第四篇电 磁 学电能是应用最广泛的能源；
电磁波的传播实现了信息传递；
电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；
电磁学的研究在理论方面也很重要。
1905年爱因斯坦建立狭义相对论
1865年麦克斯韦提出电磁场理论
1820年奥斯特发现电流对磁针的作用公元前 600年 1831年法拉第发现电磁感应古希腊泰勒斯第一次记载电现象静电场 ----相对于观察者静止的电荷产生的电场稳恒电场 —不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场两个物理量,场强、电势；
一个实验规律,库仑定律；
两个定理,高斯定理、环流定理电荷守恒定律,在一个孤立系统内发生的过程中，
正负电荷的代数和保持不变。
电荷的 量子化效应,Q=Ne
8-1 电场 电场强度一、电荷电荷的 种类,正电荷、负电荷电荷的 性质：同号相吸、异号相斥电量,电荷的多少 单位,库仑 符号,C
二、库仑定律
02
21
1221 rr
qqkFF
0?
——真空介电常数。
or
——单位矢量，由 施力物体指向受力物体 。
——电荷 q1作用于电荷 q2的力。
21F
真空中两个静止的点电荷之间的作用力 （ 静电力 ），
与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1q 2qror?
04
1
k
229
0
21212
0
109
4
1
10858
CNmk
mNC
,
讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。
(a)q1和 q2同性，则 q1 q2>0,和 同向，
方程说明 1排斥 2
21F
0r
12F
21F
0r
00
00
21
21
qq
qq
斥力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF
(b)q1和 q2异性，则 q1 q2<0,和 反向，
方程说明 1吸引 2
21F
0r
12F
21F
0r
00
00
21
21
qq
qq
引力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF
r
r
qqr
r
qqF
3
21
0
02
21
0 4
1
4
1
注意：只适用两个点电荷之间数学表达式离散状态
N
i
iFF
1
02
04
i
i
i
i rr
qqF
连续分布 FdF
02
04
rrqd qFd?
1q
2q
1F
q
10r
20r
2F
F?
静电力的叠加原理作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
所以库仑力与万有引力数值之比为 391032,
G
E FF
牛）(102.84 82
0
2
ReF E
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
NRG m MF G 472 1063,
电子与质子之间的万有引力为例,在氢原子中，电子与质子的距离为 5.3?10-11米，试求静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
忽略！
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的 105倍，
因而可将电子、质子看成点电荷。
三、电场强度电场 ★ 叠加性
★ 研究方法：
能法 —引入电势 u
E?力法 —引入场强
★ 对外表现,a.对电荷（带电体）施加作用力
b.电场力对电荷（带电体）作功电场强度
0q
FE
场源电荷试验电荷
q
0q
F?
),,( zyxEE
电场电荷 电荷
1.由 是否能说,与 成正比，与 成反比？
0q
FE
E? F
0q
Q
q
P
Q
0E
P
0Eq
F?
讨论
2.一总电量为 Q>0的金属球，在它附近 P点产生的场强为 。将一点电荷 q>0引入 P点，测得 q实际受力 与
q之比为,是大于、小于、还是等于 P点的
0E
0E
F
qF
1q
2q
P
四、场强叠加原理点电荷系连续带电体
10r?
1E
E?2E?
20r?
P
dq
Ed?0r?
ii Eq FqFE
00
EdE
N
i
iFF
1
1,点电荷的电场五、电场强度的计算
02
0
04
1 r
r
qqF
02
00 4
1 r
r
q
q
FE?
02
04
1 r
r
qE
)( 0?q P
0r
E?
0r
)( 0?q PE?
2,点电荷系的电场设真空中有 n个点电荷 q1,q2,… qn，则 P点场强
02
04
1
i
i
i
i
i
i
r
r
qEE
iziziyiyixix EEEEEE,,
场强在坐标轴上的投影
kEjEiEE zyx
例 1,电偶极子如图已知,q,-q、
r>>l，
电偶极矩 lqp
求,A点及 B点的场强
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
解,A点 设 +q和 -q 的场强 分别为 和
E
E
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
i
r
l
r
l
r
qr l
i
l
r
q
l
r
q
E
A
224
0
22
0
)
2
1()
2
1(4
2
)
2
()
2
(
4
1
3
0
3
0
2
4
1
2
4
1
r
p
i
r
ql
E
A
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
)4(4
1
22
0 lr
qEE
xxxx EEEE 2 4
2
22 lr
l
c o s
c o s2 E
0 yyy EEE
对 B点：
2
3
2
20
4
4
1
2
)(
c os
l
r
ql
EE
B
3
04
1
r
p
3
04
1
r
pE
B
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
3
0
2
4
1
r
pE
A
结论
pE?
3
1
r
E?
3
04
1
r
pE
B
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
3,连续带电体的电场
0
04
rdqEd?
02
04
1 r
r
dqEdE
zzyyxx dEEdEEdEE
kEjEiEE zyx
电荷元随不同的电荷分布应表达为体电荷 dVdq
面电荷 dSdq
线电荷 ldqd
例 2 求一均匀带电直线在 O点的电场。
已知,q,a,?1,?2,?。
解题步骤
1,选电荷元 ldqd
2
04
1
r
lddE?
s i nc o s dEdEdEdE yx
5,选择积分变量一个变量是变量，而线积分只要、,lr?
4,建立坐标，将 投影到坐标轴上Ed?
2.确定 的方向Ed?
3.确定 的大小Ed?
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
选 θ作为积分变量
a c t ga c t gl )(
dald 2c s c
22
222
222
c s ca
c t gaa
lar
c o s2
04
1
r
dldE
x?
c o s
c s c
c s c
4 22
2
0 a
da
d
a
c o s
4 0
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
d
ar
dldE
y s i n4s i n4
1
0
2
0
2
1 0
4
d
a
dEE xx c o s
)s in( s in 12
04
a
2
1 0
4
d
a
dEE yy s i n
)c o s( c o s 21
04
a
22
yx EEE
)( xy EEa r c t g
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
当直线长度
2
1 00,aL 或
0?xE
无限长均匀带电直线的场强
a
E
02
当
EE y?,0,0 方向垂直带电导体向外，
当
EE y?,0,0 方向垂直带电导体向里。
讨论
)s in( s in 12
04
aE x )c o s( c o s 21
04
aE y
a
EE y
02
课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a
2
04 )xaL(
dqdE
L
)xaL(
dxE
0
2
04
)(
aLa?
11
4 0
a
P
L X
O
x dx
Ed?
)()( aLa
q
aLaL
qL
00 44
例 3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知,q,a,x。
dl
a
q
dldq
2
idEEd// kdEjdEEd zy
2
04 r
dqdE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
Ed
Ed?
当 dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。
由对称性
a
,y
z
x
dq
Ed?
0 zy EE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
Ed
Ed?
c o s
//
Ed
EdE
2122 )(
c o s
xar
rx
c os2
2
0 24
1
r
ld
a
q
E
a
c o s
04
1
r
q?
2322
04
1
)( xa
qx
i
)ax(
xqE
2
322
04?
讨论 （ 1） 当 的方向沿 x轴正向当 的方向沿 x轴负向Eq?，0?
Eq?，0?
（ 2） 当 x=0,即在圆环中心处,0?E?
当 x 0?E?
i
)ax(
xq
E
2
322
04?
2
ax?
时0?dxdE
2
3
2
2
0
2
4
2
)
a
a(
q
a
EE m a x
（ 3） 当 时，ax 222 xax
2
04
1
x
qE
这时可以 把带电圆环看作一个点电荷这正反映了 点电荷概念的相对性
i
)ax(
xq
E
2
322
04?
1.求均匀带电半圆环圆心处的,已知 R,?E?
2
04 R
dqdE
电荷元 dq产生的场根据对称性?
0ydE
0
2
04
s i n
R
Rds i ndEdEE
x
0
2
04
)c o s(
R R02
课堂练习：
o
R X
Y
d
dq
Ed?
O X
Y
R
2
04 R
dldE
cosRdldEE y 2
04
224
2
0
2
0
2
0
s i n
c o s
R
d
R
R
取电荷元 dq则
0xdE由对称性方向：沿 Y轴负向
dl
d
Ed?
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知?,?,R
例 4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知,q,R,x 求,Ep
解：细圆环所带电量为
22 R
qr d rdq
由上题结论知：
2322
04
1
)( xr
xdqdE
2322
04
2
)( xr
r d rx
23220
0 )(2 xr
r d rxdEE R
)1(2 22
0 xR
x
R r
Pxdr
22 xr?
Ed?
讨论
1,当 R>>x
（无限大均匀带电平面的场强）
0 0
)
xR
x(E
220
1
2?
02?
E
2
1
2
2
22
)1(
x
R
xR
x 2)(
2
11
x
R
)1(
2 220 xR
xE
2
0
)(
2
111(
2 x
R
2
04 x
q
)
xR
x(E
220
1
2?
2,当 R<<x
例 5,两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为,计算场强分布。
E
E
E
E
E
E
002
2 EEE
两板之间：
两板之外,E=0
六．带电体在外电场中所受的力
EqF
课堂讨论,如图已知?q,d,S
求两板间的所用力
q? q?
d
S
qqf
0
2
0 22
解：由场强叠加原理
2
0
2
4 d
qf
dqEF
例 6 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩
,qlp已知 E?
qEF
qEF
q?
E?
q?
o
0 FFF
解：合力
s i ns i n2s i n2 q l ElFlFM
合力矩
EpM将上式写为矢量式力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态p? E?
可见,力矩最大； 力矩最小。Ep Ep //
在电场中画一组曲线，
曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，
这一组曲线称为 电力线 。
E?
dS
E?
通过无限小面元 dS的 电力线数目 d?e与 dS的比值称为电力线密度。我们规定 电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度一、电场的图示法电力线
8-2 电通量 高斯定理
E?
cE?
大小：
E?
方向,切线方向
=电力线密度电力线性质：
b
c
aE?
bE?
a
2、任何两条电力线不相交。
1、不闭合，不中断起于正电荷、止于负电荷；
总结：
点电荷的电力线正电荷负电荷
+
+
一对等量异号电荷的电力线一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
二、电通量通过电场中某一面的电力线数称为 通过该面的电通量 。
用?e表示。
ESe
S
E?
均匀电场
S与电场强度方向垂直
S n?
E?
SEESe c o s
均匀电场,S 法线方向 与电场强度方向成?角
Ed Sd e
S
dSE c o s
c o sE d S
SdE
S ee
d
S S
dSnESdE
dS
dE e
电场不均匀,S为任意曲面
S为任意闭合曲面
SSe SdEdSE c o s
规定,法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。
kSjSiSSkEjEiEE zyxzyx
zzyyxxe SESESESE
解,（ 1）
（ 2）
SESESEe c o s
222
zyxee EEEES
例,在均匀电场中，
kcNjcNicNE )390()160()240(
通过平面 k)m.(j)m.(i)m.(S 222 422411
的电通量是多少？
E?
S 在垂直于 的平面上的投影是多少?
求均匀电场中一半球面的电通量 。
E?
R
O
n?
n?
n?
n?
1S
2S
11 SS SdE
2SE
2
1 RES
课堂练习三、高斯定理在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面 S的电通量?e,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
i
s
e qSdE
0
1
1,高斯定理的引出
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
r+
q
E?
Sd?
Se SdE
S Sdrrq02
04
S dS
r
q
2
04
SdSrq 2
04
0
2
2
0
44 qrrq
与球面半径无关，即以点电荷 q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。
00, eqa?
电量为 q的正电荷有 q/?0条电力线由它发出伸向无穷远电量为 q的负电荷有 q/?0
条电力线终止于它
00 eq?
+ q
b、若 q不位于球面中心，
积分值不变。
0?
qSdE
s
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。
0?e? 0
s
SdE
(3) 场源电荷为点电荷系 (或电荷连续分布的带电体 )，
高斯面为任意闭合曲面
nEEEE
21
n
i
eienee
1
21
Se SdE
s
n
s S
SdESdESdE 21
内qSdESe
0
1
3,高斯定理的理解
a,是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电荷（ 面内外电荷 ）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。
E?
因为曲面外的电荷（如 ）
对闭合曲面提供的通量有正有负才导致 对整个闭合曲面贡献的通量为 0。
4q
4q
1q
2q
3q
4q
i
s
e qSdE
0
1
b,对连续带电体，高斯定理为表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以 正电荷是静电场的源头 。
静电场是 有源场表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以 负电荷是静电场的尾 。
dqSdE
0
1
00 eiq.c?
00 eiq?
四、高斯定理的应用
1,利用 高斯定理求某些电通量例：设均匀电场 和半径 R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
E?
i
s
e qSdE
0
1
0 iq? 0 SdE
Se
021 SS
021 )RE(S
2
1 RES
步骤：
1.对称性分析，确定 E? 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及? iq
3.利用高斯定理求解当场源分布具有高度对称性时求场强分布2.
解,对称性分析 E? 具有球对称 作高斯面 ——球面
Rr?
电通量电量?
0iq
用高斯定理求解
04 21?rE? 01 E
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
+ +
q
E?
r
例 1,均匀带电球面的电场。 已知 R,q>0
2
11
1
4
1
rEdSE
SdE
s
e
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
r
q
Rr?
qq i 022 4 qrE?
2
0
2 4 r
qE
E?
2
222 4
2
rESdESdE
s
e
E
2
04 R
q
2
1
r
r
RO
O
R
q
解,r<R
3
3 3
4
3
4
r
R
q
q i?
3
3
0
2 14
R
qrrE
场强
3
04 R
qrE
例 2,均匀带电球体的电场。 已知 q,R
r
E?
高斯面
24 rESdEe
R
r
高斯面
E?
r>R
电量 qq
i
高斯定理
0
24 qrE?
场强
2
04 r
q
E
24 rESdEe
电通量均匀带电球体电场强度分布曲线
ε
R
O
E?
O
r
E
R
2
04 R
q
E?
2S
σ
高斯面解,E? 具有面对称 高斯面,柱面
SESES?
0
21
10
SES?
0
12?
02?
E
例 3,均匀带电无限大平面的电场,已知?
E?
S
1S侧S
1 2S S S
e SdESdESdESdE
侧
rlErlE 2200
0iq
0?E
高斯面
l
r
E?
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面例 4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为?
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
(1) r <R
(2) r >R
Rlq i 2
0?
r
RE?
R2?
令
r
E
02
高斯面
lr
E?
rlE 2
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
位于中 心
q 过每一面的通量课堂讨论
● q
1,立方体边长 a，求位于一顶点
● q
1q?
2q?
移动两电荷对场强及通量的影响
2,如图 讨论
06?
qe?
024
0
q
e
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R,?
2
02 R
r
E
Rr?
Rr?
r02
0
2
lrlE?
Rr?
Rr?
lr
R
rlE 22
0
2?
8-3 电场力的功 电势
r
drr?
c
ld?
c?
E?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA?c o s00
drdlc o s其中
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则与路径无关
q
ar
br
dr
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0
一．电场力做功推广
b
a
nab ld)EEE(qA
210
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
02010
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21
(与路径无关 )
结论试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
a cb adb
ldEqldEq 000
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00?q 0ldE
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
a c b bda
ldEqldEqldEqA 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 b
a
ab ldEqA
0
ba WW
0W取?
a
aa ldEqAW
0
E?Wa属于 q0及 系统试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意三、电势能保守力的功 =相应势能的减少所以 静电力的功 =静电势能增量的负值
a
a
a ldEq
Wu
0
定义 电势差 电场中任意两点 的电势之差（电压）
ba uu?
a b
baab ldEldEuuu
b
a
ldE
a
a ldEqW
0
四、电势 电势差单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移到 b时，电场力所做的功。
定义 电势将电荷 q从 a?b电场力的功
b
a
ldEq
0baab
WWA )(0 ba uuq
注意
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
3、电势零点的选择。
1,点电荷电场中的电势
r
q P?0
r?
如图 P点的场强为
02
04
rrqE?
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44
由电势定义得讨论对称性大小以 q为球心的同一球面上的点电势相等最小ururuq 00
最大ururuq 00
五、电势的计算根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理若场源为 q1,q2qn的点电荷系场强电势
nE.,,,,,,EEE
21
P P
n ldEEEldEu
)( 21
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
P P
n
P
ldE.......ldEldE
21
由电势叠加原理,P的电势为点电荷系的电势
i
i
i r
quu
04
rdqduu
04
连续带电体的电势由电势叠加原理
dq
P?r
1r
1q
2q
nq?
P2r
nr
根据已知的场强分布，按定义计算
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
P
P ldEu
电势计算的两种 方法,
例 1,求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P
由叠加原理
lrc o s12 lrr 221 rrr?
2
0
c o s
4 r
lqu?
222 yxr
22
c o s
yx
x
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 从? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()(
电势能 0108.28
700 WWA
X
Y
Z
O
R
dl
r
P
x
例 2,求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04
r
dl
04
R
P r
R
r
dlduu?
2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
方法二 定义法由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4
l
d
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
解,方法一 叠加法 (微元法 )
任一圆环 RdRdS s i n2 dRdSdq s i n2 2
l
dR
l
dqdu
s i n2
4
1
4
2
00
l
dq
08
s in
drRl d l s i n22?
rR
qdldu
08
c o s2222 RrrRl由图
Rr
Rr r
q
rR
q dlu
00 48
Rr?
Rr?
rR
rR R
q
rR
q dlu
00 48
O
R
P
r
方法二 定义法
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布
Rr?
Rr?
E
2
04 r
q
0
P
ldEu
由定义
R
r R
ldEldEu
R
dr
r
q
2
04
0
R
q
04
r
drrqu 2
04
r
q
04
l
d
O
R
P
r
课堂练习,1.求等量异号的同心带电球面的电势差已知 +q,-q,RA,RB
AR
BR
q?q?解,由高斯定理
ARr? BRr?
2
04 r
q
BA RrR
E
0
由电势差定义
BAAB uuu
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q,-q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc
R
q
06
0 oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
讨论 ba uu?
ba uu?
2,0?
abA ba WW?
则则0?q
0?q
１,0?abA ba WW?
0?q 则
0?q 则
ba uu?
ba uu?
8-4 场强与电势的关系一,等势面等势面,电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
a
b
u
0)( baab uuqA
2
ba uu
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s dlqEldEqdA
0)( dcdccd uuqWWA
★ 沿电力线移动 q? c d E?
dc uu
★ a,b为等势面上任意两点移动 q,从 a到 b
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等课堂练习,由等势面确定 a,b点的场强大小和方向
1u
2u
3u
a
b
03221 uuuu已知
aE
bE
E?
a b
ld?
n?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE
dudlEc o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l
dl
duE
l
电场强度沿某一方向的分量沿该方向电势的变化率的负值
),,( zyxuu?一般
x
uE
x?
y
uE
y?
z
uE
z?
所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx
)( kzujyuixu
ug r a d uE
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x
2
322
0 )(4
1
xR
qx
0 zy EE
iEE x i
xR
qx?
2
322
0 )(4
1
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
(xxuE x )
)(4
1
2
322
0 yx
px
(yyuE y )
)(4
1
2
322
0 yx
px
l?
q?
r
x
y
q?
B?
O?
A
l
iypE
3
04
B点 (x=0)
ixpE
3
02
A点 (y=0)
一
、
导体的静电平衡无外电场时
8-5 静电场中的导体和电介质导体的静电感应过程加上外电场后
E外导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体达到静平衡
E外E
感
0 感外内 EEE
感应电荷感应电荷
⑴ 导体内部任意点的场强为零。
⑵ 导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
等势体等势面
b
a
ba ldEuu
0?内E
Q
P
Q
P
QP dlco sEldEuu 090
0
QP uu
a
b
ba uu
p
Q
导体内导体表面处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处处为零，整个导体是个等势体。
静电平衡条件处于静电平衡状态的导体的性质：
1、导体是 等势体,导体表面是 等势面 。
2、导体内部处处没有未被抵消的 净电荷,净电荷只分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度 的关系为?
0?
E
详细说明如下金属球放入前电场为一均匀场
E?
1、导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场
+++
++
++ E
2、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只能分布在导体表面上。
S
V e
dV
SdE
0?
00 eE 内部
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
静电场中的孤立带电体：
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
曲率较大，表面 尖而凸出部分,电荷面密度较大曲率较小，表面 比较平坦部分,电荷面密度较小曲率为负，表面 凹进去的部分,电荷面密度最小
3、导体表面上的电荷分布
1R
2R
1Q
2Q
21 RR uu? 20
2
10
1
44 R
Q
R
Q
20
2
22
10
2
11
4
4
4
4
R
R
R
R
1
2
2
1
R
R
1Rl 2R导线
R
1
证明,
即用导线连接两导体球则
0
00c o s
SSESdE
0?
E
表面附近作圆柱形高斯面
4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂直，大小与该处导体表面电荷面密度?e成正比。
E
S?
尖端放电尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成,电风,
二、导体壳和静电屏蔽
1、空腔内无带电体的情况
2q
腔体内表面不带电量，
腔体外表面所带的电量为带电体所带总电量。
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q1时 放入 q1后
2、空腔内有带电体
2q
+
2q
1q
1q
1q?
3、静电屏蔽接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场不受壳内电荷的影响。
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受外电场的影响；
+++
+
E?
0?E
电荷守恒定律静电平衡条件电荷分布
E? u
三、有导体存在时场强和电势的计算
A B
例 1.已知：导体板 A，面积为 S、带电量 Q，在其旁边放入导体板 B。
求,(1)A,B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将 B板接地，求电荷分布
1? 3?2? 4?
1E
a
2E
3E
4E
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
A B
1? 2? 3? 4?
b
1E
2E
3E
4E
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
a点
QSS 21
043 SS
b点
A板
B板
S
Q
241
S
Q
232
A B
1? 3?2? 4?
解方程得,
电荷分布场强分布两板之间板左侧A
板右侧B
E? E? E?
S
QE
00
1
2
S
QE
00
3
0
2
2
S
QE
00
4
2
A B
1? 2? 3?
1? 3?2?
A B
(2)将 B板接地，求电荷及场强分布
1E
a
2E
3E
b
1E
2E
3E
A 板 QSS 21
04接地时电荷分布
01 SQ 32
0222
0
3
0
2
0
1
a点
0
222 0
3
0
2
0
1
b点场强分布
1? 3?2?
A B
S
QE
0?
0?E
01
S
Q
32
电荷分布两板之间两板之外
E?
AB
例 2.已知 R1 R2 R3 q Q
q?
O
q
1R 2
R
3R
Q q?
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
② 如用导线连接 A,B，再作计算解,
由高斯定理得电荷分布 q q? Q q?
场强分布
2
04 r
qQ
2
04 r
q
E
0 1Rr? 32 RrR
21 RrR
3Rr?
球心的电势
A
O
B
qq?
1R 2
R
3R
Q q?
场强分布
2
04 r
qQ
E
0
2
04 r
q
1Rr? 32 RrR
21 RrR
3Rr?
0 0
2
1
3
2 3
1 R
R
R
R R
R
o E d rE d rE d rE d rrdEu
30210 4
111
4 R
Qq)
RR(
q
球壳外表面带电
② 用导线连接 A,B，再作计算
A
O
1R 2
R
3R
Q q?
B
qq?
3Rr?
3
3
300 4R
R
o R
qQE d rE d ru
3Rr? 2
04 r
qQE
r r
QqE d ru
04
Q q?
0?E
连接 A,B,中和q )q(
练习 已知,两金属板带电分别为 q1,q2
求,?1,?2,?3,?4
1q 2q
4?1? 3?2?
S
qq
2
21
41
S
qq
2
21
32
问题：
1、在两板间插入一中性金属平板，求板面的电荷密度。
2、如果第三板接地，又如何？
3、剪掉第三板接地线，再令第一板接地，又如何？
S
qq
2
21
61
S
qq
2
21
5432
061 Sq 15432
061
S
q 1
5432
有极分子：分子正负电荷中心不重合。
无极分子：分子正负电荷中心重合；电介质
C
H+
H+H+
H+
正负电荷中心重合甲烷分子
4CH
+
正电荷中心负电荷中心
H++H
O
水分子 OH2
ep
—— 分子电偶极矩
ep
0?
ep
四、电介质的极化
1,无极分子的 位移极化
0?ep?
e
无外电场时
ep?
f f
l
外E
加上外电场后 0
ep
+
+ ++
++
+
外E
极化电荷极化电荷
2,有极分子的转向极化
f?f?
外EpM e
+
+ ++
++
+
外E
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
无外电场时 电矩取向不同两端面出现极化电荷层转向 外电场
ep
外E
ep
加上外场
*五、电极化强度和极化电荷
1、电极化强度 (矢量 )
V
p
P i
单位体积内分子电偶极矩的 矢量和描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程度。
l
dl
极化电荷
0n? 0n
p?
表面极化电荷
2、极化电荷和极化强度关系
(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。
nPnP
(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。
S
iS qSdP
和面内包围的极化电荷总— Sq
S i
0E
EEE 0
0EE
0EE
无限大均匀电介质中 r
EE
0?
E
a
充满电场空间的各向同性均匀电介质内部的场强大小等于真空中场强的 倍，方向与真空中场强方向一致。
r?1
介质中的场 极化电荷的场自由电荷的场
*六、电介质中的电场
EEP 0 电介质的极化率—?
)( Zyxx EEEP 1312110
)( ZyxY EEEP 2322210
)( zyxz EEEP 3332310
1、线性各向异性电介质它表示张量在坐标中的 9个分量，叫做电介质的极化率张量。
个常数，是、、、其中 933131211
zyxzyx EEEPPP,,,,与的关系是线性关系时，
电介质叫做 线性电介质 。
2、铁电体与 的关系是 非线性 的，甚至 与 之间也不存在单值函数 关系。
P? E? P? E?
如：酒石酸钾钠（ NaKC4H4O6）及钛酸钡（ BaTiO3）
（ 1）,由于铁电体具有 电滞效应,经过极化的铁电体在剩余极化强度 Pr和 -Pr处是双稳态，可制成 二进制的存储器。
（ 2）,铁电体的 相对介电常数?r不是常数,随外加电场的变化。 利用铁电体作为介质可制成 容量大
、体积小的电容器。
铁电体的性能和用途
3、压电体
1880年居里兄弟发现石英晶体被外力压缩或拉伸时，在石英的某些相对表面上会产生等量异号电荷。
——压电效应
（ 3）、铁电体在居里点附近，材料的 电阻率会随温度发生灵敏的变化,可以制成铁 电热敏电阻器 。
（ 4）、铁电体在强光作用下能 产生非线性效应,常用做激光技术中的 倍频或混频器件 。
4、驻极体极化强度并不随外场的撤除而消失。如：石蜡七、有电介质时的高斯定理
iS qSdE
0
1
自由电荷
)( iqq
0
1
极化电荷
)SdPq(SdE
SS
0
1
S iS
qSdP
qSd)PE(S0?
电位移矢量
EEr 0
ED
EEPED 000
D?
E?0? 真空中
Er 0 介质中介质中的高斯定理 qSdD
S
自由电荷通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
D?
电位移线
a
aD
大小,
S
电位移线条数
D?
方向,切线
D? 线
E? 线
bD?
b
8-6 电容 电容器一、孤立导体的电容孤立导体,附近没有其他导体和带电体
Uq? C
U
q?
单位,法拉（ F）、微法拉（?F）、皮法拉（ pF）
伏特库仑法拉 11?
pFFF 126 10101
孤立导体的电容孤立导体球的电容 C=40R
电容 —— 使导体升高单位电势所需的电量。
1、电容器的电容
BA uu
qC
导体组合,使之不受周围导体的影响
——电容器电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号电荷 q时，电量 q与两极板间相应的电势差 uA-uB的比值。
二、电容器及电容
0CC r
将真空电容器充满某种电介质
0 r?
电介质的电容率（介电常数）
d
S
d
SC r 0平行板电容器电介质的相对电容率（相对介电常数）
同心球型电容器同轴圆柱型电容器
)( BA
BA
r RR
RR
SC?
04
)(
)l n (
BA
B
A
r RR
R
R
l
C 0
2
dA B
2、电容器电容的计算
E?
q? q?
平行板电容器 已知,S,d,?0
设 A,B分别带电 +q,-q
A,B间场强分布
0?
E
电势差由定义
d
S
uu
qC
BA
0
讨论
C 与 d S 0? 有关
S C ； d C
插入介质
d
SC r 0? C
S
qdEdldEuu B
A
BA
0?
球形电容器
A
B
r
q?
q?
BAB RRR 或已知
AR BR
设 +q,-q
场强分布
2
04 r
qE
电势差
)
RR
(qdr
r
quu
BA
R
R
BA
B
A
11
44 020
由定义
AB
BA
BA RR
RR
uu
qC
04
讨论
ARC 04
孤立导体的电容
BR
AR
BA圆柱形电容器
l
r L
AR
BR
已知,AR BR L
AB RRL
设
场强分布
rE 02
A
B
B
A
R
R
BA R
Rlndr
r
E d ruu
B
A 00
22
电势差由定义
A
BBA
R
R
ln
L
uu
q
C 0
2
A B
例 平行无限长直导线已知,a,d,d>> a
求,单位长度导线间的 C
解,设
场强分布
)xd(xE 00 22
导线间电势差
B
A
ad
a
BA dxEldEuu
a
adln
0
a
dln
0
电容
a
d
lnuu
C
BA
0
d
a
O
XE?P
x
*三、电容器的串并联串联等效电容
nCCCC
1111
21
1C 2C nC
q? q?q?q? q?q?
并联等效电容
1C 2C nC
1q?
1q?
nq?
2q?
2q?
nq?
_
nCCCC21
*四、范德格拉夫起电机
A B
1r? 2r?
1d 2d
例 1,已知,导体板 S
1d 2d
2r?1r
介质求,各介质内的 D? E?
n?n?
1S
2S
解,设两介质中的 D? E? 分别为
1D
2D
1E? 2E?
由高斯定理
021
1
SDSDSdD
S
21 DD 1DD
2
01
S
SSDSdD
101 1 ED r
由 得
10
1
r
E
20
2
r
E
1D
1E
2D
2E
A B
1r? 2r?
1d 2d
10
1
r
E
20
2
r
E
1E
2E
场强分布电势差
2211 dEdEuu BA )
dd(
rr 21
21
0
电容
)
dd
(
S
uu
q
C
rr
BA
21
21
0
12
21
21
0
rr
rr
dd
S
例 2,平行板电容器。
已知 d1,?r1,d2,?r2,S
求,电容 C
解,设两板带电
2
04 r
QE
r
r?
R
P
例 3,已知,导体球 R Q
介质 r?
求,1,球外任一点的 E?
2,导体球的电势 u
解,过 P点作高斯面得
S
QSdD QrD 24?
24 r
QD
电势
R R r
dr
r
QrdEu
2
04
R
Q
r 04
r
S
1d t 2d
d
A B
例 4.平行板电容器已知,S,d插入厚为 t的铜板求,C
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
E?
设?q
场强分布
0?E SqE
00
0
电势差
2010 dEEtdEuu BA
)dd(E 210
)dd(Sq 21
0
21
0
dd
S
uu
qC
BA?
td
S
0?
一、电流 电流密度
8-7 电流 稳恒电场 电动势
dt
dqI?
电流 —— 大量电荷有规则的定向运动形成电流。
方向：规定为正电荷运动方向。
大小,单位（ SI）：安培（ A）
电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。
当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不一样。有必要引入电流密度矢量。
电流强度 ——单位时间内通过某截面的电量。
导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度。
方向：该点场强的方向。
当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同点电流的大小的物理量。
电流密度
n
dS
dIj
dS
dI
SdjdSc o sjj d SdI
电流密度和电流强度的关系
S SdjI
穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿过该截面的通量。
电流强度是电流密度的通量。
n
dS
dIj
dS
dI
dS
二、稳恒电场
S SdjI
dt
dqSdj
S
——电流的连续性方程稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化对稳恒电流有,0
S Sdj
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场称 稳恒电场 。
0l ldE
静电场 稳恒电场电荷分布不随时间改变但伴随着电荷的定向移动电场有保守性，它是保守场，或有势场产生电场的电荷始终固定不动电场有保守性，它是保守场，或有势场静电平衡时，导体内电场为零，导体是等势体导体内电场不为零，导体内任意两点不是等势维持静电场不需要能量的转换 稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换三、电动势
q
FE k
k?
非静电力,能把正电荷从电势较低点
（如电源负极板）送到电势较高点（
如电源正极板）的作用力称为非静电力，记作 Fk。 + –
提供非静电力的装置就是 电源 。
静电力欲使正电荷从高电位到低电位。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。
非静电场强方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部 Ek为零，
电动势?,把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，电源中非静电力所做的功。
ldE k
ldEdlE
L
kk
单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所做的功。
电动势描述电路中 非静电力做功本领电势差描述电路中 静电力做功
+ –
8-8 电场的能量
K
a b 开关倒向 a,电容器充电。
开关倒向 b,电容器放电。
灯泡发光?电容器释放能量?电源提供计算电容器带有电量 Q，相应电势差为 U
时所具有的能量。
一、带电系统的能量
dq
任一时刻
q? q?
Au Bu
终了时刻
Q? Q?
AU BU
C
quuu
BA
B dq A
外力做功
dqCqud qdAdW
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
电容器的电能
2
2
2
1
2
1
2 CUQUC
QW
电场能量体密度 —— 描述电场中能量分布状况二、电场能量
1、对平行板电容器
2
2
1 CUW? 20
2
1 )Ed)(
d
S(
)Sd(E 2021 VE 2
02
1
电场存在的空间体积
d
S0?
q? q?
对任一电场，电场强度非均匀
dVwdW ee?
2
02
1 E
V
Ww
2、电场中某点处单位体积内的电场能量
EED r 0
VVV
D Ed VdVEdWW 2121 20?
例,计算球形电容器的能量已知 RA,RB,?q
AR
BR
q?
q?
r解：场强分布
2
04 r
qE
取体积元 drrdV 24
dVEw d VdW 2021 drr)
r
q( 22
2
0
0 442
1?
能量
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
0
2
8
)
RR
(q
BA
11
8 0
2
AB
BA
RR
RR
q
0
2
42
1
2
2
1 q
C?
课堂讨论比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
R Rq q
R r
r
q
Rr
E
4
0
2
0
R r
r
q
Rr
R
qr
E
4
4
2
0
3
0
R
R
drrEdrrEW 220
0
22
0 42
14
2
1
球体球面 WW?
电磁波的传播实现了信息传递；
电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；
电磁学的研究在理论方面也很重要。
1905年爱因斯坦建立狭义相对论
1865年麦克斯韦提出电磁场理论
1820年奥斯特发现电流对磁针的作用公元前 600年 1831年法拉第发现电磁感应古希腊泰勒斯第一次记载电现象静电场 ----相对于观察者静止的电荷产生的电场稳恒电场 —不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场两个物理量,场强、电势；
一个实验规律,库仑定律；
两个定理,高斯定理、环流定理电荷守恒定律,在一个孤立系统内发生的过程中，
正负电荷的代数和保持不变。
电荷的 量子化效应,Q=Ne
8-1 电场 电场强度一、电荷电荷的 种类,正电荷、负电荷电荷的 性质：同号相吸、异号相斥电量,电荷的多少 单位,库仑 符号,C
二、库仑定律
02
21
1221 rr
qqkFF
0?
——真空介电常数。
or
——单位矢量，由 施力物体指向受力物体 。
——电荷 q1作用于电荷 q2的力。
21F
真空中两个静止的点电荷之间的作用力 （ 静电力 ），
与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。
1q 2qror?
04
1
k
229
0
21212
0
109
4
1
10858
CNmk
mNC
,
讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。
(a)q1和 q2同性，则 q1 q2>0,和 同向，
方程说明 1排斥 2
21F
0r
12F
21F
0r
00
00
21
21
斥力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF
(b)q1和 q2异性，则 q1 q2<0,和 反向，
方程说明 1吸引 2
21F
0r
12F
21F
0r
00
00
21
21
引力
02
21
0
21 4
1 r
r
qqF
r
r
qqr
r
qqF
3
21
0
02
21
0 4
1
4
1
注意：只适用两个点电荷之间数学表达式离散状态
N
i
iFF
1
02
04
i
i
i
i rr
qqF
连续分布 FdF
02
04
rrqd qFd?
1q
2q
1F
q
10r
20r
2F
F?
静电力的叠加原理作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
所以库仑力与万有引力数值之比为 391032,
G
E FF
牛）(102.84 82
0
2
ReF E
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
NRG m MF G 472 1063,
电子与质子之间的万有引力为例,在氢原子中，电子与质子的距离为 5.3?10-11米，试求静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。
忽略！
解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的 105倍，
因而可将电子、质子看成点电荷。
三、电场强度电场 ★ 叠加性
★ 研究方法：
能法 —引入电势 u
E?力法 —引入场强
★ 对外表现,a.对电荷（带电体）施加作用力
b.电场力对电荷（带电体）作功电场强度
0q
FE
场源电荷试验电荷
q
0q
F?
),,( zyxEE
电场电荷 电荷
1.由 是否能说,与 成正比，与 成反比？
0q
FE
E? F
0q
Q
q
P
Q
0E
P
0Eq
F?
讨论
2.一总电量为 Q>0的金属球，在它附近 P点产生的场强为 。将一点电荷 q>0引入 P点，测得 q实际受力 与
q之比为,是大于、小于、还是等于 P点的
0E
0E
F
qF
1q
2q
P
四、场强叠加原理点电荷系连续带电体
10r?
1E
E?2E?
20r?
P
dq
Ed?0r?
ii Eq FqFE
00
EdE
N
i
iFF
1
1,点电荷的电场五、电场强度的计算
02
0
04
1 r
r
qqF
02
00 4
1 r
r
q
q
FE?
02
04
1 r
r
qE
)( 0?q P
0r
E?
0r
)( 0?q PE?
2,点电荷系的电场设真空中有 n个点电荷 q1,q2,… qn，则 P点场强
02
04
1
i
i
i
i
i
i
r
r
qEE
iziziyiyixix EEEEEE,,
场强在坐标轴上的投影
kEjEiEE zyx
例 1,电偶极子如图已知,q,-q、
r>>l，
电偶极矩 lqp
求,A点及 B点的场强
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
解,A点 设 +q和 -q 的场强 分别为 和
E
E
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
i
r
l
r
l
r
qr l
i
l
r
q
l
r
q
E
A
224
0
22
0
)
2
1()
2
1(4
2
)
2
()
2
(
4
1
3
0
3
0
2
4
1
2
4
1
r
p
i
r
ql
E
A
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
i
)
l
r(
q
E
2
0 24?
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
)4(4
1
22
0 lr
qEE
xxxx EEEE 2 4
2
22 lr
l
c o s
c o s2 E
0 yyy EEE
对 B点：
2
3
2
20
4
4
1
2
)(
c os
l
r
ql
EE
B
3
04
1
r
p
3
04
1
r
pE
B
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
3
0
2
4
1
r
pE
A
结论
pE?
3
1
r
E?
3
04
1
r
pE
B
l
r
y
x
B
A
l?
r
E
E
E
E
BE
AE
3,连续带电体的电场
0
04
rdqEd?
02
04
1 r
r
dqEdE
zzyyxx dEEdEEdEE
kEjEiEE zyx
电荷元随不同的电荷分布应表达为体电荷 dVdq
面电荷 dSdq
线电荷 ldqd
例 2 求一均匀带电直线在 O点的电场。
已知,q,a,?1,?2,?。
解题步骤
1,选电荷元 ldqd
2
04
1
r
lddE?
s i nc o s dEdEdEdE yx
5,选择积分变量一个变量是变量，而线积分只要、,lr?
4,建立坐标，将 投影到坐标轴上Ed?
2.确定 的方向Ed?
3.确定 的大小Ed?
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
选 θ作为积分变量
a c t ga c t gl )(
dald 2c s c
22
222
222
c s ca
c t gaa
lar
c o s2
04
1
r
dldE
x?
c o s
c s c
c s c
4 22
2
0 a
da
d
a
c o s
4 0
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
d
ar
dldE
y s i n4s i n4
1
0
2
0
2
1 0
4
d
a
dEE xx c o s
)s in( s in 12
04
a
2
1 0
4
d
a
dEE yy s i n
)c o s( c o s 21
04
a
22
yx EEE
)( xy EEa r c t g
xEd
yEd
dlq
1?
2
l
y
x
a r
O
Ed?
当直线长度
2
1 00,aL 或
0?xE
无限长均匀带电直线的场强
a
E
02
当
EE y?,0,0 方向垂直带电导体向外，
当
EE y?,0,0 方向垂直带电导体向里。
讨论
)s in( s in 12
04
aE x )c o s( c o s 21
04
aE y
a
EE y
02
课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q,L,a
2
04 )xaL(
dqdE
L
)xaL(
dxE
0
2
04
)(
aLa?
11
4 0
a
P
L X
O
x dx
Ed?
)()( aLa
q
aLaL
qL
00 44
例 3 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知,q,a,x。
dl
a
q
dldq
2
idEEd// kdEjdEEd zy
2
04 r
dqdE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
Ed
Ed?
当 dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。
由对称性
a
,y
z
x
dq
Ed?
0 zy EE
y
z
xx
pa
dq
r
//Ed
Ed
Ed?
c o s
//
Ed
EdE
2122 )(
c o s
xar
rx
c os2
2
0 24
1
r
ld
a
q
E
a
c o s
04
1
r
q?
2322
04
1
)( xa
qx
i
)ax(
xqE
2
322
04?
讨论 （ 1） 当 的方向沿 x轴正向当 的方向沿 x轴负向Eq?，0?
Eq?，0?
（ 2） 当 x=0,即在圆环中心处,0?E?
当 x 0?E?
i
)ax(
xq
E
2
322
04?
2
ax?
时0?dxdE
2
3
2
2
0
2
4
2
)
a
a(
q
a
EE m a x
（ 3） 当 时，ax 222 xax
2
04
1
x
qE
这时可以 把带电圆环看作一个点电荷这正反映了 点电荷概念的相对性
i
)ax(
xq
E
2
322
04?
1.求均匀带电半圆环圆心处的,已知 R,?E?
2
04 R
dqdE
电荷元 dq产生的场根据对称性?
0ydE
0
2
04
s i n
R
Rds i ndEdEE
x
0
2
04
)c o s(
R R02
课堂练习：
o
R X
Y
d
dq
Ed?
O X
Y
R
2
04 R
dldE
cosRdldEE y 2
04
224
2
0
2
0
2
0
s i n
c o s
R
d
R
R
取电荷元 dq则
0xdE由对称性方向：沿 Y轴负向
dl
d
Ed?
2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知?,?,R
例 4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知,q,R,x 求,Ep
解：细圆环所带电量为
22 R
qr d rdq
由上题结论知：
2322
04
1
)( xr
xdqdE
2322
04
2
)( xr
r d rx
23220
0 )(2 xr
r d rxdEE R
)1(2 22
0 xR
x
R r
Pxdr
22 xr?
Ed?
讨论
1,当 R>>x
（无限大均匀带电平面的场强）
0 0
)
xR
x(E
220
1
2?
02?
E
2
1
2
2
22
)1(
x
R
xR
x 2)(
2
11
x
R
)1(
2 220 xR
xE
2
0
)(
2
111(
2 x
R
2
04 x
q
)
xR
x(E
220
1
2?
2,当 R<<x
例 5,两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为,计算场强分布。
E
E
E
E
E
E
002
2 EEE
两板之间：
两板之外,E=0
六．带电体在外电场中所受的力
EqF
课堂讨论,如图已知?q,d,S
求两板间的所用力
q? q?
d
S
qqf
0
2
0 22
解：由场强叠加原理
2
0
2
4 d
qf
dqEF
例 6 计算电偶极子在均匀电场中所受的合力和合力矩
,qlp已知 E?
qEF
qEF
q?
E?
q?
o
0 FFF
解：合力
s i ns i n2s i n2 q l ElFlFM
合力矩
EpM将上式写为矢量式力矩总是使电矩 转向 的方向，以达到稳定状态p? E?
可见,力矩最大； 力矩最小。Ep Ep //
在电场中画一组曲线，
曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，
这一组曲线称为 电力线 。
E?
dS
E?
通过无限小面元 dS的 电力线数目 d?e与 dS的比值称为电力线密度。我们规定 电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度一、电场的图示法电力线
8-2 电通量 高斯定理
E?
cE?
大小：
E?
方向,切线方向
=电力线密度电力线性质：
b
c
aE?
bE?
a
2、任何两条电力线不相交。
1、不闭合，不中断起于正电荷、止于负电荷；
总结：
点电荷的电力线正电荷负电荷
+
+
一对等量异号电荷的电力线一对等量正点电荷的电力线
+ +
一对异号不等量点电荷的电力线
2q q+
带电平行板电容器的电场
++ ++++ +++
二、电通量通过电场中某一面的电力线数称为 通过该面的电通量 。
用?e表示。
ESe
S
E?
均匀电场
S与电场强度方向垂直
S n?
E?
SEESe c o s
均匀电场,S 法线方向 与电场强度方向成?角
Ed Sd e
S
dSE c o s
c o sE d S
SdE
S ee
d
S S
dSnESdE
dS
dE e
电场不均匀,S为任意曲面
S为任意闭合曲面
SSe SdEdSE c o s
规定,法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。
kSjSiSSkEjEiEE zyxzyx
zzyyxxe SESESESE
解,（ 1）
（ 2）
SESESEe c o s
222
zyxee EEEES
例,在均匀电场中，
kcNjcNicNE )390()160()240(
通过平面 k)m.(j)m.(i)m.(S 222 422411
的电通量是多少？
E?
S 在垂直于 的平面上的投影是多少?
求均匀电场中一半球面的电通量 。
E?
R
O
n?
n?
n?
n?
1S
2S
11 SS SdE
2SE
2
1 RES
课堂练习三、高斯定理在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面 S的电通量?e,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
i
s
e qSdE
0
1
1,高斯定理的引出
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
r+
q
E?
Sd?
Se SdE
S Sdrrq02
04
S dS
r
q
2
04
SdSrq 2
04
0
2
2
0
44 qrrq
与球面半径无关，即以点电荷 q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。
00, eqa?
电量为 q的正电荷有 q/?0条电力线由它发出伸向无穷远电量为 q的负电荷有 q/?0
条电力线终止于它
00 eq?
+ q
b、若 q不位于球面中心，
积分值不变。
0?
qSdE
s
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。
0?e? 0
s
SdE
(3) 场源电荷为点电荷系 (或电荷连续分布的带电体 )，
高斯面为任意闭合曲面
nEEEE
21
n
i
eienee
1
21
Se SdE
s
n
s S
SdESdESdE 21
内qSdESe
0
1
3,高斯定理的理解
a,是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电荷（ 面内外电荷 ）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。
E?
因为曲面外的电荷（如 ）
对闭合曲面提供的通量有正有负才导致 对整个闭合曲面贡献的通量为 0。
4q
4q
1q
2q
3q
4q
i
s
e qSdE
0
1
b,对连续带电体，高斯定理为表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以 正电荷是静电场的源头 。
静电场是 有源场表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以 负电荷是静电场的尾 。
dqSdE
0
1
00 eiq.c?
00 eiq?
四、高斯定理的应用
1,利用 高斯定理求某些电通量例：设均匀电场 和半径 R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
E?
i
s
e qSdE
0
1
0 iq? 0 SdE
Se
021 SS
021 )RE(S
2
1 RES
步骤：
1.对称性分析，确定 E? 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及? iq
3.利用高斯定理求解当场源分布具有高度对称性时求场强分布2.
解,对称性分析 E? 具有球对称 作高斯面 ——球面
Rr?
电通量电量?
0iq
用高斯定理求解
04 21?rE? 01 E
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+
+ +
q
E?
r
例 1,均匀带电球面的电场。 已知 R,q>0
2
11
1
4
1
rEdSE
SdE
s
e
R
+
+
+
+
+ +
+
++
+ +
+
+
+ +
r
q
Rr?
qq i 022 4 qrE?
2
0
2 4 r
qE
E?
2
222 4
2
rESdESdE
s
e
E
2
04 R
q
2
1
r
r
RO
O
R
q
解,r<R
3
3 3
4
3
4
r
R
q
q i?
3
3
0
2 14
R
qrrE
场强
3
04 R
qrE
例 2,均匀带电球体的电场。 已知 q,R
r
E?
高斯面
24 rESdEe
R
r
高斯面
E?
r>R
电量 qq
i
高斯定理
0
24 qrE?
场强
2
04 r
q
E
24 rESdEe
电通量均匀带电球体电场强度分布曲线
ε
R
O
E?
O
r
E
R
2
04 R
q
E?
2S
σ
高斯面解,E? 具有面对称 高斯面,柱面
SESES?
0
21
10
SES?
0
12?
02?
E
例 3,均匀带电无限大平面的电场,已知?
E?
S
1S侧S
1 2S S S
e SdESdESdESdE
侧
rlErlE 2200
0iq
0?E
高斯面
l
r
E?
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面例 4,均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为?
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
(1) r <R
(2) r >R
Rlq i 2
0?
r
RE?
R2?
令
r
E
02
高斯面
lr
E?
rlE 2
s
e SdESdESdESdE
上底 侧面下底
位于中 心
q 过每一面的通量课堂讨论
● q
1,立方体边长 a，求位于一顶点
● q
1q?
2q?
移动两电荷对场强及通量的影响
2,如图 讨论
06?
qe?
024
0
q
e
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知 R,?
2
02 R
r
E
Rr?
Rr?
r02
0
2
lrlE?
Rr?
Rr?
lr
R
rlE 22
0
2?
8-3 电场力的功 电势
r
drr?
c
ld?
c?
E?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA?c o s00
drdlc o s其中
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则与路径无关
q
ar
br
dr
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0
一．电场力做功推广
b
a
nab ld)EEE(qA
210
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
02010
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21
(与路径无关 )
结论试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
a cb adb
ldEqldEq 000
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00?q 0ldE
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
a c b bda
ldEqldEqldEqA 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 b
a
ab ldEqA
0
ba WW
0W取?
a
aa ldEqAW
0
E?Wa属于 q0及 系统试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意三、电势能保守力的功 =相应势能的减少所以 静电力的功 =静电势能增量的负值
a
a
a ldEq
Wu
0
定义 电势差 电场中任意两点 的电势之差（电压）
ba uu?
a b
baab ldEldEuuu
b
a
ldE
a
a ldEqW
0
四、电势 电势差单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移到 b时，电场力所做的功。
定义 电势将电荷 q从 a?b电场力的功
b
a
ldEq
0baab
WWA )(0 ba uuq
注意
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
3、电势零点的选择。
1,点电荷电场中的电势
r
q P?0
r?
如图 P点的场强为
02
04
rrqE?
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44
由电势定义得讨论对称性大小以 q为球心的同一球面上的点电势相等最小ururuq 00
最大ururuq 00
五、电势的计算根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理若场源为 q1,q2qn的点电荷系场强电势
nE.,,,,,,EEE
21
P P
n ldEEEldEu
)( 21
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
P P
n
P
ldE.......ldEldE
21
由电势叠加原理,P的电势为点电荷系的电势
i
i
i r
quu
04
rdqduu
04
连续带电体的电势由电势叠加原理
dq
P?r
1r
1q
2q
nq?
P2r
nr
根据已知的场强分布，按定义计算
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
P
P ldEu
电势计算的两种 方法,
例 1,求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P
由叠加原理
lrc o s12 lrr 221 rrr?
2
0
c o s
4 r
lqu?
222 yxr
22
c o s
yx
x
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 从? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()(
电势能 0108.28
700 WWA
X
Y
Z
O
R
dl
r
P
x
例 2,求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04
r
dl
04
R
P r
R
r
dlduu?
2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
方法二 定义法由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4
l
d
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
解,方法一 叠加法 (微元法 )
任一圆环 RdRdS s i n2 dRdSdq s i n2 2
l
dR
l
dqdu
s i n2
4
1
4
2
00
l
dq
08
s in
drRl d l s i n22?
rR
qdldu
08
c o s2222 RrrRl由图
Rr
Rr r
q
rR
q dlu
00 48
Rr?
Rr?
rR
rR R
q
rR
q dlu
00 48
O
R
P
r
方法二 定义法
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布
Rr?
Rr?
E
2
04 r
q
0
P
ldEu
由定义
R
r R
ldEldEu
R
dr
r
q
2
04
0
R
q
04
r
drrqu 2
04
r
q
04
l
d
O
R
P
r
课堂练习,1.求等量异号的同心带电球面的电势差已知 +q,-q,RA,RB
AR
BR
q?q?解,由高斯定理
ARr? BRr?
2
04 r
q
BA RrR
E
0
由电势差定义
BAAB uuu
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q,-q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc
R
q
06
0 oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
讨论 ba uu?
ba uu?
2,0?
abA ba WW?
则则0?q
0?q
１,0?abA ba WW?
0?q 则
0?q 则
ba uu?
ba uu?
8-4 场强与电势的关系一,等势面等势面,电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
a
b
u
0)( baab uuqA
2
ba uu
★ 令 q在面上有元位移 ld?
0c o s dlqEldEqdA
0)( dcdccd uuqWWA
★ 沿电力线移动 q? c d E?
dc uu
★ a,b为等势面上任意两点移动 q,从 a到 b
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等课堂练习,由等势面确定 a,b点的场强大小和方向
1u
2u
3u
a
b
03221 uuuu已知
aE
bE
E?
a b
ld?
n?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE
dudlEc o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l
dl
duE
l
电场强度沿某一方向的分量沿该方向电势的变化率的负值
),,( zyxuu?一般
x
uE
x?
y
uE
y?
z
uE
z?
所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx
)( kzujyuixu
ug r a d uE
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x
2
322
0 )(4
1
xR
qx
0 zy EE
iEE x i
xR
qx?
2
322
0 )(4
1
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
(xxuE x )
)(4
1
2
322
0 yx
px
(yyuE y )
)(4
1
2
322
0 yx
px
l?
q?
r
x
y
q?
B?
O?
A
l
iypE
3
04
B点 (x=0)
ixpE
3
02
A点 (y=0)
一
、
导体的静电平衡无外电场时
8-5 静电场中的导体和电介质导体的静电感应过程加上外电场后
E外导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体的静电感应过程
+
加上外电场后
E外
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
导体达到静平衡
E外E
感
0 感外内 EEE
感应电荷感应电荷
⑴ 导体内部任意点的场强为零。
⑵ 导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
等势体等势面
b
a
ba ldEuu
0?内E
Q
P
Q
P
QP dlco sEldEuu 090
0
QP uu
a
b
ba uu
p
Q
导体内导体表面处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处处为零，整个导体是个等势体。
静电平衡条件处于静电平衡状态的导体的性质：
1、导体是 等势体,导体表面是 等势面 。
2、导体内部处处没有未被抵消的 净电荷,净电荷只分布在导体的表面上。
3、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导体表面在该处的面电荷密度 的关系为?
0?
E
详细说明如下金属球放入前电场为一均匀场
E?
1、导体表面附近的场强方向处处与表面垂直。
金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场
+++
++
++ E
2、导体内没有净电荷，未被抵消的净电荷只能分布在导体表面上。
S
V e
dV
SdE
0?
00 eE 内部
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
S
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
静电场中的孤立带电体：
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
曲率较大，表面 尖而凸出部分,电荷面密度较大曲率较小，表面 比较平坦部分,电荷面密度较小曲率为负，表面 凹进去的部分,电荷面密度最小
3、导体表面上的电荷分布
1R
2R
1Q
2Q
21 RR uu? 20
2
10
1
44 R
Q
R
Q
20
2
22
10
2
11
4
4
4
4
R
R
R
R
1
2
2
1
R
R
1Rl 2R导线
R
1
证明,
即用导线连接两导体球则
0
00c o s
SSESdE
0?
E
表面附近作圆柱形高斯面
4、导体外部近表面处场强方向与该处导体表面垂直，大小与该处导体表面电荷面密度?e成正比。
E
S?
尖端放电尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离而使空气被击穿，导致“尖端放电”。
——形成,电风,
二、导体壳和静电屏蔽
1、空腔内无带电体的情况
2q
腔体内表面不带电量，
腔体外表面所带的电量为带电体所带总电量。
导体上电荷面密度的大小与该处 表面的曲率 有关。
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入 q1时 放入 q1后
2、空腔内有带电体
2q
+
2q
1q
1q
1q?
3、静电屏蔽接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场不受壳内电荷的影响。
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场不受外电场的影响；
+++
+
E?
0?E
电荷守恒定律静电平衡条件电荷分布
E? u
三、有导体存在时场强和电势的计算
A B
例 1.已知：导体板 A，面积为 S、带电量 Q，在其旁边放入导体板 B。
求,(1)A,B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将 B板接地，求电荷分布
1? 3?2? 4?
1E
a
2E
3E
4E
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
A B
1? 2? 3? 4?
b
1E
2E
3E
4E
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
a点
QSS 21
043 SS
b点
A板
B板
S
Q
241
S
Q
232
A B
1? 3?2? 4?
解方程得,
电荷分布场强分布两板之间板左侧A
板右侧B
E? E? E?
S
QE
00
1
2
S
QE
00
3
0
2
2
S
QE
00
4
2
A B
1? 2? 3?
1? 3?2?
A B
(2)将 B板接地，求电荷及场强分布
1E
a
2E
3E
b
1E
2E
3E
A 板 QSS 21
04接地时电荷分布
01 SQ 32
0222
0
3
0
2
0
1
a点
0
222 0
3
0
2
0
1
b点场强分布
1? 3?2?
A B
S
QE
0?
0?E
01
S
Q
32
电荷分布两板之间两板之外
E?
AB
例 2.已知 R1 R2 R3 q Q
q?
O
q
1R 2
R
3R
Q q?
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
② 如用导线连接 A,B，再作计算解,
由高斯定理得电荷分布 q q? Q q?
场强分布
2
04 r
2
04 r
q
E
0 1Rr? 32 RrR
21 RrR
3Rr?
球心的电势
A
O
B
qq?
1R 2
R
3R
Q q?
场强分布
2
04 r
E
0
2
04 r
q
1Rr? 32 RrR
21 RrR
3Rr?
0 0
2
1
3
2 3
1 R
R
R
R R
R
o E d rE d rE d rE d rrdEu
30210 4
111
4 R
Qq)
RR(
q
球壳外表面带电
② 用导线连接 A,B，再作计算
A
O
1R 2
R
3R
Q q?
B
qq?
3Rr?
3
3
300 4R
R
o R
qQE d rE d ru
3Rr? 2
04 r
qQE
r r
QqE d ru
04
Q q?
0?E
连接 A,B,中和q )q(
练习 已知,两金属板带电分别为 q1,q2
求,?1,?2,?3,?4
1q 2q
4?1? 3?2?
S
2
21
41
S
2
21
32
问题：
1、在两板间插入一中性金属平板，求板面的电荷密度。
2、如果第三板接地，又如何？
3、剪掉第三板接地线，再令第一板接地，又如何？
S
2
21
61
S
2
21
5432
061 Sq 15432
061
S
q 1
5432
有极分子：分子正负电荷中心不重合。
无极分子：分子正负电荷中心重合；电介质
C
H+
H+H+
H+
正负电荷中心重合甲烷分子
4CH
+
正电荷中心负电荷中心
H++H
O
水分子 OH2
ep
—— 分子电偶极矩
ep
0?
ep
四、电介质的极化
1,无极分子的 位移极化
0?ep?
e
无外电场时
ep?
f f
l
外E
加上外电场后 0
ep
+
+ ++
++
+
外E
极化电荷极化电荷
2,有极分子的转向极化
f?f?
外EpM e
+
+ ++
++
+
外E
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
++
无外电场时 电矩取向不同两端面出现极化电荷层转向 外电场
ep
外E
ep
加上外场
*五、电极化强度和极化电荷
1、电极化强度 (矢量 )
V
p
P i
单位体积内分子电偶极矩的 矢量和描述了电介质极化强弱，反映了电介质内分子电偶极矩排列的有序或无序程度。
l
dl
极化电荷
0n? 0n
p?
表面极化电荷
2、极化电荷和极化强度关系
(1)均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷面密度，等于该处电极化强度在外法线上的分量。
nPnP
(2)在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值。
S
iS qSdP
和面内包围的极化电荷总— Sq
S i
0E
EEE 0
0EE
0EE
无限大均匀电介质中 r
EE
0?
E
a
充满电场空间的各向同性均匀电介质内部的场强大小等于真空中场强的 倍，方向与真空中场强方向一致。
r?1
介质中的场 极化电荷的场自由电荷的场
*六、电介质中的电场
EEP 0 电介质的极化率—?
)( Zyxx EEEP 1312110
)( ZyxY EEEP 2322210
)( zyxz EEEP 3332310
1、线性各向异性电介质它表示张量在坐标中的 9个分量，叫做电介质的极化率张量。
个常数，是、、、其中 933131211
zyxzyx EEEPPP,,,,与的关系是线性关系时，
电介质叫做 线性电介质 。
2、铁电体与 的关系是 非线性 的，甚至 与 之间也不存在单值函数 关系。
P? E? P? E?
如：酒石酸钾钠（ NaKC4H4O6）及钛酸钡（ BaTiO3）
（ 1）,由于铁电体具有 电滞效应,经过极化的铁电体在剩余极化强度 Pr和 -Pr处是双稳态，可制成 二进制的存储器。
（ 2）,铁电体的 相对介电常数?r不是常数,随外加电场的变化。 利用铁电体作为介质可制成 容量大
、体积小的电容器。
铁电体的性能和用途
3、压电体
1880年居里兄弟发现石英晶体被外力压缩或拉伸时，在石英的某些相对表面上会产生等量异号电荷。
——压电效应
（ 3）、铁电体在居里点附近，材料的 电阻率会随温度发生灵敏的变化,可以制成铁 电热敏电阻器 。
（ 4）、铁电体在强光作用下能 产生非线性效应,常用做激光技术中的 倍频或混频器件 。
4、驻极体极化强度并不随外场的撤除而消失。如：石蜡七、有电介质时的高斯定理
iS qSdE
0
1
自由电荷
)( iqq
0
1
极化电荷
)SdPq(SdE
SS
0
1
S iS
qSdP
qSd)PE(S0?
电位移矢量
EEr 0
ED
EEPED 000
D?
E?0? 真空中
Er 0 介质中介质中的高斯定理 qSdD
S
自由电荷通过任意闭合曲面的电位移通量，等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
D?
电位移线
a
aD
大小,
S
电位移线条数
D?
方向,切线
D? 线
E? 线
bD?
b
8-6 电容 电容器一、孤立导体的电容孤立导体,附近没有其他导体和带电体
Uq? C
U
q?
单位,法拉（ F）、微法拉（?F）、皮法拉（ pF）
伏特库仑法拉 11?
pFFF 126 10101
孤立导体的电容孤立导体球的电容 C=40R
电容 —— 使导体升高单位电势所需的电量。
1、电容器的电容
BA uu
qC
导体组合,使之不受周围导体的影响
——电容器电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号电荷 q时，电量 q与两极板间相应的电势差 uA-uB的比值。
二、电容器及电容
0CC r
将真空电容器充满某种电介质
0 r?
电介质的电容率（介电常数）
d
S
d
SC r 0平行板电容器电介质的相对电容率（相对介电常数）
同心球型电容器同轴圆柱型电容器
)( BA
BA
r RR
RR
SC?
04
)(
)l n (
BA
B
A
r RR
R
R
l
C 0
2
dA B
2、电容器电容的计算
E?
q? q?
平行板电容器 已知,S,d,?0
设 A,B分别带电 +q,-q
A,B间场强分布
0?
E
电势差由定义
d
S
uu
qC
BA
0
讨论
C 与 d S 0? 有关
S C ； d C
插入介质
d
SC r 0? C
S
qdEdldEuu B
A
BA
0?
球形电容器
A
B
r
q?
q?
BAB RRR 或已知
AR BR
设 +q,-q
场强分布
2
04 r
qE
电势差
)
RR
(qdr
r
quu
BA
R
R
BA
B
A
11
44 020
由定义
AB
BA
BA RR
RR
uu
qC
04
讨论
ARC 04
孤立导体的电容
BR
AR
BA圆柱形电容器
l
r L
AR
BR
已知,AR BR L
AB RRL
设
场强分布
rE 02
A
B
B
A
R
R
BA R
Rlndr
r
E d ruu
B
A 00
22
电势差由定义
A
BBA
R
R
ln
L
uu
q
C 0
2
A B
例 平行无限长直导线已知,a,d,d>> a
求,单位长度导线间的 C
解,设
场强分布
)xd(xE 00 22
导线间电势差
B
A
ad
a
BA dxEldEuu
a
adln
0
a
dln
0
电容
a
d
lnuu
C
BA
0
d
a
O
XE?P
x
*三、电容器的串并联串联等效电容
nCCCC
1111
21
1C 2C nC
q? q?q?q? q?q?
并联等效电容
1C 2C nC
1q?
1q?
nq?
2q?
2q?
nq?
_
nCCCC21
*四、范德格拉夫起电机
A B
1r? 2r?
1d 2d
例 1,已知,导体板 S
1d 2d
2r?1r
介质求,各介质内的 D? E?
n?n?
1S
2S
解,设两介质中的 D? E? 分别为
1D
2D
1E? 2E?
由高斯定理
021
1
SDSDSdD
S
21 DD 1DD
2
01
S
SSDSdD
101 1 ED r
由 得
10
1
r
E
20
2
r
E
1D
1E
2D
2E
A B
1r? 2r?
1d 2d
10
1
r
E
20
2
r
E
1E
2E
场强分布电势差
2211 dEdEuu BA )
dd(
rr 21
21
0
电容
)
dd
(
S
uu
q
C
rr
BA
21
21
0
12
21
21
0
rr
rr
dd
S
例 2,平行板电容器。
已知 d1,?r1,d2,?r2,S
求,电容 C
解,设两板带电
2
04 r
QE
r
r?
R
P
例 3,已知,导体球 R Q
介质 r?
求,1,球外任一点的 E?
2,导体球的电势 u
解,过 P点作高斯面得
S
QSdD QrD 24?
24 r
QD
电势
R R r
dr
r
QrdEu
2
04
R
Q
r 04
r
S
1d t 2d
d
A B
例 4.平行板电容器已知,S,d插入厚为 t的铜板求,C
1d t 2d
d
A B
q? q?
0E? 0E
E?
设?q
场强分布
0?E SqE
00
0
电势差
2010 dEEtdEuu BA
)dd(E 210
)dd(Sq 21
0
21
0
dd
S
uu
qC
BA?
td
S
0?
一、电流 电流密度
8-7 电流 稳恒电场 电动势
dt
dqI?
电流 —— 大量电荷有规则的定向运动形成电流。
方向：规定为正电荷运动方向。
大小,单位（ SI）：安培（ A）
电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。
当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不一样。有必要引入电流密度矢量。
电流强度 ——单位时间内通过某截面的电量。
导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度。
方向：该点场强的方向。
当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同点电流的大小的物理量。
电流密度
n
dS
dIj
dS
dI
SdjdSc o sjj d SdI
电流密度和电流强度的关系
S SdjI
穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿过该截面的通量。
电流强度是电流密度的通量。
n
dS
dIj
dS
dI
dS
二、稳恒电场
S SdjI
dt
dqSdj
S
——电流的连续性方程稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化对稳恒电流有,0
S Sdj
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场称 稳恒电场 。
0l ldE
静电场 稳恒电场电荷分布不随时间改变但伴随着电荷的定向移动电场有保守性，它是保守场，或有势场产生电场的电荷始终固定不动电场有保守性，它是保守场，或有势场静电平衡时，导体内电场为零，导体是等势体导体内电场不为零，导体内任意两点不是等势维持静电场不需要能量的转换 稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换三、电动势
q
FE k
k?
非静电力,能把正电荷从电势较低点
（如电源负极板）送到电势较高点（
如电源正极板）的作用力称为非静电力，记作 Fk。 + –
提供非静电力的装置就是 电源 。
静电力欲使正电荷从高电位到低电位。
非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。
非静电场强方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部 Ek为零，
电动势?,把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，电源中非静电力所做的功。
ldE k
ldEdlE
L
kk
单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所做的功。
电动势描述电路中 非静电力做功本领电势差描述电路中 静电力做功
+ –
8-8 电场的能量
K
a b 开关倒向 a,电容器充电。
开关倒向 b,电容器放电。
灯泡发光?电容器释放能量?电源提供计算电容器带有电量 Q，相应电势差为 U
时所具有的能量。
一、带电系统的能量
dq
任一时刻
q? q?
Au Bu
终了时刻
Q? Q?
AU BU
C
quuu
BA
B dq A
外力做功
dqCqud qdAdW
Q
C
Qdq
C
qA
0
2
2
电容器的电能
2
2
2
1
2
1
2 CUQUC
QW
电场能量体密度 —— 描述电场中能量分布状况二、电场能量
1、对平行板电容器
2
2
1 CUW? 20
2
1 )Ed)(
d
S(
)Sd(E 2021 VE 2
02
1
电场存在的空间体积
d
S0?
q? q?
对任一电场，电场强度非均匀
dVwdW ee?
2
02
1 E
V
Ww
2、电场中某点处单位体积内的电场能量
EED r 0
VVV
D Ed VdVEdWW 2121 20?
例,计算球形电容器的能量已知 RA,RB,?q
AR
BR
q?
q?
r解：场强分布
2
04 r
qE
取体积元 drrdV 24
dVEw d VdW 2021 drr)
r
q( 22
2
0
0 442
1?
能量
V
R
R
B
A
dr
r
qdWW
2
0
2
8
)
RR
(q
BA
11
8 0
2
AB
BA
RR
RR
q
0
2
42
1
2
2
1 q
C?
课堂讨论比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
R Rq q
R r
r
q
Rr
E
4
0
2
0
R r
r
q
Rr
R
qr
E
4
4
2
0
3
0
R
R
drrEdrrEW 220
0
22
0 42
14
2
1
球体球面 WW?
