第 3章 动态电路分析
3.1 动态元件
3.2 电路变量初始值的计算
3.3 一阶电路的零输入响应
3.4 一阶电路的零状态响应
3.5 一阶电路的完全响应重点：初始条件的计算零输入响应零状态响应全响应三要素法求解一阶电路第 3章 动态电路分析
3.1.1 电容元件 (capacitor)
一,线性定常电容元件：任何时刻,电容元件极板上的电荷 q与电流 u 成正比 。
电路符号电容器
+ + + +
– – – –
+q
–q
C
第 3章 动态电路分析与电容有关两个变量,C,q
对于线性电容,有：
q =Cu
1,元件特性
u
qC de f?
C 称为电容器的电容电容 C 的单位,F (法 ) (Farad，法拉 )
F= C/V = A?s/V = s/?
常用?F,nF,pF等表示。
C
i
u
+
–
+
–
第 3章 动态电路分析线性电容的 q~u 特性 是过原点的直线
q
uO
C= q/u?tg
线性电容的电压、电流关系,u,i 取关联参考方向
C
i
u
+
–
+
–
或ddq d C u uiC
t d t t
t
t
t
t
t
t
tt
ξiqtq
ξi
C
u
id ξ
C
ξi
C
ξi
C
tu
t
t
0
0
0
0
0
0
d)(
d1
1d1d 1)(
)(
)(
第 3章 动态电路分析电容充放电形成电流：
(1) u>0,du/dt>0，则 i>0,q?，正向充电
(电流流向正极板 )；
(2) u>0,du/dt<0，则 i<0,q?，正向放电
(电流由正极板流出 )；
(3) u<0,du/dt<0，则 i<0,q?，反向充电
(电流流向负极板 )；
(4) u<0,du/dt>0，则 i>0,q?，反向放电
(电流由负极板流出 )；
第 3章 动态电路分析讨论,
(1) i的大小取决与 u 的变化率，与 u 的大小无关；
(微分形式 )
(2) 电容元件是一种记忆元件； (积分形式 )
(3) 当 u 为常数 (直流 )时,du/dt =0? i=0。 电容在直流电路中相当于开路,电容有隔直作用；
(4) 表达式前的正,负号与 u,i 的参考方向有关 。 当
u,i为关联方向时,i=Cdu/dt；
u,i为非关联方向时,i=–Cdu/dt 。
第 3章 动态电路分析
2,电容的储能由此可以看出，电容是无源元件，它本身不消耗能量。
从 t0到 t 电容储能的变化量：
)(2 1)(2 1)(21)(21 022022 tqCtqCtCutCuW C
t
uCuuip
d
d
吸
0)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
d
d
d
22
0)(
222
tq
C
tCu
CutCuCuξ
ξ
u
CuW
u
t
t
C
若
ξ
第 3章 动态电路分析例 图中的电容 C＝０,5F
0
2A
-2A 1≤t＜ 2s
0 t≥2 s
其波形如图所示，求电容电压 u、功率 p和储能 WC。
C
+
-
u
i
1
0 2
i
t
2
- 2
第 3章 动态电路分析在 0≤t＜ 1 s区间
C
+
-
u
i
1
0 2
i
t
2
- 2
0
1( ) (0 ) 2 4tu t u d t
c
1
1( ) ( 1 ) ( 2 ) 8 4tu t u d t
c
在 1≤t＜ 2 s区间
0 -∞＜ t＜ 0
4t(V) 0≤t＜ 1s
4(2-t) (V) 1≤t＜ 2s
0 t≥2 s
u(t)=
1
0 2
u
t
第 3章 动态电路分析
1
0 2
p
t
1
0 2
u
t
8t (W) 0≤t＜ 1 s
-8(2-t) (W) 1≤t＜ 2 s
0 (W)
p=ui
4t2 (J) 0≤t＜ 1 s
4(2-t)2 (J) 1≤t＜ 2s
0 (J)
21
2w cu?
第 3章 动态电路分析
3.1.2 电感元件 (inductor)
与电感有关两个变量,L,?
对于线性电感,有：
=Li
i
+
–
u
–
+
e
一,线性定常电感元件：任何时刻,
电感元件的磁链? 与电流 i 成正比 。
L
u+ –
电路符号1,元件特性
i
第 3章 动态电路分析线性电感的?~i 特性 是过原点的直线
iO
L=? /i?tg?
i
ψL de f?
=N? 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数电感 L 的单位,H(亨 ) (Henry，亨利 )
H=Wb/A=V?s/A=s
第 3章 动态电路分析线性电感电压、电流关系：
u,i 取关联参考方向,
L
i
u
+
–
e
+
–
根据电磁感应定律与楞次定律或
t
t
t
t
t
t
tt
ξut
ξu
L
i
ud ξ
L
ξu
L
ξu
L
ti
t
t
0
0
0
0
0
0
d)(
d1
1d1d 1)(
)(
)(
t
iL
t
ψu
d
d
d
d
第 3章 动态电路分析讨论,
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关；
(微分形式 )
(2) 电感元件是一种记忆元件； (积分形式 )
(3) 当 i 为常数 (直流 )时,di/dt =0? u=0。
电感在直流电路中相当于短路；
(4) 表达式前的正,负号与 u,i 的参考方向有关 。 当
u,i为关联方向时,u=Ldi/dt；
u,i为非关联方向时,u=–Ldi/dt 。
第 3章 动态电路分析
2,电感的储能由此可以看出，电感是无源元件，它本身不消耗能量。
从 t0 到 t 电感储能的变化量：
)(2 1)(2 1)(21)(21 022022 tψLtψLtLitLiW L
t
iLiuip
d
d
吸
0)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
d
d
d
22
0)(
222
tψ
L
tLi
LitLiLiξ
i
LiW
i
t
t
L
若
ξ
ξ
第 3章 动态电路分析电容元件与电感元件的比较：
电容 C 电感 L
变量 电流 i
磁链?
关系式电压 u
电荷 q
结论,(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-I,q-?,C-L,i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件,?,q等称为对偶元素。
* 显然,R,G也是一对对偶元素,
I=U/R? U=I/G
U=RI? I=GU
22
2
1
2
1
d
d
ψ
L
LiW
t
i
Lu
Liψ
L
22
2
1
2
1
d
d
q
C
CuW
t
u
Ci
Cuq
C
第 3章 动态电路分析
＋
u
－
i/A
t/S
10
-10 2 4 6
现已知 u(0)＝ 0V，试求 t=1s,2s,4s时电容电压
2F
)(510
2
1
5
1
)2(:4
)(5:2
)(4/55
2
1
2
1
5
11
:1
)(10:),2(),(5:]2,0(
4
2
4
2
1
0
2
1
0
1
0
Vti d t
C
uust
Vust
Vtt d t
C
i d t
C
ust
AiAti
第 3章 动态电路分析第 3章 动态电路分析电阻：
电容：
电感,?
u d t
L
i
dt
di
Lu
idt
C
u
dt
du
Ci
Riu
L
L
C
C
1
1
R
C
K
+
u
c
-
i
dt
duRCiRu
dt
duCi
C
C
C
3.2 电路变量初始值的计算第 3章 动态电路分析
R
-
u
L
+
+
u
s
-
K
i
L
RidtdiLu LLL
一阶电路：由一个电容（电感）与线性电阻、电源、受控源构成的电路线性电阻电路 R
+
u
s
-
R
第 3章 动态电路分析动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRCK
+
–
uCUs
R
C
i
+
- us
R1
R2 R3
1
1 2 3
3
21
23
2
31
23
//
s
u
i
R R R
R
ii
RR
R
ii
RR
第 3章 动态电路分析
t
E
Cu
稳态暂态旧稳态 新稳态过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
E
+
_ Cu
电路处于新稳态
R
E+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,
第 3章 动态电路分析动态电路的时域分析方法
0011
1
1
tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n?
1、根据 KVL,KCL及元件的 VCR 建立电路方程，
该方程为以时间为自变量的线性常微分方程。
2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。
第 3章 动态电路分析换路,电路状态的改变。如：
换路定则及初始值的确定
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
换路定则,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
第 3章 动态电路分析 0
0
0
0
0
1
( ) ( ) d
11
( ) d ( ) d
( 0 ) ( ) d
( 0 ) ( 0 ) ( ) d ( 0 )
t
C
t
t
C
c C C
u t i
C
ii
CC
ui
u u i u
同理：
)0()0( LL ii
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW?
LW
不能突变
Li 不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 221 CuWc?
第 3章 动态电路分析电路初始条件的确定例 1.
求 uC (0+),iC (0+).
t = 0时打开开关 S.+
10V
i
iC
uC
S
10k?
40k?
+
C
由换路定则,uC (0+) = uC (0?)=8V
V84010 4010)0(Cu
0+等效电路：
mA2.010 810)0(Ci
0)0()0( cc ii?
解：
+
10V
i (0+)
iC(0+)
8V
10k?
+
第 3章 动态电路分析例 2,t = 0时闭合开关 S.
求 uL(0+).10V S
1? 4? iL
LuL
+
–
0)0( 0)0( LL uu
iL(0+)= iL(0?)=2A
0+等效电路：
V842)0(Lu
解：
10V
1? 4?
iL(0+)uL (0+)
+
–
注意：
第 3章 动态电路分析求初始值的一般方法：
(1) 由换路前电路求 uc(0?)和 iL(0?)；
(2) 由换路定则，得 uC(0+)和 iL(0+)；
(3) 作 0+等效电路：
(4) 由 0+电路求所需的 iC(0+),uL(0+)。
电容用电压为 uC(0+)的电压源替代；
电感用电流为 iL(0+)的电流源替代。
第 3章 动态电路分析已知,K 在,1”处停留已久，在 t=0时合向,2”
求,
LC uuiii,、、,21
的初始值，即 t=(0+)时刻的值。
例 3
i
U 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
CuL
u6V
2k
第 3章 动态电路分析
mA5.1)0()0(
1
1
RR
Eii
L
V3)0()0( 11 Riu C
换路前的等效电路
U
R1+
_
R
Cu
R2
1i
i
U 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
CuL
u6V
2k
第 3章 动态电路分析
）（?0Cu
t=0 + 时的等效电路
mA5.1
)0()0()0(1
LL iii
2
2
( 0 )
( 0 )
3 m A
C
Uu
i
R
mA5.4
)0()0()0( 21
iii
11( 0 ) ( 0 ) 3 VLu U i R
)0(?Li
U
1k2k+
_
R2R1
i
1i
2i
3V1.5mA
+
-Lu
第 3章 动态电路分析第 3章 动态电路分析
3.3 一阶电路的零输入响应零输入响应 (Zero?input response )：激励 (电源 )为零，由初始储能引起的响应。
一,RC电路的零输入响应 (C对 R放电 )
uC (0?)=U0
解答形式 uC( t )=uC’=Aept (特解 uC'=0)
特征方程 RCp+1=0
RCP
1
tRC
C Aeu
1?
S(t=0)
+
–
uC RC
i
+
–
uC
t
uCi C
d
d
0dd tuRCu CC
第 3章 动态电路分析起始值 uC (0+)=uC(0?)=U0
A=U0
令? =RC,? 具有时间的量纲,称? 为时间常数,
(欧?法 =欧?库 /伏 =欧?安?秒 /伏 =秒 )
0
1
0?
t
tRCAeU
RC
t
C Uu
0 e
RC
t
C
C R
U
t
uCi e
d
d 0 I0
t
iC
O
U0
t
uC
O
)0(?t
)0(?t
p
1
第 3章 动态电路分析
00ee
tt
RC
Cu U U
t=0
t=τ
t=2τ
t=3τ
0
00
11
00
2
1 1 1
00
3
2 1 1
00
( 0) e
( ) e e ( 0) e
( 2 ) e e e ( ) e
( 3 ) e e e ( 2 ) e
......
C
CC
CC
CC
u U U
u U U u
u U U u
u U U u
t 0? 2? 3? 4? 5?
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0?t
c eUu
0
(实验测? 的方法 )
第 3章 动态电路分析
12
21
0,3 6 8uu
tt?
A
B
C
0
0
0
00
0
()
t a n 1
t
c
t
c
tt
A B u t U e
BC
du
Ue
dt
第 3章 动态电路分析从理论上讲 t时,电路才能达到稳态,单实际上一般认为 经过 3 5? 的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态,
C的能量不断释放,被 R吸收,直到全部储能消耗完毕,
能量关系,
2
0
2
0
0
0
2
2
1d)e(d CUtR
R
UtRiW RC t
R
RC
第 3章 动态电路分析例
V410442 40u0u CC )()(
Req
244R eq //
t50
RCt
CC
e4
e0utu
.
/)()(
t50
1
C e
R
tui,)(
第 3章 动态电路分析二,RL电路的零输入响应其解答形式为,i(t) = Aept
由特征方程 Lp+R=0 得由初值 i(0+)=i(0?)= I0 得 i(0+)=A= I0
0
1
S)0()0( I
RR
Uii
LL
)0(?t
)0(?t
US S
(t=0)
R1 iL
L uL
+
–
R
t
iLu L
L d
d?
0dd 0dd iLRtiRitiL LL
L
Rp
tLR
L Iti
e)(
0解答第 3章 动态电路分析
(1) iL,uL 以同一指数规律衰减到零；
(2)衰减快慢取决于 L/R。
量纲,亨 /欧 =（伏×秒） /（安 × 欧姆） =秒令? =L/R? RL电路的时间常数
35? 过渡过程结束。
)0(?t
tLR
L Iti
e)(
0
tLRL
L RIt
iLtu e
d
d)(
0
)0(?t
I0
t
iL
O
RI0
t
uL
O
Rdi
dtu
RL
di
dtu
L
dt
di
Lu
/?
第 3章 动态电路分析
iL (0+)=iL(0?)=35/0.2=175 A= I0
uV (0+)=? 875 kV !
例,
现象：电压表烧坏 !
tLR
L Ii
0 e
s801085 0 0 04.0 μ5 s
V
RR L?
L=0.4H
V RV5k?35V
S(t=0) iL
uV
+
–
R=0.2?
0)(k V e8 7 5e 0VV tIRRiu tL
Rt
L
R
L
第 3章 动态电路分析小结：
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应都是一个指数衰减函数 。
2,衰减快慢取决于时间常数?.
RC电路,? = RC,RL电路,? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数 。
4,一阶电路的零输入响应和初值成正比 。
第 3章 动态电路分析零状态响应 (Zero?state response)：储能元件初始能量为零，
在激励 (电源 )作用下产生的过渡过程。
(2) 求特解 uC'= US
1,RC电路的零状态响应
(1) 列方程：
uC (0?)=0
3.4 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,"'
CCC uuu
通解特解强制分量 (稳态分量 )
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR Sdd UutuRC CC
第 3章 动态电路分析
uC (0+)=A+US= 0? A=? US
(3) 求齐次方程通解 uC,自由分量 (暂态分量 )
(4) 求全解
(5) 定常数
)0( )e1(e SS tUUUu RC
t
SRC
t
C
US
US
uC'
uC"
0dd ''
''
CC utuRC RC
tAu
C
e''
RC
t
CCC AUuuu
e
S
'''
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
uc
tO
第 3章 动态电路分析
t
i
R
US
O
能量关系,
电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，
一部分储存在电容中，且 WC=WR
tRRUtRtpW
ti
RR d)(dd
22 e
0
2
S
0 0
CWCUCUR
U
tt
2
S
2
S
2
S
2
1
02
1
0)( ||
22
ee
充电效率为 50%
RC
t
C
R
U
t
uCi e
d
d S
US
R
C
第 3章 动态电路分析
t= 0时闭合开关 S.
求 uc,i1的零状态响应。
u i
C
C
C u
t
uCu
d
d
Ci
uiu
1
2
1
2 1
64dd4 CC utu
1044 pp
V5.14/6 "Cu
tc Aeu '
tC Au e5.1
0)(V e5.15.1 tu tC
i1
2i1
+
+
2V
+
1?
1?
1?
0.8F uC
S
uC (V)
t
1.5
O
例,
解法 1:
第 3章 动态电路分析解法 2,戴维南等效,
s 18.0)25.01( RC?
V 5.1"?Cu
0)(V e5.15.1 tu tC
0)( Ae3.05.0
1
)
d
d(2
1
t
u
t
uC
i t
C
C )0()0(
11 ii
i1
2i1
+
+
2V
+
1?
1?
1?
0.8F uC
S
+
1.5V
+
0.25? 1?
0.8F uC
S
第 3章 动态电路分析
2,RL电路的零状态响应
iL(0?)=0
)( tL
R
L 1R
Ui eS
tLR
SL eUu
Sd
d URi
t
iL
L
L
US L
S (t=0)
+
–
uL
R
+ –uR
iL
第 3章 动态电路分析
3.3 一阶电路的全响应全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。
一、一阶电路的全响应及其两种分解方式
1,全解 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
Sd
d Uu
t
uRC
C
C
uC'= US
以 RC电路 为例解答为 uC(t)=uC' + uC"
非齐次方程
uC"=Aept
=RC
uC (0+)= US +A =U0?A=U0? US
(t>0)
强制分量 自由分量
t
SSC UUUu
e)(
0
t
C AUu
S e
uC (0
)=U0
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR
第 3章 动态电路分析强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
)0()( 0 teUUUu tSSC?
uC"
U0? US
uC'US
U0 uC
t
uC
o
第 3章 动态电路分析
2,全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
= +
uC 1(0-)=0 uC2 (0-)=U0uC (0?)=U0
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR
S(t=0)
+
–uC1US
R
C
i1
+ –uR1
S(t=0)
+
–
uC2
R
C
i2
+ –uR2
第 3章 动态电路分析全响应小结,
1,全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质 ;
2,零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加,因此只适用于线性电路；
3,零输入响应与零状态响应均满足齐性原理,但全响应不满足 。
第 3章 动态电路分析二、用三要素法分析一阶电路
t
efftftf )]0()0([)()( SS
时间常数起始值稳态解三要素
)0(
)(S
f
tf
一阶电路的数学描述是一阶微分方程,其解的一般形式为
tAetftftftf )()()()(
StS
令 t = 0+ Aff )0()0( S则
)0()0( S ffA
)( )]()0([)()( 直流激励?
t
effftf
第 3章 动态电路分析例 1.
V2)0()0( CC uu
V667.0112 2)(Cu
s2332 CR 等?
)0(V33.1667.0
)667.02(667.0
5.0
5.0
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关 S。
求 换路后的 uC(t) 。
解
t
uC (V)
2
0.667
0
1A 2? 1?3F +uC?
S
第 3章 动态电路分析例 2,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1,t =0.2s时合 S2。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
t > 0.2s
A2)(
s2.00)0( 1
i
i?
A5)(
s 5.0
A26.1)2.0(
2
i
i
A26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
解
i
10V 1H
S1(t=0)
S2
(t=0.2s)3?
2?
求换路后的电感电流 i(t)。
i
t (s)0.2
5
(A)
1.262
0
第 3章 动态电路分析例 3,已知,u(t)如图示,iL(0)= 0 。求,iL(t),并 画波形,
解
0 < t? 1 iL(0+)=0
t < 0 iL(t)=0
iL(?)=1A
iL(t) = 1?e?t / 6 A
=5/ (1//5)=6 s
u(t)
1
2
1 20 t (s)
(V)
+
u(t)
1?
5? 5H
iL
方法一：用分段函数表示
+
1V
1?
5? 5H
iL
第 3章 动态电路分析
1 < t? 2 iL(1+)= iL(1-)= 1?e?1/ 6 =0.154 A
iL( )=0
iL(t) = 2 +[0.154?2] e? ( t? 1 )/ 6 = 2?1.846 e? ( t? 1 )/ 6 A
t > 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A
iL(?)=2A
iL(t) = 0.437 e? ( t? 2 )/ 6 A
=6 s
=6 s
+
2V
1?
5? 5H
iL
1?
5? 5H
iL
t
t
t
t
ti
t
t
t
L
2 Ae4 3 7.0
21 Ae8 4 6.12
10 Ae1
0 0
)(
6/)2(
6/)1(
6/
第 3章 动态电路分析
0
0.154
0.437
1 2 t (s)
iL(t) (A)
3.1 动态元件
3.2 电路变量初始值的计算
3.3 一阶电路的零输入响应
3.4 一阶电路的零状态响应
3.5 一阶电路的完全响应重点：初始条件的计算零输入响应零状态响应全响应三要素法求解一阶电路第 3章 动态电路分析
3.1.1 电容元件 (capacitor)
一,线性定常电容元件：任何时刻,电容元件极板上的电荷 q与电流 u 成正比 。
电路符号电容器
+ + + +
– – – –
+q
–q
C
第 3章 动态电路分析与电容有关两个变量,C,q
对于线性电容,有：
q =Cu
1,元件特性
u
qC de f?
C 称为电容器的电容电容 C 的单位,F (法 ) (Farad，法拉 )
F= C/V = A?s/V = s/?
常用?F,nF,pF等表示。
C
i
u
+
–
+
–
第 3章 动态电路分析线性电容的 q~u 特性 是过原点的直线
q
uO
C= q/u?tg
线性电容的电压、电流关系,u,i 取关联参考方向
C
i
u
+
–
+
–
或ddq d C u uiC
t d t t
t
t
t
t
t
t
tt
ξiqtq
ξi
C
u
id ξ
C
ξi
C
ξi
C
tu
t
t
0
0
0
0
0
0
d)(
d1
1d1d 1)(
)(
)(
第 3章 动态电路分析电容充放电形成电流：
(1) u>0,du/dt>0，则 i>0,q?，正向充电
(电流流向正极板 )；
(2) u>0,du/dt<0，则 i<0,q?，正向放电
(电流由正极板流出 )；
(3) u<0,du/dt<0，则 i<0,q?，反向充电
(电流流向负极板 )；
(4) u<0,du/dt>0，则 i>0,q?，反向放电
(电流由负极板流出 )；
第 3章 动态电路分析讨论,
(1) i的大小取决与 u 的变化率，与 u 的大小无关；
(微分形式 )
(2) 电容元件是一种记忆元件； (积分形式 )
(3) 当 u 为常数 (直流 )时,du/dt =0? i=0。 电容在直流电路中相当于开路,电容有隔直作用；
(4) 表达式前的正,负号与 u,i 的参考方向有关 。 当
u,i为关联方向时,i=Cdu/dt；
u,i为非关联方向时,i=–Cdu/dt 。
第 3章 动态电路分析
2,电容的储能由此可以看出，电容是无源元件，它本身不消耗能量。
从 t0到 t 电容储能的变化量：
)(2 1)(2 1)(21)(21 022022 tqCtqCtCutCuW C
t
uCuuip
d
d
吸
0)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
d
d
d
22
0)(
222
tq
C
tCu
CutCuCuξ
ξ
u
CuW
u
t
t
C
若
ξ
第 3章 动态电路分析例 图中的电容 C＝０,5F
0
2A
-2A 1≤t＜ 2s
0 t≥2 s
其波形如图所示，求电容电压 u、功率 p和储能 WC。
C
+
-
u
i
1
0 2
i
t
2
- 2
第 3章 动态电路分析在 0≤t＜ 1 s区间
C
+
-
u
i
1
0 2
i
t
2
- 2
0
1( ) (0 ) 2 4tu t u d t
c
1
1( ) ( 1 ) ( 2 ) 8 4tu t u d t
c
在 1≤t＜ 2 s区间
0 -∞＜ t＜ 0
4t(V) 0≤t＜ 1s
4(2-t) (V) 1≤t＜ 2s
0 t≥2 s
u(t)=
1
0 2
u
t
第 3章 动态电路分析
1
0 2
p
t
1
0 2
u
t
8t (W) 0≤t＜ 1 s
-8(2-t) (W) 1≤t＜ 2 s
0 (W)
p=ui
4t2 (J) 0≤t＜ 1 s
4(2-t)2 (J) 1≤t＜ 2s
0 (J)
21
2w cu?
第 3章 动态电路分析
3.1.2 电感元件 (inductor)
与电感有关两个变量,L,?
对于线性电感,有：
=Li
i
+
–
u
–
+
e
一,线性定常电感元件：任何时刻,
电感元件的磁链? 与电流 i 成正比 。
L
u+ –
电路符号1,元件特性
i
第 3章 动态电路分析线性电感的?~i 特性 是过原点的直线
iO
L=? /i?tg?
i
ψL de f?
=N? 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数电感 L 的单位,H(亨 ) (Henry，亨利 )
H=Wb/A=V?s/A=s
第 3章 动态电路分析线性电感电压、电流关系：
u,i 取关联参考方向,
L
i
u
+
–
e
+
–
根据电磁感应定律与楞次定律或
t
t
t
t
t
t
tt
ξut
ξu
L
i
ud ξ
L
ξu
L
ξu
L
ti
t
t
0
0
0
0
0
0
d)(
d1
1d1d 1)(
)(
)(
t
iL
t
ψu
d
d
d
d
第 3章 动态电路分析讨论,
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关；
(微分形式 )
(2) 电感元件是一种记忆元件； (积分形式 )
(3) 当 i 为常数 (直流 )时,di/dt =0? u=0。
电感在直流电路中相当于短路；
(4) 表达式前的正,负号与 u,i 的参考方向有关 。 当
u,i为关联方向时,u=Ldi/dt；
u,i为非关联方向时,u=–Ldi/dt 。
第 3章 动态电路分析
2,电感的储能由此可以看出，电感是无源元件，它本身不消耗能量。
从 t0 到 t 电感储能的变化量：
)(2 1)(2 1)(21)(21 022022 tψLtψLtLitLiW L
t
iLiuip
d
d
吸
0)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
d
d
d
22
0)(
222
tψ
L
tLi
LitLiLiξ
i
LiW
i
t
t
L
若
ξ
ξ
第 3章 动态电路分析电容元件与电感元件的比较：
电容 C 电感 L
变量 电流 i
磁链?
关系式电压 u
电荷 q
结论,(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-I,q-?,C-L,i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件,?,q等称为对偶元素。
* 显然,R,G也是一对对偶元素,
I=U/R? U=I/G
U=RI? I=GU
22
2
1
2
1
d
d
ψ
L
LiW
t
i
Lu
Liψ
L
22
2
1
2
1
d
d
q
C
CuW
t
u
Ci
Cuq
C
第 3章 动态电路分析
＋
u
－
i/A
t/S
10
-10 2 4 6
现已知 u(0)＝ 0V，试求 t=1s,2s,4s时电容电压
2F
)(510
2
1
5
1
)2(:4
)(5:2
)(4/55
2
1
2
1
5
11
:1
)(10:),2(),(5:]2,0(
4
2
4
2
1
0
2
1
0
1
0
Vti d t
C
uust
Vust
Vtt d t
C
i d t
C
ust
AiAti
第 3章 动态电路分析第 3章 动态电路分析电阻：
电容：
电感,?
u d t
L
i
dt
di
Lu
idt
C
u
dt
du
Ci
Riu
L
L
C
C
1
1
R
C
K
+
u
c
-
i
dt
duRCiRu
dt
duCi
C
C
C
3.2 电路变量初始值的计算第 3章 动态电路分析
R
-
u
L
+
+
u
s
-
K
i
L
RidtdiLu LLL
一阶电路：由一个电容（电感）与线性电阻、电源、受控源构成的电路线性电阻电路 R
+
u
s
-
R
第 3章 动态电路分析动态电路与电阻电路的比较：
动态电路换路后产生过渡过程,描述电路的方程为微分方程。
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。
SC
C Uu
dt
duRCK
+
–
uCUs
R
C
i
+
- us
R1
R2 R3
1
1 2 3
3
21
23
2
31
23
//
s
u
i
R R R
R
ii
RR
R
ii
RR
第 3章 动态电路分析
t
E
Cu
稳态暂态旧稳态 新稳态过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
E
+
_ Cu
电路处于新稳态
R
E+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,
第 3章 动态电路分析动态电路的时域分析方法
0011
1
1
tuiadt
dia
dt
ida
dt
ida
n
n
nn
n
n?
1、根据 KVL,KCL及元件的 VCR 建立电路方程，
该方程为以时间为自变量的线性常微分方程。
2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。
第 3章 动态电路分析换路,电路状态的改变。如：
换路定则及初始值的确定
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
换路定则,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
第 3章 动态电路分析 0
0
0
0
0
1
( ) ( ) d
11
( ) d ( ) d
( 0 ) ( ) d
( 0 ) ( 0 ) ( ) d ( 0 )
t
C
t
t
C
c C C
u t i
C
ii
CC
ui
u u i u
同理：
)0()0( LL ii
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW?
LW
不能突变
Li 不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 221 CuWc?
第 3章 动态电路分析电路初始条件的确定例 1.
求 uC (0+),iC (0+).
t = 0时打开开关 S.+
10V
i
iC
uC
S
10k?
40k?
+
C
由换路定则,uC (0+) = uC (0?)=8V
V84010 4010)0(Cu
0+等效电路：
mA2.010 810)0(Ci
0)0()0( cc ii?
解：
+
10V
i (0+)
iC(0+)
8V
10k?
+
第 3章 动态电路分析例 2,t = 0时闭合开关 S.
求 uL(0+).10V S
1? 4? iL
LuL
+
–
0)0( 0)0( LL uu
iL(0+)= iL(0?)=2A
0+等效电路：
V842)0(Lu
解：
10V
1? 4?
iL(0+)uL (0+)
+
–
注意：
第 3章 动态电路分析求初始值的一般方法：
(1) 由换路前电路求 uc(0?)和 iL(0?)；
(2) 由换路定则，得 uC(0+)和 iL(0+)；
(3) 作 0+等效电路：
(4) 由 0+电路求所需的 iC(0+),uL(0+)。
电容用电压为 uC(0+)的电压源替代；
电感用电流为 iL(0+)的电流源替代。
第 3章 动态电路分析已知,K 在,1”处停留已久，在 t=0时合向,2”
求,
LC uuiii,、、,21
的初始值，即 t=(0+)时刻的值。
例 3
i
U 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
CuL
u6V
2k
第 3章 动态电路分析
mA5.1)0()0(
1
1
RR
Eii
L
V3)0()0( 11 Riu C
换路前的等效电路
U
R1+
_
R
Cu
R2
1i
i
U 1k2k
+
_
RK
1
2
R2R1
1i
2i
CuL
u6V
2k
第 3章 动态电路分析
）（?0Cu
t=0 + 时的等效电路
mA5.1
)0()0()0(1
LL iii
2
2
( 0 )
( 0 )
3 m A
C
Uu
i
R
mA5.4
)0()0()0( 21
iii
11( 0 ) ( 0 ) 3 VLu U i R
)0(?Li
U
1k2k+
_
R2R1
i
1i
2i
3V1.5mA
+
-Lu
第 3章 动态电路分析第 3章 动态电路分析
3.3 一阶电路的零输入响应零输入响应 (Zero?input response )：激励 (电源 )为零，由初始储能引起的响应。
一,RC电路的零输入响应 (C对 R放电 )
uC (0?)=U0
解答形式 uC( t )=uC’=Aept (特解 uC'=0)
特征方程 RCp+1=0
RCP
1
tRC
C Aeu
1?
S(t=0)
+
–
uC RC
i
+
–
uC
t
uCi C
d
d
0dd tuRCu CC
第 3章 动态电路分析起始值 uC (0+)=uC(0?)=U0
A=U0
令? =RC,? 具有时间的量纲,称? 为时间常数,
(欧?法 =欧?库 /伏 =欧?安?秒 /伏 =秒 )
0
1
0?
t
tRCAeU
RC
t
C Uu
0 e
RC
t
C
C R
U
t
uCi e
d
d 0 I0
t
iC
O
U0
t
uC
O
)0(?t
)0(?t
p
1
第 3章 动态电路分析
00ee
tt
RC
Cu U U
t=0
t=τ
t=2τ
t=3τ
0
00
11
00
2
1 1 1
00
3
2 1 1
00
( 0) e
( ) e e ( 0) e
( 2 ) e e e ( ) e
( 3 ) e e e ( 2 ) e
......
C
CC
CC
CC
u U U
u U U u
u U U u
u U U u
t 0? 2? 3? 4? 5?
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0?t
c eUu
0
(实验测? 的方法 )
第 3章 动态电路分析
12
21
0,3 6 8uu
tt?
A
B
C
0
0
0
00
0
()
t a n 1
t
c
t
c
tt
A B u t U e
BC
du
Ue
dt
第 3章 动态电路分析从理论上讲 t时,电路才能达到稳态,单实际上一般认为 经过 3 5? 的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态,
C的能量不断释放,被 R吸收,直到全部储能消耗完毕,
能量关系,
2
0
2
0
0
0
2
2
1d)e(d CUtR
R
UtRiW RC t
R
RC
第 3章 动态电路分析例
V410442 40u0u CC )()(
Req
244R eq //
t50
RCt
CC
e4
e0utu
.
/)()(
t50
1
C e
R
tui,)(
第 3章 动态电路分析二,RL电路的零输入响应其解答形式为,i(t) = Aept
由特征方程 Lp+R=0 得由初值 i(0+)=i(0?)= I0 得 i(0+)=A= I0
0
1
S)0()0( I
RR
Uii
LL
)0(?t
)0(?t
US S
(t=0)
R1 iL
L uL
+
–
R
t
iLu L
L d
d?
0dd 0dd iLRtiRitiL LL
L
Rp
tLR
L Iti
e)(
0解答第 3章 动态电路分析
(1) iL,uL 以同一指数规律衰减到零；
(2)衰减快慢取决于 L/R。
量纲,亨 /欧 =（伏×秒） /（安 × 欧姆） =秒令? =L/R? RL电路的时间常数
35? 过渡过程结束。
)0(?t
tLR
L Iti
e)(
0
tLRL
L RIt
iLtu e
d
d)(
0
)0(?t
I0
t
iL
O
RI0
t
uL
O
Rdi
dtu
RL
di
dtu
L
dt
di
Lu
/?
第 3章 动态电路分析
iL (0+)=iL(0?)=35/0.2=175 A= I0
uV (0+)=? 875 kV !
例,
现象：电压表烧坏 !
tLR
L Ii
0 e
s801085 0 0 04.0 μ5 s
V
RR L?
L=0.4H
V RV5k?35V
S(t=0) iL
uV
+
–
R=0.2?
0)(k V e8 7 5e 0VV tIRRiu tL
Rt
L
R
L
第 3章 动态电路分析小结：
1,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应都是一个指数衰减函数 。
2,衰减快慢取决于时间常数?.
RC电路,? = RC,RL电路,? = L/R
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数 。
4,一阶电路的零输入响应和初值成正比 。
第 3章 动态电路分析零状态响应 (Zero?state response)：储能元件初始能量为零，
在激励 (电源 )作用下产生的过渡过程。
(2) 求特解 uC'= US
1,RC电路的零状态响应
(1) 列方程：
uC (0?)=0
3.4 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,"'
CCC uuu
通解特解强制分量 (稳态分量 )
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR Sdd UutuRC CC
第 3章 动态电路分析
uC (0+)=A+US= 0? A=? US
(3) 求齐次方程通解 uC,自由分量 (暂态分量 )
(4) 求全解
(5) 定常数
)0( )e1(e SS tUUUu RC
t
SRC
t
C
US
US
uC'
uC"
0dd ''
''
CC utuRC RC
tAu
C
e''
RC
t
CCC AUuuu
e
S
'''
强制分量 (稳态 ) 自由分量 (暂态 )
uc
tO
第 3章 动态电路分析
t
i
R
US
O
能量关系,
电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，
一部分储存在电容中，且 WC=WR
tRRUtRtpW
ti
RR d)(dd
22 e
0
2
S
0 0
CWCUCUR
U
tt
2
S
2
S
2
S
2
1
02
1
0)( ||
22
ee
充电效率为 50%
RC
t
C
R
U
t
uCi e
d
d S
US
R
C
第 3章 动态电路分析
t= 0时闭合开关 S.
求 uc,i1的零状态响应。
u i
C
C
C u
t
uCu
d
d
Ci
uiu
1
2
1
2 1
64dd4 CC utu
1044 pp
V5.14/6 "Cu
tc Aeu '
tC Au e5.1
0)(V e5.15.1 tu tC
i1
2i1
+
+
2V
+
1?
1?
1?
0.8F uC
S
uC (V)
t
1.5
O
例,
解法 1:
第 3章 动态电路分析解法 2,戴维南等效,
s 18.0)25.01( RC?
V 5.1"?Cu
0)(V e5.15.1 tu tC
0)( Ae3.05.0
1
)
d
d(2
1
t
u
t
uC
i t
C
C )0()0(
11 ii
i1
2i1
+
+
2V
+
1?
1?
1?
0.8F uC
S
+
1.5V
+
0.25? 1?
0.8F uC
S
第 3章 动态电路分析
2,RL电路的零状态响应
iL(0?)=0
)( tL
R
L 1R
Ui eS
tLR
SL eUu
Sd
d URi
t
iL
L
L
US L
S (t=0)
+
–
uL
R
+ –uR
iL
第 3章 动态电路分析
3.3 一阶电路的全响应全响应,非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。
一、一阶电路的全响应及其两种分解方式
1,全解 = 强制分量 (稳态解 )+自由分量 (暂态解 )
Sd
d Uu
t
uRC
C
C
uC'= US
以 RC电路 为例解答为 uC(t)=uC' + uC"
非齐次方程
uC"=Aept
=RC
uC (0+)= US +A =U0?A=U0? US
(t>0)
强制分量 自由分量
t
SSC UUUu
e)(
0
t
C AUu
S e
uC (0
)=U0
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR
第 3章 动态电路分析强制分量 (稳态解 ) 自由分量 (暂态解 )
)0()( 0 teUUUu tSSC?
uC"
U0? US
uC'US
U0 uC
t
uC
o
第 3章 动态电路分析
2,全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
= +
uC 1(0-)=0 uC2 (0-)=U0uC (0?)=U0
S(t=0)
+
–
uCUS
R
C
i
+ –uR
S(t=0)
+
–uC1US
R
C
i1
+ –uR1
S(t=0)
+
–
uC2
R
C
i2
+ –uR2
第 3章 动态电路分析全响应小结,
1,全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质 ;
2,零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加,因此只适用于线性电路；
3,零输入响应与零状态响应均满足齐性原理,但全响应不满足 。
第 3章 动态电路分析二、用三要素法分析一阶电路
t
efftftf )]0()0([)()( SS
时间常数起始值稳态解三要素
)0(
)(S
f
tf
一阶电路的数学描述是一阶微分方程,其解的一般形式为
tAetftftftf )()()()(
StS
令 t = 0+ Aff )0()0( S则
)0()0( S ffA
)( )]()0([)()( 直流激励?
t
effftf
第 3章 动态电路分析例 1.
V2)0()0( CC uu
V667.0112 2)(Cu
s2332 CR 等?
)0(V33.1667.0
)667.02(667.0
5.0
5.0
te
eu
t
t
C
已知,t=0时合开关 S。
求 换路后的 uC(t) 。
解
t
uC (V)
2
0.667
0
1A 2? 1?3F +uC?
S
第 3章 动态电路分析例 2,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1,t =0.2s时合 S2。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
t > 0.2s
A2)(
s2.00)0( 1
i
i?
A5)(
s 5.0
A26.1)2.0(
2
i
i
A26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
解
i
10V 1H
S1(t=0)
S2
(t=0.2s)3?
2?
求换路后的电感电流 i(t)。
i
t (s)0.2
5
(A)
1.262
0
第 3章 动态电路分析例 3,已知,u(t)如图示,iL(0)= 0 。求,iL(t),并 画波形,
解
0 < t? 1 iL(0+)=0
t < 0 iL(t)=0
iL(?)=1A
iL(t) = 1?e?t / 6 A
=5/ (1//5)=6 s
u(t)
1
2
1 20 t (s)
(V)
+
u(t)
1?
5? 5H
iL
方法一：用分段函数表示
+
1V
1?
5? 5H
iL
第 3章 动态电路分析
1 < t? 2 iL(1+)= iL(1-)= 1?e?1/ 6 =0.154 A
iL( )=0
iL(t) = 2 +[0.154?2] e? ( t? 1 )/ 6 = 2?1.846 e? ( t? 1 )/ 6 A
t > 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A
iL(?)=2A
iL(t) = 0.437 e? ( t? 2 )/ 6 A
=6 s
=6 s
+
2V
1?
5? 5H
iL
1?
5? 5H
iL
t
t
t
t
ti
t
t
t
L
2 Ae4 3 7.0
21 Ae8 4 6.12
10 Ae1
0 0
)(
6/)2(
6/)1(
6/
第 3章 动态电路分析
0
0.154
0.437
1 2 t (s)
iL(t) (A)
