基本概念按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
① 大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示 U,I,
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t),i(t)
tO
i(t)
tt0
i(t0)
O
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流 (电压 )称为周期电流 (电压 )
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz
中频 400-2000Hz
高频电路
④ 交变电流,在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交变电流 。 即
t
i
T
t
i
O
T ttiT 0 0d)(1
8,1 正弦量的基本概念一,正弦量的三要素在选定的参考方向下，可以用数学式表达 瞬时值 电流 i(t)：
i(t)=Imsin(w t+y)
Im,w,y 这 3个量一确定,正弦量就完全确定了 。
所以,称这 3个量为正弦量的三要素：
i
+ _u
波形,
t
i
Oy/w
T
(1) 幅值 (amplitude) (振幅,最大值 )Im,反映正弦量变化幅度的大小 。
(2) 角频率 (angular frequency)w,反映正弦量变化快慢 。
C=d(wt+? )/dt为相角随时间变化的速度 。
正弦量的 三要素,
相关量：频率 f (frequency)和周期 T (period)。
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
f =1/T
单位,w,rad?s-1,弧度?秒 -1
f,Hz，赫 (兹 )
T,s，秒
(3) 初相位 (initial phase angle)y,反映了正弦量的计时起点。
(w t+y )表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角 。
它的大小决定该时刻正弦量的值 。 当 t=0时,相位角
(w t+y )=y,故称 y 为初相位角,简称初相位 。 同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
t
i
O
y =0y =?/2y =-?/2
一般规定,|? |。
二,相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i)
则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0,u 领先 (超前 )ij 角,或 i 落后 (滞后 ) u j 角 (u 比 i 先到达最大值 )；
j <0,i 领先 (超前 ) u?j?角，或 u 落后 (滞后 ) i?j? 角 (i 比 u
先到达最大值 )。
从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看 。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
j =0,同相：
j =? (180o ),反相：
规定,|y | (180° )。
特例：
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
iO
j =?/2,u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
三、有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来量。
电流有效值 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
物理意义,周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内吸收的电能,等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内吸收的电能,则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
有效值也称均方根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
1,有效值 (effective value)定义
T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
T tRtitW 0 2 d)()(
T tRtiRTI 0 22 d)(
T ttiTI 0 2 d)(1
T ttuTU 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imsin(w t+? )
tΨtωITI T d) (s i n1 0 22m
TtΨtωtΨtω TT 21d2 ) (2c o s1d) (s i n 00 2
II
I
IT
I
T
I
2
707.0
22
1
m
m
m2
m
) s i n (2) s i n ()( m ΨtωIΨtωIti
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2 21 mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
复数复习
1,复数 A表示形式：
) 1(j 为虚数单位
一个复数 A可以在复平面上表示为从原点到 A的向量,
此时 a可看作与实轴同方向的向量,b可看作与虚轴同方向的向量 。 由平行四边形法则 。 则 a+jb即表示从原点到 A
的向量,其摸为 |A|,幅角为?。 所以复数 A又可表示为
A=|A|ej? =|A|?
Ab
Re
Im
aO
A=a+jb
Ab
Re
Im
aO
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A|?
直角坐标表示极坐标表示
a
b
θ
baA
a rct a g
|| 22
或
θA b
θ|A|a
s i n||
c o s
2,复数运算则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2
A1
A2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算 ——极坐标若 A1=|A1|? 1,若 A2=|A2|? 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2|? 1 2
21
1)j(1
2j
j
1
2
111
|2|
||e
|2|
||
e|2|
e||
|2|
||
2
21
1
θθAAAAAAθA θAAA θθθ
θ
乘法：模相乘，角相加；
除法：模相除，角相减。
例 1,5?47? + 10?25?= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567 = 12.48?-2.61?
例 2,
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0
16.707 2 8.62.1 2 6j2.1 8 0
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
2.1 2 6j2.1 8 0
5j20
j 6 )(4 j 9 )( 1 7
35 2 2 0
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度?,而模不变 。 故把 ej? 称为旋转因子 。
ej?/2=j,e-j?/2= -j,ej?=–1 故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
4.2 正弦量的相量表示两个正弦量 i1 i2 i
1+i2?i3
w w w
Im1 Im2 Im3
1?2?3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和最大值 (或有效值 )就行了 。 于是想到复数,
复数向量也是一个大小,一个幅角,因此,我们可以把正弦量与复数对应起来,以复数计算来代替正弦量的计算,
使计算变得较简单 。
1,正弦量的相量表示造一个复函数
) s i n (2j) c o s (2
e2)( )j(
ΨtωIΨtωI
ItA Ψtω
没有物理意义若对 A(t)取虚部：
是一个正弦量，有物理意义。 ) s i n (2)](I m [ ΨωttA
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：
) j(2)( ) s i n (2 ΨtωIetAΨtωIi
A(t)包含了三要素,Im,?,w,复常数包含了 Im,?。
A(t)还可以写成 tωtω eIItA ψ j j 2ee2)( j
复常数加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正弦量的联系 ),同时也改用,相量,,而不用,向量,,
是因为它表示的不是一般意义的向量,而是表示一个正弦量 。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
IItωIti?) s i n (2)(
θUUθtωUtu)s i n (2)(
不同频率的相量不能画在一张向量图上 。
) s i n (2)( ΨIIΨtωIti
) s i n (2)( θUUθtωUtu
U
I
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的 几何意义,
ejw t 为一模为 1、幅角为 w t 的相量。随 t的增加，模不变，
而幅角与 t成正比，可视其为一旋转相量，当 t从 0~T时，
相量旋转一周回到初始位置,w t 从 0~2?。
,
,22ee2e2 ) j(jjj
的旋转相量为初始角度是模为
Ψ
IIeII ΨtωtωΨtω?
o
t=0
w
tw
/ui
1?
j?
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
解,
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)15314s i n (25 ti
V60220
A30100
o
o
U
I
)V6014t3 1 1,1 s i n ( 3
A)30314s i n (4.141
o
o
u
ti
,5 0H z A,1550 fI?已知
2,相量运算
(1) 同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
i1? i2 = i3
321 III
a? b = c
lga + lgb=lgc
这实际上是一种变换思想
)2I m () s i n ()(
)2I m () s i n ()(
j
22m22
j
11m11
tω
tω
eUΨtωUtu
eUΨtωUtu
21
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
))(2I m ()22I m (
)2I m ()2I m ()()(
UUU
eUUeUeU
eUeUtutu
tωtωtω
tωtω
例．
V 1.535
V 3,V 03
V )1.533 1 4s i n (25)()()(
V )903 1 4s i n (24)(
V 3 1 4s i n23)(
o
21
2
o
1
o
21
o
2
1
UUU
UU
ttututu
ttu
ttu
同频正弦量的加,减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用于定性分析 。
222222
111111
)s i n (2
)s i n (2
ψIIψtωIi
ψIIψtωIi
y1
2?I
y2
1?I
2 1II
Re
Im
2I 2
1II
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想,由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络,以时间为自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数,变换,为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
2,正弦量的微分，积分运算
Uωu d tIωdtdi
U uIi
j
1 j
]e ) (j2I m [
)]e2(
d
dI m [
]e2I m [
d
d
d
d
j
j
j
ω t
ω t
ω t
Iω
I
t
I
tt
i
]e
j
2I m [
]e
2
I m [
)s i n (
2
)co s (2
d)s i n (2d
j
)2/ j(
2
tω
tω
ω
U
ω
U
ψt
ω
U
ψt
ω
U
tψtUtu
πψ
π
w
w
w
证明,
3,相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例
)()()(
)s i n ()( m
dt
tdiLtRitu
ψtωUtu u
一阶常系数线性微分方程自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imsin(w t+y i)
)s i n ()()(
)co s ()s i n ()s i n (
2
m
2
m
mmm
θψtωLIωRI
ψtωLIωψtωRIψtωU
i
iiu
Ri(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
2
m
2
mm )()( LωR
UILIωRIU
2?
w t+?u=w t+? i+?
i=?u-?
=tg-1(w L/R)
用相量法求：
)tgs i n (2 1
222 R
LωΨtω
LωR
Ui
u
t
tiLtRitu
d
)(d)()(
R
Lω
LR
ΨU
LωR
U
I
ILωIRU
u
1222
tgω
j
j
)tgs i n (2 1
222 R
LωΨtω
LωR
Ui
u
22 )( LωR?
R
w L
小结
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解,即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图电阻,电感和电容元件的正弦电压电流及相量关系一,电阻时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIIRU
ΨII
相量模型
)s i n (2)( iΨtωIti已知
)s i n (2)()( iR ΨtωRItRitu则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系,UR=RI
相位关系,?u=?i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
I
功率：
)] (2c o s1[
) (s i n
i
i
2
mm
ΨtωIU
ΨtωIU
iup
R
R
RR
波形图及相量图：
w t
i
O
uR
pR
RU?
I?
u=?i
二,电感 时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
- 相量形式：
LLL
iLLL
i
UBU
ω L
I
ΨIXIXIω LU
ΨII
j
j
1
2
jj
或
π
)s i n (2)( iψtωIti已知
)
2
s i n (2
)co s (2
d
)(d
)(
π
i
iL
ΨtωLIω
ΨtωLIω
t
ti
Ltu则相量模型有效值关系,U=w LI
相位关系,?u=?i +90°
(u 超前 i 90° )
jw L
+
-LU
I
LU?
I?
i
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 频率和感抗成正比,w?0 直流（ XL=0),w开路；
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压,。
w
XL
I
ULω
i
uLω j写法注意,
XL=w L,称为感抗,单位为?(欧姆 )
BL=-1/wL,感纳,单位为 S (同电导 )
功率：
)(2s i n
)c o s ()s i n ( m
iL
iimL
LL
ΨtωIU
ΨtωΨtωIU
iup
波形图：
w t
i
O
uL pL
三,电容 时域形式：
相量形式：
CCC
uCCC
i
IXI
Cω
U
ΨIBIBUCωI
ΨUU
j
j
1
2
jj
或
π
)s i n (2)( uΨtωUtu已知
)
2
s i n (2
)co s (2
d
)(d
)(
π
u
uC
ΨtωCUω
ΨtωCUω
t
tu
Cti则相量模型有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
(i 超前 u 90° )
U?
CI?
u
iC(t)
u(t) C
+
-
U
CI
+
- ωCj
1
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w?0,|XC| 直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
功率：
)(2s i n
)c o s ()s i n ( mm
uC
uuC
CC
Ψω tUI
Ψω tΨω tIU
uip
波形图：
w t
iC
O
u
pC
基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
1,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足 KVL。
二、电路的相量模型 (phasor model )
列微分方程求非齐次方程特解列、解代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域模型 相量模型
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
C
IL
III
w
w
w
j
1
j
1
j
S
阻抗和导纳一．阻抗定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为 Z，
UZ
I
g
g
u
i
UUZ
II
y
y
（复数）阻抗 Ω
z jZ R Xy
Z u ij y y
阻抗 Z的阻抗角
zc o s ( )RZ j
阻抗 Z的电阻分量
zs i n ( )XZ j
阻抗 Z的电抗分量导纳
1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为 Y，即
i
u
1 IIY
ZUU
y
y
Y
jY G By
IY
U?
Y i u Zj y y j
Yc o s ( s )GY j?
Ys i n ( s )BY j?
—导纳 Y的模（ S）
—导纳 Y的导纳角。
—导纳 Y的电导分量
—导纳 Y的电纳分量 I Y U?
电阻元件的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
RRU R I?
R
R
R
U
ZR
I
RR
1YG
R Z
电感元件的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
LL jU L Iw
L
LL
L
jj
U
Z L X
I
w
L
L
1jj 1
LYB L Zw
电容的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
C
CC
C
1jjUZX
C Iw
C
1X
Cw
CC jj CYC ZBw
2,电路的相量模型 (phasor model )
时域列解微分方程求非齐次方程特解 频域列解代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 频域电路
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
Cω
ILωj
III
S
j
1
j
1
ω
3,相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中
2,反时针旋转角速度
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
例：上例中选为 ùR 参考相量
U?LU? LI?CI
RI?
CU?RU? =
用途：
② 利用比例尺定量计算
① 定性分析小结：
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解,应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入相量运算电路,不必列写时域微分方程,而直接列写代数方程 。
3,引入阻抗以后,可将所有网络定理和方法都应用于交流,直流 （ f =0)是一个特例 。
电阻、电感和电容串并联的电路
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
一、电阻、电感和电容串联电路的正弦稳态响应。
由 KVL
ICILIRUUUU CLR ww 1jj
ICLR?)1jj( ww
IXXR CL?)]j([ IXR?)j(
j ||j ZXRIUZ令
Z—复阻抗 (complex impedance)；
R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (reactance)(阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； j—阻抗角 (impedance angle)。
关系
a rct g
| | 22
R
X
φ
XRZ 或
R = |Z|cosj
X = |Z|sinj
j
|Z|
R
X
j < 0
j
|Z|
R
X
j > 0
阻抗三角形 (impedance triangle)
相量图,选电流为参考相量
(wL > 1/w C )
由 UR,UX,U 构成的 电压三角形与阻抗三角形相似。
LU?
CU?
I?RU?
UX 22 XR UUU
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
U?
jj
wL > 1/w C,j >0，电路为感性。
wL<1/w C,j <0，电路为容性。
wL=1/w C,j =0，电路为电阻性 I? U?
I?
U?
j
I?
U?
j
R,L,C 串联电路的性质
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ j
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
|Z| = U/I
j = yu-yi
例 L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
4V 3 10 Hz 5 2 c os ( 60 ),u t fw
求 i,uR,uL,uC 。
解 其相量模型为
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cwj
1
V605U?
Ω 4.6354.335.26j5.56j151jj o CωLωRZ
5.56j103.0103π2jj 34Lw
5.26j102.0103π2 1j1j 64Cw
A4.3149.04.6354.33 605 ZUI
则
A0,1 4 9 2 c o s ( 3,4 )it w
UL=8.42V>U=5V，分电压大于总电压，
为什么？
U?
LU?
CU?
I?R
U?
j -3.4°
相量图
V 4.32 3 5.24.31 4 9.015 IRU R
V 4.8642.84.31 4 9.0905.56j ILU L w
V 4.9395.34.3149.0905.261j ICU C w
V2,2 3 5 2 c o s ( 3,4 )Rut w
V8,4 2 2 c o s ( 8 6,6 )Lut w
V3,9 5 2 c o s ( 9 3,4 )Cut w
二、电阻、电感和电容并联的电路由 KCL
UCULUGIIII CLR ww j1j
i
L CRu
iL iC+
-
iL
I?
jw LU?
LI?
CI?
Cωj
1R
+
-
RI?
UCLG?)j1j( ww
UBBG CL?)]j([
UBG?)j(
'jy ||j YBGψψUIψUIUIY ui
u
i令
Y—复导纳 (complex admittance) ；
G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (suspectance)(导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j—导纳角 (admittance angle) 。
关系
a rc t g
| | 22
G
B
'
BGY
j
或 G=|Y|cosj'
B=|Y|sinj'
导纳三角形 (admittance triangle)
|Y|
G
B
j?>0
j? |Y|
G
B
j?<0
j?
2222 )( CLGBG IIIIII
Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠ j?
wC=1/w L,B=0,j? =0，电路为电阻性,i与 u同相。
w C > 1/w L,B>0,j '>0，电路为容性,i领先 u；
w C<1/w L,B<0,j '<0，电路为感性,i落后 u；
R,L,C 并联电路的性质相量图,选电压为参考向量
(wC < 1/w L,j?<0 )
U?
LI
,
I?
GI,j '
CI
,
I?
jw LU?
LI? CI?
Cωj
1R
+
-
GI?
|Y|=I/U
j?=yi-yu
阻抗串联、并联的电路两个阻抗串联
21 ZZZ等效阻抗
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
U?
1U?
2U?
I?
两个阻抗并联
21
21
21
21
11
ZZ
ZZ
ZZYYY
等效导纳
I?
Y +
-
U? Z1 Z2
1I? 2I?
U
ZZ
Z
U
U
ZZ
Z
U
21
2
2
21
1
1,
分压公式
IZZ ZIIZZ ZI
21
1
2
21
2
1,分流公式
)( 212121 ZZIIZZIUUU
21
21
ZZ
ZZZ
等效阻抗
n
k
kZZ
1
等效阻抗
n个阻抗串联
n
k
kYY
1
等效导纳
n个导纳并联
),2,1(
1
nkU
Z
Z
U n
k
k
k
k?
分压公式
),2,1(
1
nkI
Y
Y
I n
k
k
k
k?
分流公式例 6 RC串联电路如图 4.21(a)所示，已知 R=20Ω,C=2μF,电源角频率 ω=104Rad/s。要求将它等效成 R′C′并联电路，如图 (b)所示，试求 R′和 C′。
例 7 如图 4.22(a)电路，已知
R=10Ω,L=50mH,R=50Ω,C=20μF,
电源 us(t)=100sin(103t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。
用相量法分析电路的正弦稳态响应一、电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较
Gui
Riu
u
i
0 K V L
0 K C L
或元件约束关系
0 K V L
0 K C L
UYI
IZU
U
I
或元件约束关系电阻电路 相量法分析正弦稳态电路二、相量法分析电路步骤,1) 画相量模型
4) 由相量求出对应正弦量
2) 仿电阻电路分析方法列相量方程
3) 解相量方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
时域电路 (相量模型 )
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
例 8 节点法。电路的相量模型如图所示，求各节点电压例 9 网孔法。电路如图 4.25(a)所示，已知 us=10sin103t V,
求电流 i1,i2和电压 uab。
例 10 等效电源定理 。 电路相量模型如图 4.26(a)所示,
求负载电阻 RL上的电压 。
LU
例 11 交流电桥工作原理。
用相量图分析
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
解,1U?
U?
CI?
CU?
CI
b
b?
2U?
a
为参考相量选 U?)1
同相与,UUU 21)2
角超前 jUI C)3
21)4 RIUU Cab
5)改变 R2(红线示 )
例 3,移相桥电路。当 R2由 0时，
0180ab大小不变，相位从U 说明其工作原理。
2RIC?
试求输入阻抗及输入导纳。
试列出节点电压相量方程。
正弦电流电路中的功率二端网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
1,瞬时功率 (instantaneous power)
N
+
u
i
_
( ) 2 s i n ( )
( ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( )
i
ui
i t I t
u t U t U t
w?
w? w j?
φ=θu-θi
p(t)=u(t)i(t)
=2UIsin(ωt+θi)sin(ωt+φ+θi)
=UIcosφ-UIcos(2ωt+2θi+φ)
=UIcosφ+UI［ sinφsin2(ωt+θi)-cosφcos2(ωt+θi)］
p 有时为正,有时为负；
表明有能量交换
正大于负表明耗能
2,平均功率 (有功功率 )P：
00
11 2d [ c o s c o s ( ) ] d
c o s
TT
uiP p t U I U I t tTT
UI φ
j w
cos j,功率因数。
P 的单位,W
j =yu-yi,功率因数角 0cosj1
p
UIcosj
w t
i
O
u
jc o sUIP?
R,PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
L,PL=UIcosj =UIcos90? =0
C,PC=UIcosj =UIcos(-90?)=0
有功功率是同相的 UI乘积，无功功率是相位差为 90oUI的乘积。
U?
I?
RU?
XU?
j PIU R? jco sUIP?
QIU X? js i nUIQ?
的有功分量为 UU R
的无功分量为 UU X
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI <0
表示网络发出无功功率。
QL =UIsinj =UIsin90? =UI>0
表示网络吸收无功功率；
i
u C
+
-
i
u L+
-
同一电路中，电感、电容的无功可互相补偿。
单位,var
j
S
P
Q
功率三角形有功，无功，视在功率的关系,
P=UIcosj
Q=UIsinj
S=UI
22 QPS
S
P?jco s
4,视在功率 (表观功率 ) S
def
UIS? )( VA,伏安单位复功率守恒定理,在正弦稳态下,任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 。 即
0 0
1
*
1
b
k kk
b
k k
IUS
复功率
U?
I?
N
+
_
VA * 单位吸 IUS定义：
共轭复数
jyy UIIUS iu )
jj s i njco UIsUI
jQP
iu yyj
j S
.,* 视在功率不守恒复功率守恒
+
_
+ _+
_U?
1U?
2U?
I? *IUS *)( 21 IUU
2121 ** SSIUIU
21
21
SSS
UUU
有功守恒无功守恒?
0
0
0)j(
1
1
1
b
k
k
b
k
kb
k
kk
Q
P
QP
例 12 图 4.29(a)所示负载电路接在 220V,50HZ的正弦电源上。
已知 R1=50Ω,R2=2Ω,L=10mH。
(1) 求负载电路的平均功率、无功功率、视在功率、功率因数和电源电流；
(2)若功率因数 λ＜ 0.85,则应在负载电路 a,b端并接多大电容 C，才能使功率因数提高到 0.85?并计算此时的电源电流 (要求保持负载电路平均功率不变 )。
最大功率传输讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率
ZL=?可获最大功率 Pmax
(a) 先讨论 XL改变时 (RL不变 ),P的极值显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得极值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值当 RL= Ri时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri
XL =-Xi
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率例 13 电路如图 4.31(a)所示，试问 ZL为何值时能获得最大功率，
最大功率为多少?
① 大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示 U,I,
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t),i(t)
tO
i(t)
tt0
i(t0)
O
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流 (电压 )称为周期电流 (电压 )
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz
中频 400-2000Hz
高频电路
④ 交变电流,在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交变电流 。 即
t
i
T
t
i
O
T ttiT 0 0d)(1
8,1 正弦量的基本概念一,正弦量的三要素在选定的参考方向下，可以用数学式表达 瞬时值 电流 i(t)：
i(t)=Imsin(w t+y)
Im,w,y 这 3个量一确定,正弦量就完全确定了 。
所以,称这 3个量为正弦量的三要素：
i
+ _u
波形,
t
i
Oy/w
T
(1) 幅值 (amplitude) (振幅,最大值 )Im,反映正弦量变化幅度的大小 。
(2) 角频率 (angular frequency)w,反映正弦量变化快慢 。
C=d(wt+? )/dt为相角随时间变化的速度 。
正弦量的 三要素,
相关量：频率 f (frequency)和周期 T (period)。
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
f =1/T
单位,w,rad?s-1,弧度?秒 -1
f,Hz，赫 (兹 )
T,s，秒
(3) 初相位 (initial phase angle)y,反映了正弦量的计时起点。
(w t+y )表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角 。
它的大小决定该时刻正弦量的值 。 当 t=0时,相位角
(w t+y )=y,故称 y 为初相位角,简称初相位 。 同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
t
i
O
y =0y =?/2y =-?/2
一般规定,|? |。
二,相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i)
则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0,u 领先 (超前 )ij 角,或 i 落后 (滞后 ) u j 角 (u 比 i 先到达最大值 )；
j <0,i 领先 (超前 ) u?j?角，或 u 落后 (滞后 ) i?j? 角 (i 比 u
先到达最大值 )。
从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看 。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
j =0,同相：
j =? (180o ),反相：
规定,|y | (180° )。
特例：
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
iO
j =?/2,u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
三、有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来量。
电流有效值 定义为：
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
物理意义,周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内吸收的电能,等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内吸收的电能,则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
有效值也称均方根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
1,有效值 (effective value)定义
T ttiTI 0 2d e f d)(1
W2=I 2RT
R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
T tRtitW 0 2 d)()(
T tRtiRTI 0 22 d)(
T ttiTI 0 2 d)(1
T ttuTU 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imsin(w t+? )
tΨtωITI T d) (s i n1 0 22m
TtΨtωtΨtω TT 21d2 ) (2c o s1d) (s i n 00 2
II
I
IT
I
T
I
2
707.0
22
1
m
m
m2
m
) s i n (2) s i n ()( m ΨtωIΨtωIti
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2 21 mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
复数复习
1,复数 A表示形式：
) 1(j 为虚数单位
一个复数 A可以在复平面上表示为从原点到 A的向量,
此时 a可看作与实轴同方向的向量,b可看作与虚轴同方向的向量 。 由平行四边形法则 。 则 a+jb即表示从原点到 A
的向量,其摸为 |A|,幅角为?。 所以复数 A又可表示为
A=|A|ej? =|A|?
Ab
Re
Im
aO
A=a+jb
Ab
Re
Im
aO
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A|?
直角坐标表示极坐标表示
a
b
θ
baA
a rct a g
|| 22
或
θA b
θ|A|a
s i n||
c o s
2,复数运算则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2
A1
A2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算 ——极坐标若 A1=|A1|? 1,若 A2=|A2|? 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2|? 1 2
21
1)j(1
2j
j
1
2
111
|2|
||e
|2|
||
e|2|
e||
|2|
||
2
21
1
θθAAAAAAθA θAAA θθθ
θ
乘法：模相乘，角相加；
除法：模相除，角相减。
例 1,5?47? + 10?25?= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567 = 12.48?-2.61?
例 2,
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0
16.707 2 8.62.1 2 6j2.1 8 0
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
2.1 2 6j2.1 8 0
5j20
j 6 )(4 j 9 )( 1 7
35 2 2 0
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度?,而模不变 。 故把 ej? 称为旋转因子 。
ej?/2=j,e-j?/2= -j,ej?=–1 故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
4.2 正弦量的相量表示两个正弦量 i1 i2 i
1+i2?i3
w w w
Im1 Im2 Im3
1?2?3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和最大值 (或有效值 )就行了 。 于是想到复数,
复数向量也是一个大小,一个幅角,因此,我们可以把正弦量与复数对应起来,以复数计算来代替正弦量的计算,
使计算变得较简单 。
1,正弦量的相量表示造一个复函数
) s i n (2j) c o s (2
e2)( )j(
ΨtωIΨtωI
ItA Ψtω
没有物理意义若对 A(t)取虚部：
是一个正弦量，有物理意义。 ) s i n (2)](I m [ ΨωttA
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：
) j(2)( ) s i n (2 ΨtωIetAΨtωIi
A(t)包含了三要素,Im,?,w,复常数包含了 Im,?。
A(t)还可以写成 tωtω eIItA ψ j j 2ee2)( j
复常数加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正弦量的联系 ),同时也改用,相量,,而不用,向量,,
是因为它表示的不是一般意义的向量,而是表示一个正弦量 。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
相量图 (相量和复数一样可以在平面上用向量表示 )：
IItωIti?) s i n (2)(
θUUθtωUtu)s i n (2)(
不同频率的相量不能画在一张向量图上 。
) s i n (2)( ΨIIΨtωIti
) s i n (2)( θUUθtωUtu
U
I
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的 几何意义,
ejw t 为一模为 1、幅角为 w t 的相量。随 t的增加，模不变，
而幅角与 t成正比，可视其为一旋转相量，当 t从 0~T时，
相量旋转一周回到初始位置,w t 从 0~2?。
,
,22ee2e2 ) j(jjj
的旋转相量为初始角度是模为
Ψ
IIeII ΨtωtωΨtω?
o
t=0
w
tw
/ui
1?
j?
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
解,
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解,
A)15314s i n (25 ti
V60220
A30100
o
o
U
I
)V6014t3 1 1,1 s i n ( 3
A)30314s i n (4.141
o
o
u
ti
,5 0H z A,1550 fI?已知
2,相量运算
(1) 同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
i1? i2 = i3
321 III
a? b = c
lga + lgb=lgc
这实际上是一种变换思想
)2I m () s i n ()(
)2I m () s i n ()(
j
22m22
j
11m11
tω
tω
eUΨtωUtu
eUΨtωUtu
21
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
))(2I m ()22I m (
)2I m ()2I m ()()(
UUU
eUUeUeU
eUeUtutu
tωtωtω
tωtω
例．
V 1.535
V 3,V 03
V )1.533 1 4s i n (25)()()(
V )903 1 4s i n (24)(
V 3 1 4s i n23)(
o
21
2
o
1
o
21
o
2
1
UUU
UU
ttututu
ttu
ttu
同频正弦量的加,减运算可借助相量图进行 。 相量图在正弦稳态分析中有重要作用,尤其适用于定性分析 。
222222
111111
)s i n (2
)s i n (2
ψIIψtωIi
ψIIψtωIi
y1
2?I
y2
1?I
2 1II
Re
Im
2I 2
1II
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想,由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络,以时间为自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数,变换,为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
2,正弦量的微分，积分运算
Uωu d tIωdtdi
U uIi
j
1 j
]e ) (j2I m [
)]e2(
d
dI m [
]e2I m [
d
d
d
d
j
j
j
ω t
ω t
ω t
Iω
I
t
I
tt
i
]e
j
2I m [
]e
2
I m [
)s i n (
2
)co s (2
d)s i n (2d
j
)2/ j(
2
tω
tω
ω
U
ω
U
ψt
ω
U
ψt
ω
U
tψtUtu
πψ
π
w
w
w
证明,
3,相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例
)()()(
)s i n ()( m
dt
tdiLtRitu
ψtωUtu u
一阶常系数线性微分方程自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imsin(w t+y i)
)s i n ()()(
)co s ()s i n ()s i n (
2
m
2
m
mmm
θψtωLIωRI
ψtωLIωψtωRIψtωU
i
iiu
Ri(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
2
m
2
mm )()( LωR
UILIωRIU
2?
w t+?u=w t+? i+?
i=?u-?
=tg-1(w L/R)
用相量法求：
)tgs i n (2 1
222 R
LωΨtω
LωR
Ui
u
t
tiLtRitu
d
)(d)()(
R
Lω
LR
ΨU
LωR
U
I
ILωIRU
u
1222
tgω
j
j
)tgs i n (2 1
222 R
LωΨtω
LωR
Ui
u
22 )( LωR?
R
w L
小结
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解,即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图电阻,电感和电容元件的正弦电压电流及相量关系一,电阻时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIIRU
ΨII
相量模型
)s i n (2)( iΨtωIti已知
)s i n (2)()( iR ΨtωRItRitu则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系,UR=RI
相位关系,?u=?i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
I
功率：
)] (2c o s1[
) (s i n
i
i
2
mm
ΨtωIU
ΨtωIU
iup
R
R
RR
波形图及相量图：
w t
i
O
uR
pR
RU?
I?
u=?i
二,电感 时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
- 相量形式：
LLL
iLLL
i
UBU
ω L
I
ΨIXIXIω LU
ΨII
j
j
1
2
jj
或
π
)s i n (2)( iψtωIti已知
)
2
s i n (2
)co s (2
d
)(d
)(
π
i
iL
ΨtωLIω
ΨtωLIω
t
ti
Ltu则相量模型有效值关系,U=w LI
相位关系,?u=?i +90°
(u 超前 i 90° )
jw L
+
-LU
I
LU?
I?
i
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
(2) 频率和感抗成正比,w?0 直流（ XL=0),w开路；
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压,。
w
XL
I
ULω
i
uLω j写法注意,
XL=w L,称为感抗,单位为?(欧姆 )
BL=-1/wL,感纳,单位为 S (同电导 )
功率：
)(2s i n
)c o s ()s i n ( m
iL
iimL
LL
ΨtωIU
ΨtωΨtωIU
iup
波形图：
w t
i
O
uL pL
三,电容 时域形式：
相量形式：
CCC
uCCC
i
IXI
Cω
U
ΨIBIBUCωI
ΨUU
j
j
1
2
jj
或
π
)s i n (2)( uΨtωUtu已知
)
2
s i n (2
)co s (2
d
)(d
)(
π
u
uC
ΨtωCUω
ΨtωCUω
t
tu
Cti则相量模型有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
(i 超前 u 90° )
U?
CI?
u
iC(t)
u(t) C
+
-
U
CI
+
- ωCj
1
令 XC=-1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,w?0,|XC| 直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
功率：
)(2s i n
)c o s ()s i n ( mm
uC
uuC
CC
Ψω tUI
Ψω tΨω tIU
uip
波形图：
w t
iC
O
u
pC
基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
1,基尔霍夫定律的相量形式
0 0)(
0 0)(
Utu
Iti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足 KVL。
二、电路的相量模型 (phasor model )
列微分方程求非齐次方程特解列、解代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域模型 相量模型
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
C
IL
III
w
w
w
j
1
j
1
j
S
阻抗和导纳一．阻抗定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为 Z，
UZ
I
g
g
u
i
UUZ
II
y
y
（复数）阻抗 Ω
z jZ R Xy
Z u ij y y
阻抗 Z的阻抗角
zc o s ( )RZ j
阻抗 Z的电阻分量
zs i n ( )XZ j
阻抗 Z的电抗分量导纳
1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为 Y，即
i
u
1 IIY
ZUU
y
y
Y
jY G By
IY
U?
Y i u Zj y y j
Yc o s ( s )GY j?
Ys i n ( s )BY j?
—导纳 Y的模（ S）
—导纳 Y的导纳角。
—导纳 Y的电导分量
—导纳 Y的电纳分量 I Y U?
电阻元件的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
RRU R I?
R
R
R
U
ZR
I
RR
1YG
R Z
电感元件的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
LL jU L Iw
L
LL
L
jj
U
Z L X
I
w
L
L
1jj 1
LYB L Zw
电容的阻抗,在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
C
CC
C
1jjUZX
C Iw
C
1X
Cw
CC jj CYC ZBw
2,电路的相量模型 (phasor model )
时域列解微分方程求非齐次方程特解 频域列解代数方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 频域电路
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
Cω
ILωj
III
S
j
1
j
1
ω
3,相量图
1,同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中
2,反时针旋转角速度
3,选定一个参考相量 (设初相位为零。 )
例：上例中选为 ùR 参考相量
U?LU? LI?CI
RI?
CU?RU? =
用途：
② 利用比例尺定量计算
① 定性分析小结：
1,求正弦稳态解是求微分方程的特解,应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入相量运算电路,不必列写时域微分方程,而直接列写代数方程 。
3,引入阻抗以后,可将所有网络定理和方法都应用于交流,直流 （ f =0)是一个特例 。
电阻、电感和电容串并联的电路
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
一、电阻、电感和电容串联电路的正弦稳态响应。
由 KVL
ICILIRUUUU CLR ww 1jj
ICLR?)1jj( ww
IXXR CL?)]j([ IXR?)j(
j ||j ZXRIUZ令
Z—复阻抗 (complex impedance)；
R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (reactance)(阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； j—阻抗角 (impedance angle)。
关系
a rct g
| | 22
R
X
φ
XRZ 或
R = |Z|cosj
X = |Z|sinj
j
|Z|
R
X
j < 0
j
|Z|
R
X
j > 0
阻抗三角形 (impedance triangle)
相量图,选电流为参考相量
(wL > 1/w C )
由 UR,UX,U 构成的 电压三角形与阻抗三角形相似。
LU?
CU?
I?RU?
UX 22 XR UUU
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
U?
jj
wL > 1/w C,j >0，电路为感性。
wL<1/w C,j <0，电路为容性。
wL=1/w C,j =0，电路为电阻性 I? U?
I?
U?
j
I?
U?
j
R,L,C 串联电路的性质
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ j
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cωj
1
|Z| = U/I
j = yu-yi
例 L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
4V 3 10 Hz 5 2 c os ( 60 ),u t fw
求 i,uR,uL,uC 。
解 其相量模型为
I? jwLR
+
-
+
-
+ -
U?
LU
,
CU
,
Cwj
1
V605U?
Ω 4.6354.335.26j5.56j151jj o CωLωRZ
5.56j103.0103π2jj 34Lw
5.26j102.0103π2 1j1j 64Cw
A4.3149.04.6354.33 605 ZUI
则
A0,1 4 9 2 c o s ( 3,4 )it w
UL=8.42V>U=5V，分电压大于总电压，
为什么？
U?
LU?
CU?
I?R
U?
j -3.4°
相量图
V 4.32 3 5.24.31 4 9.015 IRU R
V 4.8642.84.31 4 9.0905.56j ILU L w
V 4.9395.34.3149.0905.261j ICU C w
V2,2 3 5 2 c o s ( 3,4 )Rut w
V8,4 2 2 c o s ( 8 6,6 )Lut w
V3,9 5 2 c o s ( 9 3,4 )Cut w
二、电阻、电感和电容并联的电路由 KCL
UCULUGIIII CLR ww j1j
i
L CRu
iL iC+
-
iL
I?
jw LU?
LI?
CI?
Cωj
1R
+
-
RI?
UCLG?)j1j( ww
UBBG CL?)]j([
UBG?)j(
'jy ||j YBGψψUIψUIUIY ui
u
i令
Y—复导纳 (complex admittance) ；
G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (suspectance)(导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j—导纳角 (admittance angle) 。
关系
a rc t g
| | 22
G
B
'
BGY
j
或 G=|Y|cosj'
B=|Y|sinj'
导纳三角形 (admittance triangle)
|Y|
G
B
j?>0
j? |Y|
G
B
j?<0
j?
2222 )( CLGBG IIIIII
Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠ j?
wC=1/w L,B=0,j? =0，电路为电阻性,i与 u同相。
w C > 1/w L,B>0,j '>0，电路为容性,i领先 u；
w C<1/w L,B<0,j '<0，电路为感性,i落后 u；
R,L,C 并联电路的性质相量图,选电压为参考向量
(wC < 1/w L,j?<0 )
U?
LI
,
I?
GI,j '
CI
,
I?
jw LU?
LI? CI?
Cωj
1R
+
-
GI?
|Y|=I/U
j?=yi-yu
阻抗串联、并联的电路两个阻抗串联
21 ZZZ等效阻抗
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
U?
1U?
2U?
I?
两个阻抗并联
21
21
21
21
11
ZZ
ZZ
ZZYYY
等效导纳
I?
Y +
-
U? Z1 Z2
1I? 2I?
U
ZZ
Z
U
U
ZZ
Z
U
21
2
2
21
1
1,
分压公式
IZZ ZIIZZ ZI
21
1
2
21
2
1,分流公式
)( 212121 ZZIIZZIUUU
21
21
ZZ
ZZZ
等效阻抗
n
k
kZZ
1
等效阻抗
n个阻抗串联
n
k
kYY
1
等效导纳
n个导纳并联
),2,1(
1
nkU
Z
Z
U n
k
k
k
k?
分压公式
),2,1(
1
nkI
Y
Y
I n
k
k
k
k?
分流公式例 6 RC串联电路如图 4.21(a)所示，已知 R=20Ω,C=2μF,电源角频率 ω=104Rad/s。要求将它等效成 R′C′并联电路，如图 (b)所示，试求 R′和 C′。
例 7 如图 4.22(a)电路，已知
R=10Ω,L=50mH,R=50Ω,C=20μF,
电源 us(t)=100sin(103t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。
用相量法分析电路的正弦稳态响应一、电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较
Gui
Riu
u
i
0 K V L
0 K C L
或元件约束关系
0 K V L
0 K C L
UYI
IZU
U
I
或元件约束关系电阻电路 相量法分析正弦稳态电路二、相量法分析电路步骤,1) 画相量模型
4) 由相量求出对应正弦量
2) 仿电阻电路分析方法列相量方程
3) 解相量方程
L
C RuS
iL iC
iR
+
-
时域电路 (相量模型 )
jw L
1/jw CSU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
例 8 节点法。电路的相量模型如图所示，求各节点电压例 9 网孔法。电路如图 4.25(a)所示，已知 us=10sin103t V,
求电流 i1,i2和电压 uab。
例 10 等效电源定理 。 电路相量模型如图 4.26(a)所示,
求负载电阻 RL上的电压 。
LU
例 11 交流电桥工作原理。
用相量图分析
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
解,1U?
U?
CI?
CU?
CI
b
b?
2U?
a
为参考相量选 U?)1
同相与,UUU 21)2
角超前 jUI C)3
21)4 RIUU Cab
5)改变 R2(红线示 )
例 3,移相桥电路。当 R2由 0时，
0180ab大小不变，相位从U 说明其工作原理。
2RIC?
试求输入阻抗及输入导纳。
试列出节点电压相量方程。
正弦电流电路中的功率二端网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
1,瞬时功率 (instantaneous power)
N
+
u
i
_
( ) 2 s i n ( )
( ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( )
i
ui
i t I t
u t U t U t
w?
w? w j?
φ=θu-θi
p(t)=u(t)i(t)
=2UIsin(ωt+θi)sin(ωt+φ+θi)
=UIcosφ-UIcos(2ωt+2θi+φ)
=UIcosφ+UI［ sinφsin2(ωt+θi)-cosφcos2(ωt+θi)］
p 有时为正,有时为负；
表明有能量交换
正大于负表明耗能
2,平均功率 (有功功率 )P：
00
11 2d [ c o s c o s ( ) ] d
c o s
TT
uiP p t U I U I t tTT
UI φ
j w
cos j,功率因数。
P 的单位,W
j =yu-yi,功率因数角 0cosj1
p
UIcosj
w t
i
O
u
jc o sUIP?
R,PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
L,PL=UIcosj =UIcos90? =0
C,PC=UIcosj =UIcos(-90?)=0
有功功率是同相的 UI乘积，无功功率是相位差为 90oUI的乘积。
U?
I?
RU?
XU?
j PIU R? jco sUIP?
QIU X? js i nUIQ?
的有功分量为 UU R
的无功分量为 UU X
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI <0
表示网络发出无功功率。
QL =UIsinj =UIsin90? =UI>0
表示网络吸收无功功率；
i
u C
+
-
i
u L+
-
同一电路中，电感、电容的无功可互相补偿。
单位,var
j
S
P
Q
功率三角形有功，无功，视在功率的关系,
P=UIcosj
Q=UIsinj
S=UI
22 QPS
S
P?jco s
4,视在功率 (表观功率 ) S
def
UIS? )( VA,伏安单位复功率守恒定理,在正弦稳态下,任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 。 即
0 0
1
*
1
b
k kk
b
k k
IUS
复功率
U?
I?
N
+
_
VA * 单位吸 IUS定义：
共轭复数
jyy UIIUS iu )
jj s i njco UIsUI
jQP
iu yyj
j S
.,* 视在功率不守恒复功率守恒
+
_
+ _+
_U?
1U?
2U?
I? *IUS *)( 21 IUU
2121 ** SSIUIU
21
21
SSS
UUU
有功守恒无功守恒?
0
0
0)j(
1
1
1
b
k
k
b
k
kb
k
kk
Q
P
QP
例 12 图 4.29(a)所示负载电路接在 220V,50HZ的正弦电源上。
已知 R1=50Ω,R2=2Ω,L=10mH。
(1) 求负载电路的平均功率、无功功率、视在功率、功率因数和电源电流；
(2)若功率因数 λ＜ 0.85,则应在负载电路 a,b端并接多大电容 C，才能使功率因数提高到 0.85?并计算此时的电源电流 (要求保持负载电路平均功率不变 )。
最大功率传输讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率
ZL=?可获最大功率 Pmax
(a) 先讨论 XL改变时 (RL不变 ),P的极值显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得极值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值当 RL= Ri时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri
XL =-Xi
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率例 13 电路如图 4.31(a)所示，试问 ZL为何值时能获得最大功率，
最大功率为多少?
