误差的基本性质与处理
随机误差
系统误差
粗大误差
测量结果的数据处理实例一,随机误差
随机误差产生的原因
随机误差的分布
算术平均值原理
测量 的标准差
测量的极限误差
不等精度测量一,随机误差
随机误差产生的原因
1、原因
测量装置 零部件配件的不稳定、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。
环境 温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。、
人员 瞄准、读数的不稳定等。
被测量对象 的随机变化一,随机误差
随机误差产生的原因
2、特征
随机性
产生在测量过程中
与测量次数有关，等精度测量时增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响一,随机误差
随机误差的分布
1,正态分布 的统计直方图和经验分布曲线对某一量 X 进行多次等精度测量,由于随机误差因素的作用,多次测量结果都不相同,这些结果按照一定的规律分布 。
为研究其中的分布规律,首先作出统计直方图 。
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图横坐标,测量值矩形底边：
矩形高：
矩形面积：
x?
in
nx?
in
n
xX
()fx
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图
xX?0
xX
()f?()fx
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图横坐标,随机误差矩形底边：
矩形高：
矩形面积,
in
n
in
n
()f?
0
一,随机误差?随机误差的分布
2、随机误差正态分布的分布密度
()f?
0
2
221
()
2
fe
一,随机误差?随机误差的分布
3、随机误差正态分布的数学期望
()f?
0
数学期望 是误差 的分布中心，他反映了 的平均特征。或者说数学期望是 所有可能取值的平均值 。
()E
()E?
一,随机误差?随机误差的分布
()f?
0
3、随机误差正态分布的数学期望
( ) ( )E f d
一,随机误差?随机误差的分布
5、服从正态分布随机误差的特征
对称性
单峰性
有界性
抵偿性
()f?
0
一,随机误差
算术平均值原理对某一量进行一系列等精度测量,
由于存在随机误差,其测得值皆不相同,
应以全部测得值的所属平均值作为最后的测量结果 。
一,随机误差
1、算术平均值的定义在等精度测量中，设
算术平均值原理
12,,...,nl l l
为 n次测量所得到的值，则算术平均值为
1 2 1...
n
i
ni
l
l l l
x
nn
一,随机误差
2、测量次数增加时，算术平均值趋近于真值
算术平均值原理设
12,,...,nl l l
为 n次测量所得到的值,真值为
0iilL
0L
则测量的随机误差为 （ i=1,2,…,n）
1 2 1 2 0()nnl l l n L
0
11
nn
ii
ii
l n L?
11
0
nn
ii
ii
l
L
nn
一,随机误差
2、测量次数增加时，算术平均值趋近于真值
算术平均值原理
n 1 0
n
i
i
n
1
0
n
i
i
l
xL
n
这就是算术平均值与被测量的真值最为接近的理论依据,即,当测量次数无限增加时,算术平均值必然趋近于真值 。 但在实际上,进行无穷多次的测量是不可能的,
因此真值实际上也不可能得到 。 然而可以认为,当测量次数适当大时,算术平均值是最接近于真值的 。 所以应以全部测得值的算术平均值作为最后测量结果 。
一,随机误差
3、残余误差
算术平均值原理一般情况下，被测量的真值未知，不可能严格定义进行误差的计算，这时可以用算术平均值代替真值进行计算，则有：
为第 个测得值为 的 残余误差il
iliv
i
iiv l x
一,随机误差
4、算术平均值的简便计算
算术平均值原理当测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多，直接按定义计算算术平均值，既繁琐，又容易产生错误，此时可用以下简便法进行计算：
任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，
计算出每个测得值 与 的差值,0l
il
0iil l l
1
n
i
i
l
x
n
1
0
n
i
i
l
x
n
00x l x
因,
0l
一,随机误差
4、算术平均值的简便计算
算术平均值原理序号
1 1879.64 -0.01 0
2 1879.69 +0.04 +0.05
3 1879.60 -0.05 -0.04
4 1879.69 +0.04 +0.05
5 1879.57 -0.07 -0.07
6 1879.62 -0.03 -0.02
7 1879.64 -0.01 0
8 1879.65 0 +0.01
9 1879.64 -0.01 0
10 1879.65 0 +0.01
il?
x =1879.64 =-0.01 =-0.010x? 10
1 ii
v
测量某物理量 10次，得到见左表，
求算术平均值。
表中选参考值为
0 1 8 7 9,6 5l?
il iv
一,随机误差
5,算术平均值及残余误差的计算校核
算术平均值原理算术平均值及残余误差的计算是否正确,一般用求得的残余误差代数和性质来校核 。
11
nn
ii
ii
v l n x
1
0
n
i
i
v
当求得的 为未经凑整时，则有x
残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核但是实际计算时，往往会遇到小数较多或除不尽的情况，必须根据测量的有效数字，按数据舍入规则，对算术平均值进行截取与凑整，因此实际得到的可能经过凑整的非准确数，存在舍入误差 △,
1
11
()
n
inn
i
ii
ii
l
v l n n
n
1
n
i
i
l
x
n
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差。
规则一：
当,求得的 为非凑整的准确数时,为零；
1
n
i
i
v
x1
n
i
i
l nx
当,求得的 为凑整的非准确数时,为正；
1
n
i
i
v
x1n ii l nx
当,求得的 为凑整的非准确数时,为负；
1
n
i
i
v
x
1
n
i
i
l nx
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核
1
( 0.5 )
2
n
i
i
nvA
1 2
n
i
i
nvA
当 n为偶数时当 n为奇数时规则二：
式中的 A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位一,随机误差
测量 的标准差有下列两组测得值,即：
第 1组,20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002
第 2组,19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994
这两组测得值的算术平均值都为 20.0000。 容易看出,
第 2组数据的比第 1分散,那么如何总体上评定一组测得值呢？
一,随机误差?测量 的标准差由于随机误差的存在,等精度测量列中各个测量值一般皆不相同,它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散,此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性,必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准 。
1、单次测量 的标准差一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0
2
221
()
2
fe
()f?
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0
()f?
1
2
3
1 2 3
2
221
()
2
fe
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差标准差 σ 的数值小,该测量列相应小的误差就占优势,任一单次测得值对算术平均值的分散度就小,测量的可靠性就大,即测量精度高；反之,
测量精度就低 。
因此单次测量的标准差 是表征同一被测量的
n次测量的测得值分散性的参数,可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准 。
标准差 σ 不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差,它的大小只说明,在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况 。
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
2
2 2 2
1 2 1
...
n
i
ni
nn
当被测量的真值为未知时,按上式不能求得标准差 。 实际上,在有限次测量情况下,可用残余误差代替真误差,而得到标准差的估计值 。
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0iilL
1 1 0
2 2 0
0nn
l x x L
l x x L
l x x L
11
22
x
x
nn x
v
v
v
11
nn
ii x
ii
vn
1 1 1
n n n
i i i
i i i
x
v
n n n
2
2
111
2
2
2
1
2
2
2
nnn
ijii
ij
x
n
i
i
i
i
nn
n
n
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
11
22
x
x
nn x
v
v
v
2 2 2
1
2
1
2
11
2
n
ix x x
i
n n n
i i i
i i i
v n v nv
2
22
1
1
1
2
n
inn
ii
ii
i
n
vn
2
1
n
i
i
n
22
1
n
i
i
n
2
1
1
n
i
i
v
n
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量,每一系列测量都有一个算术平均值,由于随机误差的存在,各个测量列的算术平均值也不相同,它们围绕着被测量的真值有一定的分散,此分散说明了算术平均值的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可作为算术平均值不可靠性的评定标准 。
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差
x n
在 n次测量的等精度测量列中算术平均值的标准差为单次测量标准差的,当测量次数 n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值,测量精度也愈高 (P16) 。
1/ n
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差算术平均值的标准差与测量次数的平方根成反比,
由图可知,当 n>10以后,已减少非常缓慢 。 此外,由于测量次数愈大时,也愈难保证测量条件的恒定,从而带来新的误差,因此一般情况下取 n=10已内较为适宜 。
０ ５ １０ １５ ２０
n
x?
一,随机误差?测量 的标准差
3、标准差的其它计算法别捷尔斯法它可由残余误差 v的绝对值之和求出单次测量得标准差,
算术平均值的标准差为
11,2 5 3
( 1 )
n
i
i
v
nn
11,2 5 3
1
n
i
i
x
v
nn
一,随机误差?测量 的标准差
3、标准差的其它计算法极差法用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均为先求算术平均值,再求残余误差,然后进行其它运算,计算过程比较复杂 。
当要求简便迅速算出标准差时,可用极差法 。
若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值,则两者之差为极差。
12,nx x x、
maxx minx
m a x m innw x x
n
n
w
d
极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在
n<10时均可采用一,随机误差?测量 的标准差一般情况下，被测量的真值为未知，这时按最大残余误差进行计算在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定真值），因而能够算出随机误差,取其中绝对值最大的一个,当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式为：
i? maxi?
,
m axi
nK
3、标准差的其它计算法?最大误差法
,
m axi
n
v
K
一,随机误差?测量 的标准差
① 最大误差法简单,迅速,方便,容易掌握,因而有广泛用途 。
②在代价较高的实验中（如破坏性实验），往往只进行 一次实验,此时贝塞尔成为 形式而无法计算标准差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。
00
3、标准差的其它计算法?最大误差法一,随机误差?测量极限误差测量的极限误差是极端误差,测量结果 （ 单次测量或测量列的算术平均值 ） 的误差不超过该极端误差的概率为 P,并使差值 （ 1－ P） 可予忽略 。
1,单次测量的极限误差条件：测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时,可求得单次测量的极限误差 。
随机误差正态分布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率,即：
而随机误差在 范围内的概率为,
22/( 2 )1 1
2 ed
至 ＋
2 2 2 2/( 2 ) /( 2 )01222P e d e d
一,随机误差?测量极限误差引入新的变量 t
经变换，上式成为此函数称为拉普拉斯函数，或称概率积分，若某随机误差在 范围内出现的概率为,则超出的概率为由表 2-6可见：
,tt
2 /202 2 ( )2 t tP e dt t
2
0
1()
2
t tt e dt
t2 t?
1 2 ( )at
1t ( 1 1 ) 2 ( ) 0,6 8 2 6ap t p t当,即
1、单次测量的极限误差一,随机误差?测量极限误差
1、单次测量的极限误差由书中表可见,随着 t的增大,
超出的概率减小得很快 。 由于在一般测量中,测量次数很少超过几十次,因此可以认为绝对值大于 的误差是不可能出现的,通常把这个误差称为单次测量的极限误差,即：
3?
lim 3x
一,随机误差?测量极限误差
1、单次测量的极限误差在实际测量中,有时也可取其他 t值来表示单次测量的极 限 误 差 。 如取 t ＝ 2.58,P ＝ 99 ％ ； t ＝ 2,P ＝
95.44% ;t=1.96,P=95%等 。 因此一般情况下,测量列单次测量的极限误差可用下式表示,
若已知测量的标准差,选定置信系数 t,则可由上式求得单次测量的极限误差 。
lim xt
一,随机误差?测量极限误差
2,算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差,即,
0x xL
当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，同样得到测量列的算术平均值的极限误差表达式,
xi
lim xxt
一,随机误差?测量极限误差
2,算术平均值的极限误差
t为置信系数,为算术平均值的标准差。
当测量列的测量次数较少时，按,学生氏,分布（ t
分布）来计算测量列的算术平均值的极限误差：
—— 置信系数，由给定的置信概率 和自由度确定。
为超出极限误差的概率（显著度）。
x?
lim a xxt
at 1Pa
1vn
a
一,随机误差?测量极限误差
3,算术平均值的极限误差对同一个测量列,按正态分布和 t分布分别计算时,即使置信概率的取值相同,但由于置信系数不相同,因而求得的算术平均值极限误差也不相同 。
当测量列的测量次数较少时,一般按,学生氏,分布 （ t分布 ） 来计算测量列的算术平均值的极限误差 。
在精密测量中,通常的测量次数很少有超过 20次的,因此,
在数据处理中,理论上应按 t分布来计算相应的误差限；只有在测量次数较多 (n＞ 20)的情况时,或其测量不甚重要时,
才可近似地应用正态分布的理论来处理 。
当 n无限增大时,t分布曲线与正态分布曲线基本重合,即按两个分布理论来处理测量数据,所得的结果差异是极小的,
二,系统误差
系统误差的特征
系统误差产生的原因
系统误差的发现
系统误差的减小和消除二,系统误差?系统误差的特征
确定性，恒定值或呈确定的规律性；
产生在测量之前
不具有抵偿性,多次测量不能消除和减弱它的影响二、系统误差?系统误差的产生原因系统误差是由固定不变的或按一定的规律变化的因素造成的。对待系统误差的基本措施是要设法发现并予以消除。产生原因：
测量装置
环境因素
测量方法，近似测量原理和近似计算
测量人员二、系统误差?系统误差的分类
定值系统误差在同一测量条件下,多次重复测量同一量值时,
误差的绝对值和正负符号恒定不变,这种误差就叫作定值系统误差 。 如刻度尺不准确,千分尺未校准零位 。
定值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值,对测得值的残差没有影响,即不影响随机误差的分布规律和精度参数 。 变值系统误差则不然,
它对算术平均值及残差都有影响,即既影响分布规律,也影响标准差等精度参数值 。
二、系统误差?系统误差的分类
线性系统误差误差随测量过程的时间 (或被测量值 )的延伸而呈线性递增或递减。如测量过程中温度呈线性变化引起的误差；刻度均匀地增大所引起的误差。
周期性变化的误差误差按周期规律变化，最常见的为正弦周期误差。如干分表指针轴与刻度盘有偏心；测量机构中大多数齿轮传动引起的误差，都是正弦周期误差。
二、系统误差?系统误差的分类
复杂规律变化的系统误差误差的变化规律比较复杂。如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值误差。这类误差可用实测经验曲线来表示。
还有一种不定系统误差，即误差的大小和正负符号都未知 (或其中之一未知 )，但可估计误差的大小范围。如用,等,的量块作微差比较测量，虽量块的具体检定误差是一未知的定值，其对测量结果的影响是属系统误差，但误差大小只能估计出于检定范围 (量块的检定误差 )。这种误差，按习惯是当作随机误差来处理。
二,系统误差?系统误差的发现
1、实验对比法 （用于发现不变的系统误差）
要判断某一测量条件下是否有定值系统误差，在确信没有明显变值系统误差 (可用后面介绍的方法来发现和消除 )的前提下，可以改用更好的测量条件
(如改用更高精度的仪器或基准 )，进行检定性测量。
以此两种不同的测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
2、计算数据比较法或均值与标准差比较法
（用于发现不变的系统误差）
对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
2、计算数据比较法或均值与标准差比较法
（用于发现不变的系统误差 P37）
若对同一量值独立测量两组数据，设测量次数分别为 n1 和
n2,得两组算术平均值和标准差为：
1x 1? 2x 2?
ijxx
22ij
2212 ijx x t若 两组数据无系统误差二,系统误差?系统误差的发现
3、残差观察法（用于发现有规律变化的系统误差）
前面已经讲到,变值系统误差不但影响测量列数据的算术平均值,还将影响各测得值的残差及其分布规律 。 因此,可通过分析观察残差的变化情况,
或检验它是否服从预知的分布规律 (一般是正态分布 ),来发现变值系统误差,
根据测量先后顺序,将测量列的残余误差列表或者作图进行观察,按残余误差的变化情况 (大小和正负符号的变化 ),可判断有无变值系统误差以及其类型属哪一种 。 （ p35）
二,系统误差?系统误差的发现
4、残差校核法（用于发现线性系统误差）
若将测量列的前 K个残差相加,后 （ n-k） 个残差相加,当 n 为偶数,取 k=n/2； 当 n 为奇数,取
k=（ n+1） /2,若两部分残差相减明显地不接近于零,故可判断其中含有线性系统误差 。
因为含有线性系统误差的测量列,其测得值的算术平均值是在测量值顺序的中点附近,所以前后两组残差的代数和总是大小接近相等而符号相反 。 因此两部分差值将明显地不接近于零 。
二,系统误差?系统误差的发现
4、残差校核法（用于发现周期性系统误差）
若有一等精度测量列,若该测量列中存在周期性系统误差,则相邻两个残差的差值符号也将出现周期性的正负号变化,因此由残差的差值也可以判断是否存在周期性的系统误差 。
判断准则：
1
1 1 2 2 3 1
1
21
n
i i n n
i
u v v v v v v v v
un?
则测量列存在周期性的系统误差若二,系统误差?系统误差的发现
5、不同公式计算标准差比较法若对等精度测量,用不同的公式计算标准差,通过比较可以发现系统误差 。
2
1
1 1
n
i
i
v
n
1
2 1,2 5 3 ( 1 )
n
i
i
v
nn
2
1
21
1u n
贝赛尔公式：
别捷尔斯公式：
若 则测量列存在系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
6、秩和检验法（ P38）
将两组数据混合后,按大小顺序排列,取测量次数少的那一组,数出它的测得值在混合后的次序 （ 即秩 ）,再将所有测得值的次序相加,即得秩和 T 。
秩和的确定方法当两组的测量次数小于或等于 10,通过查表得到。
T T T
判断准则当两组数据中有相同的数值时，该数据的 秩 按排列的两个次序的平均值计算．
两组数据无系统误差二,系统误差?系统误差的发现
7,t检验法若独立测得的两组数据为：
,1,2,..,,
,1,2,..,,
ix
jy
x i n
y j n
22
( 2 )()
( ) ( )
x y x y
x y x x y y
n n n nt x y
n n n n
此变量服从自由度为令变量
( 2 )xynn 的 t 分布变量取显著度 α,由 t 分布表查得 ta 如果
att?
则两组数据间无系统误差 。
二,系统误差?系统误差的发现以上介绍这些系统误差发现方法，按其用途可分为两类：
第一类：用于发现测量列组内的系统误差，
包括实验对比法，残余误差观察法，残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法。
第二类：用于发现各组测量之间的系统误差，包括计算数据比较法，秩和比较法和 t 检验法。
二、系统误差?系统误差的减小和消除消除和减小系统误差的途径有以下 3个方面：
从误差根源上消除；
在测量过程中采取一定措施，避免系统误差引入测量结果；
设法掌握系统误差的具体大小数值，从测量结果中修正，如量块、线纹尺等采用修正值。
应该指出，系统误差的消除，只能达到一定限度，
限度以外的微小误差，已具有随机性质，一般可归入随机误差来处理。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
所用基,标准件 (如量块,刻尺,光波波长等 )是否准确可靠,
有无修正值,如有,则应修正测量结果 。
所用量具仪器是否处于正常的工作状态,是否按规定期限进行检定,使用前和使用过程中有无异变或事故 。
仪器的调整,测件的安装定位和支承装卡是否正确合理 。
所采用的测量方法和计算方法是否正确,有无原理误差；在数据处理过程中有没有误算和疏漏,对重要的计算,应反复核查 。
测量所在的环境条件是否符合规定要求,特别是温度变化的影响,尤为重要 。
避免测量人员带入主观误差,
1、从产生根源上消除系统误差二、系统误差?系统误差的减小和消除这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。
2,用修正方法消除系统误差二、系统误差?系统误差的减小和消除
替代法3、不变系统误差消除法这种方法是在一定的测量条件下,对某一被测量值进行测量,使在仪器上得到某一种状态 (如指针指示零位,电桥平衡,天平平衡等 ),再以同样性质的标准量值代替被测量值,调整标准量值的大小,使在仪器上呈现出与前者相同的状态,则此时的标准量值即等于被测量值 。 由于两次测量都在量仪上呈现同一状态,故一切定值系统误差的影响相同,这样就消除了除标准量值本身的定值误差以外的一切定值系统误差 。
替代法对大小可连续改变的标准量,使用尤为方便 。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
抵消法3、不变系统误差消除法当已知有某种产生定值系统误差的因素存在，而又无法从根源上消除，也难以确定其大小并从测量结果中修正时，可考虑有否可能用抵消法消除。先在有定值系统误差的状态下进行一次测量，再在该定值系统误差影响相反的另一状态下再测一次；取两次测量的平均值作为测量结果，这样，大小相同但符号相反的两定值系统误差就在相加后再平均的计算中互相抵消。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
交换法3、不变系统误差消除法这种方法是根据误差产生原因,将某些条件交换,以消除系统误差 。 例如在等臂天平上称量,先将被测量 X 放于左边,标准砝码 P 放于右边,调平衡后,则有：
X,P交换位置后，由于,P 将换为 才能与 X平衡，
即即可消除两臂不等而带来的系统误差。
2
1
lXP
l?
12ll? P P P
2
1
lP P P X
l
2
PPX P P
二、系统误差?系统误差的减小和消除
4、线性系统误差消除法 ---对称法线性系统误差一般多随时间呈线性变化，因此，将测量顺序对某一时刻对称地进行测量再通过计算，即可达到消除线性误差的目的。
如右图，随着时间的变化，被测量作线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算术平均值皆相等。
利用这一特点，可将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。这种方法是检定规程规定的测量方法。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
4、周期性系统误差消除法 -----半周期法周期误差一般是出现在有圆周运动的情况 (如度盘等 ),多呈正弦形式,以 360度为周期 。 因此,
在相距 180度的两对径位置上作两次测量读数,再取平均值,即可消除此误差 。 这种方法和反向补偿法有些相似 。
三、粗大误差
粗大误差产生的原因
防止和消除粗大误差的方法
粗大误差判别准则三、粗大误差?粗大误差产生的原因粗大误差又称疏忽误差或过失误差 。 含有粗大误差的测量数据,常比正常数据相差较大 (过大或过小 )。 当对某一量值作多次独立的等精度重复测量,
如其中个别或少数数据明显地偏大或偏小时,则可怀疑数据中含有粗大误差 。
产生原因：
测量人员：技术不熟练,测量时不小心等；
测量环境或条件,外界的突然干扰 (例如突然振动,仪器电源电压的突然变化 )等原因造成的 。
三、粗大误差?防止和消除粗大误差的方法对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据,或经检查明显是错读,错记的数据,则应弃舍 。 但不能不知原因不加分析就轻易弃舍测量列中最大或最小的数据,因为这样可能造成错觉,
会对余下数据的精度作出过高的估计 。
防止和消除粗大误差的方法
加强测量人员的责任心、提高业务能力等
保证测量环境的稳定
采用不等精度测量的办法三、粗大误差?粗大误差判别准则
1,3σ准则对于某一测量列,若各测得值只含有随机误差,则根据随机误差的正态分布规律,其残余误差的绝对值落在 3σ以外的概率很小,即在 370次测量中只有一次其残余误差 。 如果在测量列中,发现有大于 3σ的残余误差的测得值,则可以认为它含有粗大误差,应予剔除 。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按 t 分布的实际误差分布范围来判别粗大误差。其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按余下的数据计算算术平均值和标准差值，再判断被剔除的数据是否含有粗大误差。
注意：查表（检验系数表）时的 n是总的测量次数，不是剔除可疑数据后的数据个数 n-1.
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则设对某量作多次等精度测量,得测量列若认为测量值并求得测量列的标准差 (计算时不包括
1 2 3,,..,.,x x x
为可疑数据，将其剔除后计算平均值为
jx
1
1
1
n
i
i
ij
xxn
()jjv x x
1
2
n
i
i
v
n
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则根据测量次数 n 和选取的显著度 α,即可由表 2— 12
查得 t 分布的检验系数 k( n,α)
jx x k
则认为测量值如果否则认为含有粗大误差，剔除
jxjx
是正确的不合有粗大误差，应予保留。
jx
三、粗大误差?粗大误差判别准则
3、格罗布斯准则设对某量作多次等精度测量,得测量列为检验测量列中是否存在粗大误差,将测量列排序
1 2 3,,..,.,x x x
( 1 ) ( 2 ) ( )..,nx x x
( ) 0 (,)ig g n a?
如果则判断该值含有粗大误差 。 其中
()
()
n
n
xxg
0 (,)g n a
( 1 )
( 1 )
xxg
由查表得出 。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
4、狄克松准则
1 2 3,,..,.,x x x
设对某量作多次等精度测量,得呈正态分布的测量列可以得到统计量
ijr
如果
0ijrr?
则判断该值含有粗大误差。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
3σ准则是以测量次数充分大为前提,但通常测量次数皆较少,因此准则只是一个近似的准则 。 实际中只在要求不高时使用 。
对测量次数较少但要求较高的测量列 。 应采用后三种准则 。 其中格罗布斯准则可靠性最高 。
测量次数很少时,采用罗曼诺夫斯基 准则
需要从测量列迅速判别粗大误差的测得值,采用狄克松准则三、粗大误差?粗大误差判别准则若同时有一个以上的测得值含有粗大误差,
只能剔除其中最大的那一个数据 (如只两个相同的数据超限,也只能剔除其中的任一个 )。
也就是说,一次只能剔除一个数据,之后再按剩下的数据重新计算算术平均值及其标准差,继续判断另一个可疑数据,直到全部数据无问题为止四,测量结果的数据处理实例
求算术平均值
求残余误差
校核算术平均值和残余误差
判断系统误差
计算测量列单次测量的标准差
判断粗大误差
求算术平均值的标准差
求算术平均值的极限误差
写出最后的测量结果四,测量结果的数据处理实例
对一轴径等精度测量 9次,得到下表数据,求测量结果序号
1 24.774 -0.001 0.000001
2 24.778 +0.003 0.000009
3 24.771 -0.004 0.000016
4 24.780 +0.005 0.000025
5 24.772 -0.003 0.000009
6 24.777 +0.002 0.000004
7 24.773 -0.002 0.000004
8 24.775 0 0
9 24.774 -0.001 0.000001
/il mm /iv mm 2 /iv mm
0.001v m m24.775x m m? 2 0,0 0 0 0 6 9v m m
随机误差
系统误差
粗大误差
测量结果的数据处理实例一,随机误差
随机误差产生的原因
随机误差的分布
算术平均值原理
测量 的标准差
测量的极限误差
不等精度测量一,随机误差
随机误差产生的原因
1、原因
测量装置 零部件配件的不稳定、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。
环境 温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。、
人员 瞄准、读数的不稳定等。
被测量对象 的随机变化一,随机误差
随机误差产生的原因
2、特征
随机性
产生在测量过程中
与测量次数有关，等精度测量时增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响一,随机误差
随机误差的分布
1,正态分布 的统计直方图和经验分布曲线对某一量 X 进行多次等精度测量,由于随机误差因素的作用,多次测量结果都不相同,这些结果按照一定的规律分布 。
为研究其中的分布规律,首先作出统计直方图 。
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图横坐标,测量值矩形底边：
矩形高：
矩形面积：
x?
in
nx?
in
n
xX
()fx
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图
xX?0
xX
()f?()fx
一,随机误差?随机误差的分布
1、正态分布的统计直方图横坐标,随机误差矩形底边：
矩形高：
矩形面积,
in
n
in
n
()f?
0
一,随机误差?随机误差的分布
2、随机误差正态分布的分布密度
()f?
0
2
221
()
2
fe
一,随机误差?随机误差的分布
3、随机误差正态分布的数学期望
()f?
0
数学期望 是误差 的分布中心，他反映了 的平均特征。或者说数学期望是 所有可能取值的平均值 。
()E
()E?
一,随机误差?随机误差的分布
()f?
0
3、随机误差正态分布的数学期望
( ) ( )E f d
一,随机误差?随机误差的分布
5、服从正态分布随机误差的特征
对称性
单峰性
有界性
抵偿性
()f?
0
一,随机误差
算术平均值原理对某一量进行一系列等精度测量,
由于存在随机误差,其测得值皆不相同,
应以全部测得值的所属平均值作为最后的测量结果 。
一,随机误差
1、算术平均值的定义在等精度测量中，设
算术平均值原理
12,,...,nl l l
为 n次测量所得到的值，则算术平均值为
1 2 1...
n
i
ni
l
l l l
x
nn
一,随机误差
2、测量次数增加时，算术平均值趋近于真值
算术平均值原理设
12,,...,nl l l
为 n次测量所得到的值,真值为
0iilL
0L
则测量的随机误差为 （ i=1,2,…,n）
1 2 1 2 0()nnl l l n L
0
11
nn
ii
ii
l n L?
11
0
nn
ii
ii
l
L
nn
一,随机误差
2、测量次数增加时，算术平均值趋近于真值
算术平均值原理
n 1 0
n
i
i
n
1
0
n
i
i
l
xL
n
这就是算术平均值与被测量的真值最为接近的理论依据,即,当测量次数无限增加时,算术平均值必然趋近于真值 。 但在实际上,进行无穷多次的测量是不可能的,
因此真值实际上也不可能得到 。 然而可以认为,当测量次数适当大时,算术平均值是最接近于真值的 。 所以应以全部测得值的算术平均值作为最后测量结果 。
一,随机误差
3、残余误差
算术平均值原理一般情况下，被测量的真值未知，不可能严格定义进行误差的计算，这时可以用算术平均值代替真值进行计算，则有：
为第 个测得值为 的 残余误差il
iliv
i
iiv l x
一,随机误差
4、算术平均值的简便计算
算术平均值原理当测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多，直接按定义计算算术平均值，既繁琐，又容易产生错误，此时可用以下简便法进行计算：
任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，
计算出每个测得值 与 的差值,0l
il
0iil l l
1
n
i
i
l
x
n
1
0
n
i
i
l
x
n
00x l x
因,
0l
一,随机误差
4、算术平均值的简便计算
算术平均值原理序号
1 1879.64 -0.01 0
2 1879.69 +0.04 +0.05
3 1879.60 -0.05 -0.04
4 1879.69 +0.04 +0.05
5 1879.57 -0.07 -0.07
6 1879.62 -0.03 -0.02
7 1879.64 -0.01 0
8 1879.65 0 +0.01
9 1879.64 -0.01 0
10 1879.65 0 +0.01
il?
x =1879.64 =-0.01 =-0.010x? 10
1 ii
v
测量某物理量 10次，得到见左表，
求算术平均值。
表中选参考值为
0 1 8 7 9,6 5l?
il iv
一,随机误差
5,算术平均值及残余误差的计算校核
算术平均值原理算术平均值及残余误差的计算是否正确,一般用求得的残余误差代数和性质来校核 。
11
nn
ii
ii
v l n x
1
0
n
i
i
v
当求得的 为未经凑整时，则有x
残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核但是实际计算时，往往会遇到小数较多或除不尽的情况，必须根据测量的有效数字，按数据舍入规则，对算术平均值进行截取与凑整，因此实际得到的可能经过凑整的非准确数，存在舍入误差 △,
1
11
()
n
inn
i
ii
ii
l
v l n n
n
1
n
i
i
l
x
n
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差。
规则一：
当,求得的 为非凑整的准确数时,为零；
1
n
i
i
v
x1
n
i
i
l nx
当,求得的 为凑整的非准确数时,为正；
1
n
i
i
v
x1n ii l nx
当,求得的 为凑整的非准确数时,为负；
1
n
i
i
v
x
1
n
i
i
l nx
一,随机误差?算术平均值原理
5,算术平均值及残余误差的计算校核
1
( 0.5 )
2
n
i
i
nvA
1 2
n
i
i
nvA
当 n为偶数时当 n为奇数时规则二：
式中的 A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位一,随机误差
测量 的标准差有下列两组测得值,即：
第 1组,20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002
第 2组,19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994
这两组测得值的算术平均值都为 20.0000。 容易看出,
第 2组数据的比第 1分散,那么如何总体上评定一组测得值呢？
一,随机误差?测量 的标准差由于随机误差的存在,等精度测量列中各个测量值一般皆不相同,它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散,此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性,必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准 。
1、单次测量 的标准差一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0
2
221
()
2
fe
()f?
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0
()f?
1
2
3
1 2 3
2
221
()
2
fe
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差标准差 σ 的数值小,该测量列相应小的误差就占优势,任一单次测得值对算术平均值的分散度就小,测量的可靠性就大,即测量精度高；反之,
测量精度就低 。
因此单次测量的标准差 是表征同一被测量的
n次测量的测得值分散性的参数,可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准 。
标准差 σ 不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差,它的大小只说明,在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况 。
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
2
2 2 2
1 2 1
...
n
i
ni
nn
当被测量的真值为未知时,按上式不能求得标准差 。 实际上,在有限次测量情况下,可用残余误差代替真误差,而得到标准差的估计值 。
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
0iilL
1 1 0
2 2 0
0nn
l x x L
l x x L
l x x L
11
22
x
x
nn x
v
v
v
11
nn
ii x
ii
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1 1 1
n n n
i i i
i i i
x
v
n n n
2
2
111
2
2
2
1
2
2
2
nnn
ijii
ij
x
n
i
i
i
i
nn
n
n
一,随机误差?测量 的标准差
1、单次测量 的标准差
11
22
x
x
nn x
v
v
v
2 2 2
1
2
1
2
11
2
n
ix x x
i
n n n
i i i
i i i
v n v nv
2
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1
1
1
2
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ii
ii
i
n
vn
2
1
n
i
i
n
22
1
n
i
i
n
2
1
1
n
i
i
v
n
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量,每一系列测量都有一个算术平均值,由于随机误差的存在,各个测量列的算术平均值也不相同,它们围绕着被测量的真值有一定的分散,此分散说明了算术平均值的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可作为算术平均值不可靠性的评定标准 。
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差
x n
在 n次测量的等精度测量列中算术平均值的标准差为单次测量标准差的,当测量次数 n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值,测量精度也愈高 (P16) 。
1/ n
一,随机误差?测量 的标准差
2、测量列算术平均值 的标准差算术平均值的标准差与测量次数的平方根成反比,
由图可知,当 n>10以后,已减少非常缓慢 。 此外,由于测量次数愈大时,也愈难保证测量条件的恒定,从而带来新的误差,因此一般情况下取 n=10已内较为适宜 。
０ ５ １０ １５ ２０
n
x?
一,随机误差?测量 的标准差
3、标准差的其它计算法别捷尔斯法它可由残余误差 v的绝对值之和求出单次测量得标准差,
算术平均值的标准差为
11,2 5 3
( 1 )
n
i
i
v
nn
11,2 5 3
1
n
i
i
x
v
nn
一,随机误差?测量 的标准差
3、标准差的其它计算法极差法用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均为先求算术平均值,再求残余误差,然后进行其它运算,计算过程比较复杂 。
当要求简便迅速算出标准差时,可用极差法 。
若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值,则两者之差为极差。
12,nx x x、
maxx minx
m a x m innw x x
n
n
w
d
极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在
n<10时均可采用一,随机误差?测量 的标准差一般情况下，被测量的真值为未知，这时按最大残余误差进行计算在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定真值），因而能够算出随机误差,取其中绝对值最大的一个,当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式为：
i? maxi?
,
m axi
nK
3、标准差的其它计算法?最大误差法
,
m axi
n
v
K
一,随机误差?测量 的标准差
① 最大误差法简单,迅速,方便,容易掌握,因而有广泛用途 。
②在代价较高的实验中（如破坏性实验），往往只进行 一次实验,此时贝塞尔成为 形式而无法计算标准差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。
00
3、标准差的其它计算法?最大误差法一,随机误差?测量极限误差测量的极限误差是极端误差,测量结果 （ 单次测量或测量列的算术平均值 ） 的误差不超过该极端误差的概率为 P,并使差值 （ 1－ P） 可予忽略 。
1,单次测量的极限误差条件：测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时,可求得单次测量的极限误差 。
随机误差正态分布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率,即：
而随机误差在 范围内的概率为,
22/( 2 )1 1
2 ed
至 ＋
2 2 2 2/( 2 ) /( 2 )01222P e d e d
一,随机误差?测量极限误差引入新的变量 t
经变换，上式成为此函数称为拉普拉斯函数，或称概率积分，若某随机误差在 范围内出现的概率为,则超出的概率为由表 2-6可见：
,tt
2 /202 2 ( )2 t tP e dt t
2
0
1()
2
t tt e dt
t2 t?
1 2 ( )at
1t ( 1 1 ) 2 ( ) 0,6 8 2 6ap t p t当,即
1、单次测量的极限误差一,随机误差?测量极限误差
1、单次测量的极限误差由书中表可见,随着 t的增大,
超出的概率减小得很快 。 由于在一般测量中,测量次数很少超过几十次,因此可以认为绝对值大于 的误差是不可能出现的,通常把这个误差称为单次测量的极限误差,即：
3?
lim 3x
一,随机误差?测量极限误差
1、单次测量的极限误差在实际测量中,有时也可取其他 t值来表示单次测量的极 限 误 差 。 如取 t ＝ 2.58,P ＝ 99 ％ ； t ＝ 2,P ＝
95.44% ;t=1.96,P=95%等 。 因此一般情况下,测量列单次测量的极限误差可用下式表示,
若已知测量的标准差,选定置信系数 t,则可由上式求得单次测量的极限误差 。
lim xt
一,随机误差?测量极限误差
2,算术平均值的极限误差测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差,即,
0x xL
当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，同样得到测量列的算术平均值的极限误差表达式,
xi
lim xxt
一,随机误差?测量极限误差
2,算术平均值的极限误差
t为置信系数,为算术平均值的标准差。
当测量列的测量次数较少时，按,学生氏,分布（ t
分布）来计算测量列的算术平均值的极限误差：
—— 置信系数，由给定的置信概率 和自由度确定。
为超出极限误差的概率（显著度）。
x?
lim a xxt
at 1Pa
1vn
a
一,随机误差?测量极限误差
3,算术平均值的极限误差对同一个测量列,按正态分布和 t分布分别计算时,即使置信概率的取值相同,但由于置信系数不相同,因而求得的算术平均值极限误差也不相同 。
当测量列的测量次数较少时,一般按,学生氏,分布 （ t分布 ） 来计算测量列的算术平均值的极限误差 。
在精密测量中,通常的测量次数很少有超过 20次的,因此,
在数据处理中,理论上应按 t分布来计算相应的误差限；只有在测量次数较多 (n＞ 20)的情况时,或其测量不甚重要时,
才可近似地应用正态分布的理论来处理 。
当 n无限增大时,t分布曲线与正态分布曲线基本重合,即按两个分布理论来处理测量数据,所得的结果差异是极小的,
二,系统误差
系统误差的特征
系统误差产生的原因
系统误差的发现
系统误差的减小和消除二,系统误差?系统误差的特征
确定性，恒定值或呈确定的规律性；
产生在测量之前
不具有抵偿性,多次测量不能消除和减弱它的影响二、系统误差?系统误差的产生原因系统误差是由固定不变的或按一定的规律变化的因素造成的。对待系统误差的基本措施是要设法发现并予以消除。产生原因：
测量装置
环境因素
测量方法，近似测量原理和近似计算
测量人员二、系统误差?系统误差的分类
定值系统误差在同一测量条件下,多次重复测量同一量值时,
误差的绝对值和正负符号恒定不变,这种误差就叫作定值系统误差 。 如刻度尺不准确,千分尺未校准零位 。
定值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值,对测得值的残差没有影响,即不影响随机误差的分布规律和精度参数 。 变值系统误差则不然,
它对算术平均值及残差都有影响,即既影响分布规律,也影响标准差等精度参数值 。
二、系统误差?系统误差的分类
线性系统误差误差随测量过程的时间 (或被测量值 )的延伸而呈线性递增或递减。如测量过程中温度呈线性变化引起的误差；刻度均匀地增大所引起的误差。
周期性变化的误差误差按周期规律变化，最常见的为正弦周期误差。如干分表指针轴与刻度盘有偏心；测量机构中大多数齿轮传动引起的误差，都是正弦周期误差。
二、系统误差?系统误差的分类
复杂规律变化的系统误差误差的变化规律比较复杂。如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值误差。这类误差可用实测经验曲线来表示。
还有一种不定系统误差，即误差的大小和正负符号都未知 (或其中之一未知 )，但可估计误差的大小范围。如用,等,的量块作微差比较测量，虽量块的具体检定误差是一未知的定值，其对测量结果的影响是属系统误差，但误差大小只能估计出于检定范围 (量块的检定误差 )。这种误差，按习惯是当作随机误差来处理。
二,系统误差?系统误差的发现
1、实验对比法 （用于发现不变的系统误差）
要判断某一测量条件下是否有定值系统误差，在确信没有明显变值系统误差 (可用后面介绍的方法来发现和消除 )的前提下，可以改用更好的测量条件
(如改用更高精度的仪器或基准 )，进行检定性测量。
以此两种不同的测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
2、计算数据比较法或均值与标准差比较法
（用于发现不变的系统误差）
对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
2、计算数据比较法或均值与标准差比较法
（用于发现不变的系统误差 P37）
若对同一量值独立测量两组数据，设测量次数分别为 n1 和
n2,得两组算术平均值和标准差为：
1x 1? 2x 2?
ijxx
22ij
2212 ijx x t若 两组数据无系统误差二,系统误差?系统误差的发现
3、残差观察法（用于发现有规律变化的系统误差）
前面已经讲到,变值系统误差不但影响测量列数据的算术平均值,还将影响各测得值的残差及其分布规律 。 因此,可通过分析观察残差的变化情况,
或检验它是否服从预知的分布规律 (一般是正态分布 ),来发现变值系统误差,
根据测量先后顺序,将测量列的残余误差列表或者作图进行观察,按残余误差的变化情况 (大小和正负符号的变化 ),可判断有无变值系统误差以及其类型属哪一种 。 （ p35）
二,系统误差?系统误差的发现
4、残差校核法（用于发现线性系统误差）
若将测量列的前 K个残差相加,后 （ n-k） 个残差相加,当 n 为偶数,取 k=n/2； 当 n 为奇数,取
k=（ n+1） /2,若两部分残差相减明显地不接近于零,故可判断其中含有线性系统误差 。
因为含有线性系统误差的测量列,其测得值的算术平均值是在测量值顺序的中点附近,所以前后两组残差的代数和总是大小接近相等而符号相反 。 因此两部分差值将明显地不接近于零 。
二,系统误差?系统误差的发现
4、残差校核法（用于发现周期性系统误差）
若有一等精度测量列,若该测量列中存在周期性系统误差,则相邻两个残差的差值符号也将出现周期性的正负号变化,因此由残差的差值也可以判断是否存在周期性的系统误差 。
判断准则：
1
1 1 2 2 3 1
1
21
n
i i n n
i
u v v v v v v v v
un?
则测量列存在周期性的系统误差若二,系统误差?系统误差的发现
5、不同公式计算标准差比较法若对等精度测量,用不同的公式计算标准差,通过比较可以发现系统误差 。
2
1
1 1
n
i
i
v
n
1
2 1,2 5 3 ( 1 )
n
i
i
v
nn
2
1
21
1u n
贝赛尔公式：
别捷尔斯公式：
若 则测量列存在系统误差。
二,系统误差?系统误差的发现
6、秩和检验法（ P38）
将两组数据混合后,按大小顺序排列,取测量次数少的那一组,数出它的测得值在混合后的次序 （ 即秩 ）,再将所有测得值的次序相加,即得秩和 T 。
秩和的确定方法当两组的测量次数小于或等于 10,通过查表得到。
T T T
判断准则当两组数据中有相同的数值时，该数据的 秩 按排列的两个次序的平均值计算．
两组数据无系统误差二,系统误差?系统误差的发现
7,t检验法若独立测得的两组数据为：
,1,2,..,,
,1,2,..,,
ix
jy
x i n
y j n
22
( 2 )()
( ) ( )
x y x y
x y x x y y
n n n nt x y
n n n n
此变量服从自由度为令变量
( 2 )xynn 的 t 分布变量取显著度 α,由 t 分布表查得 ta 如果
att?
则两组数据间无系统误差 。
二,系统误差?系统误差的发现以上介绍这些系统误差发现方法，按其用途可分为两类：
第一类：用于发现测量列组内的系统误差，
包括实验对比法，残余误差观察法，残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法。
第二类：用于发现各组测量之间的系统误差，包括计算数据比较法，秩和比较法和 t 检验法。
二、系统误差?系统误差的减小和消除消除和减小系统误差的途径有以下 3个方面：
从误差根源上消除；
在测量过程中采取一定措施，避免系统误差引入测量结果；
设法掌握系统误差的具体大小数值，从测量结果中修正，如量块、线纹尺等采用修正值。
应该指出，系统误差的消除，只能达到一定限度，
限度以外的微小误差，已具有随机性质，一般可归入随机误差来处理。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
所用基,标准件 (如量块,刻尺,光波波长等 )是否准确可靠,
有无修正值,如有,则应修正测量结果 。
所用量具仪器是否处于正常的工作状态,是否按规定期限进行检定,使用前和使用过程中有无异变或事故 。
仪器的调整,测件的安装定位和支承装卡是否正确合理 。
所采用的测量方法和计算方法是否正确,有无原理误差；在数据处理过程中有没有误算和疏漏,对重要的计算,应反复核查 。
测量所在的环境条件是否符合规定要求,特别是温度变化的影响,尤为重要 。
避免测量人员带入主观误差,
1、从产生根源上消除系统误差二、系统误差?系统误差的减小和消除这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。
2,用修正方法消除系统误差二、系统误差?系统误差的减小和消除
替代法3、不变系统误差消除法这种方法是在一定的测量条件下,对某一被测量值进行测量,使在仪器上得到某一种状态 (如指针指示零位,电桥平衡,天平平衡等 ),再以同样性质的标准量值代替被测量值,调整标准量值的大小,使在仪器上呈现出与前者相同的状态,则此时的标准量值即等于被测量值 。 由于两次测量都在量仪上呈现同一状态,故一切定值系统误差的影响相同,这样就消除了除标准量值本身的定值误差以外的一切定值系统误差 。
替代法对大小可连续改变的标准量,使用尤为方便 。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
抵消法3、不变系统误差消除法当已知有某种产生定值系统误差的因素存在，而又无法从根源上消除，也难以确定其大小并从测量结果中修正时，可考虑有否可能用抵消法消除。先在有定值系统误差的状态下进行一次测量，再在该定值系统误差影响相反的另一状态下再测一次；取两次测量的平均值作为测量结果，这样，大小相同但符号相反的两定值系统误差就在相加后再平均的计算中互相抵消。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
交换法3、不变系统误差消除法这种方法是根据误差产生原因,将某些条件交换,以消除系统误差 。 例如在等臂天平上称量,先将被测量 X 放于左边,标准砝码 P 放于右边,调平衡后,则有：
X,P交换位置后，由于,P 将换为 才能与 X平衡，
即即可消除两臂不等而带来的系统误差。
2
1
lXP
l?
12ll? P P P
2
1
lP P P X
l
2
PPX P P
二、系统误差?系统误差的减小和消除
4、线性系统误差消除法 ---对称法线性系统误差一般多随时间呈线性变化，因此，将测量顺序对某一时刻对称地进行测量再通过计算，即可达到消除线性误差的目的。
如右图，随着时间的变化，被测量作线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算术平均值皆相等。
利用这一特点，可将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。这种方法是检定规程规定的测量方法。
二、系统误差?系统误差的减小和消除
4、周期性系统误差消除法 -----半周期法周期误差一般是出现在有圆周运动的情况 (如度盘等 ),多呈正弦形式,以 360度为周期 。 因此,
在相距 180度的两对径位置上作两次测量读数,再取平均值,即可消除此误差 。 这种方法和反向补偿法有些相似 。
三、粗大误差
粗大误差产生的原因
防止和消除粗大误差的方法
粗大误差判别准则三、粗大误差?粗大误差产生的原因粗大误差又称疏忽误差或过失误差 。 含有粗大误差的测量数据,常比正常数据相差较大 (过大或过小 )。 当对某一量值作多次独立的等精度重复测量,
如其中个别或少数数据明显地偏大或偏小时,则可怀疑数据中含有粗大误差 。
产生原因：
测量人员：技术不熟练,测量时不小心等；
测量环境或条件,外界的突然干扰 (例如突然振动,仪器电源电压的突然变化 )等原因造成的 。
三、粗大误差?防止和消除粗大误差的方法对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据,或经检查明显是错读,错记的数据,则应弃舍 。 但不能不知原因不加分析就轻易弃舍测量列中最大或最小的数据,因为这样可能造成错觉,
会对余下数据的精度作出过高的估计 。
防止和消除粗大误差的方法
加强测量人员的责任心、提高业务能力等
保证测量环境的稳定
采用不等精度测量的办法三、粗大误差?粗大误差判别准则
1,3σ准则对于某一测量列,若各测得值只含有随机误差,则根据随机误差的正态分布规律,其残余误差的绝对值落在 3σ以外的概率很小,即在 370次测量中只有一次其残余误差 。 如果在测量列中,发现有大于 3σ的残余误差的测得值,则可以认为它含有粗大误差,应予剔除 。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按 t 分布的实际误差分布范围来判别粗大误差。其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按余下的数据计算算术平均值和标准差值，再判断被剔除的数据是否含有粗大误差。
注意：查表（检验系数表）时的 n是总的测量次数，不是剔除可疑数据后的数据个数 n-1.
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则设对某量作多次等精度测量,得测量列若认为测量值并求得测量列的标准差 (计算时不包括
1 2 3,,..,.,x x x
为可疑数据，将其剔除后计算平均值为
jx
1
1
1
n
i
i
ij
xxn
()jjv x x
1
2
n
i
i
v
n
三、粗大误差?粗大误差判别准则
2、罗曼诺夫斯基准则根据测量次数 n 和选取的显著度 α,即可由表 2— 12
查得 t 分布的检验系数 k( n,α)
jx x k
则认为测量值如果否则认为含有粗大误差，剔除
jxjx
是正确的不合有粗大误差，应予保留。
jx
三、粗大误差?粗大误差判别准则
3、格罗布斯准则设对某量作多次等精度测量,得测量列为检验测量列中是否存在粗大误差,将测量列排序
1 2 3,,..,.,x x x
( 1 ) ( 2 ) ( )..,nx x x
( ) 0 (,)ig g n a?
如果则判断该值含有粗大误差 。 其中
()
()
n
n
xxg
0 (,)g n a
( 1 )
( 1 )
xxg
由查表得出 。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
4、狄克松准则
1 2 3,,..,.,x x x
设对某量作多次等精度测量,得呈正态分布的测量列可以得到统计量
ijr
如果
0ijrr?
则判断该值含有粗大误差。
三、粗大误差?粗大误差判别准则
3σ准则是以测量次数充分大为前提,但通常测量次数皆较少,因此准则只是一个近似的准则 。 实际中只在要求不高时使用 。
对测量次数较少但要求较高的测量列 。 应采用后三种准则 。 其中格罗布斯准则可靠性最高 。
测量次数很少时,采用罗曼诺夫斯基 准则
需要从测量列迅速判别粗大误差的测得值,采用狄克松准则三、粗大误差?粗大误差判别准则若同时有一个以上的测得值含有粗大误差,
只能剔除其中最大的那一个数据 (如只两个相同的数据超限,也只能剔除其中的任一个 )。
也就是说,一次只能剔除一个数据,之后再按剩下的数据重新计算算术平均值及其标准差,继续判断另一个可疑数据,直到全部数据无问题为止四,测量结果的数据处理实例
求算术平均值
求残余误差
校核算术平均值和残余误差
判断系统误差
计算测量列单次测量的标准差
判断粗大误差
求算术平均值的标准差
求算术平均值的极限误差
写出最后的测量结果四,测量结果的数据处理实例
对一轴径等精度测量 9次,得到下表数据,求测量结果序号
1 24.774 -0.001 0.000001
2 24.778 +0.003 0.000009
3 24.771 -0.004 0.000016
4 24.780 +0.005 0.000025
5 24.772 -0.003 0.000009
6 24.777 +0.002 0.000004
7 24.773 -0.002 0.000004
8 24.775 0 0
9 24.774 -0.001 0.000001
/il mm /iv mm 2 /iv mm
0.001v m m24.775x m m? 2 0,0 0 0 0 6 9v m m
