误差理论与数据处理主讲教师：张兴红 博士、教授联系电话,13500393726
Email:zxh@cqit.edu.cn
2007年 3月误差理论与数据处理
课堂纪律
课程简介
考核
内容简介绪论
基本术语
研究误差的意义
误差的基本概念
有效数字绪论 基本术语
1、量
定义为现象，物体或物质可 定性区别和 定量确定 的属性定性区别 是指特性上的差别，如几何量、
电学量等。
同类量,特性相同的量定量确定 是指具体的量,又称 特定量,如确定某一工件的长度,导线的电阻 。 又称为同种量 。
绪论 基本术语
1、量
量又可分为 基本量 和 导出量基本量：在函数关系上彼此独立的量国际单位制中的七个基本量,① 长度,
② 质量,③ 时间,④ 热力学温度,⑤ 电流,
⑥ 物质的量 ⑦ 发光强度 。
导出量,在给定量制中由基本量的函数所定义的量,例如速度 。
绪论 基本术语
1,量
量 又分为 可数量 和 可测量可数量 不属于计量学的范畴可测量,只能通过计量器具测量方可得到量值的量，可测量不可数，它由测量数值和计量单位的组合来表示大小。
绪论 基本术语
2、计量单位 量的名称 单位名称 单位符号长度 米 m
质量 千克 kg
时间 秒 s
电流 安 [培 ] A
热力学温度 开 [尔文 ] K
物质的量 摩 [尔 ] mol
发光强度 坎 [德拉 ] cd
计量单位 是指为定量表示同种量的大小而约定地定义和采用的特定的量,简称单位 。
计量单位 是一个人为约定选取的特定量,它具有专门的名称,符号,确定的定义数值为 1,且能复现 。
我国目前实行的法定计量单位是以 国际单位制 为基础,加之以我国特选的 17个非国际单位制单位构成 。
绪论 基本术语
3、量值定义为一般由一个数乘以计量单位所表示的 特定量 的大小，是量的定量表示形式，一般来说任何可测量都必须由数值和计量单位组合而成数值 和 量值 的区别：
数值是指在量值表示中与单位相乘的数,不包含计量单位,数值非量值绪论 基本术语
4、测量定义为,以确定量值为目的的一组操作测量是一个过程,也就是说将被测量与已知的标准量 （ 计量器具的示值 ） 相比较的过程 。
测量结果仅仅是被测量的 最佳估计值,并非 真值 。
绪论 基本术语
5、测量要素
被测量
测量设备
测 量 方法
测 量 环境
测 量 人员绪论 基本术语
6、测量方法的分类测量值 获得方法 的不同直接测量,间接测量 和 组合测量测量条件 的不同等精度测量 与 不等精度测量绪论 基本术语
7、计量定义,实现 单位统一,量值准确可靠 的活动。
计量 属于 测量 的范畴 。
单位统一是指计量单位的统一,它是量值统一的重要前提 。
量值准确可靠 表征的是测量结果与被测量真值的接近程度。
,准,的定量描述用 误差 或 不确定度 。
绪论 基本术语
7、计量 ----米制米制 是 18世纪末由法国创立的一种计量单位制经过巴黎的地球子午线的四千万分之一作为长度单位，定名为,米,
已 米 的十分之一长度为立方作为容量的单位，定义为,升,
已一 立方分米 的 纯水 在 4C° 的重量（质量）
作为重量的单位，定名为,千克,
1875年签定,米制公约,,成为国际上通用的计量单位制。
绪论 基本术语
7、计量 -----国际单位制国际单位制
1954年第十届国际计量大会决定采用 米,千克、秒、安培、开尔文 和 坎德拉 作为基本单位。
1960年第十一届国际计量大会决定将以这六个基本单位的实用计量单位制命名为,国际单位制”,并规定其符号为,SI”。
1974年第十四届国际计量大会又决定增加 物质的量 的单位 摩尔 作为基本单位。目前国际单位制有 七个基本单位 。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类按照专业把计量学分为 长度计量、温度计量,电磁计量、力学计量、无线电计量、时间频率计量、放射性计量、光学计量、声学计量、
化学计量 10 大类。
长度计量 是对物体的几何量的测量。 内容包括端度、
线纹、角度和表面粗糙度、平面度、直度等。
温度计量 就是利用各种物质的热效应来计量物体的冷热程度。包括超低温、低温、中温、高温、超高温、热量等。
力学计量 包括质量、容量、密度、压力、真空等。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类
电磁计量 是根据各种电磁原理，对各种电磁物理量进行的测量，包括电流,电动势、电阻、电感、电容、
磁场强度等。
无线电计量 是无线电技术所用全部频率范围内从超低频到微波的一切电气特性的测量，包括高频电压、
功率、噪声、衰减、失真度等。
时间频率计量 是对时间和频率进行的计量。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类
放射性计量 又称为电离辐射计量，使对能直接和间接引起电离的辐射进行的测量。
光学计量 主要包括光强、光通量、照度、色度等。
声学计量 专门测量物质中声波的产生、传播和接受等。
化学计量 也称为 物理化学计量,是指对各种物质的成分和物理特性、基本物理常数的分析、测定。
绪论 基本术语
8、测试可以理解为,具有试验性质的测量,,
也可以理解为,实验和测量的综合,。
测试 和 测量 的不同含义主要是它具有探索、分析、研究和试验特征。
测试 的 本质是测量,是测量的外延和扩展。
绪论 基本术语
9、误差公理 测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量过程之中 。
①,米制,建议 （ 18世纪末法国科学院）,米,定义 （ 1791年 法国国会 ）
通过巴黎的地球子午线长度的四千万分之一铂杆,档案尺,（ 1799年）两端之间的距离，第一个实物基准，变形较大，
废弃（ 1872年米制国际会议）
② 铂铱合金的 X形尺 --- 米原器（ 1889年第一次国际计量大会）
中性面上两端的二条刻线在 0?C时的长度,?（ 1~2）?10-7（复现精度）
③ 自然基准 （ 1960年第十一次国际计量大会） --- 废弃米原器
Kr-86的 2 p 10和 5 d 5 能级间跃迁在真空中的辐射波长的 1650763.73倍。
（ 0.5~1）?10-8（复现精度）
④,米,新定义 （ 1983年第十七届国际计量大会） --- 光在真空中 1s时间内传播距离的 1/299792485 ---?1.3?10-10 （复现精度）
绪论 研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析产生的原因，以减小或消除误差；
正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果 ；
正确组织实验过程合理设计仪器和测量方法 。
绪论 误差的基本概念
1、误差的定义测量误差 是指 测得值 与被测量的 真值 之间的差，简称 误差 。
误差 ＝ 测量值 － 真值
xa
绪论 误差的基本概念
测得值测得值 （ 测量结果 ） x 是由测量所得到的赋予被测量的值 。
测量结果 x 的值可由计量器具直接测得,也可以通过对测得值借助已知的函数关系式计算得到 。
广义上我们可以把 测得值,测量值,检测值,实验值,示值,名义值,标称值,给出值 等均看作是测量结果 。 测量结果是我们要研究的对象 。
绪论 误差的基本概念
测得值测量结果又分为 单次测量结果 和 平均测量结果单次测量结果 是指对被测量每一次测量所得到的测量结果，用于测量过程的详细描述。
平均测量结果 系指对被测量多次测量，其若干个单次测量结果的平均值。平均测量结果通常用于被测量最后测量结果的描述。在结出测量结果时应说明它是 单次测量结果,还是 平均测量结果 。
测量结果仅是被测量之值的估计。在测量结果果的完整表述中还应包括 误差 或 测量不确定度 。
绪论 误差的基本概念
真值真值 定义为与给定的 特定量 的定义一致的值。
所有的被测量在特定的条件下，理论上都有一个对应的客观、实际值存在，我们称之为,理论真值,。之所以称为,理论真值,是因为对被测量的量值的定义条件实际上都是理想中的。 量的真值 只有通过完善的测量才有可能获得。而我们在测量时不能够绝对按这个定义进行，也就是说真值只是个理想的概念,这在误差理论研究中非常重要。
绪论 误差的基本概念
真值真值的类型 。
理论真值,
极少数可知,大多数为不可知 。
约定值
指定值,由国际计量局等权威组织定义,推荐或指定：
如七个 SI单位 。
约定值,在实际测量中,用高一级标准计量器具的量值相对于低一级的计量器具的量值为约定真值 。
在检定工作中常用约定真值。
最佳估计值,
通常将一被测量在重复条件或复现条件下的多次测量结果的平均值作为最佳估计值，并作为约定真值。
绪论 误差的基本概念
2,误差的表示方法
绝对误差
相对误差
引用误差
分贝误差绪论 误差的基本概念
绝对误差某量值的测得值与真值之差为 绝对误差,
简称为 误差 。
误差 ＝ 测量值 － 真值修正值：为消除系统误差用代数法而加到测量结果上的值称为修正值，即：
真值 ≈ 测得值 +修正值修正值 ＝ 真值 － 测得值修正值和误差值的大小相等，符号相反。
绪论 误差的基本概念
相对误差
绝 对 误 差 绝 对 误 差相 对 误 差 真 值 测 得 值 （ 约 定 真 值 ）
和绝对误差一样，相对误差可能为正值或负值。
相对误差无单位，通常以百分数表示（ %）
对于相同的被测量绝对误差可以评定其测量精度的高低。
对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。
绪论 误差的基本概念
相对误差
1
1
100
10
l m m
m
2
2
100
8
l m m
m
3
3
80
7
l m m
m
绪论 误差的基本概念
引用误差绝对误差和相对误差通常用于单值点测量误差的表示。而对于具有连续刻度和多档量程和测量仪器的误差，则用 引用误差 来表示。
它是以仪器仪表某一刻度点的 示值误差 为 分子,
以 测量范围上限 或 全量程为分母,所得的 比值 。
示 值 误 差 绝 对 误 差引 用 误 差 ＝ ＝
特 定 值 测 量 范 围 上 限绪论 误差的基本概念
引用误差
示值误差 是用仪器中各示值点上的绝对误差来表示,通常取最大值。
特定值 又称 引用值,测量范围上限或全量程。
例如 P3 的例子
国家标准和国家计量技术规范将某些专业的仪器仪表按引用误差的大小分为若干准确度等级，例如将电压表分为 0.05、
0.1,0.2,0.3,0.5,…,5.0等 11个等级，符合某一个等级 S 的仪表说明该仪表在整个测量范围内各示值点的引用误差不超过 S %。
绪论 误差的基本概念
引用误差一块 0.5级的测量范围为 0～ 150V的电压表，经更高等级标准电压表校准，在示值为 100.0V时，测得实际电压（相对真值）为 99.4V，问该表是否合格？
绪论 误差的基本概念
分贝误差在无线电，声学等计量中，常用分贝误差来表示相对误差。
设电压值 u1和 u2的比值为 a，则 a＝ u1/u2，则称为 电压比的分贝,记作 dB。
若比值 a有误差 δa,则导致分贝 A产生分贝误差 δA,它们有如下关系分贝误差 是一种特殊形式的相对误差，它的符号与 绝对误差相同。
1
2
2 0 l g 2 0 l guAau
2 0 lg ( 1 ) 8,6 9 ( )aaA dBaa
绪论 误差的基本概念
3、误差的来源
测量装置误差
（１）标准量具的误差
（２）仪器误差
（３）附件误差
环境误差
方法误差
人员误差
被测对象的变化误差绪论 误差的基本概念
被测对象的变化误差
3、误差的来源绪论 误差的基本概念
4,误差的分类按照误差的特点和性质，误差可以分为 系统误差,随机误差 （也称 偶然误差 ）和 粗大误差 三类。
系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。
随机误差在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。
粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
绪论 误差的基本概念
5、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度,它与误差的大小相对应，因此可以用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
绪论 误差的基本概念
5、精度精度又可以分为,准确度,精密度 和 精确度
准确度 它反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度 它反映测量结果中随机误差的影响程度。
精确度 它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量不确定度
（或极限误差）来表示。
绪论 误差的基本概念
5、精度
(a)系统误差和随机误差都大，即准确度，精密度都低；
(b)系统误差大，随机误差小，即准确度低，精密度高；
(c)系统误差和随机误差都小，即精确度高。
绪论 有效数字由于 测量误差 的存在，所有的测量数据均为近似数，所得到的最终结果仅是被测量的近似估计值，自然也是近似数，因此，测量数据的处理，
从某种意义上说便是数的运算。
在测量结果和数据运算中，确定用几位数字来表示测量或数据运算的结果，是一个十分重要的问题。
绪论 有效数字与数据运算
1、有效数字计量学定义 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。
数学定义 从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数，都叫做有效数字，若具有几个有效数字，就叫做几位有效数字。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字在判断有效数字时，对于 零 这个数字有三点说明：
它可能是有效数字也可能不是有效数字，这取决于它处在近似数中的位置。
当零处在第一位有效数字以前，不算是有效数字。
当零处在第一位有效数字以后，是有效数字。
小数点以后的零若是有效数字，反映了近似数的误差，不能随取舍。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：
在第一个有效数字以前的零与误差无关。
0.0036和 3.6× 10-3是完全等价的。
若近似数的右边带若干个零的数字，可以写成
a× 10n形式 （科学计数法） 1≤a ＜ 10，利用这种写法可以从 a含有几个有效数字来判断近似数 有几位有效数字 。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字
在测量结果中，最末一位有效数字取到那一位，
由测量精度来决定的，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的。
测量结果应保留有效位数的原则是：其最末一位是不可靠的、而倒数第二位应该是可靠的。
测量误差一般取 1～ 2位有效数字。
绪论 有效数字与数据运算
2、数字舍入规则对于位数很多的近似数,当有效位数确定后,其后面多余的数字应予舍去,而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整；
,四舍、六入、五凑偶,
跟四舍五入相比，舍入误差是随机误差。
而四舍五入是由于舍入误差的累积成为系统误差绪论 有效数字与数据运算
2、数字舍入规则
若舍去部分的数值,大于保留部分的末位的半个单位,则末位加 1。
若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
若舍去部分的数值,等于保留部分的末位的半个单位,在末位凑成偶数 。
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则在近似运算中,为了保证最后结果有尽可能高的精度,所有参与运算的数据,在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字,或称安全数字 。
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---加减法
在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。
0.1802
＋ 1648.0
1648.1802
0.1802＋ 1648.0
≈0.18 ＋ 1648.0
＝ 1648.18
≈1648.2
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---加减法例如,1425.4十 343.1十 11.243十 9.7427
≈1425.4十 343.1十 11.24十 9.74
＝ 1789.48
≈1789.5
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---乘除法
1.3642
× 0.0026
8 1852
2 7 284
0.003 5 4692
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则
---乘除法
在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
1.36
× 0.0026
816
2 72
0.00 3 536
1.3642× 0.0026
≈1.36 × 0.0026
＝ 0.003536
≈ 0.0035
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则例如
3.142× 2.4
≈ 3.14 × 2.4
＝ 7.536
≈ 7,5
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则
在近似数平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆运算，故可按乘除运算处理。
在对数运算时,n位有效数字的数据应该用 n位对数表，
或用（ n+1）位对数表，以免损失精度。
三角函数运算中，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多。当角度误差为 时，对应的函数值位数应为 5,6,7及 8位。
1 0,1,0,1,0,0 1
Email:zxh@cqit.edu.cn
2007年 3月误差理论与数据处理
课堂纪律
课程简介
考核
内容简介绪论
基本术语
研究误差的意义
误差的基本概念
有效数字绪论 基本术语
1、量
定义为现象，物体或物质可 定性区别和 定量确定 的属性定性区别 是指特性上的差别，如几何量、
电学量等。
同类量,特性相同的量定量确定 是指具体的量,又称 特定量,如确定某一工件的长度,导线的电阻 。 又称为同种量 。
绪论 基本术语
1、量
量又可分为 基本量 和 导出量基本量：在函数关系上彼此独立的量国际单位制中的七个基本量,① 长度,
② 质量,③ 时间,④ 热力学温度,⑤ 电流,
⑥ 物质的量 ⑦ 发光强度 。
导出量,在给定量制中由基本量的函数所定义的量,例如速度 。
绪论 基本术语
1,量
量 又分为 可数量 和 可测量可数量 不属于计量学的范畴可测量,只能通过计量器具测量方可得到量值的量，可测量不可数，它由测量数值和计量单位的组合来表示大小。
绪论 基本术语
2、计量单位 量的名称 单位名称 单位符号长度 米 m
质量 千克 kg
时间 秒 s
电流 安 [培 ] A
热力学温度 开 [尔文 ] K
物质的量 摩 [尔 ] mol
发光强度 坎 [德拉 ] cd
计量单位 是指为定量表示同种量的大小而约定地定义和采用的特定的量,简称单位 。
计量单位 是一个人为约定选取的特定量,它具有专门的名称,符号,确定的定义数值为 1,且能复现 。
我国目前实行的法定计量单位是以 国际单位制 为基础,加之以我国特选的 17个非国际单位制单位构成 。
绪论 基本术语
3、量值定义为一般由一个数乘以计量单位所表示的 特定量 的大小，是量的定量表示形式，一般来说任何可测量都必须由数值和计量单位组合而成数值 和 量值 的区别：
数值是指在量值表示中与单位相乘的数,不包含计量单位,数值非量值绪论 基本术语
4、测量定义为,以确定量值为目的的一组操作测量是一个过程,也就是说将被测量与已知的标准量 （ 计量器具的示值 ） 相比较的过程 。
测量结果仅仅是被测量的 最佳估计值,并非 真值 。
绪论 基本术语
5、测量要素
被测量
测量设备
测 量 方法
测 量 环境
测 量 人员绪论 基本术语
6、测量方法的分类测量值 获得方法 的不同直接测量,间接测量 和 组合测量测量条件 的不同等精度测量 与 不等精度测量绪论 基本术语
7、计量定义,实现 单位统一,量值准确可靠 的活动。
计量 属于 测量 的范畴 。
单位统一是指计量单位的统一,它是量值统一的重要前提 。
量值准确可靠 表征的是测量结果与被测量真值的接近程度。
,准,的定量描述用 误差 或 不确定度 。
绪论 基本术语
7、计量 ----米制米制 是 18世纪末由法国创立的一种计量单位制经过巴黎的地球子午线的四千万分之一作为长度单位，定名为,米,
已 米 的十分之一长度为立方作为容量的单位，定义为,升,
已一 立方分米 的 纯水 在 4C° 的重量（质量）
作为重量的单位，定名为,千克,
1875年签定,米制公约,,成为国际上通用的计量单位制。
绪论 基本术语
7、计量 -----国际单位制国际单位制
1954年第十届国际计量大会决定采用 米,千克、秒、安培、开尔文 和 坎德拉 作为基本单位。
1960年第十一届国际计量大会决定将以这六个基本单位的实用计量单位制命名为,国际单位制”,并规定其符号为,SI”。
1974年第十四届国际计量大会又决定增加 物质的量 的单位 摩尔 作为基本单位。目前国际单位制有 七个基本单位 。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类按照专业把计量学分为 长度计量、温度计量,电磁计量、力学计量、无线电计量、时间频率计量、放射性计量、光学计量、声学计量、
化学计量 10 大类。
长度计量 是对物体的几何量的测量。 内容包括端度、
线纹、角度和表面粗糙度、平面度、直度等。
温度计量 就是利用各种物质的热效应来计量物体的冷热程度。包括超低温、低温、中温、高温、超高温、热量等。
力学计量 包括质量、容量、密度、压力、真空等。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类
电磁计量 是根据各种电磁原理，对各种电磁物理量进行的测量，包括电流,电动势、电阻、电感、电容、
磁场强度等。
无线电计量 是无线电技术所用全部频率范围内从超低频到微波的一切电气特性的测量，包括高频电压、
功率、噪声、衰减、失真度等。
时间频率计量 是对时间和频率进行的计量。
绪论 基本术语
7、计量 -----分类
放射性计量 又称为电离辐射计量，使对能直接和间接引起电离的辐射进行的测量。
光学计量 主要包括光强、光通量、照度、色度等。
声学计量 专门测量物质中声波的产生、传播和接受等。
化学计量 也称为 物理化学计量,是指对各种物质的成分和物理特性、基本物理常数的分析、测定。
绪论 基本术语
8、测试可以理解为,具有试验性质的测量,,
也可以理解为,实验和测量的综合,。
测试 和 测量 的不同含义主要是它具有探索、分析、研究和试验特征。
测试 的 本质是测量,是测量的外延和扩展。
绪论 基本术语
9、误差公理 测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量过程之中 。
①,米制,建议 （ 18世纪末法国科学院）,米,定义 （ 1791年 法国国会 ）
通过巴黎的地球子午线长度的四千万分之一铂杆,档案尺,（ 1799年）两端之间的距离，第一个实物基准，变形较大，
废弃（ 1872年米制国际会议）
② 铂铱合金的 X形尺 --- 米原器（ 1889年第一次国际计量大会）
中性面上两端的二条刻线在 0?C时的长度,?（ 1~2）?10-7（复现精度）
③ 自然基准 （ 1960年第十一次国际计量大会） --- 废弃米原器
Kr-86的 2 p 10和 5 d 5 能级间跃迁在真空中的辐射波长的 1650763.73倍。
（ 0.5~1）?10-8（复现精度）
④,米,新定义 （ 1983年第十七届国际计量大会） --- 光在真空中 1s时间内传播距离的 1/299792485 ---?1.3?10-10 （复现精度）
绪论 研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析产生的原因，以减小或消除误差；
正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果 ；
正确组织实验过程合理设计仪器和测量方法 。
绪论 误差的基本概念
1、误差的定义测量误差 是指 测得值 与被测量的 真值 之间的差，简称 误差 。
误差 ＝ 测量值 － 真值
xa
绪论 误差的基本概念
测得值测得值 （ 测量结果 ） x 是由测量所得到的赋予被测量的值 。
测量结果 x 的值可由计量器具直接测得,也可以通过对测得值借助已知的函数关系式计算得到 。
广义上我们可以把 测得值,测量值,检测值,实验值,示值,名义值,标称值,给出值 等均看作是测量结果 。 测量结果是我们要研究的对象 。
绪论 误差的基本概念
测得值测量结果又分为 单次测量结果 和 平均测量结果单次测量结果 是指对被测量每一次测量所得到的测量结果，用于测量过程的详细描述。
平均测量结果 系指对被测量多次测量，其若干个单次测量结果的平均值。平均测量结果通常用于被测量最后测量结果的描述。在结出测量结果时应说明它是 单次测量结果,还是 平均测量结果 。
测量结果仅是被测量之值的估计。在测量结果果的完整表述中还应包括 误差 或 测量不确定度 。
绪论 误差的基本概念
真值真值 定义为与给定的 特定量 的定义一致的值。
所有的被测量在特定的条件下，理论上都有一个对应的客观、实际值存在，我们称之为,理论真值,。之所以称为,理论真值,是因为对被测量的量值的定义条件实际上都是理想中的。 量的真值 只有通过完善的测量才有可能获得。而我们在测量时不能够绝对按这个定义进行，也就是说真值只是个理想的概念,这在误差理论研究中非常重要。
绪论 误差的基本概念
真值真值的类型 。
理论真值,
极少数可知,大多数为不可知 。
约定值
指定值,由国际计量局等权威组织定义,推荐或指定：
如七个 SI单位 。
约定值,在实际测量中,用高一级标准计量器具的量值相对于低一级的计量器具的量值为约定真值 。
在检定工作中常用约定真值。
最佳估计值,
通常将一被测量在重复条件或复现条件下的多次测量结果的平均值作为最佳估计值，并作为约定真值。
绪论 误差的基本概念
2,误差的表示方法
绝对误差
相对误差
引用误差
分贝误差绪论 误差的基本概念
绝对误差某量值的测得值与真值之差为 绝对误差,
简称为 误差 。
误差 ＝ 测量值 － 真值修正值：为消除系统误差用代数法而加到测量结果上的值称为修正值，即：
真值 ≈ 测得值 +修正值修正值 ＝ 真值 － 测得值修正值和误差值的大小相等，符号相反。
绪论 误差的基本概念
相对误差
绝 对 误 差 绝 对 误 差相 对 误 差 真 值 测 得 值 （ 约 定 真 值 ）
和绝对误差一样，相对误差可能为正值或负值。
相对误差无单位，通常以百分数表示（ %）
对于相同的被测量绝对误差可以评定其测量精度的高低。
对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。
绪论 误差的基本概念
相对误差
1
1
100
10
l m m
m
2
2
100
8
l m m
m
3
3
80
7
l m m
m
绪论 误差的基本概念
引用误差绝对误差和相对误差通常用于单值点测量误差的表示。而对于具有连续刻度和多档量程和测量仪器的误差，则用 引用误差 来表示。
它是以仪器仪表某一刻度点的 示值误差 为 分子,
以 测量范围上限 或 全量程为分母,所得的 比值 。
示 值 误 差 绝 对 误 差引 用 误 差 ＝ ＝
特 定 值 测 量 范 围 上 限绪论 误差的基本概念
引用误差
示值误差 是用仪器中各示值点上的绝对误差来表示,通常取最大值。
特定值 又称 引用值,测量范围上限或全量程。
例如 P3 的例子
国家标准和国家计量技术规范将某些专业的仪器仪表按引用误差的大小分为若干准确度等级，例如将电压表分为 0.05、
0.1,0.2,0.3,0.5,…,5.0等 11个等级，符合某一个等级 S 的仪表说明该仪表在整个测量范围内各示值点的引用误差不超过 S %。
绪论 误差的基本概念
引用误差一块 0.5级的测量范围为 0～ 150V的电压表，经更高等级标准电压表校准，在示值为 100.0V时，测得实际电压（相对真值）为 99.4V，问该表是否合格？
绪论 误差的基本概念
分贝误差在无线电，声学等计量中，常用分贝误差来表示相对误差。
设电压值 u1和 u2的比值为 a，则 a＝ u1/u2，则称为 电压比的分贝,记作 dB。
若比值 a有误差 δa,则导致分贝 A产生分贝误差 δA,它们有如下关系分贝误差 是一种特殊形式的相对误差，它的符号与 绝对误差相同。
1
2
2 0 l g 2 0 l guAau
2 0 lg ( 1 ) 8,6 9 ( )aaA dBaa
绪论 误差的基本概念
3、误差的来源
测量装置误差
（１）标准量具的误差
（２）仪器误差
（３）附件误差
环境误差
方法误差
人员误差
被测对象的变化误差绪论 误差的基本概念
被测对象的变化误差
3、误差的来源绪论 误差的基本概念
4,误差的分类按照误差的特点和性质，误差可以分为 系统误差,随机误差 （也称 偶然误差 ）和 粗大误差 三类。
系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。
随机误差在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。
粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
绪论 误差的基本概念
5、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度,它与误差的大小相对应，因此可以用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
绪论 误差的基本概念
5、精度精度又可以分为,准确度,精密度 和 精确度
准确度 它反映测量结果中系统误差的影响程度。
精密度 它反映测量结果中随机误差的影响程度。
精确度 它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量不确定度
（或极限误差）来表示。
绪论 误差的基本概念
5、精度
(a)系统误差和随机误差都大，即准确度，精密度都低；
(b)系统误差大，随机误差小，即准确度低，精密度高；
(c)系统误差和随机误差都小，即精确度高。
绪论 有效数字由于 测量误差 的存在，所有的测量数据均为近似数，所得到的最终结果仅是被测量的近似估计值，自然也是近似数，因此，测量数据的处理，
从某种意义上说便是数的运算。
在测量结果和数据运算中，确定用几位数字来表示测量或数据运算的结果，是一个十分重要的问题。
绪论 有效数字与数据运算
1、有效数字计量学定义 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。
数学定义 从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数，都叫做有效数字，若具有几个有效数字，就叫做几位有效数字。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字在判断有效数字时，对于 零 这个数字有三点说明：
它可能是有效数字也可能不是有效数字，这取决于它处在近似数中的位置。
当零处在第一位有效数字以前，不算是有效数字。
当零处在第一位有效数字以后，是有效数字。
小数点以后的零若是有效数字，反映了近似数的误差，不能随取舍。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：
在第一个有效数字以前的零与误差无关。
0.0036和 3.6× 10-3是完全等价的。
若近似数的右边带若干个零的数字，可以写成
a× 10n形式 （科学计数法） 1≤a ＜ 10，利用这种写法可以从 a含有几个有效数字来判断近似数 有几位有效数字 。
绪论 有效数字 与数据运算
1、有效数字
在测量结果中，最末一位有效数字取到那一位，
由测量精度来决定的，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的。
测量结果应保留有效位数的原则是：其最末一位是不可靠的、而倒数第二位应该是可靠的。
测量误差一般取 1～ 2位有效数字。
绪论 有效数字与数据运算
2、数字舍入规则对于位数很多的近似数,当有效位数确定后,其后面多余的数字应予舍去,而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整；
,四舍、六入、五凑偶,
跟四舍五入相比，舍入误差是随机误差。
而四舍五入是由于舍入误差的累积成为系统误差绪论 有效数字与数据运算
2、数字舍入规则
若舍去部分的数值,大于保留部分的末位的半个单位,则末位加 1。
若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
若舍去部分的数值,等于保留部分的末位的半个单位,在末位凑成偶数 。
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则在近似运算中,为了保证最后结果有尽可能高的精度,所有参与运算的数据,在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字,或称安全数字 。
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---加减法
在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。
0.1802
＋ 1648.0
1648.1802
0.1802＋ 1648.0
≈0.18 ＋ 1648.0
＝ 1648.18
≈1648.2
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---加减法例如,1425.4十 343.1十 11.243十 9.7427
≈1425.4十 343.1十 11.24十 9.74
＝ 1789.48
≈1789.5
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则 ---乘除法
1.3642
× 0.0026
8 1852
2 7 284
0.003 5 4692
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则
---乘除法
在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
1.36
× 0.0026
816
2 72
0.00 3 536
1.3642× 0.0026
≈1.36 × 0.0026
＝ 0.003536
≈ 0.0035
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则例如
3.142× 2.4
≈ 3.14 × 2.4
＝ 7.536
≈ 7,5
绪论 有效数字与数据运算
3、数据运算规则
在近似数平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆运算，故可按乘除运算处理。
在对数运算时,n位有效数字的数据应该用 n位对数表，
或用（ n+1）位对数表，以免损失精度。
三角函数运算中，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多。当角度误差为 时，对应的函数值位数应为 5,6,7及 8位。
1 0,1,0,1,0,0 1
