第一篇力学基础伽利略 牛顿本章 首先 借助矢量语言对质点的运动给予简洁而完备的描述,建立 运动学方程,并求解运动学方程；
然后 讨论刚体定轴转动的 运动学方程 ；
最后 引入运动的相对性,最终解决运动学中的两类问题 。
1-1 参考系、坐标系、物理模型一、运动的绝对性和相对性
1、运动是绝对的：
任何物体任何时刻都在不停地运动着
2、运动又是相对的：
运动的描述是相对其他物体而言的为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
注意 参照系不一定是静止的。
二、参考系日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用一个 坐标系 。
三、坐标系四,物理模型 —— 质点质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )。
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体的变形及转动显得并不重要 )。
选择合适的 参考系,
以方便 确定 物体的 运动性质 ；
建立恰当的 坐标系,
以 定量描述 物体的 运动 ；
提出准确的 物理模型,
以 突出 问题中最基本的 运动规律 。
一,描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量 （单位 米）
r?位置矢量（位矢）：
运动方程：
)(trr
2.位移 （单位 米）
)()( 1212 tt rrrrr
P
Γ
O
r(t)?
Δs
ΔrP1 r
1 r 2
Г
O
P2
1-2 运动的描述
P点坐标 (x,y,z)
kzjyixr
P点矢径 方向r?
P点矢径 大小r?
222 zyxrr
r
xc o s
r
yc o s
r
zc o s
ββ
r
P
x
y
z
O
轨道
X
Y
Z
i?
j?
k?
直角坐标系
kzjyixkzzjyyixxr )()()( 121212
注意
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·
位移是矢量，有大小和方向
r 与 的区别r
rr
s 与 的区别r
rs
s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?t?
dsrd
元位移的大小 元路程
r2
r1
o
Δ r
Δ r
a ) 为标量,为矢量r? r
12 rrr
12 rrrb )
t
rv
平均速度瞬时 速度
dt
rd
t
r
t
trttrv
tt
00
lim)()(lim
3.速度 （单位 米每秒）
速度是位矢对时间的一阶导数速度方向 0?t? 时,的极限方向r
在 P点的切线并指向质点运动方向
P
Q
O
r?
rr
) (t v?r
v?
kvjviv
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v
zyx
速度大小 222
zyx vvvvv
kvjviv
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
v
zyx
直角坐标系中瞬时速度平均速度平均速率
t?
sv
瞬时速率
dt
ds
t
sv
t
0
lim
P
Q
O
r?
rr
) (t v?r
v?
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rsvv
单向直线运动情况 )( rsvv
vdtrddtdsvdsrd
瞬时速率等于瞬时速度的大小速率加速度是速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数
4.加速度（单位：米 /秒 2）
平均加速度
12
12 )()(
tt
tvtv
t
va
瞬时加速度
2
2
0
lim)( dt rddt vdtvta
t
Δ v
v1
v2
B
A
o
v1
v2
· ·
1r
2r
vr,描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态变化的物理量a?
kajaia
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
zyx
zyx
加速度大小 222
zyx aaaaa
任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理直角坐标系中加速度注意矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向加减运算遵循平行四边形法则
r
a?r? v? 某一时刻的瞬时量不同时刻不同过程量瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同不同坐标系中，具体表达形式不同加速度 a?位矢 r? 位移 r 速度 v?
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动
0n
0?
0?
0n
P Q
方向描述 作相互垂直的单位矢量
00 n
0
0
n?
切向单位矢量法向单位矢量 指向轨道的凹侧指向物体运动方向切向加速度 法向加速度自然坐标系中
0?
vv?
00 naaaaa nn
B
d?
A
v?
vdv
0)(
tvdtddt vda
000
0 nvn
dt
ds
ds
dn
dt
d
dt
d
0
2
0 n
v
dt
dva
0?
d
1?
2?
d
dt
dv
dt
dv 0
0)(
法向加速度、反映速度方向变化，
v变时不是常量。
切向加速度、反映速度大小变化，
一般不为常量；
0
2
0 n
v
dt
dvaaa
n
a
na
a
22222 vdtdvaaaa n
na
atg 加速度总是指向曲线的凹侧
0
aa?
0naa nn
圆周运动中的 切向加速度 和 法向加速度曲率半径是恒量
0
2
0 nR
v
dt
dva
匀速圆周运动 cv?
0
2
n
R
va 向心加速度
2、圆周运动 自然坐标系中
0?
dsrd?
00
v
dt
ds
dt
rdv
2
2
dt
sda?
R
va
n
2
圆周运动的 角量描述
O X
R
1v?2v
s?
A
B
t?A
ttB 角位移沿 逆时针 转动，角位移取 正 值沿 顺时针 转动，角位移取 负 值角位置极坐标系中角速度角加速度
dt
d
tt
0
l i m
单位,rad/s
2
2
0
lim dtddtdt
t
单位,rad/s2
匀速圆周运动? 是恒量
dtd t dtd
00
t 0
匀角加速圆周运动? 是恒量
t 0
2
00 2
1 tt
t dtd 00 t dt00
一般圆周运动
)(2 0202
线量 速度、加速度角量 角速度、角加速度
2
2
s
R
R
v
a
R
dt
d
R
dt
dv
a
R
dt
d
R
dt
d
v
n
Rdds?
rv
dt
d
加速转动 方向一致减速转动 方向相反刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。
平动,用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A?
A
B
B?
B
三、刚体定轴转动的描述各质点间的 相对位置永不发生变化 的质点系。
转动,对 点,对 轴 （只讨论 定轴转动 ）
既平动又转动,质心的平动加绕质心的转动定轴转动,各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。
转轴
A
A
转动平面 转轴参考方向
P
X
Q
P
X
X
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv
v?
r?
加速转动 方向一致减速转动 方向相反
dt
d
2
2
dt
d
dt
d
dt
d
在刚体作匀变速转动时，相应公式,
2
00 2
1 tt t 0
)(2 0202
2
0
,本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，
可以用标量代替。
四、运动学中的两类问题
1、已知运动方程，求速度、加速度
2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程求导数运用积分方法特别指出讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写
dtvddsrd,,, 与 的物理含义t,v,s,r
例 1：一质点运动轨迹为抛物线求,x= -4m时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
x
y
24
2
2 tty
tx
(SI)
(SI)
解：
smv x 4
ttdtdyv y 44 3
smvvv yx 37422
)(44412 22 msta y练习
2
2
2
2 msdt xddtdva xx
ya
tdtdxv x 2
2?t
smv y 24
2?t
24
2
2 tty
tx
(SI)
(SI)
smjiv / 244
jivt 42 2 2
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。
jtitr )2(2 2例 2.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
smv /47.442 222大小：
ivt 2 0 0
jtidt rdv
22
例 3.一质点沿 x轴作直线运动，其位置 坐标 与时间的关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,10 01
0 xt）（
14141810 1 21 xt
t
xv
tt?
21
轴正向相反方向与 x)sm(v 4 21
轴正向相同方向与 x)sm(v 4 10
10242810 2 22 xt
轴正向相反与 xsmv 82
tdtdxv t 88 2）（
轴正向相同与 xsmv 80?
此时转向 0 1?v
代入 t = 0,1,2 得：
例 4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
以后加速度均匀增加，每经过 τ秒增加 a0，求经过 t
秒后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa 00?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
120000 2 ct
atadttaaadtv
)(
20
01 2 000 t
atavcvt
时?
62
000 30202 tataxcxt
时?
v d tdx
dt
dxv
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx
例 5,由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴,并取发射时
t=0.试求,
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程 ；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速度 。
a a
gy
xo v0
n?
2
0
2
1
gty
tvx
解,(1)
2
0
2
2
1
v
gxy?
(2)
gtvvv yx,0
与切向加速度垂直与速度同向
222
0
2
tgv
tg
dt
dv
a
222
0
022
tgv
gv
aga n
a a
gy
xo v0
n?
222
0
22 tgvvvv
yx
0v
gta r c t g
一、运动描述具有相对性车上的人观察 地面上的人观察
1-3 相对运动运动是相对的静止参考系、运动参考系也是相对的
0rrr
0rrr
y y’
[s] [S’]
o o’ x x’
ut x’
x
p
z Z’
1,位矢变换关系二、绝对运动、牵连运动、相对运动绝对位矢 相对位矢牵连位矢位移变换关系
uvv dttd
2,速度变换关系由牛顿的绝对时间的概念 tt
uvv故
3,加速度的变换关系绝对加速度相对加速度牵连加速度
0aaa
'
0rrr
绝对速度 相对速度牵连速度
1.河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速为
20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试求在船上观察到的风的速度。
解：设水用 S； 风用 F； 船用 C； 岸用 D
例题已知：
20
10
10
cs
fd
sd
v
v
v 正东正西北偏西 30o
vcs
vfd vsd
sdcscd vvv
cdfcfd vvv
cdfdfc vvv
hkmvv
vv
csfc
sdfd
/20
方向为南偏西 30o。fcv
vcs
vfd vsd
vcd
vfc
vfd vsd
vcd
方向正北hkmv cd /310?
2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，
其加速度为 a,他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？
a
V0
解：抛出后车的位移：
2
01 2
1 attvx
球的位移：
2'
02 2
1)c o s( gttvy
)s i n( '002 tvvx
小孩接住球的条件为,?x1=?x2;?y=0
)( s i n'
2
1
0
2 tvat
两式相比得：
tg
g
a?
tvgt )( c o s'21 02
g
atg 1?
然后 讨论刚体定轴转动的 运动学方程 ；
最后 引入运动的相对性,最终解决运动学中的两类问题 。
1-1 参考系、坐标系、物理模型一、运动的绝对性和相对性
1、运动是绝对的：
任何物体任何时刻都在不停地运动着
2、运动又是相对的：
运动的描述是相对其他物体而言的为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体称为 参照系 。
注意 参照系不一定是静止的。
二、参考系日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用一个 坐标系 。
三、坐标系四,物理模型 —— 质点质点 没有大小和形状，只具有全部质量的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况：
物体不变形，不作转动 (此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动 )。
物体本身线度和它活动范围相比小得很多 (此时物体的变形及转动显得并不重要 )。
选择合适的 参考系,
以方便 确定 物体的 运动性质 ；
建立恰当的 坐标系,
以 定量描述 物体的 运动 ；
提出准确的 物理模型,
以 突出 问题中最基本的 运动规律 。
一,描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量 （单位 米）
r?位置矢量（位矢）：
运动方程：
)(trr
2.位移 （单位 米）
)()( 1212 tt rrrrr
P
Γ
O
r(t)?
Δs
ΔrP1 r
1 r 2
Г
O
P2
1-2 运动的描述
P点坐标 (x,y,z)
kzjyixr
P点矢径 方向r?
P点矢径 大小r?
222 zyxrr
r
xc o s
r
yc o s
r
zc o s
ββ
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y
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轨道
X
Y
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直角坐标系
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注意
r2r1
Δ r
x
y
z
B
A
o
Δ S·
·
位移是矢量，有大小和方向
r 与 的区别r
rr
s 与 的区别r
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s 为路程 (轨道长度 )，是标量
0?t?
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元位移的大小 元路程
r2
r1
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Δ r
Δ r
a ) 为标量,为矢量r? r
12 rrr
12 rrrb )
t
rv
平均速度瞬时 速度
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rd
t
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t
trttrv
tt
00
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3.速度 （单位 米每秒）
速度是位矢对时间的一阶导数速度方向 0?t? 时,的极限方向r
在 P点的切线并指向质点运动方向
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rr
) (t v?r
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速度大小 222
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直角坐标系中瞬时速度平均速度平均速率
t?
sv
瞬时速率
dt
ds
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0
lim
P
Q
O
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) (t v?r
v?
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 )( rsvv
单向直线运动情况 )( rsvv
vdtrddtdsvdsrd
瞬时速率等于瞬时速度的大小速率加速度是速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数
4.加速度（单位：米 /秒 2）
平均加速度
12
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tt
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瞬时加速度
2
2
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· ·
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2r
vr,描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态变化的物理量a?
kajaia
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dv
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a
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加速度大小 222
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任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理直角坐标系中加速度注意矢量性,四个量都是矢量，有大小和方向加减运算遵循平行四边形法则
r
a?r? v? 某一时刻的瞬时量不同时刻不同过程量瞬时性：
相对性,不同参照系中，同一质点运动描述不同不同坐标系中，具体表达形式不同加速度 a?位矢 r? 位移 r 速度 v?
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动
0n
0?
0?
0n
P Q
方向描述 作相互垂直的单位矢量
00 n
0
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切向单位矢量法向单位矢量 指向轨道的凹侧指向物体运动方向切向加速度 法向加速度自然坐标系中
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A
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ds
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dt
d
dt
d
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2
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v
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dva
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d
1?
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切向加速度、反映速度大小变化，
一般不为常量；
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圆周运动中的 切向加速度 和 法向加速度曲率半径是恒量
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匀速圆周运动 cv?
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2、圆周运动 自然坐标系中
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圆周运动的 角量描述
O X
R
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s?
A
B
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ttB 角位移沿 逆时针 转动，角位移取 正 值沿 顺时针 转动，角位移取 负 值角位置极坐标系中角速度角加速度
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单位,rad/s
2
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t
单位,rad/s2
匀速圆周运动? 是恒量
dtd t dtd
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匀角加速圆周运动? 是恒量
t 0
2
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t dtd 00 t dt00
一般圆周运动
)(2 0202
线量 速度、加速度角量 角速度、角加速度
2
2
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加速转动 方向一致减速转动 方向相反刚体,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。
平动,用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A?
A
B
B?
B
三、刚体定轴转动的描述各质点间的 相对位置永不发生变化 的质点系。
转动,对 点,对 轴 （只讨论 定轴转动 ）
既平动又转动,质心的平动加绕质心的转动定轴转动,各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。
转轴
A
A
转动平面 转轴参考方向
P
X
Q
P
X
X
各质元的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。
角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv
v?
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加速转动 方向一致减速转动 方向相反
dt
d
2
2
dt
d
dt
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在刚体作匀变速转动时，相应公式,
2
00 2
1 tt t 0
)(2 0202
2
0
,本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，
可以用标量代替。
四、运动学中的两类问题
1、已知运动方程，求速度、加速度
2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程求导数运用积分方法特别指出讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写
dtvddsrd,,, 与 的物理含义t,v,s,r
例 1：一质点运动轨迹为抛物线求,x= -4m时（ t>0)
粒子的速度、速率、
加速度。
x
y
24
2
2 tty
tx
(SI)
(SI)
解：
smv x 4
ttdtdyv y 44 3
smvvv yx 37422
)(44412 22 msta y练习
2
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ya
tdtdxv x 2
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smv y 24
2?t
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tx
(SI)
(SI)
smjiv / 244
jivt 42 2 2
解：
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。
jtitr )2(2 2例 2.设质点做 二维运动,
方向：
轴的夹角与为 xv 2
6263
2
4
a r c t a n
smv /47.442 222大小：
ivt 2 0 0
jtidt rdv
22
例 3.一质点沿 x轴作直线运动，其位置 坐标 与时间的关系为 x=10+8t-4t2,求：
（ 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（ 2）质点在 t=0,1,2秒时的速度。
解,10 01
0 xt）（
14141810 1 21 xt
t
xv
tt?
21
轴正向相反方向与 x)sm(v 4 21
轴正向相同方向与 x)sm(v 4 10
10242810 2 22 xt
轴正向相反与 xsmv 82
tdtdxv t 88 2）（
轴正向相同与 xsmv 80?
此时转向 0 1?v
代入 t = 0,1,2 得：
例 4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0，
以后加速度均匀增加，每经过 τ秒增加 a0，求经过 t
秒后质点的速度和运动的距离。
a d tdvdtdvataaa 00?
(直线运动中可用标量代替矢量）
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
120000 2 ct
atadttaaadtv
)(
20
01 2 000 t
atavcvt
时?
62
000 30202 tataxcxt
时?
v d tdx
dt
dxv
2
302020
0 62)2( ct
atadttatav d tx
例 5,由楼窗口以水平初速度 v0射出一发子弹，取枪口为原点，沿 v0为 x轴，竖直向下为 y轴,并取发射时
t=0.试求,
(1)子弹在任一时刻 t的位置坐标及轨道方程 ；
(2)子弹在 t时刻的速度，切向加速度和法向加速度 。
a a
gy
xo v0
n?
2
0
2
1
gty
tvx
解,(1)
2
0
2
2
1
v
gxy?
(2)
gtvvv yx,0
与切向加速度垂直与速度同向
222
0
2
tgv
tg
dt
dv
a
222
0
022
tgv
gv
aga n
a a
gy
xo v0
n?
222
0
22 tgvvvv
yx
0v
gta r c t g
一、运动描述具有相对性车上的人观察 地面上的人观察
1-3 相对运动运动是相对的静止参考系、运动参考系也是相对的
0rrr
0rrr
y y’
[s] [S’]
o o’ x x’
ut x’
x
p
z Z’
1,位矢变换关系二、绝对运动、牵连运动、相对运动绝对位矢 相对位矢牵连位矢位移变换关系
uvv dttd
2,速度变换关系由牛顿的绝对时间的概念 tt
uvv故
3,加速度的变换关系绝对加速度相对加速度牵连加速度
0aaa
'
0rrr
绝对速度 相对速度牵连速度
1.河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速为
20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试求在船上观察到的风的速度。
解：设水用 S； 风用 F； 船用 C； 岸用 D
例题已知：
20
10
10
cs
fd
sd
v
v
v 正东正西北偏西 30o
vcs
vfd vsd
sdcscd vvv
cdfcfd vvv
cdfdfc vvv
hkmvv
vv
csfc
sdfd
/20
方向为南偏西 30o。fcv
vcs
vfd vsd
vcd
vfc
vfd vsd
vcd
方向正北hkmv cd /310?
2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，
其加速度为 a,他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？
a
V0
解：抛出后车的位移：
2
01 2
1 attvx
球的位移：
2'
02 2
1)c o s( gttvy
)s i n( '002 tvvx
小孩接住球的条件为,?x1=?x2;?y=0
)( s i n'
2
1
0
2 tvat
两式相比得：
tg
g
a?
tvgt )( c o s'21 02
g
atg 1?
