王 玮信息与通信工程系中南大学信息科学与工程学院第三章 连续时间信号的频域分析上一页 2009-7-29
2知识脉络信息 消息 信号映射信息传输 信号处理信号分析信号分类信号描述转换数学抽象信号特性时域 分析 变换域分析频域 分析复频域 分析相互联系密切确定性
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统
第 2章 连续 时间信号的 时域 分析
第 3章 连续 时间信号的 频域 分析上一页 2009-7-29
3频 率 分 析通过变换将时间变量转变为频率变量,在频域内分析信号和系统特性的方法 。 这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应 的方法 。
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4本 章 要 求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析；
熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质；
了解掌握频率分析方法的一些实际应用 。
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5本章主要内容序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
6
重 点周期信号,非周期信号的频谱分析,傅里叶变换的性质；
应用：信号的频分复用,信号的抽样与抽样定理,时分复用 。
难 点信号傅里叶级数,傅里叶变换频谱分析的物理意义；
傅里叶变换的性质及应用 。
参考书,积分变换,复变函数上一页 2009-7-29
7序 言序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
8序 言频率特性是信号的第二个特性 。 由于频率紧贴我们日常生活 （ 周期性变化是自然界的普遍规律 ）,频率变化的高低 （ 或快慢 ） 我们看的见 （ 如表中秒针最快,时针最慢,也可以用示波器看到 ）,听的出 （ 女生说话的频率高些,声音就尖锐,男生说话的频率低些,声音就低沉 ）,量的到 （ 可以用频率计,示波器测量 ）,应用也非常很多 （ 如通信中的频分复用,时分复用 ）,所以说频率特性是信号的非常重要的特性 。
在时域中,将信号分解为不同时延,强度的冲激信号；在频域中,信号可以分解为不同频率,相位及振幅的简单信号 （ 傅氏变换与反变换 ） 。
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9
频域分析的重要性处理信号的需要,比如放大,放大器的带宽要覆盖信号的频带,就要知道信号的频带,就要用频域分析；
信号计算的需要,在时域内往往要解微分方程,
而用傅里叶和拉普拉斯变换到复频域后就变成了代数方程,求解起来很方便；
一种非常基础的数学方法,应用面非常广泛 。
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10
频域分析的应用举例一切跟信号相关的应用都与频域分析相关：
卫星的雷达成像；
新型材料的超声检测 （ 不破坏材料的情况下对其进行检查 ） ；
桥梁的监测 （ 监视桥梁的振动情况保证安全性 ） ；
地震的预警 （ 地质结构的监测 ） 等等；
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11周期信号的分解 — 傅里叶级数序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用三角形式指数形式上一页 2009-7-29
12
称 为复数,其中 x,y为二实数,分别为复数的实部和虚部；若 x=0,则 为 （ 纯 ） 虚数 。
复变函数
⒈ 复数的概念在初等代数中,知 i（ 为区别电流的符号,在容易混淆的课程中一般用 j表示 ） 是方程：
012x
的一个根,即,,它的另一个根是 -j。
显然,由
012j 1j
jxxx 1 1 01 22,,
yjxjyxz
jyz?
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13复变函数
⒉ 复数运算代数
21212211 yyjxxjyxjyx
211221212211 yxyxjyyxxjyxjyx
21122121
1221
21
2
21
22
11
yyyxyxjxx
yjxxx
yyjyjx
jyx
jyx
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14复变函数共轭复数
22222 yxyjjxyjxyxjyxjyx
2222
2211
22
11
jyxjyx
jyxjyx
jyx
jyx
2
2
2
2
21122121
yx
yxyxjyyxx
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
yx
yxyxj
yx
yyxx
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15复变函数
⒊ 复数的几何表示
x
y
x
y
or — 向量
jyxz
jyxz
zr?
x — 实轴
y — 虚轴 z（ 复 ） 平面
jyxjyxyxzr 22
向量的长度 r称为 z的模或绝对值
向量与 x轴的夹角 θ称为 z的辐角,显然有
c o srx?
s i nry?
s i nc o s jrz
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16复变函数
⒋ 复数的极坐标 （ 或指数 ） 表示法
x
y
x
y
o
jyxz
jyxz
zr?
rrez j
21 2121 jj ererzz?
2121 jerr
21
2
1
2
1
2
1
2
1
j
j
j
e
r
r
er
er
z
z
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17复变函数
⒌ 欧拉公式
s i nc o s je j
s i nc o s je j
j
ee jj
2
s i n 2
jj ee
c o s
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18
信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是
,狄里赫利,（ Dirichlet）条件，即 f(t)在,
或 区间内，以下条件才可以展开成傅里叶级数：
（ T 为信号周期）,
周期信号的频谱分析 —— 傅里叶级数绝对可积，即极大值、极小值数目有限间断点数目有限
2
2
T
T dttf?
00 Ttt?,
2,2 TT
,0 T
通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。
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19傅里叶级数 —— 三角形式若信号 f(t)的周期为 T,频率为了,则其角频率,对应傅里叶级数展开式为,T
f 1?
式中,—— 周期信号的直流分量
2
T
2
T0
1
dttfTa
2
2
0
2 T
Tn dttntfTa?c os
dttntfTb
T
Tn 2
2
0
2?s i n
1
000
n
nn tnbtnaatf s i nc o s
Tf
2 2
0
其中 n 为正整数
tbtan 0101 1 s i nc o s, —— 周期信号的基波分量
3 2 1?,,,?n
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20
tnbtnan nn 0032 s i nc o s,,,
—— 周期信号的谐波分量。 n=2的称为二次谐波,n=3的称为三次谐波，以此类推。
n
n
n
n
n
nnnn b
a
a
bbaA ar c tan,ar c tan, 22
任何周期信号均可表示为由各次谐波进行叠加而成。还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一的余弦谐波或正弦谐波形式，即：
1
00
n
nn tnAatfc o s
1
00
n
nn tnAatfs i n
或式中：
nnnnnn AbAa s i n,c o s
傅里叶级数 —— 三角形式上一页 2009-7-29
21
信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式只含有余弦项，即,an≠0及 bn= 0（ n= 0,1,2,? ）。
⑴ 偶函数,满足
⑵ 奇函数,满足信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式只含有正弦项，即,an=0及 bn≠0 （ n= 1,2,3,? ）。
tftf
tftf
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
22
⑶ 奇谐函数,满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项和正弦项），即,an≠0,bn≠0 （其中 n
=1,3,5,? ），又称半波镜像信号。
tfTtf 2
o TT?
……
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
23
⑷ 偶谐函数,满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶级数展开式只含有偶次谐波
（包括余弦项和正弦项），即,an≠0,bn≠0（其中 n= 0,2，
4,? ），又称半波重叠信号。
tfTtf 2
o TT?
… …
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
24
2?
tf
tT
A
2T?
例,求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式 。
信号幅度为 A,持续时间为 τ,周期为 T,对应的频率为,角频率为,于是各次谐波的系数分别为：
Tf
1? Tf 2 20
2
1 02
2
2
2
0
AAF
T
Adt
T
Adttf
Ta
T
T
24222 0
0
2
2
02
2
0
nTn
A
Tnn
Adttn
T
Adttntf
Ta
T
Tn s i ns i nc osc os
2
2
2
2
22
00
0
0
0?
nSa
T
AnSaA
n
n
T
A s i n
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25
由于是偶对称,故有
02 2
2
0
T
Tn dttntfTb?s i n
2?
tf
tT
A
2T?
于是：
222 0 nSaTATnn AaA nn s i n
tnnSaTATAtnnSaAAtf
nn
0
1
00
1
0
00
2
2
22?
c o sc o s
1
0
12
n
tnTnnATA c o ss i n
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26周期信号的频谱图如果以频率 （ 或角频率 ） 为横轴,以 An
的幅度或相位为纵轴,将各分量按其频率高低依次排列起来画出的谱状线,称为频谱线
（ 或频谱图 ）,可以分别称为振幅频谱和相位频谱 （ 如果相位值只有 0,π二个值的话,
也可以画一个图 ） ；通过各谱线的端点的连线,称为 频谱包络线 。
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27
三角形式：
2?
tf
tT
A
2T?
1
0
1
000
0
2
2
2
12
2 n n tnnSaT
A
T
Atnn
n
AAtf
c o sc o ss i n
2 22 0 nSaTATnn AaA nn s i n
2
nn aA?
0
2T
0n?
TA?2
TA?
0
2 2A S a nT
周期信号的频谱图
xSa
x
o
1
2?332?
x xxSa s i n?
,0?n
T
AaA
00,1?n
2
2
2
2
01011
Sa
T
AnSa
T
AA
n
,2?
22
2
2
2
0
2
022
Sa
T
A
T
AaA
n
,3?n?
3
0
3
033 na
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28
傅里叶级数 —— 指数形式由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：
1
0
1
00
n
n
n
n tnbtnaatf s i nc o s
1
02
2
00
2
n
T
T tndttntfTa c o sc o s
1
02
2
0
2
n
T
T tndttntfT s i ns i n
1
0
2
2
0 2
2 00
n
T
T
tjntjn
tndteetfTa?
c os
22 02
2
00
tndtjeetfT
T
T
tjntjn
s i n
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29
1
2
2
00
0
01
n
T
T
tjn tnjtndtetf
Ta
s i nc os
1 2
2
00
0
T
T
tjn tnjtndtetf
T
s i nc os
1
2
2
2
2
0
11 0000
n
T
T
tjntjn
T
T
tjntjn dt eetf
Tdt eetfTa
指数形式
1
02
2
02
2
0000 11
n
tj
T
T
tjtjn
T
T
tjn edtetf
TedtetfT
1
2
2
001
n
tjn
T
T
tjn edtetf
T
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30指数形式上式表明，任意周期信号 f(t) 可分解为许多不同频率的虚指数信号（ ）之和，其各分量的复数幅度（或相量）
为 Fn。
上式中出现负频率，是由数学推导引出的，无实际意义；事实上正负频率是成对出现，两项相加才为实际值。
∴,式中
n
tjn
T
T
tjn edtetf
Ttf
2
2
00 1
n
tjn
n eFtf
0
2
2
01
T
T
tjn
n dtetfTF
tjne 0?
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31
2?
tf
tT
A
2T?
指数形式由前例,
2
2
0
2
2
2
1 00?
nSa
T
Adte
T
Adtetf
TF
tjn
T
T
tjn
n
n
tjnenSa
T
Atf
0 02
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
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32周期信号的频谱分析序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
33
三角形式：
2?
tf
tT
A
2T?
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
指数形式,2
nn aA?
0
2T
0n?
TA?2
TA?
0
2 2A S a nT
2 2 nSaTAA n
20 nSaTAF n
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34
重要概念,,,周期信号 → 非周期信号，
离散频谱 → 连续频谱。
T
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
周期信号的频谱具有如下特点：周期信号的频谱为离散频谱，只有在 处有谱线；两条谱线间的距离为 函数，因此，周期 T 越大，谱线越密，这样就引出了一条
0?n
T
2
0?
00
频谱的离散性上一页 2009-7-29
35频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与 A,τ成正比,而与 T
成反比 。
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
n
tjnenSa
T
Atf
0
0
2
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36
① 总趋势下降,但快慢不一样：如果信号本身有有限间断点,则其频谱系数按 的速率衰减；如信号本身连续,但其一阶导数有有限间断点 （ 如三角波 ）,
则其频谱系数按速率 的衰减；依次类推 。 可见信号对时间存在的导数越高,则其频谱衰减越快,即信号的波形越光滑,其高频谐波的幅度越小；反之,
信号变化越快,则其高次谐波的幅度也就越大 。
2
1
n
n
1
频谱的收敛性
2 22 nSaTATnn AA n s i n
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37
② 当 或 （ m 为任何整数 ） 时,频谱包络线通过零点,可见,τ 越长,则第一个零点越接近原点；
由于经过第一个零点以后的幅度已经很小,可忽略,因此,
常把第一个零点以内所包含的宽度定义为 信号的 （ 有效 ）
频带宽度,或 。 所以,信号的持续时间越长,其占有频带就越窄 （ 极限：直流 ）,反之,信号的持续时间越短,其占有频带就越宽 （ 极限,） 。
0?
t?
2
nF
0
2T
0n?
TA? 0 2A Sa nT
mn?20 20 mn?
2
0?B?
1f
x xxSa s i n?
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38频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容 。 既然规定了信号频带宽度的标准,那么,为了使信号通过线性系统又不产生失真,就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的带宽相适应 。 由此可知,
信号的频带宽度越大,对系统的要求就会越高 。
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39
周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱为离散频谱；
周期信号频谱的收敛 （ 衰减 ） 速度与信号波形有关：波形越光滑,收敛越快；
频谱的密度与信号周期成正比；
周期信号的有效频带宽度与信号的持续时间成反比 。
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40周期信号频谱分析的总结
T 改变 （ 假如增加 ）,幅度减小,谱线变密,但包络线零点位置不变；
τ 改变 （ 假如也增加 ）,幅度增加,谱线密度不变,零点位置向左移动 （ 靠近原点 ）,有效频宽变窄；
A 改变,仅影响幅度,成正比 。
可见 A 越大,T 越小（ ω 越高）,τ 越长，信号能量越大，谐波分量必然要加强。
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41信号的功率频谱（时频功率守恒）
这里讨论的是周期信号的功率在时域和频域的对应关系：
周期信号为功率信号，由归一化平均功率：
2 2 21 / /T T dttfTP,将 代入得（时域）
abbaba 2 222
根据：,上式有四种类型：
① 自身项,0?n
n
tjn
n eFtf
0?
2
2
2
01
T
T
n
tjn
n dteFTP
T
2
0?
202
2
22
2 0
2
1
11 0 FdtF
TdteFTP
T
T n
T
T n
tjn
n
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42
② 自身项,0?n
③ 交叉项,nm
信号的功率频谱（时频功率守恒）
2
2
2
0
22
2
222
2
2
1
000
2
1111
T
T
tnj
n
T
T
tnj
n
T
T
tjn
n enjFTdteFTdteFTP
0222 21
2
0
2
0
nnFTnFTn nn s i ns i n
2
2
2
2
2
0000 11
T
T
tjn
n
tjn
n
T
T
tjm
n
tjn
n dteFeFTdteFeFTP
nnT TnnT T tjnntjnn FFdtFFTdteFeFT?
2
2
2
2
11 00
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43信号的功率频谱（时频功率守恒）
由前面式子 及 可以推出：
∴ （频域）
1
22
0
2
2
2
2
11
n
n
T
T AAdttfTP
/
/
1,2n n nF a jbnnn jbaF 21 22 nnn baA
22241 nnnnnnnnn AbajbajbaFF
1
22
0
1
2
0 2
12
n
n
n
nn AAFFFP
④ 交叉项,nm
0
1
mnFFmn mn s i n
2
2
2
2
3
000 11
T
T
tmnj
mn
T
T
tjm
m
tjn
n dteFFTdteFeFTP
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44
上式称为 帕斯瓦尔（ Parseral）时频功率守恒公式,即
,任意周期信号的平均功率等于信号的各次谐波的平均功率之和,。
2
222
2
2
2
22 250
4
11 AA
T
AdtA
TdttfTP
T
T,
/
/
4?T例,前面介绍的方波：设由第一个零点：
1
22
0
2
2
2
2
11
n
n
T
T AAdttfTP
/
/
信号的功率频谱（时频功率守恒）
TTTnn
24
4
222
0
4?n
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45
3 2 1,,?n
%.%.,4901 0 0250 2 2 60 2 21 AAPP
40
A
T
AA
4
22?
nn
A
Tnn
AA
n s i ns i n
AAAA 2212421 s i n
AAA
22 s i n
AAAA 3 2
2
1
3
2
433
2
3 s i n
2222232221201 2260921221621 AAAAAAAP,
信号的功率频谱（时频功率守恒）
,424
2
2
nnn
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46
设：,则其瞬时功率为,由三角分解式可知 各次谐波的最大值为：,
f t i t?
那么在一个周期内的平均功率为：
tiRtip 22
00 IA? mnn IA?
1
22
0
1
22
0
2
2
2
2
1
2
11
n
mn
n
n
T
T IIAAdttiTP
非正弦周期信号的有效值又：,即22 IRIP
1
22
02
2
22
2
11
n
mn
T
T IIdttiTI
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47
有效值,一个非正弦周期信号（电压或电流）的有效值等于这个电压或电流所含各次谐波有效值的平方和的开方（方均根值）。
1
22
0
1
22
0
2
2
2
2
11
n
ef f n
n
mn
T
T IIIIdttiTI
∴
其中,I,—— 有效值
effI
（方均根值）
1
22
1
22
2
1
n
e f fo
n
mo nn UUUUU
同理：
非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
48
例,周期非正弦稳态电路的计算。
已知：
181,2,6 CLR
V 30580312030180 ttttu s i ns i ns i n
求,瞬时值,有效值,平均功率 。?ti I P
L
R
u
C
i
非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
49
解,⑴ 分别计算各次谐波单独作用产生的响应
A 439510469117 30180 V,30180
1
1
11
,.
.,
Z
UIU
A 4395101?.s i n, tti?∴
① 基波：
4.691.1716611?jCLjRZ
066663 133?jCLjRZ
② 三次谐波：
A 02006 0120 V,0120
3
3
33
Z
UIU
A 3203 tti?s i n?∴
上一页 2009-7-29
50
A 816159846758 3080 V,3080
5
5
55
,.
.,
Z
UIU
8.4675.85181065 155?jCLjRZ
③ 五次谐波
A 81651595?.s i n, tti?∴
⑵ 计算各次谐波产生的总响应
A 816159320439510,s i n.s i n.s i n, ttt
titititi 531瞬时值：
AIIII 3.17215.92202 5.10
2222
5
2
3
2
1
有效值：
上一页 2009-7-29
51
555333111 c o sc o sc o s IUIUIU
816302 1598002 20120439302 510180,c o s.c o s.c o s,
T IUIUIUu i d tTP 0 222111001 c o sc o s
⑶ 平均功率
W1780? （即为同次电流、电压的平均功率之和）
W1 7 8 063.17 22 RIP或上一页 2009-7-29
52非周期信号的分解 — 傅里叶变换序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
53
当 T→∞ 时（信号周期 ）,（离散频谱连续频谱）,（谱线幅度无穷小）。
非周期信号的频谱分析
—— 傅里叶变换周期信号的频域分解：
0?nF
n
tjn
n eFtf
0 T
2
0
2
2
01
T
T
tjn
n dtetfTF
020 dT
上一页 2009-7-29
54
从信号所具有的能量 （ 或功率 ） 及能量守恒 （ 或功率守恒 ） 来考虑,显然,信号能量应分布在各个频率成份中,
由于谱线变密,对应于每个频率分量的能量也将减小,但相互之间仍有所区别,且保持一定的关系,因此谱线包络线仍具有一定形状 。 为分析此时的频率特性,将此时的 Fn
改写为：
当 T→∞ 时,上式将成为 ω的函数，用 F(jω)或 F(ω)表示，
即
dtetfTFjF tjnT lim
傅里叶变换
2
2
0
02
T
T
tjnnn
n dtetf
F
f
FTF?
0n
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55
它就是非周期信号谐波振幅与周期的乘积,也就是单位频率的谐波振幅,称为 f(t)的 频谱 （ 密度 ） 函数 。 当
T→∞ 时,虽然各次谐波的振幅趋于无穷小,但却不为零,
而且具有一定的比例关系,通过 F(jω)仍可表示信号的频谱特性,而且非周期信号的 F(jω)与相同波形的周期信号的 F(nΩ)具有相同的形状,仅是幅度有所不同 。
由非周期信号的 F(jω)还可进一步导出非周期信号的傅里叶变换积分表达式即频域分解式：
当 T→∞ 时,有傅里叶变换
2
2
0
02
T
T
tjnnn
n dtetf
F
f
FTF?
00,, nd
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56
当 f(t)为偶函数时，它们分别为：
∵,则
∴
0 1 dtjFtf c o s
0 2 dtttfjF?c o s
当 f(t)为奇函数时，它们分别为：
0 dtjFjtf s i n
0
2 dtttf
jjF s i n
0
2
n
T
FjF
lim
20
jFF
TnT limlim
0 2 1 2 0 dejFejFtf tjtjn
nT
l i m
傅里叶变换上一页 2009-7-29
57
傅里叶反变换式表明,一个非周期信号可以看作无限多个幅度为无限小的等幅的复指数谐波之和，而其中每个分量的复数振幅幅度为,这样，由周期信号的分解就推广到了非周期信号的分解。
以上两积分式称为傅里叶变换对，并满足一一对应关系，
可表示为：
（变换与反变换）jFtf?
dtetfjF tj
tjtj edjFdejFtf 22 1
2
djF
傅里叶变换上一页 2009-7-29
58
例 题
Fj?
A
o
tf
2 2?
t
A
o
2
2
dteAdtetfjFtf tjtj
求非周期方波的傅里叶变换
∴
2
2
2
22
2
s i n
s i n AAe
j
A tj
2 SaAjF
（周期信号）
2 0 nSaTAF n
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59
常用信号的频谱傅里叶变换不仅将信号的分解由周期开拓到了非周期,更重要的是建立了时间函数与频率函数之间的联系,将时域内的分析变换到频域中,也即,一个 f(t)如果满足了条件,总可以求得其对应的傅氏变换 F(jω),变换成频率的函数,反之也一样 。 所以,f(t)与 F(jω)具有一一对应的关系 。
上一页 2009-7-29
60
单边指数信号
jj
edte tjtj 1
0
0
a r c t a n
tf
t
1
o
o
jF
1
o
2
2?
tuetf t0
dtetfjF tj
0 dteedtetue tjttjt
22 1jF
上一页 2009-7-29
61
双边指数信号
0, t
0
o
jF
2
tf
t
1
o
tetf
0 0 dtedtedtetfjF tjtjtj
22
0
0 211
jjj
e
j
e tjtj
22 2jF
上一页 2009-7-29
62
单位冲激信号
ttf
1 dtett tj
tf
t
1
o
jF
1
o
上一页 2009-7-29
63
单位冲激偶函数
dtett tj
0
2
0
2
jF
tf
t
1
o
1
同样可求得：
jF
o
2?
o
2
ttf
nn jt
jdtetjet tjtj
上一页 2009-7-29
64
显然,u(t)不满足绝对可积的条件，上面的式子不能直接应用傅里叶变换。解决的办法是将 u(t)看成一个单边指数函数 当 时的极限。
由前面 可得,
0
jF
t
1
o
tutf?
tue t
jtue t 1
j
tuetu t
1
00
l i ml i m
0
1
0
2222
0
j
jlim
单位阶跃信号上一页 2009-7-29
65
在 处为无穷大,显然是一个冲激信号,下面来求它的强度：
jF
o
1jF
0
2
0
2
o
2
2?
ar c ta nl i ml i ml i m
020220
1
1 dd
0
单位阶跃信号
∴
jtu 1
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66
sgn(t)也不满足绝对可积,但 α→ 0的条件下 sgn(t) 却可积,即当 α→ 0 时,
sgn(t) sgn(t),所以可以先求 sgn(t)
的傅里叶变换,然后再将 α→ 0,即得
sgn(t)的傅里叶变换 。
单位符号函数
dteetett tjtt 0 0 s g nl i ms g nl i ms g n
0
0
0 dtedte
tjtj
l i m
jj
j
j
jj 22
220220
limlim
tf
t
1?
1 te?
te
01 01ttts g n
te
上一页 2009-7-29
67单位符号函数即
2jF
∴
0
2
0
2
jF
o
o
2
2?
jt 2?s gn
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68单位直流信号同样不可积,可采用同样方法得：
dteee tjtt 0 01 l i ml i m
其强度可采用下面方法求得，函数 F(jω)包围的面积：
2
1
2
2
222
d
d
d
1?tf
2
o
jF
tf
t
1
o
0
2
00
2
220
l i m
上一页 2009-7-29
69
可见，一个直流信号只含有 处的冲激分量，
而不含有任何谐波分量，其所占频带为零，这是符合物理意义的。
0
单位直流信号上式表明单位直流信号的傅里叶变换式为在处是强度为 2π的冲激信号，而在 处为零，因而由冲激信号的定义有：
0
0
21?
同样可有：
AA 2?
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70单位直流信号单位直流信号及其频谱与单位冲激信号及其频谱之间存在一种对称的互易关系,这不是偶然的,而是傅里叶变换的性质的体现 。
∴
jjtu 12221
∵
2121 ttu s g n
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71傅里叶变换的性质序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
72傅里叶变换的性质线性奇偶性对称 （ 互易 ） 性尺度变换 （ 时频展缩 ）
时移 （ 延时 ） 特性频移特性卷积定理时域 微分和积分频域的微分与积分特性傅里叶变换有许多基本性质，它们进一步揭示了信号时域特性与频域特性间的内在联系，加深了变换的物理概念，简化了运算，在实际工作中有着重要的意义。
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73
线性特性若：
则有：
（这里包括齐次性、叠加性）
jFtf 11?
jFtf 22?
jFajFatfatfa 22112211
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74
⑴ 实函数,f(t)的频谱 F(jω)是共轭对称函数,R(ω)是偶函数，
X(ω)是奇函数,是偶函数,是奇函数。
奇偶特性
dtttfjdtttfdtetfF tj s i nc o s
其中：
,c o s dtttfR dtttfX s i n
从而：
RXa r c t a n,?
jF
即若,有
XXRR,
那么：
jejFjXR
22 XRjF
jXRjFjF
dtttfRjFjF c o s,
RXa r c t a n
上一页 2009-7-29
75
∵ 为奇函数，在对称区间积分为零，即奇偶特性
⑵ 若 f(t)是实偶函数，其频谱 F(jω)也为实偶函数
0X ttf?sin
∴
0 2 dtttfRjF c o s
⑶ 若 f(t)是实奇函数，其频谱 F(jω)为虚奇函数
∵ 为奇函数，在对称区间积分为零，即 ttf?co s 0R
∴
0 2 dtttfjXjF s i n
上一页 2009-7-29
76
奇偶特性
⑷ 偶函数的频谱为偶函数
deftdtetfdtetfjF jtjtj 令
jFdtetfdtetf tjtj
⑸ 奇函数的频谱为奇函数证法同上
jFjFtftf
jFjFtftf
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77
对称（互易）特性若,则有：
当 为偶函数时有,tf
jFtf?
上式表明：傅里叶正反变换式之间存在着对称的互易关系，即信号的波形与信号频谱的波形有着互相置换的关系，
其幅度之比为常数,式中 表示频谱函数的坐标轴必须正负对调。例：
1?t?,利用此性质有, 221
ftF 2
ftF 2?
2
上一页 2009-7-29
78
尺度变换（时频展缩）特性若,则有,0?a
上式表明了时间函数与频谱函数之间的关系，即对时域的压缩对应于频域的扩展，信号时域中压缩了 a 倍，在频域中频谱就扩展 a 倍，反之亦然。以门信号为例，如图所示。
ajFaajFaatf 1 1 1jFtf?
上一页 2009-7-29
79
尺度变换（时频展缩）特性要压缩信号的连续时间，就不得不以展宽信号的频带为代价，时长与带宽的矛盾实质上就是 通信速度与通信容量的矛盾。
上一页 2009-7-29
80
尺度变换（时频展缩）特性信号的持续时间与其所占频带成反比的应用意义。
① 在近代通信中，要求快速通信，缩短通信时间，就要求压缩信号的持续时间，那么，要保证通信质量，则必须按比例地展宽通信设备的频带；
② 信号持续时间有限，则其占有频带无限，反之亦然。
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81延时（时移）特性信号经系统传输,要受到系统函数 的加权,输出波形发生了变化,与输入波形不同,则产生失真 。 如数字电视在有线网络中传输,无限带宽的信号要通过有限带宽的信道进行传输,其结果必定会对信号波形产生失真 。
jF?
线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成
● 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；
● 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，
使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。
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82
ts i n
tO tO
t2s i n
tO
tt 2s i ns i n?
2s i n?t
tO tO
32s i n?t
tO
32s i n2s i n tt
输入输出例
信号传输后失真此系统不满足 0dd t
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83
原图像 二维傅里叶变换的模傅里叶变换的相位 模相同，相位为零上一页 2009-7-29
84
模为 1，相位相同 相位相同，模为（ g）图的
（ g）图上一页 2009-7-29
85
延时（时移）特性若 则有：
上式表明：如果在时域中延迟了时间 t0，其频谱函数的振幅并不改变，但其相位要变（ -t0ω），与频率成正比，即为了使延迟的信号波形保持不变，必须在传输过程中，使信号的频率分量产生的相移与频率成正比，否则延迟信号将失真，这实际上是后面要谈的不失真系统的条件。
jFtf jFettf tj 00
00 tjett 1?t?例：
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86
频移特性
00Fetf tj若,则有：
频移特性（调制特性）：将频谱函数在频率坐标上平移
ω0,则其代表的信号波形与原信号波形有很大区别。该特性在信号调制中有着十分重要的意义。
例,发端, tjtjtjtj etfetfeetfttftf
00
00
2
1
2
1
201
c o s
001 2121 FFjF
收端：
jFetfetfttftf tjtj 211012 00 2121c o s
000101 241212412121 FFFFF
（实际系统调制要比这复杂）
jFtf?
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87
频移特性的应用调制,将各种数字基带信号转换成适于信道传输的数字调制信号 (已调信号或频带信号 )；
解调,在接收端将收到的数字频带信号还原成数字基带信号。
在某些有线信道中，若传输距离不太远且通信容量不太大时，数字基带信号可以直接传送，我们称之为数字信号的基带传输。而在另外一些信道，特别是无线信道和光信道中，
数字基带信号必须经过调制将信号频谱搬移到高频处才能在信道中传输，我们把这种传输称为数字信号的频带传输上一页 2009-7-29
88
jY
道信
t0cos?
tytf
t0cos?
BA C
理想低通
02?02 0 0?o
C
m?m
jF
o
m 0 m0m0m 0 0 0?o
A
jY
m?m o
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89
频分复用通信频分复用 (FDM，
FrequencyDivisionMultiplexing)就是将用于传输信道的总带宽划分成若干个子频带 (或称子信道 )，每一个子信道传输 1路信号。频分复用要求总频率宽度大于各个子信道频率之和，同时为了保证各子信道中所传输的信号互不干扰，应在各子信道之间设立隔离带，这样就保证了各路信号互不干扰 (条件之一 )。
频分复用技术的特点是所有子信道传输的信号以并行的方式工作，每一路信号传输时可不考虑传输时延，因而频分复用技术取得了非常广泛的应用。频分复用技术除传统意义上的 频分复用 (FDM)外，还上一页 2009-7-29
90
频分复用通信的应用传统的频分复用传统的频分复用典型的应用莫过于广电 HFC网络电视信号的传输了，不管是模拟电视信号还是数字电视信号都是如此，因为对于数字电视信号而言，尽管在每一个频道 (8MHz)以内是时分复用传输的，但各个频道之间仍然是以频分复用的方式传输的正交频分复用非对称的数字用户环线 (ADSL)、数字视频广播
(DVB)、高清晰度电视 (HDTV)、无线局域网上一页 2009-7-29
91
频分复用通信 —— 信号的调制调制,用信号 对载波信号 的参量进行控制的过程,分调幅,调频,调相 。 （ 这里仅介绍调幅 ）
tfmtA cc o s
tjmtjmcm cc etfetfttftf 2121c o s⑴
cmtjmmmm FetfFjFtf c∵
cmcmcm FFttf 2121c o s∴ （频率搬移）
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92
tfm
tc?cos
ttf cm?cos
ttmf cm?c o s?1
上一页 2009-7-29
93
tftfm
tc?cos
2
0
2
1
t
t
tf m例,对周期性方波：
,2T T 20?设：
tttttf m 0000 771551331221 c o sc o sc o sc o s
可有：
ttt ccc 000 5513311 c o sc o sc o s
ttttf ccc 00 331121 c o sc o sc o s
∴
000ccc tntn c o sc o s这里：
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94
其中 ②,③ 两部分的形状与 完全相同。
① 载频 项,无直流就无此项；ctfm
可见，已调信号由三部分组成：
② 上边带,和频项0 nc?
③ 下边带,差频项0 nc?
mF
m?
F
mc c? mc
tfm
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95
ttmfAtf cm?c o s 1⑵
它包含有载频项,为调幅指数，常用百分数表示（中波为 30%）。
10 mm 取
ttm A ftAtf cmc c o sc o s
cmcmcc FFmAAjF 21
与 ⑴ 中相比多了两个冲激（载波），于是不管 中是否有直流，已调波中均带有载波，这样便于接收机进行相干解调。
tfm
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96
解调,将原信号 从已调信号上取下来的过程。?tf
m
方法,相干解调，非相干解调。
⑴ 相干解调,利用与发送端同频同相的载波解调的方法。
tf
tf
m
tc?cos
tg
低通tf
m
tc?cos
cmcmm FFFjG 24124121由前有：
再利用一带宽为 的低通滤波器，即可以恢复原信号 。
mtfm
频分复用通信 —— 信号的解调上一页 2009-7-29
97
相干解调要求有同频同相的载波，否则解调将发生失真；
电路复杂。如果利用其调制波的特点而不用载波将大大简化接收设备 —— 非相干解调。
⑵ 非相干解调,（对调幅称为检波，对调频称为鉴频）
分为小信号（平方律）检波（电压 ）和包络线检波（电压 ）。
V20.?
V50.?
ttAttmfAtf ccm c o sc o s 1
2210 ddd uauaai① 平方律检波,当信号较小时上一页 2009-7-29
98
di
du
2210 ttAattAaai ccd c osc os
ttAattAaatAa cc 22121 221220 c o sc o s
tfu d?若工作点很低时，
其中 项等高频分量由 滤除,包含有所需的原 分量，而
cc 2 及 1C 222
1 atA
tfm
tfmAtmfAAtA mm 222222 2121
1C
2C
D
Rtftf
m
di
du?
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99
tmfaAtfmaAaAai mmd 222222220 2121∴
第一项为直流，由 去掉；第三项为有用信号,m 大好；第二项频率不高，不易去掉，易造成失真，与 m 的平方成正比，故 m 不宜大。
2C
② 线性检波,信号较大时基本上沿着调幅波的包络线，但有很大起伏，若保持,增加,则电容放电时间减少，波形起伏较小，检波器输出电压波形就基本上与调幅波包络线一致从而再现 信号。?tf
m
tfm
c?
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100
用频率搬移手段，将原来各路频谱相同的信号，搬移到不同的频率段，以达到信道复用，且消除相互干扰的目的。
频分复用通信
tf
m1
tc1?cos
低通tf
m1
tf
m2
tc 2?cos
低通
tf
m3
tc3?cos
低通
tc1?cos
tc 2?cos
tc3?cos
tfm2
tfm3
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101频移特性要注意的是频移特性与时移特性有完全相似的形式，这也是傅里叶变换对称互易特性的体现，如：
00 tjett
由对称特性有：
00 220 tje
例,∵
021 00 tjtj ee
有虚指数信号：
21 1t
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102
卷积定理旋积或卷积 (英语,Convolution)是通过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的
g 的重叠部分的累积。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
上一页 2009-7-29
103卷积的应用在 GSM系统中卷积码得到广泛的应用 。 例如在全速率业务信道和控制信道就采用了 （ 2,1,4） 卷积编码上一页 2009-7-29
104卷积的应用
卷积码在 CDMA/IS-95系统也得到广泛应用。由于前向信道是一点对多点的传输，基站可以向移动台发射导频信号，
移动台利用导频信号进行相干解调，而反向信道是多点对一点的传输，采用导频是不现实的，基站只能采用非相干解调。因此，很难保证基站接收各移动台发来的信号都是正交的。所以在反向信道采取许多措施提高抗干扰能力，
加大编码码距就是其中之一。
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105
卷积定理若则有：
jFtfjFtf 2211,
⑴ 时域卷积特性,变卷积运算为积分运算
⑵ 频域卷积特性,又称为乘积特性,与上有互易关系若 jFtfjFtf
2211,
则有：
jFjFtftf 2121
jFjFtftf 2121 2 1
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106
微分特性若,则有：jFtf?
例,∵
1?t?
则有：
jt
jFjtfdtd?
jFjtfdtd nn
n
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107
例 题例,求如图所示非周期信号的频谱。
tf
A
a
t
bb? a?方法一,利用基本积分公式
dtetfjF tj
btabt
ab
A
ataA
atbbt
ab
A
tf
分段积分：
dtebtab AjF tjab
aa tj dtAe?
dtebtab A tjb
a
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108
tf
tf?
tf?
t
A
t
a
t
bb? a?
方法二,利用微分性质：
jFjtfdtd?
btatab Aatbtab Atf
btatatbtab Atf
ajajbjbj eeeeab Atf
abab A c o sc o s2
jFjFjtfjFtf 22,
baab Aabab AjF c o sc o s2c o sc o s2 22
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109
积分特性若,则有：jFtf 00?F
jFjdft 1
jFjFdft 10 00?F
当 时，为：
例,∵1,tt t d
∴
1t j
jjtt 221212s g n
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110
频域的微分与积分特性
，则有：jFtf?⑴ 微分,若
jFd dtfjt
，或
jFd djtft?
jFd dtfjt nnn,或 jFd djtft n
nnn?
例,∵,∴
211dt t j jdj
jd djtt 221
∵,∴21?
222 jd djttt
1t j
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111
频域的微分与积分特性
，则有：jFtf?⑵ 积分,若
00?f,10,1 jFtf
jttf
2 10 djFf
00?f,1,1?jFtf
jt
jjFtft 11
例,∵
∴
,11si njt 0sin 0tt
11 djjt ts i n
11
11 d
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112
⑴
d11
其中 ω 是变化的，变化范围是（ -∞,∞ ），所以上面的积分式应根据被积函数的情况要分几个区域：
,将频率区域分成了三块（ -∞,-1）、
（ -1,1）、（ 1,∞ ），所以,
11
1
1 1111 dd
000111
d
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113
⑵
11
1 1111 dd
1
1
1
1 1111 dd
10010111
d
⑶?
1
1 1111 dd
11 1 1111 dd
00110
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114
已 知, 1, tjFtf
互易特性, 21,2 ftF
时移特性,
00 00 tjtj ettjFettf,
互易特性,
000 22 00 tjtj eett,
频移特性,
00 2 00 tjtj eFtfe,?
时域微分特性, jttjFjtf 1,,
时域积分特性：
1 10,Fjf t F t
jj
线性特性,12
s g n 2 1 2 2tt jj
频域微分特性：
211,ddt f t j F j t t j jd d j
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115
能量谱与功率谱非周期信号的能量频谱周期信号的功率频谱本节讨论周期信号的功率在时域和频域的对应关系，非周期信号的能量在时域和频域的对应关系。
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116
非周期信号的能量频谱非周期信号所具有的能量是表征信号特征的另一个重要参数，它等于在全部时间内消耗于 1Ω 电阻上的总能量 ——
归一化能量。
,2 1 dejFtf tj dtetfjF tj变换式：
2 2 1 dtdejFtfdttfE tj
信号的能量公式可写成,
ddtetfjF tj 2 1
（交换积分顺序）
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117
非周期信号的能量频谱
2
2
1
2
1
djFdjFjF
∴
非周期信号的归一化能量在时域中与在频域中也保持恒等 —— 帕斯瓦尔（ Parseval）时频能量恒等式 。
djFdttfE 22 2 1
2 1 djFjF
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118
由于非周期信号可分解成振幅为无穷小的频率分量，其各频率分量的能量也是无穷小，为表示能量在频率中的分布情况，也可以借助于密度的概念：定义单位角频率的信号能量为能量密度频谱函数 （ 能量频谱 ），用 表示，依此，信号在整个频率范围内的全部能量应为：
与前式比较有,其单位为,J?S。
G
dGdffGE 2 1
2 jFG?
00 2
1
dGdffGE
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119
非周期信号的能量频谱信号能量频谱与信号频谱函数模值的平方有关，而与其相位无关。同样根据能量频谱 画出的频谱曲线，称为能量密度频谱曲线。依据该曲线可以研究信号能量的分布情况，从而可适当选择系统或电路的通频带，以便充分利用信号能量，发挥系统效能。
G?
G
o
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120
信号的 能量（功率）频谱 概念为定义信号的持续时间 t 和频带宽度 B 提供了又一个方法。有些信号从理论上讲，其持续时间或频带宽度是无限的，但从能量（功率）分布来看，其绝大部分能量（功率）都分布在一定范围内，超出此范围，其能量（功率）很小，可忽略不计。因此,定义集中了 90％信号能量（功率）的时间为信号的 有效持续时间,定义集中了 90％
信号能量（功率）的频带宽度为信号的 有效频带宽度 。
以上所述，周期信号在时域内的功率和在频域内的功率相等，而非周期信号在时域内的能量与在频域内的能量相等，这是功率（能量）守恒定理在信号分析中的体现，也是信号的时间特性与频率特性的又一重大关系。
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121周期信号的傅里叶变换序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
122
正弦、余弦信号的傅里叶变换
∴ 由频移特性可得：
于是正弦信号与余弦信号就可以得到,
1?t?
021 00 tjtj ee
000 2c o s 00 tjtj eet
000 2 00 jjeet tjtjs i n
00 j
由互易特性可得,21?
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123
1
t
t0cos?
1
t
t0sin?
o
jF
0?0
o
jF
0?
0
t
2?
o
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124
一般周期信号当周期信号 的周期为 T 时，可将 展开为：ftft
n
tjn
n eFtf
n
n
n
tnj
n
tj
n
tjn
n nFdteFdteeFtf
2
周期信号的频谱是以 Ω 间隔的冲激序列，每个冲激函数强度为 2πFn。可见，信号的频谱与其指数频谱的形状相同，
只是谱线变成了冲激，强度增加了 2π倍。
2
2
1 T
T
tjn
n dtetfTF T
2
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125
例 题例,周期信号
m
T mTtttf
（ m 为整数 ）
n
tjn
T eTt
1?即
TdtetTF
T
T
tjn
n
11 2
2
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126
冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列,
所不同的是：一个在时域中,间隔为 T,强度为 1 ；一个是在频域中,间隔为 Ω,强度也为 Ω。
nn
T nnTt
12
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127
理想低通滤波器
除去不需要的成分∶滤波要求不失真∶传输系统对信号的处理分为两种实际电路两种作用兼而有之,对放大电路而言，主要目的是放大（加权），但放大电路都有通频带，因而在通频带以外的部分被滤除了；现在的滤波电路均为有源滤波电路，因而在其通频带范围内的信号除可以顺利通过外，并被放大。
滤波器功能,使信号中某一部分频率成份可以通过或保留，
而另一部分被拦住或剃除。
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128
理想低通滤波器按实际通频带情况滤波器可以分为低通、高通、带通、
带阻滤波器；按是否放大可分为无源滤波器、有源滤波器。
无源滤波器可用仅含有 LC,LR,RC,RLC 单口或双口网络实现，有源滤波器是在无源滤波器的基础上加上放大器构成。
低通
Hf
高通
Lf
带通
Lf Hfof
带阻
Hf Lfof
HLo fff?
低通 高通低通高通上一页 2009-7-29
129
理想低通的频域特性和冲激响应
jH
dt?
c?c
1
c?c
cg2
1
0
2
c
d
d
ge
e
jH tj
c
c
tj
c
c
c
g
0
1
2
其中：
冲激响应,
deedejHth tjtjtj d2 12 1
dcc
ttj ttSadec
c
d
2
1
jH
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130
理想低通的冲激响应
o
又 ∵
∴ ① 互易性：
不难得出,
2
2
0
2
1
SajF
t
t
tf
ftFjFtf 2
fg c2
Fj?
tf
2 2?
t
1
o
o
2
于是有：
c
tjFth
2
1 2
1
tSaSa cct
c
2
22
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131
理想低通的冲激响应
② 时移性,jFtf?
dtjd ejFttf
dccd ttSatthth1
5.0
1
c
dt?
th
th1
c
c
dt?
t
t
dt
st
rt
tg信号有效持续时间,集中了信号 90%（或以上）能量的时间，
用 ts 表示。
jF 第一个零点频率：
2
2
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132
th 第一个零点时间：
∴
c
c
2
2
2
ccc
s fft
1
2
22
ts 与 ωc 成反比：当 时，,低通滤波器成无失真传输系统,
c? 0?st
冲激 dcc ttSath
可见，由于 ωc的存在，导致信号失真，这再次说明了：
快速传输（持续时间短）且不失真或失真小就要相应展宽系统的频带。
上一页 2009-7-29
133
求阶跃响应,t h t t g t h t
xtdtSadhtg dct dcct 令
正弦积分函数 xSttS idci121
cc dxx xdxx xdxx xx 00 s i n1s i n1s i n1
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134
有些书上把上升时间称作建立时间，定义也可以不同，
如,的值从 0 升到 1 所用的时间为 ；从 升到所用的时间为 。
tg
c?
84.3 101 109
c?
8.2
tr 体现了系统对阶跃信号的反应能力,ωc越小,tr 就越长，所以要使脉冲通过系统后的波形不失真，系统带宽就要大。实际上它反映了：脉冲信号频带宽，要求系统的频带也要宽。
定义,阶跃响应从最小到最大所需要的时间为阶跃响应的上升时间 tr,显然：
Btt csr
12
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135
还可以看出：
① tr 时间前后出现了上下起伏的现象，最大值为突变值的
9%左右,ωc 加大，峰值位置趋于间断点，振荡加多，衰减加快，但最大峰值不减小 —— 吉布斯现象；
② 相对输入有失真，上升之前有 的振荡（阶跃响应、
冲激响应非因果），上升之后，有 的振荡。
t
t
5.0
1
c
dt?
th
th1
c
c
dt?
t
t
dt
st
rt
tg
上一页 2009-7-29
136信号的抽样与抽样定理、时分复用序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
137
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138
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139
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140
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143
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144
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145
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146
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148
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149
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150
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151
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152
2知识脉络信息 消息 信号映射信息传输 信号处理信号分析信号分类信号描述转换数学抽象信号特性时域 分析 变换域分析频域 分析复频域 分析相互联系密切确定性
、
随机周期
、
非周期连续
、
离散能量
、
功率系统
第 2章 连续 时间信号的 时域 分析
第 3章 连续 时间信号的 频域 分析上一页 2009-7-29
3频 率 分 析通过变换将时间变量转变为频率变量,在频域内分析信号和系统特性的方法 。 这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应 的方法 。
上一页 2009-7-29
4本 章 要 求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析；
熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质；
了解掌握频率分析方法的一些实际应用 。
上一页 2009-7-29
5本章主要内容序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
6
重 点周期信号,非周期信号的频谱分析,傅里叶变换的性质；
应用：信号的频分复用,信号的抽样与抽样定理,时分复用 。
难 点信号傅里叶级数,傅里叶变换频谱分析的物理意义；
傅里叶变换的性质及应用 。
参考书,积分变换,复变函数上一页 2009-7-29
7序 言序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
8序 言频率特性是信号的第二个特性 。 由于频率紧贴我们日常生活 （ 周期性变化是自然界的普遍规律 ）,频率变化的高低 （ 或快慢 ） 我们看的见 （ 如表中秒针最快,时针最慢,也可以用示波器看到 ）,听的出 （ 女生说话的频率高些,声音就尖锐,男生说话的频率低些,声音就低沉 ）,量的到 （ 可以用频率计,示波器测量 ）,应用也非常很多 （ 如通信中的频分复用,时分复用 ）,所以说频率特性是信号的非常重要的特性 。
在时域中,将信号分解为不同时延,强度的冲激信号；在频域中,信号可以分解为不同频率,相位及振幅的简单信号 （ 傅氏变换与反变换 ） 。
上一页 2009-7-29
9
频域分析的重要性处理信号的需要,比如放大,放大器的带宽要覆盖信号的频带,就要知道信号的频带,就要用频域分析；
信号计算的需要,在时域内往往要解微分方程,
而用傅里叶和拉普拉斯变换到复频域后就变成了代数方程,求解起来很方便；
一种非常基础的数学方法,应用面非常广泛 。
上一页 2009-7-29
10
频域分析的应用举例一切跟信号相关的应用都与频域分析相关：
卫星的雷达成像；
新型材料的超声检测 （ 不破坏材料的情况下对其进行检查 ） ；
桥梁的监测 （ 监视桥梁的振动情况保证安全性 ） ；
地震的预警 （ 地质结构的监测 ） 等等；
上一页 2009-7-29
11周期信号的分解 — 傅里叶级数序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用三角形式指数形式上一页 2009-7-29
12
称 为复数,其中 x,y为二实数,分别为复数的实部和虚部；若 x=0,则 为 （ 纯 ） 虚数 。
复变函数
⒈ 复数的概念在初等代数中,知 i（ 为区别电流的符号,在容易混淆的课程中一般用 j表示 ） 是方程：
012x
的一个根,即,,它的另一个根是 -j。
显然,由
012j 1j
jxxx 1 1 01 22,,
yjxjyxz
jyz?
上一页 2009-7-29
13复变函数
⒉ 复数运算代数
21212211 yyjxxjyxjyx
211221212211 yxyxjyyxxjyxjyx
21122121
1221
21
2
21
22
11
yyyxyxjxx
yjxxx
yyjyjx
jyx
jyx
上一页 2009-7-29
14复变函数共轭复数
22222 yxyjjxyjxyxjyxjyx
2222
2211
22
11
jyxjyx
jyxjyx
jyx
jyx
2
2
2
2
21122121
yx
yxyxjyyxx
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
yx
yxyxj
yx
yyxx
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15复变函数
⒊ 复数的几何表示
x
y
x
y
or — 向量
jyxz
jyxz
zr?
x — 实轴
y — 虚轴 z（ 复 ） 平面
jyxjyxyxzr 22
向量的长度 r称为 z的模或绝对值
向量与 x轴的夹角 θ称为 z的辐角,显然有
c o srx?
s i nry?
s i nc o s jrz
上一页 2009-7-29
16复变函数
⒋ 复数的极坐标 （ 或指数 ） 表示法
x
y
x
y
o
jyxz
jyxz
zr?
rrez j
21 2121 jj ererzz?
2121 jerr
21
2
1
2
1
2
1
2
1
j
j
j
e
r
r
er
er
z
z
上一页 2009-7-29
17复变函数
⒌ 欧拉公式
s i nc o s je j
s i nc o s je j
j
ee jj
2
s i n 2
jj ee
c o s
上一页 2009-7-29
18
信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是
,狄里赫利,（ Dirichlet）条件，即 f(t)在,
或 区间内，以下条件才可以展开成傅里叶级数：
（ T 为信号周期）,
周期信号的频谱分析 —— 傅里叶级数绝对可积，即极大值、极小值数目有限间断点数目有限
2
2
T
T dttf?
00 Ttt?,
2,2 TT
,0 T
通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。
上一页 2009-7-29
19傅里叶级数 —— 三角形式若信号 f(t)的周期为 T,频率为了,则其角频率,对应傅里叶级数展开式为,T
f 1?
式中,—— 周期信号的直流分量
2
T
2
T0
1
dttfTa
2
2
0
2 T
Tn dttntfTa?c os
dttntfTb
T
Tn 2
2
0
2?s i n
1
000
n
nn tnbtnaatf s i nc o s
Tf
2 2
0
其中 n 为正整数
tbtan 0101 1 s i nc o s, —— 周期信号的基波分量
3 2 1?,,,?n
上一页 2009-7-29
20
tnbtnan nn 0032 s i nc o s,,,
—— 周期信号的谐波分量。 n=2的称为二次谐波,n=3的称为三次谐波，以此类推。
n
n
n
n
n
nnnn b
a
a
bbaA ar c tan,ar c tan, 22
任何周期信号均可表示为由各次谐波进行叠加而成。还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一的余弦谐波或正弦谐波形式，即：
1
00
n
nn tnAatfc o s
1
00
n
nn tnAatfs i n
或式中：
nnnnnn AbAa s i n,c o s
傅里叶级数 —— 三角形式上一页 2009-7-29
21
信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式只含有余弦项，即,an≠0及 bn= 0（ n= 0,1,2,? ）。
⑴ 偶函数,满足
⑵ 奇函数,满足信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式只含有正弦项，即,an=0及 bn≠0 （ n= 1,2,3,? ）。
tftf
tftf
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
22
⑶ 奇谐函数,满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项和正弦项），即,an≠0,bn≠0 （其中 n
=1,3,5,? ），又称半波镜像信号。
tfTtf 2
o TT?
……
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
23
⑷ 偶谐函数,满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶级数展开式只含有偶次谐波
（包括余弦项和正弦项），即,an≠0,bn≠0（其中 n= 0,2，
4,? ），又称半波重叠信号。
tfTtf 2
o TT?
… …
函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系上一页 2009-7-29
24
2?
tf
tT
A
2T?
例,求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式 。
信号幅度为 A,持续时间为 τ,周期为 T,对应的频率为,角频率为,于是各次谐波的系数分别为：
Tf
1? Tf 2 20
2
1 02
2
2
2
0
AAF
T
Adt
T
Adttf
Ta
T
T
24222 0
0
2
2
02
2
0
nTn
A
Tnn
Adttn
T
Adttntf
Ta
T
Tn s i ns i nc osc os
2
2
2
2
22
00
0
0
0?
nSa
T
AnSaA
n
n
T
A s i n
上一页 2009-7-29
25
由于是偶对称,故有
02 2
2
0
T
Tn dttntfTb?s i n
2?
tf
tT
A
2T?
于是：
222 0 nSaTATnn AaA nn s i n
tnnSaTATAtnnSaAAtf
nn
0
1
00
1
0
00
2
2
22?
c o sc o s
1
0
12
n
tnTnnATA c o ss i n
上一页 2009-7-29
26周期信号的频谱图如果以频率 （ 或角频率 ） 为横轴,以 An
的幅度或相位为纵轴,将各分量按其频率高低依次排列起来画出的谱状线,称为频谱线
（ 或频谱图 ）,可以分别称为振幅频谱和相位频谱 （ 如果相位值只有 0,π二个值的话,
也可以画一个图 ） ；通过各谱线的端点的连线,称为 频谱包络线 。
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27
三角形式：
2?
tf
tT
A
2T?
1
0
1
000
0
2
2
2
12
2 n n tnnSaT
A
T
Atnn
n
AAtf
c o sc o ss i n
2 22 0 nSaTATnn AaA nn s i n
2
nn aA?
0
2T
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TA?2
TA?
0
2 2A S a nT
周期信号的频谱图
xSa
x
o
1
2?332?
x xxSa s i n?
,0?n
T
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2
2
2
2
01011
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T
AnSa
T
AA
n
,2?
22
2
2
2
0
2
022
Sa
T
A
T
AaA
n
,3?n?
3
0
3
033 na
上一页 2009-7-29
28
傅里叶级数 —— 指数形式由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：
1
0
1
00
n
n
n
n tnbtnaatf s i nc o s
1
02
2
00
2
n
T
T tndttntfTa c o sc o s
1
02
2
0
2
n
T
T tndttntfT s i ns i n
1
0
2
2
0 2
2 00
n
T
T
tjntjn
tndteetfTa?
c os
22 02
2
00
tndtjeetfT
T
T
tjntjn
s i n
上一页 2009-7-29
29
1
2
2
00
0
01
n
T
T
tjn tnjtndtetf
Ta
s i nc os
1 2
2
00
0
T
T
tjn tnjtndtetf
T
s i nc os
1
2
2
2
2
0
11 0000
n
T
T
tjntjn
T
T
tjntjn dt eetf
Tdt eetfTa
指数形式
1
02
2
02
2
0000 11
n
tj
T
T
tjtjn
T
T
tjn edtetf
TedtetfT
1
2
2
001
n
tjn
T
T
tjn edtetf
T
上一页 2009-7-29
30指数形式上式表明，任意周期信号 f(t) 可分解为许多不同频率的虚指数信号（ ）之和，其各分量的复数幅度（或相量）
为 Fn。
上式中出现负频率，是由数学推导引出的，无实际意义；事实上正负频率是成对出现，两项相加才为实际值。
∴,式中
n
tjn
T
T
tjn edtetf
Ttf
2
2
00 1
n
tjn
n eFtf
0
2
2
01
T
T
tjn
n dtetfTF
tjne 0?
上一页 2009-7-29
31
2?
tf
tT
A
2T?
指数形式由前例,
2
2
0
2
2
2
1 00?
nSa
T
Adte
T
Adtetf
TF
tjn
T
T
tjn
n
n
tjnenSa
T
Atf
0 02
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
上一页 2009-7-29
32周期信号的频谱分析序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
33
三角形式：
2?
tf
tT
A
2T?
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
指数形式,2
nn aA?
0
2T
0n?
TA?2
TA?
0
2 2A S a nT
2 2 nSaTAA n
20 nSaTAF n
上一页 2009-7-29
34
重要概念,,,周期信号 → 非周期信号，
离散频谱 → 连续频谱。
T
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
周期信号的频谱具有如下特点：周期信号的频谱为离散频谱，只有在 处有谱线；两条谱线间的距离为 函数，因此，周期 T 越大，谱线越密，这样就引出了一条
0?n
T
2
0?
00
频谱的离散性上一页 2009-7-29
35频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与 A,τ成正比,而与 T
成反比 。
2
nF
0 2T0n?
TA? 0 2A Sa nT
n
tjnenSa
T
Atf
0
0
2
上一页 2009-7-29
36
① 总趋势下降,但快慢不一样：如果信号本身有有限间断点,则其频谱系数按 的速率衰减；如信号本身连续,但其一阶导数有有限间断点 （ 如三角波 ）,
则其频谱系数按速率 的衰减；依次类推 。 可见信号对时间存在的导数越高,则其频谱衰减越快,即信号的波形越光滑,其高频谐波的幅度越小；反之,
信号变化越快,则其高次谐波的幅度也就越大 。
2
1
n
n
1
频谱的收敛性
2 22 nSaTATnn AA n s i n
上一页 2009-7-29
37
② 当 或 （ m 为任何整数 ） 时,频谱包络线通过零点,可见,τ 越长,则第一个零点越接近原点；
由于经过第一个零点以后的幅度已经很小,可忽略,因此,
常把第一个零点以内所包含的宽度定义为 信号的 （ 有效 ）
频带宽度,或 。 所以,信号的持续时间越长,其占有频带就越窄 （ 极限：直流 ）,反之,信号的持续时间越短,其占有频带就越宽 （ 极限,） 。
0?
t?
2
nF
0
2T
0n?
TA? 0 2A Sa nT
mn?20 20 mn?
2
0?B?
1f
x xxSa s i n?
上一页 2009-7-29
38频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容 。 既然规定了信号频带宽度的标准,那么,为了使信号通过线性系统又不产生失真,就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的带宽相适应 。 由此可知,
信号的频带宽度越大,对系统的要求就会越高 。
上一页 2009-7-29
39
周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱为离散频谱；
周期信号频谱的收敛 （ 衰减 ） 速度与信号波形有关：波形越光滑,收敛越快；
频谱的密度与信号周期成正比；
周期信号的有效频带宽度与信号的持续时间成反比 。
上一页 2009-7-29
40周期信号频谱分析的总结
T 改变 （ 假如增加 ）,幅度减小,谱线变密,但包络线零点位置不变；
τ 改变 （ 假如也增加 ）,幅度增加,谱线密度不变,零点位置向左移动 （ 靠近原点 ）,有效频宽变窄；
A 改变,仅影响幅度,成正比 。
可见 A 越大,T 越小（ ω 越高）,τ 越长，信号能量越大，谐波分量必然要加强。
上一页 2009-7-29
41信号的功率频谱（时频功率守恒）
这里讨论的是周期信号的功率在时域和频域的对应关系：
周期信号为功率信号，由归一化平均功率：
2 2 21 / /T T dttfTP,将 代入得（时域）
abbaba 2 222
根据：,上式有四种类型：
① 自身项,0?n
n
tjn
n eFtf
0?
2
2
2
01
T
T
n
tjn
n dteFTP
T
2
0?
202
2
22
2 0
2
1
11 0 FdtF
TdteFTP
T
T n
T
T n
tjn
n
上一页 2009-7-29
42
② 自身项,0?n
③ 交叉项,nm
信号的功率频谱（时频功率守恒）
2
2
2
0
22
2
222
2
2
1
000
2
1111
T
T
tnj
n
T
T
tnj
n
T
T
tjn
n enjFTdteFTdteFTP
0222 21
2
0
2
0
nnFTnFTn nn s i ns i n
2
2
2
2
2
0000 11
T
T
tjn
n
tjn
n
T
T
tjm
n
tjn
n dteFeFTdteFeFTP
nnT TnnT T tjnntjnn FFdtFFTdteFeFT?
2
2
2
2
11 00
上一页 2009-7-29
43信号的功率频谱（时频功率守恒）
由前面式子 及 可以推出：
∴ （频域）
1
22
0
2
2
2
2
11
n
n
T
T AAdttfTP
/
/
1,2n n nF a jbnnn jbaF 21 22 nnn baA
22241 nnnnnnnnn AbajbajbaFF
1
22
0
1
2
0 2
12
n
n
n
nn AAFFFP
④ 交叉项,nm
0
1
mnFFmn mn s i n
2
2
2
2
3
000 11
T
T
tmnj
mn
T
T
tjm
m
tjn
n dteFFTdteFeFTP
上一页 2009-7-29
44
上式称为 帕斯瓦尔（ Parseral）时频功率守恒公式,即
,任意周期信号的平均功率等于信号的各次谐波的平均功率之和,。
2
222
2
2
2
22 250
4
11 AA
T
AdtA
TdttfTP
T
T,
/
/
4?T例,前面介绍的方波：设由第一个零点：
1
22
0
2
2
2
2
11
n
n
T
T AAdttfTP
/
/
信号的功率频谱（时频功率守恒）
TTTnn
24
4
222
0
4?n
上一页 2009-7-29
45
3 2 1,,?n
%.%.,4901 0 0250 2 2 60 2 21 AAPP
40
A
T
AA
4
22?
nn
A
Tnn
AA
n s i ns i n
AAAA 2212421 s i n
AAA
22 s i n
AAAA 3 2
2
1
3
2
433
2
3 s i n
2222232221201 2260921221621 AAAAAAAP,
信号的功率频谱（时频功率守恒）
,424
2
2
nnn
上一页 2009-7-29
46
设：,则其瞬时功率为,由三角分解式可知 各次谐波的最大值为：,
f t i t?
那么在一个周期内的平均功率为：
tiRtip 22
00 IA? mnn IA?
1
22
0
1
22
0
2
2
2
2
1
2
11
n
mn
n
n
T
T IIAAdttiTP
非正弦周期信号的有效值又：,即22 IRIP
1
22
02
2
22
2
11
n
mn
T
T IIdttiTI
上一页 2009-7-29
47
有效值,一个非正弦周期信号（电压或电流）的有效值等于这个电压或电流所含各次谐波有效值的平方和的开方（方均根值）。
1
22
0
1
22
0
2
2
2
2
11
n
ef f n
n
mn
T
T IIIIdttiTI
∴
其中,I,—— 有效值
effI
（方均根值）
1
22
1
22
2
1
n
e f fo
n
mo nn UUUUU
同理：
非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
48
例,周期非正弦稳态电路的计算。
已知：
181,2,6 CLR
V 30580312030180 ttttu s i ns i ns i n
求,瞬时值,有效值,平均功率 。?ti I P
L
R
u
C
i
非正弦周期信号的有效值上一页 2009-7-29
49
解,⑴ 分别计算各次谐波单独作用产生的响应
A 439510469117 30180 V,30180
1
1
11
,.
.,
Z
UIU
A 4395101?.s i n, tti?∴
① 基波：
4.691.1716611?jCLjRZ
066663 133?jCLjRZ
② 三次谐波：
A 02006 0120 V,0120
3
3
33
Z
UIU
A 3203 tti?s i n?∴
上一页 2009-7-29
50
A 816159846758 3080 V,3080
5
5
55
,.
.,
Z
UIU
8.4675.85181065 155?jCLjRZ
③ 五次谐波
A 81651595?.s i n, tti?∴
⑵ 计算各次谐波产生的总响应
A 816159320439510,s i n.s i n.s i n, ttt
titititi 531瞬时值：
AIIII 3.17215.92202 5.10
2222
5
2
3
2
1
有效值：
上一页 2009-7-29
51
555333111 c o sc o sc o s IUIUIU
816302 1598002 20120439302 510180,c o s.c o s.c o s,
T IUIUIUu i d tTP 0 222111001 c o sc o s
⑶ 平均功率
W1780? （即为同次电流、电压的平均功率之和）
W1 7 8 063.17 22 RIP或上一页 2009-7-29
52非周期信号的分解 — 傅里叶变换序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
53
当 T→∞ 时（信号周期 ）,（离散频谱连续频谱）,（谱线幅度无穷小）。
非周期信号的频谱分析
—— 傅里叶变换周期信号的频域分解：
0?nF
n
tjn
n eFtf
0 T
2
0
2
2
01
T
T
tjn
n dtetfTF
020 dT
上一页 2009-7-29
54
从信号所具有的能量 （ 或功率 ） 及能量守恒 （ 或功率守恒 ） 来考虑,显然,信号能量应分布在各个频率成份中,
由于谱线变密,对应于每个频率分量的能量也将减小,但相互之间仍有所区别,且保持一定的关系,因此谱线包络线仍具有一定形状 。 为分析此时的频率特性,将此时的 Fn
改写为：
当 T→∞ 时,上式将成为 ω的函数，用 F(jω)或 F(ω)表示，
即
dtetfTFjF tjnT lim
傅里叶变换
2
2
0
02
T
T
tjnnn
n dtetf
F
f
FTF?
0n
上一页 2009-7-29
55
它就是非周期信号谐波振幅与周期的乘积,也就是单位频率的谐波振幅,称为 f(t)的 频谱 （ 密度 ） 函数 。 当
T→∞ 时,虽然各次谐波的振幅趋于无穷小,但却不为零,
而且具有一定的比例关系,通过 F(jω)仍可表示信号的频谱特性,而且非周期信号的 F(jω)与相同波形的周期信号的 F(nΩ)具有相同的形状,仅是幅度有所不同 。
由非周期信号的 F(jω)还可进一步导出非周期信号的傅里叶变换积分表达式即频域分解式：
当 T→∞ 时,有傅里叶变换
2
2
0
02
T
T
tjnnn
n dtetf
F
f
FTF?
00,, nd
上一页 2009-7-29
56
当 f(t)为偶函数时，它们分别为：
∵,则
∴
0 1 dtjFtf c o s
0 2 dtttfjF?c o s
当 f(t)为奇函数时，它们分别为：
0 dtjFjtf s i n
0
2 dtttf
jjF s i n
0
2
n
T
FjF
lim
20
jFF
TnT limlim
0 2 1 2 0 dejFejFtf tjtjn
nT
l i m
傅里叶变换上一页 2009-7-29
57
傅里叶反变换式表明,一个非周期信号可以看作无限多个幅度为无限小的等幅的复指数谐波之和，而其中每个分量的复数振幅幅度为,这样，由周期信号的分解就推广到了非周期信号的分解。
以上两积分式称为傅里叶变换对，并满足一一对应关系，
可表示为：
（变换与反变换）jFtf?
dtetfjF tj
tjtj edjFdejFtf 22 1
2
djF
傅里叶变换上一页 2009-7-29
58
例 题
Fj?
A
o
tf
2 2?
t
A
o
2
2
dteAdtetfjFtf tjtj
求非周期方波的傅里叶变换
∴
2
2
2
22
2
s i n
s i n AAe
j
A tj
2 SaAjF
（周期信号）
2 0 nSaTAF n
上一页 2009-7-29
59
常用信号的频谱傅里叶变换不仅将信号的分解由周期开拓到了非周期,更重要的是建立了时间函数与频率函数之间的联系,将时域内的分析变换到频域中,也即,一个 f(t)如果满足了条件,总可以求得其对应的傅氏变换 F(jω),变换成频率的函数,反之也一样 。 所以,f(t)与 F(jω)具有一一对应的关系 。
上一页 2009-7-29
60
单边指数信号
jj
edte tjtj 1
0
0
a r c t a n
tf
t
1
o
o
jF
1
o
2
2?
tuetf t0
dtetfjF tj
0 dteedtetue tjttjt
22 1jF
上一页 2009-7-29
61
双边指数信号
0, t
0
o
jF
2
tf
t
1
o
tetf
0 0 dtedtedtetfjF tjtjtj
22
0
0 211
jjj
e
j
e tjtj
22 2jF
上一页 2009-7-29
62
单位冲激信号
ttf
1 dtett tj
tf
t
1
o
jF
1
o
上一页 2009-7-29
63
单位冲激偶函数
dtett tj
0
2
0
2
jF
tf
t
1
o
1
同样可求得：
jF
o
2?
o
2
ttf
nn jt
jdtetjet tjtj
上一页 2009-7-29
64
显然,u(t)不满足绝对可积的条件，上面的式子不能直接应用傅里叶变换。解决的办法是将 u(t)看成一个单边指数函数 当 时的极限。
由前面 可得,
0
jF
t
1
o
tutf?
tue t
jtue t 1
j
tuetu t
1
00
l i ml i m
0
1
0
2222
0
j
jlim
单位阶跃信号上一页 2009-7-29
65
在 处为无穷大,显然是一个冲激信号,下面来求它的强度：
jF
o
1jF
0
2
0
2
o
2
2?
ar c ta nl i ml i ml i m
020220
1
1 dd
0
单位阶跃信号
∴
jtu 1
上一页 2009-7-29
66
sgn(t)也不满足绝对可积,但 α→ 0的条件下 sgn(t) 却可积,即当 α→ 0 时,
sgn(t) sgn(t),所以可以先求 sgn(t)
的傅里叶变换,然后再将 α→ 0,即得
sgn(t)的傅里叶变换 。
单位符号函数
dteetett tjtt 0 0 s g nl i ms g nl i ms g n
0
0
0 dtedte
tjtj
l i m
jj
j
j
jj 22
220220
limlim
tf
t
1?
1 te?
te
01 01ttts g n
te
上一页 2009-7-29
67单位符号函数即
2jF
∴
0
2
0
2
jF
o
o
2
2?
jt 2?s gn
上一页 2009-7-29
68单位直流信号同样不可积,可采用同样方法得：
dteee tjtt 0 01 l i ml i m
其强度可采用下面方法求得，函数 F(jω)包围的面积：
2
1
2
2
222
d
d
d
1?tf
2
o
jF
tf
t
1
o
0
2
00
2
220
l i m
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69
可见，一个直流信号只含有 处的冲激分量，
而不含有任何谐波分量，其所占频带为零，这是符合物理意义的。
0
单位直流信号上式表明单位直流信号的傅里叶变换式为在处是强度为 2π的冲激信号，而在 处为零，因而由冲激信号的定义有：
0
0
21?
同样可有：
AA 2?
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70单位直流信号单位直流信号及其频谱与单位冲激信号及其频谱之间存在一种对称的互易关系,这不是偶然的,而是傅里叶变换的性质的体现 。
∴
jjtu 12221
∵
2121 ttu s g n
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71傅里叶变换的性质序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
72傅里叶变换的性质线性奇偶性对称 （ 互易 ） 性尺度变换 （ 时频展缩 ）
时移 （ 延时 ） 特性频移特性卷积定理时域 微分和积分频域的微分与积分特性傅里叶变换有许多基本性质，它们进一步揭示了信号时域特性与频域特性间的内在联系，加深了变换的物理概念，简化了运算，在实际工作中有着重要的意义。
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73
线性特性若：
则有：
（这里包括齐次性、叠加性）
jFtf 11?
jFtf 22?
jFajFatfatfa 22112211
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74
⑴ 实函数,f(t)的频谱 F(jω)是共轭对称函数,R(ω)是偶函数，
X(ω)是奇函数,是偶函数,是奇函数。
奇偶特性
dtttfjdtttfdtetfF tj s i nc o s
其中：
,c o s dtttfR dtttfX s i n
从而：
RXa r c t a n,?
jF
即若,有
XXRR,
那么：
jejFjXR
22 XRjF
jXRjFjF
dtttfRjFjF c o s,
RXa r c t a n
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75
∵ 为奇函数，在对称区间积分为零，即奇偶特性
⑵ 若 f(t)是实偶函数，其频谱 F(jω)也为实偶函数
0X ttf?sin
∴
0 2 dtttfRjF c o s
⑶ 若 f(t)是实奇函数，其频谱 F(jω)为虚奇函数
∵ 为奇函数，在对称区间积分为零，即 ttf?co s 0R
∴
0 2 dtttfjXjF s i n
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76
奇偶特性
⑷ 偶函数的频谱为偶函数
deftdtetfdtetfjF jtjtj 令
jFdtetfdtetf tjtj
⑸ 奇函数的频谱为奇函数证法同上
jFjFtftf
jFjFtftf
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77
对称（互易）特性若,则有：
当 为偶函数时有,tf
jFtf?
上式表明：傅里叶正反变换式之间存在着对称的互易关系，即信号的波形与信号频谱的波形有着互相置换的关系，
其幅度之比为常数,式中 表示频谱函数的坐标轴必须正负对调。例：
1?t?,利用此性质有, 221
ftF 2
ftF 2?
2
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78
尺度变换（时频展缩）特性若,则有,0?a
上式表明了时间函数与频谱函数之间的关系，即对时域的压缩对应于频域的扩展，信号时域中压缩了 a 倍，在频域中频谱就扩展 a 倍，反之亦然。以门信号为例，如图所示。
ajFaajFaatf 1 1 1jFtf?
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79
尺度变换（时频展缩）特性要压缩信号的连续时间，就不得不以展宽信号的频带为代价，时长与带宽的矛盾实质上就是 通信速度与通信容量的矛盾。
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80
尺度变换（时频展缩）特性信号的持续时间与其所占频带成反比的应用意义。
① 在近代通信中，要求快速通信，缩短通信时间，就要求压缩信号的持续时间，那么，要保证通信质量，则必须按比例地展宽通信设备的频带；
② 信号持续时间有限，则其占有频带无限，反之亦然。
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81延时（时移）特性信号经系统传输,要受到系统函数 的加权,输出波形发生了变化,与输入波形不同,则产生失真 。 如数字电视在有线网络中传输,无限带宽的信号要通过有限带宽的信道进行传输,其结果必定会对信号波形产生失真 。
jF?
线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成
● 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；
● 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，
使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。
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82
ts i n
tO tO
t2s i n
tO
tt 2s i ns i n?
2s i n?t
tO tO
32s i n?t
tO
32s i n2s i n tt
输入输出例
信号传输后失真此系统不满足 0dd t
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83
原图像 二维傅里叶变换的模傅里叶变换的相位 模相同，相位为零上一页 2009-7-29
84
模为 1，相位相同 相位相同，模为（ g）图的
（ g）图上一页 2009-7-29
85
延时（时移）特性若 则有：
上式表明：如果在时域中延迟了时间 t0，其频谱函数的振幅并不改变，但其相位要变（ -t0ω），与频率成正比，即为了使延迟的信号波形保持不变，必须在传输过程中，使信号的频率分量产生的相移与频率成正比，否则延迟信号将失真，这实际上是后面要谈的不失真系统的条件。
jFtf jFettf tj 00
00 tjett 1?t?例：
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86
频移特性
00Fetf tj若,则有：
频移特性（调制特性）：将频谱函数在频率坐标上平移
ω0,则其代表的信号波形与原信号波形有很大区别。该特性在信号调制中有着十分重要的意义。
例,发端, tjtjtjtj etfetfeetfttftf
00
00
2
1
2
1
201
c o s
001 2121 FFjF
收端：
jFetfetfttftf tjtj 211012 00 2121c o s
000101 241212412121 FFFFF
（实际系统调制要比这复杂）
jFtf?
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87
频移特性的应用调制,将各种数字基带信号转换成适于信道传输的数字调制信号 (已调信号或频带信号 )；
解调,在接收端将收到的数字频带信号还原成数字基带信号。
在某些有线信道中，若传输距离不太远且通信容量不太大时，数字基带信号可以直接传送，我们称之为数字信号的基带传输。而在另外一些信道，特别是无线信道和光信道中，
数字基带信号必须经过调制将信号频谱搬移到高频处才能在信道中传输，我们把这种传输称为数字信号的频带传输上一页 2009-7-29
88
jY
道信
t0cos?
tytf
t0cos?
BA C
理想低通
02?02 0 0?o
C
m?m
jF
o
m 0 m0m0m 0 0 0?o
A
jY
m?m o
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89
频分复用通信频分复用 (FDM，
FrequencyDivisionMultiplexing)就是将用于传输信道的总带宽划分成若干个子频带 (或称子信道 )，每一个子信道传输 1路信号。频分复用要求总频率宽度大于各个子信道频率之和，同时为了保证各子信道中所传输的信号互不干扰，应在各子信道之间设立隔离带，这样就保证了各路信号互不干扰 (条件之一 )。
频分复用技术的特点是所有子信道传输的信号以并行的方式工作，每一路信号传输时可不考虑传输时延，因而频分复用技术取得了非常广泛的应用。频分复用技术除传统意义上的 频分复用 (FDM)外，还上一页 2009-7-29
90
频分复用通信的应用传统的频分复用传统的频分复用典型的应用莫过于广电 HFC网络电视信号的传输了，不管是模拟电视信号还是数字电视信号都是如此，因为对于数字电视信号而言，尽管在每一个频道 (8MHz)以内是时分复用传输的，但各个频道之间仍然是以频分复用的方式传输的正交频分复用非对称的数字用户环线 (ADSL)、数字视频广播
(DVB)、高清晰度电视 (HDTV)、无线局域网上一页 2009-7-29
91
频分复用通信 —— 信号的调制调制,用信号 对载波信号 的参量进行控制的过程,分调幅,调频,调相 。 （ 这里仅介绍调幅 ）
tfmtA cc o s
tjmtjmcm cc etfetfttftf 2121c o s⑴
cmtjmmmm FetfFjFtf c∵
cmcmcm FFttf 2121c o s∴ （频率搬移）
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92
tfm
tc?cos
ttf cm?cos
ttmf cm?c o s?1
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93
tftfm
tc?cos
2
0
2
1
t
t
tf m例,对周期性方波：
,2T T 20?设：
tttttf m 0000 771551331221 c o sc o sc o sc o s
可有：
ttt ccc 000 5513311 c o sc o sc o s
ttttf ccc 00 331121 c o sc o sc o s
∴
000ccc tntn c o sc o s这里：
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94
其中 ②,③ 两部分的形状与 完全相同。
① 载频 项,无直流就无此项；ctfm
可见，已调信号由三部分组成：
② 上边带,和频项0 nc?
③ 下边带,差频项0 nc?
mF
m?
F
mc c? mc
tfm
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95
ttmfAtf cm?c o s 1⑵
它包含有载频项,为调幅指数，常用百分数表示（中波为 30%）。
10 mm 取
ttm A ftAtf cmc c o sc o s
cmcmcc FFmAAjF 21
与 ⑴ 中相比多了两个冲激（载波），于是不管 中是否有直流，已调波中均带有载波，这样便于接收机进行相干解调。
tfm
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96
解调,将原信号 从已调信号上取下来的过程。?tf
m
方法,相干解调，非相干解调。
⑴ 相干解调,利用与发送端同频同相的载波解调的方法。
tf
tf
m
tc?cos
tg
低通tf
m
tc?cos
cmcmm FFFjG 24124121由前有：
再利用一带宽为 的低通滤波器，即可以恢复原信号 。
mtfm
频分复用通信 —— 信号的解调上一页 2009-7-29
97
相干解调要求有同频同相的载波，否则解调将发生失真；
电路复杂。如果利用其调制波的特点而不用载波将大大简化接收设备 —— 非相干解调。
⑵ 非相干解调,（对调幅称为检波，对调频称为鉴频）
分为小信号（平方律）检波（电压 ）和包络线检波（电压 ）。
V20.?
V50.?
ttAttmfAtf ccm c o sc o s 1
2210 ddd uauaai① 平方律检波,当信号较小时上一页 2009-7-29
98
di
du
2210 ttAattAaai ccd c osc os
ttAattAaatAa cc 22121 221220 c o sc o s
tfu d?若工作点很低时，
其中 项等高频分量由 滤除,包含有所需的原 分量，而
cc 2 及 1C 222
1 atA
tfm
tfmAtmfAAtA mm 222222 2121
1C
2C
D
Rtftf
m
di
du?
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99
tmfaAtfmaAaAai mmd 222222220 2121∴
第一项为直流，由 去掉；第三项为有用信号,m 大好；第二项频率不高，不易去掉，易造成失真，与 m 的平方成正比，故 m 不宜大。
2C
② 线性检波,信号较大时基本上沿着调幅波的包络线，但有很大起伏，若保持,增加,则电容放电时间减少，波形起伏较小，检波器输出电压波形就基本上与调幅波包络线一致从而再现 信号。?tf
m
tfm
c?
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100
用频率搬移手段，将原来各路频谱相同的信号，搬移到不同的频率段，以达到信道复用，且消除相互干扰的目的。
频分复用通信
tf
m1
tc1?cos
低通tf
m1
tf
m2
tc 2?cos
低通
tf
m3
tc3?cos
低通
tc1?cos
tc 2?cos
tc3?cos
tfm2
tfm3
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101频移特性要注意的是频移特性与时移特性有完全相似的形式，这也是傅里叶变换对称互易特性的体现，如：
00 tjett
由对称特性有：
00 220 tje
例,∵
021 00 tjtj ee
有虚指数信号：
21 1t
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102
卷积定理旋积或卷积 (英语,Convolution)是通过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的
g 的重叠部分的累积。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
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103卷积的应用在 GSM系统中卷积码得到广泛的应用 。 例如在全速率业务信道和控制信道就采用了 （ 2,1,4） 卷积编码上一页 2009-7-29
104卷积的应用
卷积码在 CDMA/IS-95系统也得到广泛应用。由于前向信道是一点对多点的传输，基站可以向移动台发射导频信号，
移动台利用导频信号进行相干解调，而反向信道是多点对一点的传输，采用导频是不现实的，基站只能采用非相干解调。因此，很难保证基站接收各移动台发来的信号都是正交的。所以在反向信道采取许多措施提高抗干扰能力，
加大编码码距就是其中之一。
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105
卷积定理若则有：
jFtfjFtf 2211,
⑴ 时域卷积特性,变卷积运算为积分运算
⑵ 频域卷积特性,又称为乘积特性,与上有互易关系若 jFtfjFtf
2211,
则有：
jFjFtftf 2121
jFjFtftf 2121 2 1
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106
微分特性若,则有：jFtf?
例,∵
1?t?
则有：
jt
jFjtfdtd?
jFjtfdtd nn
n
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107
例 题例,求如图所示非周期信号的频谱。
tf
A
a
t
bb? a?方法一,利用基本积分公式
dtetfjF tj
btabt
ab
A
ataA
atbbt
ab
A
tf
分段积分：
dtebtab AjF tjab
aa tj dtAe?
dtebtab A tjb
a
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108
tf
tf?
tf?
t
A
t
a
t
bb? a?
方法二,利用微分性质：
jFjtfdtd?
btatab Aatbtab Atf
btatatbtab Atf
ajajbjbj eeeeab Atf
abab A c o sc o s2
jFjFjtfjFtf 22,
baab Aabab AjF c o sc o s2c o sc o s2 22
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109
积分特性若,则有：jFtf 00?F
jFjdft 1
jFjFdft 10 00?F
当 时，为：
例,∵1,tt t d
∴
1t j
jjtt 221212s g n
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110
频域的微分与积分特性
，则有：jFtf?⑴ 微分,若
jFd dtfjt
，或
jFd djtft?
jFd dtfjt nnn,或 jFd djtft n
nnn?
例,∵,∴
211dt t j jdj
jd djtt 221
∵,∴21?
222 jd djttt
1t j
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111
频域的微分与积分特性
，则有：jFtf?⑵ 积分,若
00?f,10,1 jFtf
jttf
2 10 djFf
00?f,1,1?jFtf
jt
jjFtft 11
例,∵
∴
,11si njt 0sin 0tt
11 djjt ts i n
11
11 d
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112
⑴
d11
其中 ω 是变化的，变化范围是（ -∞,∞ ），所以上面的积分式应根据被积函数的情况要分几个区域：
,将频率区域分成了三块（ -∞,-1）、
（ -1,1）、（ 1,∞ ），所以,
11
1
1 1111 dd
000111
d
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113
⑵
11
1 1111 dd
1
1
1
1 1111 dd
10010111
d
⑶?
1
1 1111 dd
11 1 1111 dd
00110
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114
已 知, 1, tjFtf
互易特性, 21,2 ftF
时移特性,
00 00 tjtj ettjFettf,
互易特性,
000 22 00 tjtj eett,
频移特性,
00 2 00 tjtj eFtfe,?
时域微分特性, jttjFjtf 1,,
时域积分特性：
1 10,Fjf t F t
jj
线性特性,12
s g n 2 1 2 2tt jj
频域微分特性：
211,ddt f t j F j t t j jd d j
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115
能量谱与功率谱非周期信号的能量频谱周期信号的功率频谱本节讨论周期信号的功率在时域和频域的对应关系，非周期信号的能量在时域和频域的对应关系。
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116
非周期信号的能量频谱非周期信号所具有的能量是表征信号特征的另一个重要参数，它等于在全部时间内消耗于 1Ω 电阻上的总能量 ——
归一化能量。
,2 1 dejFtf tj dtetfjF tj变换式：
2 2 1 dtdejFtfdttfE tj
信号的能量公式可写成,
ddtetfjF tj 2 1
（交换积分顺序）
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117
非周期信号的能量频谱
2
2
1
2
1
djFdjFjF
∴
非周期信号的归一化能量在时域中与在频域中也保持恒等 —— 帕斯瓦尔（ Parseval）时频能量恒等式 。
djFdttfE 22 2 1
2 1 djFjF
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118
由于非周期信号可分解成振幅为无穷小的频率分量，其各频率分量的能量也是无穷小，为表示能量在频率中的分布情况，也可以借助于密度的概念：定义单位角频率的信号能量为能量密度频谱函数 （ 能量频谱 ），用 表示，依此，信号在整个频率范围内的全部能量应为：
与前式比较有,其单位为,J?S。
G
dGdffGE 2 1
2 jFG?
00 2
1
dGdffGE
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119
非周期信号的能量频谱信号能量频谱与信号频谱函数模值的平方有关，而与其相位无关。同样根据能量频谱 画出的频谱曲线，称为能量密度频谱曲线。依据该曲线可以研究信号能量的分布情况，从而可适当选择系统或电路的通频带，以便充分利用信号能量，发挥系统效能。
G?
G
o
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120
信号的 能量（功率）频谱 概念为定义信号的持续时间 t 和频带宽度 B 提供了又一个方法。有些信号从理论上讲，其持续时间或频带宽度是无限的，但从能量（功率）分布来看，其绝大部分能量（功率）都分布在一定范围内，超出此范围，其能量（功率）很小，可忽略不计。因此,定义集中了 90％信号能量（功率）的时间为信号的 有效持续时间,定义集中了 90％
信号能量（功率）的频带宽度为信号的 有效频带宽度 。
以上所述，周期信号在时域内的功率和在频域内的功率相等，而非周期信号在时域内的能量与在频域内的能量相等，这是功率（能量）守恒定理在信号分析中的体现，也是信号的时间特性与频率特性的又一重大关系。
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121周期信号的傅里叶变换序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
122
正弦、余弦信号的傅里叶变换
∴ 由频移特性可得：
于是正弦信号与余弦信号就可以得到,
1?t?
021 00 tjtj ee
000 2c o s 00 tjtj eet
000 2 00 jjeet tjtjs i n
00 j
由互易特性可得,21?
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123
1
t
t0cos?
1
t
t0sin?
o
jF
0?0
o
jF
0?
0
t
2?
o
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124
一般周期信号当周期信号 的周期为 T 时，可将 展开为：ftft
n
tjn
n eFtf
n
n
n
tnj
n
tj
n
tjn
n nFdteFdteeFtf
2
周期信号的频谱是以 Ω 间隔的冲激序列，每个冲激函数强度为 2πFn。可见，信号的频谱与其指数频谱的形状相同，
只是谱线变成了冲激，强度增加了 2π倍。
2
2
1 T
T
tjn
n dtetfTF T
2
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125
例 题例,周期信号
m
T mTtttf
（ m 为整数 ）
n
tjn
T eTt
1?即
TdtetTF
T
T
tjn
n
11 2
2
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126
冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列,
所不同的是：一个在时域中,间隔为 T,强度为 1 ；一个是在频域中,间隔为 Ω,强度也为 Ω。
nn
T nnTt
12
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127
理想低通滤波器
除去不需要的成分∶滤波要求不失真∶传输系统对信号的处理分为两种实际电路两种作用兼而有之,对放大电路而言，主要目的是放大（加权），但放大电路都有通频带，因而在通频带以外的部分被滤除了；现在的滤波电路均为有源滤波电路，因而在其通频带范围内的信号除可以顺利通过外，并被放大。
滤波器功能,使信号中某一部分频率成份可以通过或保留，
而另一部分被拦住或剃除。
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128
理想低通滤波器按实际通频带情况滤波器可以分为低通、高通、带通、
带阻滤波器；按是否放大可分为无源滤波器、有源滤波器。
无源滤波器可用仅含有 LC,LR,RC,RLC 单口或双口网络实现，有源滤波器是在无源滤波器的基础上加上放大器构成。
低通
Hf
高通
Lf
带通
Lf Hfof
带阻
Hf Lfof
HLo fff?
低通 高通低通高通上一页 2009-7-29
129
理想低通的频域特性和冲激响应
jH
dt?
c?c
1
c?c
cg2
1
0
2
c
d
d
ge
e
jH tj
c
c
tj
c
c
c
g
0
1
2
其中：
冲激响应,
deedejHth tjtjtj d2 12 1
dcc
ttj ttSadec
c
d
2
1
jH
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理想低通的冲激响应
o
又 ∵
∴ ① 互易性：
不难得出,
2
2
0
2
1
SajF
t
t
tf
ftFjFtf 2
fg c2
Fj?
tf
2 2?
t
1
o
o
2
于是有：
c
tjFth
2
1 2
1
tSaSa cct
c
2
22
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理想低通的冲激响应
② 时移性,jFtf?
dtjd ejFttf
dccd ttSatthth1
5.0
1
c
dt?
th
th1
c
c
dt?
t
t
dt
st
rt
tg信号有效持续时间,集中了信号 90%（或以上）能量的时间，
用 ts 表示。
jF 第一个零点频率：
2
2
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th 第一个零点时间：
∴
c
c
2
2
2
ccc
s fft
1
2
22
ts 与 ωc 成反比：当 时，,低通滤波器成无失真传输系统,
c? 0?st
冲激 dcc ttSath
可见，由于 ωc的存在，导致信号失真，这再次说明了：
快速传输（持续时间短）且不失真或失真小就要相应展宽系统的频带。
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求阶跃响应,t h t t g t h t
xtdtSadhtg dct dcct 令
正弦积分函数 xSttS idci121
cc dxx xdxx xdxx xx 00 s i n1s i n1s i n1
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有些书上把上升时间称作建立时间，定义也可以不同，
如,的值从 0 升到 1 所用的时间为 ；从 升到所用的时间为 。
tg
c?
84.3 101 109
c?
8.2
tr 体现了系统对阶跃信号的反应能力,ωc越小,tr 就越长，所以要使脉冲通过系统后的波形不失真，系统带宽就要大。实际上它反映了：脉冲信号频带宽，要求系统的频带也要宽。
定义,阶跃响应从最小到最大所需要的时间为阶跃响应的上升时间 tr,显然：
Btt csr
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还可以看出：
① tr 时间前后出现了上下起伏的现象，最大值为突变值的
9%左右,ωc 加大，峰值位置趋于间断点，振荡加多，衰减加快，但最大峰值不减小 —— 吉布斯现象；
② 相对输入有失真，上升之前有 的振荡（阶跃响应、
冲激响应非因果），上升之后，有 的振荡。
t
t
5.0
1
c
dt?
th
th1
c
c
dt?
t
t
dt
st
rt
tg
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136信号的抽样与抽样定理、时分复用序言连续时间信号的频域分析周期信号的分解 — 傅里叶级数周期信号的频谱分析三角形式指数形式周期信号的频谱分析周期信号的功率频谱非正弦周期信号的有效值非周期信号的分解 — 傅里叶变换由级数到变换变换常用信号的变换奇异函数的变换傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换信号的抽样与抽样定理,时分复用上一页 2009-7-29
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