Taylor公式多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点 。
用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。
“以直代曲” 就是用一次多项式去近似给定函数一、问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
)()( 0xfxf?[ )()( 0xfxf ]
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
))(()()( 000 xxxfxfxf
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf
例如,当 x 很小时,xe x 1,xx )1ln (
（如下图）
xey?
xy 1
o
xey?
o
xy?
)1ln( xy
不足,1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf?
误差 )()()( xPxfxR 可估计设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1(?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010
误差 )()()( xPxfxR nn
二,nP 和 nR 的确定
0x
)( xfy?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n?
)()( 00 xfxP n
)()( 00 xfxP n
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同近似程度越来越好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)(
),( 00 xfa?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k
),(1 01 xfa )(!2 02 xfa
, )(! 0)( xfan nn
三、泰勒 (Taylor)中值定理泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶的导数,则当
x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx? 的一个 n
次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()(
n
n
n xxn
fxR? (? 在
0x 与 x 之间 ),
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶导数,且证明,
两函数 )( xR n 及 10 )( nxx 在以 0x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n?
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0
n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn?
如此下去,经过 )1(?n 次后,得两函数 )( xR
n
及 nxxn ))(1(
0
在以
0
x 及
1
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
!1
)(
)(
)(
)1(
1
0?
n
R
xx
xR
n
n
n
n?
( 之间与在 nx 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在
x
xnn
R
n
n
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 次近似多项式?
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?
则由上式得
,0)()1( xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn
拉格朗日形式的余项
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)(
nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?
皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR即注意,1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf
2,取 0
0
x,
在 0 与 x 之间,令 )10( x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
n
n
n
x
n
xf
xR
四、简单的应用例 1 求 xexf?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf
1)0()0()0()0( )( nffff?
xn exf )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
n
xn
x x
n
e
n
xxxe?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf?
麦克劳林 (Maclaurin)公式由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx
估计误差 )0(?x设
!
1
!2
111,1
nex取
.)!1( 3 n其误差 )!1( n eR n
).10()!1()!1()( 1
n
xx
n xn
e
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
例 2 计算 4
0
3c o s2
lim
2
x
xe x
x
.
解 )(!211 442
2 xoxxe x
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x
12
7)(12
7
lim 4
44
0
x
xox
x
原式例 3 设 f(x)在 [0,1]上二次可微 1)1(),1()0( fff
证明 2)()1,0( f，使证 将 f(x) 在 x=1 处作一阶 Taylor展开，有
2)1(
!2
)()1)(1()1()( xfxffxf?
将 x=0 代入上式，得
2)10(
!2
)()10)(1()1()0(ffff
由 1)1(),1()0( fff
2)(f
例 4 设 f(x) 在 [0,1]上有二阶导数，
bxfaxf |)(|,|)(| 其中 a,b为非负数
)1,0(?c 求证 bacf 212|)(|
证 将 f(0),f(1) 在在 x=c处作一阶 Taylor展开，有
21 )0(
!2
)()0)(()()0( cfccfcff
22 )1(
!2
)()1)(()()1( cfccfcff
两式相减，得
])()1)(([21)()1()0( 2122 cfcfcfff
])()1)(([21)1()0()( 2122 cfcfffcf
]|)(|)1(|)([|21|)1()0(||)(| 2122 cfcfffcf
])1[(22 22 ccba
2221)( cccg记得令 042)( ccg 21?c
1)1()0( gg 21)21(?g 1)(m ax
]1,0[ xgx
bacf 212|)(|
例 5
20
2
1
)(
),(
2
)2,1,0(|)(|m a x
),()(
MMM
ixfM
xf
i
x
i
证明上二次可微，且在设证 0),,( h
21
!2
)()()()( hfhxfxfhxf
22
!2
)()()()( hfhxfxfhxf
两式相减，得
)]()([2)(2)()( 21
2
ffhhxfhxfhxf
)]()([4)]()([21)( 21
2
ffhhxfhxfhxf
22
0 2|)(| h
MMhxf
22
01 2 h
MMhM
022 0122 MhMhM即
084 2021 MMM?
2021 2 MMM?即
xy?
xy si n?
播放五、小结
1,T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;
播放
2,T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,
思考题利用泰勒公式求极限 3 )1(s i nl i m x xxxe
x
x
思考题解答
)(!3!21 3
32
xoxxxe x
)(!3s i n 3
3
xoxxx
3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
!3
)(
!3!2
1
lim
x
xxxo
x
xxo
xx
x
x
3
3
33
)(
!3!2l i m
x
xoxx
x
6
1?
xy?
xy si n?
xy?
xy si n?
!3
3x
xy
o
xy?
xy si n?
!3
3x
xy
o
!5!3
53x
xy
xy?
xy si n?
!3
3x
xy !5!3 53 xxxy
!7!5!3
753 xxxxy
o
xy si n?
!11!9!7!5!3
119753 xxxxxxy
o
用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。
“以直代曲” 就是用一次多项式去近似给定函数一、问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
)()( 0xfxf?[ )()( 0xfxf ]
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
))(()()( 000 xxxfxfxf
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf
例如,当 x 很小时,xe x 1,xx )1ln (
（如下图）
xey?
xy 1
o
xey?
o
xy?
)1ln( xy
不足,1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf?
误差 )()()( xPxfxR 可估计设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1(?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010
误差 )()()( xPxfxR nn
二,nP 和 nR 的确定
0x
)( xfy?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n?
)()( 00 xfxP n
)()( 00 xfxP n
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同近似程度越来越好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)(
),( 00 xfa?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k
),(1 01 xfa )(!2 02 xfa
, )(! 0)( xfan nn
三、泰勒 (Taylor)中值定理泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶的导数,则当
x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx? 的一个 n
次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()(
n
n
n xxn
fxR? (? 在
0x 与 x 之间 ),
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1(?n 阶导数,且证明,
两函数 )( xR n 及 10 )( nxx 在以 0x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n?
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0
n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn?
如此下去,经过 )1(?n 次后,得两函数 )( xR
n
及 nxxn ))(1(
0
在以
0
x 及
1
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
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)(
)(
)(
)1(
1
0?
n
R
xx
xR
n
n
n
n?
( 之间与在 nx 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在
x
xnn
R
n
n
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 次近似多项式?
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?
则由上式得
,0)()1( xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn
拉格朗日形式的余项
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)(
nn
n
n xxn
M
xx
n
f
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])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
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k
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xxoxxk xfxf
)()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n?
皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR即注意,1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf
2,取 0
0
x,
在 0 与 x 之间,令 )10( x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
n
n
n
x
n
xf
xR
四、简单的应用例 1 求 xexf?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf
1)0()0()0()0( )( nffff?
xn exf )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
n
xn
x x
n
e
n
xxxe?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
n
n
n
n
x
n
xf
x
n
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x
f
xffxf?
麦克劳林 (Maclaurin)公式由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx
估计误差 )0(?x设
!
1
!2
111,1
nex取
.)!1( 3 n其误差 )!1( n eR n
).10()!1()!1()( 1
n
xx
n xn
e
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
n
n
n
xo
n
xxx
xx?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
例 2 计算 4
0
3c o s2
lim
2
x
xe x
x
.
解 )(!211 442
2 xoxxe x
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x
12
7)(12
7
lim 4
44
0
x
xox
x
原式例 3 设 f(x)在 [0,1]上二次可微 1)1(),1()0( fff
证明 2)()1,0( f，使证 将 f(x) 在 x=1 处作一阶 Taylor展开，有
2)1(
!2
)()1)(1()1()( xfxffxf?
将 x=0 代入上式，得
2)10(
!2
)()10)(1()1()0(ffff
由 1)1(),1()0( fff
2)(f
例 4 设 f(x) 在 [0,1]上有二阶导数，
bxfaxf |)(|,|)(| 其中 a,b为非负数
)1,0(?c 求证 bacf 212|)(|
证 将 f(0),f(1) 在在 x=c处作一阶 Taylor展开，有
21 )0(
!2
)()0)(()()0( cfccfcff
22 )1(
!2
)()1)(()()1( cfccfcff
两式相减，得
])()1)(([21)()1()0( 2122 cfcfcfff
])()1)(([21)1()0()( 2122 cfcfffcf
]|)(|)1(|)([|21|)1()0(||)(| 2122 cfcfffcf
])1[(22 22 ccba
2221)( cccg记得令 042)( ccg 21?c
1)1()0( gg 21)21(?g 1)(m ax
]1,0[ xgx
bacf 212|)(|
例 5
20
2
1
)(
),(
2
)2,1,0(|)(|m a x
),()(
MMM
ixfM
xf
i
x
i
证明上二次可微，且在设证 0),,( h
21
!2
)()()()( hfhxfxfhxf
22
!2
)()()()( hfhxfxfhxf
两式相减，得
)]()([2)(2)()( 21
2
ffhhxfhxfhxf
)]()([4)]()([21)( 21
2
ffhhxfhxfhxf
22
0 2|)(| h
MMhxf
22
01 2 h
MMhM
022 0122 MhMhM即
084 2021 MMM?
2021 2 MMM?即
xy?
xy si n?
播放五、小结
1,T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;
播放
2,T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,
思考题利用泰勒公式求极限 3 )1(s i nl i m x xxxe
x
x
思考题解答
)(!3!21 3
32
xoxxxe x
)(!3s i n 3
3
xoxxx
3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
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)(
!3!2
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lim
x
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x
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x
x
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3
33
)(
!3!2l i m
x
xoxx
x
6
1?
xy?
xy si n?
xy?
xy si n?
!3
3x
xy
o
xy?
xy si n?
!3
3x
xy
o
!5!3
53x
xy
xy?
xy si n?
!3
3x
xy !5!3 53 xxxy
!7!5!3
753 xxxxy
o
xy si n?
!11!9!7!5!3
119753 xxxxxxy
o
