光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显阴影屏幕 屏幕一,光的衍射现象及其分类
13-1 光的衍射 惠更斯 -菲涅耳原理光源障碍物 接收屏
S
光源障碍物 接收屏衍射的分类菲涅耳衍射夫琅禾费衍射光源 — 障碍物
— 接收屏距离为有限远。
光源 — 障碍物
— 接收屏距离为无限远。
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成。
从同一波阵面上各点所发出的子波，在传播过程中相遇时，也可相互叠加产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。
二、惠更斯 -费涅耳原理若取时刻 t=0波阵面上各点发出的子波初相为零，则面元
dS在 P点引起的光振动为：
dSrTtrKCdE )(c o s)( 2
S n?
P
rdS
dSrTtrKCdE )(c o s)( 2
C----比例常数
K(? )----倾斜因子惠更斯 -菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，这是惠更斯原理所无法解释的。
P点的光振动（惠更斯原理的数学表达）为：
dSrTtrKCdEE )(c o s)( 2
00
2
0
dEK
KK
)(,
)()(
最大用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象
S*
单缝衍射实验装置 屏幕
1L
K 2L
E
13-2 单缝夫琅禾费衍射
A
B
f
x
C
0P
s i naAC?
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的衍射角（与原入射方向的夹角）相同
a
)(1
)(1
)(1
P
)(2
)(2
)(2
衍射角不同，
最大光程差也不同,P点位置不同，光的强度分布取决于最大光程差菲涅耳半波带法
A
B
3A
1A
2A
C
相邻平面间的距离是入射单色光的半波长任何两个相邻波带上对应点所发出的光线到达 BC
平面的光程差均为半波长
（即位相差为?）,在 P
点会聚时将一一抵消。
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2φ.
.
.
..
P
AB面 分成 奇数个半波带,出现 亮纹
..
23
s i naAC
φ.
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2.
.
.
.
.
A 3
P
...
AB面 分成 偶数个半波带,出现 暗纹
24
s i naAC
结论,分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
中央明纹明纹暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na?
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
讨论
1,光强分布当? 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积减少，所以光强变小；
另外，当：
当? 增加时,为什么光强的极大值迅速衰减？
I)(K
I
a2
5
a2
3 0
a2
5?
a2
3sin
中央两侧第一暗条纹之间的区域,称做零极
（或中央）明条纹,它满足条件：
2,中央亮纹宽度
s i na
I
a2
5
a2
3 0
a2
5?
a2
3sin
a
a
a x
f
0
暗纹),,k(
ks i na
21?
一级暗纹条件 fxaa t gs i na 00
一级暗纹坐标 afx
中央亮纹线宽度 22 00 aft a nfx
中央亮纹半角宽度 0 a
3,相邻两衍射条纹间距条纹在接收屏上的位置
a/fkx
a/f)k(x 212
暗纹中心明纹中心
21,k
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
中央亮纹线宽度 22 afxx
a当缝宽?x?中央亮纹线宽度
a
f)k(x
a
kfx
kk
1
1
a
fxxx
kk
11
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为 衍射光谱 。
由微分式 看出缝越窄（ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
afkx /
当 a大于?，又不大很多 时会出现明显的衍射现象。
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
afkx 2/)12( 明纹中心例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 (1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角?1=300，
求该单缝的宽度 a=?
解,(1) )3,2,1(s i n kka
第一级暗纹 k=1,?1=300
ma?
0.125.0
s i n 1
例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗纹的距离；
(a)
aa
s in
mmmfx 2102 300(b)
r a dmma 330 102105.0 5.022
(c)
mmmaafx 1)101102(1)2( 3321
例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 a=0.5mm,f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？
亮纹212 )k(s i na)a(
f
xtgs in 3
2
1
f
axk
(b)当 k=3时，光程差
27212
)k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
13-4 光栅衍射一,光栅衍射现象衍射光栅,由大量等间距、等宽度的平行狭缝所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅 。
用于反射光衍射的叫反射光栅 。
ab 光栅常数,a+b
数量级为 10-5~10-6m
a
b
x
f
0
屏
a b+?
衍射角
(a+b) sin?—— 相邻两缝光线的光程差二,光栅的衍射规律光栅 每个缝 形成各自的 单缝衍射图样 。
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
光栅 缝与缝之间 形成的 多缝干涉图样 。
1、光栅公式任意相邻两缝对应点在衍射角为?方向的两衍射光到达 P点的光程差为 (a+b)sin?
光栅公式光栅衍射明条纹位置满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
(a+b)sin?=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
单色平行光倾斜地射到光栅上
0?
0?
)(a )(b
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a+b)sin?0
(a+b)(sin sin?0 )=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
2、暗纹条件暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
,,,k)Nnk(s i n)ba( 210
主极大级数—k 光栅缝总数—N
121 N,,nn?为正整数在两个相邻主极大之间，
分布着 N-1条暗条纹和 N-2条次级明条纹。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。
缝数 N = 4 时光栅衍射的光强分布图
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3 k=6
k=-6
3、单缝对光强分布的影响
4、缺级现象
a sin? =k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
缺极时衍射角同时满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,· · ·
即,k =(a+b) /a· k'
k 就是所缺的级次缺级 由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮纹缝间光束干涉极大条件单缝衍射极小条件
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
392613kka ba若缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级光栅衍射第三级极大值位置单缝衍射第一级极小值位置白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
三、光栅光谱
1?k 2?k
3?k
例、波长为 6000?的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在 sin?2=0.2处，第 4级为第一个缺级。
求 (1)光栅上相邻两缝的距离是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？
(3)按上述选定的 a,b值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？
解,(1)
kba s in)( mkba?
6
s in
)(
1,4)()2( kkka bak 取
madbmbaa 5.45.14 m i nm i n
m a x1s i n)3( kk,由光栅方程?
106.0 6m a x mmbak
在 -900<sin?<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9,共 15条明纹例、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长?1=4400?,?2=6600?实验发现，两种波长的谱线 (不计中央明纹 )第二重合于衍射角?=600的方向上，求此光栅的光栅常数 d。
解：
111s in kd? 222s in kd?
2
1
22
11
2
1
3
2
s in
s in
k
k
k
k
4623
2
1
21 k
k，所以两谱线重合,
第二次重合 k1=6,k2=4
mmdd 310 1005.3660s i n
13-4 圆孔夫琅和费衍射一、圆孔衍射
S D
2221 dD/.s i n
第一暗环所围成的中央光斑称为 爱里斑爱里斑半径 d 对透镜光心的张角称为 爱里斑的半角宽度点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
S1
S2
D
**
爱里斑二、光学仪器的分辨率若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分重叠而不易分辨瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合
，认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰能分辨能分辨不能分辨
s1
s2
0D
**
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/, 2210?
D为 光学仪器的透光孔径最小分辨角的倒数 称为光学仪器的 分辨率
0
1
221
1
0,
D?
13-6 X射线的衍射
1895年伦琴发现 X 射线。
X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长,0.01 ~ 10nm
阳极
（对阴极）
阴极X射线管
~10 4 10 5 V
+
X 射线衍射 ---劳厄实验劳厄斑点根据劳厄斑点的分布可算出晶面间距，掌握晶体点阵结构。
晶体可看作三维立体光栅。
晶体底片铅屏X射线管布喇格父子 (W.H.Bragg,W.L.Bragg)对伦琴射线衍射的研究：
d 晶格常数
(晶面间距 )
掠射角光程差,
干涉加强条件（布喇格公式）：
A
O
.,
.
C.
Bd φ
s i ndBCAC 2
2102,,kks i nd
讨论：
1,如果晶格常数已知，可以用来测定 X射线的波长，进行伦琴射线的光谱分析。
2,如果 X 射线的波长已知，可以用来测定晶体的晶格常数，进行晶体的结构分析。
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后将相互加强。
2102,,kks i nd
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显阴影屏幕 屏幕一,光的衍射现象及其分类
13-1 光的衍射 惠更斯 -菲涅耳原理光源障碍物 接收屏
S
光源障碍物 接收屏衍射的分类菲涅耳衍射夫琅禾费衍射光源 — 障碍物
— 接收屏距离为有限远。
光源 — 障碍物
— 接收屏距离为无限远。
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成。
从同一波阵面上各点所发出的子波，在传播过程中相遇时，也可相互叠加产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。
二、惠更斯 -费涅耳原理若取时刻 t=0波阵面上各点发出的子波初相为零，则面元
dS在 P点引起的光振动为：
dSrTtrKCdE )(c o s)( 2
S n?
P
rdS
dSrTtrKCdE )(c o s)( 2
C----比例常数
K(? )----倾斜因子惠更斯 -菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，这是惠更斯原理所无法解释的。
P点的光振动（惠更斯原理的数学表达）为：
dSrTtrKCdEE )(c o s)( 2
00
2
0
dEK
KK
)(,
)()(
最大用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象
S*
单缝衍射实验装置 屏幕
1L
K 2L
E
13-2 单缝夫琅禾费衍射
A
B
f
x
C
0P
s i naAC?
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的衍射角（与原入射方向的夹角）相同
a
)(1
)(1
)(1
P
)(2
)(2
)(2
衍射角不同，
最大光程差也不同,P点位置不同，光的强度分布取决于最大光程差菲涅耳半波带法
A
B
3A
1A
2A
C
相邻平面间的距离是入射单色光的半波长任何两个相邻波带上对应点所发出的光线到达 BC
平面的光程差均为半波长
（即位相差为?）,在 P
点会聚时将一一抵消。
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2φ.
.
.
..
P
AB面 分成 奇数个半波带,出现 亮纹
..
23
s i naAC
φ.
A
A
A
B
C
a x
f
φ
1
2.
.
.
.
.
A 3
P
...
AB面 分成 偶数个半波带,出现 暗纹
24
s i naAC
结论,分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
中央明纹明纹暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na?
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
讨论
1,光强分布当? 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积减少，所以光强变小；
另外，当：
当? 增加时,为什么光强的极大值迅速衰减？
I)(K
I
a2
5
a2
3 0
a2
5?
a2
3sin
中央两侧第一暗条纹之间的区域,称做零极
（或中央）明条纹,它满足条件：
2,中央亮纹宽度
s i na
I
a2
5
a2
3 0
a2
5?
a2
3sin
a
a
a x
f
0
暗纹),,k(
ks i na
21?
一级暗纹条件 fxaa t gs i na 00
一级暗纹坐标 afx
中央亮纹线宽度 22 00 aft a nfx
中央亮纹半角宽度 0 a
3,相邻两衍射条纹间距条纹在接收屏上的位置
a/fkx
a/f)k(x 212
暗纹中心明纹中心
21,k
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
中央亮纹线宽度 22 afxx
a当缝宽?x?中央亮纹线宽度
a
f)k(x
a
kfx
kk
1
1
a
fxxx
kk
11
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为 衍射光谱 。
由微分式 看出缝越窄（ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
afkx /
当 a大于?，又不大很多 时会出现明显的衍射现象。
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
afkx 2/)12( 明纹中心例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 (1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角?1=300，
求该单缝的宽度 a=?
解,(1) )3,2,1(s i n kka
第一级暗纹 k=1,?1=300
ma?
0.125.0
s i n 1
例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗纹的距离；
(a)
aa
s in
mmmfx 2102 300(b)
r a dmma 330 102105.0 5.022
(c)
mmmaafx 1)101102(1)2( 3321
例、一束波长为?=5000?的平行光垂直照射在一个单缝上。 a=0.5mm,f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？
亮纹212 )k(s i na)a(
f
xtgs in 3
2
1
f
axk
(b)当 k=3时，光程差
27212
)k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
13-4 光栅衍射一,光栅衍射现象衍射光栅,由大量等间距、等宽度的平行狭缝所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅 。
用于反射光衍射的叫反射光栅 。
ab 光栅常数,a+b
数量级为 10-5~10-6m
a
b
x
f
0
屏
a b+?
衍射角
(a+b) sin?—— 相邻两缝光线的光程差二,光栅的衍射规律光栅 每个缝 形成各自的 单缝衍射图样 。
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
光栅 缝与缝之间 形成的 多缝干涉图样 。
1、光栅公式任意相邻两缝对应点在衍射角为?方向的两衍射光到达 P点的光程差为 (a+b)sin?
光栅公式光栅衍射明条纹位置满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
(a+b)sin?=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
单色平行光倾斜地射到光栅上
0?
0?
)(a )(b
相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a+b)sin?0
(a+b)(sin sin?0 )=k? k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
2、暗纹条件暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
,,,k)Nnk(s i n)ba( 210
主极大级数—k 光栅缝总数—N
121 N,,nn?为正整数在两个相邻主极大之间，
分布着 N-1条暗条纹和 N-2条次级明条纹。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。
缝数 N = 4 时光栅衍射的光强分布图
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3 k=6
k=-6
3、单缝对光强分布的影响
4、缺级现象
a sin? =k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
缺极时衍射角同时满足：
(a+b)sin? =k?
k=0,± 1,± 2,· · ·
即,k =(a+b) /a· k'
k 就是所缺的级次缺级 由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮纹缝间光束干涉极大条件单缝衍射极小条件
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
392613kka ba若缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级光栅衍射第三级极大值位置单缝衍射第一级极小值位置白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
三、光栅光谱
1?k 2?k
3?k
例、波长为 6000?的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在 sin?2=0.2处，第 4级为第一个缺级。
求 (1)光栅上相邻两缝的距离是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？ (2)狭缝可能的最小宽度是多少？
(3)按上述选定的 a,b值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？
解,(1)
kba s in)( mkba?
6
s in
)(
1,4)()2( kkka bak 取
madbmbaa 5.45.14 m i nm i n
m a x1s i n)3( kk,由光栅方程?
106.0 6m a x mmbak
在 -900<sin?<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,?1,?2,?3,?5,?6,?7,?9,共 15条明纹例、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长?1=4400?,?2=6600?实验发现，两种波长的谱线 (不计中央明纹 )第二重合于衍射角?=600的方向上，求此光栅的光栅常数 d。
解：
111s in kd? 222s in kd?
2
1
22
11
2
1
3
2
s in
s in
k
k
k
k
4623
2
1
21 k
k，所以两谱线重合,
第二次重合 k1=6,k2=4
mmdd 310 1005.3660s i n
13-4 圆孔夫琅和费衍射一、圆孔衍射
S D
2221 dD/.s i n
第一暗环所围成的中央光斑称为 爱里斑爱里斑半径 d 对透镜光心的张角称为 爱里斑的半角宽度点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
S1
S2
D
**
爱里斑二、光学仪器的分辨率若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分重叠而不易分辨瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合
，认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰能分辨能分辨不能分辨
s1
s2
0D
**
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/, 2210?
D为 光学仪器的透光孔径最小分辨角的倒数 称为光学仪器的 分辨率
0
1
221
1
0,
D?
13-6 X射线的衍射
1895年伦琴发现 X 射线。
X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长,0.01 ~ 10nm
阳极
（对阴极）
阴极X射线管
~10 4 10 5 V
+
X 射线衍射 ---劳厄实验劳厄斑点根据劳厄斑点的分布可算出晶面间距，掌握晶体点阵结构。
晶体可看作三维立体光栅。
晶体底片铅屏X射线管布喇格父子 (W.H.Bragg,W.L.Bragg)对伦琴射线衍射的研究：
d 晶格常数
(晶面间距 )
掠射角光程差,
干涉加强条件（布喇格公式）：
A
O
.,
.
C.
Bd φ
s i ndBCAC 2
2102,,kks i nd
讨论：
1,如果晶格常数已知，可以用来测定 X射线的波长，进行伦琴射线的光谱分析。
2,如果 X 射线的波长已知，可以用来测定晶体的晶格常数，进行晶体的结构分析。
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后将相互加强。
2102,,kks i nd
