向 量 代 数与 空 间 解 析 几 何习题课一、主要内容
（一）向量代数
（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
（一）向量代数
1、向量的概念向量的模,单位向量,零向量、
自由向量,相等向量,负向量、
平行向量,向径,
2、向量的线性运算加、减、数乘
3、向量的表示法向量的分解式：
在三个坐标轴上的分向量：
向量的坐标表示式：
向量的坐标：
模、方向余弦的坐标表示式
4、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件直 线曲面曲线平 面参数方程旋转曲面柱 面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程 点法式方程 一般方程空间直角坐标系
（二）空间解析几何
1、空间直角坐标系
2、曲面旋转曲面,柱面,二次曲面
3、空间曲线
4、平面
5、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离两直线共面的条件
1
1
1
1
1
1
1,p
zz
n
yy
m
xxL
2
2
2
2
2
2
2,p
zz
n
yy
m
xxL
共面 )( 2121 ssMM
)( 2121 ssMM
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
6、平面束
21 ss
1s?
2s?
1M
2M
1L
2L
二、典型例题例 1
解共面．且，使，求一单位向量
，已知
bancnn
kjickjbia
,,
,22,2
000?
,0 kzjyixn设 由题设条件得
10?n?
cn0
ban0
02
022
1222
zy
zyx
zyx
解得 ).323132(0 kjin
例 2 设 ABC? 的三边 cABbCAaBC,,
三边中点分别为 D,E,F 试用 cba,,
表示 CFBEAD,,并证明
0 CFBEAD
证
A
B CD
EF BCABAD 21 ac 21
CABCBE 21 ba 21
ABCACF 21 cb 21
CFBEAD
)(23 cba 0
例 3 已知 2,, A D BbACaAB
证明① 2||2
||||
b
babaBAD的面积?
② 的面积最大的夹角为何值时，当 B A Dba,
证 ①
A
D C
B BDADS BAD 21?
s i n||co s||21 aa
2s i n||41 2 a?
而?c o s|||||| babas i n||||| bab
2||2
||||
b
baba
2
22
||2
s inc os||||
b
ba
2s i n||41 2 a?
2||2
||||
b
babaS
BA D?
② 因 2co s||21 2adds
令 0dds 得唯一驻点 )2,0(4
而
4
2
4
2
2
2s in||?
ad sd?0|| 2 a?
4
时
BADS? 面积最大 )||4
1( 2a
例 4 设 )27()4(,)57()3( babababa
求 的夹角与 ba
解 由题设知
0)57()3( baba 0)27()4( baba
0||1516||7 22 bbaa
0||830||7 22 bbaa
两式相减得 2||2346 bba
2||
2
1 bba
代入前式有 |||| ba
故 ||||),c os ( ba baba
21||2 || ab?
32
1ar c c os),( ba
例 5 已知向量2,1,2,3,2,1,1,3,2 cba
求与 ba,同时垂直，且在 c? 上投影为 1
的向量 v?
解 由于 v? 同时垂直于 ba,
bav //
而
321
132
kji
ba
kji 57
故可设 )( batvttt,5,7
tttcv 2514 t21
而 3||?c?
故 ||Pr1 c cvvj c?
t7
7
1 t
故，所求向量为 71,75,1v?
例 6
解
.
4
0128
4
,04
05
:
角的平面方程组成且与平面求过直线
z
yx
zx
zyx
过已知直线的平面束方程为
,0)4(5 zxzyx?
,04)1(5)1( zyx即
}.1,5,1{n?其法向量
}.8,4,1{n?又已知平面的法向量由题设知
1
1
4c o s nn
nn
222222 )1(5)1()8()4(1
)8()1()4(51)1(
,272 32 2 2即 由此解得,43
代回平面束方程为,012720 zyx
例 7
解
.
12
43
:
,
1
2
:)1,1,1(
2
10
L
xz
xy
L
xz
xy
LM
都相交的直线且与两直线求过点
将两已知直线方程化为参数方程为
12
43:,
1
2,21
tz
ty
tx
L
tz
ty
tx
L
的交点分别为与设所求直线 21,LLL
).12,43,()1,2,( 222111 tttBtttA 和
,,)1,1,1(0 三点共线与 BAM?
).(00 为实数故 BMAM?
即有,,00 对应坐标成比例于是 BMAM
,1)12( 1)1(1)43( 1211
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
,0,0 21 tt解之得
)3,2,2(),1,0,0( BA
,)3,2,2()1,1,1(0 上同在直线和点 LBM?
的方程为故 L
.2 11 11 1 zyx
例 8 求过点 )4,0,1(? 且平行于平面
01043 zyx 又与直线
21
3
1
1 zyx 相交的直线方程解 设所求直线的方向数为 pnm,,
则直线方程为 pznymx 41
化成参数方程，有
mtx 1
nty?
ptz 4
代入已知直线方程，得
2
4
1
3
1
ptntmt
102,3 ntptntmt
又所求直线与已知平面平行 ns
043 pnm （两边同乘以 ）t
解得 28,19,16 ptntmt
直线方程为 28 41916 1 zyx
例 9
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程在平面求直线
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
zyx
zyx
.0)1()1(
)1()2(
z
yx即
L
,014即 41故
,代入平面束方程将?,013 zyx得所求投影直线方程为,02 013
zyx
zyx
,?垂直于平面又?
.0)1()1(2)1(1)2(
例 10 求直线?
tz
ty
tx
L
85
21
3
:
在三个坐标面及平面
083 zyx 上的投影解 分别令参数方程中的 x,y,z 为 0 即可得直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直直线的方向向量8,2,1s?
已知平面的法向量3,1,1n?
1,11,14 ns
即为所求平面的法向量又点 )5,1,3(? 在所求平面上故所求平面的方程为
0)5()1(11)3(14 zyx
即 0261114 zyx
已知直线在所给平面上的投影直线的方程为
083 zyx
0261114 zyx
例 11
解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线 zzyxL
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy?有位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
212 1 yr故,22 yx
,11 yzz由于故所求旋转曲面方程为
.1222 zyx
例 12 求点 ),,( 111 zyxM 到直线
p
zz
n
yy
m
xx 000
的距离解一 如图所示
0M
M
Ls?
所求点到直线的距离等于平行四边形的高由向量积的几何意义得
||
|| 0
s
sMMd
222
010101
pnm
pnm
zzyyxx
kji
222
2
0101
2
0101
2
0101
pnm
pm
yyxx
pn
zzyy
nm
yyxx
解二 过 M作一平面 L
则平面的方程为
0)()()( 111 zzpyynxxm
L
M
N
再求直线和平面的交点直线的参数方程为
mtxx 0
ntyy 0
ptzz 0
代入平面方程，有
0)(
)()()(
222
101010
tpnm
zzpyynxxm
222
010101 )()()(
pnm
zzpyynxxmt
交点坐标
ptzzntyymtxx 020202,,
点到直线的距离为
212212212 )()()( zzyyxxd
例 13 设
1
1
1
1
1
1
1,p
zz
n
yy
m
xxL
和
2
2
2
2
2
2
2,p
zz
n
yy
m
xxL
为异面直线求它们之间的距离解一 所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。
由于公垂线与 21,LL 都垂直故其方向向量为 21 sss
过 作平行于1L 2L
的平面?
1L
2L
M
N
1M
2M
则 到平面2M?
的距离就是所求的异面直线间的距离由于 为 的法向量s
的方程为
0
222
111
111
pnm
pnm
zzyyxx
1M
2M
1L
2L
1s?
2s?
公垂线长等于以为棱的平行六面体的高
2121,,MMss
记
22
11
22
11
22
11,,
nm
nmC
pm
pmB
pn
pnA
0)()()( 111 zzCyyBxxA
记
222
111
111
pnm
pnm
zyx
D
则 到 的距离2M?
222
222 ||
CBA
DCzByAxd
222
222
111
121212
CBA
pnm
pnm
zzyyxx
CBA
MMss
22
2121 |)(|
底面面积平行六面体的体积?
解二 设两垂足的坐标分别为
),,( 111111111 tpztnytmxM
),,( 222222222 tpztnytmxN
21,sMNsMN
)/ / ( 21 ssMN
B
tntnyy
A
tmtmxx 112212112212
C
tptpzz 112212
解出 21,tt 求得垂足，得公垂线方程和公垂线长 —— 异面直线间的距离例 14 过点 作一直线，使和 z 轴相交，且)3,2,1(?B
和直线 垂直，求其方程 2
2
3
3
4?
zyx
[分析 ] 求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程解一 用交面式直线 过点 B 且与 L 垂直L?
故直线 在过 B 且与 L 垂直的平面 内1?L?
o
x
y
zL
L? B
2,3,41n?
0)3(2)2(3)1(4:1 zyx
即 08234 zyx
又 过 B且与 z 轴相交L?
故 在由 B 及 z 轴所组成的平面 内2?L?
kOBn2
100
321
kji
0,1,2
0)2()1(2:2 yx
即 02 yx
所求直线方程为
08234 zyx
02 yx
解二 用点向式已知 过 B,故只须求出其方向向量L? s
而 LL 故 ss
又 过 B 且与 z 轴相交，L?
即 在由 B及 z 轴所组成的平面内L?
亦即 共面kOBs,,?
0)( kOBs
)( kOBs
)( kOBss
012
234
kji
1,2,12
所求直线方程为 1 12 21 1 zyx
解三 用两点式已知 过 B，故只须求出第二个点L?
又 与轴相交，可设法求出这个交点L?
过 B作平面,使 得1? 1L
0)3(2)2(3)1(4:1 zyx
即 08234 zyx
求出 z 轴与 的交点1?
将 代入，有 0,0 yx
交点为 )4,0,0(
而 在 上又和 z 轴相交，L? 1?
现 与 z 轴只有唯一的交点1?
o
x
y
zL L? B
故 即为 与 z 轴的交点)4,0,0( L?
43
4
02
0
01
0:
zyxL
即 1421 zyx
（一）向量代数
（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
（一）向量代数
1、向量的概念向量的模,单位向量,零向量、
自由向量,相等向量,负向量、
平行向量,向径,
2、向量的线性运算加、减、数乘
3、向量的表示法向量的分解式：
在三个坐标轴上的分向量：
向量的坐标表示式：
向量的坐标：
模、方向余弦的坐标表示式
4、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件直 线曲面曲线平 面参数方程旋转曲面柱 面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程 点法式方程 一般方程空间直角坐标系
（二）空间解析几何
1、空间直角坐标系
2、曲面旋转曲面,柱面,二次曲面
3、空间曲线
4、平面
5、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离两直线共面的条件
1
1
1
1
1
1
1,p
zz
n
yy
m
xxL
2
2
2
2
2
2
2,p
zz
n
yy
m
xxL
共面 )( 2121 ssMM
)( 2121 ssMM
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
6、平面束
21 ss
1s?
2s?
1M
2M
1L
2L
二、典型例题例 1
解共面．且，使，求一单位向量
，已知
bancnn
kjickjbia
,,
,22,2
000?
,0 kzjyixn设 由题设条件得
10?n?
cn0
ban0
02
022
1222
zy
zyx
zyx
解得 ).323132(0 kjin
例 2 设 ABC? 的三边 cABbCAaBC,,
三边中点分别为 D,E,F 试用 cba,,
表示 CFBEAD,,并证明
0 CFBEAD
证
A
B CD
EF BCABAD 21 ac 21
CABCBE 21 ba 21
ABCACF 21 cb 21
CFBEAD
)(23 cba 0
例 3 已知 2,, A D BbACaAB
证明① 2||2
||||
b
babaBAD的面积?
② 的面积最大的夹角为何值时，当 B A Dba,
证 ①
A
D C
B BDADS BAD 21?
s i n||co s||21 aa
2s i n||41 2 a?
而?c o s|||||| babas i n||||| bab
2||2
||||
b
baba
2
22
||2
s inc os||||
b
ba
2s i n||41 2 a?
2||2
||||
b
babaS
BA D?
② 因 2co s||21 2adds
令 0dds 得唯一驻点 )2,0(4
而
4
2
4
2
2
2s in||?
ad sd?0|| 2 a?
4
时
BADS? 面积最大 )||4
1( 2a
例 4 设 )27()4(,)57()3( babababa
求 的夹角与 ba
解 由题设知
0)57()3( baba 0)27()4( baba
0||1516||7 22 bbaa
0||830||7 22 bbaa
两式相减得 2||2346 bba
2||
2
1 bba
代入前式有 |||| ba
故 ||||),c os ( ba baba
21||2 || ab?
32
1ar c c os),( ba
例 5 已知向量2,1,2,3,2,1,1,3,2 cba
求与 ba,同时垂直，且在 c? 上投影为 1
的向量 v?
解 由于 v? 同时垂直于 ba,
bav //
而
321
132
kji
ba
kji 57
故可设 )( batvttt,5,7
tttcv 2514 t21
而 3||?c?
故 ||Pr1 c cvvj c?
t7
7
1 t
故，所求向量为 71,75,1v?
例 6
解
.
4
0128
4
,04
05
:
角的平面方程组成且与平面求过直线
z
yx
zx
zyx
过已知直线的平面束方程为
,0)4(5 zxzyx?
,04)1(5)1( zyx即
}.1,5,1{n?其法向量
}.8,4,1{n?又已知平面的法向量由题设知
1
1
4c o s nn
nn
222222 )1(5)1()8()4(1
)8()1()4(51)1(
,272 32 2 2即 由此解得,43
代回平面束方程为,012720 zyx
例 7
解
.
12
43
:
,
1
2
:)1,1,1(
2
10
L
xz
xy
L
xz
xy
LM
都相交的直线且与两直线求过点
将两已知直线方程化为参数方程为
12
43:,
1
2,21
tz
ty
tx
L
tz
ty
tx
L
的交点分别为与设所求直线 21,LLL
).12,43,()1,2,( 222111 tttBtttA 和
,,)1,1,1(0 三点共线与 BAM?
).(00 为实数故 BMAM?
即有,,00 对应坐标成比例于是 BMAM
,1)12( 1)1(1)43( 1211
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
,0,0 21 tt解之得
)3,2,2(),1,0,0( BA
,)3,2,2()1,1,1(0 上同在直线和点 LBM?
的方程为故 L
.2 11 11 1 zyx
例 8 求过点 )4,0,1(? 且平行于平面
01043 zyx 又与直线
21
3
1
1 zyx 相交的直线方程解 设所求直线的方向数为 pnm,,
则直线方程为 pznymx 41
化成参数方程，有
mtx 1
nty?
ptz 4
代入已知直线方程，得
2
4
1
3
1
ptntmt
102,3 ntptntmt
又所求直线与已知平面平行 ns
043 pnm （两边同乘以 ）t
解得 28,19,16 ptntmt
直线方程为 28 41916 1 zyx
例 9
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程在平面求直线
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
zyx
zyx
.0)1()1(
)1()2(
z
yx即
L
,014即 41故
,代入平面束方程将?,013 zyx得所求投影直线方程为,02 013
zyx
zyx
,?垂直于平面又?
.0)1()1(2)1(1)2(
例 10 求直线?
tz
ty
tx
L
85
21
3
:
在三个坐标面及平面
083 zyx 上的投影解 分别令参数方程中的 x,y,z 为 0 即可得直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直直线的方向向量8,2,1s?
已知平面的法向量3,1,1n?
1,11,14 ns
即为所求平面的法向量又点 )5,1,3(? 在所求平面上故所求平面的方程为
0)5()1(11)3(14 zyx
即 0261114 zyx
已知直线在所给平面上的投影直线的方程为
083 zyx
0261114 zyx
例 11
解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线 zzyxL
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy?有位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
212 1 yr故,22 yx
,11 yzz由于故所求旋转曲面方程为
.1222 zyx
例 12 求点 ),,( 111 zyxM 到直线
p
zz
n
yy
m
xx 000
的距离解一 如图所示
0M
M
Ls?
所求点到直线的距离等于平行四边形的高由向量积的几何意义得
||
|| 0
s
sMMd
222
010101
pnm
pnm
zzyyxx
kji
222
2
0101
2
0101
2
0101
pnm
pm
yyxx
pn
zzyy
nm
yyxx
解二 过 M作一平面 L
则平面的方程为
0)()()( 111 zzpyynxxm
L
M
N
再求直线和平面的交点直线的参数方程为
mtxx 0
ntyy 0
ptzz 0
代入平面方程，有
0)(
)()()(
222
101010
tpnm
zzpyynxxm
222
010101 )()()(
pnm
zzpyynxxmt
交点坐标
ptzzntyymtxx 020202,,
点到直线的距离为
212212212 )()()( zzyyxxd
例 13 设
1
1
1
1
1
1
1,p
zz
n
yy
m
xxL
和
2
2
2
2
2
2
2,p
zz
n
yy
m
xxL
为异面直线求它们之间的距离解一 所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。
由于公垂线与 21,LL 都垂直故其方向向量为 21 sss
过 作平行于1L 2L
的平面?
1L
2L
M
N
1M
2M
则 到平面2M?
的距离就是所求的异面直线间的距离由于 为 的法向量s
的方程为
0
222
111
111
pnm
pnm
zzyyxx
1M
2M
1L
2L
1s?
2s?
公垂线长等于以为棱的平行六面体的高
2121,,MMss
记
22
11
22
11
22
11,,
nm
nmC
pm
pmB
pn
pnA
0)()()( 111 zzCyyBxxA
记
222
111
111
pnm
pnm
zyx
D
则 到 的距离2M?
222
222 ||
CBA
DCzByAxd
222
222
111
121212
CBA
pnm
pnm
zzyyxx
CBA
MMss
22
2121 |)(|
底面面积平行六面体的体积?
解二 设两垂足的坐标分别为
),,( 111111111 tpztnytmxM
),,( 222222222 tpztnytmxN
21,sMNsMN
)/ / ( 21 ssMN
B
tntnyy
A
tmtmxx 112212112212
C
tptpzz 112212
解出 21,tt 求得垂足，得公垂线方程和公垂线长 —— 异面直线间的距离例 14 过点 作一直线，使和 z 轴相交，且)3,2,1(?B
和直线 垂直，求其方程 2
2
3
3
4?
zyx
[分析 ] 求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程解一 用交面式直线 过点 B 且与 L 垂直L?
故直线 在过 B 且与 L 垂直的平面 内1?L?
o
x
y
zL
L? B
2,3,41n?
0)3(2)2(3)1(4:1 zyx
即 08234 zyx
又 过 B且与 z 轴相交L?
故 在由 B 及 z 轴所组成的平面 内2?L?
kOBn2
100
321
kji
0,1,2
0)2()1(2:2 yx
即 02 yx
所求直线方程为
08234 zyx
02 yx
解二 用点向式已知 过 B,故只须求出其方向向量L? s
而 LL 故 ss
又 过 B 且与 z 轴相交，L?
即 在由 B及 z 轴所组成的平面内L?
亦即 共面kOBs,,?
0)( kOBs
)( kOBs
)( kOBss
012
234
kji
1,2,12
所求直线方程为 1 12 21 1 zyx
解三 用两点式已知 过 B，故只须求出第二个点L?
又 与轴相交，可设法求出这个交点L?
过 B作平面,使 得1? 1L
0)3(2)2(3)1(4:1 zyx
即 08234 zyx
求出 z 轴与 的交点1?
将 代入，有 0,0 yx
交点为 )4,0,0(
而 在 上又和 z 轴相交，L? 1?
现 与 z 轴只有唯一的交点1?
o
x
y
zL L? B
故 即为 与 z 轴的交点)4,0,0( L?
43
4
02
0
01
0:
zyxL
即 1421 zyx
