第 2章 电阻电路分析
2.1 受控源
2.2 支路电流法
2.3 节点电压法
2.4 网孔电流法
2.5 叠加定理
2.6 等效电源定理
2.7 简单非线性电阻电路计算
2.1 受控电源 (非独立源 )
(controlled source or dependent source)
1,定义,电压源电压或电流源电流不是给定的时间函数,而是受电路中某个支路的电压 (或电流 )
的控制 。
电路符号
+ –
受控电压源 受控电流源例,ic=b ib
用以前讲过的元件无法表示此电流关系,为此引出新的电路模型 ——电流控制的电流源,
一个三极管可以用 CCCS模型来表示
CCCS可以用一个三极管来实现,
ib b i
b
控制部分 受控部分
Rc
ib
Rb i
c
受控源是一个四端元件,
输入端口是控制支路，
输出端口是受控支路,
(a) 电流控制的电流源 ( Current Controlled Current Source )
b,电流放大倍数
r,转移电阻
{u1=0i
2=b i1
{u1=0u
2=ri1
CCCS
o
o
i2=b i1
+
_
u2
i2
o
o+
_u1
i1
2,分类,根据控制量和被控制量是电压 u或电流 i,受控源可分为四种类型：当被控制量是电压时,用受控电压源表示；当被控制量是电流时,用受控电流源表示 。
o
oo
o+
_u1
i1
u2=ri1
+
_u2
i2
CCVS
+
_
(b) 电流控制的电压源 ( Current Controlled Voltage Source )
g,转移电导
,电压放大倍数
{i1=0i
2=gu1
{ i1=0u
2=?u1
VCCS
o
o
i2=gu1
+
_
u2
i2
o
o+
_u1
i1
(c) 电压控制的电流源 ( Voltage Controlled Current Source )
o
oo
o+
_u1
i1
u2=? i1
+
_u2
i2
CCVS
+
_
(d) 电压控制的电流源 ( Voltage Controlled Current Source )
3,受控源与独立源的 比较
(1) 独立源电压 (或电流 )由电源本身决定,与电路中其它电压,电流无关,而受控源电压 (或电流 )直接由控制量决定 。
(2) 独立源作为电路中,激励,,在电路中产生电压,
电流,而受控源只是反映输出端与输入端的关系,在电路中不能作为,激励,。
Aui
Vuu
Vu
5.22
55.0
1052
2
12
1
2A 5Ω 5Ω0.5u1
＋
－
u1
i1
is
求 i1?
任何一个复杂的网络,向外引出两个端钮,则称为 二端网络 ( 一端口 )。网络内部没有独立源的二端网络,称为 无源二端网络 。
等效 R
等效 = U / I
一个无源二端电阻网络可以用端口的入端电阻来等效 。
无源
+U
_
Io
o o
R等效+U_
Io
无源二端网络 的等效变化通常有两种求入端电阻的方法,
① 加压求流法
② 加流求压法 b I
I
a
b
+
U
_
R
o
o
Rab=U/I=(1-b )R
当 b <1,Rab>0，正电阻
U=(I-b I)R=(1-b )IR
当 b>1,Rab<0，负电阻加压求流法,
2.2 支路电流法 (branch current method )
出发点：以支路电流为电路变量。
对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流和电压，未知量共有 2b个。只要列出 2b个独立的电路方程，
便可以求解这 2b个变量。
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3，
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 =–uS+R6i6
(1)
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程节点 1,i1 + i2 – i6 =0
节点 2,– i2 + i3 + i4 =0
节点 3,– i4 – i5 + i6 =0
节点 4,– i1 – i3 + i5 =0
(2)
(出为正，进为负 )
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(3) 选定图示的 3个回路,由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立方程所对应的回路。
1 2
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i
4
i1
i5
i6
uS
3
1
2
3
4
1 2
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
6+3+3=6=2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个支路方程代入式 (3),消去 6个支路电压,
便得到关于支路电流的方程如下：
R6
R1
R2 R4
R3 R5
uS1
iS5＋
－
R1
R2 R4
R3 R5
uS1 R5iS5
＋
－
＋
－
i1
i2
i3
i4
i5
i6
1 2 3
4
--
-
-
0
0
0
564
432
621
iii
iii
iii
KCL:
KVL:
--
-?-
-?
0
0
0
224466
33555544
1113322
RiRiRi
RiRiRiRi
RiuRiRi
s
s
支路法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 其它分析。
支路法的特点：
支路电流法是最基本的方法,在方程数目不多的情况下可以使用 。 由于支路法要同时列写 KCL和 KVL方程,
所以方程数较多,且规律性不强 (相对于后面的方法 ),手工求解比较繁琐,也不便于计算机编程求解 。
例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
I1 I3
US1 US2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
I2
US1=130V,US2=117V,R1=1?,R2=0.6?,R3=24?.
求各支路电流及电压源各自发出的功率。
解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
R2I2+R3I3-US2=0
U=0
R1I1–R2I2+US2-US1=0
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
1 2
(3) 联立求解
–I1–I2+I3=0
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
解之得 I1=10 A
I3= 5 A
I2= –5 A
(4) 功率分析
PU S1发 =US1I1=130?10=1300 W
PU S2发 =US2I2=130?(–10)=–585 W
验证功率守恒：
PR 1吸 =R1I12=100 W
PR 2吸 =R2I22=15 W
PR 3吸 =R3I32=600 W
P发 =715 W
P吸 =715 W
P发 = P吸
1 2 3
例 2,列写如图电路的支路电流方程 (含理想电流源支路 )。
b=5,n=3
KCL方程：
- i1- i2 + i3 = 0 (1)
- i3+ i4 - i5 = 0 (2)
R1 i1-R2i2 = uS (3)
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4)
- R4 i4+u = 0 (5)
i5 = iS (6)
KVL方程,* 理想电流源的处理：由于 i
5 =
iS,所以在选择独立回路时,可不选含此支路的回路 。
对此例,可不选回路 3,即去掉方程 (5),而只列 (1)~(4)及 (6)。
i1
i3
uS
iS
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i5
i4
u
c
R4
解
2.3 节点电压法 (node voltage method)
回路电流法自动满足 KCL 。 能否像回路电流法一样,
假定一组变量,使之自动满足 KVL,从而就不必列写
KVL方程,减少联立方程的个数？
KVL恰说明了电位的单值性 。 如果选节点电压为未知量,则 KVL自动满足,就无需列写 KVL 方程 。 当以节点电压为未知量列电路方程,求出节点电压后,便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想 (思考 )：
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足
uA-uBu
A uB
节点电压法,以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。
可见,节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法相比,方程数可减少 b-( n-1个 。
1 2 3
4
0uuu
0uuu
0uuu
423423
412412
312312
0uuuuuu
0uuuuuu
0uuuuuu
244332
144221
133221
-?-?-
-?-?-
-?-?-
)()()(
)()()(
)()()(
设节点电压分别为 u1,u2,u3,u4,其中④节点为参考点即 u4＝ 0
1 2 3
4
0
0
0
4
43
5
31
3
32
3
32
2
42
1
21
5
31
1
21
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
I
s
0)
111
(
11
0
1
)
111
(
1
11
)
11
(
3
543
2
3
1
5
3
3
2
321
1
1
13
5
2
1
1
51
--
--
--?
u
RRR
u
R
u
R
u
R
u
RRR
u
R
Iu
R
u
R
u
RR
s
5
3113
3
3223
1
2112
543
33
321
22
51
11
1
,
1
,
1
111
,
111
,
11
R
GG
R
GG
R
GG
RRR
G
RRR
G
RR
G
---
1 2 3
4
33333232131
22323222121
11313212111
s
s
s
IuGuGuG
IuGuGuG
IuGuGuG
举例说明：
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点,标明其余 n-1个独立节点的电压代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u?-?-?-
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu -----
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR?--
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR --
标准形式的节点电压方程 。
G11un1+G12un2 = iSn1
G11un1+G12un2 = iSn1
G11=G1+G2+G3+G4
G22=G3+G4+G5
G12= G21 =-(G3+G4)
iSn1=iS1-iS2+iS3
iSn2=-iS3
其中
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 流入节点取正号，流出取负号。
* 电流源支路电导为零。
由节点电压方程求得各支路电压后,各支路电流可用节点电压表示：
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui?
2
n2
2 R
ui?
3
n2n1
3 R
uui -?
4
n2n1
4 R
uui -?
5
n2
5 R
ui?
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu -----
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu?-?-?--
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1-iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
等效电流源一般情况：
G11un1+G12un2+…+G 1,n-1un,n-1=iS11
G21un1+G22un2+…+G 2,n-1un,n-1=iS22
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+G n-1,nun,n-1=iSn-1,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在节点 i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
iSii — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在节点 i与节点 j之间的所支路的电导之和,并冠以 负 号 。
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点,以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
例 1,列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
uR2= un1
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
S1
2
n1
1
n2n1 i
R
u
R
uu-
2m
3
n2
1
n1n2
RugR
u
R
uu --
解,
用节点法求各支路电流。例 2.
(1) 列节点电压方程：
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB= 0.006
-0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006
(2) 解方程，得：
(3) 各支路电流：
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解：
试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系方法 2,选择合适的参考点
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2+I =0
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3-I =0
U1-U2 = US
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2
3
1I
例 3.
用节点电压法求如图所示电路中 3Ω电阻消耗的功率。
求受控电源支路的电流。
2.4 网孔电流法网孔电流法：为减少未知量 (方程 )的个数，以 网孔电流 作为电路的独立变量，列方程组。对电路分析计算的一种方法。
可见,网孔电流法的独立方程数为 b-(n-1)。 与支路电流法相比,方程数可减少 n-1个 。
网孔电流：是一种 假想的 在电路的各个网孔里流动的电流。
im1 im2
im3
2m3m6
2m1m5
3m1m4
3m3
2m2
1m1
iii
iii
iii
ii
ii
ii
-?
-?
-?
-?
-?
0iiii0iii
0iiiiii0iii
0iiii0iii
0iiii0iii
2m2m3m3m263
2m3m3m1m2m1m645
3m1m3m1m314
2m1m2m1m521
-?---
-?---
---
----
符合 KCL定律
im1 im2
im3
2m3m6
2m1m5
3m1m4
3m3
2m2
1m1
iii
iii
iii
ii
ii
ii
-?
-?
-?
-?
-?
0RiuRiRiRiRiu
0RiRiRiRiuRi
0uuRiRiRiRiRi
33m3s62m63m41m43m4s
51m52m63m62m2s22m
1s4s43m41m52m51m11m
--?-?-
-?-
-?-?-?
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
im1 im2
im3 36433
56222
45111
:3
:2
:1
RRRR
RRRR
RRRR
回路回路回路自阻 ;网孔中所有电阻之和互阻,两个网孔的共有电阻
63223
43113
52112
RRR
RRR
RRR
-
-
-
33333322311
22233222211
11133122111
Smmm
Smmm
Smmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
3433
222
4111
sss
ss
sss
uuu
uu
uuu
-?
-?
网孔中各电压源电压升的代数和：
推广：对有 m个网孔的平面电路,有网孔电流方程的一般形式：
S m mmmmmmmmm
Smmmm
Smmmmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
2211
2223222211
111122111
im1 im2
im3
im1 im2
im3
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
3436436241
263562251
4143524511
)(
)(
)(
ssmmm
smmm
ssmmm
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
-
-?-
结论：自阻总是正的；当所有回路的假定 绕行方向一致 （同顺时针或同逆时针）时,互阻全部为负值 ；如果 绕行方向不一致,由在共有支路上 参考方向 是否相同而定，方向 相同时为正,方向 相反时为负 。
33333322311
22233222211
11133122111
Smmm
Smmm
Smmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
408040
10406020
402080
32
321
21
-
-?-
-
II
III
II
332121,,,IIIIIIIIII dcba -?-?-
求 i？
列网孔电流方程校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
U2=3(Ib-Ia)②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 (?UR 降 =?E升 )
用网孔法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
-
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=–0.52A.
解得
* 由于含受控源,方程的系数矩阵一般不对称 。
2.4(续 ) 回路电流法 (loop current method)
基本思想：与网孔电流法一样，只是选取的未知量不同。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
回路电流法,以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
23
12
211
l
l
ll
ii
ii
iii
-?
00 2121321?-?---- llll iiiiiii
符合 KCL定律回路 1,R1 (il1＋ il2)+R2il1-uS1+uS2=0
回路 2,R1(il1＋ il2)＋ R3 il2 –uS1=0
(R1+ R2) il1+R1il2=uS1-uS2
R1il1+ (R1 +R3) il2 =uS1
电压与回路绕行方向一致时取
,+”；否则取,-”。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
R11=R1+R2,回路 1的自电阻。等于回路 1中所有电阻之和。
令
R22=R1+R3,回路 2的自电阻。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正。
R12= R21= R1,回路 1、回路 2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；
否则为负号。
us11= uS1-uS2 — 回路 1中所有电压源电压的代数和。
us22= uS1 — 回路 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取 负 号 ;反之取 正 号 。
R11il1+R12il2=uS11
R12il1+R22il2=uS22
(R1+ R2) il1+R1il2=uS1-uS2
R1il1+ (R1 +R3) il2 =uS1
i
l 3
i
l 2
i
l 1
1 1 1 2 2 2 2 1 6 2 6 3 6 1 4 3 4 4 1
2 2 1 2 2 2 6 1 6 3 6 2 5
4 3 4 1 4 3 6 1 6 2 6 3 3 3
0
0
0
l l l S l l l l l S S
l l S l l l l
S l l l l l S l
i R i R i R u i R i R i R i R i R u u
i R i R u i R i R i R i R
u i R i R i R i R i R u i R
-? -? -?
-
-? -? - - -
1 1 2 6 4 2 2 6 3 6 4 1 2 4
1 2 6 2 2 5 6 3 6 2
1 4 6 2 6 3 4 6 3 4 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
l l l S S S
l l l S
l l l S S
i R R R R i R R i R R u u u
i R R i R R R i R u
i R R i R i R R R u u
- - -
-? -
-? -
一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有其中 Rkk:自电阻 (为正 ),k=1,2,…,l ( ∵ 绕行方向取参考方向 )。
Rjk:互电阻
+,流过互阻两个回路电流方向相同
-,流过互阻两个回路电流方向相反
0,无关特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
(平面电路,Rjk均为负 (有条件 ))
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uS11
…
R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uS22
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路,以回路电流为未知量,列写其
KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
网孔电流法,对平面电路,若以网孔为独立回路,此时回路电流也称为网孔电流,对应的分析方法称为网孔电流法 。
用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib-R2Ic= US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib + R2Ic = US2
-R2Ia +R2Ib + (R2+R4)Ic = -US4
对称阵，且互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib + Ic -Ia,I3=-Ib,I4=-Ic
(5) 校核,选一新回路。
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：
I
R
IS o
o
+
_RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有受控电流源支路的电路,可先按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
说明：
例,用网孔分析法求解所示电路中各支路电流
R1=5Ω,R2=10Ω,R3=20Ω
im1 im2
10iRRiR
20iRiRR
2m321m3
2m31m31
--
-?
)(
)(
103020
202025
21
21
--
-
mm
mm
ii
ii
Ai m 1 4 3.1
)20(*)20(30*25
)10(*)20(30*20
3020
2025
3010
2020
1?
---
---
-
-
-
-
Ai m 4 2 9.0
)20(*)20(30*25
)20(*20)10(*25
3020
2025
1020
2025
2?
---
---
-
-
--
im1 im2
213
22
11
mm
m
m
iii
ii
ii
-?
-?
Il2 Il3
Il1
2524
2254
6447
321
321
321
--
-?-?
-?-?
lll
lll
lll
III
III
III
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。
(3) 回路法,节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网,集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
(1) 方程数的比较
1 2 2 2()SSu R i i i R? -?
1
2
1 2 1 2
1 1 2
1
1 2 1 2
SS
SS
u R i
i
R R R R
R u R R i
u
R R R R
'
2
12
' 1
1
12
S
S
u
i
RR
Ru
u
RR
" 1
2
12
" 12
1
12
S
S
Ri
i
RR
R R i
u
RR
2.5 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-
us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
用行列式法解：
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
s3
12
s2
2211
1s
22
s 22
11
11s
22
2221
1211
2222s
1211s
a
u
R
u
RR
u
R
u
R
u
R
RR
RR
Ru
Ru
i
ΔΔΔ
ΔΔ
-?
-
s3
11
s2
2111
1s
2122s21
11s11
b u
R
u
RR
u
RuR
uR
i
ΔΔΔΔ
-
-
其中
21122211
2221
1211 RRRR
RR
RR -Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
'''''' iiiuRuRRuRii
111s3
12
s2
2212
s1
22
a1
-
ΔΔΔ
Δ Δ Δ
2 1 2 2 1 1 1 2 21 2 2 1 1 1 2
2 a b s 1 s 2 s 3
' ' ' ' ' '
2 2 2
R R R R R R R Ri i i u u u
i i i
-? -?
'''''' iiiuRuRRuRii
333s3
11
s2
2111
s1
21
b3
--
ΔΔΔ
由上式可见 各支路电流均为各电压源的一次函数，所以 各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单独作用时，产生的电流
（如 i1',i1",i1"'）之叠加。
当一个电源单独作用时,其余电源不作用,就意味着取零值 。
即对电压源看作短路,而对电流源看作开路 。
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
i1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念,这个方法也可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路,l个独立回路的仅由线性电阻和电压源构成的电路,由回路电流方程,可得回路电流的解答式为：
),2,1,(
SlSl2Sl
2
1Sl
1
l
lk
uuuui llkkkkkkk
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
由此可知任一支路电流 ij 的可表示为：
ij=gj1uS1+ gj2uS2+ + gjkuSk+ + gjbuSb (j=1,2,,b)
同样：线性电阻电路中任意两点间的电压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和 。
电源既可是电压源,也可是电流源 。
叠加定理,
在线性电路中,任一支路电流 (或电压 )都是电路中各个独立电源单独作用时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
例 1,求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解,(1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+2.4?4
= -10?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
1V 1V
功率能否叠加？
齐性原理 （ homogeneity property):
线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,
则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
求电流 i 。
RL=2? R1=1?
R2=1? us=51V +
–
us
R1 R1 R1
R2 R2 RL
i
+
–
+ –+ –+ –
R2+
–
2V2A5A13A
3A8A21A
3V8V21V
Us’=34V
i'=1A
解,采用倒推法：设 i'=1A，推出此时 us'=34V。
则
Aiuui uuii
s
s
s
s 5.11
34
51'
' '' 即
2.6 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的情况 。 这时,可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路 (通常为二端网络或称一端口网络 ),等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2 iRx
a
b
+ –
us
1,几个名词
(1) 端口 ( port )
端口指电路引出的一对端钮,其中从一个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。
网络内部 不 含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。
2,戴维南定理,
任何一个线性含有独立电源,线性电阻和线性受控源的二端网络,对外电路来说,可以用一个电压源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于一端口的 开路电压,
而电阻等于一端口中 全部独立电源置零后的输入电阻 。
A
a
b
i
i
a
b
Ri
Uoc
+
-
证明,
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时 u,
i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
a
b
P i+
–
u''R
i
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,
电流源开路 )后,所得无源一端口网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；1
2 加压求流法或加流求压法。
开路电压，短路电流法。3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏 -安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时,其控制电路也必须包含在被化简的一端口中 。
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解,保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
Ri
a
b
含受控源电路戴维南定理的应用求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 2,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30U
例 3.
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri：加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k?Ri
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
Ri = Uoc / Isc =10? 150=1500?
a
b
10V +–
+
–
U R0.5k?1.5k?
(3) 等效电路：
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri,Ri = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 )：
另：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 Ri
I= I0
U0 =0.5I0? 103 +I0? 103 =1500I0
Ri = U0 /I0=1500?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
R 6 Ω
3 Ω
1 0 Ω
6 Ω
3 Ω
2 0 Ω
4 A
+
3 0 V
-
+
9 V
-
+ 6 I -
1
1 '
2
2 ’
I
I
R
求电阻 R为何值时。图中所示电流 IR＝ 1A
R eq1 R R eq2
U oc1 U oc2
R=3Ω
Uoc1=8-10= -2V
Req1=3//6=2Ω
Uoc2=6+3=9V
Req2=6Ω
任何一个含独立电源,线性电阻和线性受控源的一端口,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )
的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理：
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到 。 但须指出,诺顿等效电路可独立进行证明 。
证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例,求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：串并联
Ri =10?2/(10+2)=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67? -9.6A
例 11 用诺顿定理求图 2.16(a)电路中的电流 i。
用节点电压法求图 2.23电路 R3支路的电流 I3。
已知 U1=1V,R1=1kΩ,R2=6kΩ,R3=3kΩ,β=100。
例 14 用等效电源定理重新求解例 13问题。
戴维宁等效电路和诺顿等效电路最大传输功率
5k Ω 16k Ω
20k Ω3mA
-
10V
+
R
R=？，可以从电路中获得最大功率。
20k Ω
+
4V
-
R
2
eq
2
oc2
RR
RuRip
)(?
R=Req，可以从电路中获得最大功率。
试求题图所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路求电流 I
2.1 受控源
2.2 支路电流法
2.3 节点电压法
2.4 网孔电流法
2.5 叠加定理
2.6 等效电源定理
2.7 简单非线性电阻电路计算
2.1 受控电源 (非独立源 )
(controlled source or dependent source)
1,定义,电压源电压或电流源电流不是给定的时间函数,而是受电路中某个支路的电压 (或电流 )
的控制 。
电路符号
+ –
受控电压源 受控电流源例,ic=b ib
用以前讲过的元件无法表示此电流关系,为此引出新的电路模型 ——电流控制的电流源,
一个三极管可以用 CCCS模型来表示
CCCS可以用一个三极管来实现,
ib b i
b
控制部分 受控部分
Rc
ib
Rb i
c
受控源是一个四端元件,
输入端口是控制支路，
输出端口是受控支路,
(a) 电流控制的电流源 ( Current Controlled Current Source )
b,电流放大倍数
r,转移电阻
{u1=0i
2=b i1
{u1=0u
2=ri1
CCCS
o
o
i2=b i1
+
_
u2
i2
o
o+
_u1
i1
2,分类,根据控制量和被控制量是电压 u或电流 i,受控源可分为四种类型：当被控制量是电压时,用受控电压源表示；当被控制量是电流时,用受控电流源表示 。
o
oo
o+
_u1
i1
u2=ri1
+
_u2
i2
CCVS
+
_
(b) 电流控制的电压源 ( Current Controlled Voltage Source )
g,转移电导
,电压放大倍数
{i1=0i
2=gu1
{ i1=0u
2=?u1
VCCS
o
o
i2=gu1
+
_
u2
i2
o
o+
_u1
i1
(c) 电压控制的电流源 ( Voltage Controlled Current Source )
o
oo
o+
_u1
i1
u2=? i1
+
_u2
i2
CCVS
+
_
(d) 电压控制的电流源 ( Voltage Controlled Current Source )
3,受控源与独立源的 比较
(1) 独立源电压 (或电流 )由电源本身决定,与电路中其它电压,电流无关,而受控源电压 (或电流 )直接由控制量决定 。
(2) 独立源作为电路中,激励,,在电路中产生电压,
电流,而受控源只是反映输出端与输入端的关系,在电路中不能作为,激励,。
Aui
Vuu
Vu
5.22
55.0
1052
2
12
1
2A 5Ω 5Ω0.5u1
＋
－
u1
i1
is
求 i1?
任何一个复杂的网络,向外引出两个端钮,则称为 二端网络 ( 一端口 )。网络内部没有独立源的二端网络,称为 无源二端网络 。
等效 R
等效 = U / I
一个无源二端电阻网络可以用端口的入端电阻来等效 。
无源
+U
_
Io
o o
R等效+U_
Io
无源二端网络 的等效变化通常有两种求入端电阻的方法,
① 加压求流法
② 加流求压法 b I
I
a
b
+
U
_
R
o
o
Rab=U/I=(1-b )R
当 b <1,Rab>0，正电阻
U=(I-b I)R=(1-b )IR
当 b>1,Rab<0，负电阻加压求流法,
2.2 支路电流法 (branch current method )
出发点：以支路电流为电路变量。
对于有 n个节点,b条支路的电路，要求解支路电流和电压，未知量共有 2b个。只要列出 2b个独立的电路方程，
便可以求解这 2b个变量。
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3，
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 =–uS+R6i6
(1)
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程节点 1,i1 + i2 – i6 =0
节点 2,– i2 + i3 + i4 =0
节点 3,– i4 – i5 + i6 =0
节点 4,– i1 – i3 + i5 =0
(2)
(出为正，进为负 )
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(3) 选定图示的 3个回路,由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立方程所对应的回路。
1 2
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i
4
i1
i5
i6
uS
3
1
2
3
4
1 2
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
6+3+3=6=2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个支路方程代入式 (3),消去 6个支路电压,
便得到关于支路电流的方程如下：
R6
R1
R2 R4
R3 R5
uS1
iS5＋
－
R1
R2 R4
R3 R5
uS1 R5iS5
＋
－
＋
－
i1
i2
i3
i4
i5
i6
1 2 3
4
--
-
-
0
0
0
564
432
621
iii
iii
iii
KCL:
KVL:
--
-?-
-?
0
0
0
224466
33555544
1113322
RiRiRi
RiRiRiRi
RiuRiRi
s
s
支路法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程；
(元件特性代入 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 其它分析。
支路法的特点：
支路电流法是最基本的方法,在方程数目不多的情况下可以使用 。 由于支路法要同时列写 KCL和 KVL方程,
所以方程数较多,且规律性不强 (相对于后面的方法 ),手工求解比较繁琐,也不便于计算机编程求解 。
例 1.
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
I1 I3
US1 US2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
I2
US1=130V,US2=117V,R1=1?,R2=0.6?,R3=24?.
求各支路电流及电压源各自发出的功率。
解
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
R2I2+R3I3-US2=0
U=0
R1I1–R2I2+US2-US1=0
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
1 2
(3) 联立求解
–I1–I2+I3=0
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
解之得 I1=10 A
I3= 5 A
I2= –5 A
(4) 功率分析
PU S1发 =US1I1=130?10=1300 W
PU S2发 =US2I2=130?(–10)=–585 W
验证功率守恒：
PR 1吸 =R1I12=100 W
PR 2吸 =R2I22=15 W
PR 3吸 =R3I32=600 W
P发 =715 W
P吸 =715 W
P发 = P吸
1 2 3
例 2,列写如图电路的支路电流方程 (含理想电流源支路 )。
b=5,n=3
KCL方程：
- i1- i2 + i3 = 0 (1)
- i3+ i4 - i5 = 0 (2)
R1 i1-R2i2 = uS (3)
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4)
- R4 i4+u = 0 (5)
i5 = iS (6)
KVL方程,* 理想电流源的处理：由于 i
5 =
iS,所以在选择独立回路时,可不选含此支路的回路 。
对此例,可不选回路 3,即去掉方程 (5),而只列 (1)~(4)及 (6)。
i1
i3
uS
iS
R1
R2
R3 ba
+
–
+
–
i2
i5
i4
u
c
R4
解
2.3 节点电压法 (node voltage method)
回路电流法自动满足 KCL 。 能否像回路电流法一样,
假定一组变量,使之自动满足 KVL,从而就不必列写
KVL方程,减少联立方程的个数？
KVL恰说明了电位的单值性 。 如果选节点电压为未知量,则 KVL自动满足,就无需列写 KVL 方程 。 当以节点电压为未知量列电路方程,求出节点电压后,便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想 (思考 )：
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足
uA-uBu
A uB
节点电压法,以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。
可见,节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法相比,方程数可减少 b-( n-1个 。
1 2 3
4
0uuu
0uuu
0uuu
423423
412412
312312
0uuuuuu
0uuuuuu
0uuuuuu
244332
144221
133221
-?-?-
-?-?-
-?-?-
)()()(
)()()(
)()()(
设节点电压分别为 u1,u2,u3,u4,其中④节点为参考点即 u4＝ 0
1 2 3
4
0
0
0
4
43
5
31
3
32
3
32
2
42
1
21
5
31
1
21
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
R
uu
I
s
0)
111
(
11
0
1
)
111
(
1
11
)
11
(
3
543
2
3
1
5
3
3
2
321
1
1
13
5
2
1
1
51
--
--
--?
u
RRR
u
R
u
R
u
R
u
RRR
u
R
Iu
R
u
R
u
RR
s
5
3113
3
3223
1
2112
543
33
321
22
51
11
1
,
1
,
1
111
,
111
,
11
R
GG
R
GG
R
GG
RRR
G
RRR
G
RR
G
---
1 2 3
4
33333232131
22323222121
11313212111
s
s
s
IuGuGuG
IuGuGuG
IuGuGuG
举例说明：
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点,标明其余 n-1个独立节点的电压代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u?-?-?-
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu -----
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR?--
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR --
标准形式的节点电压方程 。
G11un1+G12un2 = iSn1
G11un1+G12un2 = iSn1
G11=G1+G2+G3+G4
G22=G3+G4+G5
G12= G21 =-(G3+G4)
iSn1=iS1-iS2+iS3
iSn2=-iS3
其中
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 流入节点取正号，流出取负号。
* 电流源支路电导为零。
由节点电压方程求得各支路电压后,各支路电流可用节点电压表示：
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui?
2
n2
2 R
ui?
3
n2n1
3 R
uui -?
4
n2n1
4 R
uui -?
5
n2
5 R
ui?
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu -----
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu?-?-?--
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1-iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
等效电流源一般情况：
G11un1+G12un2+…+G 1,n-1un,n-1=iS11
G21un1+G22un2+…+G 2,n-1un,n-1=iS22
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+G n-1,nun,n-1=iSn-1,n-1
其中 Gii —自电导,等于接在节点 i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
iSii — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 (包括由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导,等于接在节点 i与节点 j之间的所支路的电导之和,并冠以 负 号 。
节点法的一般步骤：
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点,以节点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2) 用节点电压表示控制量。
例 1,列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
uR2= un1
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
S1
2
n1
1
n2n1 i
R
u
R
uu-
2m
3
n2
1
n1n2
RugR
u
R
uu --
解,
用节点法求各支路电流。例 2.
(1) 列节点电压方程：
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB= 0.006
-0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006
(2) 解方程，得：
(3) 各支路电流：
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解：
试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系方法 2,选择合适的参考点
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2+I =0
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3-I =0
U1-U2 = US
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3G1
G4 G5
G2+
_Us 2
3
1I
例 3.
用节点电压法求如图所示电路中 3Ω电阻消耗的功率。
求受控电源支路的电流。
2.4 网孔电流法网孔电流法：为减少未知量 (方程 )的个数，以 网孔电流 作为电路的独立变量，列方程组。对电路分析计算的一种方法。
可见,网孔电流法的独立方程数为 b-(n-1)。 与支路电流法相比,方程数可减少 n-1个 。
网孔电流：是一种 假想的 在电路的各个网孔里流动的电流。
im1 im2
im3
2m3m6
2m1m5
3m1m4
3m3
2m2
1m1
iii
iii
iii
ii
ii
ii
-?
-?
-?
-?
-?
0iiii0iii
0iiiiii0iii
0iiii0iii
0iiii0iii
2m2m3m3m263
2m3m3m1m2m1m645
3m1m3m1m314
2m1m2m1m521
-?---
-?---
---
----
符合 KCL定律
im1 im2
im3
2m3m6
2m1m5
3m1m4
3m3
2m2
1m1
iii
iii
iii
ii
ii
ii
-?
-?
-?
-?
-?
0RiuRiRiRiRiu
0RiRiRiRiuRi
0uuRiRiRiRiRi
33m3s62m63m41m43m4s
51m52m63m62m2s22m
1s4s43m41m52m51m11m
--?-?-
-?-
-?-?-?
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
im1 im2
im3 36433
56222
45111
:3
:2
:1
RRRR
RRRR
RRRR
回路回路回路自阻 ;网孔中所有电阻之和互阻,两个网孔的共有电阻
63223
43113
52112
RRR
RRR
RRR
-
-
-
33333322311
22233222211
11133122111
Smmm
Smmm
Smmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
3433
222
4111
sss
ss
sss
uuu
uu
uuu
-?
-?
网孔中各电压源电压升的代数和：
推广：对有 m个网孔的平面电路,有网孔电流方程的一般形式：
S m mmmmmmmmm
Smmmm
Smmmmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
2211
2223222211
111122111
im1 im2
im3
im1 im2
im3
3s4s3643m62m41m
2s63m5622m51m
4s1s43m52m4511m
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
--
-?--
-?--
)(
)(
)(
3436436241
263562251
4143524511
)(
)(
)(
ssmmm
smmm
ssmmm
uuRRRiRiRi
uRiRRRiRi
uuRiRiRRRi
-
-?-
结论：自阻总是正的；当所有回路的假定 绕行方向一致 （同顺时针或同逆时针）时,互阻全部为负值 ；如果 绕行方向不一致,由在共有支路上 参考方向 是否相同而定，方向 相同时为正,方向 相反时为负 。
33333322311
22233222211
11133122111
Smmm
Smmm
Smmm
uRiRiRi
uRiRiRi
uRiRiRi
408040
10406020
402080
32
321
21
-
-?-
-
II
III
II
332121,,,IIIIIIIIII dcba -?-?-
求 i？
列网孔电流方程校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
U2=3(Ib-Ia)②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 (?UR 降 =?E升 )
用网孔法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
-
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=–0.52A.
解得
* 由于含受控源,方程的系数矩阵一般不对称 。
2.4(续 ) 回路电流法 (loop current method)
基本思想：与网孔电流法一样，只是选取的未知量不同。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
回路电流法,以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
23
12
211
l
l
ll
ii
ii
iii
-?
00 2121321?-?---- llll iiiiiii
符合 KCL定律回路 1,R1 (il1＋ il2)+R2il1-uS1+uS2=0
回路 2,R1(il1＋ il2)＋ R3 il2 –uS1=0
(R1+ R2) il1+R1il2=uS1-uS2
R1il1+ (R1 +R3) il2 =uS1
电压与回路绕行方向一致时取
,+”；否则取,-”。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
R11=R1+R2,回路 1的自电阻。等于回路 1中所有电阻之和。
令
R22=R1+R3,回路 2的自电阻。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正。
R12= R21= R1,回路 1、回路 2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；
否则为负号。
us11= uS1-uS2 — 回路 1中所有电压源电压的代数和。
us22= uS1 — 回路 2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时,取 负 号 ;反之取 正 号 。
R11il1+R12il2=uS11
R12il1+R22il2=uS22
(R1+ R2) il1+R1il2=uS1-uS2
R1il1+ (R1 +R3) il2 =uS1
i
l 3
i
l 2
i
l 1
1 1 1 2 2 2 2 1 6 2 6 3 6 1 4 3 4 4 1
2 2 1 2 2 2 6 1 6 3 6 2 5
4 3 4 1 4 3 6 1 6 2 6 3 3 3
0
0
0
l l l S l l l l l S S
l l S l l l l
S l l l l l S l
i R i R i R u i R i R i R i R i R u u
i R i R u i R i R i R i R
u i R i R i R i R i R u i R
-? -? -?
-
-? -? - - -
1 1 2 6 4 2 2 6 3 6 4 1 2 4
1 2 6 2 2 5 6 3 6 2
1 4 6 2 6 3 4 6 3 4 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
l l l S S S
l l l S
l l l S S
i R R R R i R R i R R u u u
i R R i R R R i R u
i R R i R i R R R u u
- - -
-? -
-? -
一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有其中 Rkk:自电阻 (为正 ),k=1,2,…,l ( ∵ 绕行方向取参考方向 )。
Rjk:互电阻
+,流过互阻两个回路电流方向相同
-,流过互阻两个回路电流方向相反
0,无关特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
(平面电路,Rjk均为负 (有条件 ))
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uS11
…
R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uS22
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
回路法的一般步骤：
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路,以回路电流为未知量,列写其
KVL方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
网孔电流法,对平面电路,若以网孔为独立回路,此时回路电流也称为网孔电流,对应的分析方法称为网孔电流法 。
用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib-R2Ic= US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib + R2Ic = US2
-R2Ia +R2Ib + (R2+R4)Ic = -US4
对称阵，且互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib + Ic -Ia,I3=-Ib,I4=-Ic
(5) 校核,选一新回路。
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：
I
R
IS o
o
+
_RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有受控电流源支路的电路,可先按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
说明：
例,用网孔分析法求解所示电路中各支路电流
R1=5Ω,R2=10Ω,R3=20Ω
im1 im2
10iRRiR
20iRiRR
2m321m3
2m31m31
--
-?
)(
)(
103020
202025
21
21
--
-
mm
mm
ii
ii
Ai m 1 4 3.1
)20(*)20(30*25
)10(*)20(30*20
3020
2025
3010
2020
1?
---
---
-
-
-
-
Ai m 4 2 9.0
)20(*)20(30*25
)20(*20)10(*25
3020
2025
1020
2025
2?
---
---
-
-
--
im1 im2
213
22
11
mm
m
m
iii
ii
ii
-?
-?
Il2 Il3
Il1
2524
2254
6447
321
321
321
--
-?-?
-?-?
lll
lll
lll
III
III
III
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。
(3) 回路法,节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网,集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
(1) 方程数的比较
1 2 2 2()SSu R i i i R? -?
1
2
1 2 1 2
1 1 2
1
1 2 1 2
SS
SS
u R i
i
R R R R
R u R R i
u
R R R R
'
2
12
' 1
1
12
S
S
u
i
RR
Ru
u
RR
" 1
2
12
" 12
1
12
S
S
Ri
i
RR
R R i
u
RR
2.5 叠加定理 (Superposition Theorem)
如图电路，计算各支路电流。
(R1+R2)ia-R2ib=us1-us2
-R2ia+(R2+R3)ib=us2-
us3
R11ia+R12ib=us11
R21ia+R22ib=us22
其中
R11=R1+R2,R12= -R2,us11=us1-us2
R21= -R2,R22=R2+R3,us22=us2-us3
用行列式法解：
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
s3
12
s2
2211
1s
22
s 22
11
11s
22
2221
1211
2222s
1211s
a
u
R
u
RR
u
R
u
R
u
R
RR
RR
Ru
Ru
i
ΔΔΔ
ΔΔ
-?
-
s3
11
s2
2111
1s
2122s21
11s11
b u
R
u
RR
u
RuR
uR
i
ΔΔΔΔ
-
-
其中
21122211
2221
1211 RRRR
RR
RR -Δ
R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
'''''' iiiuRuRRuRii
111s3
12
s2
2212
s1
22
a1
-
ΔΔΔ
Δ Δ Δ
2 1 2 2 1 1 1 2 21 2 2 1 1 1 2
2 a b s 1 s 2 s 3
' ' ' ' ' '
2 2 2
R R R R R R R Ri i i u u u
i i i
-? -?
'''''' iiiuRuRRuRii
333s3
11
s2
2111
s1
21
b3
--
ΔΔΔ
由上式可见 各支路电流均为各电压源的一次函数，所以 各支路电流（如 i1）均可看成各电压源单独作用时，产生的电流
（如 i1',i1",i1"'）之叠加。
当一个电源单独作用时,其余电源不作用,就意味着取零值 。
即对电压源看作短路,而对电流源看作开路 。
三个电源共同作用
=
= us1单独作用 +
us2单独作用
+
+ us3单独作用
+R1
us1
R2
us2
R3
us3
i1
i2
i3
+
–
+
–
+
–
ia ib
R1
us1
R2 R3
i1'
i2'
i3'
+
–
R1 R2
us2
R3
i1''
i2''
i3''
+
–
R1 R2 R3
us3
i1'''
i2'''
i3'''
+
–
i1=i1'+i1"+i1"'
i3=i3'+i3"+i3"'
i2=i2'+i2"+i2"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念,这个方法也可推广到多个电源的电路中去 。
对于有 b条支路,l个独立回路的仅由线性电阻和电压源构成的电路,由回路电流方程,可得回路电流的解答式为：
),2,1,(
SlSl2Sl
2
1Sl
1
l
lk
uuuui llkkkkkkk
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
由此可知任一支路电流 ij 的可表示为：
ij=gj1uS1+ gj2uS2+ + gjkuSk+ + gjbuSb (j=1,2,,b)
同样：线性电阻电路中任意两点间的电压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和 。
电源既可是电压源,也可是电流源 。
叠加定理,
在线性电路中,任一支路电流 (或电压 )都是电路中各个独立电源单独作用时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
例 1,求图中电压 u。 +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解,(1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路
4A
6?
+
–
4? u''
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路
u"= -4?2.4= -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
例 2,求电压 Us。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用：解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+2.4?4
= -10?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6?I1
4A
+
–
Us
+ –10 I1
4?
+
–
10V
6?I1'
+
–
Us'
+ –10 I1'
4?
6?I1''
4A
+
–
Us''
+ –10 I1''
4?
1V 1V
功率能否叠加？
齐性原理 （ homogeneity property):
线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,
则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
例 3.
求电流 i 。
RL=2? R1=1?
R2=1? us=51V +
–
us
R1 R1 R1
R2 R2 RL
i
+
–
+ –+ –+ –
R2+
–
2V2A5A13A
3A8A21A
3V8V21V
Us’=34V
i'=1A
解,采用倒推法：设 i'=1A，推出此时 us'=34V。
则
Aiuui uuii
s
s
s
s 5.11
34
51'
' '' 即
2.6 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的情况 。 这时,可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路 (通常为二端网络或称一端口网络 ),等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3R1
R5
R4R2 iRx
a
b
+ –
us
1,几个名词
(1) 端口 ( port )
端口指电路引出的一对端钮,其中从一个端钮 (如 a)流入的电流一定等于从另一端钮 (如 b)流出的电流 。
A
a
b
i
i
(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络 )
网络与外部电路只有一对端钮 (或一个端口 )联接。
(3) 含源 (active)与无源 (passive)一端口网络网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。
网络内部 不 含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。
2,戴维南定理,
任何一个线性含有独立电源,线性电阻和线性受控源的二端网络,对外电路来说,可以用一个电压源 (Uoc)和电阻 Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于一端口的 开路电压,
而电阻等于一端口中 全部独立电源置零后的输入电阻 。
A
a
b
i
i
a
b
Ri
Uoc
+
-
证明,
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理,将外部电路用电流源替代,此时 u,
i值不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得电流源 i为零 网络 A中独立源全部置零
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Ri
a
b
A i+–u
a
b
A +–u'
a
b
P i+
–
u''R
i
u'=Uoc (外电路开路时 a,b间开路电压 )
u"= Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
(1) 戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。
(2) 串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,
电流源开路 )后,所得无源一端口网络的等效电阻 。
等效电阻的计算方法：
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；1
2 加压求流法或加流求压法。
开路电压，短路电流法。3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏 -安 特性等效 )。
(4) 当一端口内部含有受控源时,其控制电路也必须包含在被化简的一端口中 。
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上获最大功率?
IRx
a
b
+ –10V
4?
6?
6?
4?
解,保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
Ri
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 Ri
Ri=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2A
Rx = Ri =4.8?时，其上获最大功率。
Ri
a
b
含受控源电路戴维南定理的应用求 U0 。 3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I例 2,a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V3?
6?
I+
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+– 6I
(2) 求等效电阻 Ri
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=9/6=1.5A
Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Ri
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30U
例 3.
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 Ri：加压求流法
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
Ri = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc +–
+
–
U R0.5k?Ri
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R0.5k?+
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
Ri = Uoc / Isc =10? 150=1500?
a
b
10V +–
+
–
U R0.5k?1.5k?
(3) 等效电路：
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 Ri,Ri = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 )：
另：
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 Ri
I= I0
U0 =0.5I0? 103 +I0? 103 =1500I0
Ri = U0 /I0=1500?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
R 6 Ω
3 Ω
1 0 Ω
6 Ω
3 Ω
2 0 Ω
4 A
+
3 0 V
-
+
9 V
-
+ 6 I -
1
1 '
2
2 ’
I
I
R
求电阻 R为何值时。图中所示电流 IR＝ 1A
R eq1 R R eq2
U oc1 U oc2
R=3Ω
Uoc1=8-10= -2V
Req1=3//6=2Ω
Uoc2=6+3=9V
Req2=6Ω
任何一个含独立电源,线性电阻和线性受控源的一端口,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )
的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理：
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到 。 但须指出,诺顿等效电路可独立进行证明 。
证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Gi(Ri)Isc
例,求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4?I
a
b
Gi(Ri) Is
c
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A
解：
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 Ri：串并联
Ri =10?2/(10+2)=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
Ri 2?
10?a
b
b
4?I
a
1.67? -9.6A
例 11 用诺顿定理求图 2.16(a)电路中的电流 i。
用节点电压法求图 2.23电路 R3支路的电流 I3。
已知 U1=1V,R1=1kΩ,R2=6kΩ,R3=3kΩ,β=100。
例 14 用等效电源定理重新求解例 13问题。
戴维宁等效电路和诺顿等效电路最大传输功率
5k Ω 16k Ω
20k Ω3mA
-
10V
+
R
R=？，可以从电路中获得最大功率。
20k Ω
+
4V
-
R
2
eq
2
oc2
RR
RuRip
)(?
R=Req，可以从电路中获得最大功率。
试求题图所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路求电流 I
