第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系
2.5 序列的 Z变换
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言我们知道信号和系统的分析方法有两种,即时域分析方法和频率分析方法 。 在模拟领域中,信号一般用连续变量时间 t的函数表示,系统则用微分方程描述 。
为了在频率域进行分析,用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域 。 而在时域离散信号和系统中,信号用序列表示,其自变量仅取整数,非整数时无定义,而系统则用差分方程描述 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析频域分析是用 Z变换或傅里叶变换这一数学工具 。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换,它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的,但都是线性变换,很多性质是类似的 。
本章学习序列的傅里叶变换和 Z变换,以及利用 Z
变换分析系统和信号频域特性 。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义定义
( ) ( )j j n
n
X e x n e
(2.2.1)
为序列 x(n)的傅里叶变换,可以用 FT(Fourier
Transform)缩写字母表示 。 FT成立的充分必要条件是序列 x(n)满足绝对可和的条件,即满足下式：
()
n
xn
(2.2.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析为求 FT的反变换,用 e jωn乘 (2.2.1)式两边,并在
-π~π内对 ω进行积分,得到 ()
()
( ) [ ( ) ]
()
2 ( )
1
( ) ( )
2
j j m j n j n
n
j m n
n
j m n
j j m
X e e d x n e e d
x n e d
e d n m
x n X e e d
(2.2.3)
(2.2.4)
式中因此第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式即是 FT的逆变换 。 (2.2.1)和 (2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式 。 (2.2.2)式是 FT存在的充分必要条件,
如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,例如周期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,
这部分内容在下面介绍 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.2.1 设 x(n)=RN(n),求 x(n)的 FT 1
0
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
( 1) / 2
( ) ( )
1 ( )
1 ( )
si n( / 2 )
si n / 2
N
j j n j n
N
nn
j N j N j N j N
j j N j j
jN
X e R n e e
e e e e
e e e e
N
e
解：
(2.2.5)
设 N=4,幅度与相位随 ω变化曲线如图 2.2.1所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1,FT的周期性在定义 (2.2.1)式中,n取整数,因此下式成立
( 2 )( ) ( ),j j M n
n
X e x n e
M为整数 (2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率 ω的周期函数,周期是 2π。 这样 X(ejω)可以展成傅里叶级数,其实 (2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式,x(n)是其系数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.2 cosωn的波形
… …
－ 1 0 1 2 3 4
1
－ 1
… …
0
1
2
3
4
5
6
n n
( a ) ( b )
1
π2 π)12( M?
c o s
M
n?c o s n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,线性
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) [ ( )],( ) [ ( )],
[ ( ) ( )] ( ) ( )
jj
jj
X e F T x n X e F T x n
F T a x n b x n a X e b X e
那么设式中 a,b为常数
3,时移与频移设 X(e jω)=FT［ x(n)］,那么
(2.2.7)
0
00
0
(
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
jn j
j n j
F T x n n e X e
F T e x n X e
(2.2.8)
(2.2.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,FT的对称性在学习 FT的对称性以前,先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质 。 设序列 xe(n)满足下式：
xe(n)=x*e(-n) (2.2.10)
则称 xe(n)为共轭对称序列 。 为研究共轭对称序列具有什么性质,将 xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边 n用 -n代替,并取共轭,得到
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对比上面两公式,左边相等,因此得到
xer(n)=xer(-n) (2.2.11)
xei(n)=-xei(-n) (2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数,
而虚部是奇函数 。 类似地,可定义满足下式的称共轭反对称序列
xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将 x0(n)表示成实部与虚部如下式：
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
可以得到
xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)
xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数,而虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.2.2 试分析 x(n)=e jωn的对称性解：
将 x(n)的 n用 -n代替,再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn
因此 x(n)=x*(-n),满足 (2.2.10)式,x(n)是共轭对称序列,如展成实部与虚部,得到
x(n)=cosωn+j sinωn
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶函数，
虚部是奇函数。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示,即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)
式中 xe(n),xo(n)可以分别用原序列 x(n)求出,将
(2.2.16)式中的 n用 -n代替,再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)
利用 (2.2.16)和 (2.2.17)两式,得到
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
(2.2.18)
(2.2.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析利用上面两式,可以分别求出 xe(n)和 xo(n)。
对于频域函数 X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)
式中 Xe(ejω)与 Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分,它们满足
Xe(ejω) =X*e(e-jω) (2.2.21)
Xo(ejω) =-X*o(e-jω) (2.2.22)
同样有下面公式满足：
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
j j j
e
j j j
o
X e X e X e
X e X e X e
(2.2.23)
(2.2.24)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(a) 将序列 x(n)分成实部 xr(n)与虚部 xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行 FT,得到
X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( )
j j n
rr
n
j j n
o i r
n
X e FT x n x n e
X e FT jx n j x n e
式中第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上面两式中,xr(n)和 xi(n)都是实数序列,容易证明 Xe(ejω)满足 (2.2.21)式,个有共轭对称性,它的实部是偶函数,虚部是奇函数 。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)
式,具有共轭反对称性质,其实部是奇函数,虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后得到结论,序列分成实部与虚部两部分,实部对称的 FT具有共轭对称性,虚部和 j一起对应的 FT
具有共轭反对称性 。
(b) 将序列分成共轭对称部分 xe(n)和共轭反对称部分 xo(n),即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25)
将 (2.2.18)式和 (2.2.19)式重定如下：
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将上面两式分别进行 FT,得到
FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ =Re［ X(ejω)］ =XR(ejω)
FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω)-X*(ejω)］ =jIm［ X(ejω)］
=jXI(ejω)
因此对 (2.2.25)式进行 FT得到：
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) (2.2.26)
(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分 xe(n)对应着 FT
的实部 XR(ejω),而序列的共轭反对称部分 xo(n)对应着
FT的虚部 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析因为 h(n) 是实序列,其 FT只有共轭对称部分
He(ejω),共轭反对称部分为零 。
H(ejω)=He(ejω)
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的 FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,
用公式表示为
HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析按照 (2.2.18)和 (2.2.19)式得到
h(n)=he(n)+ho(n)
he(n)=1/2［ h(n)+h(-n)］
ho(n)=1/2［ h(n)-h(-n)］
因为 h(n)是实因果序列,按照上面两式 he(n)和 ho(n)
可以用下式表示：
()ehn?
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
(2.2.27)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
()ohn?
(2.2.28)
实因果序列 h(n)分别用 he(n)和 ho(n)表示为
h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29)
h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) (2.2.30)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,0
1,0
0,0
n
n
n
()un (2.2.31)
例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数 xe(n)
和奇函数 xo(n)。
解,x(n)=xe(n)+xo(n)
按 (2.2.2)式得到
( 0),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
()exn?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
按照 (2.2.28)式得到
( 0),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
()oxn?
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.3 例 2.2.3图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5,时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(e jω)=X(e jω)·H(e jω) (2.2.32)
证明
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
jj
nm
j j k j k j
km
j k j k
km
jj
y n x m h n m
Y e FT y n x m h n m e
Y e h k e x m e e
h k e x m e
H e X e
令 k=n-m
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析该定理说明,两序列卷积的 FT,服从相乘的关系 。
对于线性时不变系统输出的 FT等于输入信号的 FT乘以单位脉冲响应 FT。 因此求系统的输出信号,可以在时域用卷积公式 (1.3.7)计算,也可以在频域按照 (2.2.32)
式,求出输出的 FT,再作逆 FT求出输出信号 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6,频域卷积定理设 y(n)=x(n)·h(n) (2.2.33)
()11
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
22
( ) ( ) ( )
1
( )[ ( ) ]
2
j j j j j
j j n
n
j j n j n
n
Y e X e H e X e H e d
Y e x n h n e
x n H e e d e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()
()
1
( ) ( )[ ( ) ]
2
1
()
2
1
( ) * ( )
2
j j j n
n
jj
jj
Y e H e x n e d
H e X e d
H e H e
7,帕斯维尔 (Parseval)定理
2
2
2
**
1
( ) (
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ) ]
2
j
n
j j n
n n n
x n x e d
x n x n x n x n X e e d
(2.2.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析帕斯维尔定理告诉我们,信号时域的总能量等于频域的总能量 。 要说明一下,这里频域总能量是指
|X(e jω)|2在一个周期中的积分再乘以 1/(2π)。 最后,表
2.2.1综合了 FT的性质,这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的 。
2
*
1
( ) ( )
2
11
( ) ( ) ( )
22
j j n
n
j j j
X e x n e d
X e X e d X e d
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设 是以 N为周期的周期序列,由于是周期性的,可以展成傅里叶级数
~()xn
2~
() j k nNk
k
x n a e
(2.3.1)
式中 ak是傅里叶级数的系数 。 为求系数 ak,将上式两边乘以,并对 n在一个周期 N中求和2
j mnNe
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.2)式的证明,作为练习自己证明 。 因此上式中,k和 n均取整数,当 k或者 n变化时,
是周期为 N的周期函数,可表示成
2 2 21 1 1~
()
0 0 0
21
()
0
( ) [
N N N
j mn j mn j k m n
N N N
kk
n n k k n
N
j k m n
N
n
x n e a e a e
e
,
0,
N k m
km
(2.3.2)
21 ~
0
1 ()N j k mN
k
n
a x n eN
-∞<k<∞ (2.3.3)
~ ()
kx k N a?
22()
,j k N n j k mNNe e l
取整数第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式中 也是一个以 N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数,用 DFS(Discrete Fourier
Series)表示 。 如对 (2.3.4)式两端乘以,并对 k在一个周期中求和,得到
~()xk
~()xn
2j kl
Ne
2 2 2 21 1 1 1 1~ ~ ~ ()
0 0 0 0 0
( ) [ ( ) ] ( )
N N N N Nj k l j k n j k l j l k k
N N N N
k k k k k
X k e X n e e X n e
同样按照 (2.3.2)式,得到
21~~
0
1( ) ( )N j k nN
k
x n x k eN
(2.3.5)
将 (2.3.4)式和 (2.3.5)式重写如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.6)式和 (2.3.7)式称为一对 DFS。 (2.3.5)式表明将周期序列分解成 N次谐波,第 k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k,
k=0,1,2 … N-1,幅度为 。 其波分量的频率是
2π/N,幅度是 。 一个周期序列可以用其
DFS表示它的频谱分布规律 。
21~ ~ ~
0
21~ ~ ~
0
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
N j k n
N
n
N j k n
N
n
X k D F S x n x n e
x k I D F S x k x k e
N
(2.3.6)
(2.3.7)
~(1 / ) ( )N X k
~(1 / ) (1)NX
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.1设 x(n)=R4(n),将 x(n)以 N=8为周期,进行周期延拓,得到如图 2.3.1(a)所示的周期序列,周期为 8,求 的 DFS。
解,按照 (2.3.4)式
~()xn ~()xn
273
~~
8 4
00
4
4
4
4
2 2 2
4 8 8 8
( ) ( )
1
1
1 ( )
1 ()
j k n kn
nn
jk
jk
j k j k j k
jk
j k j k j k j k
X k X n e e
e
e
e e e e
e e e e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析其幅度特性 如图 2.3.1(b)所示 。
3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
~ ()Xk
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.1 例 2.3.1图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中,,其傅里叶变换是在
Ω=Ωo处的单位冲激函数,强度是 2π,即
0() jtax t e
0
0
( ) [ ( )]
2 ( )
jt jt
aaX j F T x t e e d t
(2.3.8)
对于时域离散系统中,x(n)=e jωon,2π/ωo为有理数,暂时假定其 FT的形式与 (2.3.8)式一样,也是在 ω=ω0处的单位冲激函数,强度为 2π,但由于 n取整数,下式成立
00 ( 2 ),j n j r ne e r
取整数第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式表示复指数序列的 FT是在 ω0± 2πr处的单位冲激函数,强度为 2π如科 2.3.2所示 。 但这种假定如果成立,要求按照 (2.2.4)式的逆变换必须存在,且唯一等于,下面进行验证,按照 (2.2.4)式因此 e jω0n的 FT为
0
0( ) [ ] 2 ( 2 )
jnj
r
X e FT e r
(2.3.9)
0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.2 的 FT 0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析观察图 2.3.2,在 ± π区间,只包括一个单位冲激函数,等式右边为,因此得到下式：
证明了 (2.3.9)式确定是 ejω0n的 FT,前面的暂时假定是正确的 。
对于一般周期序列,按 (2.3.4)式展开 DFS，
第 k次谐波为,类似于复指数序列的 FT，
其 FT为,因此 的 FT
如下式
0jne?
001 ( ) [ ( ) ]
2
j n jj j ne X e e d I F T X e
~()xn
2~( ( ) / ) j knNX x N e?
~ 2[ 2 ( ) / ] ( 2 )
r
X k N k rN
~()xn
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析式中 k=0,1,2 … N-1,如果让 k在 ± ∞之间变化,上式可简化成
~1
~
0
2 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )Nj
kr
xkX e F T x n k r
NN
~
21~~
0
22
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
k
N
j kn
N
n
X e x k k
NN
x k x n e
(2.3.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( )
2
1
( 1 ) ( 1 )
2
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
1
()
1
j
j
x n u n
x n u n
x n x n u n u n n
Xe
e
对 (a)式进行 FT,得到
( ) ( ) ( 2 )
1
( ) ( 2 )
1
jj
k
j
j
k
X e U e k
U e k
e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.2求例 2.3.1中周期序列的 FT。
解,将例 2.3.1中得到的 代入 (2.3.10)式中得到
~ ()Xk
3
8 sin( / 2 )( ) ( )
4 sin( / 8 ) 4
jkj
k
kX e e k
k
其幅频特性如图 2.3.3所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.3 例 2.3.2图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对比图 2.3.1,对于同一个周期信号,其 DFS和 FT
分别取模的形状是一样的,不同的是 FT用单位冲激函数表示 (用带箭头的竖线表示 )。 因此周期序列的频谱分布用其 DFS或者 FT表示都可以,但画图时应注意单位冲激函数的画法 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.3令,2π/ω0为有理数,
求其 FT。
解,将 用欧拉公式展开
~
0( ) co sx n n
~()xn
00
~
0
00
00
1
( ) [ ]
2
( ) [ c o s ]
1
2 [ ( 2 ) ( 2 ) ]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
j n j n
j
r
r
x n e e
X e FT n
rr
rr
(2.3.11)
按照 (2.3.9)式,其 FT推导如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式表明 cosω0n的 FT,是在 ω=± ω0处的单位冲激函数,强度为 π,且以 2π为周期进行延拓,如图 2.3.4
所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.4 cosω0n的 FT
0 ω
0
－ ω
0
X (e
j ω
)
ω
π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系我们知道模拟信号 xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
aa
jt
aa
X j x t e dt
x t X j e dt
(2.4.1)
(2.4.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这里 t与 Ω的域均在 ± ∞之间 。 从模拟信号幅度取值考虑,在第一章中遇到两种信号,即连续信号和采样信号,它们之间的关系用 (1.5.2)式描述,重写如下：
采样信号 和连续信号 xa(t),它们分虽的傅里叶变换之间的关系,由采样定理 (1.5.5)式描述,重写如下：
~
( ) ( ) ( )a a
n
x t x n T t n T?
~ ()
axt
~ 1
( ) ( )a as
n
x j x j j kT
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析下面我们研究如果时域离散信号 x(n),或称序列
x(n),是由对模拟信号 xa(t)采样产生的,即在数值上有有下面关系式成立：
x(n)=xa(nT) (2.4.3)
注意上面式中 n取整数,否则无定义 。 x(n)的一对傅里叶变换用 (2.2.1)式和 (2.2.4)式表示,重写如下：
( ) ( )
1
( ) ( )
2
j j n
n
j j n
X e x n e
x n X e e d
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系,数字频率 ω与模拟频率 Ω(f)之间有什么关系,这在模拟信号数字处理中,
是很重要的问题 。 为分析上面提出的问题,我们从
(2.4.3)式开始研究 。 将 t=nT代入 (2.4.2)式中,得到
1( ) ( )
2
j n T
aax n T X j e d?
(2.4.4)
( 2 1) /
( 2 1) /
1( ) ( )
2
rT j nT
aa rT
r
x nT X j e d?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析令,代入上式后,再将 Ω′用 Ω
代替,得到
2 r
T
/
2
/
/
/
12
( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
nT
j n T j rn
aa
T
r
nT
j n T
aa
T
r
x nT X j r e e d
T
x nT X j r e d
T
式中,因为 r和 n均取整数,e-j2πrn=1,交换求和号和积分号得到
(2.4.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在第一章中曾得到结论,如果序列是由一模拟信号取样产生,则序列的数字频率 ω与模拟信号的频率
Ω(f)成线性性关系,如 (1.2.10)式所示,重写如下：
ω=ΩT
式中 T是采样周期 T=1/fs,将 (1.2.10)式代入 (2.4.5)
式得到
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x nT X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
现在对比 (2.4.1)式和 (2.4.6)式,得到
(2.4.6)
(2.4.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上面 (2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换 X(ejω)和模拟信号 xa(t)的傅里叶变换 Xa(jΩ)之间的关系式,我们将
(2.4.7)式与 (1.5.5)式对比,得到结论,序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系,与采样信号,模拟信号分别的 FT之间的关系一样,都是 Xa(jΩ)
以周期 Ωs=2π/T进行周期延拓,频率轴上取值的对应关系用 (1.2.10)式表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在一些文献中经常使用归一化频率 f′=f/fs或 Ω′=Ω/Ωs，
Ω′=ω/2π,因为 f′,Ω′和 ω′,都是无量纲,刻度是一样的,将 f,Ω,ω,f′,Ω′,ω′的定标值对应关系用图 2.4.1表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ f
s
2
s
f?
f
s f
f ′
2
s
2
s
f
2
s
s
s
0
0
0 π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.4.1设 xa(t)=cos(2πf0t),f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对 xa(t)进行采样,得到采相信号 和时域离散信号 x(n),求 xa(t)和 的傅里叶变换以及
x(n)的 FT。
解：
~ ()
axt
~ ()
axt
00
0
22
00
( ) [ ( ) ]
c o s 2
1
[]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
aa
jt
j f t j f t jt
X j F T x t
f te d t
e e e d t
ff
(2.4.8)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xa(jΩ)是 Ω=± 2πf0处的单位冲激函数,强度为 π，
如图 2.4.2(a)所示 。 以 fs=200 Hz对 xa(t)进行采样得到采样信号,按照 (1.5.2)式,与 xa(t)的关系式为~
()axt ~ ()axt
~
0( ) c o s( 2 ) ( )a
n
x t f n T t n T
的傅里叶变换用 (1.5.5)式确定,即以 Ωs=2πfs
为周期,将 Xa(jΩ)周期延拓形成,得到：
~ ()
axt
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
( ) [ ( ) ]
1
()
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
a a
as
k
ss
k
X j FT x t
X j j k
T
k f k f
T
(2.4.9)
如图 2.4.2(b)所示。 将采样信号转换成序列 x(n),用下式表示：
x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)
()aXj
按照 (2.4.7)式,得到 x(n)的 FT,实际上只要将
Ω=ω/T=ωfs代入 中即可 。
()aXj
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将 fs=200 Hz,f0=50 Hz,代入上式,求括弧中公式为零时的 ω值,ω=2πk± π/2,因此 X(ejω)用下式表示：
00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 ) ]
j
s s s s
k
X e f k f f f k f fT
( ) [ ( 2 ) ( 2 ) ]22j
k
X e k kT
(2.4.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.4.2 例 2.4.1图
X
a
(j Ω )
0
Ω
0－ Ω
s
2
s
2
s
Ω
s
…
…
T
Ω
X
a
(j Ω )
＾
0
…
…
ω
2
2
（ a ）
（ b ）
（ c ）
X (e
j ω
)
π
0
π2 f
0
π2 f
0
π2 f?
0
π2 f?
π
ππ? π2π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的 Z变换
2.5.1 Z变换的定义序列 x(n)的 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
X z x n z
(2.5.1)
式中 z是一个复变量,它所在的复平面称为 z平面 。
注意在定义中,对 n求和是在 ± ∞之间求和,可以称为双边 Z变换 。 还有一种称为单边 Z变换的定义,如下式
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
(2.5.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析使 (2.5.3)式成立,Z变量取值的域称为收敛域 。 一般收敛域用环状域表示这种单边 Z变换的求和限是从零到无限大,因此对于因果序列,用两种 Z变换定义计算出的结果是一样的 。 本书中如不另外说明,均用双边 Z变换对信号进行分析和变换 。
(2.5.1)式 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛,
要求级数绝对可和,即
()
n
n
xx
x n z
R z R
(2.5.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.1 Z变换的收敛域第 2章 时域离散信号和系统的频域分析常用的 Z变换是一个有理函数,用两个多项式之比表示分子多项式 P(z)的根是 X(z)的零点,分母多项式
Q(z)的根是 X(z)的极点 。 在极点处 Z变换不存在,因此收敛域中没有极点,收敛域总是用极点限定其边界 。
对比序列的傅里叶变换定义 (2.2.1)式,很容易得到 FT和 ZT之间的关系,用下式表示：
()()
()
PzXz
Qz?
( ) ( ) jj zeX e X z (2.5.4)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圆,该圆称为单位圆 。 (2.5.4)式表明单位圆上的 Z变换就是序列的傅里叶变换 。 如果已知序列的 Z变换,可用 (2.5.4)式,很方便的求出序列的 FT,条件是收敛域中包含单位圆 。
例 2.5.1 x(n)=u(n),求其 Z变换 。
解：
X(z)存在的条件是 |z-1|<1,因此收敛域为 |z|>1，
0
( ) ( ) nn
nn
X z u n z z
1
1()
1Xz z
|z|>1
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析由 x(z)表达式表明,极点是 z=1,单位圆上的 Z变换不存在,或者说收敛域不包含单位圆 。 因此其傅里叶变换不存在,更不能用 (2.5.4)式求 FT。 该序列的 FT
不存在,但如果引进奇异函数 δ(ω),其傅里叶变换可以表示出来 (见表 2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在,在一定收敛域内 Z变换是存在的 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其 Z变换收敛域,了解序列特性与收敛的一些一般关系,对使用 Z变换是很有帮助的 。
1,有限长序列如序列 x(n)满足下式：
x(n) n1≤n≤n2
x(n)=
0 其它第 2章 时域离散信号和系统的频域分析即序列 x(n)从 n1到 n2序列值不全为零,此范围之外序列值为零,这样的序列称为有限长序列 。 其 Z
变换为
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
设 x(n)为有界序列,由于是有限项求和,除 0与 ∞
丙点是否收敛与 n1,n2取值情况有关外,整个 z平面均收敛 。 如果 n1<0,则收敛域不包括 ∞点； 如 n2>0,则收敛域不包括 z=0点； 如果是因果序列,收敛域包括
z=∞点 。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n1<0,n2≤0时,0≤z＜ ∞
n1<0,n2>0时,0<z＜ ∞
n1≥0,n2>0时,0<z≤∞
例 2.5.2求 x(n)=RN(n)的 Z变换及其收敛域解：
1
1
0
1( ) ( )
1
NN
nn
N
nn
zX z R n z z
z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这是一个因果的有限长序列,因此收敛域为
0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎 z=1是 X(z)的极点,但同时分子多项式在 z=1时也有一个零点,极零点对消,X(z)在单位圆上仍存在,求 RN(n)的 FT,可将 z=ejω代入 X(z)得到,其结果和例题 2.2.1中的结果
(2.2.5)公式是相同的 。
2,右序列右序列是在 n≥n1时,序列值不全为零,而其它
n<n1,序列值全为零 。
0
( ) ( ) ( )n n n n n
n n n
X z a u n z a z x n z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第一项为有限长序列,设 n1≤-1,其收敛域为 0≤|z|
＜ ∞。 第二项为因果序列,其收敛域为 Rx-<|z|≤∞，
Rx-是第二项最小的收敛半径 。 将两收敛域相与,其收敛域为 Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列,收敛域定为
Rx- <|z|≤∞。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.3求 x(n)=anu(n)的 Z变换及其收敛域解：
0
1( ) ( )
1
n n n n
n
nn
X z a u n z a z az
在收敛域中必须满足 |az-1|<1,因此收敛域为 |z|>|a|。
3,左序列左序列是在 n≤n2时,序列值不全为零,而在 n>n1，
序列值全为零的序列 。 左序列的 Z变换表示为
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析如果 n2<0,z=0点收敛,z=∞点不收敛,其收敛域是在某一圆 (半径为 Rx+)的圆内,收敛域为 0≤|z|<Rx+。 如果
n2>0,则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。
例 2.5.4求 x(n)=-anu(-n-1)的 Z变换及其收敛域 。
1
1
( ) ( 1 )n n n n
nn
nn
n
X z a u n z a z
az
X(z)存在要求 |a-1 z|<1,即收敛域为 |z|<|a|
1
11
1( ),
11
azX z z a
a z a z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其 Z变换表示为
1
12
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),0
( ) ( ),
n
n
n
x
n
n
x
nn
X z x n z X z X z
X z x n z Z R
X z x n z R Z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(z)的收敛域是 X1(z)和 X2(z)收敛域的公共收敛区域 。 如果 Rx+>Rx-,其收敛域为 Rx- <|z|< Rx+,这是一个环状域,如果 Rx+ < Rx-,两个收敛域没有公共区域,
X(z)没有收敛域,因此 X(z)不存在 。
例 2.5.5 x(n)=a|n|,a为实数,求 x(n)的 Z变换及其收敛域 。
解,1
0
00
()
n n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z a z
a z z z
a z z z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第一部分收敛域为 |az|<1,得 |z|<|a|-1,第二部分收敛域为 |az-1|<1,得到 |z|>|a|。 如果 |a|<1,两部分的公共收敛域为 |a|<|z|<|a|-1,其 Z变换如下式：
1
2
1
1
()
11
1
,
( 1 ) ( 1 )
az
Xz
a z a z
a
a z a z
|a|<|z|<|a|-1
如果 |a|≥1,则无公共收敛域,因此 X(z)不存在 。
当 0<a<1时,x(n)的波形及 X(z)的收敛域如图 2.5.2所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.2 例 2.5.5图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.3 逆 Z变换已知序列的 Z变换及其收敛域,求序列称为逆 Z变换 。 序列的 Z变换及共逆 Z变换表示如下：
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),(,)
2
n
xx
n
n
xx
c
X z x n z R z R
x n X z z d z c R R
j?
(2.5.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,用留数定理求逆 Z变换如果 X(z)zn-1在围线 c内的极点用 zk表示,根据留数定理
111 ( ) R e [ ( ),]
2
nn
kc
k
X z z dz s X z z zj
(2.5.6)
式中 表示被积函数 X(z)zn-1在极点 z=zk的留数,逆 Z变换则是围线 c内所有的极点留数之和 。
如果 zk是单阶极点,则根据留数定理
11R e [ ( ),] ( ) ( )
k
nnk k z zs X z z z z z X z z
(2.5.7)
1R e [ ( ),]n ks X z z z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析由 (2.5.8)式表明,对于 N阶极点,需要求 N-1次导数,这是比较麻烦的 。 如果 c内有多阶极点,而 c外没有多阶极点,可以根据留数辅助定理改求 c外的所有极点留数之和,使问题简单化 。
设被积函数用 F(z)表示,即如果 zk是 N阶极点,则根据留数定理
1
11
1
1R e [ ( ),] [ ( ) ( ) ]
( 1 ) ! k
N
n N n
k k z zN
ds X z z z z z X z z
N dz
(2.5.8)
1( ) ( ) nF z X z z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
F(z)在 z平面上有 N个极点,在收敛域内的封闭曲线 c将 z平面 上极点分成两部分,一部分是 c内极点,
设有 N1个极点,用 z1k表示； 另一部分是 c外极点,有
N2个,N=N1+N2,用 z2k表示 。 根据留数辅助定理下式成立：
12
12
11
R e [ ( ),] R e [ ( ),]
NN
kk
kk
s F z z s F z z
(2.5.9)
注意 (2.5.9)式成立的条件是 F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上 。 设 X(z)=P(z)/Q(z),P(z)与 Q(z)
分别是 M与 N阶多项式 。 (2.5.9)式成立的条件是第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N-M-n+1≥2
因此要求 N-M-n≥1 (2.5.10)
如果 (2.5.10)式满足,c圆内极点中有多阶极点,而 c
圆外极点没有多阶的,可以按照 (2.5.9)式,改求 c圆外极点留数之和,最后加一个负号 。
例 2.5.6 已知 X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆 Z变换
x(n)。
1 1 1
1
1
1
( ) ( 1 )
2
1
()
1
n
c
n
n
x n a z z d z
j
F z z
az
z
za
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析为了用留数定理求解,先找出 F(z)的极点,极点有,z=a; 当 n<0时 z=0共二个极点,其中 z=0极点和 n的取值有关 。 n≥0时,n=0不是极点 。 n<0时,z=0是一个 n阶极点 。 因此分成 n≥0和 n<0两种情况求 x(n)。
n≥0 时,
( ) R e [ ( ),]
()
n
za
n
x n s F z a
z
za
za
a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时,增加 z=0的 n阶极点,不易求留数,采用留数辅助定理求解,检查 (2.5.10)式是否满足,此处
n<0,只要 N-N≥0,(2.5.10)式就满足 。
图 2.5.4 例 2.5.6中 n<0时 F(z)极点分布第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.7已知,求其逆变换 x(n)。
解,该例题没有给定收敛域,为求出唯一的原序列 x(n),必须先确定收敛域 。 分析 X(z),得到其极点分布如图 2.5.5所示 。 图中有二个极点 z=a和 z=a-1,这样收敛域有三种选法,它们是
(1) |z|>|a-1|,对应的 x(n)是右序列；
(2) |a|<|z|<|z-1|,对应的 x(n)是双边序列；
(3) |z|<|a|,对应的 x(n)是左序列 。
2
1
1( ),1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
a z a z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.5 例 2.5.7 X(z)极点分布图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析下面按照收敛域的不同求其 x(n)。
(1) 收敛域 |z|>|a-1|
2
1
1
2
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( )
n
n
a
F z z
az az
a
z
a z a z a
种收敛域是因果的右序列,无须求 n<0时的 x(n)。
当 n≥0时,围线积分 c内有二个极点 z=a和 z=a-1,因此第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后表示成,x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域 |z|<|a|
这种情况原序列是左序列,无须计算 n≥0情况,
当 n≥0时,围线积分 c内没有极点,因此 x(n)=0。 n<0
时,c内只有一个极点 z=0,且是 n阶极点,改求 c外极点留数之和
1
1
22
1
1
( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( )( 1 ) ( )( )
nn
za za
nn
x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
z a a z a z a z a
aa
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后将 x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(3) 收敛域 |a|<|z|<|a-1|
这种情况对应的 x(n)是双边序列。 根据被积函数
F(z),按 n≥0和 n<0两情况分别求 x(n)。
n≥0时,c内极点 z=a
x(n)=Res［ F(z),a］ =an
1
1
22
1
11
0,( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
()
nn
za za
n n n n
n x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
a z a z a a z a z a
a a a a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时,c内极点有二个,其中 z=0是 n阶极点,
改求 c外极点留数,c外极点只有 z=a-1,因此
x(n)=-Res［ F(z),a-1］ =a-n
最后将 x(n)表示为
an n≥0
x(n)= x(n)=a|n|
a-n n<0
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,幂级数法 (长除法 )
按照 Z变换定义 (2.5.1)式,可以用长除法将 X(z)写成幂级数形式,级数的系数就是序列 x(n)。 要说明的是,如果 x(n)是右序列,级数应是负幂级数； 如 x(n)
是左序列,级数则是正幂级数 。
例 2.5.8已知 用长除法求其逆 Z
变换 x(n)。
解由收敛域判定这是一个右序列,用长除法将其展成负幂级数
1
1( ),
1X z z aaz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1 2 2
1
1
1 2 2
22
1
1
1
a z a z
az
az
a z a z
az
1-az-1
()Xz
1 2 2 3 3
0
( ) 1
( ) ( )
nn
n
n
X z az a z a z a z
x n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析1 2 2 3 3
1
1
1 2 2
22
1
1
a z a z a z
az
az
a z a z
az
例 2.5.9 已知求 其逆 Z变换 x(n)。
解：由收敛域判定,x(n)是左序列,用长除法将
X(z)展成正幂级数
1
1( ),
1X z z aaz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列,常常用这种部分分式展开法求逆 Z变换 。
设 x(n)的 Z变换 X(z)是有理函数,分母多项式是 N阶,
分子多项式是 M阶,将 X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和,通过查表 (参考表 2.5.1)求得各部分的逆变换,
再相加即得到原序列 x(n)。 设 X(z)只有 N个一阶极点,
可展成正式
1
1 2 2( ) [ ]
( ) ( 1 )
nn
n
n
X z a z a z a z
x n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析观察上式,X(z)/z在 z=0的极点留数就是系数 A0，
在 z=zm的极点留数就是系数 Am。
0
1
0
1
()
()
N
m
m m
N
m
m m
Az
X z A
zz
X z A A
z z z z
(2.5.11)
(2.5.12)
0
()
R e [,0]
()
R e [,]mm
Xz
As
z
Xz
A s z
z
(2.5.13)
(2.5.14)
求出 Am系数 (m=0,1,2,…N)后,很容易示求得 x(n)序列 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.10已知,求逆 Z变换。1
12
5( ),2 3
16
zX z z
zz
解
2
12
1 2 2
12
23
11
( ) 5 5 5
1 6 6 ( 2 ) ( 3 ) 2 3
( ) ( )
R e [,2 ] ( 2 ) 1
( ) ( )
R e [,3 ] ( 3 ) 1
( ) 1 1
( 2 ) ( 3 )
11
()
1 2 1 3
z
z
X z z A A
z z z z z z z z z
X z X z
A s z
zz
X z X z
A s z
zz
Xz
z z z
Xz
zz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析因为收敛域为 2<|z|<3,第一部分极点是 z=2,因此收敛域为 |z|>2。 第二部分极点 z=-3,收敛域应取 |z|<3。
查表 2.5.1得到
x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)
一些常见的序列的 Z变换可参考表 2.5.1。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.5.1 常见序列 Z变换第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
Z变换有许多重要的性质和定理,下面进行介绍 。
1.线性设 X(z)=ZT［ x(n)］,Rx-<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［ y(n)］,Ry- <|z|< Ry+
则 M(z)=ZT［ m(n)］
=aX(z)+bY(z),R m-<|z|<R m+ (2.5.15)
Rm+=max［ Rx+,Ry+］
Rm-=max［ Rx,Ry-］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这里 M(z)的收敛域 (Rm-,Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公式收敛域,如果没有公共收敛域,例如当
R x+>R x->R y+>R y-时,则 M(z)不存在 。
2,序列的移位设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
则 ZT［ x(n-n0)］ =z-n0X(z),R x-<|z|<R x+ (2.5.16)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,乘以指数序列设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
y(n)=anx(n),a为常数则 Y(z)=ZT［ anx(n)］
=X(a-1 z) |a|R x-<|z|<|a|R x+ (2.5.17)
证明
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n
nn
Y z a x n z x n a z X a z
因为 Rx-<|a-1 z|<Rx+,得到 |a| Rx- <|z|<|a| Rx+ 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
11
1
()
[ ( ) ] ( ) [ ]
( ) ( )
[ ( ) ]
()
[ ( ) ]
nn
nn
nn
nn
d X z d d
x n z x n z
d z d z d z
n x n z z n x n z
z Z T n x n
d X z
Z T n x n z
dz
4.序列乘以 n
设
( ) [ ( )]
()
[ ( )]
xx
xx
X z Z T x n R z R
d X z
Z T n x n z R z R
dz
则 (2.5.18)
证明第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5.复序列的共轭设 * * *
* * * *
* * * *
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( )
xx
xx
nn
n
n
n
X z Z T x n R z R
X Z Z T X n R z R
Z T X n X n z x n Z
x n Z X Z
则证明
(2.5.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6.初值定理设 x(n)是因果序列,X(z)=ZT［ x(n)］
(0 ) l i m ( )xx X z (2.5.20)
12
0
( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )n
n
X z x n z x x z x z
证明
l i m ( ) (0 )x X z x
因此
7.终值定理若 x(n)是因果序列,其 Z变换的极点,除可以有一个一阶极点在 z=1上,其它极点均在单位圆内,则
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z
(2.5.21)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] n
n
z X z x n x n z
证明因为 x(n)是因果序列,
10
( ) 0,0
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
nn
mm
x
mm
x n n
z X z x m z x m z
因为 (z-1)X(z)在单位圆上无极点,上式两端对 z=1
取极限第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
10
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m [ ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]
l i m ( 1 ) l i m ( )
nn
xx
mm
x
xx
z X z x m x m
x x x n
x x x x n
x n x n
终值定理也可用 X(z)在 z=1点的留数,因为
1
l i m ( 1 ) ( ) R e [ ( ),1 ]
( ) R e [ ( ),1 ]
x
z X z s X z
x s X z
(2.5.22) 因此如果单位圆上,X(z)无极点，则 x(∞)=0。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
8,序列卷积设
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ] ( ) ( ),
m i n[,]
m a x[,]
xx
yy
y
y
n x n y n
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
W z Z T n X z Y z R z R
R R R
R R R
则第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
m
n
W z Z T x n y n
x m y n m z
x m y n m z
x m z Y z
X z Y z
证明
W(z)的收敛域就是 X(z)和 Y(z)的公共收敛域 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.11已知网络的单位取样响应 h(n)=anu(n),|a|<1，
网络输入序列 x(n)=u(n),求网络的输出序列 y(n)。
解,y(n)=h(n)*x(n)
求 y(n)可用二种方法,一种直接求解线性卷积,另一种是用 Z变换法 。
0
1
0
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
,0
1
m
m
m
n
m
m
y n h m x n m
a u m u n m
a
an
a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
11
1
( 2 ) ( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ],
1
1
( ) [ ( ) ],1
1
1
( ) ( ) ( ),1
( 1 ) ( 1 )
1
()
2 ( 1 ) ( )
n
n
c
y n h n x n
H z Z T a u n z a
az
X z Z T u n z
z
Y z H z X z z
z az
z
y n dz
z z a?
由收敛域判定 y(n)=0,n<0。
n≥0 y(n)=Res［ Y(z)z n-1,1］ +Res［ Y(z)z n-1,a］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 11
1
11
1 1 1
1
( ) ( )
1
nn
n
aa
a a a
a
y n u n
a
将 y(n)表示为
9.复卷积定理如果 ZT［ x(n)］ =X(z),R x-<|z|<R x+
ZT［ y(n)］ =Y(z),R y-<|z|<R y+
w(n)=x(n)y(n)
则第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
2
m ax(,) m i n (,)
c
x y x y
xx
yy
z d v
W z X v Y
j v v
R R z R R
zz
R v R
RR
W(z)的收敛域
(2.5.24)式中 v平面上,被积函数的收敛域为
(2.5.24)
(2.5.25)
(2.5.26)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n
n
nn
c
n
n
c
n
c
W z x n y n z
X v v dv y n z
j
z dv
X v y n
j v v
z dv
X v Y
j v v
证明由 X(z)收敛域和 Y(z)的收敛域,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.12已知 x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若 w(n)=x(n)y(n)，
求 W(z)=ZT［ w(n)］
解：
m ax (,) m i n (,)
xx
yy
x y x y
xx
yy
R v R
z
RR
v
R R z R R
zz
R v R
RR
因此
1
1( ),1
1X z zz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
W(z)收敛域为 |a|<|z|≤∞；被积函数 v平面上收敛域为 max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),v平面上极点,a,a-1和
z,c内极点 z=a。
2
1
1
2
1
1
( ),
( 1 )( 1 )
1 ( 1 ) 1
()
2 ( 1 )( 1 )
1
c
a
Y z a z a
a z a z
a d v
Wz
uj a v a v v
z
1
1
( ) Re [ ( ),],
1
( ) ( )n
W z s F v a a z
az
w n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
10.帕斯维尔 (Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理 。
( ) [ ( )],
( ) [ ( )],
1,1
xx
yx
x y x x
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
R R R R
那么
111( ) ( ) ( ) ( )
2 cn x n y n X v Y v dvjv?
v平面上,c所在的收敛域为
11m a x(,) m in(,)
xx
yy
R v RRR
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析证明 令 w(n)=x(n)·y*(n)
按照 (2.5.24)式,得到
11( ) [ ( )] ( ) (( ) )
2 c
zW z Z T w n X v Y v d v
jv?
按照 (2.5.25)式,R x-R y-<|z|<R x+R y+,按照假设,z=1在收敛域中,令 z=1代入 W(z)中 。
1
1
1
11
( 1 ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
2
c
n
z
nn
c
n
W X v Y v dv
jv
W x n y n z x n y n
x n y n X v Y v dv
jv
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析如果 x(n)和 y(n)都满足绝对可和,即单位圆上收敛,
在上式中令 v=e jω,得到
22
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
jj
n
j
n
x n y n X e Y e d
x n X e d
(2.5.29)
令 x(n)=y(n)得到上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理 (2.2.34)式是相同的 。 (2.5.28)式还可以表示成下式：
2 11( ) ( ) ( )
2 cn
dzx n X z X z
jz?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.5 利用 Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法,下面介绍 Z变换解法 。 这种方法将差分方程变成了代数方程,
使求解过程简单 。
设 N阶线性常系数差方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
(2.5.30)
1.求稳态解如果输入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞时加上的,n时刻的 y(n)是稳态解,对 (2.5.30)式求 Z变换,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
0
0
0
0
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) [ ( ) ]
NN
kk
kk
kk
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
a Y z z b X z z
bz
Y z X z
az
Y z H z X z
bz
Hz
az
y n Z T Y z
式中
(2.5.31)
(2.5.32)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,求暂态解对于 N阶差分方程,求暂态解必须已知 N个初始条件 。 设 x(n)是因果序列,即 x(n)=0,n<0,已知初始条件
y(-1),y(-2)…y(-N)。 对 (2.5.30)式进行 Z变换时,注意这里要用单边 Z变换 。 方程式的右边由于 x(n)是因果序列,
单边 Z变换与双边 Z变换是相同的 。 下面先求移位序列的单边 Z变换 。
设第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
0
0
()
0
1
0
1
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( )
()
()
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
n
m n m
n
mk
km
m k k
k k m
mk
km
Y z y n z
Z T y n m u n y n m z
z y n m z
z y k z
z y k z y k z
z Y z y k z
(2.5.33)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析按照 (2.5.33)式对 (2.5.30)式进行单边 Z变换
1
00
1
00
00
[ ( ) ( ) ] ( )
()
( ) ( )
k
NM
k l k
k
k i k k
MN
k k l
kk
k k i k
NN
kk
kk
kk
a z Y z y l z b X z z
b z a z y l z
Y z X z
a z a z
(2.5.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.13已知差分方程 y(n)=by(n-1)+x(n),式中
x(n)=anu(n),y(-1)=2,求 y(n)。
解：将已知差分方程进行 Z变换
1
1
( ) ( ) ( 1 ) ( )
2 ( )
()
1
Y z bz Y z by X z
b X z
Yz
bz
式中，
1
1( ),
1X z z aaz
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 )( 1 )
bYz
b z a z b z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析收敛域为 |z|>max(|a|,|b|)，
1 1 11( ) 2 ( ),0n n ny n b a b n
ab
式中第一项为零输入解,第二项为零状态解 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性
2.6.1 传输函数与系统函数设系统初始状态为零,输出端对输入为单位脉冲序列 δ(n)的响应,称为系统的单位脉中响应 h(n),对 h(n)
进行傅里叶变换得到 H(e jω)
( ) ( )j j n
n
H e h n e
(2.6.1)
一般称 H(e jω)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析设 h(n)进行 Z变换,得到 H(z),一般称 H(z)为系统的系统函数,它表征了系统的复频域特性 。 对 N阶差分方程 (1.4.2)式,进行 Z变换,得到系统函数的一般表示式
0
0
()
()
()
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Yz
Hz
Xz
az
(2.6.2)
如果 H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1,H(e jω)与
H(z)之间关系如下式：
( ) ( ) jj zeH e H z
(2.6.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果 (可实现 )系统其单位脉响应 h(n)一定满足当
n<0时,h(n)=0,那么其系统函数 H(z)的收敛域一定包含 ∞点,即 ∞点不是极点,极点分布在某个圆的圆内,
收敛域在某个圆外 。
系统稳定要求,对照 Z变换定义,
系统稳定要求收敛域包含单位圆 。 如果系统因果且稳定,收敛域包含 ∞点和单位圆,那么收敛域可表示为
r<|z|≤∞,0<r<1
()
n
hn?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.6.1已知 分析其因果性和稳定性,
解,H(z)的极点为 z=a,z=a-1,如图 2.5.5所示 。
(1)收敛域 a-1<|z|≤∞,对应的系统是因果系统,但由于收敛域不包含单位圆,因此是不稳定系统 。 单位脉冲响应 h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题 2.5.7),这是一个因果序列,但不收敛 。
(2)收敛域 0≤|z|＜ a,对应的系统是非因果且不稳定系统 。 其单位脉冲响应 h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题 2.5.7)，
这是一个非因果且不收敛的序列 。
2
1
1( ),0 1
( 1 ) ( 1 )
aH z a
az az?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(3)收敛域 a<|z|<a-1,对应的系统是一个非因果系统,
但由于收敛域包含单位圆,因此是稳定系统 。 其单位脉冲响应 h(n)=a|n|,这是一个收敛的双边序列,如图
2.6.1(a)所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.1 例 2.6.1图示第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将 (2.6.2)式因式分解,得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
M
r
r
cz
H z A
dz
(2.6.4)
式中 A=b0/a0,上式中 cr是 H(z)的零点,dr是其极点 。
A参数影响传输函数的幅度大小,影响系统特性的是零点 cr和极点 d 的分布 。 下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响 。
将 (2.6.4)式分子分母同乘以 z N+M,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
() 1
1
()
()
()
()
()
()
M
r
NM r
N
r
r
M
j
r
j j N M r
N
j
r
r
zc
H z A z
zd
ec
H e A e
ed
设系统稳定，将 z=e jω，得到传输函数
(2.6.5)
(2.6.6)
设 N=M,由 (2.6.6)式得到
1
1
()
()
()
M
j
r
j r
N
j
r
r
ec
H e A
ed
(2.6.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在 z平面上,ejω-cr用一根由零点 cr指向单位圆上 ejω
点 B的向量 表示,同样 ejω-dr用内极点指向 ejω点 B
的向量 表示,如图 2.6.2所示 。
rdB
rcB
j
rr
j
rr
c B e c
d B e d
和 分别称为零点矢量和极点矢量,将它们用极坐标表
rcB rdB
r
r
j
rr
j
rr
c B c e
d B d e
表示式代入 (2.6.7)式,得到
rcB rdB
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()1
1
1
1
11
( ) ( )
()
()
N
r
j j jr
N
r
r
N
r
j r
N
r
r
NN
rr
rr
cB
H e A H e e
dB
cB
H e A
dB
(2.6.8)
(2.6.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析系统的传输特性或者信号的频率特性由 (2.6.8)式和 (2.6.9)式确定 。 当频率 ω从零变化到 2π时,这些向量的终点 B沿单位圆逆时针旋转一周,按照 (2.6.8)式 (2.6.9)
式,分别估算出系统的幅度特性和相位特性 。 例如图
2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.2 频响的几何表示法第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2 已知 H(z)=z-1,分析其频率特性解：由 H(z)=z-1,极点为 z=0,幅度特性
|H(e jω)|=1,相位特性 φ(ω)=-ω,频响如图 2.6.3所示 。
用几何方法也容易确定,当 ω=0转到 ω=2π时,极点矢量的长度始终为 1。 由该例可以得到结论,处于原点处的零点或极点,由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为 1,因此原点处的零极点不影响系统的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.3 H(z)=z-1的频响
1
0
0
ω
ω
)(e
j?
H
)(j
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 设一阶系统的差分方程为
y(n)=by(n-1)+x(n)
用几何法分析其幅度特性 。
解：由系统差分方程得到系统函数为系统极点 z=b,零点 z=0,当 B点从 ω=0逆时旋转时,
在 ω=0点由于极点矢量长度最短,形成波峰 。 在 ω=π时形成波谷 。 z=0处零点不影响频响 。 极零点分布及幅度特性如图 2.6.4所示 。
1
1( ) | z | > | b |
1
zHz
b z z b
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.4 例 2.6.3插图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.4 已知 H(z)=1-z-N,试定性画出系统的幅频特性 。
解：
H(z)的极点为 z=0,这是一个 N阶极点,它不影响系统的频响 。 零点有 N个,由分子多项式的根决定
1( ) 1 NN
N
zH z z
z
2
2
1 0,
,0,1,2,1
N N j k
jk
N
z z e
z e k N
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N个零点等间隔分布在单位圆上，设 N=8，极零点分布如图 2.6.5所示。当 ω从零变化到 2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为,ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。
一般将具有如图 2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性 。
解：
1
11
0
11( ) ( )
1 ( 1 )
NNN
nn
NN N
nn
zzR z R n z z
z z z
零点：
极点：
2
,0,1,2,1 ;
0 ( 1 ) 1
jk
Nz e k N
z N z
设 N=8,z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图 2.6.6所示。
阶零点第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性
2.1 引言
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系
2.5 序列的 Z变换
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言我们知道信号和系统的分析方法有两种,即时域分析方法和频率分析方法 。 在模拟领域中,信号一般用连续变量时间 t的函数表示,系统则用微分方程描述 。
为了在频率域进行分析,用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域 。 而在时域离散信号和系统中,信号用序列表示,其自变量仅取整数,非整数时无定义,而系统则用差分方程描述 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析频域分析是用 Z变换或傅里叶变换这一数学工具 。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换,它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的,但都是线性变换,很多性质是类似的 。
本章学习序列的傅里叶变换和 Z变换,以及利用 Z
变换分析系统和信号频域特性 。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义定义
( ) ( )j j n
n
X e x n e
(2.2.1)
为序列 x(n)的傅里叶变换,可以用 FT(Fourier
Transform)缩写字母表示 。 FT成立的充分必要条件是序列 x(n)满足绝对可和的条件,即满足下式：
()
n
xn
(2.2.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析为求 FT的反变换,用 e jωn乘 (2.2.1)式两边,并在
-π~π内对 ω进行积分,得到 ()
()
( ) [ ( ) ]
()
2 ( )
1
( ) ( )
2
j j m j n j n
n
j m n
n
j m n
j j m
X e e d x n e e d
x n e d
e d n m
x n X e e d
(2.2.3)
(2.2.4)
式中因此第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式即是 FT的逆变换 。 (2.2.1)和 (2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式 。 (2.2.2)式是 FT存在的充分必要条件,
如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,例如周期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,
这部分内容在下面介绍 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.2.1 设 x(n)=RN(n),求 x(n)的 FT 1
0
/ 2 / 2 / 2
/ 2 / 2 / 2
( 1) / 2
( ) ( )
1 ( )
1 ( )
si n( / 2 )
si n / 2
N
j j n j n
N
nn
j N j N j N j N
j j N j j
jN
X e R n e e
e e e e
e e e e
N
e
解：
(2.2.5)
设 N=4,幅度与相位随 ω变化曲线如图 2.2.1所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1,FT的周期性在定义 (2.2.1)式中,n取整数,因此下式成立
( 2 )( ) ( ),j j M n
n
X e x n e
M为整数 (2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率 ω的周期函数,周期是 2π。 这样 X(ejω)可以展成傅里叶级数,其实 (2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式,x(n)是其系数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.2 cosωn的波形
… …
－ 1 0 1 2 3 4
1
－ 1
… …
0
1
2
3
4
5
6
n n
( a ) ( b )
1
π2 π)12( M?
c o s
M
n?c o s n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,线性
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) [ ( )],( ) [ ( )],
[ ( ) ( )] ( ) ( )
jj
jj
X e F T x n X e F T x n
F T a x n b x n a X e b X e
那么设式中 a,b为常数
3,时移与频移设 X(e jω)=FT［ x(n)］,那么
(2.2.7)
0
00
0
(
[ ( )] ( )
[ ( )] ( )
jn j
j n j
F T x n n e X e
F T e x n X e
(2.2.8)
(2.2.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,FT的对称性在学习 FT的对称性以前,先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质 。 设序列 xe(n)满足下式：
xe(n)=x*e(-n) (2.2.10)
则称 xe(n)为共轭对称序列 。 为研究共轭对称序列具有什么性质,将 xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边 n用 -n代替,并取共轭,得到
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对比上面两公式,左边相等,因此得到
xer(n)=xer(-n) (2.2.11)
xei(n)=-xei(-n) (2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数,
而虚部是奇函数 。 类似地,可定义满足下式的称共轭反对称序列
xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将 x0(n)表示成实部与虚部如下式：
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
可以得到
xor(n)=-xor(-n) (2.2.14)
xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数,而虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.2.2 试分析 x(n)=e jωn的对称性解：
将 x(n)的 n用 -n代替,再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn
因此 x(n)=x*(-n),满足 (2.2.10)式,x(n)是共轭对称序列,如展成实部与虚部,得到
x(n)=cosωn+j sinωn
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶函数，
虚部是奇函数。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示,即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16)
式中 xe(n),xo(n)可以分别用原序列 x(n)求出,将
(2.2.16)式中的 n用 -n代替,再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17)
利用 (2.2.16)和 (2.2.17)两式,得到
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
(2.2.18)
(2.2.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析利用上面两式,可以分别求出 xe(n)和 xo(n)。
对于频域函数 X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) (2.2.10)
式中 Xe(ejω)与 Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分,它们满足
Xe(ejω) =X*e(e-jω) (2.2.21)
Xo(ejω) =-X*o(e-jω) (2.2.22)
同样有下面公式满足：
1
( ) [ ( ) ( )]
2
1
( ) [ ( ) ( )]
2
j j j
e
j j j
o
X e X e X e
X e X e X e
(2.2.23)
(2.2.24)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(a) 将序列 x(n)分成实部 xr(n)与虚部 xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行 FT,得到
X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
( ) [ ( ) ] ( )
( ) [ ( ) ] ( )
j j n
rr
n
j j n
o i r
n
X e FT x n x n e
X e FT jx n j x n e
式中第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上面两式中,xr(n)和 xi(n)都是实数序列,容易证明 Xe(ejω)满足 (2.2.21)式,个有共轭对称性,它的实部是偶函数,虚部是奇函数 。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)
式,具有共轭反对称性质,其实部是奇函数,虚部是偶函数 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后得到结论,序列分成实部与虚部两部分,实部对称的 FT具有共轭对称性,虚部和 j一起对应的 FT
具有共轭反对称性 。
(b) 将序列分成共轭对称部分 xe(n)和共轭反对称部分 xo(n),即
x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25)
将 (2.2.18)式和 (2.2.19)式重定如下：
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
1
( ) [ ( ) ( ) ]
2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将上面两式分别进行 FT,得到
FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ =Re［ X(ejω)］ =XR(ejω)
FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω)-X*(ejω)］ =jIm［ X(ejω)］
=jXI(ejω)
因此对 (2.2.25)式进行 FT得到：
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) (2.2.26)
(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分 xe(n)对应着 FT
的实部 XR(ejω),而序列的共轭反对称部分 xo(n)对应着
FT的虚部 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析因为 h(n) 是实序列,其 FT只有共轭对称部分
He(ejω),共轭反对称部分为零 。
H(ejω)=He(ejω)
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的 FT的实部是偶函数,虚部是奇函数,
用公式表示为
HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析按照 (2.2.18)和 (2.2.19)式得到
h(n)=he(n)+ho(n)
he(n)=1/2［ h(n)+h(-n)］
ho(n)=1/2［ h(n)-h(-n)］
因为 h(n)是实因果序列,按照上面两式 he(n)和 ho(n)
可以用下式表示：
()ehn?
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
(2.2.27)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
h o n
h n n
h n n
()ohn?
(2.2.28)
实因果序列 h(n)分别用 he(n)和 ho(n)表示为
h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29)
h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) (2.2.30)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,0
1,0
0,0
n
n
n
()un (2.2.31)
例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数 xe(n)
和奇函数 xo(n)。
解,x(n)=xe(n)+xo(n)
按 (2.2.2)式得到
( 0),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
()exn?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
按照 (2.2.28)式得到
( 0),0
1
( ),0
2
1
( ),0
2
xn
x n n
x n n
()oxn?
1,0
1
,0
2
1
,0
2
n
n
n
an
an
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.2.3 例 2.2.3图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5,时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(e jω)=X(e jω)·H(e jω) (2.2.32)
证明
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
m
jj
nm
j j k j k j
km
j k j k
km
jj
y n x m h n m
Y e FT y n x m h n m e
Y e h k e x m e e
h k e x m e
H e X e
令 k=n-m
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析该定理说明,两序列卷积的 FT,服从相乘的关系 。
对于线性时不变系统输出的 FT等于输入信号的 FT乘以单位脉冲响应 FT。 因此求系统的输出信号,可以在时域用卷积公式 (1.3.7)计算,也可以在频域按照 (2.2.32)
式,求出输出的 FT,再作逆 FT求出输出信号 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6,频域卷积定理设 y(n)=x(n)·h(n) (2.2.33)
()11
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
22
( ) ( ) ( )
1
( )[ ( ) ]
2
j j j j j
j j n
n
j j n j n
n
Y e X e H e X e H e d
Y e x n h n e
x n H e e d e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()
()
1
( ) ( )[ ( ) ]
2
1
()
2
1
( ) * ( )
2
j j j n
n
jj
jj
Y e H e x n e d
H e X e d
H e H e
7,帕斯维尔 (Parseval)定理
2
2
2
**
1
( ) (
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ) ]
2
j
n
j j n
n n n
x n x e d
x n x n x n x n X e e d
(2.2.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析帕斯维尔定理告诉我们,信号时域的总能量等于频域的总能量 。 要说明一下,这里频域总能量是指
|X(e jω)|2在一个周期中的积分再乘以 1/(2π)。 最后,表
2.2.1综合了 FT的性质,这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的 。
2
*
1
( ) ( )
2
11
( ) ( ) ( )
22
j j n
n
j j j
X e x n e d
X e X e d X e d
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设 是以 N为周期的周期序列,由于是周期性的,可以展成傅里叶级数
~()xn
2~
() j k nNk
k
x n a e
(2.3.1)
式中 ak是傅里叶级数的系数 。 为求系数 ak,将上式两边乘以,并对 n在一个周期 N中求和2
j mnNe
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.2)式的证明,作为练习自己证明 。 因此上式中,k和 n均取整数,当 k或者 n变化时,
是周期为 N的周期函数,可表示成
2 2 21 1 1~
()
0 0 0
21
()
0
( ) [
N N N
j mn j mn j k m n
N N N
kk
n n k k n
N
j k m n
N
n
x n e a e a e
e
,
0,
N k m
km
(2.3.2)
21 ~
0
1 ()N j k mN
k
n
a x n eN
-∞<k<∞ (2.3.3)
~ ()
kx k N a?
22()
,j k N n j k mNNe e l
取整数第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式中 也是一个以 N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数,用 DFS(Discrete Fourier
Series)表示 。 如对 (2.3.4)式两端乘以,并对 k在一个周期中求和,得到
~()xk
~()xn
2j kl
Ne
2 2 2 21 1 1 1 1~ ~ ~ ()
0 0 0 0 0
( ) [ ( ) ] ( )
N N N N Nj k l j k n j k l j l k k
N N N N
k k k k k
X k e X n e e X n e
同样按照 (2.3.2)式,得到
21~~
0
1( ) ( )N j k nN
k
x n x k eN
(2.3.5)
将 (2.3.4)式和 (2.3.5)式重写如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(2.3.6)式和 (2.3.7)式称为一对 DFS。 (2.3.5)式表明将周期序列分解成 N次谐波,第 k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k,
k=0,1,2 … N-1,幅度为 。 其波分量的频率是
2π/N,幅度是 。 一个周期序列可以用其
DFS表示它的频谱分布规律 。
21~ ~ ~
0
21~ ~ ~
0
( ) [ ( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
N j k n
N
n
N j k n
N
n
X k D F S x n x n e
x k I D F S x k x k e
N
(2.3.6)
(2.3.7)
~(1 / ) ( )N X k
~(1 / ) (1)NX
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.1设 x(n)=R4(n),将 x(n)以 N=8为周期,进行周期延拓,得到如图 2.3.1(a)所示的周期序列,周期为 8,求 的 DFS。
解,按照 (2.3.4)式
~()xn ~()xn
273
~~
8 4
00
4
4
4
4
2 2 2
4 8 8 8
( ) ( )
1
1
1 ( )
1 ()
j k n kn
nn
jk
jk
j k j k j k
jk
j k j k j k j k
X k X n e e
e
e
e e e e
e e e e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析其幅度特性 如图 2.3.1(b)所示 。
3
8
sin
2
sin
8
jk
k
e
k
~ ()Xk
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.1 例 2.3.1图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中,,其傅里叶变换是在
Ω=Ωo处的单位冲激函数,强度是 2π,即
0() jtax t e
0
0
( ) [ ( )]
2 ( )
jt jt
aaX j F T x t e e d t
(2.3.8)
对于时域离散系统中,x(n)=e jωon,2π/ωo为有理数,暂时假定其 FT的形式与 (2.3.8)式一样,也是在 ω=ω0处的单位冲激函数,强度为 2π,但由于 n取整数,下式成立
00 ( 2 ),j n j r ne e r
取整数第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式表示复指数序列的 FT是在 ω0± 2πr处的单位冲激函数,强度为 2π如科 2.3.2所示 。 但这种假定如果成立,要求按照 (2.2.4)式的逆变换必须存在,且唯一等于,下面进行验证,按照 (2.2.4)式因此 e jω0n的 FT为
0
0( ) [ ] 2 ( 2 )
jnj
r
X e FT e r
(2.3.9)
0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.2 的 FT 0jne?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析观察图 2.3.2,在 ± π区间,只包括一个单位冲激函数,等式右边为,因此得到下式：
证明了 (2.3.9)式确定是 ejω0n的 FT,前面的暂时假定是正确的 。
对于一般周期序列,按 (2.3.4)式展开 DFS，
第 k次谐波为,类似于复指数序列的 FT，
其 FT为,因此 的 FT
如下式
0jne?
001 ( ) [ ( ) ]
2
j n jj j ne X e e d I F T X e
~()xn
2~( ( ) / ) j knNX x N e?
~ 2[ 2 ( ) / ] ( 2 )
r
X k N k rN
~()xn
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析式中 k=0,1,2 … N-1,如果让 k在 ± ∞之间变化,上式可简化成
~1
~
0
2 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )Nj
kr
xkX e F T x n k r
NN
~
21~~
0
22
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
k
N
j kn
N
n
X e x k k
NN
x k x n e
(2.3.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( )
2
1
( 1 ) ( 1 )
2
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )
1
()
1
j
j
x n u n
x n u n
x n x n u n u n n
Xe
e
对 (a)式进行 FT,得到
( ) ( ) ( 2 )
1
( ) ( 2 )
1
jj
k
j
j
k
X e U e k
U e k
e
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.2求例 2.3.1中周期序列的 FT。
解,将例 2.3.1中得到的 代入 (2.3.10)式中得到
~ ()Xk
3
8 sin( / 2 )( ) ( )
4 sin( / 8 ) 4
jkj
k
kX e e k
k
其幅频特性如图 2.3.3所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.3 例 2.3.2图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析对比图 2.3.1,对于同一个周期信号,其 DFS和 FT
分别取模的形状是一样的,不同的是 FT用单位冲激函数表示 (用带箭头的竖线表示 )。 因此周期序列的频谱分布用其 DFS或者 FT表示都可以,但画图时应注意单位冲激函数的画法 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.3.3令,2π/ω0为有理数,
求其 FT。
解,将 用欧拉公式展开
~
0( ) co sx n n
~()xn
00
~
0
00
00
1
( ) [ ]
2
( ) [ c o s ]
1
2 [ ( 2 ) ( 2 ) ]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
j n j n
j
r
r
x n e e
X e FT n
rr
rr
(2.3.11)
按照 (2.3.9)式,其 FT推导如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上式表明 cosω0n的 FT,是在 ω=± ω0处的单位冲激函数,强度为 π,且以 2π为周期进行延拓,如图 2.3.4
所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.3.4 cosω0n的 FT
0 ω
0
－ ω
0
X (e
j ω
)
ω
π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系我们知道模拟信号 xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jt
aa
jt
aa
X j x t e dt
x t X j e dt
(2.4.1)
(2.4.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这里 t与 Ω的域均在 ± ∞之间 。 从模拟信号幅度取值考虑,在第一章中遇到两种信号,即连续信号和采样信号,它们之间的关系用 (1.5.2)式描述,重写如下：
采样信号 和连续信号 xa(t),它们分虽的傅里叶变换之间的关系,由采样定理 (1.5.5)式描述,重写如下：
~
( ) ( ) ( )a a
n
x t x n T t n T?
~ ()
axt
~ 1
( ) ( )a as
n
x j x j j kT
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析下面我们研究如果时域离散信号 x(n),或称序列
x(n),是由对模拟信号 xa(t)采样产生的,即在数值上有有下面关系式成立：
x(n)=xa(nT) (2.4.3)
注意上面式中 n取整数,否则无定义 。 x(n)的一对傅里叶变换用 (2.2.1)式和 (2.2.4)式表示,重写如下：
( ) ( )
1
( ) ( )
2
j j n
n
j j n
X e x n e
x n X e e d
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系,数字频率 ω与模拟频率 Ω(f)之间有什么关系,这在模拟信号数字处理中,
是很重要的问题 。 为分析上面提出的问题,我们从
(2.4.3)式开始研究 。 将 t=nT代入 (2.4.2)式中,得到
1( ) ( )
2
j n T
aax n T X j e d?
(2.4.4)
( 2 1) /
( 2 1) /
1( ) ( )
2
rT j nT
aa rT
r
x nT X j e d?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析令,代入上式后,再将 Ω′用 Ω
代替,得到
2 r
T
/
2
/
/
/
12
( ) ( )
2
12
( ) ( )
2
nT
j n T j rn
aa
T
r
nT
j n T
aa
T
r
x nT X j r e e d
T
x nT X j r e d
T
式中,因为 r和 n均取整数,e-j2πrn=1,交换求和号和积分号得到
(2.4.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在第一章中曾得到结论,如果序列是由一模拟信号取样产生,则序列的数字频率 ω与模拟信号的频率
Ω(f)成线性性关系,如 (1.2.10)式所示,重写如下：
ω=ΩT
式中 T是采样周期 T=1/fs,将 (1.2.10)式代入 (2.4.5)
式得到
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x nT X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
现在对比 (2.4.1)式和 (2.4.6)式,得到
(2.4.6)
(2.4.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析上面 (2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换 X(ejω)和模拟信号 xa(t)的傅里叶变换 Xa(jΩ)之间的关系式,我们将
(2.4.7)式与 (1.5.5)式对比,得到结论,序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系,与采样信号,模拟信号分别的 FT之间的关系一样,都是 Xa(jΩ)
以周期 Ωs=2π/T进行周期延拓,频率轴上取值的对应关系用 (1.2.10)式表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在一些文献中经常使用归一化频率 f′=f/fs或 Ω′=Ω/Ωs，
Ω′=ω/2π,因为 f′,Ω′和 ω′,都是无量纲,刻度是一样的,将 f,Ω,ω,f′,Ω′,ω′的定标值对应关系用图 2.4.1表示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ 0,5－ 1 0 0,5 1
－ f
s
2
s
f?
f
s f
f ′
2
s
2
s
f
2
s
s
s
0
0
0 π2ππ?π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.4.1设 xa(t)=cos(2πf0t),f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对 xa(t)进行采样,得到采相信号 和时域离散信号 x(n),求 xa(t)和 的傅里叶变换以及
x(n)的 FT。
解：
~ ()
axt
~ ()
axt
00
0
22
00
( ) [ ( ) ]
c o s 2
1
[]
2
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
aa
jt
j f t j f t jt
X j F T x t
f te d t
e e e d t
ff
(2.4.8)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xa(jΩ)是 Ω=± 2πf0处的单位冲激函数,强度为 π，
如图 2.4.2(a)所示 。 以 fs=200 Hz对 xa(t)进行采样得到采样信号,按照 (1.5.2)式,与 xa(t)的关系式为~
()axt ~ ()axt
~
0( ) c o s( 2 ) ( )a
n
x t f n T t n T
的傅里叶变换用 (1.5.5)式确定,即以 Ωs=2πfs
为周期,将 Xa(jΩ)周期延拓形成,得到：
~ ()
axt
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
( ) [ ( ) ]
1
()
[ ( 2 ) ( 2 ) ]
a a
as
k
ss
k
X j FT x t
X j j k
T
k f k f
T
(2.4.9)
如图 2.4.2(b)所示。 将采样信号转换成序列 x(n),用下式表示：
x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)
()aXj
按照 (2.4.7)式,得到 x(n)的 FT,实际上只要将
Ω=ω/T=ωfs代入 中即可 。
()aXj
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析将 fs=200 Hz,f0=50 Hz,代入上式,求括弧中公式为零时的 ω值,ω=2πk± π/2,因此 X(ejω)用下式表示：
00( ) [ ( 2 2 ) ( 2 2 ) ]
j
s s s s
k
X e f k f f f k f fT
( ) [ ( 2 ) ( 2 ) ]22j
k
X e k kT
(2.4.10)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.4.2 例 2.4.1图
X
a
(j Ω )
0
Ω
0－ Ω
s
2
s
2
s
Ω
s
…
…
T
Ω
X
a
(j Ω )
＾
0
…
…
ω
2
2
（ a ）
（ b ）
（ c ）
X (e
j ω
)
π
0
π2 f
0
π2 f
0
π2 f?
0
π2 f?
π
ππ? π2π2?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5 序列的 Z变换
2.5.1 Z变换的定义序列 x(n)的 Z变换定义为
( ) ( ) n
n
X z x n z
(2.5.1)
式中 z是一个复变量,它所在的复平面称为 z平面 。
注意在定义中,对 n求和是在 ± ∞之间求和,可以称为双边 Z变换 。 还有一种称为单边 Z变换的定义,如下式
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
(2.5.2)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析使 (2.5.3)式成立,Z变量取值的域称为收敛域 。 一般收敛域用环状域表示这种单边 Z变换的求和限是从零到无限大,因此对于因果序列,用两种 Z变换定义计算出的结果是一样的 。 本书中如不另外说明,均用双边 Z变换对信号进行分析和变换 。
(2.5.1)式 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛,
要求级数绝对可和,即
()
n
n
xx
x n z
R z R
(2.5.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.1 Z变换的收敛域第 2章 时域离散信号和系统的频域分析常用的 Z变换是一个有理函数,用两个多项式之比表示分子多项式 P(z)的根是 X(z)的零点,分母多项式
Q(z)的根是 X(z)的极点 。 在极点处 Z变换不存在,因此收敛域中没有极点,收敛域总是用极点限定其边界 。
对比序列的傅里叶变换定义 (2.2.1)式,很容易得到 FT和 ZT之间的关系,用下式表示：
()()
()
PzXz
Qz?
( ) ( ) jj zeX e X z (2.5.4)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析式中 z=e jω表示在 z平面上 r=1的圆,该圆称为单位圆 。 (2.5.4)式表明单位圆上的 Z变换就是序列的傅里叶变换 。 如果已知序列的 Z变换,可用 (2.5.4)式,很方便的求出序列的 FT,条件是收敛域中包含单位圆 。
例 2.5.1 x(n)=u(n),求其 Z变换 。
解：
X(z)存在的条件是 |z-1|<1,因此收敛域为 |z|>1，
0
( ) ( ) nn
nn
X z u n z z
1
1()
1Xz z
|z|>1
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析由 x(z)表达式表明,极点是 z=1,单位圆上的 Z变换不存在,或者说收敛域不包含单位圆 。 因此其傅里叶变换不存在,更不能用 (2.5.4)式求 FT。 该序列的 FT
不存在,但如果引进奇异函数 δ(ω),其傅里叶变换可以表示出来 (见表 2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在,在一定收敛域内 Z变换是存在的 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其 Z变换收敛域,了解序列特性与收敛的一些一般关系,对使用 Z变换是很有帮助的 。
1,有限长序列如序列 x(n)满足下式：
x(n) n1≤n≤n2
x(n)=
0 其它第 2章 时域离散信号和系统的频域分析即序列 x(n)从 n1到 n2序列值不全为零,此范围之外序列值为零,这样的序列称为有限长序列 。 其 Z
变换为
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z?
设 x(n)为有界序列,由于是有限项求和,除 0与 ∞
丙点是否收敛与 n1,n2取值情况有关外,整个 z平面均收敛 。 如果 n1<0,则收敛域不包括 ∞点； 如 n2>0,则收敛域不包括 z=0点； 如果是因果序列,收敛域包括
z=∞点 。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n1<0,n2≤0时,0≤z＜ ∞
n1<0,n2>0时,0<z＜ ∞
n1≥0,n2>0时,0<z≤∞
例 2.5.2求 x(n)=RN(n)的 Z变换及其收敛域解：
1
1
0
1( ) ( )
1
NN
nn
N
nn
zX z R n z z
z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这是一个因果的有限长序列,因此收敛域为
0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎 z=1是 X(z)的极点,但同时分子多项式在 z=1时也有一个零点,极零点对消,X(z)在单位圆上仍存在,求 RN(n)的 FT,可将 z=ejω代入 X(z)得到,其结果和例题 2.2.1中的结果
(2.2.5)公式是相同的 。
2,右序列右序列是在 n≥n1时,序列值不全为零,而其它
n<n1,序列值全为零 。
0
( ) ( ) ( )n n n n n
n n n
X z a u n z a z x n z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第一项为有限长序列,设 n1≤-1,其收敛域为 0≤|z|
＜ ∞。 第二项为因果序列,其收敛域为 Rx-<|z|≤∞，
Rx-是第二项最小的收敛半径 。 将两收敛域相与,其收敛域为 Rx- <|z|<∞。 如果是因果序列,收敛域定为
Rx- <|z|≤∞。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.3求 x(n)=anu(n)的 Z变换及其收敛域解：
0
1( ) ( )
1
n n n n
n
nn
X z a u n z a z az
在收敛域中必须满足 |az-1|<1,因此收敛域为 |z|>|a|。
3,左序列左序列是在 n≤n2时,序列值不全为零,而在 n>n1，
序列值全为零的序列 。 左序列的 Z变换表示为
2
( ) ( )
n
n
n
X z x n z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析如果 n2<0,z=0点收敛,z=∞点不收敛,其收敛域是在某一圆 (半径为 Rx+)的圆内,收敛域为 0≤|z|<Rx+。 如果
n2>0,则收敛域为 0<|z|< Rx+ 。
例 2.5.4求 x(n)=-anu(-n-1)的 Z变换及其收敛域 。
1
1
( ) ( 1 )n n n n
nn
nn
n
X z a u n z a z
az
X(z)存在要求 |a-1 z|<1,即收敛域为 |z|<|a|
1
11
1( ),
11
azX z z a
a z a z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
4,双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其 Z变换表示为
1
12
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),0
( ) ( ),
n
n
n
x
n
n
x
nn
X z x n z X z X z
X z x n z Z R
X z x n z R Z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
X(z)的收敛域是 X1(z)和 X2(z)收敛域的公共收敛区域 。 如果 Rx+>Rx-,其收敛域为 Rx- <|z|< Rx+,这是一个环状域,如果 Rx+ < Rx-,两个收敛域没有公共区域,
X(z)没有收敛域,因此 X(z)不存在 。
例 2.5.5 x(n)=a|n|,a为实数,求 x(n)的 Z变换及其收敛域 。
解,1
0
00
()
n n
n
n n n n
nn
n n n n
nn
X z a z
a z z z
a z z z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第一部分收敛域为 |az|<1,得 |z|<|a|-1,第二部分收敛域为 |az-1|<1,得到 |z|>|a|。 如果 |a|<1,两部分的公共收敛域为 |a|<|z|<|a|-1,其 Z变换如下式：
1
2
1
1
()
11
1
,
( 1 ) ( 1 )
az
Xz
a z a z
a
a z a z
|a|<|z|<|a|-1
如果 |a|≥1,则无公共收敛域,因此 X(z)不存在 。
当 0<a<1时,x(n)的波形及 X(z)的收敛域如图 2.5.2所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.2 例 2.5.5图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.3 逆 Z变换已知序列的 Z变换及其收敛域,求序列称为逆 Z变换 。 序列的 Z变换及共逆 Z变换表示如下：
1
( ) ( ),
1
( ) ( ),(,)
2
n
xx
n
n
xx
c
X z x n z R z R
x n X z z d z c R R
j?
(2.5.5)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1,用留数定理求逆 Z变换如果 X(z)zn-1在围线 c内的极点用 zk表示,根据留数定理
111 ( ) R e [ ( ),]
2
nn
kc
k
X z z dz s X z z zj
(2.5.6)
式中 表示被积函数 X(z)zn-1在极点 z=zk的留数,逆 Z变换则是围线 c内所有的极点留数之和 。
如果 zk是单阶极点,则根据留数定理
11R e [ ( ),] ( ) ( )
k
nnk k z zs X z z z z z X z z
(2.5.7)
1R e [ ( ),]n ks X z z z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析由 (2.5.8)式表明,对于 N阶极点,需要求 N-1次导数,这是比较麻烦的 。 如果 c内有多阶极点,而 c外没有多阶极点,可以根据留数辅助定理改求 c外的所有极点留数之和,使问题简单化 。
设被积函数用 F(z)表示,即如果 zk是 N阶极点,则根据留数定理
1
11
1
1R e [ ( ),] [ ( ) ( ) ]
( 1 ) ! k
N
n N n
k k z zN
ds X z z z z z X z z
N dz
(2.5.8)
1( ) ( ) nF z X z z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
F(z)在 z平面上有 N个极点,在收敛域内的封闭曲线 c将 z平面 上极点分成两部分,一部分是 c内极点,
设有 N1个极点,用 z1k表示； 另一部分是 c外极点,有
N2个,N=N1+N2,用 z2k表示 。 根据留数辅助定理下式成立：
12
12
11
R e [ ( ),] R e [ ( ),]
NN
kk
kk
s F z z s F z z
(2.5.9)
注意 (2.5.9)式成立的条件是 F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上 。 设 X(z)=P(z)/Q(z),P(z)与 Q(z)
分别是 M与 N阶多项式 。 (2.5.9)式成立的条件是第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N-M-n+1≥2
因此要求 N-M-n≥1 (2.5.10)
如果 (2.5.10)式满足,c圆内极点中有多阶极点,而 c
圆外极点没有多阶的,可以按照 (2.5.9)式,改求 c圆外极点留数之和,最后加一个负号 。
例 2.5.6 已知 X(z)=(1-az-1)-1,|z|>a,求其逆 Z变换
x(n)。
1 1 1
1
1
1
( ) ( 1 )
2
1
()
1
n
c
n
n
x n a z z d z
j
F z z
az
z
za
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析为了用留数定理求解,先找出 F(z)的极点,极点有,z=a; 当 n<0时 z=0共二个极点,其中 z=0极点和 n的取值有关 。 n≥0时,n=0不是极点 。 n<0时,z=0是一个 n阶极点 。 因此分成 n≥0和 n<0两种情况求 x(n)。
n≥0 时,
( ) R e [ ( ),]
()
n
za
n
x n s F z a
z
za
za
a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时,增加 z=0的 n阶极点,不易求留数,采用留数辅助定理求解,检查 (2.5.10)式是否满足,此处
n<0,只要 N-N≥0,(2.5.10)式就满足 。
图 2.5.4 例 2.5.6中 n<0时 F(z)极点分布第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.7已知,求其逆变换 x(n)。
解,该例题没有给定收敛域,为求出唯一的原序列 x(n),必须先确定收敛域 。 分析 X(z),得到其极点分布如图 2.5.5所示 。 图中有二个极点 z=a和 z=a-1,这样收敛域有三种选法,它们是
(1) |z|>|a-1|,对应的 x(n)是右序列；
(2) |a|<|z|<|z-1|,对应的 x(n)是双边序列；
(3) |z|<|a|,对应的 x(n)是左序列 。
2
1
1( ),1
( 1 ) ( 1 )
aX z a
a z a z?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.5.5 例 2.5.7 X(z)极点分布图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析下面按照收敛域的不同求其 x(n)。
(1) 收敛域 |z|>|a-1|
2
1
1
2
1
1
()
( 1 ) ( 1 )
1
( ) ( )
n
n
a
F z z
az az
a
z
a z a z a
种收敛域是因果的右序列,无须求 n<0时的 x(n)。
当 n≥0时,围线积分 c内有二个极点 z=a和 z=a-1,因此第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后表示成,x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域 |z|<|a|
这种情况原序列是左序列,无须计算 n≥0情况,
当 n≥0时,围线积分 c内没有极点,因此 x(n)=0。 n<0
时,c内只有一个极点 z=0,且是 n阶极点,改求 c外极点留数之和
1
1
22
1
1
( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( )( 1 ) ( )( )
nn
za za
nn
x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
z a a z a z a z a
aa
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析最后将 x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(3) 收敛域 |a|<|z|<|a-1|
这种情况对应的 x(n)是双边序列。 根据被积函数
F(z),按 n≥0和 n<0两情况分别求 x(n)。
n≥0时,c内极点 z=a
x(n)=Res［ F(z),a］ =an
1
1
22
1
11
0,( ) R e [ ( ),] R e [ ( ),]
( 1 ) ( 1 )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
()
nn
za za
n n n n
n x n s F z a s F z a
a z a z
z a z a
a z a z a a z a z a
a a a a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
n<0时,c内极点有二个,其中 z=0是 n阶极点,
改求 c外极点留数,c外极点只有 z=a-1,因此
x(n)=-Res［ F(z),a-1］ =a-n
最后将 x(n)表示为
an n≥0
x(n)= x(n)=a|n|
a-n n<0
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,幂级数法 (长除法 )
按照 Z变换定义 (2.5.1)式,可以用长除法将 X(z)写成幂级数形式,级数的系数就是序列 x(n)。 要说明的是,如果 x(n)是右序列,级数应是负幂级数； 如 x(n)
是左序列,级数则是正幂级数 。
例 2.5.8已知 用长除法求其逆 Z
变换 x(n)。
解由收敛域判定这是一个右序列,用长除法将其展成负幂级数
1
1( ),
1X z z aaz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1 2 2
1
1
1 2 2
22
1
1
1
a z a z
az
az
a z a z
az
1-az-1
()Xz
1 2 2 3 3
0
( ) 1
( ) ( )
nn
n
n
X z az a z a z a z
x n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析1 2 2 3 3
1
1
1 2 2
22
1
1
a z a z a z
az
az
a z a z
az
例 2.5.9 已知求 其逆 Z变换 x(n)。
解：由收敛域判定,x(n)是左序列,用长除法将
X(z)展成正幂级数
1
1( ),
1X z z aaz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列,常常用这种部分分式展开法求逆 Z变换 。
设 x(n)的 Z变换 X(z)是有理函数,分母多项式是 N阶,
分子多项式是 M阶,将 X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和,通过查表 (参考表 2.5.1)求得各部分的逆变换,
再相加即得到原序列 x(n)。 设 X(z)只有 N个一阶极点,
可展成正式
1
1 2 2( ) [ ]
( ) ( 1 )
nn
n
n
X z a z a z a z
x n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析观察上式,X(z)/z在 z=0的极点留数就是系数 A0，
在 z=zm的极点留数就是系数 Am。
0
1
0
1
()
()
N
m
m m
N
m
m m
Az
X z A
zz
X z A A
z z z z
(2.5.11)
(2.5.12)
0
()
R e [,0]
()
R e [,]mm
Xz
As
z
Xz
A s z
z
(2.5.13)
(2.5.14)
求出 Am系数 (m=0,1,2,…N)后,很容易示求得 x(n)序列 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.10已知,求逆 Z变换。1
12
5( ),2 3
16
zX z z
zz
解
2
12
1 2 2
12
23
11
( ) 5 5 5
1 6 6 ( 2 ) ( 3 ) 2 3
( ) ( )
R e [,2 ] ( 2 ) 1
( ) ( )
R e [,3 ] ( 3 ) 1
( ) 1 1
( 2 ) ( 3 )
11
()
1 2 1 3
z
z
X z z A A
z z z z z z z z z
X z X z
A s z
zz
X z X z
A s z
zz
Xz
z z z
Xz
zz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析因为收敛域为 2<|z|<3,第一部分极点是 z=2,因此收敛域为 |z|>2。 第二部分极点 z=-3,收敛域应取 |z|<3。
查表 2.5.1得到
x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)
一些常见的序列的 Z变换可参考表 2.5.1。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析表 2.5.1 常见序列 Z变换第 2章 时域离散信号和系统的频域分析第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
Z变换有许多重要的性质和定理,下面进行介绍 。
1.线性设 X(z)=ZT［ x(n)］,Rx-<|z|<Rx+
Y(z)=ZT［ y(n)］,Ry- <|z|< Ry+
则 M(z)=ZT［ m(n)］
=aX(z)+bY(z),R m-<|z|<R m+ (2.5.15)
Rm+=max［ Rx+,Ry+］
Rm-=max［ Rx,Ry-］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析这里 M(z)的收敛域 (Rm-,Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公式收敛域,如果没有公共收敛域,例如当
R x+>R x->R y+>R y-时,则 M(z)不存在 。
2,序列的移位设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
则 ZT［ x(n-n0)］ =z-n0X(z),R x-<|z|<R x+ (2.5.16)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
3,乘以指数序列设 X(z)=ZT［ x(n)］,R x-<|z|<R x+
y(n)=anx(n),a为常数则 Y(z)=ZT［ anx(n)］
=X(a-1 z) |a|R x-<|z|<|a|R x+ (2.5.17)
证明
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n
nn
Y z a x n z x n a z X a z
因为 Rx-<|a-1 z|<Rx+,得到 |a| Rx- <|z|<|a| Rx+ 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
11
1
()
[ ( ) ] ( ) [ ]
( ) ( )
[ ( ) ]
()
[ ( ) ]
nn
nn
nn
nn
d X z d d
x n z x n z
d z d z d z
n x n z z n x n z
z Z T n x n
d X z
Z T n x n z
dz
4.序列乘以 n
设
( ) [ ( )]
()
[ ( )]
xx
xx
X z Z T x n R z R
d X z
Z T n x n z R z R
dz
则 (2.5.18)
证明第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
5.复序列的共轭设 * * *
* * * *
* * * *
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] ( )
xx
xx
nn
n
n
n
X z Z T x n R z R
X Z Z T X n R z R
Z T X n X n z x n Z
x n Z X Z
则证明
(2.5.19)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
6.初值定理设 x(n)是因果序列,X(z)=ZT［ x(n)］
(0 ) l i m ( )xx X z (2.5.20)
12
0
( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )n
n
X z x n z x x z x z
证明
l i m ( ) (0 )x X z x
因此
7.终值定理若 x(n)是因果序列,其 Z变换的极点,除可以有一个一阶极点在 z=1上,其它极点均在单位圆内,则
1l i m ( ) l i m ( 1 ) ( )xxx n z X z
(2.5.21)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] n
n
z X z x n x n z
证明因为 x(n)是因果序列,
10
( ) 0,0
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
nn
mm
x
mm
x n n
z X z x m z x m z
因为 (z-1)X(z)在单位圆上无极点,上式两端对 z=1
取极限第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
10
l i m ( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m [ ( 0) ( 1 ) ( 1 )
( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]
l i m ( 1 ) l i m ( )
nn
xx
mm
x
xx
z X z x m x m
x x x n
x x x x n
x n x n
终值定理也可用 X(z)在 z=1点的留数,因为
1
l i m ( 1 ) ( ) R e [ ( ),1 ]
( ) R e [ ( ),1 ]
x
z X z s X z
x s X z
(2.5.22) 因此如果单位圆上,X(z)无极点，则 x(∞)=0。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
8,序列卷积设
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ],
( ) [ ( ) ] ( ) ( ),
m i n[,]
m a x[,]
xx
yy
y
y
n x n y n
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
W z Z T n X z Y z R z R
R R R
R R R
则第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
m
n
W z Z T x n y n
x m y n m z
x m y n m z
x m z Y z
X z Y z
证明
W(z)的收敛域就是 X(z)和 Y(z)的公共收敛域 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.11已知网络的单位取样响应 h(n)=anu(n),|a|<1，
网络输入序列 x(n)=u(n),求网络的输出序列 y(n)。
解,y(n)=h(n)*x(n)
求 y(n)可用二种方法,一种直接求解线性卷积,另一种是用 Z变换法 。
0
1
0
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
,0
1
m
m
m
n
m
m
y n h m x n m
a u m u n m
a
an
a
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
11
1
( 2 ) ( ) ( ) ( )
1
( ) [ ( ) ],
1
1
( ) [ ( ) ],1
1
1
( ) ( ) ( ),1
( 1 ) ( 1 )
1
()
2 ( 1 ) ( )
n
n
c
y n h n x n
H z Z T a u n z a
az
X z Z T u n z
z
Y z H z X z z
z az
z
y n dz
z z a?
由收敛域判定 y(n)=0,n<0。
n≥0 y(n)=Res［ Y(z)z n-1,1］ +Res［ Y(z)z n-1,a］
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析 11
1
11
1 1 1
1
( ) ( )
1
nn
n
aa
a a a
a
y n u n
a
将 y(n)表示为
9.复卷积定理如果 ZT［ x(n)］ =X(z),R x-<|z|<R x+
ZT［ y(n)］ =Y(z),R y-<|z|<R y+
w(n)=x(n)y(n)
则第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
2
m ax(,) m i n (,)
c
x y x y
xx
yy
z d v
W z X v Y
j v v
R R z R R
zz
R v R
RR
W(z)的收敛域
(2.5.24)式中 v平面上,被积函数的收敛域为
(2.5.24)
(2.5.25)
(2.5.26)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
( ) ( ) ( )
1
[ ( ) ] ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n
n
nn
c
n
n
c
n
c
W z x n y n z
X v v dv y n z
j
z dv
X v y n
j v v
z dv
X v Y
j v v
证明由 X(z)收敛域和 Y(z)的收敛域,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.12已知 x(n)=u(n),y(n)=a|n|,若 w(n)=x(n)y(n)，
求 W(z)=ZT［ w(n)］
解：
m ax (,) m i n (,)
xx
yy
x y x y
xx
yy
R v R
z
RR
v
R R z R R
zz
R v R
RR
因此
1
1( ),1
1X z zz
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
W(z)收敛域为 |a|<|z|≤∞；被积函数 v平面上收敛域为 max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|),v平面上极点,a,a-1和
z,c内极点 z=a。
2
1
1
2
1
1
( ),
( 1 )( 1 )
1 ( 1 ) 1
()
2 ( 1 )( 1 )
1
c
a
Y z a z a
a z a z
a d v
Wz
uj a v a v v
z
1
1
( ) Re [ ( ),],
1
( ) ( )n
W z s F v a a z
az
w n a u n
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
10.帕斯维尔 (Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理 。
( ) [ ( )],
( ) [ ( )],
1,1
xx
yx
x y x x
X z Z T x n R z R
Y z Z T y n R z R
R R R R
那么
111( ) ( ) ( ) ( )
2 cn x n y n X v Y v dvjv?
v平面上,c所在的收敛域为
11m a x(,) m in(,)
xx
yy
R v RRR
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析证明 令 w(n)=x(n)·y*(n)
按照 (2.5.24)式,得到
11( ) [ ( )] ( ) (( ) )
2 c
zW z Z T w n X v Y v d v
jv?
按照 (2.5.25)式,R x-R y-<|z|<R x+R y+,按照假设,z=1在收敛域中,令 z=1代入 W(z)中 。
1
1
1
11
( 1 ) ( ) ( )
2
( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
( ) ( ) ( ) ( )
2
c
n
z
nn
c
n
W X v Y v dv
jv
W x n y n z x n y n
x n y n X v Y v dv
jv
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析如果 x(n)和 y(n)都满足绝对可和,即单位圆上收敛,
在上式中令 v=e jω,得到
22
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
jj
n
j
n
x n y n X e Y e d
x n X e d
(2.5.29)
令 x(n)=y(n)得到上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理 (2.2.34)式是相同的 。 (2.5.28)式还可以表示成下式：
2 11( ) ( ) ( )
2 cn
dzx n X z X z
jz?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.5 利用 Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法,下面介绍 Z变换解法 。 这种方法将差分方程变成了代数方程,
使求解过程简单 。
设 N阶线性常系数差方程为
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
(2.5.30)
1.求稳态解如果输入序列 x(n)是在 n=0以前 ∞时加上的,n时刻的 y(n)是稳态解,对 (2.5.30)式求 Z变换,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
00
0
0
0
0
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) [ ( ) ]
NN
kk
kk
kk
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
a Y z z b X z z
bz
Y z X z
az
Y z H z X z
bz
Hz
az
y n Z T Y z
式中
(2.5.31)
(2.5.32)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2,求暂态解对于 N阶差分方程,求暂态解必须已知 N个初始条件 。 设 x(n)是因果序列,即 x(n)=0,n<0,已知初始条件
y(-1),y(-2)…y(-N)。 对 (2.5.30)式进行 Z变换时,注意这里要用单边 Z变换 。 方程式的右边由于 x(n)是因果序列,
单边 Z变换与双边 Z变换是相同的 。 下面先求移位序列的单边 Z变换 。
设第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
0
0
()
0
1
0
1
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( )
()
()
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
n
m n m
n
mk
km
m k k
k k m
mk
km
Y z y n z
Z T y n m u n y n m z
z y n m z
z y k z
z y k z y k z
z Y z y k z
(2.5.33)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析按照 (2.5.33)式对 (2.5.30)式进行单边 Z变换
1
00
1
00
00
[ ( ) ( ) ] ( )
()
( ) ( )
k
NM
k l k
k
k i k k
MN
k k l
kk
k k i k
NN
kk
kk
kk
a z Y z y l z b X z z
b z a z y l z
Y z X z
a z a z
(2.5.34)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.5.13已知差分方程 y(n)=by(n-1)+x(n),式中
x(n)=anu(n),y(-1)=2,求 y(n)。
解：将已知差分方程进行 Z变换
1
1
( ) ( ) ( 1 ) ( )
2 ( )
()
1
Y z bz Y z by X z
b X z
Yz
bz
式中，
1
1( ),
1X z z aaz
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 )( 1 )
bYz
b z a z b z
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析收敛域为 |z|>max(|a|,|b|)，
1 1 11( ) 2 ( ),0n n ny n b a b n
ab
式中第一项为零输入解,第二项为零状态解 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6 利用 Z变换分析信号和系统的频域特性
2.6.1 传输函数与系统函数设系统初始状态为零,输出端对输入为单位脉冲序列 δ(n)的响应,称为系统的单位脉中响应 h(n),对 h(n)
进行傅里叶变换得到 H(e jω)
( ) ( )j j n
n
H e h n e
(2.6.1)
一般称 H(e jω)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析设 h(n)进行 Z变换,得到 H(z),一般称 H(z)为系统的系统函数,它表征了系统的复频域特性 。 对 N阶差分方程 (1.4.2)式,进行 Z变换,得到系统函数的一般表示式
0
0
()
()
()
M
i
i
i
N
i
i
i
bz
Yz
Hz
Xz
az
(2.6.2)
如果 H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1,H(e jω)与
H(z)之间关系如下式：
( ) ( ) jj zeH e H z
(2.6.3)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果 (可实现 )系统其单位脉响应 h(n)一定满足当
n<0时,h(n)=0,那么其系统函数 H(z)的收敛域一定包含 ∞点,即 ∞点不是极点,极点分布在某个圆的圆内,
收敛域在某个圆外 。
系统稳定要求,对照 Z变换定义,
系统稳定要求收敛域包含单位圆 。 如果系统因果且稳定,收敛域包含 ∞点和单位圆,那么收敛域可表示为
r<|z|≤∞,0<r<1
()
n
hn?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析例 2.6.1已知 分析其因果性和稳定性,
解,H(z)的极点为 z=a,z=a-1,如图 2.5.5所示 。
(1)收敛域 a-1<|z|≤∞,对应的系统是因果系统,但由于收敛域不包含单位圆,因此是不稳定系统 。 单位脉冲响应 h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题 2.5.7),这是一个因果序列,但不收敛 。
(2)收敛域 0≤|z|＜ a,对应的系统是非因果且不稳定系统 。 其单位脉冲响应 h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题 2.5.7)，
这是一个非因果且不收敛的序列 。
2
1
1( ),0 1
( 1 ) ( 1 )
aH z a
az az?
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
(3)收敛域 a<|z|<a-1,对应的系统是一个非因果系统,
但由于收敛域包含单位圆,因此是稳定系统 。 其单位脉冲响应 h(n)=a|n|,这是一个收敛的双边序列,如图
2.6.1(a)所示 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.1 例 2.6.1图示第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性将 (2.6.2)式因式分解,得到
1
1
1
1
( 1 )
()
( 1 )
M
r
r
M
r
r
cz
H z A
dz
(2.6.4)
式中 A=b0/a0,上式中 cr是 H(z)的零点,dr是其极点 。
A参数影响传输函数的幅度大小,影响系统特性的是零点 cr和极点 d 的分布 。 下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响 。
将 (2.6.4)式分子分母同乘以 z N+M,得到第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
1
1
() 1
1
()
()
()
()
()
()
M
r
NM r
N
r
r
M
j
r
j j N M r
N
j
r
r
zc
H z A z
zd
ec
H e A e
ed
设系统稳定，将 z=e jω，得到传输函数
(2.6.5)
(2.6.6)
设 N=M,由 (2.6.6)式得到
1
1
()
()
()
M
j
r
j r
N
j
r
r
ec
H e A
ed
(2.6.7)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析在 z平面上,ejω-cr用一根由零点 cr指向单位圆上 ejω
点 B的向量 表示,同样 ejω-dr用内极点指向 ejω点 B
的向量 表示,如图 2.6.2所示 。
rdB
rcB
j
rr
j
rr
c B e c
d B e d
和 分别称为零点矢量和极点矢量,将它们用极坐标表
rcB rdB
r
r
j
rr
j
rr
c B c e
d B d e
表示式代入 (2.6.7)式,得到
rcB rdB
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
()1
1
1
1
11
( ) ( )
()
()
N
r
j j jr
N
r
r
N
r
j r
N
r
r
NN
rr
rr
cB
H e A H e e
dB
cB
H e A
dB
(2.6.8)
(2.6.9)
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析系统的传输特性或者信号的频率特性由 (2.6.8)式和 (2.6.9)式确定 。 当频率 ω从零变化到 2π时,这些向量的终点 B沿单位圆逆时针旋转一周,按照 (2.6.8)式 (2.6.9)
式,分别估算出系统的幅度特性和相位特性 。 例如图
2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.2 频响的几何表示法第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.2 已知 H(z)=z-1,分析其频率特性解：由 H(z)=z-1,极点为 z=0,幅度特性
|H(e jω)|=1,相位特性 φ(ω)=-ω,频响如图 2.6.3所示 。
用几何方法也容易确定,当 ω=0转到 ω=2π时,极点矢量的长度始终为 1。 由该例可以得到结论,处于原点处的零点或极点,由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为 1,因此原点处的零极点不影响系统的频率特性 。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.3 H(z)=z-1的频响
1
0
0
ω
ω
)(e
j?
H
)(j
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 设一阶系统的差分方程为
y(n)=by(n-1)+x(n)
用几何法分析其幅度特性 。
解：由系统差分方程得到系统函数为系统极点 z=b,零点 z=0,当 B点从 ω=0逆时旋转时,
在 ω=0点由于极点矢量长度最短,形成波峰 。 在 ω=π时形成波谷 。 z=0处零点不影响频响 。 极零点分布及幅度特性如图 2.6.4所示 。
1
1( ) | z | > | b |
1
zHz
b z z b
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.4 例 2.6.3插图第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.4 已知 H(z)=1-z-N,试定性画出系统的幅频特性 。
解：
H(z)的极点为 z=0,这是一个 N阶极点,它不影响系统的频响 。 零点有 N个,由分子多项式的根决定
1( ) 1 NN
N
zH z z
z
2
2
1 0,
,0,1,2,1
N N j k
jk
N
z z e
z e k N
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
N个零点等间隔分布在单位圆上，设 N=8，极零点分布如图 2.6.5所示。当 ω从零变化到 2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为,ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。
一般将具有如图 2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。
第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性第 2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性 。
解：
1
11
0
11( ) ( )
1 ( 1 )
NNN
nn
NN N
nn
zzR z R n z z
z z z
零点：
极点：
2
,0,1,2,1 ;
0 ( 1 ) 1
jk
Nz e k N
z N z
设 N=8,z=1处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图 2.6.6所示。
阶零点第 2章 时域离散信号和系统的频域分析图 2.6.6 N=8矩形序列极零点分布及幅度特性
