?d
d
dyxf ),(
dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 元素,记为,所求量的积分表达式为
D
dyxfU?),(
dU
重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
dvzyxdv ),,(,?
dvzyxfdUdvzyxfU ),,(),,(
dvzyxfU ),,(
1。平面图形的面积由二重积分的性质，当 f( x,y ) =1 时区域 D的面积
D
dA?
2。空间立体的体积设曲面的方程为 Dyxyxfz ),(,0),(
对三重积分而言则曲顶柱体的体积为
D
dyxfV?),(
由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为?
dvV
计算由曲面 2241 yxz
解一 用二重积分与 xoy 面所围成的立体的体积
14,22 yxD
D
d x d yyxV )41( 22
由对称性得例 1
1
2
2
1
0
41
0
2222 )41(4)41(4
D
x
dyyxdxdxdyyxV
2
0
4
2
1
0
2
3
2
4
cos
2
1
3
8
)41(
3
8
t d tdxx
解二 用三重积分
1
4 dvdvV
2
1
0
41
0
41
0
2 22
4
4
x yx
dzdydx
所围成的立体的体积 2222,2 yxzyxz求解一
D D
dyxdyxVVV )()2( 222212
D
dyx?)1(2 22（用极坐标）
2
0
1
0
2 )1(2 r d rrd
解二 是柱形区域，用柱坐标?
dvV
2
0
1
0
2 2
2
r
r
r d zdrd
1
0
2 )22(2 drrr
例 2
①,设曲面的方程为,),( yxfz?
,Dxoy 面上的投影区域为在
,),(?dyx?点如图，,Dd设小区域
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMSd
),( yx
M dA
x
y
z
s
o?
,面上的投影在为 xoydAd
,c o s dAd
3。曲面的面积
,
1
1c o s
22
yx ff
dffdA
yx
221
曲面 S的面积元素
,1 22
D
yx dffA?
②,设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为,;1
22
d y d z
z
x
y
x
A
yzD
③,设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,.1
22
d z d x
x
y
z
y
A
zxD
同理可得例 3,求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
解 由对称性知 14 AA?,
)0,(,,221 yxaxyxD
曲面的方程为 222 yxaz,
于是
22
1?
y
z
x
z
,222
yxa
a
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
d x d y
yxa
a
c o s0 220 14 2 a r drrada,42 22 aa
求半径为 R的球面的表面积解 曲面方程为 222 yxRz
（由对称性）
1
22
1 188
D
yx dxdyzzAA
d x d y
yxR
R
D
1
2228
r d r
rR
R
d
R
2
0 0
22
8
24 R
例 4
计算圆柱面 222 azx
被圆柱面 所截的部分的面积 222 ayx
解 由对称性可知 A=8A1
A1 的方程 22 xaz
22
221
xa
azz
yx
1
22
0 0
2222
D
a xa
dy
xa
adxdxdy
xa
a
2a?
28 aA
例 5
面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量
D
dyxfM?),(
体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量
dvzyxfM ),,(
4。质量
5。平面薄片的重心设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系的 重心 的坐标为
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
,1
D
xd
A
x?,1
D
ydAy
D
dA?其中例 6,设平面薄板由
)c o s1(
)s in(
tay
ttax
,)20( t
与 x 轴围成，它的面密度 1,求形心坐标,
由元素法知,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
若薄片是均匀的,重心称为 形心,
先求区域 D 的面积 A,
20 t?,ax 20
a dxxyA 2
0
)(
20 )]s i n([)c os1( ttadta
20 22 )c os1( dtta,3 2a
D a?2a?
)(xy
由于区域关于直线 ax 对称,
所以形心在 ax 上，
即 ax,
解
D
y dx dyAy 1 )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
a dxxya 20 22 )]([6 1
20 3]co s1[6 dtta,65
所求形心坐标为 ),( 65 a,
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量 依次为
n
i
iix
ymI
1
2
,?
n
i
iiy
xmI
1
2
,
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
6。平面薄片的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量x
,),(2
D
x dyxyI
薄片对于 轴的转动惯量y
.),(2
D
y dyxxI例 7,设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量,
设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图 o
y
xa
b解对 y 轴的转动惯量为
d x d yxI
D
y
2?
b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
d x d yyI
D
x
2?,
12
1 3?ab?例 8,已知均匀矩形板（面密度为常数? ）的长和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
先求形心,
1
D
xdxdyAx,1
D
y dx dyAy
,hbA区域面积建立坐标系如图 因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标
2
bx?,
2
hy?,o
y
xb
h
将坐标系平移如图 o
y
x对 u 轴的转动惯量
D
u dud vvI
2
2
2
2
2
2h
h
b
b dudvv?
u
v
o?
.12
3?bh
对 v 轴的转动惯量
D
v d u d vuI
2?,
12
3?hb
解设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的单位质点的 引力,)0(?a
薄片对 轴上单位质点的引力z },,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
3222?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
7。平面薄片对质点的引力例 9,求 面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,222 Ryx,0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
由积分区域的对称性知,0 yx FF
d
ayx
yxafF
D
z 23)(
),(
222
d
ayx
af
D
23)( 1 222o y
z
x
F
drr
ar
daf R
0 22
2
0 23)(
1
.112 22 aaRfa
所求引力为,112,0,0
22
a
aR
fa
解几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量,对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、
重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，
所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。
小结,
1。平面图形的面积
D
dA?
2。空间立体的体积
D
dyxfV?),(
dvV
3。曲面的面积曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为 D
dffA
D
yx
221
关于重积分应用
4。质量
dwpfdm )( dwpfm )(
积分域的元素dw
静力矩 =质点质量与质点到坐标轴（面）距离的乘积对各坐标轴（面）静力矩分别平衡点的坐标平面薄片 xy MmMm,
D
dyxM ),(
5。重心重心
D
y dyxxM ),(
D
x dyxyM ),(
D
Dx
D
Dy
dyx
dyxy
M
M
dyx
dyxx
M
M
),(
),(
,
),(
),(
dvzyxM ),,(
dvzMdvyMdvxM xyxzyz,,
M
Mz
M
My
M
Mx xyxzyz,,
空间立体惯性矩 =质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积平面薄片
dmrI
2
D
y
D
x dxIdyI
22,
D
o dyxI)(
22
空间立体
dvzyI x?
)( 22 dvzxI y?
)( 22
dvyxI z?
)( 22
6。转动惯量
7。引力
Dd
dyx ),(
222 ayx
dkmdF
方向与 一致ayx?,,
o
x
y
z
),0,0( a。
。
222 ayxr
在 xoy 内一薄片对 z 轴上 (0,0,a)处一质点引力
drk m xdFdF x 3co s
drk m ydFdF y 3co s
drkamdFdF z 3co s
drxkmF
D
x 3
d
r
ykmF
D
y 3
drkamF
D
z 3
空间立体对空间中点 (x0,y0,z0 ) 处的质点的引力
o
x
y
z
),,( 000 zyx dvzyx ),,( dvrkmdF 2
202020 )()()( zzyyxxr
dvr xxkmdFdF x 3 0 )(co s
dvr yykmdF y 3 0 )(
dvr zzkmdF z 3 0 )(
dvr xxkmF x 3 0 )(?
dvr yykmF y 3 0 )(?
dvr zzkmF z 3 0 )(?
d
dyxf ),(
dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 元素,记为,所求量的积分表达式为
D
dyxfU?),(
dU
重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
dvzyxdv ),,(,?
dvzyxfdUdvzyxfU ),,(),,(
dvzyxfU ),,(
1。平面图形的面积由二重积分的性质，当 f( x,y ) =1 时区域 D的面积
D
dA?
2。空间立体的体积设曲面的方程为 Dyxyxfz ),(,0),(
对三重积分而言则曲顶柱体的体积为
D
dyxfV?),(
由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为?
dvV
计算由曲面 2241 yxz
解一 用二重积分与 xoy 面所围成的立体的体积
14,22 yxD
D
d x d yyxV )41( 22
由对称性得例 1
1
2
2
1
0
41
0
2222 )41(4)41(4
D
x
dyyxdxdxdyyxV
2
0
4
2
1
0
2
3
2
4
cos
2
1
3
8
)41(
3
8
t d tdxx
解二 用三重积分
1
4 dvdvV
2
1
0
41
0
41
0
2 22
4
4
x yx
dzdydx
所围成的立体的体积 2222,2 yxzyxz求解一
D D
dyxdyxVVV )()2( 222212
D
dyx?)1(2 22（用极坐标）
2
0
1
0
2 )1(2 r d rrd
解二 是柱形区域，用柱坐标?
dvV
2
0
1
0
2 2
2
r
r
r d zdrd
1
0
2 )22(2 drrr
例 2
①,设曲面的方程为,),( yxfz?
,Dxoy 面上的投影区域为在
,),(?dyx?点如图，,Dd设小区域
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMSd
),( yx
M dA
x
y
z
s
o?
,面上的投影在为 xoydAd
,c o s dAd
3。曲面的面积
,
1
1c o s
22
yx ff
dffdA
yx
221
曲面 S的面积元素
,1 22
D
yx dffA?
②,设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为,;1
22
d y d z
z
x
y
x
A
yzD
③,设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,.1
22
d z d x
x
y
z
y
A
zxD
同理可得例 3,求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
解 由对称性知 14 AA?,
)0,(,,221 yxaxyxD
曲面的方程为 222 yxaz,
于是
22
1?
y
z
x
z
,222
yxa
a
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
d x d y
yxa
a
c o s0 220 14 2 a r drrada,42 22 aa
求半径为 R的球面的表面积解 曲面方程为 222 yxRz
（由对称性）
1
22
1 188
D
yx dxdyzzAA
d x d y
yxR
R
D
1
2228
r d r
rR
R
d
R
2
0 0
22
8
24 R
例 4
计算圆柱面 222 azx
被圆柱面 所截的部分的面积 222 ayx
解 由对称性可知 A=8A1
A1 的方程 22 xaz
22
221
xa
azz
yx
1
22
0 0
2222
D
a xa
dy
xa
adxdxdy
xa
a
2a?
28 aA
例 5
面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量
D
dyxfM?),(
体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量
dvzyxfM ),,(
4。质量
5。平面薄片的重心设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系的 重心 的坐标为
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
n
i
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n
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M
M
y
1
1
．
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
,1
D
xd
A
x?,1
D
ydAy
D
dA?其中例 6,设平面薄板由
)c o s1(
)s in(
tay
ttax
,)20( t
与 x 轴围成，它的面密度 1,求形心坐标,
由元素法知,
),(
),(
D
D
dyx
dyxx
x
.
),(
),(
D
D
dyx
dyxy
y
若薄片是均匀的,重心称为 形心,
先求区域 D 的面积 A,
20 t?,ax 20
a dxxyA 2
0
)(
20 )]s i n([)c os1( ttadta
20 22 )c os1( dtta,3 2a
D a?2a?
)(xy
由于区域关于直线 ax 对称,
所以形心在 ax 上，
即 ax,
解
D
y dx dyAy 1 )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
a dxxya 20 22 )]([6 1
20 3]co s1[6 dtta,65
所求形心坐标为 ),( 65 a,
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx,),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量 依次为
n
i
iix
ymI
1
2
,?
n
i
iiy
xmI
1
2
,
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
6。平面薄片的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量x
,),(2
D
x dyxyI
薄片对于 轴的转动惯量y
.),(2
D
y dyxxI例 7,设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量,
设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图 o
y
xa
b解对 y 轴的转动惯量为
d x d yxI
D
y
2?
b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
d x d yyI
D
x
2?,
12
1 3?ab?例 8,已知均匀矩形板（面密度为常数? ）的长和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
先求形心,
1
D
xdxdyAx,1
D
y dx dyAy
,hbA区域面积建立坐标系如图 因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标
2
bx?,
2
hy?,o
y
xb
h
将坐标系平移如图 o
y
x对 u 轴的转动惯量
D
u dud vvI
2
2
2
2
2
2h
h
b
b dudvv?
u
v
o?
.12
3?bh
对 v 轴的转动惯量
D
v d u d vuI
2?,
12
3?hb
解设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的单位质点的 引力,)0(?a
薄片对 轴上单位质点的引力z },,,{ zyx FFFF?
,)( ),(
2
3222?
d
ayx
xyxfF
D
x,)(
),(
2
3222?
d
ayx
yyxfF
D
y
.)( ),(
2
3222?
d
ayx
yxafF
D
z 为引力常数f
7。平面薄片对质点的引力例 9,求 面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,222 Ryx,0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0(?a
由积分区域的对称性知,0 yx FF
d
ayx
yxafF
D
z 23)(
),(
222
d
ayx
af
D
23)( 1 222o y
z
x
F
drr
ar
daf R
0 22
2
0 23)(
1
.112 22 aaRfa
所求引力为,112,0,0
22
a
aR
fa
解几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量,对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、
重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，
所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。
小结,
1。平面图形的面积
D
dA?
2。空间立体的体积
D
dyxfV?),(
dvV
3。曲面的面积曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为 D
dffA
D
yx
221
关于重积分应用
4。质量
dwpfdm )( dwpfm )(
积分域的元素dw
静力矩 =质点质量与质点到坐标轴（面）距离的乘积对各坐标轴（面）静力矩分别平衡点的坐标平面薄片 xy MmMm,
D
dyxM ),(
5。重心重心
D
y dyxxM ),(
D
x dyxyM ),(
D
Dx
D
Dy
dyx
dyxy
M
M
dyx
dyxx
M
M
),(
),(
,
),(
),(
dvzyxM ),,(
dvzMdvyMdvxM xyxzyz,,
M
Mz
M
My
M
Mx xyxzyz,,
空间立体惯性矩 =质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积平面薄片
dmrI
2
D
y
D
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22,
D
o dyxI)(
22
空间立体
dvzyI x?
)( 22 dvzxI y?
)( 22
dvyxI z?
)( 22
6。转动惯量
7。引力
Dd
dyx ),(
222 ayx
dkmdF
方向与 一致ayx?,,
o
x
y
z
),0,0( a。
。
222 ayxr
在 xoy 内一薄片对 z 轴上 (0,0,a)处一质点引力
drk m xdFdF x 3co s
drk m ydFdF y 3co s
drkamdFdF z 3co s
drxkmF
D
x 3
d
r
ykmF
D
y 3
drkamF
D
z 3
空间立体对空间中点 (x0,y0,z0 ) 处的质点的引力
o
x
y
z
),,( 000 zyx dvzyx ),,( dvrkmdF 2
202020 )()()( zzyyxxr
dvr xxkmdFdF x 3 0 )(co s
dvr yykmdF y 3 0 )(
dvr zzkmdF z 3 0 )(
dvr xxkmF x 3 0 )(?
dvr yykmF y 3 0 )(?
dvr zzkmF z 3 0 )(?
