第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点,网络结构的特点 。
1,线性相位条件对于长度为 N的 h(n),传输函数为
1
0
()
( ) ( )
( ) ( )
N
j j n
n
jj
g
H e h n e
H e H e
(7.1.1)
(7.1.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计式中,Hg(ω)称为幅度特性,θ(ω)称为相位特性 。
注意,这里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)为 ω的实函数,可能取负值,而 |H(ejω)|总是正值 。 H(ejω)线性相位是指
θ(ω)是 ω的线性函数,即
θ(ω)=τω,τ为常数 (7.1.3)
如果 θ(ω)满足下式：
θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4)
严格地说,此时 θ(ω)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常数,即
()d
d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计也称这种情况为线性相位 。 一般称满足 (7.1.3)式是第一类线性相位；满足 (7.1.4)式为第二类线性相位 。
下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称,即
h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)
满足第二类线性相位的条件是,h(n)是实序列且对
(N-1)/2奇对称,即
h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1) 第一类线性相位条件证明,1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( 1 )
N
n
n
N
n
n
H z h n z
H z h N n z
将 (7.1.5)式代入上式得令 m=N-n-1,则有
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
N m N m
mm
N
H z h m z z h m z
H z z H z
(7.1.7)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按照上式可以将 H(z)表示为
1
( 1) 1 ( 1)
0
1 1 11
()
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ [ ] ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
将 z=e jω代入上式，得到：
1 1
()
2
0
1
0
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( 1 )
2
N N
j
j
n
N
g
n
N
H e e h n n
N
H h n n
N
按照 (7.1.2)式,幅度函数 Hg(ω)和相位函数分别为
(7.1.8)
(7.1.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2) 第二类线性相位条件证明：
11
00
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn
nn
NN
N m N m
nn
N
H z h n z h N n z
H z h m z z h m z
H z z H z
(7.1.10)
令 m=N-n-1,则有同样可以表示为
1
( 1) 1 ( 1)
0
1 1 11
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1
2
0
1 1
22
0
1
( ) ( ) ( ) s in [ ( ) ]
2
1
( ) s in [ ( ) ]
2
j
N N
j
j
ze
n
N N
jj
n
N
H e H z je h n n
N
e h n n
因此,幅度函数和相位函数分别为
1
0
1
( ) ( ) sin[ ( ) ]
2
1
( ) ( )
22
N
g
n
N
H h n n
N
Q
(7.1.11)
(7.1.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,线性相位 FIR滤波器幅度特性 Hg(ω)的特点
1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照 (7.1.8)式,幅度函数 H g(ω)为
1
0
1( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
N
g
n
NH h n n
式中,h(n)对 (N-1)/2偶对称,余弦项也对 (N-1)/2偶对称,可以以 (N-1)/2为中心,把两两相等的项进行合并,
由于 N是奇数,故余下中间项 n=(N-1)/2。 这样幅度函数表示为第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
( 3 ) / 2
0
( 1 ) / 2
0
( 1 ) / 2
0
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s
22
( ) ( ) c o s
N
g
n
N
g
n
N
g
n
NN
H h h n n
NN
H h h m n
H a n n
令 m=(N-1)/2-n,则有
(7.1.13)
1
( 0) ( )
2
11
( ) 2 ( ),1,2,3,,
22
N
ah
NN
a n h n n
(7.1.14)
式中第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按照 (7.1.13)式,由于式中 cosωn项对 ω=0,π,2π皆为偶对称,因此幅度特性的特点是对 ω=0,π,2π是偶对称的 。
2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面 N=奇数相似,不同点是由于 N=偶数,Hg(ω)中没有单独项,相等的项合并成 N/2项 。
1
0
1
2
0
1
( ) ( ) c o s [ ( ) ]
2
1
2 ( ) c o s [ ( ) ]
2
N
g
n
N
n
N
H h n n
N
h n n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将 (7.1.11)式重写如下：
令 m=N/2-n,则有
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,,) ]
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H b n n
NN
b n h n n
(7.1.15)
(7.1.16)
1
0
1( ) ( ) si n [ ( ) ]
2
N
g
n
NH h n n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面 3)情况,推导如下：
令 m=(N-1)/2-n,则有
( 1 ) / 2
1
( ) ( ) sin
11
( ) 2 ( ),1,2,,
22
N
g
n
H c n n
NN
c n h n n
(7.1.17)
(7.1.18)
11
2
00
11( ) ( ) s i n [ ( ) ] 2 ( ) s i n [ ) ]
22
N
N
g
nn
NNH h n n h n n
令 m=N/2-n,则有第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) s i n [ ( )]
22
1
( ) ( ) s i n [ ( )]
2
( ) 2 ( ),1,2,3,
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H d n n
NN
d n h n n
(7.1.19)
(7.1.20)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足
(7.1.7)式和 (7.1.10)式,综合起来用下式表示：
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z (7.1.21)
图 7.1.1 线性相位 FIR滤波器零点分布第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,线性相位 FIR滤波器网络结构设 N为偶数,则有
1
11 2
00
2
11
22
( 1 )
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
N
NN
n n n
Nnm
n
NN
n N m
nm
H z h n z h n z h n z
H z h n z h N m z
h n h N n
令 m=N-n-1,则有第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
( 1)
0
( 1) 1
2
1
( 1) 2
0
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( 1 )
2
N
n N n
n
N
N
n N n
n
H z h n z z
N
H z h n z z h z
(7.1.22)
如果 N为奇数，则将中间项 h［ (N-1)/2］单独列出，
(7.1.23)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.1.2 第一类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.1.3 第二类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
－ 1 － 1 － 1 － 1
－ 1
－ 1 － 1 － 1 － 1
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为 Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应,因此
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jj
dd
n
j j n
dd
H e h n e
h n H e e d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应 h-d(n)为
,
()
0,
ja
cj
d
c
e
He
(7.2.1)
1 s i n ( ( ) )()
2 ( )
c
c
j a j n c
d
nah n e e d
na
(7.2.2)
为了构造一个长度为 N的线性相位滤波器,只有将
h-d(n)截取一段,并保证截取的一段对 (N-1)/2对称 。 设截取的一段用 h(n)表示,即
h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计我们实际实现的滤波器的单位取样响应为 h(n),长度为 N,其系统函数为 H(z)，
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
图 7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计以上就是用窗函数法设计 FIR滤波器的思路 。 另外,
我们知道 Hd(e jω)是一个以 2π为周期的函数,可以展为傅氏级数,即
( ) ( )j j ndd
n
H e h n e
对 (7.2.3)式进行傅里叶变换,根据复卷积定理,得到：
(1( ) ( ) ( )
2
j j j
dNH e H e R e d
(7.2.4)
式中,Hd(e jω)和 RN(e jω)分别是 hd(n)和 RN(n)
的傅里叶变换,即
111 ( 1 )
2
00
sin( / 2( ) ( ) ( )
sin( / 2 )
NN jN
j j n j n ja
N N N
nn
NR e R n e e e R e
(7.2.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
s i n ( / 2 1( ),
s i n ( / 2 ) 2N
NNR
RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将 Ha(ejω)写成下式：
( ) ( )j j addH e H e
按照 (7.2.1)式,理想低通滤波器的幅度特性 Hd(ω)为
1,
()
0,
c
d
c
H
将 Hd(e jω)和 RN(e jω)代入 (7.2.4)式,得到：
()1( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j a j a
dN
ja
dN
H e H e R e d
e H R d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 H(ejω)写成下式：
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
j j a
dN
H e H e
H H R d
(7.2.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.2 矩形窗对理想低通幅度特性的影响第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计通过以上分析可知,对 hd(n)加矩形窗处理后,
H(ω)和原理想低通 Hd(ω)差别有以下两点：
(1)在理想特性不连续点 ω=ωc附近形成过渡带 。 过渡带的宽度,近似等于 RN(ω)主瓣宽度,即 4π/N。
(2)通带内增加了波动,最大的峰值在 ωc-2π/N处 。
阻带内产生了余振,最大的负峰在 ωc+2π/N处 。
在主瓣附近,按照 (7.2.5)式,RN(ω)可近似为
s i n ( / 2) s i n()
/2N
NxRN
x
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍几种常用的窗函数 。 设
h(n)=hd(n)w(n)
式中 w(n)表示窗函数 。
1,矩形窗 (Rectangle Window)
wR(n)=RN(n)
前面已分析过,按照 (7.2.5)式,其频率响应为
1 ( 1 )
2si n ( / 2 )()
si n ( / 2 )
jNj
R
NW e e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,三角形窗 (Bartlett Window)
21
,0 ( 1 )
12
()
21
2,( 1 ) 1
12
Br
n
nN
N
n
n
N n N
N
(7.2.8)
其频率响应为
1()
2 2
s i n ( )
4( ) [ ]
2 s i n ( / 2 )
Nj
j
Br
N
NW e e
(7.2.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,汉宁 (Hanning)窗 ——升余弦窗
1
2
11
22
2
( ) 0.5 [ 1 c o s( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
( ) [ ( ) ] { 0.5 ( ) 0.25 [ ( )
1
2
( ) ] } ( )
1
Hn N
N
j
j
R N R
j
Hn Hn R R
NN
jj
R Hn
n
n R n
N
W e FT R n W e
W e FT W n W W
N
W e W e
N
当 N1时,N-1≈N，
22( ) 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( )]
H n R R RW W W WNN
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.3 汉宁窗的幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,哈明 (Hamming)窗 ——改进的升余弦窗
2( ) [0,5 4 0,4 6 c o s ( )] ( )
1H m N
nn R n
N
(7.2.11)
其频域函数 WHm (e jω)为
22
( ) ( )
11( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
22
( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
11
jj
jj NN
H m R R R
j
H m R R R
W e W e W e W e
W W e W W
NN
其幅度函数 WHm(ω)为当 N>>1时,可近似表示为
22( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
B l R R Rn W W WNN
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
5,布莱克曼 (Blackman)窗
24( ) [0,4 2 0,5 c o s 0,0 8 c o s ] ( )
11B l N
nnn R n
NN
(7.2.13)
其频域函数为
22
( ) ( )
11
R
22
( ) ( )
11
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( )]
0,0 4 [ ( ) ( )]
jjjj
NN
B l R R
jj
NN
RR
W e W e W e W e
W e W e
其幅度函数为
22
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
11
44
0,0 4 [ ( ) ( ) ]
11
Bl R R R
RR
W W W W
NN
WW
NN
(7.2.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.4 常用的窗函数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.5
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性 (N=51,ωc=0.5π)
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
6,凯塞 — 贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
0
0
2
2
0
1
()
( ),0 1
()
2
1 ( 1 )
1
1
( ) 1 ( ( ) )
!2
k
k
k
I
n n N
I
n
N
x
Ix
k
式中
I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数,可用下面级数计算：
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计一般 I0(x)取 15~25项,便可以满足精度要求 。 α参数可以控制窗的形状 。 一般 α加大,主瓣加宽,旁瓣幅度减小,典型数据为 4<α<9。 当 α=5.44时,窗函数接近哈明窗 。 α=7.865时,窗函数接近布莱克曼窗 。 凯塞窗的幅度函数为
( 1) / 2
1
( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s
N
k k k
n
W n n
(7.2.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.2.2 六种窗函数的基本参数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍用窗函数设计 FIR滤波器的步骤 。
(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应
hd(n)。 如果给出待求滤波器的频响为 Hd(ejω),那么单位取样响应用下式求出：
1( ) ( )
2
jj
ddh n H e e d
221
0
1( ) ( )M j k j k nMM
Md
k
h n H e eM
(7.2.17)
(7.2.18)
根据频率采样定理,hM(n)与 hd(n)应满足如下关系：
( ) ( )Md
r
h n h n rM
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例如,理想低通滤波器如 (7.2.1)式所示,求出单位取样响应 hd(n)如 (7.2.2)式,重写如下：
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求,选择窗函数的形式,并估计窗口长度 N。 设待求滤波器的过渡带用
Δω表示,它近似等于窗函数主瓣宽度 。
(3) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)，
h(n)=hd(n)w(n)
s i n ( ( ))()
()
c
d
nhn
n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(4)验算技术指标是否满足要求 。 设计出的滤波器频率响应用下式计算：
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例 7.2.1 用矩形窗,汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR低通滤波器,设 N=11,ωc=0.2πrad。
解 用理想低通作为逼近滤波器,按照 (7.2.2)式,有
s i n ( ( ) )
( ),0 1 0
()
1
( 1 ) 5
2
s i n ( 0,2 ( 5 ) )
( ),0 1 0
( 5 )
c
d
d
n
h n n
n
N
n
h n n
n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计用汉宁窗设计：
( ) ( ) ( ),0 10
2
( ) 0.5 ( 1 c o s )
10
d H n
Hn
h n h n n n
n
n
用布莱克曼窗设计：
11
( ) ( ) ( )
22
( ) ( 0.42 0.5 c o s 0.08 c o s ) ( )
10 10
d Bl
Bl
h n h n n
nn
n R n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.7 例 7.2.1的低通幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器设待设计的滤波器的传输函数用 Hd(ejω)表示,对它在 ω=0到 2π之间等间隔采样 N点,得到 Hd(k)，
2
21
0
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ),0,1,2,,1
j
dd
k
D
N
j kn
N
d
k
H k H e k N
h n H k e k N
N
再对 N点 Hd(k)进行 IDFT，得到 h(n)，
(7.3.1)
(7.3.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计式中,h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，
其系统函数 H(z)为
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
1
2
0 1
1 ( )()
1
N N
d
jkk
N
z H kHz
N ez?
(7.3.3)
(7.3.4)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件
FIR滤波器具有线性相位的条件是 h(n)是实序列,
且满足 h(n)=h(N-n-1),在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是,()( ) ( )
1
()
2
( ) ( 2 ),
( ) ( 2 ),
jj
dg
gg
gg
H e H e
N
H H N
H H N
(7.3.5)
(7.3.6)
(7.3.7)
奇数偶数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计在 ω=0~2π之间等间隔采样 N点，
2,0,1,2,,1
k k k NN
将 ω=ωk代入 (7.3.4)~(7.3.7)式中,并写成 k的函数：
()( ) ( )
1 2 1
()
2
jk
dgH k H k e
NN
k k k
NN
(7.3.8)
(7.3.9)
( ) ( ),
( ) ( ),
gg
gg
H k H N k k
H k H N k k
奇数偶数
(7.3.10)
(7.3.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计设用理想低通作为希望设计的滤波器,截止频率为 ωc,采样点数 N,Hg(k)和 θ(k)用下面公式计算：
N=奇数时,
( ) ( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
1
( ),0,1,2,,1
g g c
g c c c
H k H N k k k
H k k k k N k
N
k k k N
N
(7.3.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
N=偶数时,( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
( ) 1,0,1,2,,
1
( ),0,1,2,,1
gc
g c c c
gc
H k k k
H k k k k N k
H N k k k
N
k k k N
N
(7.3.13)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为 Hd(ejω),对应的单位取样响应为 hd(n)，
1( ) ( )
2
j j n
ddh n H e e d
则由频率域采样定理知道,在频域 0~2π之间等间隔采样 N点,利用 IDFT得到的 h(n)应是 hd(n)以 N为周期,
周期性延拓乘以 RN(ω),即
( ) ( ) ( )dN
r
h n h n rN R n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计由采样定理表明,频率域等间隔采样 H(k),经过
IDFT得到 h(n),其 Z变换 H(z)和 H(k)的关系为
1
2
0 1
1
0
1
2
1 ( )
()
1
2
( ) ( ) ( )
1 sin( / 2 )
()
sin( / 2 )
N N
j
k N
N
j
k
N
j
z H k
Hz
N
ez
H e H k k
N
N
e
N
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例 7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器,
要 求 截 止 频 率 ωc=π/2rad,采 样 点 数 N=33,选用
h(n)=h(N-1-n)情况 。
解 用理想低通作为逼近滤波器 。 按照 (7.3.12)式,
( ) ( 33 ) 1,0,1,2,,8
( ) 0,9,10,,23,24
32
( ),0,1,2,,32
33
gg
g
H k H k k
H k k
k k k
对理想低通幅度特性采样情况如图 7.3.2所示 。 将采样得到的
()() jkdgH H k e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.2 对理想低通进行采样第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.3 例 7.3.1的幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.4 例 7.3.1—— (N=65)有两个过渡点幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器如果用 E(ejω)表示 Hd(ejω)和所设计滤波器 H(ejω)之间的频响误差
E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1)
其均方误差为
22 1 ()
2
je E e d
(7.4.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1,切比雪夫最佳一致逼近准则设希望设计的滤波器幅度特性为 Hd(ω),实际设计的滤波器幅度特性为 Hg(ω),其加权误差 E(ω)用下式表示：
E(ω)=W(ω)［ Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3)
为设计具有线性相位的 FIR滤波器,其单位脉冲响应 h(n)或幅度特性必须满足一定条件 。 假设设计的是
h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
1
( 1)
2
0
( ) ( )
( ) ( ) c o s
N
j
j
g
N
g
n
H e e H
H a n n
将 Hg(ω)代入 (7.4.3)式,则
0
( ) ( ) [ ( ) ( ) c o s ]
M
d
n
E W H a n n
(7.4.4)
式中 M=(N-1)/2。 最佳一致逼近的问题是选择
M+1个系数 a(n),使加权误差 E(ω)的最大值为最小,
即
m i n [ m a x ( ) ]A E
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计该定理指出最佳一致逼近的充要条件是 E(ω)在 A上至少呈现 M+2个,交错,,使得
1
0 1 2 1
( ) ( )
( ) m a x ( )
,
ii
i
A
M
EE
EE
A
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位 FIR滤波器设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器,
其幅度特性为
1,0
()
0,
p
d
s
H
如果我们知道了 A上的 M+2个交错点频率：
ω0,ω1,:,ωM+1,按照 (7.4.4)式,并根据交错点组准则,可写出
0
( )[ ( ) ( ) c o s ] ( 1 )
m a x ( ),0,1,2 1
M
k
k d k k
n
A
W H a n n
E k M
(7.4.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 (7.4.5)式写成矩阵形式,
00
0
11
1
22
2
1
1
1
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
( 1 )
1 c o s c o s
()
M
MM
M
M
W
M
W
M
W
M
W
( 0 )
( 0 )
( 0 )
M
a
a
a
a
0
1
2
1
()
()
()
()
()
d
d
d
dM
dM
H
H
H
H
H
(7.4.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1)在频域等间隔取 M+2个频率 ω0,ω1,:,ωM+1,作为交错点组的初始值 。 按下式计算 ρ值：
1
0
1
0
1
0,
()
( 1 ) / ( )
1
( 1 )
c o s c o s
M
k d k
k
M
k
kk
k
M
k
k
i i k ik
aH
aW
a
(7.4.7)
(7.4.8)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计一般初始值 ωi并不是最佳的极值频率,ρ也不是最优估计误差,它是相对于初始值产生的偏差 。 然后利用拉格朗日 (Lagrange)插值公式,求出 Hg(ω),即
0
0
0,
[]
c o s c o s
()
c o s c o s
( ) ( 1 ),0,1,2,,
()
1
( 1 )
c o s c o s
M
k
k
k k
g M
k
k k
k
k d k
k
M
k
k
i i k ik
C
H
C H k M
W
(7.4.9)
(7.4.10)
(7.4.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2)对上次确定的 ω0,ω1,:,ωM+1中每一点,都检查其附近是否存在某一频率 |E(ω)|>ρ,如有,再在该点附近找出局部极值点,并用该点代替原来的点 。
(3)利用和第二步相同的方法,把各频率处使
|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点,从而又得到一组新的交错点组 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.4.2 雷米兹算法流程图给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
得用 （ 7,4,7 )式计算偏差 ρ
得用 （ 7,4,9 )式计算 H
d
( ω )
计算误差函数 E ( ω ),以及局部极值点频率，在这些点上满足得到一组新的交错点组频率极值点是 M ＋ 2
个还是 M ＋ 3 个？
极值频率相对上次是否变化？
得到最佳一致逼近的
H
d
( ω )
结束舍掉两个端点中使偏差较小的一个
M ＋ 3
M ＋ 2
不变
E ( ω ) ρ
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器的四种类型统一表示式在 7.1节,我们已推导出线性相位的四种情况,它们的幅度特性 H-g(ω)分别如下式：
0
0
0
( 1 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s,
2
( 2 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
( 3 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) sin,
2
( 4 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
M
g
n
M
g
ni
M
g
n
M
g
n
h n h N n N
N
H a n n M
h n h N n N
N
H b n n M
h n h N n N
N
H c n n M
h n h N n N
N
H d n n M
奇数奇数偶数偶数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计经过推导可把 H-g(ω)统一表示为
Hg(ω)=Q(ω)P(ω) (7.4.13)
式中,P(ω)是系数不同的余弦组合式,Q(ω)是不同的常数,四种情况的 Q(ω)和 P(ω)如表 7.4.1所示 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.4.1 线性相位 FIR滤波器四种情况第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表中,和 与原系数 b(n),c(n)
和 d(n)之间关系如下：
~()bn ~()cn ~ ()dn
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
b b b
b n b n b n
b M b M
nM
(7.4.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
~~
~~
~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 2 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
2
1
( 1 ) ( 2 )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,2
c c c
c n c n c n
c M c M
c M c M
nM
(7.4.15)
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
d d d
d n d n d n
d M d M
nM
(7.4.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 (7.4.13)式代入 (7.4.3)式,得到,
^
^
()
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
()
( ) ( ) ( )
()
()
()
d
d
d
d
H
E W H P Q W Q P
Q
W W Q
H
H
Q
(7.4.17)
(7.4.18)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计输入滤波器技术要求：
N,H
d
( ω ),W ( ω )
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
调用 R e m e z 算法程序求解最佳极值频率和 P ( ω ) 系数按要求的滤波器类型求出：
W ( ω ),H
d
( ω ),P ( ω )
＾ ＾
计算单位脉冲响应 h ( n )
输出最佳误差和 h ( n )
图 7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位
FIR滤波器程序框图第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较首先,从性能上来说,IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方,因此可用较低的阶数获得高的选择性,所用的存贮单元少,所以经济而效率高 。 但是这个高效率是以相位的非线性为代价的 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计从结构上看,IIR滤波器必须采用递归结构,极点位置必须在单位圆内,否则系统将不稳定 。
从设计工具看,IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果,因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算,计算工作量比较小,对计算工具的要求不高 。
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位 FIR数字滤波器的条件和特点本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点,网络结构的特点 。
1,线性相位条件对于长度为 N的 h(n),传输函数为
1
0
()
( ) ( )
( ) ( )
N
j j n
n
jj
g
H e h n e
H e H e
(7.1.1)
(7.1.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计式中,Hg(ω)称为幅度特性,θ(ω)称为相位特性 。
注意,这里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)为 ω的实函数,可能取负值,而 |H(ejω)|总是正值 。 H(ejω)线性相位是指
θ(ω)是 ω的线性函数,即
θ(ω)=τω,τ为常数 (7.1.3)
如果 θ(ω)满足下式：
θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4)
严格地说,此时 θ(ω)不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常数,即
()d
d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计也称这种情况为线性相位 。 一般称满足 (7.1.3)式是第一类线性相位；满足 (7.1.4)式为第二类线性相位 。
下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：
h(n)是实序列且对 (N-1)/2偶对称,即
h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)
满足第二类线性相位的条件是,h(n)是实序列且对
(N-1)/2奇对称,即
h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1) 第一类线性相位条件证明,1
0
1
0
( ) ( )
( ) ( 1 )
N
n
n
N
n
n
H z h n z
H z h N n z
将 (7.1.5)式代入上式得令 m=N-n-1,则有
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
N m N m
mm
N
H z h m z z h m z
H z z H z
(7.1.7)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按照上式可以将 H(z)表示为
1
( 1) 1 ( 1)
0
1 1 11
()
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ [ ] ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
将 z=e jω代入上式，得到：
1 1
()
2
0
1
0
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
1
( ) ( 1 )
2
N N
j
j
n
N
g
n
N
H e e h n n
N
H h n n
N
按照 (7.1.2)式,幅度函数 Hg(ω)和相位函数分别为
(7.1.8)
(7.1.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2) 第二类线性相位条件证明：
11
00
11
( 1 ) ( 1 )
00
( 1 ) 1
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
NN
nn
nn
NN
N m N m
nn
N
H z h n z h N n z
H z h m z z h m z
H z z H z
(7.1.10)
令 m=N-n-1,则有同样可以表示为
1
( 1) 1 ( 1)
0
1 1 11
2 2 2
0
11
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
22
1
( ) [ ]
2
N
N n N n
n
N N NN
nn
n
H z H z z H z h n z z z
z h n z z
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1
2
0
1 1
22
0
1
( ) ( ) ( ) s in [ ( ) ]
2
1
( ) s in [ ( ) ]
2
j
N N
j
j
ze
n
N N
jj
n
N
H e H z je h n n
N
e h n n
因此,幅度函数和相位函数分别为
1
0
1
( ) ( ) sin[ ( ) ]
2
1
( ) ( )
22
N
g
n
N
H h n n
N
Q
(7.1.11)
(7.1.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,线性相位 FIR滤波器幅度特性 Hg(ω)的特点
1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照 (7.1.8)式,幅度函数 H g(ω)为
1
0
1( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
N
g
n
NH h n n
式中,h(n)对 (N-1)/2偶对称,余弦项也对 (N-1)/2偶对称,可以以 (N-1)/2为中心,把两两相等的项进行合并,
由于 N是奇数,故余下中间项 n=(N-1)/2。 这样幅度函数表示为第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
( 3 ) / 2
0
( 1 ) / 2
0
( 1 ) / 2
0
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
11
( ) ( ) 2 ( ) c o s
22
( ) ( ) c o s
N
g
n
N
g
n
N
g
n
NN
H h h n n
NN
H h h m n
H a n n
令 m=(N-1)/2-n,则有
(7.1.13)
1
( 0) ( )
2
11
( ) 2 ( ),1,2,3,,
22
N
ah
NN
a n h n n
(7.1.14)
式中第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计按照 (7.1.13)式,由于式中 cosωn项对 ω=0,π,2π皆为偶对称,因此幅度特性的特点是对 ω=0,π,2π是偶对称的 。
2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面 N=奇数相似,不同点是由于 N=偶数,Hg(ω)中没有单独项,相等的项合并成 N/2项 。
1
0
1
2
0
1
( ) ( ) c o s [ ( ) ]
2
1
2 ( ) c o s [ ( ) ]
2
N
g
n
N
n
N
H h n n
N
h n n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将 (7.1.11)式重写如下：
令 m=N/2-n,则有
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) c o s[ ( ) ]
22
1
( ) ( ) c o s[ ( ) ]
2
( ) 2 ( ),1,2,,) ]
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H b n n
NN
b n h n n
(7.1.15)
(7.1.16)
1
0
1( ) ( ) si n [ ( ) ]
2
N
g
n
NH h n n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面 3)情况,推导如下：
令 m=(N-1)/2-n,则有
( 1 ) / 2
1
( ) ( ) sin
11
( ) 2 ( ),1,2,,
22
N
g
n
H c n n
NN
c n h n n
(7.1.17)
(7.1.18)
11
2
00
11( ) ( ) s i n [ ( ) ] 2 ( ) s i n [ ) ]
22
N
N
g
nn
NNH h n n h n n
令 m=N/2-n,则有第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
/2
1
/2
1
1
( ) 2 ( ) s i n [ ( )]
22
1
( ) ( ) s i n [ ( )]
2
( ) 2 ( ),1,2,3,
22
N
g
m
N
g
n
N
H h m m
H d n n
NN
d n h n n
(7.1.19)
(7.1.20)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足
(7.1.7)式和 (7.1.10)式,综合起来用下式表示：
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z (7.1.21)
图 7.1.1 线性相位 FIR滤波器零点分布第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,线性相位 FIR滤波器网络结构设 N为偶数,则有
1
11 2
00
2
11
22
( 1 )
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
N
NN
n n n
Nnm
n
NN
n N m
nm
H z h n z h n z h n z
H z h n z h N m z
h n h N n
令 m=N-n-1,则有第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
( 1)
0
( 1) 1
2
1
( 1) 2
0
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( 1 )
2
N
n N n
n
N
N
n N n
n
H z h n z z
N
H z h n z z h z
(7.1.22)
如果 N为奇数，则将中间项 h［ (N-1)/2］单独列出，
(7.1.23)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.1.2 第一类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.1.3 第二类线性相位网络结构
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( N /2 － 1)
x ( n )
y ( n )
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
z
－ 1
h ( 0 ) h ( 1 ) h ( 2 ) h ( ( N － 1 ) / 2 )
N ＝ 偶数
N ＝ 奇数
－ 1 － 1 － 1 － 1
－ 1
－ 1 － 1 － 1 － 1
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.2 利用窗函数法设计 FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为 Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应,因此
( ) ( )
1
( ) ( )
2
jj
dd
n
j j n
dd
H e h n e
h n H e e d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应 h-d(n)为
,
()
0,
ja
cj
d
c
e
He
(7.2.1)
1 s i n ( ( ) )()
2 ( )
c
c
j a j n c
d
nah n e e d
na
(7.2.2)
为了构造一个长度为 N的线性相位滤波器,只有将
h-d(n)截取一段,并保证截取的一段对 (N-1)/2对称 。 设截取的一段用 h(n)表示,即
h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计我们实际实现的滤波器的单位取样响应为 h(n),长度为 N,其系统函数为 H(z)，
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
图 7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计以上就是用窗函数法设计 FIR滤波器的思路 。 另外,
我们知道 Hd(e jω)是一个以 2π为周期的函数,可以展为傅氏级数,即
( ) ( )j j ndd
n
H e h n e
对 (7.2.3)式进行傅里叶变换,根据复卷积定理,得到：
(1( ) ( ) ( )
2
j j j
dNH e H e R e d
(7.2.4)
式中,Hd(e jω)和 RN(e jω)分别是 hd(n)和 RN(n)
的傅里叶变换,即
111 ( 1 )
2
00
sin( / 2( ) ( ) ( )
sin( / 2 )
NN jN
j j n j n ja
N N N
nn
NR e R n e e e R e
(7.2.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
s i n ( / 2 1( ),
s i n ( / 2 ) 2N
NNR
RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将 Ha(ejω)写成下式：
( ) ( )j j addH e H e
按照 (7.2.1)式,理想低通滤波器的幅度特性 Hd(ω)为
1,
()
0,
c
d
c
H
将 Hd(e jω)和 RN(e jω)代入 (7.2.4)式,得到：
()1( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
j j a j a
dN
ja
dN
H e H e R e d
e H R d
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 H(ejω)写成下式：
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
j j a
dN
H e H e
H H R d
(7.2.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.2 矩形窗对理想低通幅度特性的影响第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计通过以上分析可知,对 hd(n)加矩形窗处理后,
H(ω)和原理想低通 Hd(ω)差别有以下两点：
(1)在理想特性不连续点 ω=ωc附近形成过渡带 。 过渡带的宽度,近似等于 RN(ω)主瓣宽度,即 4π/N。
(2)通带内增加了波动,最大的峰值在 ωc-2π/N处 。
阻带内产生了余振,最大的负峰在 ωc+2π/N处 。
在主瓣附近,按照 (7.2.5)式,RN(ω)可近似为
s i n ( / 2) s i n()
/2N
NxRN
x
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍几种常用的窗函数 。 设
h(n)=hd(n)w(n)
式中 w(n)表示窗函数 。
1,矩形窗 (Rectangle Window)
wR(n)=RN(n)
前面已分析过,按照 (7.2.5)式,其频率响应为
1 ( 1 )
2si n ( / 2 )()
si n ( / 2 )
jNj
R
NW e e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,三角形窗 (Bartlett Window)
21
,0 ( 1 )
12
()
21
2,( 1 ) 1
12
Br
n
nN
N
n
n
N n N
N
(7.2.8)
其频率响应为
1()
2 2
s i n ( )
4( ) [ ]
2 s i n ( / 2 )
Nj
j
Br
N
NW e e
(7.2.9)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,汉宁 (Hanning)窗 ——升余弦窗
1
2
11
22
2
( ) 0.5 [ 1 c o s( ) ] ( )
1
( ) [ ( ) ] ( )
2
( ) [ ( ) ] { 0.5 ( ) 0.25 [ ( )
1
2
( ) ] } ( )
1
Hn N
N
j
j
R N R
j
Hn Hn R R
NN
jj
R Hn
n
n R n
N
W e FT R n W e
W e FT W n W W
N
W e W e
N
当 N1时,N-1≈N，
22( ) 0,5 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( )]
H n R R RW W W WNN
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.3 汉宁窗的幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4,哈明 (Hamming)窗 ——改进的升余弦窗
2( ) [0,5 4 0,4 6 c o s ( )] ( )
1H m N
nn R n
N
(7.2.11)
其频域函数 WHm (e jω)为
22
( ) ( )
11( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
22
( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
11
jj
jj NN
H m R R R
j
H m R R R
W e W e W e W e
W W e W W
NN
其幅度函数 WHm(ω)为当 N>>1时,可近似表示为
22( ) 0,5 4 ( ) 0,2 3 ( ) 0,2 3 ( )
B l R R Rn W W WNN
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
5,布莱克曼 (Blackman)窗
24( ) [0,4 2 0,5 c o s 0,0 8 c o s ] ( )
11B l N
nnn R n
NN
(7.2.13)
其频域函数为
22
( ) ( )
11
R
22
( ) ( )
11
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( )]
0,0 4 [ ( ) ( )]
jjjj
NN
B l R R
jj
NN
RR
W e W e W e W e
W e W e
其幅度函数为
22
( ) 0,4 2 ( ) 0,2 5 [ ( ) ( ) ]
11
44
0,0 4 [ ( ) ( ) ]
11
Bl R R R
RR
W W W W
NN
WW
NN
(7.2.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.4 常用的窗函数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.5
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性 (N=51,ωc=0.5π)
(a)矩形窗； (b)巴特利特窗 (三角形窗 )； (c)
(d)哈明窗； (e)布莱克曼窗第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
6,凯塞 — 贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)
0
0
2
2
0
1
()
( ),0 1
()
2
1 ( 1 )
1
1
( ) 1 ( ( ) )
!2
k
k
k
I
n n N
I
n
N
x
Ix
k
式中
I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数,可用下面级数计算：
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计一般 I0(x)取 15~25项,便可以满足精度要求 。 α参数可以控制窗的形状 。 一般 α加大,主瓣加宽,旁瓣幅度减小,典型数据为 4<α<9。 当 α=5.44时,窗函数接近哈明窗 。 α=7.865时,窗函数接近布莱克曼窗 。 凯塞窗的幅度函数为
( 1) / 2
1
( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s
N
k k k
n
W n n
(7.2.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.2.2 六种窗函数的基本参数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计下面介绍用窗函数设计 FIR滤波器的步骤 。
(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应
hd(n)。 如果给出待求滤波器的频响为 Hd(ejω),那么单位取样响应用下式求出：
1( ) ( )
2
jj
ddh n H e e d
221
0
1( ) ( )M j k j k nMM
Md
k
h n H e eM
(7.2.17)
(7.2.18)
根据频率采样定理,hM(n)与 hd(n)应满足如下关系：
( ) ( )Md
r
h n h n rM
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例如,理想低通滤波器如 (7.2.1)式所示,求出单位取样响应 hd(n)如 (7.2.2)式,重写如下：
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求,选择窗函数的形式,并估计窗口长度 N。 设待求滤波器的过渡带用
Δω表示,它近似等于窗函数主瓣宽度 。
(3) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)，
h(n)=hd(n)w(n)
s i n ( ( ))()
()
c
d
nhn
n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(4)验算技术指标是否满足要求 。 设计出的滤波器频率响应用下式计算：
1
0
( ) ( )
N
j j n
n
H e h n e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例 7.2.1 用矩形窗,汉宁窗和布莱克曼窗设计 FIR低通滤波器,设 N=11,ωc=0.2πrad。
解 用理想低通作为逼近滤波器,按照 (7.2.2)式,有
s i n ( ( ) )
( ),0 1 0
()
1
( 1 ) 5
2
s i n ( 0,2 ( 5 ) )
( ),0 1 0
( 5 )
c
d
d
n
h n n
n
N
n
h n n
n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计用汉宁窗设计：
( ) ( ) ( ),0 10
2
( ) 0.5 ( 1 c o s )
10
d H n
Hn
h n h n n n
n
n
用布莱克曼窗设计：
11
( ) ( ) ( )
22
( ) ( 0.42 0.5 c o s 0.08 c o s ) ( )
10 10
d Bl
Bl
h n h n n
nn
n R n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.2.7 例 7.2.1的低通幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.3 利用频率采样法设计 FIR滤波器设待设计的滤波器的传输函数用 Hd(ejω)表示,对它在 ω=0到 2π之间等间隔采样 N点,得到 Hd(k)，
2
21
0
( ) ( ),0,1,2,,1
1
( ) ( ),0,1,2,,1
j
dd
k
D
N
j kn
N
d
k
H k H e k N
h n H k e k N
N
再对 N点 Hd(k)进行 IDFT，得到 h(n)，
(7.3.1)
(7.3.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计式中,h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，
其系统函数 H(z)为
1
0
( ) ( )
N
n
n
H z h n z
1
2
0 1
1 ( )()
1
N N
d
jkk
N
z H kHz
N ez?
(7.3.3)
(7.3.4)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件
FIR滤波器具有线性相位的条件是 h(n)是实序列,
且满足 h(n)=h(N-n-1),在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是,()( ) ( )
1
()
2
( ) ( 2 ),
( ) ( 2 ),
jj
dg
gg
gg
H e H e
N
H H N
H H N
(7.3.5)
(7.3.6)
(7.3.7)
奇数偶数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计在 ω=0~2π之间等间隔采样 N点，
2,0,1,2,,1
k k k NN
将 ω=ωk代入 (7.3.4)~(7.3.7)式中,并写成 k的函数：
()( ) ( )
1 2 1
()
2
jk
dgH k H k e
NN
k k k
NN
(7.3.8)
(7.3.9)
( ) ( ),
( ) ( ),
gg
gg
H k H N k k
H k H N k k
奇数偶数
(7.3.10)
(7.3.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计设用理想低通作为希望设计的滤波器,截止频率为 ωc,采样点数 N,Hg(k)和 θ(k)用下面公式计算：
N=奇数时,
( ) ( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
1
( ),0,1,2,,1
g g c
g c c c
H k H N k k k
H k k k k N k
N
k k k N
N
(7.3.12)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
N=偶数时,( ) 1,0,1,2,,
( ) 0,1,2,,1
( ) 1,0,1,2,,
1
( ),0,1,2,,1
gc
g c c c
gc
H k k k
H k k k k N k
H N k k k
N
k k k N
N
(7.3.13)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2,逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为 Hd(ejω),对应的单位取样响应为 hd(n)，
1( ) ( )
2
j j n
ddh n H e e d
则由频率域采样定理知道,在频域 0~2π之间等间隔采样 N点,利用 IDFT得到的 h(n)应是 hd(n)以 N为周期,
周期性延拓乘以 RN(ω),即
( ) ( ) ( )dN
r
h n h n rN R n
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计由采样定理表明,频率域等间隔采样 H(k),经过
IDFT得到 h(n),其 Z变换 H(z)和 H(k)的关系为
1
2
0 1
1
0
1
2
1 ( )
()
1
2
( ) ( ) ( )
1 sin( / 2 )
()
sin( / 2 )
N N
j
k N
N
j
k
N
j
z H k
Hz
N
ez
H e H k k
N
N
e
N
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计例 7.3.1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器,
要 求 截 止 频 率 ωc=π/2rad,采 样 点 数 N=33,选用
h(n)=h(N-1-n)情况 。
解 用理想低通作为逼近滤波器 。 按照 (7.3.12)式,
( ) ( 33 ) 1,0,1,2,,8
( ) 0,9,10,,23,24
32
( ),0,1,2,,32
33
gg
g
H k H k k
H k k
k k k
对理想低通幅度特性采样情况如图 7.3.2所示 。 将采样得到的
()() jkdgH H k e
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.2 对理想低通进行采样第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.3 例 7.3.1的幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.3.4 例 7.3.1—— (N=65)有两个过渡点幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.4 利用切比雪夫逼近法设计 FIR滤波器如果用 E(ejω)表示 Hd(ejω)和所设计滤波器 H(ejω)之间的频响误差
E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1)
其均方误差为
22 1 ()
2
je E e d
(7.4.2)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1,切比雪夫最佳一致逼近准则设希望设计的滤波器幅度特性为 Hd(ω),实际设计的滤波器幅度特性为 Hg(ω),其加权误差 E(ω)用下式表示：
E(ω)=W(ω)［ Hd(ω)-Hg(ω)］ (7.4.3)
为设计具有线性相位的 FIR滤波器,其单位脉冲响应 h(n)或幅度特性必须满足一定条件 。 假设设计的是
h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况,
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1
2
1
( 1)
2
0
( ) ( )
( ) ( ) c o s
N
j
j
g
N
g
n
H e e H
H a n n
将 Hg(ω)代入 (7.4.3)式,则
0
( ) ( ) [ ( ) ( ) c o s ]
M
d
n
E W H a n n
(7.4.4)
式中 M=(N-1)/2。 最佳一致逼近的问题是选择
M+1个系数 a(n),使加权误差 E(ω)的最大值为最小,
即
m i n [ m a x ( ) ]A E
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计该定理指出最佳一致逼近的充要条件是 E(ω)在 A上至少呈现 M+2个,交错,,使得
1
0 1 2 1
( ) ( )
( ) m a x ( )
,
ii
i
A
M
EE
EE
A
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位 FIR滤波器设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器,
其幅度特性为
1,0
()
0,
p
d
s
H
如果我们知道了 A上的 M+2个交错点频率：
ω0,ω1,:,ωM+1,按照 (7.4.4)式,并根据交错点组准则,可写出
0
( )[ ( ) ( ) c o s ] ( 1 )
m a x ( ),0,1,2 1
M
k
k d k k
n
A
W H a n n
E k M
(7.4.5)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 (7.4.5)式写成矩阵形式,
00
0
11
1
22
2
1
1
1
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
1
1 c o s c o s
()
( 1 )
1 c o s c o s
()
M
MM
M
M
W
M
W
M
W
M
W
( 0 )
( 0 )
( 0 )
M
a
a
a
a
0
1
2
1
()
()
()
()
()
d
d
d
dM
dM
H
H
H
H
H
(7.4.6)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1)在频域等间隔取 M+2个频率 ω0,ω1,:,ωM+1,作为交错点组的初始值 。 按下式计算 ρ值：
1
0
1
0
1
0,
()
( 1 ) / ( )
1
( 1 )
c o s c o s
M
k d k
k
M
k
kk
k
M
k
k
i i k ik
aH
aW
a
(7.4.7)
(7.4.8)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计一般初始值 ωi并不是最佳的极值频率,ρ也不是最优估计误差,它是相对于初始值产生的偏差 。 然后利用拉格朗日 (Lagrange)插值公式,求出 Hg(ω),即
0
0
0,
[]
c o s c o s
()
c o s c o s
( ) ( 1 ),0,1,2,,
()
1
( 1 )
c o s c o s
M
k
k
k k
g M
k
k k
k
k d k
k
M
k
k
i i k ik
C
H
C H k M
W
(7.4.9)
(7.4.10)
(7.4.11)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2)对上次确定的 ω0,ω1,:,ωM+1中每一点,都检查其附近是否存在某一频率 |E(ω)|>ρ,如有,再在该点附近找出局部极值点,并用该点代替原来的点 。
(3)利用和第二步相同的方法,把各频率处使
|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点,从而又得到一组新的交错点组 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.4.2 雷米兹算法流程图给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
得用 （ 7,4,7 )式计算偏差 ρ
得用 （ 7,4,9 )式计算 H
d
( ω )
计算误差函数 E ( ω ),以及局部极值点频率，在这些点上满足得到一组新的交错点组频率极值点是 M ＋ 2
个还是 M ＋ 3 个？
极值频率相对上次是否变化？
得到最佳一致逼近的
H
d
( ω )
结束舍掉两个端点中使偏差较小的一个
M ＋ 3
M ＋ 2
不变
E ( ω ) ρ
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3,线性相位 FIR滤波器的四种类型统一表示式在 7.1节,我们已推导出线性相位的四种情况,它们的幅度特性 H-g(ω)分别如下式：
0
0
0
( 1 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s,
2
( 2 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
( 3 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) sin,
2
( 4 ) ( ) ( 1 ),
1
( ) ( ) c o s( ),
22
M
g
n
M
g
ni
M
g
n
M
g
n
h n h N n N
N
H a n n M
h n h N n N
N
H b n n M
h n h N n N
N
H c n n M
h n h N n N
N
H d n n M
奇数奇数偶数偶数第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计经过推导可把 H-g(ω)统一表示为
Hg(ω)=Q(ω)P(ω) (7.4.13)
式中,P(ω)是系数不同的余弦组合式,Q(ω)是不同的常数,四种情况的 Q(ω)和 P(ω)如表 7.4.1所示 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表 7.4.1 线性相位 FIR滤波器四种情况第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计表中,和 与原系数 b(n),c(n)
和 d(n)之间关系如下：
~()bn ~()cn ~ ()dn
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
b b b
b n b n b n
b M b M
nM
(7.4.14)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
~~
~~
~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 2 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
2
1
( 1 ) ( 2 )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,2
c c c
c n c n c n
c M c M
c M c M
nM
(7.4.15)
~~
~~
~
1
( 1 ) ( 0) ( 1 )
2
1
( ) [ ( 1 ) ( )
2
1
( ) ( 1 )
2
2,3,,1
d d d
d n d n d n
d M d M
nM
(7.4.16)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计将 (7.4.13)式代入 (7.4.3)式,得到,
^
^
()
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
()
( ) ( ) ( )
()
()
()
d
d
d
d
H
E W H P Q W Q P
Q
W W Q
H
H
Q
(7.4.17)
(7.4.18)
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计输入滤波器技术要求：
N,H
d
( ω ),W ( ω )
给出 M ＋ 2 个交错点组频率初始值：
ω
i
,i ＝ 0,1,2,…,M ＋ 1
调用 R e m e z 算法程序求解最佳极值频率和 P ( ω ) 系数按要求的滤波器类型求出：
W ( ω ),H
d
( ω ),P ( ω )
＾ ＾
计算单位脉冲响应 h ( n )
输出最佳误差和 h ( n )
图 7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位
FIR滤波器程序框图第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计图 7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.5 IIR和 FIR数字滤波器的比较首先,从性能上来说,IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方,因此可用较低的阶数获得高的选择性,所用的存贮单元少,所以经济而效率高 。 但是这个高效率是以相位的非线性为代价的 。
第 7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计从结构上看,IIR滤波器必须采用递归结构,极点位置必须在单位圆内,否则系统将不稳定 。
从设计工具看,IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果,因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算,计算工作量比较小,对计算工具的要求不高 。
