第一章运 动 的 描 述习 题 课质点运动的矢量描述位矢和位移
r? 运动方程,)(trr
位移,)()(
1212 tt rrrrr
P
Γ
O
r(t)?
t
rv
dt
rd
t
r
t
trttrv
tt
00
lim)()(lim
速度和速率
t?
sv
dt
ds
t
sv
t
0
lim
主要内容回顾加速度
12
12 )()(
tt
tvtv
t
va
2
2
0
lim)(
dt
rd
dt
vd
t
vta
t
kzjyixr
直角坐标系中的位置矢量、速度和加速度
kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdt rdv zyx
kajaiakdtdvjdtdvidtdvdt vda zyxzyx
任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理平面极坐标系中的径向速度和横向速度
dt
edre
dt
dr)er(
dt
d
dt
rdv r
rr
e
dt
dre
dt
dr
r
加速度的禀性方程
nv
dt
dvaaa
n
2
a
na
a
圆周运动中的切向加速度和法向加速度
nRvdtdva
2
圆周运动的角量描述
O X
R
1v?2v
s?
A
B
t?A
ttB 角位移角位置角速度角加速度
dt
d
tt
0
l i m
2
2
0
lim dtddtdt
t
2
2
s
R
R
v
a
R
dt
d
R
dt
dv
a
R
dt
d
R
dt
d
v
n
刚体定轴转动转动平面 转轴参考方向
P
X
各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、
角加速度）都相同角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
rv
v?
r?
加速转动 方向一致减速转动 方向相反相对运动伽利略变换
o aaa
tt
伽利略变换 式
rrr o
A,B,C三个质点相互间有相对运动
BAAB vv
BCABAC vvv
力学的相对性原理 动力学定律在一切惯性系中都有相同的数学形式 。这个结论进一步推广为,对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的 。
讨论题
1、一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图所示请回答下列问题：
质点在运动过程中是否变化？dtdv)( 1
是否变化？dt vd
)( 2
（ 3）法向加速度是否变化？
（ 4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？
0?
y
xO
0v
n
n
a
v
g
v
a
2
2
c os法向加速度
0?
y
xO
0v
在轨道起点和终点 an值最小,v=v0值最大。
在最高点 an值最大,v=v0cos?0最小 。
因此在起点和终点曲率半径的值一定最大，
在最高点值最小。
0
2
0
2
c o sg
v
a
v
n
最大值的运动是什么运动？
的运动是什么运动？
0
02
dt
vd
dt
vd
.
3、如图所示，设物体沿着光滑圆形轨道下滑，
在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？
O
R
（ 1）物体的加速度方向永远指向圆心。
（ 2）物体的速率均匀增加。
（ 3）物体所受合外力大小变化，
但方向永远指向圆心。
（ 4）轨道的支持力大小不断增加。
0 adtvd?
0adtvd
O
R
在下滑过程中，物体做圆周运动。
R
vmmgN 2s in
R
vmmgN 2s in
下滑过程中都在增大外力有重力和支持力，后者大小方向均变化，所以合外力的大小与方向都变化。
N?
gm?
典型例题
1、一质点沿 x轴运动，其加速度为 a=4t(SI制 ),当 t=0时，
物体静止于 x=10m处。试求质点的速度，位置与时间的关系式。
解：
tdtdva 4 t d tdv 4
tv t d tdv 00 4 22 tv
22 t
dt
dxv dttdx 22
tx dttdx 0 210 2 1032 3 tx
2、路灯离地面高度为 H，一个身高为 h的人，在灯下水平路面上以匀速度 步行。如图所示。求当人与灯的水平距离为 x时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。
0v
H
h
x
0v
O
x?
x
y
解：建立如图坐标,t时刻头顶影子的坐标为 x+x'
dt
xd
v
dt
xd
dt
dx
dt
xxd
v
0
)(
H
h
x
0v
O
x?
x
y
x
h
xx
H
hH
hxx
hH
hv
dt
xd
0
0
0
0 vhH
H
hH
hvvv
解：实际上可以用求面积的方法。
mx 2 2 1212 2152 )().(
3.一质点沿 x轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，如
t=0时，质点位于坐标原点，求,t=4.5秒时，质点在 x
轴上的位置。
t(s)
v(m/s)
-1
2
1
0 5.2
5.41 2 3
4
2
1
t
t x
dt)t(vx?
4、一小钢球，从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶点下滑。求：小球脱轨时的角度 θ
θθ
t = 0
n
N?
gm?R
m
)(c o s 1
2
R
vmNmg
)(s i n 2
dt
dvmmg
R
v
d
dv
dt
d
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dv
dt
dvg
s i n
v v d vdgR 00s in
)()c o s( 3
2
1
2
vgR
解：
由式 (1)得：
由 (3),(4)可解得：
0?N脱轨条件：
)(c o s 4
2
R
vmmg
)()c o s( 3
2
1
2
vgR
3
2
3
2 a r c c o sc o s
解：
5,一质点从坐标原点出发沿 x轴作直线运动，初速度为
v0,它受到一阻力 -av2作用,试求,v = v (t ),x = x (t )
得：
dt
dvmv 2 v
v
t
v
dvdt
m 0 20
mtvdt
dxv
01
1
tx
mtv
dtdx
0
0
0 1?
)ln (
m
tvmx 01?
6.在湖面上以 3m/s的速度向东行驶的 A船上看到 B船以
4m/s的速率从北面驶近 A船。
(1)在湖岸上看,B船的速度如何？
(2)如果 A船的速度变为 6m/s(方向不变 )，在 A船上看 B
船的速度又为多少？
解,(1)设岸上的人看到 A船的速度为
B船的速度为 A船看到 B船的速度为
Av
Bv
v?
Av
Av
v? Bv?
由伽利略速度变换，可有
AB vvv
Av
Av
v? Bv?
smvvv AB /543 2222
4
3
v
vtg A? 0936,
smv A /6?
smvv B /5
Av
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任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。
—— 运动的独立性原理 或 运动叠加原理平面极坐标系中的径向速度和横向速度
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圆周运动中的切向加速度和法向加速度
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圆周运动的角量描述
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角加速度）都相同角速度方向规定为沿轴方向，
指向用右手螺旋法则确定。
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加速转动 方向一致减速转动 方向相反相对运动伽利略变换
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伽利略变换 式
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A,B,C三个质点相互间有相对运动
BAAB vv
BCABAC vvv
力学的相对性原理 动力学定律在一切惯性系中都有相同的数学形式 。这个结论进一步推广为,对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的 。
讨论题
1、一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图所示请回答下列问题：
质点在运动过程中是否变化？dtdv)( 1
是否变化？dt vd
)( 2
（ 3）法向加速度是否变化？
（ 4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？
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3、如图所示，设物体沿着光滑圆形轨道下滑，
在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？
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（ 1）物体的加速度方向永远指向圆心。
（ 2）物体的速率均匀增加。
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但方向永远指向圆心。
（ 4）轨道的支持力大小不断增加。
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在下滑过程中，物体做圆周运动。
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1、一质点沿 x轴运动，其加速度为 a=4t(SI制 ),当 t=0时，
物体静止于 x=10m处。试求质点的速度，位置与时间的关系式。
解：
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3.一质点沿 x轴作直线运动，其 v-t曲线如图所示，如
t=0时，质点位于坐标原点，求,t=4.5秒时，质点在 x
轴上的位置。
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由 (3),(4)可解得：
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5,一质点从坐标原点出发沿 x轴作直线运动，初速度为
v0,它受到一阻力 -av2作用,试求,v = v (t ),x = x (t )
得：
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(2)如果 A船的速度变为 6m/s(方向不变 )，在 A船上看 B
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