如果积分区域为：,bxa ).()( 21 xyx
［ X－型］
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
其中函数,在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
二重积分的计算法 (1)
一、利用直角坐标系计算二重积分为曲顶的柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x)(2 xy
)(1 xy
),( yxfz?
)( 0xA
得,),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
如果积分区域为：,dyc ).()( 21 yxy
［ Y－型］
)(2 yx)(1 yx Dc
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
X型区域的特点,穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图,则必须分割,
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
.
321
DDDD
3D
2D
1D
注 ⅰ ）二重积分化累次积分的步骤
① 画域，②选序，③定限
ⅱ ）累次积分中积分的上限不小于 下限
ⅲ ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图,—— 画好围成 D的几条边界线，
若是 X— 型,就先 y 后 x
若是 Y— 型，就先 x 后 y,
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。
例 1 改变积分
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
解 积分区域如图
xy 1
原式
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
例 2 改变积分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
解 积分区域如图 xy2
22 xxy
原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
例 3 计算
D
dxdyxy 2 D 2,xyxy
10
2
x
xyx解一
D,X— 型
D
1
0
63
1
0
22
40
1
)(
3
1
2
dxxxx
dyydxd x d yxy
D
x
x
解二 D
10 y
yxy
Y— 型
1
0
22
1
0
2
40
1)(
2
1 dyyyydxxydyI y
y
例 4 计算
D
xyyxyDdxdy
x
y 1,2,:,
2
2
解 D
21
1
y
yx
y Y— 型
I =
2
1 1
2
2y
y
dx
x
y
dy
若先 y 后 x 由于 D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式,须分片积分，计算较麻烦。
2
1
32
4
9
)( dyyyy
2
1
2
1 21
由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，
总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。
例 5 计算
D
xy xyyxxDd x d yye 1,2,2,1:,
解 D是 X— 型区域
2
1
2
1
x
xy dyyedxI
要分部积分，不易计算若先 x 后 y 则须分片
2
1
2
1
1
0
2
1
dxyedydxyedyI xy
y
xy
易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。例 6 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
解 axy 2? 22 xaxy
22 yaax
D
原式
=a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(
.),(2 2
2
2
a
a
a
a
y dxyxfdy
a2a
a2
a
例 7 求
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy? 和 2yx? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy 2xy?
2yx?
D
d xd yyx )( 2 1
0
2
2 )(
x
x dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2,14033?例 8 求
D
y dx dyex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
解 dye y 2? 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D
y d x d yex 22 y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y ).21(
6
1
e
例 9 计算积分
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
,
解? dxe xy? 不能用初等函数表示
先改变积分次序,
原式
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
2xy?
xy?
121 )( dxeex x
.2183 ee
例 10 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz,xyz?,1 yx,0?x,0?y,
解 曲面围成的立体如图,
所围立体在 x o y 面上的投影是
,10 yx?,xyyx
所求体积
D
dxyyxV?)( 10 10 )(x dyxyyxdx
10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
例 12 计算
D
xyxyDd x d y
x
xy 2,:,
1
)1s i n( 2
解 根据积分区域的特点
1 4
-1
2应先对 x 后对 y 积分
dx
x
xydyI y
y
2
1
2
2 1
)1s i n (
但由于 1 )1s in (x x
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
先 x 后 y 有 dy
x
xy
dx
x
x
4
1 2
1
)1s i n ( dx
x
x
xx
1
)1s i n (
])2([
2
1
0
2
4
1
dx
x
x
xx?
4
1
2
1
)1s i n (
)45(
2
1
4
1
)1s i n ()4(
2
1
dxxx
)3s i n3(
2
1
dy
x
xy
dxI
x
x
1
0
1
)1s i n (
奇函数化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
以上各例说明二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
［ X－型］
［ Y－型］
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
思考题设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题解答
1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
则原式
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,)()(
0
1
0
x dyyfdxxf
故
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf
练 习 题一,填空题,
1,
D
dyyxx?)3(
323
________________,其中
,10,10, yxD
2,
D
dyxx?)c o s ( _______________,其中 D 是顶点分别为 )0,0(,)0,(?,),( 的三角形闭区域,
3,将二重积分
D
dyxf?),(
,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
yryx
所围成的闭区域,化为先对
y
后对
x
的二次积分,应为 _____________ _ _ _ _ _ _ _ _,
4,将二重积分
D
dyxf?),(,其中 D 是由直线
2, xxy 及双曲线 )0(
1
x
x
y 所围成的闭区域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
__ ___ ___ __ ___ _ ___ __ ___ __ __.
5,将二次积分
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
6,将二次积分
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
7,将二次积分
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1,
D
yx
de?,其中 D 是由 1 yx 所确定的闭区域,
2,
D
dxyx?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 及 所围成的闭区域,
3,
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
co s
),( 。
4,,2
D
d x d yxy 其中 D,20,11 yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2 yx xy?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx,求该薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz 及
22
26 yxz,所围成的立体的体积,
练习题答案一,1,1 ； 2,
2
3?；
3,
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5,
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6,
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
a r c s i n
a r c s i n
1
0a r c s i n2
0
1
),(),(
；
7,
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
二,1,
1?
ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
5?
,
三、
3
4
.
四,?6,
［ X－型］
)(2 xy
a b
D
)(1 xy
D
ba
)(2 xy
)(1 xy
其中函数,在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
二重积分的计算法 (1)
一、利用直角坐标系计算二重积分为曲顶的柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x)(2 xy
)(1 xy
),( yxfz?
)( 0xA
得,),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
如果积分区域为：,dyc ).()( 21 yxy
［ Y－型］
)(2 yx)(1 yx Dc
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
X型区域的特点,穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点,穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图,则必须分割,
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
.
321
DDDD
3D
2D
1D
注 ⅰ ）二重积分化累次积分的步骤
① 画域，②选序，③定限
ⅱ ）累次积分中积分的上限不小于 下限
ⅲ ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图,—— 画好围成 D的几条边界线，
若是 X— 型,就先 y 后 x
若是 Y— 型，就先 x 后 y,
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。
例 1 改变积分
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
解 积分区域如图
xy 1
原式
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
例 2 改变积分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
解 积分区域如图 xy2
22 xxy
原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
例 3 计算
D
dxdyxy 2 D 2,xyxy
10
2
x
xyx解一
D,X— 型
D
1
0
63
1
0
22
40
1
)(
3
1
2
dxxxx
dyydxd x d yxy
D
x
x
解二 D
10 y
yxy
Y— 型
1
0
22
1
0
2
40
1)(
2
1 dyyyydxxydyI y
y
例 4 计算
D
xyyxyDdxdy
x
y 1,2,:,
2
2
解 D
21
1
y
yx
y Y— 型
I =
2
1 1
2
2y
y
dx
x
y
dy
若先 y 后 x 由于 D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式,须分片积分，计算较麻烦。
2
1
32
4
9
)( dyyyy
2
1
2
1 21
由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，
总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。
例 5 计算
D
xy xyyxxDd x d yye 1,2,2,1:,
解 D是 X— 型区域
2
1
2
1
x
xy dyyedxI
要分部积分，不易计算若先 x 后 y 则须分片
2
1
2
1
1
0
2
1
dxyedydxyedyI xy
y
xy
易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。例 6 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
解 axy 2? 22 xaxy
22 yaax
D
原式
=a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(
a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(
.),(2 2
2
2
a
a
a
a
y dxyxfdy
a2a
a2
a
例 7 求
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy? 和 2yx? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy 2xy?
2yx?
D
d xd yyx )( 2 1
0
2
2 )(
x
x dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2,14033?例 8 求
D
y dx dyex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
解 dye y 2? 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D
y d x d yex 22 y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y ).21(
6
1
e
例 9 计算积分
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
,
解? dxe xy? 不能用初等函数表示
先改变积分次序,
原式
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
2xy?
xy?
121 )( dxeex x
.2183 ee
例 10 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz,xyz?,1 yx,0?x,0?y,
解 曲面围成的立体如图,
所围立体在 x o y 面上的投影是
,10 yx?,xyyx
所求体积
D
dxyyxV?)( 10 10 )(x dyxyyxdx
10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
例 12 计算
D
xyxyDd x d y
x
xy 2,:,
1
)1s i n( 2
解 根据积分区域的特点
1 4
-1
2应先对 x 后对 y 积分
dx
x
xydyI y
y
2
1
2
2 1
)1s i n (
但由于 1 )1s in (x x
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
先 x 后 y 有 dy
x
xy
dx
x
x
4
1 2
1
)1s i n ( dx
x
x
xx
1
)1s i n (
])2([
2
1
0
2
4
1
dx
x
x
xx?
4
1
2
1
)1s i n (
)45(
2
1
4
1
)1s i n ()4(
2
1
dxxx
)3s i n3(
2
1
dy
x
xy
dxI
x
x
1
0
1
)1s i n (
奇函数化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
以上各例说明二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式
.),(),( )(
)(
2
1
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf?
.),(),( )(
)(
2
1
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf?
［ X－型］
［ Y－型］
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
思考题设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf
1
0
)(,
求
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题解答
1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
则原式
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,)()(
0
1
0
x dyyfdxxf
故
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx
.)()( 21010 Adyyfdxxf
练 习 题一,填空题,
1,
D
dyyxx?)3(
323
________________,其中
,10,10, yxD
2,
D
dyxx?)c o s ( _______________,其中 D 是顶点分别为 )0,0(,)0,(?,),( 的三角形闭区域,
3,将二重积分
D
dyxf?),(
,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
yryx
所围成的闭区域,化为先对
y
后对
x
的二次积分,应为 _____________ _ _ _ _ _ _ _ _,
4,将二重积分
D
dyxf?),(,其中 D 是由直线
2, xxy 及双曲线 )0(
1
x
x
y 所围成的闭区域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
__ ___ ___ __ ___ _ ___ __ ___ __ __.
5,将二次积分
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
6,将二次积分
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
改换积分次序,
应为 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _,
7,将二次积分
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1,
D
yx
de?,其中 D 是由 1 yx 所确定的闭区域,
2,
D
dxyx?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 及 所围成的闭区域,
3,
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
co s
),( 。
4,,2
D
d x d yxy 其中 D,20,11 yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2 yx xy?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx,求该薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz 及
22
26 yxz,所围成的立体的体积,
练习题答案一,1,1 ； 2,
2
3?；
3,
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5,
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6,
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
a r c s i n
a r c s i n
1
0a r c s i n2
0
1
),(),(
；
7,
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
二,1,
1?
ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
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三、
3
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四,?6,
