第二篇机械振动与机械波广义振动,任一物理量 (如位移,电流等 )在某一数值附近反复变化 。
振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。
4-1 简谐振动的动力学特征最简单最基本的线性振动。
简谐振动,一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（ 或角位移?）随时间 t按余弦
（或正弦）规律变化的振动。
)tc o s (Ax 0
一、弹簧振子模型弹簧振子,弹簧 — 物体系统平衡位置,弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧 — 质量忽略不计，形变满足胡克定律物体 — 可看作质点
k
x
O
m
kxF
2
2
dt
xdmkx
mk?2?
简谐振动微分方程 022
2
x
dt
xd?
单摆
022
2
dtd
结论,单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
角频率,振动的周期分别为：
g
lT
l
g?
22
0
0
当 时sin
s i nm g lM
二、微振动的简谐近似
gm?
f?
T?
C
O
m g ldtdml2
2
摆球对 C点的力矩
m g lM
l/g?2?
复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
022
2
dtd
结论,复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
sin当 时
gm?
h
C
O
2
2
dt
dIm g h
I
m g h?2?
其通解为：
一、简谐振动的运动学方程
)tc o s (Ax 0
022
2
xdt xd?
4-2 简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程
)ts i n ()tc o s ( 200
20
)ts i n (x
二,描述简谐振动的特征量
)tc o s (Ax 0
1,振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移 （ 或角位移 ） 的绝对值 。
)ts i n (Av 0
000 vv,xx,t
初始条件
00?c o sAx? 00?
s i nA
v
202
0 )
v(xA
频率?,单位时间内振动的次数 。
2,周期,频率,圆频率对弹簧振子
2
1
T
角频率?
22 T
k
mT?2?
m
k
2
1?
m
k
固有周期、固有频率、固有角频率周期 T,物体完成一次全振动所需时间 。
00 )Tt(c o sA)tc o s (A2?T
单摆
g
lT?2?
l
g
2
1?
l
g
复摆
m gh
IT?2?
I
m g h
2
1?
I
m g h
)ts i n (Av 0
0 是 t =0时刻的位相 — 初位相
000?c o sAxt 时
00 s i nAv 0
0
0 x
vt a n
3,位相和初位相 )tc o s (Ax
0
— 位相,决定谐振动物体的运动状态
0t
位相差 两振动位相之差。
12
当=2k?,k=0,± 1,± 2…,两振动步调相同,称 同相当=?(2k+1)?,k=0,± 1,± 2...
两振动步调相反,称 反相
0
2 超前于?1 或?1滞后于?2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落三、简谐振动的 旋转矢量表示法
0
t = 0A?
x
t+?0
t = tA?
)tc o s (Ax 0
o X
用旋转矢量表示相位关系
x
1A
2A
x
1A
2A
x
1A
2A
同相 反相
)tc o s (a)tc o s (Aa m 002
)tc o s (Ax 0
)tc o s (v)ts i n (Av m 200
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
t
o T
a
v
x..,avx
T/4 T/4
)2c o s ( tvv mx
)2c o s ( tA
)c o s ( taa mx
)c o s (2 tA
由图可见：
2
va 超前
2
xv 超前
x
t+?
o
·
A?
mv
ma
090
090
例,如图 m=2× 10-2kg,
弹簧的静止形变为?l=9.8cm
t=0时 x0=-9.8cm,v0=0
⑴ 取开始振动时为计时零点，
写出振动方程；
（ 2）若取 x0=0,v0>0为计时零点，
写出振动方程,并计算振动频率。 X
Om
x
解,⑴ 确定平衡位置 mg=k?l 取为原点
k=mg/?l
令向下有位移 x,则 f=mg-k(?l +x)=-kx
作谐振动 设振动方程为
)tc o s (Ax 0
s/r a d.,lgmk 100 9 80 89
由初条件得
,)xv(a r c t g 0
0
0
0
mvxA 0 9 802020,)(
由 x0=Acos?0=-0.098<0? cos?0<0,取?0=?
sr a d /10
振动方程为,x=9.8?10-2cos(10t+?) m
(2)按题意 t=0 时 x0=0,v0>0
x0=Acos?0=0,cos?0=0?0=?/2,3?/2
v0=-A?sin?>0,sin?0 <0,取?0=3?/2
x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m
对同一谐振动取不同的计时起点?不同，但?,A不变
Hz
l
g
6.1
2
1
2
X
Om
x
固有频率例,如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、
一半径为 R,转动惯量为 I的 定滑轮和一质量为 m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T.
T
m
T
mg
a
2F
m
o
x
k
JR解：取位移轴 ox,m在平衡位置时，设弹簧伸长量为?l,则
0 lkmg?
T
m
T
mg
a
2F
m
o
x
k
JR当 m有位移 x时
maTmg
RaJRxlkT )(
联立得
aRJRkx?
2
022
2
xRJm kdt xd
物体作简谐振动
22 RJm
k
k
RJmT 222
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。
431.
431.?
715.
715.?
0
1 )(st
)( 1?cm sv
解：方法 1
100 715 c m s.s i nAv
)tc o s (Ax 0
设振动方程为
0020 c o sAa
1431 c m svA m,
2
1
431
7150
0,
.
A
vs i n
6560 或?
00 00c o s,a 则
60
17151 c m svt,
2
1
61 mv
v
A
v
)s i n (
6116761 或
01
0
0
1
)c o s (
,a
则
6761
1143 s. cmvA m 10
143
431
.
.
故振动方程为
cmtx )c o s ( 610
方法 2,用旋转矢量法辅助求解。
)c o s ( tAx
)c o s ()s i n ( 2 tvtAv m
1431 c m sAv m,?
0?t
st 1?
2
vo
v的旋转矢量与 v轴夹角表示 t 时刻相位 2
t
由图知
3
2
2 6
1 1 s
cmvA m 10143 431,,?
cmtx )c o s ( 610
以弹簧振子为例谐振动系统的能量 =系统的 动能 Ek+系统的 势能 Ep
某一时刻，谐振子速度为 v,位移为 x
)ts i n (Av 0 )tc o s (Ax 0
2
2
1 mvE
k?
)t(s i nkA 02221
2
2
1 kxE
p?
)t(c o skA 02221
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
4-3 简谐振动的能量动能
2
2
1 mvE
k?
)t(s i nkA 02221
势能
221 kxE
p?
)t(c o skA 02221
情况同动能。
ppp EEE,,m i nm a x
0m i n?kE
2
4
11 kAdtE
TE
Tt
t kk
2
m a x 2
1 kAE
k?
机械能
2
2
1 kAEEE
pk 简谐振动系统机械能守恒
x
tT
E
Ep
o
kp EE?
E
t
Ek
(1/2)kA2
由起始能量求振幅
k
E
k
EA 022
2
2
1 kAE?
实际振动系统系统沿 x轴振动，势能函数为 Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。
在该位置（取 x=0） 附近将势能函数作级数展开
202
2
0 2
10 x)
dx
Ed(x)
dx
dE()(E)x(E
x
p
x
p
pp
微振动系统一般可以当作谐振动处理
00 dxdEx p 202
2
2
10 x)
dx
Ed()(E)x(E
x
p
pp
dx
)x(dEF p )kx(x)
dx
Ed(
x
p
02
2
一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为?
)c o s (AAAAA 1020212221 2
2211
2211
0
c o sAc o sA
s i nAs i nAtg
)tc o s (A)t(x 1011
)tc o s (A)t(x 2022
)tc o s (Ax
xxx
0
21
质点同时参与同方向同频率的谐振动,
合振动,
4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
2A
1A
A?
10?
20?
0?
1x2
x x
1M
2M
M
如 A1=A2,则 A=0
,,,kk 21021020
两分振动相互加强
21 AAA
,,,k)k( 210121020
两分振动相互减弱21 AAA
分析若两分振动同相：
若两分振动反相,
)c o s (AAAAA 1020212221 2
合振动不是简谐振动式中 tAtA )2c o s (2)( 12
tt )2c o s (c o s 12
随 t 缓变随 t 快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二,同方向不同频率简谐振动的合成分振动 )tc o s (Ax
11
)tc o s (Ax 22
合振动
)tc o s (t)c o s (Ax 222 1212
21 xxx
当?21时,ttAx?c o s)(?则,1212
拍 合振动忽强忽弱的现象拍频,单位时间内强弱变化的次数? =|?2-?1|
x
t
x2
t
x1
t
12拍
12
2
T或：
*三、振动的频谱分析振动的分解,把一个振动分解为若干个简谐振动。
谐振分析,将任一周期性振动分解为各个谐振动之和 。
若周期振动的频率为,?0
则各分振动的频率为,?0,2?0,3?0
(基频,二次谐频,三次谐频,… )
按傅里叶级数展开
)t(x)Tt(x
1
0
2 n nn )tns i nbtnc o sa(
a)t(x
T
22
方波的分解
x
0 t
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
t0
x1+x3+x5+x0
ts i nAts i nAts i nAAx 55233222
x
o t
锯齿波
A
0 3?05?0
锯齿波频谱图一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动 。
x
o t阻尼振动曲线阻尼振动频谱图
o?
A
*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
分振动
)tc o s (Ax 101
)tc o s (Ay 202
0( 1 ) 1020 02
21
)AyAx( xA
Ay
1
2?
合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线
1
2
A
A斜率质点离开平衡位置的位移讨论
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (AAyxS 222122
1020( 2 ) 02
21
)AyAx( xAAy
1
2
合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线
1
2
A
A?斜率质点离开平衡位置的位移
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (AAyxS 222122
2( 3 ) 1020
1
2
2
1
2
AyAx
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (Ay 2101
y
x
2( 4 ) 1020
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
)tc o s (Ay 2101
= 5?/4= 3?/2= 7?/4
= 0
=?
=?/2= 3?/4
Q
=?/4
P·.
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
*五,垂直方向不同频率可看作两频率相等而?2-?1随 t 缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 。
轨迹称为 李萨如图形
y
x
A1
A2o-A2
-A1简谐振动的合成
)()( xyxy t
4
0
23
xy
yx
,
::
两分振动频率相差很小两振动的频率成 整数比李萨如图形
21,31,32:
一,阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
摩擦阻尼：
系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。
辐射阻尼：
振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。
4-5 阻尼振动 受迫振动 共振阻尼振动的振动方程 （系统受到弱介质阻力而衰减）
振子动力学方程
2
2
dt
xdm
dt
dxkx
振子受阻力
dt
dxvf
r
02 202
2
xdtdxdt xd
m
k?
0?
系统固有角频率
m2
阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，
介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比
— 阻力系数弱阻尼弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，
周期越接近于谐振动。
0
)tc o s (eAx t 00
220
02
2
0
222
T
阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来
0
te)tcc(x 21
过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置
0
t)(
t)(
ec
ecx
2
0
2
2
0
2
2
1
二,受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动 。
弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程
ptc o sFtddxkxtd xdm 02
2
tpc o sfxtddxtd xd 202
2
2
令
m
k?
0?
m
Ff,
m,
0
0
2
周期性外力 —— 策动力 ptc o sFF
0?
稳定解 )ptc o s (Ax
(1)频率,等于策动力的频率?
(2)振幅,
2122222
0
0
4 /]p)p[(
fA
(3)初相,
22
0
2
p
ptg
特点,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化
)ptc o s (A)t( c o seAx t 00
阻尼振动 简谐振动三,共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。
1、位移共振
(1)共振频率,
220 2rp
(2)共振振幅,
22
0
0
2
fA r
2,速度共振一定条件下,速度振幅极大的现象。
速度共振时,速度与策动力同相,一周期内策动力总作正功,
此时向系统输入的能量最大 。
0rp?20fv mr?
)pts i n (pAv
22222
0
0
4 p)p(
pfpAv
m
不能用线性微分方程描述的振动称为 非线性振动 。
1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：
振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数,
如漏摆、荡秋千。
*4-6 非线性振动简介一,非线性振动概述单摆（或复摆）
的回复力矩 )!!(m g lM 53 53
自激振动
1、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数如 3
3221 vkvkvkf r
如 )v,v,v,x,x,x(FF 3232?
线性振动与非线性振动的最大区别：
线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理近似简化、图解、计算机处理研究方法：
微扰法二,非线性振动研究的方法及意义相平面法
振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。
4-1 简谐振动的动力学特征最简单最基本的线性振动。
简谐振动,一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（ 或角位移?）随时间 t按余弦
（或正弦）规律变化的振动。
)tc o s (Ax 0
一、弹簧振子模型弹簧振子,弹簧 — 物体系统平衡位置,弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧 — 质量忽略不计，形变满足胡克定律物体 — 可看作质点
k
x
O
m
kxF
2
2
dt
xdmkx
mk?2?
简谐振动微分方程 022
2
x
dt
xd?
单摆
022
2
dtd
结论,单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
角频率,振动的周期分别为：
g
lT
l
g?
22
0
0
当 时sin
s i nm g lM
二、微振动的简谐近似
gm?
f?
T?
C
O
m g ldtdml2
2
摆球对 C点的力矩
m g lM
l/g?2?
复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
022
2
dtd
结论,复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
sin当 时
gm?
h
C
O
2
2
dt
dIm g h
I
m g h?2?
其通解为：
一、简谐振动的运动学方程
)tc o s (Ax 0
022
2
xdt xd?
4-2 简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程
)ts i n ()tc o s ( 200
20
)ts i n (x
二,描述简谐振动的特征量
)tc o s (Ax 0
1,振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移 （ 或角位移 ） 的绝对值 。
)ts i n (Av 0
000 vv,xx,t
初始条件
00?c o sAx? 00?
s i nA
v
202
0 )
v(xA
频率?,单位时间内振动的次数 。
2,周期,频率,圆频率对弹簧振子
2
1
T
角频率?
22 T
k
mT?2?
m
k
2
1?
m
k
固有周期、固有频率、固有角频率周期 T,物体完成一次全振动所需时间 。
00 )Tt(c o sA)tc o s (A2?T
单摆
g
lT?2?
l
g
2
1?
l
g
复摆
m gh
IT?2?
I
m g h
2
1?
I
m g h
)ts i n (Av 0
0 是 t =0时刻的位相 — 初位相
000?c o sAxt 时
00 s i nAv 0
0
0 x
vt a n
3,位相和初位相 )tc o s (Ax
0
— 位相,决定谐振动物体的运动状态
0t
位相差 两振动位相之差。
12
当=2k?,k=0,± 1,± 2…,两振动步调相同,称 同相当=?(2k+1)?,k=0,± 1,± 2...
两振动步调相反,称 反相
0
2 超前于?1 或?1滞后于?2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落三、简谐振动的 旋转矢量表示法
0
t = 0A?
x
t+?0
t = tA?
)tc o s (Ax 0
o X
用旋转矢量表示相位关系
x
1A
2A
x
1A
2A
x
1A
2A
同相 反相
)tc o s (a)tc o s (Aa m 002
)tc o s (Ax 0
)tc o s (v)ts i n (Av m 200
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
t
o T
a
v
x..,avx
T/4 T/4
)2c o s ( tvv mx
)2c o s ( tA
)c o s ( taa mx
)c o s (2 tA
由图可见：
2
va 超前
2
xv 超前
x
t+?
o
·
A?
mv
ma
090
090
例,如图 m=2× 10-2kg,
弹簧的静止形变为?l=9.8cm
t=0时 x0=-9.8cm,v0=0
⑴ 取开始振动时为计时零点，
写出振动方程；
（ 2）若取 x0=0,v0>0为计时零点，
写出振动方程,并计算振动频率。 X
Om
x
解,⑴ 确定平衡位置 mg=k?l 取为原点
k=mg/?l
令向下有位移 x,则 f=mg-k(?l +x)=-kx
作谐振动 设振动方程为
)tc o s (Ax 0
s/r a d.,lgmk 100 9 80 89
由初条件得
,)xv(a r c t g 0
0
0
0
mvxA 0 9 802020,)(
由 x0=Acos?0=-0.098<0? cos?0<0,取?0=?
sr a d /10
振动方程为,x=9.8?10-2cos(10t+?) m
(2)按题意 t=0 时 x0=0,v0>0
x0=Acos?0=0,cos?0=0?0=?/2,3?/2
v0=-A?sin?>0,sin?0 <0,取?0=3?/2
x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m
对同一谐振动取不同的计时起点?不同，但?,A不变
Hz
l
g
6.1
2
1
2
X
Om
x
固有频率例,如图所示，振动系统由一倔强系数为 k的 轻弹簧、
一半径为 R,转动惯量为 I的 定滑轮和一质量为 m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期 T.
T
m
T
mg
a
2F
m
o
x
k
JR解：取位移轴 ox,m在平衡位置时，设弹簧伸长量为?l,则
0 lkmg?
T
m
T
mg
a
2F
m
o
x
k
JR当 m有位移 x时
maTmg
RaJRxlkT )(
联立得
aRJRkx?
2
022
2
xRJm kdt xd
物体作简谐振动
22 RJm
k
k
RJmT 222
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。
431.
431.?
715.
715.?
0
1 )(st
)( 1?cm sv
解：方法 1
100 715 c m s.s i nAv
)tc o s (Ax 0
设振动方程为
0020 c o sAa
1431 c m svA m,
2
1
431
7150
0,
.
A
vs i n
6560 或?
00 00c o s,a 则
60
17151 c m svt,
2
1
61 mv
v
A
v
)s i n (
6116761 或
01
0
0
1
)c o s (
,a
则
6761
1143 s. cmvA m 10
143
431
.
.
故振动方程为
cmtx )c o s ( 610
方法 2,用旋转矢量法辅助求解。
)c o s ( tAx
)c o s ()s i n ( 2 tvtAv m
1431 c m sAv m,?
0?t
st 1?
2
vo
v的旋转矢量与 v轴夹角表示 t 时刻相位 2
t
由图知
3
2
2 6
1 1 s
cmvA m 10143 431,,?
cmtx )c o s ( 610
以弹簧振子为例谐振动系统的能量 =系统的 动能 Ek+系统的 势能 Ep
某一时刻，谐振子速度为 v,位移为 x
)ts i n (Av 0 )tc o s (Ax 0
2
2
1 mvE
k?
)t(s i nkA 02221
2
2
1 kxE
p?
)t(c o skA 02221
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
4-3 简谐振动的能量动能
2
2
1 mvE
k?
)t(s i nkA 02221
势能
221 kxE
p?
)t(c o skA 02221
情况同动能。
ppp EEE,,m i nm a x
0m i n?kE
2
4
11 kAdtE
TE
Tt
t kk
2
m a x 2
1 kAE
k?
机械能
2
2
1 kAEEE
pk 简谐振动系统机械能守恒
x
tT
E
Ep
o
kp EE?
E
t
Ek
(1/2)kA2
由起始能量求振幅
k
E
k
EA 022
2
2
1 kAE?
实际振动系统系统沿 x轴振动，势能函数为 Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。
在该位置（取 x=0） 附近将势能函数作级数展开
202
2
0 2
10 x)
dx
Ed(x)
dx
dE()(E)x(E
x
p
x
p
pp
微振动系统一般可以当作谐振动处理
00 dxdEx p 202
2
2
10 x)
dx
Ed()(E)x(E
x
p
pp
dx
)x(dEF p )kx(x)
dx
Ed(
x
p
02
2
一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为?
)c o s (AAAAA 1020212221 2
2211
2211
0
c o sAc o sA
s i nAs i nAtg
)tc o s (A)t(x 1011
)tc o s (A)t(x 2022
)tc o s (Ax
xxx
0
21
质点同时参与同方向同频率的谐振动,
合振动,
4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
2A
1A
A?
10?
20?
0?
1x2
x x
1M
2M
M
如 A1=A2,则 A=0
,,,kk 21021020
两分振动相互加强
21 AAA
,,,k)k( 210121020
两分振动相互减弱21 AAA
分析若两分振动同相：
若两分振动反相,
)c o s (AAAAA 1020212221 2
合振动不是简谐振动式中 tAtA )2c o s (2)( 12
tt )2c o s (c o s 12
随 t 缓变随 t 快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二,同方向不同频率简谐振动的合成分振动 )tc o s (Ax
11
)tc o s (Ax 22
合振动
)tc o s (t)c o s (Ax 222 1212
21 xxx
当?21时,ttAx?c o s)(?则,1212
拍 合振动忽强忽弱的现象拍频,单位时间内强弱变化的次数? =|?2-?1|
x
t
x2
t
x1
t
12拍
12
2
T或：
*三、振动的频谱分析振动的分解,把一个振动分解为若干个简谐振动。
谐振分析,将任一周期性振动分解为各个谐振动之和 。
若周期振动的频率为,?0
则各分振动的频率为,?0,2?0,3?0
(基频,二次谐频,三次谐频,… )
按傅里叶级数展开
)t(x)Tt(x
1
0
2 n nn )tns i nbtnc o sa(
a)t(x
T
22
方波的分解
x
0 t
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
t0
x1+x3+x5+x0
ts i nAts i nAts i nAAx 55233222
x
o t
锯齿波
A
0 3?05?0
锯齿波频谱图一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动 。
x
o t阻尼振动曲线阻尼振动频谱图
o?
A
*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
分振动
)tc o s (Ax 101
)tc o s (Ay 202
0( 1 ) 1020 02
21
)AyAx( xA
Ay
1
2?
合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线
1
2
A
A斜率质点离开平衡位置的位移讨论
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (AAyxS 222122
1020( 2 ) 02
21
)AyAx( xAAy
1
2
合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线
1
2
A
A?斜率质点离开平衡位置的位移
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (AAyxS 222122
2( 3 ) 1020
1
2
2
1
2
AyAx
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
y
x
)tc o s (Ay 2101
y
x
2( 4 ) 1020
合振动的轨迹为以 x轴和 y轴为轴线的椭圆
)tc o s (Ax 101
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
)(s i n)c o s (A yAxAyAx 102021020
21
2
2
2
2
1
2
2
)tc o s (Ay 2101
= 5?/4= 3?/2= 7?/4
= 0
=?
=?/2= 3?/4
Q
=?/4
P·.
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
*五,垂直方向不同频率可看作两频率相等而?2-?1随 t 缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 。
轨迹称为 李萨如图形
y
x
A1
A2o-A2
-A1简谐振动的合成
)()( xyxy t
4
0
23
xy
yx
,
::
两分振动频率相差很小两振动的频率成 整数比李萨如图形
21,31,32:
一,阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
摩擦阻尼：
系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。
辐射阻尼：
振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。
4-5 阻尼振动 受迫振动 共振阻尼振动的振动方程 （系统受到弱介质阻力而衰减）
振子动力学方程
2
2
dt
xdm
dt
dxkx
振子受阻力
dt
dxvf
r
02 202
2
xdtdxdt xd
m
k?
0?
系统固有角频率
m2
阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，
介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比
— 阻力系数弱阻尼弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，
周期越接近于谐振动。
0
)tc o s (eAx t 00
220
02
2
0
222
T
阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来
0
te)tcc(x 21
过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置
0
t)(
t)(
ec
ecx
2
0
2
2
0
2
2
1
二,受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动 。
弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程
ptc o sFtddxkxtd xdm 02
2
tpc o sfxtddxtd xd 202
2
2
令
m
k?
0?
m
Ff,
m,
0
0
2
周期性外力 —— 策动力 ptc o sFF
0?
稳定解 )ptc o s (Ax
(1)频率,等于策动力的频率?
(2)振幅,
2122222
0
0
4 /]p)p[(
fA
(3)初相,
22
0
2
p
ptg
特点,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化
)ptc o s (A)t( c o seAx t 00
阻尼振动 简谐振动三,共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。
1、位移共振
(1)共振频率,
220 2rp
(2)共振振幅,
22
0
0
2
fA r
2,速度共振一定条件下,速度振幅极大的现象。
速度共振时,速度与策动力同相,一周期内策动力总作正功,
此时向系统输入的能量最大 。
0rp?20fv mr?
)pts i n (pAv
22222
0
0
4 p)p(
pfpAv
m
不能用线性微分方程描述的振动称为 非线性振动 。
1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：
振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数,
如漏摆、荡秋千。
*4-6 非线性振动简介一,非线性振动概述单摆（或复摆）
的回复力矩 )!!(m g lM 53 53
自激振动
1、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数如 3
3221 vkvkvkf r
如 )v,v,v,x,x,x(FF 3232?
线性振动与非线性振动的最大区别：
线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理近似简化、图解、计算机处理研究方法：
微扰法二,非线性振动研究的方法及意义相平面法
