函数图形的描绘一、渐近线定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([lim
0)]()([lim
的一条斜渐近线就是那么为常数或如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
xf
x
)(l i m?又
)1(
)3)(2(2lim
xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[l i m xxx xx
x
1
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第四步第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
注 描出图形上处于重要位置的点（峰、谷、拐点、
与坐标轴的交点等）掌握图形在各部分区间上的主要性态（升降、凹凸等），比较准确地描绘处函数图形的特性。
三、作图举例例 1,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ),0()2,3(3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
0
0)(xf
2? 0
不存在拐点 极值点 间断点3?)9
26,3(
:补充点 );0,31(),0,31(
),2,1(A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 xxxf
例 2,2
1)( 2 2 的图形作函数 xex?
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx
,0)( x令,0?x得驻点
,0)( x令,1,1 xx得特殊点
.4.021)(0, xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx
2
2
2
1l i m)(l i m x
xx
ex?
,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ),1()0,1(?1? )1,0(
)(x
)(x?
0
0)(x
0 1
拐点 极大值
2
1)
21,1( e
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点
)21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex?
例 3,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ),1()31,31(?31? )1,31(
0
3
1 1
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf
极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )
85,23(C
11? 3131?
123 xxxy
四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
oa b
最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
x
xf
si n
)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
x
x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
1s i nl i m
0 x
x
x
x
xy sin?
.
)(,
,
)(
一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
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1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
例如,)3)(2( 1 xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
例如,a r c ta n xy?
有水平渐近线两条,,2,2 yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([lim
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的一条斜渐近线就是那么为常数或如果
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babaxxf
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x
x
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
,])([lim baxxfx
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy
)(lim 1 xfx?, )(lim 1 xfx,
.1 是曲线的铅直渐近线 x
x
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x
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)3)(2(2lim
xx
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]2)1( )3)(2(2[l i m xxx xx
x
1
)1(2)3)(2(2lim
x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线 xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf
二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形,
第一步第二步确定函数 )( xfy? 的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)('?xf 和 0)("?xf 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
第三步确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势 ;
第四步第五步描出与方程 0)('?xf 和 0)("?xf 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,
注 描出图形上处于重要位置的点（峰、谷、拐点、
与坐标轴的交点等）掌握图形在各部分区间上的主要性态（升降、凹凸等），比较准确地描绘处函数图形的特性。
三、作图举例例 1,2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf,)3(8)( 4xxxf
,0)( xf令,2x得驻点
,0)( xf令,3x得特殊点
]2)1(4[l i m)(l i m 2 xxxf xx,2 ;2y得水平渐近线
]2)1(4[lim)(lim 200 xxxf xx,
.0?x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
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)(xf?
)(xf
0
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不存在拐点 极值点 间断点3?)9
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作图
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例 2,2
1)( 2 2 的图形作函数 xex?
解 ),,(,D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
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拐点 极大值
2
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例 3,1)( 23 的图形作函数 xxxxf
解 ),,(,D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf
,0)( xf令,1,31 xx得驻点
,0)( xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
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拐点极大值
27
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2716,31(
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)(xf
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极小值
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11? 3131?
123 xxxy
四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,
x
y
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最大值最小值极大值 极小值拐点凹的凸的单增单减)( xfy?
思考题两坐标轴 0?x,0?y 是否都是函数
x
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)(? 的渐近线？
思考题解答
0s i nlim?
x
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x
0 y 是 其图象的渐近线,
0 x 不是 其图象的渐近线,
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x
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