王 玮信息与通信工程系中南大学信息科学与工程学院第二章 连续时间信号的时域分析知识脉络信息 消息 信号映射信息传输 信号处理信号分析信号分类信号描述转换数学抽象信号特性时域 分析 变换域分析频域 分析复频域 分析相互联系密切确定性
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统知识脉络信息 消息 信号映射信息传输 信号处理信号分析信号分类信号描述转换数学抽象信号特性时域分析 变换域分析频域 分析复频域 分析相互联系密切确定性
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统
第 2章 连续 时间信号的 时域 分析我们每时每刻都生活在时间的环境当中,感受着时间的关爱和惩罚：我们的生命在与时间赛跑,我们交通工具汽车,火车,飞机的运行都是按时间进行的,我们按时间上课,吃饭,睡觉,
我们聊天,打扑克,玩游戏都消磨着时间,可见时间是我们最熟悉的名词 （ 物理量 ）,所以说在时间域里分析信号也是最直观的 。
连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析信号大小与时间的关系就是其与时间的函数关系,
既然是函数,也就是信号之间以及本身信号有着我们熟知的加减乘除,求导,积分等运算,如看电视图像的同时也能听到对应的声音,说明图像信号与声音信号是加在一起同时传送到我们电视机的；我们与航天员通话时会感到声音要慢一些,是因为传送声音的电磁波也要走路 （ 速度是 30万千米 /秒 ）,而在一般情况下就没这个感觉,是因为路程太短了,我们感觉不到 …
时域分析法,在时域中研究信号的大小及 特性,
波形的参数 （ 函数描述 ）
出现的先后 （ 平移 ）
持续时间的长短 （ 展缩 ）
重复周期的大小 （ 变化快慢 ）
信号的 时域分解与合成 （ 相加,相乘,卷积 ）
引言信号运算本章从信号的时域特性出发,介绍时域普通信号和奇异信号的基本运算及特殊运算 。 在时域中,表示信号的函数的自变量都是时间 。
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分本章重点重点一 各类信号的基本运算重点二 卷积积分及应用本章难点难点一 奇异信号的运算难点二 卷积积分及其物理意义连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分信号间的基本运算信号间的基本运算包括二信号之间的相乘,相加 。 这二种运算在今后的信号处理中应用也是最多的：把连续变化的模拟信号 f(t)变换成不连续的数字信号的第一步处理就是将 f(t)与另一个不连续的方波信号 s(t)相乘 （ 称之为抽样,或取样,采样 ）,
而要把我们看的或听的信号 f(t)从一个地方输送到另一个地方,对 f(t)的处理中很重要的一步也是将与另一个载波信号 s(t)相乘 （ 称为调制,这是其中一种方法 ） 。
信号间的基本运算有用信号 f(t)在传输过程中容易受到外界不良信号 n(t)的干扰,这种干扰的过程通常是相加的,即 f(t)+n(t),其结果我们是经常见到的,如收听电台的时候有杂音或啸叫,看电视的时候图像有时候不清楚,这是对连续信号 f(t)的影响,而对数字信号 f(t)的影响就是可能使我们得到相反的结果 。
信号相乘的特点,各个信号在 t1 时刻的值 f1(t1)，
f2(t1),…,fi(t1),… 相乘，得到的是新信号在 t1时刻的值 y(t1),即：
tftftfty i21
相 乘若干个信号 f1(t),f2(t),…,fi(t),… 相乘可得到新信号 y(t),他们之间的关系如下：
112111 tftftfty i
相乘 一般信号间的相乘普通信号与奇异信号的相乘奇异信号,具有简单的数学形式,或者有不连续点,
或者它的 n 阶导数有不连续点 （ 也就是说它可以有有限阶的连续导数 ） 的信号 。 如第一章中介绍的斜坡信号,阶跃信号,冲激信号及冲激偶信号等都是奇异信号 。
普通信号与奇异信号的相乘遵循相乘的特点：若干个信号在 t1 时刻的值相乘,得到新信号在 t1 时刻的值 。 因奇异信号的不同可以分为：
⑴ 奇异信号为阶跃信号
⑵ 奇异信号为冲激信号相乘 普通信号与奇异信号的相乘
t
tf1
t
tf1
1 2
t
1
o
tf2
1?
1 2 3
t
54
1
o
tf3
1?
t
ty1
o1?
t
ty2
o1? 1 2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
⑴ 奇异信号为阶跃信号
t
tf1
1 2 3
t
54
1
o
tf3
1?
t
ty2
o1? 1 2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘从这个例可以看出,阶跃信号具有很强的 单边特性,
可方便地将各种非因果信号 （ 双边信号 ） 转变成因果信号
（ 单边信号 ） 。
对任何一个连续时间信号 f(t)而言,如不特别指明,其作用 （ 或出现 ） 的时间一般为－ ∞＜ t＜ ∞,这就是双边信号；但连续信号 f(t)与阶跃信号 u(t)相乘后,即成为单边信号,其作用 （ 或不为零 ） 的时间由阶跃信号定 。 因此,利用阶跃信号就能恰当地表示信号接入电路 （ 或系统 ） 的时间,即：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
1
1
1 0 tt
tttfttutf
根据冲激信号的定义：
δ(t)与 f(t)相乘的结果为：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
⑵ 奇异信号为冲激信号此关系称为冲激信号的筛选特性或乘积特性。
1
0)0(
00
0
0
dttdtt
t
t
t
00
0
000
0
0
0
0
tttf
tttf
ttttttf
tttf
tttf
tf
ttf
tttf
ttf
ttf 0
00
00
00
解,我们由图可以得到的表达式为：
利用前面冲激信号的筛选特性，有：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘例 2.3：如图所示二信号,f1(t),f2(t),试求 y(t)=f1(t)× f2(t),并画出 y(t)信号的波形 。
tf1
o
t
1 2 3
t
o
tf2
1?2?
1
ty
1 2 3
t
o1?2?
1
i
ittf?2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘可见,当一个任意信号 f1(t)与强度相同 （ 设为 A,此题
A=1）,延时不同的冲激信号序列 f2(t)（ 当延时相同时称为周期冲激序列 ） 相乘,其结果是延时与 f2(t)相同的 冲激序列,但各延时处 （ t = i） 的强度等于 f1(i),而不是 A 了 。
i
ittftftfty?121
ttfttfttf 111 12?
21 11 ttfttf
tftftf 01122 111?
2211 11 tftf
i
itif?1
理想抽样相乘 一般信号间的相乘例 2.4,如图所示二信号,f1(t),f2(t),试求
y(t)= f1(t)× f2(t),并画出 y(t) 信号的波形 。
（ 这里为方便仅画出单边的信号 ）
t
tf1
1 2 3
t
5 6 74
1
o
tf2
t
ty
相乘 一般信号间的相乘信号相乘的实际应用很多,调制 和 抽样是最具代表性的两类应用 。
比如 P26,P27图 2.5中信号 f1(t)为频率较低的模拟信号 （ 低频信号 ）,f2(t)是频率很高的模拟信号 （ 高频信号 ）,f3(t)频率较高的 数字信号 。
相乘 一般信号间的相乘
f1(t)好比 是乘客,f2(t)好比是汽车,调制的一个作用就是在发送端,乘客 f1(t)坐上汽车
f2(t),得到 f1(t)f2(t)（ 这个过程就叫调制 ）,汽车 f2(t)把乘客
f1(t)送到目的地 —— 接收端 （ 这个过程叫传输 ）,最后乘客 f1(t)
从汽车 f2(t)下来 （ 这个过程就叫解调 ） 。
tf1
t
tf2
t
tf2
t
⑴ 调制相乘 一般信号间的相乘也称为采样,取样 。
把信号 f1(t),f3(t)相乘得到 f1(t)f3(t),其特点是：
在 f3(t)为零的各段时间
f1(t)f3(t)=0,在 f3(t)不为零 （ 假设为 1） 的各段时间 f1(t)f3(t) = f1(t),这个过程称为抽样 。
⑵ 抽样
tf1
t
t
tf3
tftf 31
t
若干个信号 f1(t),f2(t),…,fi(t),… 相加可得到新信号 y(t)，他们之间的关系如下：
信号相加的特点,各个信号在 t1时刻的值 f1(t1)，
f2(t1),…,fi(t1),… 相加,得到的是新信号在 t1时刻的值
y(t1),即：
相 加
tftftfty i21
112111 tftftfty i
相 加例 2.7 已知信号,f1(t),f2(t),f3(t),f4(t),试画出
y(t) = f1(t) - f2(t) - f3(t) + f4(t) 的信号波形 。
y(t) = [ f1(t) - f2(t) ]-[f3(t)- f4(t)]= y1(t) - y2(t)
t
tf1
1
o 1
t
tf3
o 1 2 3 4
t
ty1
o 1 2 3 4
1
t
tf2
o 1 2
1
t
tf4
o 1 2 3 4
t
ty2
o 1 2 3 4
1
t
ty
o 1 2 3 4
1
t
ty1
o 1 2 3 4
1
t
ty2
o 1 2 3 4
1
相 加几个信号的相加在实际应用中也非常多,典型的有下面二种情况：我们要传输的有模拟信号
f1(t),数字信号 f2(t),在传输过程中会受到干扰或噪声 （ 假设为一种变化缓慢的模拟信号 n(t)）
的影响,分别得到 f1(t)+n(t)（ 会给我们听的声音变调,看的图象畸变 ）,f2(t)+n(t)（ 会使我们的判断错误：如高电平可能会判为低电平,而低电平则可能被判为高电平 ） 。
相 加
tf1
t
tf2
t
t
tn
t
tn
tntf?1
t
tntf?2
t
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分普通信号的运算 平 移形如将 f(t)变化为 f(t+b)的运算称为信号的平移,这里的 b 可以大于零,也可以小于零 。
其它0
021
101
t
tt
tf例,已知
tf
t
2?
1
1
普通信号的运算 平 移画出信号 f(t+1),f(t-1)的波形 。
其它其它 0
131
01
0
0121
11011
1 t
tt
t
tt
tf
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
111
212
0
0121
11011
1 t
tt
t
tt
tf
1?tf
t
1?
1
2
1?tf
t
1
1?3?
可以看出：
f(t+b)中
b > 0 左移,
b < 0 右移 ！
普通信号的运算 展 缩形如将 f(t)变化为 f(at)或 Af(t)的运算称为信号的展缩 。 由于 Af(t)只是对 Af(t)作幅度上 A
比例的展缩,也称为信号的数乘,大家一般都比较熟,故此处不再多述 。 这里所谈的展缩是指 f(t)向 f(at) 的变化,其中这里的 a可以大于 1,也可以小于 1。
普通信号的运算 展 缩画出信号 f(2t),f(0.5t)的波形 。
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
011
50021
0
0221
12021
2 t
tt
t
tt
tf
.
其它其它 0
041
20501
0
05021
1500501
50 t
tt
t
tt
tf
.
.
..
.
5.0
tf 2
t
1
1?
1
tf 5.0
t
4? 2
可以看出,f(at)中 a > 1压缩,a< 1 扩展 ！
普通信号的运算 翻 转形如将 f(t)变化为 f(-t)的运算称为信号的翻转 。
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
201
011
0
021
101
t
tt
t
tt
tf
tf?
t
1?
1
2
普通信号的运算以上对信号 f(t)的平移 f(t+b),展缩 f(at)和翻转 f(-t)运算都是孤立进行的,而我们经常遇到的是它们的组合运算 f(-at+b) 。 对这样的组合运算,我们的方法同样可以有二种：
先计算,再画图；按上面孤立运算的结论,
逐步实现 。
普通信号的运算例,已知 f(t)图象如图所示,试画出 f(3-2t)的图象 。
解,本例题包含信号三种基本运算 （ 平移,展缩,
翻转 ）,在这三种基本运算中可以看到最终结果将与运算先后顺序无关 。 下面将采用两种不同运算过程进行讨论 。
tf
t
1?
1
o 1 2
其它0
211
10
t
tt
tf
其它其它其它 0
15.01
5.1123
0
1221
22323
0
22311
123023
23
t
tt
t
tt
t
tt
tf
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
普通信号的运算第一种方法：
第二种方法：
tf
t
1?
1
o 1 2
tf?3
t
1?
1
o3? 2? 1?
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
tf 23?
t
1?
1
o2? 1?
tf
t
1?
1
o 1 2
tf 2
t
1?
1
o 1
tf 2?
t
1?
1
o1?
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
5.1223 tftf
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分奇异信号的运算由于奇异信号的特殊性,使得对它们的运算结果与对普通信号的运算结果有所不同,比如：对普通信号的展缩,翻转不会影响到它们的幅度,而对奇异信号做相同的运算,其幅度也有可能受到影响 。
本节除了讨论与普通信号相同的运算外,还要研究上节没有谈到的二者都有的运算及奇异信号所特有的运算 。
⒈ 冲激信号的抽样形如 的运算称为抽样,其中 p(t)为某一种奇异信号 。
奇异信号的运算 抽 样
dttptf
ttp
00 dttfdttfdtttf
0 fdtttf
奇异信号的运算 抽 样例,利用冲激信号的抽样性求下列积分值 。
2222 s i ns i ns i n dttdttt
22 222 dttt tdttt t s i ns i n
3 3 33 edttedtte t
541 1 14 3 3 dtdttt 令冲激偶信号的定义：
奇异信号的运算 抽 样
⒉ 冲激偶信号的抽样
ttp
t
dt
d
t
t
t
dt
d
t
0)0(
00
dtttfttfdtttf
dtttf?
0 fdtttf0 fdtttf
dttptf
奇异信号的运算 平 移
⒈ 冲激信号的平移
bttp
dttptf
dtbtbfdtbttf
dtbtbf?
bfdtbttf
奇异信号的运算 平 移
⒉ 冲激偶信号的平移
dttptfbttp
dtbttfbttfdtbttf
dtbttf?
bfdtbttfbfdtbttf
奇异信号的运算 展 缩
⒈ 冲激信号的展缩
dttptfbattp
,0?a
11 db
afadtbattf
abfadtbattf 1bfdtbttf
,0?a
11 db
afadtbattf
abfadbafa 111
abfadtbattf 1?
奇异信号的运算 展 缩
⒉ 冲激偶信号的展缩
dttptfbattp
11 dtbattfabattfadtbattf
1 dtbattfa?
abfadtbattf 1
a
bf
aadtbattf
1?
奇异信号的运算 翻 转与上一小节讨论普通信号的翻转 （ 由 f(t)到 f(-t)） 一样,
这里看 δ(-t)与 δ(t)的关系,与 的关系 。 比较前面几个式子：
bfdtbttf
abfadtbattf 1?
abtabat 1
bfdtbttf
a
bf
aadtbattf
1?
a
bt
aa
bat
1
tt
在上二式中分别令 a =-1,b = 0,则可以得到：
tttt
奇异信号的运算 导数与积分对某一信号求导数或求积分都可产生一个新的信号 。 对普通信号求导数,求积分其结果是比较简单的,
如：
ttdtd c o ss i n? 2
2
1 tdtt
这里主要是讨论对奇异信号的求导数,求积分,
以及包含有奇异信号的一般信号的求导数,求积分 。
奇异信号的运算 导数与积分
⒈ 奇异信号
⑴ δ(t)与 u(t)的关系,
t d τδtutu
dt
dt
tu
t
t
tddd
tdd
d
t
t
t
01
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
t
t
ttu
dt
d
ttu
dt
d
ttu
dt
d
tu
dt
d
00
00
00
0
00
0
奇异信号的运算 导数与积分
A
t
A
t
1t
t
A
A
t
1t
A
2t
A?
A
1t
t
A
A
A
2t1t
t
奇异信号的运算 导数与积分
⒈ 奇异信号
⑵ r(t)与 u(t)的关系：
trdtdtu t dutr
tutttuttudtdtrdtd
tdududu
tdudu
tdu
du
t
t
t
t
0
00
0
0
0
0
0
0
0
tt
t
t
0
000
00
tr
t
1
1
t
tu
奇异信号的运算 导数与积分
⒉ 一般信号例,求图所示信号 f(t)的导数形式,并画出导数图象 。
解,该信号是一个连续函数,其表达式为：
tf
t1 1
t
tf?
tf?
ttf 1 tftr
t
1
1
t
tu
奇异信号的运算 导数与积分例,
2122211 ttuttAttuttAttuttAtf
2111 ttAuttttAttAutf?
21221 ttttAttAuttAu
1t
t
tf?
A
12 ttA?
2t
A
2t
t
tf
1t
21222 ttttAttttA
奇异信号的运算 导数与积分例,
2121 tututtf
2121221 ttttututftf
t1
1
2
1
1
2 t
tf
tf?
2
t
1
21?
)1(
ttutu 221
2121121 2 0 tudtuddf ttt
224141 22 tututttutt
2241 2 tutututt
tf 1?
t
2
1
奇异信号的运算 导数与积分
tf 1?
t
2
1
1
1
2 t
tf或,
0?t 0
t df
2?t
tt dfdfdfdf
2
0 2
0
tt dfdfdf 00
ttdt 2 411210
20 t
101210 2 0 d
即,
21
20
4
1
00
2
t
ttt
t
df
t
奇异信号的运算 导数与积分由前面奇异信号的求导,求积分,我们可以得到下面几点：
如果波形是一条双边无穷长的斜直线，对其求导数时，得到的是一条双边无穷长的水平线（直流信号）；如果波形是一条单边无穷长的斜直线（斜坡信号），对其求导数时，得到的是一条单边无穷长的水平线（阶跃信号）；如果波形是一条有限长的斜直线，
对其求导数时，得到的是一条有限长的水平线。斜直线的斜率（包括符号）就是水平线的幅度。
奇异信号的运算 导数与积分如果波形在某点有跳变 （ 相当于从该处起有一个阶跃信号 ）,对其求导数时,在该点得到的是一个冲激信号,从左到右,如果是向上的跳变,得到的就是正的冲激信号,反之就是负的冲激信号 。 跳变的高度就是冲激信号的强度 。
求信号的积分时,要注意每一个积分式都是一个关于时间的定积分 （ 也就是有一个起始时间 ）,因此每一个积分式后都要跟 （ 即乘 ） 一个阶跃信号,该阶跃信号中括号里的量等于对应的积分上限减去积分下限 。
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分卷积积分卷积积分 （ 简称卷积 ） 是我们现在以及今后要用到的非常重要的一种运算 。
它起源于信号的分解,而应用于系统对信号的响应 。
卷积积分信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定
n
i
a ttitut
tiftiftuftftf
1
10∴
信号的分解表示
⒈ 任意信号均可以表示为阶跃信号的积分
…… …… …… ……
tf?2
tf
tf?
f i t?
0f
o
t
t? t?2 it?
tuftf 00?
ttuftftf 01
tttu
t
ftf
0
tttut tftfttutftftf 22222
ttitut tiftiftitutiftiftf i 11
…… …… …… ……
当 时,有,,,
信号的分解表示所以上式最后为：
n
n
i
a ttitut
tiftiftuftftf
1
10
0?dtti
f
t
tiftif
1
0 0 dtuftuftf
tt titutitutiftitutitutiftf i 11
…… …… …… ……
…… …… …… ……
tf
tf?
it?
f i t?
0f
o
t
t? t?2
信号的分解表示
⒉ 任意信号均可以表示为冲激信号的积分
tt ttutufttutuftf 000
tt ttuttutf 2
ttuttutftf 21
∴
n
ni
b tt
titutitutiftftf 1
dtftf
于是前式最后为：
或
dtftf
0
n
ni
b tt
titutitutiftftf 1
信号的分解表示如果是因果信号,则：
n
i
b tt
titutitutiftf
0
1
当 时,有,,,n 0?dtti
t
t
titutitu 1
卷积积分的定义信号 f1(t)与 f2(t)的卷积积分 f1(t)*f2(t)定义如下：
比较一下式前二式,可以发现这二式的运算关系就是卷积积分,分别为：
信号与冲激信号的卷积积分等于信号本身。
2121 dtfftftftf
ttftfdtftftf
00 0
ttfdtftf
0 0 dtuftuftf
dtftf
系统对信号的响应给系统输入一个信号 f(t),系统就会得到一个输出
y(t)。 这个 输入 又称 激励,输出 又称 响应 。 （ 当系统没有初始储能时 ） 输入单位冲激信号时的响应称为 冲激响应,
用 h(t)表示 （ 常把系统也用 h(t)来表示 ） ；输入单位阶跃信号时的响应称为阶跃响 应,用 g(t)表示；在时域中,
给系统输入任意信号 f(t)时的响应为：
tfty系统th
thtfty
显然也就有：
thtutg
卷积积分的图解法信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定图解法
dthfthtf例：
由上式可知卷积为两函数 与 的乘积与坐标轴所包围的面积：
fth
① 给出 与 （ 积分中 即,只是用 τ 表示输入（响应）瞬间以区别观察时间 t，但对 来说仅是变量代换 ）；
fh
② 为 对于纵轴的镜像波形 (翻转 )；hh
而 则是在 τ轴使 向右移位距离 t 而得。
ththh
ftf
f
图解法卷积是两函数乘积对于时间的连续积分 。 因此对于不同的时间 t,波形 在 τ轴上有着不同的位移,
两波形重迭部分随之变化,重迭面积大卷积值大,无重迭时卷积值为零 。 可见,波形重迭部分反映了卷积积分对时间 t的函数关系：
th
3?3
1
2
o 1 2
f
o 31 2
1
2
h
o1?2?
1
2
h
其它0 302 ttf 其它0 312 tth
ht
o
-3 -2 -1
1
2
1?t3?t 1?t3?t
ht
t
ft
o 1 2 3
1
2
ht
o 1 2 3
1
2
t
o
h
-3 -2 -1
1
2
o-5 -4
1
2
1 2 3-3 -2 -1 4 5
o-5 -4
t
2
4
1 2 3-3 -2 -1 4 5
图解法
)()( thtf?
6
dthfthtf
f
图解法
① 当,即 时,未与 重迭，故积分为零，即
fth
其它0
312 tth
其它0
132 ttth
3
01
t
t 1 t
0 thtf
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1?t
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1 t
图解法
② 当,即 时,与 第一部分重迭，积分限为：,,即：
0? 1?t
thf
03
01
t
t 31 t
142210 tdthtf t
0
814 3
1t
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1?t
o
323t? 1t?
2
1
f
th
31 t
o
323t? 1t?
2
1
f
th
3?t
图解法
③ 当 即,此时,的全部与 重迭，积分限为：,,即：
3?t? 1?t
thf
2
31
03
t
t
82213tt dthtf?
43 t
o
1
2
23t? 1t?
f
th
3
o
323t? 1t?
2
1
f
th
3?t
43 t
o
1
2
2
f
th
3t? 1t?
3
4?t
图解法
④ 当 即 时,与 有一部分重迭，积分限为：,,即：? 3?t
3
fth
o
1
2
2
f
th
3t? 1t?
3
4?t
31
33
t
t 64 t
tdthtf t 64223 3
8
064 6
4 t
o
1
2
3t? 1t?2 3
th
f
64 t
o
1
2
3t?
1t?2 3
thf
6?t
图解法
⑤ 当,即 时,与 没有重迭，故积分为零，即：
thf
o
1
2
3t?
1t?2 3
thf
6?t
1
33
t
t t6
0 thtf
o 3t? 1t?1 32
1
2
thf
t6
卷积积分积分限的确定信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定积分限的确定
h?
Ah Bh
hT
o
分段积分有如下规律：
① 当 时，卷积即 为零。除非 或,那么 起于 ；
AA fht AhAf
ty
ty
② 当 时，卷积即 为零。除非 或,那么 终于 ；
BB fht BhBf
ty
ty
o Bf
f
eT
Af
th
Ah?Bh?
f
o Af Bf
积分限的确定
Aht?Bht?
f
Af
BfAht?Bht?
f
Af
f
Af Bf
③ 时，卷积 。
BBAA fhtfh 0?ty
当 时,积分限分别为：
fh TT?
A
A
ht
f dthf
B
A
f
f dthf
B
B
f
ht dthf
积分限的确定
fh TT?
0 0
fT fT
A
A
ht
f d?
dB
A
f
fd
B
B
f
ht
ht
t
o 2 4
1
; 2,32 20 t tdtyt
; 1,43 10dtyt
1 4 5,54 t tdtyt
t
1o
1
tf
返 回积分限的确定如图：
t dtffdtfftftf 0 21 2121
22 ttutgtf11 ttutftf
tf
tf1
1t
t
o
t
o
tf2tg
2t
f
1f
1t
o
o
2fg
2t
积分限的确定
o
2fg
2t
1f
1t
o
o
2t?
g2f
o
2tt?
tgtf2
2tt?
0 t
tf2
2t?
0?t
2tt?
210 ttt
ttt 21
2tt?
2tt?
tftf 212
1
tt
t dtgf
t dtff
0 21
21 tttu
积分限的确定例：
？
32 123 4?dt,
;,12 321 43 t ttdt实际为
3
2
1?t
1?t2 3
1
1
2 3 2 31?t
3 4
正确的为3121321 tututututututu
3121321 tututututututu
dtuudtuu 3121
44331312 3121 tuttuttudtud tt
113123121 ttdd tt
卷积积分的性质信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定卷积的微分与积分
thdtdtfthtfdtdthtfdtd① 微分：
t tt dhtfhdfdhf
② 积分：
thtftytf 111
thtfdtdthtftytftf 12212
tythtfdtd 11
thdfthtftydftf tt 12212
tt dydhf 11
例,用卷积的微分性质求下列函数的卷积 。
tuetf t112 tutf
121 tudtdtuetftfdtd t
11 121 tuettuetftf tt?∴
卷积的微分与积分
1 ttue t?
奇异信号的卷积特性
thTTtfthTtTtf 2121?
① 延迟特性 —— 是 T 秒的延迟器，即Tt
dTtfKdTtKfTtKtf
TtKfdTtTtfK
由此可知,时，0?TtKftKtf
2121 TTtTtTt
21 TTtthtf
212121 TTthtfTthTttfTthTtf∴
tftyth
TtKth
② 微分特性 —— 相当于微分器，即t
,2,1 ntfttf nn?∴
③ 积分特性 —— 相当于积分器，即tu
t t dfdtufdtftutf
tfftf 111
,2,1
! 1,
1
1
ntftftu
n
ttftutf nn
奇异信号的卷积特性
dtfdtfttf
dtftf
dttfdttf
tfttf
tth
tth
它表明，系统的零状态响应既可以表示为信号与其冲激响应的卷积积分，也可表示为信号的导数与系统的阶跃响应的卷积积分。
ttt dhdhdhtthtutS 0
利用以上特性也可求出系统的阶跃响应：
ttzs dtSftStfdhtfthtfty 00
则系统的零状态响应可表示为 （杜阿密积分）,
tfttftftutf 21121
tftftftftftf 21112121④ 等效特性：
奇异信号的卷积特性
tututtftutututf 32 21 c o s,
求卷积：
12121 tftftftf利用
321 ttttf有例 题
to
tf1
3
1
to
tf1?
3
1
1
2
to
tf2
3
1
to
tf 12?
3
1
to
tf 12?
3
1
tututttttftf s i n3221
222 tuttuttuttut s i ns i ns i ns i n
4333 tuttut s i ns i n
22 tututtutut s i ns i n
433 tututs i n
t t dudutf 12 c o sc o s
t t tututtudtud 0 s i nc o sc o s
例 题卷积的代数运算
① 交换律：
tftftftf 1221
例,tuetf t11
2 ttutf
dtutuetftf 121
dtueutftf t1 12
110 tudtet
1 1 tudet t
卷积的代数运算
ththtfththtfththtf 122121
② 结合律：
thtfthtfthtftf 2121③ 分配律：
例,tuettututuet tt
tuetuet tt
tuettu t
ttutuettutuet tt
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统知识脉络信息 消息 信号映射信息传输 信号处理信号分析信号分类信号描述转换数学抽象信号特性时域分析 变换域分析频域 分析复频域 分析相互联系密切确定性
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统
第 2章 连续 时间信号的 时域 分析我们每时每刻都生活在时间的环境当中,感受着时间的关爱和惩罚：我们的生命在与时间赛跑,我们交通工具汽车,火车,飞机的运行都是按时间进行的,我们按时间上课,吃饭,睡觉,
我们聊天,打扑克,玩游戏都消磨着时间,可见时间是我们最熟悉的名词 （ 物理量 ）,所以说在时间域里分析信号也是最直观的 。
连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析信号大小与时间的关系就是其与时间的函数关系,
既然是函数,也就是信号之间以及本身信号有着我们熟知的加减乘除,求导,积分等运算,如看电视图像的同时也能听到对应的声音,说明图像信号与声音信号是加在一起同时传送到我们电视机的；我们与航天员通话时会感到声音要慢一些,是因为传送声音的电磁波也要走路 （ 速度是 30万千米 /秒 ）,而在一般情况下就没这个感觉,是因为路程太短了,我们感觉不到 …
时域分析法,在时域中研究信号的大小及 特性,
波形的参数 （ 函数描述 ）
出现的先后 （ 平移 ）
持续时间的长短 （ 展缩 ）
重复周期的大小 （ 变化快慢 ）
信号的 时域分解与合成 （ 相加,相乘,卷积 ）
引言信号运算本章从信号的时域特性出发,介绍时域普通信号和奇异信号的基本运算及特殊运算 。 在时域中,表示信号的函数的自变量都是时间 。
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分本章重点重点一 各类信号的基本运算重点二 卷积积分及应用本章难点难点一 奇异信号的运算难点二 卷积积分及其物理意义连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分信号间的基本运算信号间的基本运算包括二信号之间的相乘,相加 。 这二种运算在今后的信号处理中应用也是最多的：把连续变化的模拟信号 f(t)变换成不连续的数字信号的第一步处理就是将 f(t)与另一个不连续的方波信号 s(t)相乘 （ 称之为抽样,或取样,采样 ）,
而要把我们看的或听的信号 f(t)从一个地方输送到另一个地方,对 f(t)的处理中很重要的一步也是将与另一个载波信号 s(t)相乘 （ 称为调制,这是其中一种方法 ） 。
信号间的基本运算有用信号 f(t)在传输过程中容易受到外界不良信号 n(t)的干扰,这种干扰的过程通常是相加的,即 f(t)+n(t),其结果我们是经常见到的,如收听电台的时候有杂音或啸叫,看电视的时候图像有时候不清楚,这是对连续信号 f(t)的影响,而对数字信号 f(t)的影响就是可能使我们得到相反的结果 。
信号相乘的特点,各个信号在 t1 时刻的值 f1(t1)，
f2(t1),…,fi(t1),… 相乘，得到的是新信号在 t1时刻的值 y(t1),即：
tftftfty i21
相 乘若干个信号 f1(t),f2(t),…,fi(t),… 相乘可得到新信号 y(t),他们之间的关系如下：
112111 tftftfty i
相乘 一般信号间的相乘普通信号与奇异信号的相乘奇异信号,具有简单的数学形式,或者有不连续点,
或者它的 n 阶导数有不连续点 （ 也就是说它可以有有限阶的连续导数 ） 的信号 。 如第一章中介绍的斜坡信号,阶跃信号,冲激信号及冲激偶信号等都是奇异信号 。
普通信号与奇异信号的相乘遵循相乘的特点：若干个信号在 t1 时刻的值相乘,得到新信号在 t1 时刻的值 。 因奇异信号的不同可以分为：
⑴ 奇异信号为阶跃信号
⑵ 奇异信号为冲激信号相乘 普通信号与奇异信号的相乘
t
tf1
t
tf1
1 2
t
1
o
tf2
1?
1 2 3
t
54
1
o
tf3
1?
t
ty1
o1?
t
ty2
o1? 1 2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
⑴ 奇异信号为阶跃信号
t
tf1
1 2 3
t
54
1
o
tf3
1?
t
ty2
o1? 1 2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘从这个例可以看出,阶跃信号具有很强的 单边特性,
可方便地将各种非因果信号 （ 双边信号 ） 转变成因果信号
（ 单边信号 ） 。
对任何一个连续时间信号 f(t)而言,如不特别指明,其作用 （ 或出现 ） 的时间一般为－ ∞＜ t＜ ∞,这就是双边信号；但连续信号 f(t)与阶跃信号 u(t)相乘后,即成为单边信号,其作用 （ 或不为零 ） 的时间由阶跃信号定 。 因此,利用阶跃信号就能恰当地表示信号接入电路 （ 或系统 ） 的时间,即：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
1
1
1 0 tt
tttfttutf
根据冲激信号的定义：
δ(t)与 f(t)相乘的结果为：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘
⑵ 奇异信号为冲激信号此关系称为冲激信号的筛选特性或乘积特性。
1
0)0(
00
0
0
dttdtt
t
t
t
00
0
000
0
0
0
0
tttf
tttf
ttttttf
tttf
tttf
tf
ttf
tttf
ttf
ttf 0
00
00
00
解,我们由图可以得到的表达式为：
利用前面冲激信号的筛选特性，有：
相乘 普通信号与奇异信号的相乘例 2.3：如图所示二信号,f1(t),f2(t),试求 y(t)=f1(t)× f2(t),并画出 y(t)信号的波形 。
tf1
o
t
1 2 3
t
o
tf2
1?2?
1
ty
1 2 3
t
o1?2?
1
i
ittf?2
相乘 普通信号与奇异信号的相乘可见,当一个任意信号 f1(t)与强度相同 （ 设为 A,此题
A=1）,延时不同的冲激信号序列 f2(t)（ 当延时相同时称为周期冲激序列 ） 相乘,其结果是延时与 f2(t)相同的 冲激序列,但各延时处 （ t = i） 的强度等于 f1(i),而不是 A 了 。
i
ittftftfty?121
ttfttfttf 111 12?
21 11 ttfttf
tftftf 01122 111?
2211 11 tftf
i
itif?1
理想抽样相乘 一般信号间的相乘例 2.4,如图所示二信号,f1(t),f2(t),试求
y(t)= f1(t)× f2(t),并画出 y(t) 信号的波形 。
（ 这里为方便仅画出单边的信号 ）
t
tf1
1 2 3
t
5 6 74
1
o
tf2
t
ty
相乘 一般信号间的相乘信号相乘的实际应用很多,调制 和 抽样是最具代表性的两类应用 。
比如 P26,P27图 2.5中信号 f1(t)为频率较低的模拟信号 （ 低频信号 ）,f2(t)是频率很高的模拟信号 （ 高频信号 ）,f3(t)频率较高的 数字信号 。
相乘 一般信号间的相乘
f1(t)好比 是乘客,f2(t)好比是汽车,调制的一个作用就是在发送端,乘客 f1(t)坐上汽车
f2(t),得到 f1(t)f2(t)（ 这个过程就叫调制 ）,汽车 f2(t)把乘客
f1(t)送到目的地 —— 接收端 （ 这个过程叫传输 ）,最后乘客 f1(t)
从汽车 f2(t)下来 （ 这个过程就叫解调 ） 。
tf1
t
tf2
t
tf2
t
⑴ 调制相乘 一般信号间的相乘也称为采样,取样 。
把信号 f1(t),f3(t)相乘得到 f1(t)f3(t),其特点是：
在 f3(t)为零的各段时间
f1(t)f3(t)=0,在 f3(t)不为零 （ 假设为 1） 的各段时间 f1(t)f3(t) = f1(t),这个过程称为抽样 。
⑵ 抽样
tf1
t
t
tf3
tftf 31
t
若干个信号 f1(t),f2(t),…,fi(t),… 相加可得到新信号 y(t)，他们之间的关系如下：
信号相加的特点,各个信号在 t1时刻的值 f1(t1)，
f2(t1),…,fi(t1),… 相加,得到的是新信号在 t1时刻的值
y(t1),即：
相 加
tftftfty i21
112111 tftftfty i
相 加例 2.7 已知信号,f1(t),f2(t),f3(t),f4(t),试画出
y(t) = f1(t) - f2(t) - f3(t) + f4(t) 的信号波形 。
y(t) = [ f1(t) - f2(t) ]-[f3(t)- f4(t)]= y1(t) - y2(t)
t
tf1
1
o 1
t
tf3
o 1 2 3 4
t
ty1
o 1 2 3 4
1
t
tf2
o 1 2
1
t
tf4
o 1 2 3 4
t
ty2
o 1 2 3 4
1
t
ty
o 1 2 3 4
1
t
ty1
o 1 2 3 4
1
t
ty2
o 1 2 3 4
1
相 加几个信号的相加在实际应用中也非常多,典型的有下面二种情况：我们要传输的有模拟信号
f1(t),数字信号 f2(t),在传输过程中会受到干扰或噪声 （ 假设为一种变化缓慢的模拟信号 n(t)）
的影响,分别得到 f1(t)+n(t)（ 会给我们听的声音变调,看的图象畸变 ）,f2(t)+n(t)（ 会使我们的判断错误：如高电平可能会判为低电平,而低电平则可能被判为高电平 ） 。
相 加
tf1
t
tf2
t
t
tn
t
tn
tntf?1
t
tntf?2
t
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分普通信号的运算 平 移形如将 f(t)变化为 f(t+b)的运算称为信号的平移,这里的 b 可以大于零,也可以小于零 。
其它0
021
101
t
tt
tf例,已知
tf
t
2?
1
1
普通信号的运算 平 移画出信号 f(t+1),f(t-1)的波形 。
其它其它 0
131
01
0
0121
11011
1 t
tt
t
tt
tf
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
111
212
0
0121
11011
1 t
tt
t
tt
tf
1?tf
t
1?
1
2
1?tf
t
1
1?3?
可以看出：
f(t+b)中
b > 0 左移,
b < 0 右移 ！
普通信号的运算 展 缩形如将 f(t)变化为 f(at)或 Af(t)的运算称为信号的展缩 。 由于 Af(t)只是对 Af(t)作幅度上 A
比例的展缩,也称为信号的数乘,大家一般都比较熟,故此处不再多述 。 这里所谈的展缩是指 f(t)向 f(at) 的变化,其中这里的 a可以大于 1,也可以小于 1。
普通信号的运算 展 缩画出信号 f(2t),f(0.5t)的波形 。
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
011
50021
0
0221
12021
2 t
tt
t
tt
tf
.
其它其它 0
041
20501
0
05021
1500501
50 t
tt
t
tt
tf
.
.
..
.
5.0
tf 2
t
1
1?
1
tf 5.0
t
4? 2
可以看出,f(at)中 a > 1压缩,a< 1 扩展 ！
普通信号的运算 翻 转形如将 f(t)变化为 f(-t)的运算称为信号的翻转 。
其它0
021
101
t
tt
tf
tf
t
2?
1
1
其它其它 0
201
011
0
021
101
t
tt
t
tt
tf
tf?
t
1?
1
2
普通信号的运算以上对信号 f(t)的平移 f(t+b),展缩 f(at)和翻转 f(-t)运算都是孤立进行的,而我们经常遇到的是它们的组合运算 f(-at+b) 。 对这样的组合运算,我们的方法同样可以有二种：
先计算,再画图；按上面孤立运算的结论,
逐步实现 。
普通信号的运算例,已知 f(t)图象如图所示,试画出 f(3-2t)的图象 。
解,本例题包含信号三种基本运算 （ 平移,展缩,
翻转 ）,在这三种基本运算中可以看到最终结果将与运算先后顺序无关 。 下面将采用两种不同运算过程进行讨论 。
tf
t
1?
1
o 1 2
其它0
211
10
t
tt
tf
其它其它其它 0
15.01
5.1123
0
1221
22323
0
22311
123023
23
t
tt
t
tt
t
tt
tf
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
普通信号的运算第一种方法：
第二种方法：
tf
t
1?
1
o 1 2
tf?3
t
1?
1
o3? 2? 1?
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
tf 23?
t
1?
1
o2? 1?
tf
t
1?
1
o 1 2
tf 2
t
1?
1
o 1
tf 2?
t
1?
1
o1?
tf 23?
t
1?
1
o 1 2
5.1223 tftf
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分奇异信号的运算由于奇异信号的特殊性,使得对它们的运算结果与对普通信号的运算结果有所不同,比如：对普通信号的展缩,翻转不会影响到它们的幅度,而对奇异信号做相同的运算,其幅度也有可能受到影响 。
本节除了讨论与普通信号相同的运算外,还要研究上节没有谈到的二者都有的运算及奇异信号所特有的运算 。
⒈ 冲激信号的抽样形如 的运算称为抽样,其中 p(t)为某一种奇异信号 。
奇异信号的运算 抽 样
dttptf
ttp
00 dttfdttfdtttf
0 fdtttf
奇异信号的运算 抽 样例,利用冲激信号的抽样性求下列积分值 。
2222 s i ns i ns i n dttdttt
22 222 dttt tdttt t s i ns i n
3 3 33 edttedtte t
541 1 14 3 3 dtdttt 令冲激偶信号的定义：
奇异信号的运算 抽 样
⒉ 冲激偶信号的抽样
ttp
t
dt
d
t
t
t
dt
d
t
0)0(
00
dtttfttfdtttf
dtttf?
0 fdtttf0 fdtttf
dttptf
奇异信号的运算 平 移
⒈ 冲激信号的平移
bttp
dttptf
dtbtbfdtbttf
dtbtbf?
bfdtbttf
奇异信号的运算 平 移
⒉ 冲激偶信号的平移
dttptfbttp
dtbttfbttfdtbttf
dtbttf?
bfdtbttfbfdtbttf
奇异信号的运算 展 缩
⒈ 冲激信号的展缩
dttptfbattp
,0?a
11 db
afadtbattf
abfadtbattf 1bfdtbttf
,0?a
11 db
afadtbattf
abfadbafa 111
abfadtbattf 1?
奇异信号的运算 展 缩
⒉ 冲激偶信号的展缩
dttptfbattp
11 dtbattfabattfadtbattf
1 dtbattfa?
abfadtbattf 1
a
bf
aadtbattf
1?
奇异信号的运算 翻 转与上一小节讨论普通信号的翻转 （ 由 f(t)到 f(-t)） 一样,
这里看 δ(-t)与 δ(t)的关系,与 的关系 。 比较前面几个式子：
bfdtbttf
abfadtbattf 1?
abtabat 1
bfdtbttf
a
bf
aadtbattf
1?
a
bt
aa
bat
1
tt
在上二式中分别令 a =-1,b = 0,则可以得到：
tttt
奇异信号的运算 导数与积分对某一信号求导数或求积分都可产生一个新的信号 。 对普通信号求导数,求积分其结果是比较简单的,
如：
ttdtd c o ss i n? 2
2
1 tdtt
这里主要是讨论对奇异信号的求导数,求积分,
以及包含有奇异信号的一般信号的求导数,求积分 。
奇异信号的运算 导数与积分
⒈ 奇异信号
⑴ δ(t)与 u(t)的关系,
t d τδtutu
dt
dt
tu
t
t
tddd
tdd
d
t
t
t
01
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
t
t
ttu
dt
d
ttu
dt
d
ttu
dt
d
tu
dt
d
00
00
00
0
00
0
奇异信号的运算 导数与积分
A
t
A
t
1t
t
A
A
t
1t
A
2t
A?
A
1t
t
A
A
A
2t1t
t
奇异信号的运算 导数与积分
⒈ 奇异信号
⑵ r(t)与 u(t)的关系：
trdtdtu t dutr
tutttuttudtdtrdtd
tdududu
tdudu
tdu
du
t
t
t
t
0
00
0
0
0
0
0
0
0
tt
t
t
0
000
00
tr
t
1
1
t
tu
奇异信号的运算 导数与积分
⒉ 一般信号例,求图所示信号 f(t)的导数形式,并画出导数图象 。
解,该信号是一个连续函数,其表达式为：
tf
t1 1
t
tf?
tf?
ttf 1 tftr
t
1
1
t
tu
奇异信号的运算 导数与积分例,
2122211 ttuttAttuttAttuttAtf
2111 ttAuttttAttAutf?
21221 ttttAttAuttAu
1t
t
tf?
A
12 ttA?
2t
A
2t
t
tf
1t
21222 ttttAttttA
奇异信号的运算 导数与积分例,
2121 tututtf
2121221 ttttututftf
t1
1
2
1
1
2 t
tf
tf?
2
t
1
21?
)1(
ttutu 221
2121121 2 0 tudtuddf ttt
224141 22 tututttutt
2241 2 tutututt
tf 1?
t
2
1
奇异信号的运算 导数与积分
tf 1?
t
2
1
1
1
2 t
tf或,
0?t 0
t df
2?t
tt dfdfdfdf
2
0 2
0
tt dfdfdf 00
ttdt 2 411210
20 t
101210 2 0 d
即,
21
20
4
1
00
2
t
ttt
t
df
t
奇异信号的运算 导数与积分由前面奇异信号的求导,求积分,我们可以得到下面几点：
如果波形是一条双边无穷长的斜直线，对其求导数时，得到的是一条双边无穷长的水平线（直流信号）；如果波形是一条单边无穷长的斜直线（斜坡信号），对其求导数时，得到的是一条单边无穷长的水平线（阶跃信号）；如果波形是一条有限长的斜直线，
对其求导数时，得到的是一条有限长的水平线。斜直线的斜率（包括符号）就是水平线的幅度。
奇异信号的运算 导数与积分如果波形在某点有跳变 （ 相当于从该处起有一个阶跃信号 ）,对其求导数时,在该点得到的是一个冲激信号,从左到右,如果是向上的跳变,得到的就是正的冲激信号,反之就是负的冲激信号 。 跳变的高度就是冲激信号的强度 。
求信号的积分时,要注意每一个积分式都是一个关于时间的定积分 （ 也就是有一个起始时间 ）,因此每一个积分式后都要跟 （ 即乘 ） 一个阶跃信号,该阶跃信号中括号里的量等于对应的积分上限减去积分下限 。
连续时间信号的时域分析普通信号的运算信号间的运算奇异信号的特殊运算卷积积分相乘相加平移展缩翻转 抽样平移展缩翻转（奇偶性）
求导积分卷积积分卷积积分 （ 简称卷积 ） 是我们现在以及今后要用到的非常重要的一种运算 。
它起源于信号的分解,而应用于系统对信号的响应 。
卷积积分信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定
n
i
a ttitut
tiftiftuftftf
1
10∴
信号的分解表示
⒈ 任意信号均可以表示为阶跃信号的积分
…… …… …… ……
tf?2
tf
tf?
f i t?
0f
o
t
t? t?2 it?
tuftf 00?
ttuftftf 01
tttu
t
ftf
0
tttut tftfttutftftf 22222
ttitut tiftiftitutiftiftf i 11
…… …… …… ……
当 时,有,,,
信号的分解表示所以上式最后为：
n
n
i
a ttitut
tiftiftuftftf
1
10
0?dtti
f
t
tiftif
1
0 0 dtuftuftf
tt titutitutiftitutitutiftf i 11
…… …… …… ……
…… …… …… ……
tf
tf?
it?
f i t?
0f
o
t
t? t?2
信号的分解表示
⒉ 任意信号均可以表示为冲激信号的积分
tt ttutufttutuftf 000
tt ttuttutf 2
ttuttutftf 21
∴
n
ni
b tt
titutitutiftftf 1
dtftf
于是前式最后为：
或
dtftf
0
n
ni
b tt
titutitutiftftf 1
信号的分解表示如果是因果信号,则：
n
i
b tt
titutitutiftf
0
1
当 时,有,,,n 0?dtti
t
t
titutitu 1
卷积积分的定义信号 f1(t)与 f2(t)的卷积积分 f1(t)*f2(t)定义如下：
比较一下式前二式,可以发现这二式的运算关系就是卷积积分,分别为：
信号与冲激信号的卷积积分等于信号本身。
2121 dtfftftftf
ttftfdtftftf
00 0
ttfdtftf
0 0 dtuftuftf
dtftf
系统对信号的响应给系统输入一个信号 f(t),系统就会得到一个输出
y(t)。 这个 输入 又称 激励,输出 又称 响应 。 （ 当系统没有初始储能时 ） 输入单位冲激信号时的响应称为 冲激响应,
用 h(t)表示 （ 常把系统也用 h(t)来表示 ） ；输入单位阶跃信号时的响应称为阶跃响 应,用 g(t)表示；在时域中,
给系统输入任意信号 f(t)时的响应为：
tfty系统th
thtfty
显然也就有：
thtutg
卷积积分的图解法信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定图解法
dthfthtf例：
由上式可知卷积为两函数 与 的乘积与坐标轴所包围的面积：
fth
① 给出 与 （ 积分中 即,只是用 τ 表示输入（响应）瞬间以区别观察时间 t，但对 来说仅是变量代换 ）；
fh
② 为 对于纵轴的镜像波形 (翻转 )；hh
而 则是在 τ轴使 向右移位距离 t 而得。
ththh
ftf
f
图解法卷积是两函数乘积对于时间的连续积分 。 因此对于不同的时间 t,波形 在 τ轴上有着不同的位移,
两波形重迭部分随之变化,重迭面积大卷积值大,无重迭时卷积值为零 。 可见,波形重迭部分反映了卷积积分对时间 t的函数关系：
th
3?3
1
2
o 1 2
f
o 31 2
1
2
h
o1?2?
1
2
h
其它0 302 ttf 其它0 312 tth
ht
o
-3 -2 -1
1
2
1?t3?t 1?t3?t
ht
t
ft
o 1 2 3
1
2
ht
o 1 2 3
1
2
t
o
h
-3 -2 -1
1
2
o-5 -4
1
2
1 2 3-3 -2 -1 4 5
o-5 -4
t
2
4
1 2 3-3 -2 -1 4 5
图解法
)()( thtf?
6
dthfthtf
f
图解法
① 当,即 时,未与 重迭，故积分为零，即
fth
其它0
312 tth
其它0
132 ttth
3
01
t
t 1 t
0 thtf
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1?t
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1 t
图解法
② 当,即 时,与 第一部分重迭，积分限为：,,即：
0? 1?t
thf
03
01
t
t 31 t
142210 tdthtf t
0
814 3
1t
o
3t? 1t? 1 32
1
2
fth
1?t
o
323t? 1t?
2
1
f
th
31 t
o
323t? 1t?
2
1
f
th
3?t
图解法
③ 当 即,此时,的全部与 重迭，积分限为：,,即：
3?t? 1?t
thf
2
31
03
t
t
82213tt dthtf?
43 t
o
1
2
23t? 1t?
f
th
3
o
323t? 1t?
2
1
f
th
3?t
43 t
o
1
2
2
f
th
3t? 1t?
3
4?t
图解法
④ 当 即 时,与 有一部分重迭，积分限为：,,即：? 3?t
3
fth
o
1
2
2
f
th
3t? 1t?
3
4?t
31
33
t
t 64 t
tdthtf t 64223 3
8
064 6
4 t
o
1
2
3t? 1t?2 3
th
f
64 t
o
1
2
3t?
1t?2 3
thf
6?t
图解法
⑤ 当,即 时,与 没有重迭，故积分为零，即：
thf
o
1
2
3t?
1t?2 3
thf
6?t
1
33
t
t t6
0 thtf
o 3t? 1t?1 32
1
2
thf
t6
卷积积分积分限的确定信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定积分限的确定
h?
Ah Bh
hT
o
分段积分有如下规律：
① 当 时，卷积即 为零。除非 或,那么 起于 ；
AA fht AhAf
ty
ty
② 当 时，卷积即 为零。除非 或,那么 终于 ；
BB fht BhBf
ty
ty
o Bf
f
eT
Af
th
Ah?Bh?
f
o Af Bf
积分限的确定
Aht?Bht?
f
Af
BfAht?Bht?
f
Af
f
Af Bf
③ 时，卷积 。
BBAA fhtfh 0?ty
当 时,积分限分别为：
fh TT?
A
A
ht
f dthf
B
A
f
f dthf
B
B
f
ht dthf
积分限的确定
fh TT?
0 0
fT fT
A
A
ht
f d?
dB
A
f
fd
B
B
f
ht
ht
t
o 2 4
1
; 2,32 20 t tdtyt
; 1,43 10dtyt
1 4 5,54 t tdtyt
t
1o
1
tf
返 回积分限的确定如图：
t dtffdtfftftf 0 21 2121
22 ttutgtf11 ttutftf
tf
tf1
1t
t
o
t
o
tf2tg
2t
f
1f
1t
o
o
2fg
2t
积分限的确定
o
2fg
2t
1f
1t
o
o
2t?
g2f
o
2tt?
tgtf2
2tt?
0 t
tf2
2t?
0?t
2tt?
210 ttt
ttt 21
2tt?
2tt?
tftf 212
1
tt
t dtgf
t dtff
0 21
21 tttu
积分限的确定例：
？
32 123 4?dt,
;,12 321 43 t ttdt实际为
3
2
1?t
1?t2 3
1
1
2 3 2 31?t
3 4
正确的为3121321 tututututututu
3121321 tututututututu
dtuudtuu 3121
44331312 3121 tuttuttudtud tt
113123121 ttdd tt
卷积积分的性质信号的分解表示卷积积分图解法性质卷积的导数与积分奇异信号的卷积特性卷积的代数运算积分限的确定卷积的微分与积分
thdtdtfthtfdtdthtfdtd① 微分：
t tt dhtfhdfdhf
② 积分：
thtftytf 111
thtfdtdthtftytftf 12212
tythtfdtd 11
thdfthtftydftf tt 12212
tt dydhf 11
例,用卷积的微分性质求下列函数的卷积 。
tuetf t112 tutf
121 tudtdtuetftfdtd t
11 121 tuettuetftf tt?∴
卷积的微分与积分
1 ttue t?
奇异信号的卷积特性
thTTtfthTtTtf 2121?
① 延迟特性 —— 是 T 秒的延迟器，即Tt
dTtfKdTtKfTtKtf
TtKfdTtTtfK
由此可知,时，0?TtKftKtf
2121 TTtTtTt
21 TTtthtf
212121 TTthtfTthTttfTthTtf∴
tftyth
TtKth
② 微分特性 —— 相当于微分器，即t
,2,1 ntfttf nn?∴
③ 积分特性 —— 相当于积分器，即tu
t t dfdtufdtftutf
tfftf 111
,2,1
! 1,
1
1
ntftftu
n
ttftutf nn
奇异信号的卷积特性
dtfdtfttf
dtftf
dttfdttf
tfttf
tth
tth
它表明，系统的零状态响应既可以表示为信号与其冲激响应的卷积积分，也可表示为信号的导数与系统的阶跃响应的卷积积分。
ttt dhdhdhtthtutS 0
利用以上特性也可求出系统的阶跃响应：
ttzs dtSftStfdhtfthtfty 00
则系统的零状态响应可表示为 （杜阿密积分）,
tfttftftutf 21121
tftftftftftf 21112121④ 等效特性：
奇异信号的卷积特性
tututtftutututf 32 21 c o s,
求卷积：
12121 tftftftf利用
321 ttttf有例 题
to
tf1
3
1
to
tf1?
3
1
1
2
to
tf2
3
1
to
tf 12?
3
1
to
tf 12?
3
1
tututttttftf s i n3221
222 tuttuttuttut s i ns i ns i ns i n
4333 tuttut s i ns i n
22 tututtutut s i ns i n
433 tututs i n
t t dudutf 12 c o sc o s
t t tututtudtud 0 s i nc o sc o s
例 题卷积的代数运算
① 交换律：
tftftftf 1221
例,tuetf t11
2 ttutf
dtutuetftf 121
dtueutftf t1 12
110 tudtet
1 1 tudet t
卷积的代数运算
ththtfththtfththtf 122121
② 结合律：
thtfthtfthtftf 2121③ 分配律：
例,tuettututuet tt
tuetuet tt
tuettu t
ttutuettutuet tt
