第 1章 时域离散信号和时域离散系统第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
1.2 时域离散信号
1.3 时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
1.5 模拟信号数字处理方法第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言信号通常是一个自变量或几个自变量的函数 。 如果仅有一个自变量,则称为一维信号；如果有两个以上的自变量,则称为多维信号 。 本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术 。 关于信号的自变量,有多种形式,可以是时间,距离,温度,电压等,本书一般地把信号看作时间的函数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统本章作为全书的基础,主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号,线性时不变系统的因果性和稳定性,以及系统的输入输出描述法,线性常系数差分方程的解法 。 最后介绍模拟信号数字处理方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样,采样间隔为 T，
得到
( ) ( ),( 1,2,1 )a t n T ax t x n T n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统这里 n取整数 。 对于不同的 n值,xa(nT)是一个有序的数字序列,… xa(-T),xa(0),xa(T)…,该数字序列就是时域离散信号 。 实际信号处理中,这些数字序列值按顺序放在存贮器中,此时 nT代表的是前后顺序 。
为简化,采样间隔可以不写,形成 x(n)信号,x(n)可以称为序列 。 对于具体信号,x(n)也代表第 n个序列值 。
需要说明的是,这里 n取整数,非整数时无定义,另外,
在数值上它等于信号的采样值,即
x(n)=xa(nT),-∞＜ n＜ ∞(1.2.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统信号随 n的变化规律可以用公式表示,也可以用图形表示 。 如果 x(n)是通过观测得到的一组离散数据,则其可以用集合符号表示,例如：
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1
1,单位采样序列 δ(n)
1,n=0
0,n≠0 (1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列,特点是仅在 n=0时取值为 1,其它均为零 。 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数 δ(t),但不同的是 δ(t)在 t=0时,
取值无穷大,t≠0时取值为零,对时间 t的积分为 1。 单位采样序列和单位冲激信号如图 1.2.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
－ 1 0 1 2 3
1
n
δ ( n )
δ ( t )
t
0
( a ) ( b )
图 1.2.1
(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,单位阶跃序列 u(n)
1,n≥0
0,n＜ 0 (1.2.4)
单位阶跃序列如图 1.2.2所示 。 它类似于模拟信号中的单位阶跃函数 u(t)。 δ(n)与 u(n)之间的关系如下式所示：
δ(n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5)
(1.2.6)
令 n-k=m,代入上式得到
0
( ) ( )
k
u n n k?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
u ( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.2 单位阶跃序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
3,矩形序列 RN(n)
1,0≤n≤N-1
0,其它 n (1.2.8)
上式中 N称为矩形序列的长度 。 当 N=4时,R4(n)的波形如图 1.2.3所示 。 矩形序列可用单位阶跃序列表示,
如下式：
RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9)
( ) ( )
n
n
u n m?
(1.2.7)
RN(n)=
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
R
4
( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.3 矩形序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
4,实指数序列
x(n)=anu(n),a为实数如果 |a|<1,x(n)的幅度随 n的增大而减小,称 x(n)为收敛序列；如 |a|>1,则称为发散序列 。 其波形如图
1.2.4所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.4 实指数序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
5,正弦序列
x(n)=sin(ωn)
式中 ω称为正弦序列的数字域频率,单位是弧度,
它表示序列变化的速率,或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数 。 xa(t)
采样得到的,那么
xa(t)=sin(Ωt)
xa (t)|t=nT=sin(ΩnT)
x(n)=sin(ωn)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因为在数值上,序列值与采样信号值相等,因此得到数字频率 ω与模拟角频率 Ω之间的关系为
ω=ΩT (1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义,它表示凡是由模拟信号采样得到的序列,模拟角频率 Ω与序列的数字域频率 ω
成线性关系 。 由于采样频率 fs与采样周期 T互为倒数,
也可以表示成下式：
sf
(1.2.11)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
6,复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中 ω0为数字域频率,设 σ=0,用极坐标和实部虚部表示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于 n取整数,下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n,M=0,± 1,± 2…
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
7.
如果对所有 n存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ (1.2.12)
则称序列 x(n)为周期性序列，周期为 N，注意 N要取整数。例如：
上式中，数字频率是 π/4，由于 n取整数，可以写成下式：
( ) s i n ( )4x n n
( ) s i n ( ( 8 )4x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表明 是周期为 8的周期序列,也称正弦序列,如图 1.2.5所示 。 下面讨论一般正弦序列的周期性 。
x(n)=Asin(ω0n+υ)
那么
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+υ)=Asin(ω0n+ω0N+υ)
x(n+N)=x(n)
sin( )4 n?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.5 正弦序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统则要求 N=(2π/ω0)k,式中 k与 N均取整数,且 k的取值要保证 N是最小的正整数,满足这些条件,正弦序列才是以 N为周期的周期序列 。
种情况：
(1)当 2π/ ω0为整数时,k=1,正弦序列是以 2π/ ω0
为周期的周期序列 。 例如 sin(π/8)n,ω0 =π/8,2π/ ω0
=16,该正弦序列周期为 16。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) 2π/ ω0不是整数,是一个有理数时,设 2π/ ω0
=P/Q,式中 P,Q是互为素数的整数,取 k=Q,那么 N=P，
则正弦序列是以 P为周期的周期序列 。 例如 sin(4/5)πn，
ω0 =(4/5)π,2π/ ω0 =5/2,k=2,该正弦序列是以 5为周期的周期序列 。
(3)2π/ ω0是无理数,任何整数 k都不能使 N为正整数,因此,此时的正弦序列不是周期序列 。 例如,ω0
=1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列 。 对于复指数序列 ejω0 n
的周期性也有同样的分析结果 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统以上介绍了几种常用的典型序列,对于任意序列,
常用单位采样序列的移位加权和表示,即
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
(1.2.13)
式中
δ(n-m)= 1,n=m
0,n≠m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统这种任意序列的表示方法,在信号分析中是一个很有用的公式 。 例如,x(n)的波形如图 1.2.6所示,可以用 (1.2.13)式表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-
δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2
在数字信号处理中,序列有下面几种运算,它们是乘法,加法,移位,翻转及尺度变换 。
1.
序列之间的乘法和加法,是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加,如图 1.2.7所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.7 序列的加法和乘法第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,移位,
设序列 x(n) 用图 1.2.8(a) 表示,其移位序列 x(n-
n0)(当 n0 =2时 )用图 1.2.8(b)表示；当 n0 >0时称为 x(n)的延时序列；当 n0 <0时,称为 x(n)的超前序列 。 x(-n)则是 x(n)的翻转序列,用图 1.2.8(c)表示 。 x(mn)是 x(n)序列每隔 m点取一点形成的,相当于时间轴 n压缩了 m倍 。
当 m=2时,其波形如图 1.2.8(d)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3 时域离散系统设时域离散系统的输入为 x(n),经过规定的运算,
系统输出序列用 y(n)表示 。 设运算关系用 T［ ·］ 表示,
输出与输入之间关系用下式表示：
y(n)=T［ x(n)］ (1.3.1)
其框图如图 1.3.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.1 时域离散系统
y ( n )x ( n )
][?T
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统 。 设 x1(n)和
x2(n)分别作为系统的输入序列,其输 出分别用 y1(n)和
y2(n)表示,即
y1(n)=T［ x1(n)］,y2(n)=T［ x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T［ x1(n)+x2(n)］ = y1(n)+y2(n) (1.3.2)
T［ a x1(n)］ =ay y1(n) (1.3.3)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统满足 (1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足 (1.3.3)
式称为线性系统的比列性或齐次性,式中 a是常数 。 将以上两个公式结合起来,可表示成：
y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) (1.3.4)
上式中,a和 b均是常数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.1 证明 y(n)=ax(n)+b(a和 b是常数 ),所代表的系统是非线性系统 。
证明 y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b
y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b
y(n)=T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此,该系统不是线性系统 。 用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统 。
0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2
如果系统对输入信号的运算关系 T［ ·］ 在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系统,用公式表示如下：
y(n)=T［ x(n)］
y(n-n0)=T［ x(n-n0)］ (1.3.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.2检查 y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统,上式中 a和 b是常数 。
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b
y(n- n0)=T［ x(n- n0)］
因此该系统是时不变系统 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.3检查 y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统 。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
T［ x(n- n0)］ =nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［ x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统 。 同样方法可以证明所代表的系统不是时不变系统 。
0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.3
设系统的输入 x(n)=δ(n),系统输出 y(n)的初始状态为零,定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应,用 h(n)表示 。 换句话说,单位取样响应即是系统对于 δ(n)的零状态响应 。 用公式表示为
h(n)=T［ δ(n)］ (1.3.6)
h(n)和模拟系统中的 h(t)单位冲激响应相类似,都代表系统的时域特征 。
设系统的输入用 x(n)表示,按照 (1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
m
m
m
y n T x m n m
y n x m n m
y n T x m h n m
x n h n
根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质
(1.3.7)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中的符号,*” 代表卷积运算,(1.3.7)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积 。 只要知道系统的单位取样响应,按照
(1.3.7)式,对于任意输入 x(n)都可以求出系统的输出 。
下面介绍卷积运算的求解过程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统按照 (1.3.7)式,① 将 x(n)和 h(n)用 x(m)和 h(m)表示,
并将 h(m)进行翻转,形成 h(-m)； ② 将 h(-m)移位 n,得到 h(n-m)。 当 n>0时,序列右移； n<0时,序列左移；
③ 将 x(m)和 h(n-m)相同 m的序列值对应相乘后,再相加 。
按照以上三个步骤可得到卷积结果 y(n)。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.4设 x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求 y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照 (1.3.7)式,
上式中矩形序列长度为 4,求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上,下限,R4(m)的非零值区间为,0≤m≤3,R4(n-m)的非零值区间为,0≤n-
m≤3,其乘积值的非零区间,要求 m同时满足下面两个不等式：
44( ) ( ) ( )
m
y n R m R n m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
0≤m≤3
n-3≤m≤n
因此，
0
3
3
0 3,( ) 1 1
4 6,( ) 1 7
n
m
mn
n y n n
n y n n
当当第 1章 时域离散信号和时域离散系统卷积过程以及 y(n)波形如图 1.3.2所示,y(n)用公式表示为
n+1 0≤n≤3
y(n)= 7-n 4≤n≤6
0 其它第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.2 例 1.3.4线性卷积
R
4
( n )
0 1 2 3
n
0－ 1
m
R
4
( － m )
－ 2－ 3
R
4
( n )
0 1 2 3
n
m
R
4
( m )
0－ 1 2 3
m
R
4
(1 － m )
－ 2 1
1
1
1
1
0－ 1 2 3
m
R
4
(2 － m )
1
1
0 2 3
n
y ( n )
1
1
2
3
4
4 5 6 7
第 1章 时域离散信号和时域离散系统卷积中主要运算是翻转,移位,相乘和相加,这类卷积称为序列的线性卷积 。 设两序列分别的长度是 N和
M,线性卷积后的序列长度为 (N+M-1)。
从交换律,结合律和分配律 。 它们分别用公式表示如下：
x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8)
x(n)*［ h1(n)*h2(n)］ =(x(n)*h1(n))*h2(n) (1.3.9)
x(n)*［ h1(n)+h2(n)］ =x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统以上三个性质请自己证明 。 (1.3.8)式表示卷积服从交换律 。 (1.3.9)和 (1.3.10)式分别表示其结合律和分配律 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.3 卷积的结合律和分配律
h
1
( n ) h
2
( n )
h
1
( n ) h
2
( n )
y ( n )x ( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n ) ＋ h
2
( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n )
h
2
( n )
y ( n )x ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
*
第 1章 时域离散信号和时域离散系统再考查 (1.2.13)式,它也是一个线性卷积公式,它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,表示如下：
如果序列与一个移位的单位取样序列 δ(n-n0)进行线性卷积,就相当于将序列本身移位 n0(n0是整常数 ),如下式表示：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n
(1.3.11)
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
y n x n n n
x m n n m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式中只有当 m=n-n0时,才可能有非零值,因此得到
y(n)=x(n- n0)
x(n- n0)=x(n)*δ(n- n0) (1.3.12)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.5在图 1.3.4中,h1(n)系统与 h2(n)系统级联,设
x(n)=u(n)
h1(n)=δ(n)-δ(n-4)
h2(n)=anu(n),|a|<1
求系统的输出 y(n)。
图 1.3.4 例 1.3.5框图
h 1 ( n ) h 2 ( n )
y ( n )x ( n ) m ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统解先求第一级的输出 m(n),再求 y(n)。
m(n)=x(n)*h1(n)
=u(n)*［ δ(n)-δ(n-4)］
=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)
=u(n)-u(n-4)
=R4(n)
y(n)=m(n)*h2(n)
=R4(n)*anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
=anu(n)*［ δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］
=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)
还可以将 y(n)用下式表示
y(n)=δ(n)+(1+a)δ(n-1)+(1+a+a2)δ(n-2)+
u(n-3)
3
0
[]nk
k
aa?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.4
如果系统 n时刻的输出,只取决于 n时刻以及 n时刻以前的输入序列,而和 n时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质,或称该系统为因果系统 。 如果 n时刻的输出还取决于 n时刻以后的输入序列,在时间上违背了因果性,系统无法实现,则系统被称为非因果系统 。 因此系统的因果性是指系统的可实现性 。
线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：
h(n)=0,n<0 (1.3.13)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统满足 (1.3.13)式的序列称为因果序列,因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列 。 因果性系统的条件 (1.3.13)式从概念上也容易理解,因为单位取样响应是输入为 δ(n)的零状态响应,在 n=0时刻以前即 n<0时,
没有加入信号,输出只能等于零,因此得到因果性条件 (1.3.13)式 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.5 非因果系统的延时实现
0 1 2
1
n
x ( n )
0 1－ 1
1
n
h ( n )
0 1 2
1
n
h ( n )
（ a ） （ b ） （ c ）
0 1 2
1
n
y ( n )
3－ 1
2
3
0 1 2
1
n
y ( n )
3
2
3
（ d ） （ e ）
′
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统所谓稳定系统,是指系统有界输入,系统输出也是有界的 。 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和,用公式表示为
()
n
hn?
(1.3.14)
证明 先证明充分性 。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
y n h k x n k
y n y k x n k
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因为输入序列 x(n)有界,即
|x(n)|<B,-∞<n<∞,B为任意常数如果系统的单位取样响应 h(n)满足 (1.3.14)式,那么输出 y(n)一定也是有界的,即
|y(n)|<∞
( ) ( )
k
y n B h k
第 1章 时域离散信号和时域离散系统下面用反证法证明其必要性 。 如果 h(n)不满足
(1.3.14)式,即,那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出,例如：
()
n
hn
()
,( ) 0
()
0,( ) 0
hn
hn
hn
hn
x(n)=
( ) ( ) ( )
()
( 0) ( ) ( ) ( ) ( )
()
k
k k k
y n h k x n k
hk
y h k x n k h k h k
hk
令 n=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.6 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应
h(n)=anu(n),式中 a是实常数,试分析该系统的因果稳定性 。
解 由于 n<0时,h(n)=0，所以系统是因果系统。
1
00
1( ) l i m l i m nNnn
NNn n n
ah n a a
a
只有当 |a|<1时
1()
1n hn a
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因此系统稳定的条件是 |a|<1；否则,|a|≥1时,系统不稳定 。 系统稳定时,h(n)的模值随 n加大而减小,此时序列 h(n)称为收敛序列 。 如果系统不稳定,h(n)的模值随 n加大而增大,则称为发散序列 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.7 设系统的单位取样响应 h(n)=u(n),求对于任意输入序列 x(n)的输出 y(n),并检验系统的因果性和稳定性 。
h(n)=u(n)
y(n)=x(n)*h(n)=
因为当 n-k<0时,u(n-k)=0； n-k≥0时,u(n-k)=1，
因此，求和限为 k≤n，所以
( ) ( )
k
x k u n k
( ) ( )
n
k
y n x k
(1.3.15)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表示该系统是一个累加器,它将输入序列从加上之时开始,逐项累加,一直加到 n时刻为止 。 下面分析该系统的稳定性：
0
( ) ( )
nn
h n u n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程描述一个系统,可以不管系统内部的结构如何,
将系统看成一个黑盒子,只描述或者研究系统输出和输入之间的关系,这种方法称为输入输出描述法 。 对于模拟系统,我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系 。 对于时域离散系统,则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系 。 对于线性时不变系统,
经常用的是线性常系数差分方程,本节主要介绍这类差分方程及其解法 。 差分方程均指线性常系数差分方程,本书中不另说明 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.1
一个 N阶线性常系数差分方程用下式表示：
01
0
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ),1
MN
ii
ii
NM
ii
ii
y n b x n i a y n i
a y n i b x n i a
(1.4.1)
(1.4.2)
或者第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中,x(n)和 y(n)分别是系统的输入序列和输出序列,ai和 bi均为常数,式中 y(n-i)和 x(n-i)项只有一次幂,
也没有相互交叉项,故称为线性常系数差分方程 。 差分方程的阶数是用方程 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之差确定的 。 在 (1.4.2)式中,y(n-i)项 i最大的取值为 N,i
的最小取值为零,因此称为 N阶的差分方程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.2
已知系统的输入序列,通过求解差分方程可以求出输出序列 。 求解差分方程的基本方法有以下三种：
(1)经典解法 。
(2)递推解法 。
(3)变换域方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1.4.1)式表明,已知输入序列和 N个初始条件,则可以求出 n时刻的输出；如果将该公式中的 n用 n+1代替,
可以求出 n+1时刻的输出,因此 (1.4.1)式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程 。
例 1.4.1 设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,
输入序列 x(n)=δ(n),求输出序列 y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程,需要一个初始条件 。
(1) 设初始条件 y(-1)=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
…
n=n时,y(n)=an
y(n)=anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2)设初始条件 y(-1)=1
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
…
n=n时,y(n)=(1+a)an
y(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统该例表明,对于同一个差分方程和同一个输入信号,因为初始条件不同,得到的输出信号是不相同的 。
对于实际系统,用递推解法求解,总是由初始条件向 n>0的方向递推,是一个因果解 。 但对于差分方程,
其本身也可以向 n<0的方向递推,得到的是非因果解 。
因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统,还需要用初始条件进行限制 。 下面就是向 n<0
方向递推的例题 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.4.2 设差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中
x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0，求输出序列 y(n)
n=1时,n=0时,n=-1时,…n=-n时,
y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))
y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0
y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1
y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2
y(n-1)=-a n-1
将 n-1用 n代替,得到
y(n)=-anu(-n-1)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.4.3 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)
描述,初始条件 y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非时变系统 。
解 如果系统具有线性非时变性质,必须满足
(1.3.4)和 (1.3.5)两式 。 下面通过设输入信号 x1(n)=δ(n)，
x2(n)=δ(n-1)和 x3(n)=δ(n)+δ(n-1)来检验系统是否是线性非时变系统 。
(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1
y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
这种情况和例 1.4.1(2)相同,因此输出如下式：
y1(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1
y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)
n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,
y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a
y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2
y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a
y2(n)=(1+ a2)a n-1
y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(3) x3(n)=δ(n)+δ(n-1); y3(-1)=1
y3(n)=a y3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)
n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,
y3(0)=a y3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a
y3(1)=a y3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2
y3(2)=a y3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+ a2)a
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)δ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统由情况 (1)和情况 (2),得到
y1(n)=T［ δ(n)］
y2(n)=T［ δ(n-1)］
y2(n)≠y1(n-1)
因此该系统不是时不变系统 。 再由情况 (3)得到
y3(n) =T［ δ(n)+δ(n-1)］
≠T［ δ(n)］ +T［ δ(n-1)］
y3(n)≠y1(n)+y2(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5 模拟信号数字处理方法在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点,因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号,再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕,如果需要,再转换成模拟信号,这种处理方法称为模拟信号数字处理方法 。 其原理框图如图 1.5.1所示 。 图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍 。 本节主要介绍采样定理和采样恢复 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.1 模拟信号数字处理框图预滤 A / D C 数字信号处理 D / A C 平滑滤波
y a ( t )x a ( t )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.1 采样定理及 A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关 S。 设电子开关每隔周期 T合上一次,每次合上的时间为 τ<<T,在电子开关输出端得到其采样信号 。
()axt?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.2 对模拟信号进行采样第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式中 δ(t)是单位冲激信号,在上式中只有当 t=nT
时,才可能有非零值,因此写成下式：
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
a aa
n
P t t nT
x t x t P t x t t nT
(1.5.1)
( ) ( ) ( )a a
n
x t x T t n T?
(1.5.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统我们知道在傅里叶变换中,两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,
按照 (1.5.2)式,推导如下：
设
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) 2 ( )
aa
aa
ks
k
X j F T x t
x j F T x t
P j F T P t
P j a k
(1.5.3)
按照 (1.5.1)式,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中,Ωs=2π/T,称为采样角频率,单位是弧度 /秒,
/2
/2
11
()
2
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
1
( ) ( )
1
()
s
T
jk
k
T
s
k
aa
as
k
as
k
as
k
a t e dt
TT
P j k
T
X j X j P j
X j k d
T
X j k d
T
X j jk
T
(1.5.4)
(1.5.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴,每间隔采样角频率 Ωs重复出现一次,或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs为周期,进行周期性延拓而成的 。
在图 1.5.3中,设 xa(t)是带限信号,最高截止频率为 Ωc,其频谱 Xa(jΩ)如图 1.5.3(a)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.3 采样信号的频谱
0 Ω
c
－ Ω
c
X
a
(j Ω )
P ( j Ω )
－ Ω
s
Ω
s
Ω
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
Ω
c
Ω
s
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
＾
2
s
0
－ Ω
s
Ω
s
－ Ω
s
δ
2
s
2
s
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
()Gj
1
,
2
1
0,
2
s
s
T
(1.5.6)
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ]
1
( ) ( ),
2
1
( ) ( ),
2
a
aa
aa
a a c s
a a c s
Y j FT Y t X j G j
Y t F T Y j
Y t x t
Y t x t
第 1章 时域离散信号和时域离散系统需要说明：一般频谱函数是复函数,相加应是复数相加,图 1.5.3和图 1.5.4仅是示意图 。 一般称 fs/2为折叠频率,只有当信号最高频率不超过该频率时,才不会产生频率混叠现象,否则超过 fs /2的频谱会折叠回来形成混叠现象,因此频率混叠均产生在 fs /2附近 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的,用公式 (1.5.5)表示 。
(2)设连续信号 xa(t)属带限信号,最高截止频率为
Ωc,如果采样角频率 Ωs≥2Ωc,那么让采样信号 x^a(t)通过一个增益为 T,截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器,
可以唯一地恢复出原连续信号 xa(t)。 否则 Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象,不可能无失真地恢复原连续信号 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.4 采样恢复
0
X
a
(j Ω )
Ω
＾
G (j Ω )
x
a
( t ) y
a
( t )
0
G (j Ω )
Ω
－ π/ T π/ T
0
X
a
(j Ω )
Ω
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.5 A/DC原理框图采样 量化编码
x a ( t ) x ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统将模拟信号转换成数字信号由
A/DC(Analog/DigitalConverter)完成,A/DC的原理框图如图 1.5.5所示。通过按等间隔 T对模拟信号进行采样，
得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离散信号 (序列 )。设 A/DC有 M位，那么用 M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号
xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中 f=50Hz，选采样频率
fs=200Hz，将 t=nT代入 Xa(t)中，得到采样数据：
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1
( ) s i n ( 2 ),
8
50
s i n ( 2 )
2 0 0 8
1
s i n ( )
28
a
s
x n T f n T T
f
n
n
当 n=…0,1,2,3,…时,得到序列 x(n)如下：
x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.2 将数字信号转换成模拟信号下面由 (1.5.6)式表示的低通滤波器的传输函数 G(jΩ)
推导其单位冲激响应 g(t)：
/2
/2
1
( ) ( )
2
1
2
sin( / 2 )
/2
sin( / )
()
/
s
s
jt
jt
s
s
g t G j e d
T e d
t
t
tT
gt
tT
因为 Ωs=2πfs=2π/T,因此 g(t)也可以用下式表示：
第 1章 时域离散信号和时域离散系统将 (1.5.7)式表示的 g(t)和 (1.5.2)式表示的 x^a(t)代入上式,得到
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
si n( ( ) / )
()
( ) /
si n( ( ) / )
()
( ) /
()
aa
n
a
n
a
n
a
n
a
n
y t x nT nT g t d
x nT nT g t d
x nT g t nT
t nT T
x nT
t nT T
t nT T
x nT
a
t nT T
xt
(1.5.8)
(1.5.9)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.6 内插函数 g(t)波形第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.7 理想恢复第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.8 D/AC方框图解码 零阶保持 平滑滤波
x ( n ) x
a ( t )x a ( n T) x a ( t )
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统由时域离散信号 xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程 。 理想低通滤波的方法是用 g(t)函数作内插函数,还可以用一阶线性函数作内插 。 零阶保持器是将前一个采样值进行保持,一直到下一个采样值来到,再跳到新的采样值并保持,因此相当于进行常数内插 。 零阶保持器的单位冲激函数 h(t)以及输出波形如图 1.5.9所示 。 对 h(t)进行傅里叶变换,得到其传输函数：
0
/2
( ) ( )
sin( / 2 )
/2
T
j t j t
jT
H j h t e dt e dt
T
Te
T
(1.5.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.9 零阶保持器的输出波形第 1章 时域离散信号和时域离散系统其幅度特性和相位特性如图 1.5.10所示 。 由该图看到零阶保持器是一个低通滤波器,能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用 。 图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性 。 零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别,主要是在 |Ω|>π/T区域有较多的高频分量,表现在时域上,就是恢复出的模拟信号是台阶形的 。 因此需要在
D/AC之后加平滑低通滤波器,滤除多余的高频分量,对时间波形起平滑作用,这也就是在图 1.5.1模拟信号数字处理框中,最后加平滑滤波的原因 。 虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真,但简单,易实现,是经常使用的方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.10 零阶保持器的频率特
1.1 引言
1.2 时域离散信号
1.3 时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程
1.5 模拟信号数字处理方法第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言信号通常是一个自变量或几个自变量的函数 。 如果仅有一个自变量,则称为一维信号；如果有两个以上的自变量,则称为多维信号 。 本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术 。 关于信号的自变量,有多种形式,可以是时间,距离,温度,电压等,本书一般地把信号看作时间的函数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统本章作为全书的基础,主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号,线性时不变系统的因果性和稳定性,以及系统的输入输出描述法,线性常系数差分方程的解法 。 最后介绍模拟信号数字处理方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样,采样间隔为 T，
得到
( ) ( ),( 1,2,1 )a t n T ax t x n T n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统这里 n取整数 。 对于不同的 n值,xa(nT)是一个有序的数字序列,… xa(-T),xa(0),xa(T)…,该数字序列就是时域离散信号 。 实际信号处理中,这些数字序列值按顺序放在存贮器中,此时 nT代表的是前后顺序 。
为简化,采样间隔可以不写,形成 x(n)信号,x(n)可以称为序列 。 对于具体信号,x(n)也代表第 n个序列值 。
需要说明的是,这里 n取整数,非整数时无定义,另外,
在数值上它等于信号的采样值,即
x(n)=xa(nT),-∞＜ n＜ ∞(1.2.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统信号随 n的变化规律可以用公式表示,也可以用图形表示 。 如果 x(n)是通过观测得到的一组离散数据,则其可以用集合符号表示,例如：
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1
1,单位采样序列 δ(n)
1,n=0
0,n≠0 (1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列,特点是仅在 n=0时取值为 1,其它均为零 。 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数 δ(t),但不同的是 δ(t)在 t=0时,
取值无穷大,t≠0时取值为零,对时间 t的积分为 1。 单位采样序列和单位冲激信号如图 1.2.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
－ 1 0 1 2 3
1
n
δ ( n )
δ ( t )
t
0
( a ) ( b )
图 1.2.1
(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,单位阶跃序列 u(n)
1,n≥0
0,n＜ 0 (1.2.4)
单位阶跃序列如图 1.2.2所示 。 它类似于模拟信号中的单位阶跃函数 u(t)。 δ(n)与 u(n)之间的关系如下式所示：
δ(n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5)
(1.2.6)
令 n-k=m,代入上式得到
0
( ) ( )
k
u n n k?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
u ( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.2 单位阶跃序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
3,矩形序列 RN(n)
1,0≤n≤N-1
0,其它 n (1.2.8)
上式中 N称为矩形序列的长度 。 当 N=4时,R4(n)的波形如图 1.2.3所示 。 矩形序列可用单位阶跃序列表示,
如下式：
RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9)
( ) ( )
n
n
u n m?
(1.2.7)
RN(n)=
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
R
4
( n )
0 1 2 3
1
n
图 1.2.3 矩形序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
4,实指数序列
x(n)=anu(n),a为实数如果 |a|<1,x(n)的幅度随 n的增大而减小,称 x(n)为收敛序列；如 |a|>1,则称为发散序列 。 其波形如图
1.2.4所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.4 实指数序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
5,正弦序列
x(n)=sin(ωn)
式中 ω称为正弦序列的数字域频率,单位是弧度,
它表示序列变化的速率,或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数 。 xa(t)
采样得到的,那么
xa(t)=sin(Ωt)
xa (t)|t=nT=sin(ΩnT)
x(n)=sin(ωn)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因为在数值上,序列值与采样信号值相等,因此得到数字频率 ω与模拟角频率 Ω之间的关系为
ω=ΩT (1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义,它表示凡是由模拟信号采样得到的序列,模拟角频率 Ω与序列的数字域频率 ω
成线性关系 。 由于采样频率 fs与采样周期 T互为倒数,
也可以表示成下式：
sf
(1.2.11)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
6,复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中 ω0为数字域频率,设 σ=0,用极坐标和实部虚部表示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于 n取整数,下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n,M=0,± 1,± 2…
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
7.
如果对所有 n存在一个最小的正整数 N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ (1.2.12)
则称序列 x(n)为周期性序列，周期为 N，注意 N要取整数。例如：
上式中，数字频率是 π/4，由于 n取整数，可以写成下式：
( ) s i n ( )4x n n
( ) s i n ( ( 8 )4x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表明 是周期为 8的周期序列,也称正弦序列,如图 1.2.5所示 。 下面讨论一般正弦序列的周期性 。
x(n)=Asin(ω0n+υ)
那么
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+υ)=Asin(ω0n+ω0N+υ)
x(n+N)=x(n)
sin( )4 n?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.5 正弦序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统则要求 N=(2π/ω0)k,式中 k与 N均取整数,且 k的取值要保证 N是最小的正整数,满足这些条件,正弦序列才是以 N为周期的周期序列 。
种情况：
(1)当 2π/ ω0为整数时,k=1,正弦序列是以 2π/ ω0
为周期的周期序列 。 例如 sin(π/8)n,ω0 =π/8,2π/ ω0
=16,该正弦序列周期为 16。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) 2π/ ω0不是整数,是一个有理数时,设 2π/ ω0
=P/Q,式中 P,Q是互为素数的整数,取 k=Q,那么 N=P，
则正弦序列是以 P为周期的周期序列 。 例如 sin(4/5)πn，
ω0 =(4/5)π,2π/ ω0 =5/2,k=2,该正弦序列是以 5为周期的周期序列 。
(3)2π/ ω0是无理数,任何整数 k都不能使 N为正整数,因此,此时的正弦序列不是周期序列 。 例如,ω0
=1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列 。 对于复指数序列 ejω0 n
的周期性也有同样的分析结果 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统以上介绍了几种常用的典型序列,对于任意序列,
常用单位采样序列的移位加权和表示,即
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
(1.2.13)
式中
δ(n-m)= 1,n=m
0,n≠m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统这种任意序列的表示方法,在信号分析中是一个很有用的公式 。 例如,x(n)的波形如图 1.2.6所示,可以用 (1.2.13)式表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-
δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2
在数字信号处理中,序列有下面几种运算,它们是乘法,加法,移位,翻转及尺度变换 。
1.
序列之间的乘法和加法,是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加,如图 1.2.7所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.7 序列的加法和乘法第 1章 时域离散信号和时域离散系统
2,移位,
设序列 x(n) 用图 1.2.8(a) 表示,其移位序列 x(n-
n0)(当 n0 =2时 )用图 1.2.8(b)表示；当 n0 >0时称为 x(n)的延时序列；当 n0 <0时,称为 x(n)的超前序列 。 x(-n)则是 x(n)的翻转序列,用图 1.2.8(c)表示 。 x(mn)是 x(n)序列每隔 m点取一点形成的,相当于时间轴 n压缩了 m倍 。
当 m=2时,其波形如图 1.2.8(d)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3 时域离散系统设时域离散系统的输入为 x(n),经过规定的运算,
系统输出序列用 y(n)表示 。 设运算关系用 T［ ·］ 表示,
输出与输入之间关系用下式表示：
y(n)=T［ x(n)］ (1.3.1)
其框图如图 1.3.1所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.1 时域离散系统
y ( n )x ( n )
][?T
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统 。 设 x1(n)和
x2(n)分别作为系统的输入序列,其输 出分别用 y1(n)和
y2(n)表示,即
y1(n)=T［ x1(n)］,y2(n)=T［ x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T［ x1(n)+x2(n)］ = y1(n)+y2(n) (1.3.2)
T［ a x1(n)］ =ay y1(n) (1.3.3)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统满足 (1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足 (1.3.3)
式称为线性系统的比列性或齐次性,式中 a是常数 。 将以上两个公式结合起来,可表示成：
y(n)=T［ ax1(n)+bx2(n)］ =ay1(n)+by2(n) (1.3.4)
上式中,a和 b均是常数 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.1 证明 y(n)=ax(n)+b(a和 b是常数 ),所代表的系统是非线性系统 。
证明 y1(n)=T［ x1(n)］ =ax1(n)+b
y2(n)=T［ x2(n)］ =ax2(n)+b
y(n)=T［ x1(n)+x2(n)］ =ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此,该系统不是线性系统 。 用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统 。
0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2
如果系统对输入信号的运算关系 T［ ·］ 在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系统,用公式表示如下：
y(n)=T［ x(n)］
y(n-n0)=T［ x(n-n0)］ (1.3.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.2检查 y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统,上式中 a和 b是常数 。
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b
y(n- n0)=T［ x(n- n0)］
因此该系统是时不变系统 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.3检查 y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统 。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
T［ x(n- n0)］ =nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［ x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统 。 同样方法可以证明所代表的系统不是时不变系统 。
0( ) ( ) s i n ( )4y n x n n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.3
设系统的输入 x(n)=δ(n),系统输出 y(n)的初始状态为零,定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应,用 h(n)表示 。 换句话说,单位取样响应即是系统对于 δ(n)的零状态响应 。 用公式表示为
h(n)=T［ δ(n)］ (1.3.6)
h(n)和模拟系统中的 h(t)单位冲激响应相类似,都代表系统的时域特征 。
设系统的输入用 x(n)表示,按照 (1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为
( ) ( ) ( )
m
x n x m n m?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
m
m
m
y n T x m n m
y n x m n m
y n T x m h n m
x n h n
根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质
(1.3.7)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中的符号,*” 代表卷积运算,(1.3.7)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积 。 只要知道系统的单位取样响应,按照
(1.3.7)式,对于任意输入 x(n)都可以求出系统的输出 。
下面介绍卷积运算的求解过程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统按照 (1.3.7)式,① 将 x(n)和 h(n)用 x(m)和 h(m)表示,
并将 h(m)进行翻转,形成 h(-m)； ② 将 h(-m)移位 n,得到 h(n-m)。 当 n>0时,序列右移； n<0时,序列左移；
③ 将 x(m)和 h(n-m)相同 m的序列值对应相乘后,再相加 。
按照以上三个步骤可得到卷积结果 y(n)。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.4设 x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求 y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照 (1.3.7)式,
上式中矩形序列长度为 4,求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上,下限,R4(m)的非零值区间为,0≤m≤3,R4(n-m)的非零值区间为,0≤n-
m≤3,其乘积值的非零区间,要求 m同时满足下面两个不等式：
44( ) ( ) ( )
m
y n R m R n m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
0≤m≤3
n-3≤m≤n
因此，
0
3
3
0 3,( ) 1 1
4 6,( ) 1 7
n
m
mn
n y n n
n y n n
当当第 1章 时域离散信号和时域离散系统卷积过程以及 y(n)波形如图 1.3.2所示,y(n)用公式表示为
n+1 0≤n≤3
y(n)= 7-n 4≤n≤6
0 其它第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.2 例 1.3.4线性卷积
R
4
( n )
0 1 2 3
n
0－ 1
m
R
4
( － m )
－ 2－ 3
R
4
( n )
0 1 2 3
n
m
R
4
( m )
0－ 1 2 3
m
R
4
(1 － m )
－ 2 1
1
1
1
1
0－ 1 2 3
m
R
4
(2 － m )
1
1
0 2 3
n
y ( n )
1
1
2
3
4
4 5 6 7
第 1章 时域离散信号和时域离散系统卷积中主要运算是翻转,移位,相乘和相加,这类卷积称为序列的线性卷积 。 设两序列分别的长度是 N和
M,线性卷积后的序列长度为 (N+M-1)。
从交换律,结合律和分配律 。 它们分别用公式表示如下：
x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8)
x(n)*［ h1(n)*h2(n)］ =(x(n)*h1(n))*h2(n) (1.3.9)
x(n)*［ h1(n)+h2(n)］ =x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统以上三个性质请自己证明 。 (1.3.8)式表示卷积服从交换律 。 (1.3.9)和 (1.3.10)式分别表示其结合律和分配律 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.3 卷积的结合律和分配律
h
1
( n ) h
2
( n )
h
1
( n ) h
2
( n )
y ( n )x ( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n ) ＋ h
2
( n )
y ( n )x ( n )
h
1
( n )
h
2
( n )
y ( n )x ( n )
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
*
第 1章 时域离散信号和时域离散系统再考查 (1.2.13)式,它也是一个线性卷积公式,它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,表示如下：
如果序列与一个移位的单位取样序列 δ(n-n0)进行线性卷积,就相当于将序列本身移位 n0(n0是整常数 ),如下式表示：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
x n x m n m x n n
(1.3.11)
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
y n x n n n
x m n n m
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式中只有当 m=n-n0时,才可能有非零值,因此得到
y(n)=x(n- n0)
x(n- n0)=x(n)*δ(n- n0) (1.3.12)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.5在图 1.3.4中,h1(n)系统与 h2(n)系统级联,设
x(n)=u(n)
h1(n)=δ(n)-δ(n-4)
h2(n)=anu(n),|a|<1
求系统的输出 y(n)。
图 1.3.4 例 1.3.5框图
h 1 ( n ) h 2 ( n )
y ( n )x ( n ) m ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统解先求第一级的输出 m(n),再求 y(n)。
m(n)=x(n)*h1(n)
=u(n)*［ δ(n)-δ(n-4)］
=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)
=u(n)-u(n-4)
=R4(n)
y(n)=m(n)*h2(n)
=R4(n)*anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
=anu(n)*［ δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］
=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)
还可以将 y(n)用下式表示
y(n)=δ(n)+(1+a)δ(n-1)+(1+a+a2)δ(n-2)+
u(n-3)
3
0
[]nk
k
aa?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.4
如果系统 n时刻的输出,只取决于 n时刻以及 n时刻以前的输入序列,而和 n时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质,或称该系统为因果系统 。 如果 n时刻的输出还取决于 n时刻以后的输入序列,在时间上违背了因果性,系统无法实现,则系统被称为非因果系统 。 因此系统的因果性是指系统的可实现性 。
线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：
h(n)=0,n<0 (1.3.13)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统满足 (1.3.13)式的序列称为因果序列,因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列 。 因果性系统的条件 (1.3.13)式从概念上也容易理解,因为单位取样响应是输入为 δ(n)的零状态响应,在 n=0时刻以前即 n<0时,
没有加入信号,输出只能等于零,因此得到因果性条件 (1.3.13)式 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.3.5 非因果系统的延时实现
0 1 2
1
n
x ( n )
0 1－ 1
1
n
h ( n )
0 1 2
1
n
h ( n )
（ a ） （ b ） （ c ）
0 1 2
1
n
y ( n )
3－ 1
2
3
0 1 2
1
n
y ( n )
3
2
3
（ d ） （ e ）
′
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统所谓稳定系统,是指系统有界输入,系统输出也是有界的 。 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和,用公式表示为
()
n
hn?
(1.3.14)
证明 先证明充分性 。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
y n h k x n k
y n y k x n k
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因为输入序列 x(n)有界,即
|x(n)|<B,-∞<n<∞,B为任意常数如果系统的单位取样响应 h(n)满足 (1.3.14)式,那么输出 y(n)一定也是有界的,即
|y(n)|<∞
( ) ( )
k
y n B h k
第 1章 时域离散信号和时域离散系统下面用反证法证明其必要性 。 如果 h(n)不满足
(1.3.14)式,即,那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出,例如：
()
n
hn
()
,( ) 0
()
0,( ) 0
hn
hn
hn
hn
x(n)=
( ) ( ) ( )
()
( 0) ( ) ( ) ( ) ( )
()
k
k k k
y n h k x n k
hk
y h k x n k h k h k
hk
令 n=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.6 设 线 性 时 不 变 系 统 的 单 位 取 样 响 应
h(n)=anu(n),式中 a是实常数,试分析该系统的因果稳定性 。
解 由于 n<0时,h(n)=0，所以系统是因果系统。
1
00
1( ) l i m l i m nNnn
NNn n n
ah n a a
a
只有当 |a|<1时
1()
1n hn a
第 1章 时域离散信号和时域离散系统因此系统稳定的条件是 |a|<1；否则,|a|≥1时,系统不稳定 。 系统稳定时,h(n)的模值随 n加大而减小,此时序列 h(n)称为收敛序列 。 如果系统不稳定,h(n)的模值随 n加大而增大,则称为发散序列 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.3.7 设系统的单位取样响应 h(n)=u(n),求对于任意输入序列 x(n)的输出 y(n),并检验系统的因果性和稳定性 。
h(n)=u(n)
y(n)=x(n)*h(n)=
因为当 n-k<0时,u(n-k)=0； n-k≥0时,u(n-k)=1，
因此，求和限为 k≤n，所以
( ) ( )
k
x k u n k
( ) ( )
n
k
y n x k
(1.3.15)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表示该系统是一个累加器,它将输入序列从加上之时开始,逐项累加,一直加到 n时刻为止 。 下面分析该系统的稳定性：
0
( ) ( )
nn
h n u n
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法 ——
线性常系数差分方程描述一个系统,可以不管系统内部的结构如何,
将系统看成一个黑盒子,只描述或者研究系统输出和输入之间的关系,这种方法称为输入输出描述法 。 对于模拟系统,我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系 。 对于时域离散系统,则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系 。 对于线性时不变系统,
经常用的是线性常系数差分方程,本节主要介绍这类差分方程及其解法 。 差分方程均指线性常系数差分方程,本书中不另说明 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.1
一个 N阶线性常系数差分方程用下式表示：
01
0
10
( ) ( ) ( )
( ) ( ),1
MN
ii
ii
NM
ii
ii
y n b x n i a y n i
a y n i b x n i a
(1.4.1)
(1.4.2)
或者第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中,x(n)和 y(n)分别是系统的输入序列和输出序列,ai和 bi均为常数,式中 y(n-i)和 x(n-i)项只有一次幂,
也没有相互交叉项,故称为线性常系数差分方程 。 差分方程的阶数是用方程 y(n-i)项中 i的取值最大与最小之差确定的 。 在 (1.4.2)式中,y(n-i)项 i最大的取值为 N,i
的最小取值为零,因此称为 N阶的差分方程 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.4.2
已知系统的输入序列,通过求解差分方程可以求出输出序列 。 求解差分方程的基本方法有以下三种：
(1)经典解法 。
(2)递推解法 。
(3)变换域方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1.4.1)式表明,已知输入序列和 N个初始条件,则可以求出 n时刻的输出；如果将该公式中的 n用 n+1代替,
可以求出 n+1时刻的输出,因此 (1.4.1)式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程 。
例 1.4.1 设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,
输入序列 x(n)=δ(n),求输出序列 y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程,需要一个初始条件 。
(1) 设初始条件 y(-1)=0
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=ay(n-1)+x(n)
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
…
n=n时,y(n)=an
y(n)=anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2)设初始条件 y(-1)=1
n=0时,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a
n=1时,y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a
n=2时,y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2
…
n=n时,y(n)=(1+a)an
y(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统该例表明,对于同一个差分方程和同一个输入信号,因为初始条件不同,得到的输出信号是不相同的 。
对于实际系统,用递推解法求解,总是由初始条件向 n>0的方向递推,是一个因果解 。 但对于差分方程,
其本身也可以向 n<0的方向递推,得到的是非因果解 。
因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统,还需要用初始条件进行限制 。 下面就是向 n<0
方向递推的例题 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.4.2 设差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中
x(n)=δ(n),y(n)=0,n>0，求输出序列 y(n)
n=1时,n=0时,n=-1时,…n=-n时,
y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))
y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0
y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1
y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2
y(n-1)=-a n-1
将 n-1用 n代替,得到
y(n)=-anu(-n-1)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统例 1.4.3 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n)
描述,初始条件 y(-1)=1,试分析该系统是否是线性非时变系统 。
解 如果系统具有线性非时变性质,必须满足
(1.3.4)和 (1.3.5)两式 。 下面通过设输入信号 x1(n)=δ(n)，
x2(n)=δ(n-1)和 x3(n)=δ(n)+δ(n-1)来检验系统是否是线性非时变系统 。
(1)x1(n)=δ(n),y1(-1)=1
y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)
这种情况和例 1.4.1(2)相同,因此输出如下式：
y1(n)=(1+a)anu(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) x2(n)=δ(n-1),y2(-1)=1
y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)
n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,
y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=a
y2(1)=a y2(0)+δ(0)=1+a2
y2(2)=a y2(1)+δ(1)=(1+ a2)a
y2(n)=(1+ a2)a n-1
y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+aδ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(3) x3(n)=δ(n)+δ(n-1); y3(-1)=1
y3(n)=a y3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)
n=0时,n=1时,n=2时,…n=n时,
y3(0)=a y3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a
y3(1)=a y3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2
y3(2)=a y3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+ a2)a
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1
y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)δ(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统由情况 (1)和情况 (2),得到
y1(n)=T［ δ(n)］
y2(n)=T［ δ(n-1)］
y2(n)≠y1(n-1)
因此该系统不是时不变系统 。 再由情况 (3)得到
y3(n) =T［ δ(n)+δ(n-1)］
≠T［ δ(n)］ +T［ δ(n-1)］
y3(n)≠y1(n)+y2(n)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5 模拟信号数字处理方法在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点,因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号,再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕,如果需要,再转换成模拟信号,这种处理方法称为模拟信号数字处理方法 。 其原理框图如图 1.5.1所示 。 图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍 。 本节主要介绍采样定理和采样恢复 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.1 模拟信号数字处理框图预滤 A / D C 数字信号处理 D / A C 平滑滤波
y a ( t )x a ( t )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.1 采样定理及 A/D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关 S。 设电子开关每隔周期 T合上一次,每次合上的时间为 τ<<T,在电子开关输出端得到其采样信号 。
()axt?
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.2 对模拟信号进行采样第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式中 δ(t)是单位冲激信号,在上式中只有当 t=nT
时,才可能有非零值,因此写成下式：
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
a aa
n
P t t nT
x t x t P t x t t nT
(1.5.1)
( ) ( ) ( )a a
n
x t x T t n T?
(1.5.2)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统我们知道在傅里叶变换中,两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,
按照 (1.5.2)式,推导如下：
设
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) 2 ( )
aa
aa
ks
k
X j F T x t
x j F T x t
P j F T P t
P j a k
(1.5.3)
按照 (1.5.1)式,
第 1章 时域离散信号和时域离散系统式中,Ωs=2π/T,称为采样角频率,单位是弧度 /秒,
/2
/2
11
()
2
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
1
( ) ( )
1
()
s
T
jk
k
T
s
k
aa
as
k
as
k
as
k
a t e dt
TT
P j k
T
X j X j P j
X j k d
T
X j k d
T
X j jk
T
(1.5.4)
(1.5.5)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴,每间隔采样角频率 Ωs重复出现一次,或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs为周期,进行周期性延拓而成的 。
在图 1.5.3中,设 xa(t)是带限信号,最高截止频率为 Ωc,其频谱 Xa(jΩ)如图 1.5.3(a)所示 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.3 采样信号的频谱
0 Ω
c
－ Ω
c
X
a
(j Ω )
P ( j Ω )
－ Ω
s
Ω
s
Ω
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
0
X
a
(j Ω )
Ω
Ω
c
Ω
s
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
＾
2
s
0
－ Ω
s
Ω
s
－ Ω
s
δ
2
s
2
s
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
()Gj
1
,
2
1
0,
2
s
s
T
(1.5.6)
1
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( ) ]
1
( ) ( ),
2
1
( ) ( ),
2
a
aa
aa
a a c s
a a c s
Y j FT Y t X j G j
Y t F T Y j
Y t x t
Y t x t
第 1章 时域离散信号和时域离散系统需要说明：一般频谱函数是复函数,相加应是复数相加,图 1.5.3和图 1.5.4仅是示意图 。 一般称 fs/2为折叠频率,只有当信号最高频率不超过该频率时,才不会产生频率混叠现象,否则超过 fs /2的频谱会折叠回来形成混叠现象,因此频率混叠均产生在 fs /2附近 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号,采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的,用公式 (1.5.5)表示 。
(2)设连续信号 xa(t)属带限信号,最高截止频率为
Ωc,如果采样角频率 Ωs≥2Ωc,那么让采样信号 x^a(t)通过一个增益为 T,截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器,
可以唯一地恢复出原连续信号 xa(t)。 否则 Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象,不可能无失真地恢复原连续信号 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.4 采样恢复
0
X
a
(j Ω )
Ω
＾
G (j Ω )
x
a
( t ) y
a
( t )
0
G (j Ω )
Ω
－ π/ T π/ T
0
X
a
(j Ω )
Ω
（ a ）
（ b ）
（ c ）
（ d ）
＾
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.5 A/DC原理框图采样 量化编码
x a ( t ) x ( n )
第 1章 时域离散信号和时域离散系统将模拟信号转换成数字信号由
A/DC(Analog/DigitalConverter)完成,A/DC的原理框图如图 1.5.5所示。通过按等间隔 T对模拟信号进行采样，
得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离散信号 (序列 )。设 A/DC有 M位，那么用 M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号
xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中 f=50Hz，选采样频率
fs=200Hz，将 t=nT代入 Xa(t)中，得到采样数据：
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1
( ) s i n ( 2 ),
8
50
s i n ( 2 )
2 0 0 8
1
s i n ( )
28
a
s
x n T f n T T
f
n
n
当 n=…0,1,2,3,…时,得到序列 x(n)如下：
x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}
第 1章 时域离散信号和时域离散系统
1.5.2 将数字信号转换成模拟信号下面由 (1.5.6)式表示的低通滤波器的传输函数 G(jΩ)
推导其单位冲激响应 g(t)：
/2
/2
1
( ) ( )
2
1
2
sin( / 2 )
/2
sin( / )
()
/
s
s
jt
jt
s
s
g t G j e d
T e d
t
t
tT
gt
tT
因为 Ωs=2πfs=2π/T,因此 g(t)也可以用下式表示：
第 1章 时域离散信号和时域离散系统将 (1.5.7)式表示的 g(t)和 (1.5.2)式表示的 x^a(t)代入上式,得到
( ) [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
si n( ( ) / )
()
( ) /
si n( ( ) / )
()
( ) /
()
aa
n
a
n
a
n
a
n
a
n
y t x nT nT g t d
x nT nT g t d
x nT g t nT
t nT T
x nT
t nT T
t nT T
x nT
a
t nT T
xt
(1.5.8)
(1.5.9)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.6 内插函数 g(t)波形第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.7 理想恢复第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.8 D/AC方框图解码 零阶保持 平滑滤波
x ( n ) x
a ( t )x a ( n T) x a ( t )
′
第 1章 时域离散信号和时域离散系统由时域离散信号 xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程 。 理想低通滤波的方法是用 g(t)函数作内插函数,还可以用一阶线性函数作内插 。 零阶保持器是将前一个采样值进行保持,一直到下一个采样值来到,再跳到新的采样值并保持,因此相当于进行常数内插 。 零阶保持器的单位冲激函数 h(t)以及输出波形如图 1.5.9所示 。 对 h(t)进行傅里叶变换,得到其传输函数：
0
/2
( ) ( )
sin( / 2 )
/2
T
j t j t
jT
H j h t e dt e dt
T
Te
T
(1.5.10)
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.9 零阶保持器的输出波形第 1章 时域离散信号和时域离散系统其幅度特性和相位特性如图 1.5.10所示 。 由该图看到零阶保持器是一个低通滤波器,能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用 。 图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性 。 零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别,主要是在 |Ω|>π/T区域有较多的高频分量,表现在时域上,就是恢复出的模拟信号是台阶形的 。 因此需要在
D/AC之后加平滑低通滤波器,滤除多余的高频分量,对时间波形起平滑作用,这也就是在图 1.5.1模拟信号数字处理框中,最后加平滑滤波的原因 。 虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真,但简单,易实现,是经常使用的方法 。
第 1章 时域离散信号和时域离散系统图 1.5.10 零阶保持器的频率特
