波动 是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为 物质波 。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，
有类似的波动方程。
机械振动在介质中的传播称为 机械波 。
声波、水波
5-1 机械波的产生和传播一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。
弹性力,有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。
1、有作机械振动的物体，即 波源
2、有连续的 介质二、纵波和横波横波 —— 振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波 —— 振动方向与传播方向相同，如声波。
0?t
4/Tt?
2/Tt?
43 /Tt?
Tt?
45 /Tt?
横波在介质中传播时，介质中产生 切变,只能在 固体中传播。
纵波在介质中传播时，介质中产生 容变,能在 固体,
液体,气体 中传播。
结论,机械波向外传播的是波源（及各质点）
的振动状态和能量。
三、波线和波面波场 --波传播到的空间。
波面 --波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面） --某时刻波源最初的振动状态传到的波面。
波线（波射线） --代表波的传播方向的射线。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直,
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面四、简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
*五、物体的弹性形变弹性形变,物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。
(1)长变
F?F?
S
l l?
F?F?
S
l l?
称为应变或胁变l l?
称为应力或胁强SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
l
lE
S
F 称为杨氏弹性模量E
(2) 切变
F?F?
S
b
d?
S
相对面发生相对滑移切变的应变或胁变 b da r c t a n
切变的应力或胁强?SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
GSF? 称为切变弹性模量G
(3) 容变容变的应变?V V?
V
VBp
pp
p
pp
p
pp p
pp p
在弹性限度范围内，
压强的改变与容变应变的大小成正比称为容变弹性模量B
六、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为 波速,也称之 相速 。
1、波速 u
Gu?
在固体媒质中 纵波 波速为
Eu
//?
G,E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量
为介质的密度在固体媒质中 横波 波速为在同一种固体媒质中,横波 波速比 纵波 波速小些
Tu?
T为弦中张力,?为弦的线密度在弦中传播的 横波 波速为,
在液体和气体只能传播 纵波,其波速为：
Bu
//?
B为介质的容变弹性模量
为密度理想气体 纵波 声速,
m o lM
RTpu?
为气体的摩尔热容比,Mmol为气体的摩尔质量，
T为热力学温度,R为气体的普适常数，
为气体的密度
3、波长?
2、波的周期 和频率
12T
uuT
波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点 所需的时间，用 T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目,用?表示。
同一波线上相邻的位相差为 2?的两质点的距离 。
介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。 (可当作一维简谐波研究）
5-2 平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿 x轴正向传播，
x轴即为某一波线设原点振动表达式,tc o sAy0
x
y
p
u?
O
x
y表示该处质点偏离平衡位置的 位移
x为 p点在 x轴的坐标
p点的振动方程,)
u
xt(c o sAy
t 时刻 p处质点的振动状态重复
u
xt? 时刻 O处质点的振动状态
x
y
p
u?
O
x
O点振动状态传到 p点需用
u
xt
沿 x轴正向 传播的平面简谐波的波动方程
u
x?
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为 p点的振动落后与原点振动的时间沿 x轴负向 传播的平面简谐波的波动方程 )uxt(c o sAy
)tc o s (Ay 00若波源（原点）振动初位相不为零
])xTt(c o s [Ay 02
])xtc o s [Ay 022
])xut(c o s [Ay 02 ])xut(kc o s [A 0
])uxt(c o s [Ay 0
或
2?k 波矢,表示在 2?长度内所具有的完整波的数目。
二、波动方程的物理意义
][ 0 )uxt(c o sAy
1、如果给定 x,即 x=x0
y
O t
T
T
x0处质点的振动初相为
0
02?
x
02 x 为 x0处质点落后于原点的位相为 x0处质点的振动方程则 y=y(t)
)xtc o s (A)t(y 002
若 x0=? 则 x0处质点落后于原点的位相为 2?
是波在空间上的周期性的标志
2、如果给定 t,即 t=t0 则 y=y(x)
221212 xxx
][ 00 )uxt(c o sAy
表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布
，即给定了 t0 时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差
X
Y
O
u?
x1 x2
21212 T t)tt(
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
T是波在时间上的周期性的标志
3.如 x,t 均变化 y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
][ 0 )uxt(c o sA)x(y
x
y u
O
x
ttt
x?
][ 0 )u tuxtt(c o sA)tt,xx(y
t时刻的波形方程
t+?t时刻的波形方程
][ 0 )uxtt(c o sA)x(y
t时刻,x处的某个振动状态经过?t，传播了?x的距离
][ 0 )uxt(c o sA
)t,x(y)tt,xx(y
在时间?t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离?x
行波
)t,x(y)tt,xx(y
x
y u
O
x
ttt
x?
])(c o s [ 022
2
uxtAt y
2
2
202
2
2
2 1
])(c o s [ t yuuxtuAx y
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
三、平面波的波动微分方程沿 x方向传播的平面波动微分方程
][ 0 )uxt(c o sAy
求 t 的二阶导数求 x的二阶导数一,波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。
有一平面简谐波 ][
0 )u
xt(c o sAy
质量为在 x处取一体积元 dV dVdm
质点的振动速度 ][
0
)
u
xt(s i nA
t
yv
5-3 波的能量 *声强体积元内媒质质点动能为
dmvdE k 221? dV)uxt(s i nA ][21 0222
体积元内媒质质点的弹性势能为
dV)uxt(s i nAdE p ][21 0222
体积元内媒质质点的总能量为：
pk dEdEdE dV)u
xt(s i nA ][
0
222
1） 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
说明
2） 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
][ 0222 )uxt(s i nAdVdEw
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
22
2
1 Aw?
dt)uxt(s i nATwd tTw
T
T ][11
0
22
0
2
0
T 2s in
0
2 d
dV)uxt(s i nAdE ][ 0222
能流,单位时间内通过介质中某一截面的能量。
二,波的 能流和能流密度
Swup
平均能流,在一个周期内能流的平均值。
SuwSwup
能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
uwSpI uAI 22
2
1 2 米单位：瓦
u
u
S?
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
分析平面波和球面波的振幅证明：
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
,2211 TSITSI
SSS 21
TSAuTSAu 22221212 2121
21 AA?所以,平面波振幅相等。
对平面波：
222 4 rS
2211 rArA;4 211 rS
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，
与平面波类似，球面简谐波的波函数：
][ 0 )urt(c o srAy
TSAuTSAu 22221212 2121
对球面波：
三,波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为 dx的介质，其振幅衰减量为 -dA
A d xdA xeAA
0
处的波振幅和分别是,xxxAA 00
是介质的吸收系数?
波强的衰减规律：
xeII?20
处波的强度和分别是,xxxII 00
*四、声压、声强和声强级声压,介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差。
平面简谐波，声压振幅为
uAp m?
22
2
2
1
2
1
uAu
pI m
声强,声波的能流密度。
频率越高越容易获得较大的声压和声强
Hz~ 2 0 0 0 020
2122 1010 mW~mW
0
10 I
Il o gI
L? )B e l(单位：贝尔引起人听觉的声波有 频率范围 和 声强范围测定声强的标准2120 10 mWI
声强级
0
1010 I
Il o gI
L?
)dB(单位：分贝人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉一,惠更斯原理惠更斯原理,
介质中波阵面（波前）
上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t时刻波面球面波
··
·
· · · ··
·
·
····t
t +?t
t时刻波面?t+?t时刻波面?波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台,电视台都在山前侧 )
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
i i?
M NA
1A
2A
3A
B
3B2B1B
333 A BBBAA
ABBABA 333
ii
i
M NA
1A
2A
3A
B
3B
2B1B
1介质
2介质
is i nABtuBA 3133
2
1
2
1
nc
nc
u
u
s i n
is i n
s i nABtuAB 32
1
2
n
n
s i n
is i n?
二,波的叠加各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性
（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，
与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。
波传播的 独立性原理 或波的 叠加原理,
说明,
振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因两列波若 频率相同,振动方向相同,在相遇点的位相相同或位相差恒定,则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为 波的干涉 。
相干条件具有 恒定的相位差振动方向相同两波源具有 相同的频率满足相干条件的波源称为 相干波源 。
三,波的干涉传播到 p点引起的振动分别为：
)tc o s (Ay 101010
)tc o s (Ay 202020 在 p点的振动为同方向同频率振动的合成。
设有两个相干波源 S1和 S2
发出的简谐波在空间 p点相遇。
合成振动为：
)tc o s (Ayyy 021
)rtc o s (Ay 11011 2
)rtc o s (Ay 22022 2
c o s2 2122212 AAAAA
其中：
)rr()( 121020 2
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
c o s2 2121 IIIII
)tc o s (Ay 0
对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
)
r
s i n(A)
r
c o s (A
)
r
s i n(A)
r
s i n(A
t a n
2
202
1
101
2
202
1
101
0 22
22
其中：
,...,,,kkrr 3210 22 121020 ）（
21m a x AAAA 2121m a x 2 IIIIII
,...,,,k)k()rr()( 3210122 121020
|| 21m i n AAAA 2121m i n 2 IIIIII
相长干涉的条件,
相消干涉的条件,
c o s2 2122212 AAAAAc o s2 2121 IIIII
当 两相干波源为同相波源 时，相干条件写为
,...3,2,1,0,12 kkrr
,...3,2,1,0,2)12(12 kkrr
相长干涉相消干涉
称为波程差波的非相干叠加
21 III
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频率都是 100赫兹，相位差为?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取 A点为坐标原点,A,B联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
)c o s ( tAy A
在 X轴上 A点发出的行波方程：
)2c o s ( xtAy A
B点的振动方程,)0c o s ( tAy
B?
BA
Xx
m30
x?30
O
)2c o s ( xtAy A
B点的振动方程,
)0c o s ( tAy B?
在 X轴上 B点发出的行波方程：
])30(20c o s [ xtAy B
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：
)()( 123022 kxx
,.,,2,1,0k
BA
Xx
m30
x?30
O
相干相消的点需满足,?kx 230
mu 4
因为,
,...2,1,0
215
k
kx
mx 29,27,25,.,,,,,9,7,5,3,1?
)12()30(22 kxx
,..,2,1,0k
BA
Xx
m30
x?30
O
5-5 驻波一、驻波方程
)xtc o s (Ay 21 )
xtc o s (Ay
2
2
tc o sxc o sAyyy2221
tc o s)x(Ay
xAxA 2c os2)(?
驻波是两列 振幅、频率相同,但 传播方向相反的简谐波的叠加。
)x,t(y)tux,tt(y函数不满足 它不是行波它表示各点都在作 简谐振动,各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。
驻波的 特点,不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。
tc o s)x(Ay
12c os x
xAxA 2c os2)(?
振幅最大，波腹AxA 2)(?
kx2?,,,kkx 2102
02c os x 振幅最小，波节0)(?xA
)k(x 212,,,k)k(x 210221
1、波腹与波节 驻波振幅分布特点二、驻波的特点相邻波腹间的距离为,22
1k|kx
相邻波节间的距离为,2 x
相邻波腹与波节间的距离为,4?
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
,,,kkx 2102波腹?,,,k)k(x 210
22
1波节
txAy c o s2c o s22、驻波的位相的分布特点时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，
而空间变化带来的相位是不同的。
在 波节两侧点的振动相位相反 。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
两个 波节之间的点其振动相位相同 。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。
*3、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，
并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
当波 从波疏媒质垂直入射到波密媒质 界面上反射时,有半波损失,形成的驻波在界面处是 波节 。
三、半波损失入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。
折射率较大的媒质称为 波密媒质 ；
折射率较小的媒质称为 波疏媒质,有半波损失无半波损失当波 从波密媒质垂直入射到波疏媒质 界面上反射时,无半波损失,界面处出现 波腹 。
Tu,...,,n,
l
un 321
2
,.,,,,n,n lu 3212
,.,,,,n,nl 3212
在绳长为 l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：
*四,简正模式（或本征振动）
即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的 本征频率,对应的振动方式称为该系统的 简正模式 （ Normal mode).
对应 k=2,3,… 的频率为 谐频,产生的音称为 谐音 (泛音 )。
最低的频率 (k=1)称为 基频,产生的一个音称为基音；
两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 k 次,2 k 次 …,..谐频 )就不出现，使演奏的音色更优美。
当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频率振动的振幅最大。可用 共振法 测量空气中声速。
系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。
一般是各种简正模式的叠加。
5-6 多普勒效应 *冲击波一、多普勒效应观察者接受到的频率有赖于 波源 或 观察者运动的现象，称为 多普勒效应 。
vS —— 表示波源相对于介质的运动速度。
vB—— 表示观察者相对于介质的运动速度。
S—— 波源的频率
u—— 波在介质中的速度
B —— 观察者接受到的频率选介质为参考系波源和观察者的运动在两者的连线上规定
“趋近为正，背离为负”的符号为、
SB vv
的符号为波速 u,恒为正”
若观察者以速度 vB远离波源运动，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
若观察者以速度 vB迎着波运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
00 BS v,v
1、波源不动，观察者以速度 vB 相对于介质运动频率升高频率降低
u vuu vuuT vuu BBBB
2、观察者不动，波源以速度 vS 相对于介质运动
SSS vu
u
TvuT
u
Tv
uu
若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
svu
u
若波源远离观察者运时 vs<0，观察者接受到的频率小于波源的振动频率。
频率升高频率降低
00 BS v,v
3、波源和观察者同时相对于介质运动
S
B
vu
vuu
波源和观察者接近时,'
波源和观察者背离时,'
00 BS v,v
相对于观察者，波速
Bvuu
相对于观察者，波长 Tv
S
电磁波的多普勒效应光源和观察者在同一直线上运动
21 )
c
v(
横
cv
cv
1
1
远离横向多普勒效应
cv
cv
1
1
接近红移
*二、冲击波波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，
波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。
uT
SvS
TvS
1S
P
冲击波的包络面成圆锥状，
称作 马赫堆 。
Sv
us i n马赫角
Sv
uM?马赫数若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能听见声音。
*5-7 色散 波包 群速度一、色散凡波速与频率有关的现象均称为 色散 。
色散介质 非色散介质二、波包不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，
称之为波群或波包。
x
y
三、群速度相速度：简谐波的传播速度。
群速度：波包（包络线）的传播速度。
两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加
)xKtc o s (Ay 111
)xKtc o s (Ay 222
式中,K
1
1
2
,K
2
2
2
,12 较小两列波叠加后
)xKKtc o s ()xKKtc o s (Ayyy 22222 1212121221
)xKtc o s ()xKtc o s (Ay2
K K
A?
)xKtc o s (Ay 振幅为 A'作缓慢变化的余弦波为包络线方程)xKtc o s (AA2
包络线上某一确定点常数 xKt? 0 dxKdt?
包络线移动的速度即群速度为频差很小
dK
dv
群无色散波
KKKKdt
dxv
21
21
群
0?dKdu
dK
duKu
dK
)uK(d
uv?群色散波
0?dKdu uv?群波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量集中的地方。
波包群速度 =信息、能量的传播速度
*5-8 非线性波 孤波一、非线性效应对波动的影响导致波动叠加原理失效二、孤波介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。
由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、
巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形状前进了一段距离后才逐渐消失。
1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名的浅水波的 KdV方程，才使孤波得到稳定解。
06 3
3
x yxyyty
非线性效应,使得波包的能量重新分配，从而使频率扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。
非线性项 色散项色散效应,导致波包的群速度与波长有关，使波包，
逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。
形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。
孤波在传播过程中的特性：
定域性,孤波波形是定域在空间的有限范围内。
稳定性,孤波传播过程中形状保持不变。
完整性,如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，
每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的速度继续各自传播。
与微观粒子对应的波称为 物质波 。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，
有类似的波动方程。
机械振动在介质中的传播称为 机械波 。
声波、水波
5-1 机械波的产生和传播一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。
弹性力,有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。
1、有作机械振动的物体，即 波源
2、有连续的 介质二、纵波和横波横波 —— 振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波 —— 振动方向与传播方向相同，如声波。
0?t
4/Tt?
2/Tt?
43 /Tt?
Tt?
45 /Tt?
横波在介质中传播时，介质中产生 切变,只能在 固体中传播。
纵波在介质中传播时，介质中产生 容变,能在 固体,
液体,气体 中传播。
结论,机械波向外传播的是波源（及各质点）
的振动状态和能量。
三、波线和波面波场 --波传播到的空间。
波面 --波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面） --某时刻波源最初的振动状态传到的波面。
波线（波射线） --代表波的传播方向的射线。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直,
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面四、简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
*五、物体的弹性形变弹性形变,物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。
(1)长变
F?F?
S
l l?
F?F?
S
l l?
称为应变或胁变l l?
称为应力或胁强SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
l
lE
S
F 称为杨氏弹性模量E
(2) 切变
F?F?
S
b
d?
S
相对面发生相对滑移切变的应变或胁变 b da r c t a n
切变的应力或胁强?SF
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
GSF? 称为切变弹性模量G
(3) 容变容变的应变?V V?
V
VBp
pp
p
pp
p
pp p
pp p
在弹性限度范围内，
压强的改变与容变应变的大小成正比称为容变弹性模量B
六、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为 波速,也称之 相速 。
1、波速 u
Gu?
在固体媒质中 纵波 波速为
Eu
//?
G,E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量
为介质的密度在固体媒质中 横波 波速为在同一种固体媒质中,横波 波速比 纵波 波速小些
Tu?
T为弦中张力,?为弦的线密度在弦中传播的 横波 波速为,
在液体和气体只能传播 纵波,其波速为：
Bu
//?
B为介质的容变弹性模量
为密度理想气体 纵波 声速,
m o lM
RTpu?
为气体的摩尔热容比,Mmol为气体的摩尔质量，
T为热力学温度,R为气体的普适常数，
为气体的密度
3、波长?
2、波的周期 和频率
12T
uuT
波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点 所需的时间，用 T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目,用?表示。
同一波线上相邻的位相差为 2?的两质点的距离 。
介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。 (可当作一维简谐波研究）
5-2 平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿 x轴正向传播，
x轴即为某一波线设原点振动表达式,tc o sAy0
x
y
p
u?
O
x
y表示该处质点偏离平衡位置的 位移
x为 p点在 x轴的坐标
p点的振动方程,)
u
xt(c o sAy
t 时刻 p处质点的振动状态重复
u
xt? 时刻 O处质点的振动状态
x
y
p
u?
O
x
O点振动状态传到 p点需用
u
xt
沿 x轴正向 传播的平面简谐波的波动方程
u
x?
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为 p点的振动落后与原点振动的时间沿 x轴负向 传播的平面简谐波的波动方程 )uxt(c o sAy
)tc o s (Ay 00若波源（原点）振动初位相不为零
])xTt(c o s [Ay 02
])xtc o s [Ay 022
])xut(c o s [Ay 02 ])xut(kc o s [A 0
])uxt(c o s [Ay 0
或
2?k 波矢,表示在 2?长度内所具有的完整波的数目。
二、波动方程的物理意义
][ 0 )uxt(c o sAy
1、如果给定 x,即 x=x0
y
O t
T
T
x0处质点的振动初相为
0
02?
x
02 x 为 x0处质点落后于原点的位相为 x0处质点的振动方程则 y=y(t)
)xtc o s (A)t(y 002
若 x0=? 则 x0处质点落后于原点的位相为 2?
是波在空间上的周期性的标志
2、如果给定 t,即 t=t0 则 y=y(x)
221212 xxx
][ 00 )uxt(c o sAy
表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布
，即给定了 t0 时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差
X
Y
O
u?
x1 x2
21212 T t)tt(
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
T是波在时间上的周期性的标志
3.如 x,t 均变化 y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
][ 0 )uxt(c o sA)x(y
x
y u
O
x
ttt
x?
][ 0 )u tuxtt(c o sA)tt,xx(y
t时刻的波形方程
t+?t时刻的波形方程
][ 0 )uxtt(c o sA)x(y
t时刻,x处的某个振动状态经过?t，传播了?x的距离
][ 0 )uxt(c o sA
)t,x(y)tt,xx(y
在时间?t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离?x
行波
)t,x(y)tt,xx(y
x
y u
O
x
ttt
x?
])(c o s [ 022
2
uxtAt y
2
2
202
2
2
2 1
])(c o s [ t yuuxtuAx y
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
三、平面波的波动微分方程沿 x方向传播的平面波动微分方程
][ 0 )uxt(c o sAy
求 t 的二阶导数求 x的二阶导数一,波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。
有一平面简谐波 ][
0 )u
xt(c o sAy
质量为在 x处取一体积元 dV dVdm
质点的振动速度 ][
0
)
u
xt(s i nA
t
yv
5-3 波的能量 *声强体积元内媒质质点动能为
dmvdE k 221? dV)uxt(s i nA ][21 0222
体积元内媒质质点的弹性势能为
dV)uxt(s i nAdE p ][21 0222
体积元内媒质质点的总能量为：
pk dEdEdE dV)u
xt(s i nA ][
0
222
1） 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
说明
2） 在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
][ 0222 )uxt(s i nAdVdEw
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
22
2
1 Aw?
dt)uxt(s i nATwd tTw
T
T ][11
0
22
0
2
0
T 2s in
0
2 d
dV)uxt(s i nAdE ][ 0222
能流,单位时间内通过介质中某一截面的能量。
二,波的 能流和能流密度
Swup
平均能流,在一个周期内能流的平均值。
SuwSwup
能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
uwSpI uAI 22
2
1 2 米单位：瓦
u
u
S?
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
分析平面波和球面波的振幅证明：
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
,2211 TSITSI
SSS 21
TSAuTSAu 22221212 2121
21 AA?所以,平面波振幅相等。
对平面波：
222 4 rS
2211 rArA;4 211 rS
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，
与平面波类似，球面简谐波的波函数：
][ 0 )urt(c o srAy
TSAuTSAu 22221212 2121
对球面波：
三,波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
波通过厚度为 dx的介质，其振幅衰减量为 -dA
A d xdA xeAA
0
处的波振幅和分别是,xxxAA 00
是介质的吸收系数?
波强的衰减规律：
xeII?20
处波的强度和分别是,xxxII 00
*四、声压、声强和声强级声压,介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差。
平面简谐波，声压振幅为
uAp m?
22
2
2
1
2
1
uAu
pI m
声强,声波的能流密度。
频率越高越容易获得较大的声压和声强
Hz~ 2 0 0 0 020
2122 1010 mW~mW
0
10 I
Il o gI
L? )B e l(单位：贝尔引起人听觉的声波有 频率范围 和 声强范围测定声强的标准2120 10 mWI
声强级
0
1010 I
Il o gI
L?
)dB(单位：分贝人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定
5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉一,惠更斯原理惠更斯原理,
介质中波阵面（波前）
上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t时刻波面球面波
··
·
· · · ··
·
·
····t
t +?t
t时刻波面?t+?t时刻波面?波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台,电视台都在山前侧 )
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
i i?
M NA
1A
2A
3A
B
3B2B1B
333 A BBBAA
ABBABA 333
ii
i
M NA
1A
2A
3A
B
3B
2B1B
1介质
2介质
is i nABtuBA 3133
2
1
2
1
nc
nc
u
u
s i n
is i n
s i nABtuAB 32
1
2
n
n
s i n
is i n?
二,波的叠加各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性
（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，
与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。
波传播的 独立性原理 或波的 叠加原理,
说明,
振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因两列波若 频率相同,振动方向相同,在相遇点的位相相同或位相差恒定,则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为 波的干涉 。
相干条件具有 恒定的相位差振动方向相同两波源具有 相同的频率满足相干条件的波源称为 相干波源 。
三,波的干涉传播到 p点引起的振动分别为：
)tc o s (Ay 101010
)tc o s (Ay 202020 在 p点的振动为同方向同频率振动的合成。
设有两个相干波源 S1和 S2
发出的简谐波在空间 p点相遇。
合成振动为：
)tc o s (Ayyy 021
)rtc o s (Ay 11011 2
)rtc o s (Ay 22022 2
c o s2 2122212 AAAAA
其中：
)rr()( 121020 2
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
c o s2 2121 IIIII
)tc o s (Ay 0
对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
)
r
s i n(A)
r
c o s (A
)
r
s i n(A)
r
s i n(A
t a n
2
202
1
101
2
202
1
101
0 22
22
其中：
,...,,,kkrr 3210 22 121020 ）（
21m a x AAAA 2121m a x 2 IIIIII
,...,,,k)k()rr()( 3210122 121020
|| 21m i n AAAA 2121m i n 2 IIIIII
相长干涉的条件,
相消干涉的条件,
c o s2 2122212 AAAAAc o s2 2121 IIIII
当 两相干波源为同相波源 时，相干条件写为
,...3,2,1,0,12 kkrr
,...3,2,1,0,2)12(12 kkrr
相长干涉相消干涉
称为波程差波的非相干叠加
21 III
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频率都是 100赫兹，相位差为?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取 A点为坐标原点,A,B联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
)c o s ( tAy A
在 X轴上 A点发出的行波方程：
)2c o s ( xtAy A
B点的振动方程,)0c o s ( tAy
B?
BA
Xx
m30
x?30
O
)2c o s ( xtAy A
B点的振动方程,
)0c o s ( tAy B?
在 X轴上 B点发出的行波方程：
])30(20c o s [ xtAy B
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：
)()( 123022 kxx
,.,,2,1,0k
BA
Xx
m30
x?30
O
相干相消的点需满足,?kx 230
mu 4
因为,
,...2,1,0
215
k
kx
mx 29,27,25,.,,,,,9,7,5,3,1?
)12()30(22 kxx
,..,2,1,0k
BA
Xx
m30
x?30
O
5-5 驻波一、驻波方程
)xtc o s (Ay 21 )
xtc o s (Ay
2
2
tc o sxc o sAyyy2221
tc o s)x(Ay
xAxA 2c os2)(?
驻波是两列 振幅、频率相同,但 传播方向相反的简谐波的叠加。
)x,t(y)tux,tt(y函数不满足 它不是行波它表示各点都在作 简谐振动,各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。
驻波的 特点,不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。
tc o s)x(Ay
12c os x
xAxA 2c os2)(?
振幅最大，波腹AxA 2)(?
kx2?,,,kkx 2102
02c os x 振幅最小，波节0)(?xA
)k(x 212,,,k)k(x 210221
1、波腹与波节 驻波振幅分布特点二、驻波的特点相邻波腹间的距离为,22
1k|kx
相邻波节间的距离为,2 x
相邻波腹与波节间的距离为,4?
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
,,,kkx 2102波腹?,,,k)k(x 210
22
1波节
txAy c o s2c o s22、驻波的位相的分布特点时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，
而空间变化带来的相位是不同的。
在 波节两侧点的振动相位相反 。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。
两个 波节之间的点其振动相位相同 。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。
*3、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，
并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
当波 从波疏媒质垂直入射到波密媒质 界面上反射时,有半波损失,形成的驻波在界面处是 波节 。
三、半波损失入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。
折射率较大的媒质称为 波密媒质 ；
折射率较小的媒质称为 波疏媒质,有半波损失无半波损失当波 从波密媒质垂直入射到波疏媒质 界面上反射时,无半波损失,界面处出现 波腹 。
Tu,...,,n,
l
un 321
2
,.,,,,n,n lu 3212
,.,,,,n,nl 3212
在绳长为 l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：
*四,简正模式（或本征振动）
即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的 本征频率,对应的振动方式称为该系统的 简正模式 （ Normal mode).
对应 k=2,3,… 的频率为 谐频,产生的音称为 谐音 (泛音 )。
最低的频率 (k=1)称为 基频,产生的一个音称为基音；
两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 k 次,2 k 次 …,..谐频 )就不出现，使演奏的音色更优美。
当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频率振动的振幅最大。可用 共振法 测量空气中声速。
系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。
一般是各种简正模式的叠加。
5-6 多普勒效应 *冲击波一、多普勒效应观察者接受到的频率有赖于 波源 或 观察者运动的现象，称为 多普勒效应 。
vS —— 表示波源相对于介质的运动速度。
vB—— 表示观察者相对于介质的运动速度。
S—— 波源的频率
u—— 波在介质中的速度
B —— 观察者接受到的频率选介质为参考系波源和观察者的运动在两者的连线上规定
“趋近为正，背离为负”的符号为、
SB vv
的符号为波速 u,恒为正”
若观察者以速度 vB远离波源运动，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
若观察者以速度 vB迎着波运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
)uv B?1（
00 BS v,v
1、波源不动，观察者以速度 vB 相对于介质运动频率升高频率降低
u vuu vuuT vuu BBBB
2、观察者不动，波源以速度 vS 相对于介质运动
SSS vu
u
TvuT
u
Tv
uu
若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。
svu
u
若波源远离观察者运时 vs<0，观察者接受到的频率小于波源的振动频率。
频率升高频率降低
00 BS v,v
3、波源和观察者同时相对于介质运动
S
B
vu
vuu
波源和观察者接近时,'
波源和观察者背离时,'
00 BS v,v
相对于观察者，波速
Bvuu
相对于观察者，波长 Tv
S
电磁波的多普勒效应光源和观察者在同一直线上运动
21 )
c
v(
横
cv
cv
1
1
远离横向多普勒效应
cv
cv
1
1
接近红移
*二、冲击波波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，
波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。
uT
SvS
TvS
1S
P
冲击波的包络面成圆锥状，
称作 马赫堆 。
Sv
us i n马赫角
Sv
uM?马赫数若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能听见声音。
*5-7 色散 波包 群速度一、色散凡波速与频率有关的现象均称为 色散 。
色散介质 非色散介质二、波包不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，
称之为波群或波包。
x
y
三、群速度相速度：简谐波的传播速度。
群速度：波包（包络线）的传播速度。
两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加
)xKtc o s (Ay 111
)xKtc o s (Ay 222
式中,K
1
1
2
,K
2
2
2
,12 较小两列波叠加后
)xKKtc o s ()xKKtc o s (Ayyy 22222 1212121221
)xKtc o s ()xKtc o s (Ay2
K K
A?
)xKtc o s (Ay 振幅为 A'作缓慢变化的余弦波为包络线方程)xKtc o s (AA2
包络线上某一确定点常数 xKt? 0 dxKdt?
包络线移动的速度即群速度为频差很小
dK
dv
群无色散波
KKKKdt
dxv
21
21
群
0?dKdu
dK
duKu
dK
)uK(d
uv?群色散波
0?dKdu uv?群波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量集中的地方。
波包群速度 =信息、能量的传播速度
*5-8 非线性波 孤波一、非线性效应对波动的影响导致波动叠加原理失效二、孤波介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。
由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、
巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形状前进了一段距离后才逐渐消失。
1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名的浅水波的 KdV方程，才使孤波得到稳定解。
06 3
3
x yxyyty
非线性效应,使得波包的能量重新分配，从而使频率扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。
非线性项 色散项色散效应,导致波包的群速度与波长有关，使波包，
逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。
形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。
孤波在传播过程中的特性：
定域性,孤波波形是定域在空间的有限范围内。
稳定性,孤波传播过程中形状保持不变。
完整性,如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，
每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的速度继续各自传播。
