?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
,0,22 zyxf
yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
得方程同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，
而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面播放定义三、柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法,
柱面的概念 (母线、准线 ).
.0),,(?zyxF
四、小结思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
思考题解答平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 yx
1 xy
平行于 y 轴的直线平行于 y oz 面的平面圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面方程
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 0),,(?zyxF 有下述关系：
（ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 0),,(?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面,
例 1 建立球心在点 ),,( 0000 zyxM,半径为 R
的球面方程,
解 设 ),,( zyxM 是球面上任一点，
RMM?|| 0根据题意有
Rzzyyxx 202020
2202020 Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx
例 2 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911 634132
2
2
2
zyx
所求方程为例 3 已知 )3,2,1(A,)4,1,2(?B,求线段 AB 的垂直平分面的方程,
设 ),,( zyxM 是所求平面上任一点，
根据题意有 |,||| MBMA?
222 321 zyx
,412 222 zyx
化简得所求方程,07262 zyx
解
z
x
yo
例 4 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
以上几例表明研究空间曲面有 两个基本问题,
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,播放
x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMM),,,( zyxM设
1)1( zz?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd
旋转过程中的特征：
如图将 代入 2211,yxyzz
0),( 11?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz 0),( 11?zyf
,0,22 zyxf
yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
得方程同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，
而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角?
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
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a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
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cza yx
旋转双曲面
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
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y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
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12
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cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面播放定义三、柱面观察柱面的形成过程,
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线叫柱面的 准线
，动直线 叫柱面的 母线,
C
L
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 // 轴x
12
2
2
2
byax 双曲柱面 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面 // 轴y
曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法,
柱面的概念 (母线、准线 ).
.0),,(?zyxF
四、小结思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(?x ;4)2( 22 yx
.1)3( xy
思考题解答平面解析几何中 空间解析几何中
2?x
422 yx
1 xy
平行于 y 轴的直线平行于 y oz 面的平面圆心在 )0,0(,
半径为 2 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面方程
