误差合成与分配
函数误差
随机误差的合成
系统误差的合成
系统误差与随机误差的合成
误差分配
微小误差取舍准则
最佳测量方案的确定一、函数误差
函数系统误差计算
函数随机误差计算
误差间的相关关系和相关系数一、函数误差由两个或多个误差值合并成一个误差值，叫作误差的合成,
它是间接测量计算误差的基本方法。反过来，己知对一间接的被测量的要求，进而要确定具体测量时对直接测量参数的要求，
这就是误差的分配或误差分解。
误差的分配或误差分解是设计仪器和装置时不可缺少的步骤，即从仪器的总的精度要求出发，确定仪器各组成部分和环节 (包括零件、部件和装调等 )的精度要求。
要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行计算,这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函数增量或做相反计算的问题一、函数误差间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题,
一、函数误差?函数系统误差计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为：
12(,,..,)ny f x x x?
对于多元函数,其增量可用函数的全微分表示,
则上式的函数增量为：
12
12
..,n
n
f f fdy dx dx dx
x x x
若已知各个直接测量值的系统误差为：
12,,,nx x x
一、函数误差?函数系统误差计算用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系统误差：
上式称为函数系统误差公式 。
12
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
( 1,2,...,)
i
f in
x
为各个直接测量值的误差传递系数 。
一、函数误差?函数系统误差计算若函数形式为线性公式：
当当函数为各测量值之和时,其函数系统误差也为各测量值系统误差之和 。
1 1 2 2,.,nny a x a x a x
1 1 2 2 3 3,.,nny a x a x a x a x
12,.,ny x x x
则函数的系统误差为：
时，则有：1ia?
一、函数误差?函数系统误差计算在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按上述同样方法进行计算。
若三角函数为：
可得函数的系统误差：
12(,,..,,)nsin f x x x
12
12
..,n
n
f f fsi n x x x
x x x?
一、函数误差?函数系统误差计算在角度测量中，需要求得的误差不是三角函数误差，而是所求角度的误差,
dsindsin c os d d
c os
用系统误差代替上式中相应的微分量,则有可得正弦函数的角度系统误差公式为：
si n
c os
12
112
11(,.,) n
ni
ini
f f f fx x x x
c os x x x c os x
一、函数误差?函数系统误差计算
s
h
D
例 3-1 用弓高弦长法间接测量最大直径 D，直接测得其弓高 h 和 弦长 s,然后通过函数关系计算求得直径。
如果：
5 0,0,1
5 0 0,1
h m m h m m
s m m s m m
求测量结果。
2s
D = + h4h
一、函数误差?函数随机误差计算随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差来进行评定,因此,函数随机误差计算,就是研究函数 y的标准差与各测量值标准差之间的关系 。
12(,,..,)ny f x x x?
12
12
..,n
n
f f fdy dx dx dx
x x x
12
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
12,,,nx x x
函数：
多元函数增量：
随机误差：
系统随机误差：
一、函数误差?函数随机误差计算为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式,设对各个测量值皆进行了 N 次等精度测量,其相应的随机误差为：
1 11 12 1:,,..,,Nx x x x
2 2 1 2 2 2:,,..,,Nx x x x
12:,,.,,,n n n n Nx x x x
一、函数误差?函数随机误差计算
N 个函数值为：
1 1 1 2 1 1,,,ny f x x x?
2 1 2 2 2 2,,,ny f x x x?
12,,,N n n n ny f x x x?
一、函数误差?函数随机误差计算函数随机误差为：
1 11 21 1
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
2 12 22 2
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
12
12
...N N N n N
n
f f fy x x x
x x x
一、函数误差?函数随机误差计算将上面方程组中的每个方程平方得到：
22
2 2 2
1 11 1 1 1
11
..,2
n
n i j
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
22
2 2 2
2 1 2 2 2 2
11
..,2
n
n i j
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
22
2 2 2
1
11
..,2
n
N N n N iN jN
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
一、函数误差?函数随机误差计算将方程组中各方程相加,可得：
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1
1
2
2 2 2
2 1 2 2 2
2
2
2 2 2
12
11
,..,(,..,,)
(,..,,)
,..,,(,..,,)
2 ( )
nN
N
n n nN
n
nN
im jm
i j m ij
f
y y y x x x
x
f
x x x
x
f
x x x
x
ff
x
xx
一、函数误差?函数随机误差计算将方程两边同时除以 N,可得
222
2 2 2 2
12
12
11
,..,,
2 ( )
y x x x n
n
nN
im jm
i j m ij
f f f
x x x
xff
x x N
定义
1
N
im jm
m
ij
xx
k
N
ij
ij
x i x j
K?
ij ij x i x jk
一、函数误差?函数随机误差计算上式就是函数随机误差公式如果各测量值的随机误差是相互独立的,且 N
适当大时
1 0
N
im jm
m
ij
xx
k
N
222
2 2 2 2
12
12
11
,..,,
2 ( )
y x x x n
n
nN
ij x j x j
i j m ij
f f f
x x x
ff
xx
一、函数误差?函数随机误差计算令
222
2 2 2 2
12
12
,..,,y x x x n
n
f f f
x x x
222
2 2 2
12
12
,.,,,y x x x n
n
f f f
x x x
i
i
f a
x
则
2 2 2 2 2 21 1 2 2,.,,,y x x n x na a a
一、函数误差?函数随机误差计算当各个测量值的随机误差为同一分布时,上式中的标准差用极限误差代替,可得函数的极限误差公式为,
若
2 2 2 2 2 21 1 2 2 2,.,,,l i m y l i m x l i m x n l i n xa a a
1ia?
2 2 212,.,,,l i m y l i m x l i m x l i m x n
2 2 212,.,,,y x x x n
函数的标准差,
函数的极限误差,
一、函数误差?函数系统误差计算
s
h
D
例 3-1 用弓高弦长法间接测量最大直径 D，直接测得其弓高 h 和 弦长 s,然后通过函数关系计算求得直径。
如果：
lim
lim
5 0,0,0 5
5 0 0,0,1
h
s
h m m m m
s m m m m
求测量结果。
2s
D = + h4h
一、函数误差?误差间的相关各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关联对函数总误差的影响大小。
2 2 2 2 2 21 1 2 2,.,,,y x x n x na a a
12
2 2 2 2 2 2
12
1
.,,2
n
n
y x x n x i j i j x i x j
ij
a a a a a
1 1 2 2,..y x x n xna a a
0ij
1ij
一、函数误差?误差间的相关通常所遇到的测量实践多属误差间线性无关或近似线性无关,但线性相关的也常见 。 所以当各误差间相关或相关性不能忽略时,必须先求出各个误差间的相关系数,然后才能进行误差合成计算 。
误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系,
这种依赖关系有强有弱 。 联系最强时,在平均意义上,一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值,此时两误差间具有确定的线性函数关系 。 当两误差间的线性依赖关系最弱时,一个误差的取值与另一个误差的取值无关,这是互不相关的情况 。
一、函数误差?误差间的相关一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间,既有联系而又不具有确定性关系 。
线性依赖关系是指在平均意义上的线性关系,即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向,但两者取值又不服从确定的线性关系,而具有一定的随机性 。
一、函数误差?误差间的相关
相关系数两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若两误差 ξ 与 η 之间的相关系数为 ρ,根据相关系数定义，则有
K
:
:
:K
误差 η 的标准差误差 ξ 的标准差误差 ξ 与 η 之间的协方差一、函数误差?误差间的相关根据概率可知，相关系数的取值范围是,
11
两误差正相关01
两误差负相关10
两误差完全正相关1
两误差完全负相关1
两误差不相关0
一、函数误差?误差间的相关
确定两误差间的相关系数,
1.直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。
2.试验观察和简略计算法
（ 1）观察法用多组测量的对应值作图，将它与标准图形相比，
看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ρ＝１ ρ＝０,５ ρ＝０ ρ＝ -１ρ＝ -０,５
一、函数误差?误差间的相关
（ 2）简单计算法 (点阵计算法 ) (主要用于点数较多时 )
ξ
η
13c os nn
n
1 2 3 4n n n n n
n1n２
n３ n４
（ 3）直接计算法按相关系数的定义直接计算
22
( ) ( )
( ) ( )
ii
ii
一、函数误差?误差间的相关
3、理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。
以上讨论了误差之间相关系数的各种求法,一般先在理论上探求，若达不到目的，对于数值小或一般性的误差间的相关系数可用直观判断法；对与数值大或重要的相关系数宜采用多组成对观测，并分别采用不同的计算方法。
二、随机误差的合成?标准差的合成随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。
标准差的合成若有 q个单项随机误差,它们的标准差分别为：
这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如对间接测量可按式（ 3-13）来求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。
其相应的误差传递系数为：
12,,,q
12,,,qa a a
二、随机误差的合成?标准差的合成根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为
2
11
( ) 2
qq
i i ij i j i j
i i j
a a a
一般情况下各个误差互不相关，相关系数则有,
0ij
2
1
()
q
ii
i
a
用标准差合成的优点：简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算总的标准差。
二、随机误差的合成?极限误差合成在测量实践中,各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示 。
极限误差合成时,各单项极限误差应取同一置信概率,
则按方和根法合成的总极限误差为 。
2
11
( ) 2
qq
i i ij i j i j
i i j
a a a
一般情况下,已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同,不能按上式进行极限误差合成 。 应根据各单项误差的分布情况,引入置信系数,先将误差转化为标准差,再按极限误差合成 。
二、随机误差的合成?极限误差合成经过变换,可得一般的极限误差合成公式为：
2
11
( ) 2
qq
ji i i
ij i j
i i ji i j
at a a
t t t
式 （ 3-34） 中的各个置信系数,不仅与置信概率有关,而且与随机误差的分布有关 。 也就是说
对于相同分布的误差,选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数相同 。
对于不同分布的误差,即使选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数也不相同 。
式 （ 3-34） 中的置信系数一般来说并不相同 。 当各单项误差的数目 q较多时,合成的总误差接近于正态分布,因此对合成后的总误差的置信系数 t可按正态分布来确定 。
二、随机误差的合成?极限误差合成当各个单项随机误差均服从正态分布时，式（ 3-34）
中的各个置信系数完全相同,且一般情况下，
1 2 q nt t,.,t t
0ij
2
1
()
q
ii
i
a
由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线形无关或近似线形无关，因此式（ 3-36）是较为广泛使用的极限误差合成公式。
则,
三、系统误差的合成?已定系统误差已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为,
1
r
ii
i
a
12,,..,,r
单项已定系统误差值
12,,..,,ra a a
相应的误差传递系数注：在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因未予消除的已定系统误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
三、系统误差的合成?未定系统误差未定系统误差在测量实践中较为常见,且对于某些较小的已定系统误差,为简化计算,也可不对其进行误差修正,
而将其作未定系统误差处理,
未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握,或不必化费过多精力去掌握,而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围的系统误差 。
特征：在一定条件下客观存在的某一系统误差,一定是落在所估计的误差区间内的一个取值 。 当测量条件改变时,
该系统误差又是误差区间内的另一取值 。 而当测量条件在某一范围内多次改变时,未定系统误差也随之改变,其相应的取值在误差区间内服从某一概率分布 。
三、系统误差的合成?未定系统误差目前对未定系统误差的概率分布,均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的,并采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理 。 但两种假设,在理论上与实践上往往缺乏根据且很难操作,但也有些未定系统误差的极限范围是较容易确定的,例如在检定工作中,
所使用的标准计量器具误差,它对检定结果的影响属未定系统误差,而此误差值一般是已知的 。
三、系统误差的合成?未定系统误差
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值,多次重复测量时其值固定不变,因而不具有抵偿性,利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响,这是它与随机误差的重要差别,
当测量条件改变时,由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性,并且服从一定的概率分布,
这些特征均与随机误差相同,因而评定它对测量结果的影响也应与随机误差相同,即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度 。
三、系统误差的合成?未定系统误差对某一个砝码,一经检定完成,其修正值即已确定不变,
由检定方法引入的误差也就被确定下来了,其值为检定方法极限误差范围内的一个随机取值 。
使用这一个砝码进行多次重复测量时,由检定方法引入的误差则为恒定值而不具有抵偿性 。 但这一误差的具体数值又未掌握,而只知其极限范围,因此属未定系统误差 。
对于同一质量的多个不同的砝码,相应的各个修正值的误差为某一极限范围内的随机取值,其分布规律直接反映了检定方法误差的分布 。 或者反之,检定方法误差的分布也就反映了各个砝码修正值的误差分布规律 。 所以两者具有同样的标准差三、系统误差的合成?未定系统误差
对一批量具,仪器和设备等在加工,装调检定中,随机因素带来的误差具有随机性 。
对某一具体的量具,仪器和设备,随机因素却具有确定性,
实际误差为一恒定值 。 若尚未掌握这种误差的具体数值,则这种误差属未定系统误差 。
由于未定系统误差的取值是具有随机性,并且服从一定的概率分布,因而若干项未定系统误差综合作用时,它们之间就具有一定的抵偿作用 。 这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似,
因而未定系统误差的合成,完全可以采用随机误差的合成公式,对于某一项误差,当难以严格区分为随机误差或未定系统误差时,因不论作哪一种误差处理,最后总误差的合成结果均相同,故可将该项误差任作一种误差来处理 。
三、系统误差的合成?未定系统误差
标准差的合成
12,,...,ru u u
单项未定系统误差标准差
12,,..,,sa a a
相应的误差传递系数
2
11
( ) 2
ss
i i i j i j i j
i i j
u a u a a u u?
0ij
2
1
()
s
ii
i
u a u
则,
若三、系统误差的合成?未定系统误差
极限误差的合成
i i ie t u
单项未定系统误差的极限误差
12,,..,,sa a a
相应的误差传递系数
ss
i i i j i j i j
i i j
e t a e a a e e?
2
11
( ) 2
0ij
2
1
()
s
ii
i
e a e
则,
若四、系统误差与随机误差的合成前面讨论了各种相同性质的误差合成问题,
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差,应将其进行综合,以求得最后测量结果的总误差 。 常用极限误差来表示,但有时也用标准差来表示 。
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成若测量过程中有 r 个单项已定系统误差,s 个单项未定系统误差,q 个单项随机误差，它们的误差值或极限误差分别为：
12
12
12
,,...,
,,...,
,,...,
r
s
q
e e e
为计算方便，设各个误差传递系数均为 1，则测量结果总的极限误差为
2 2
1 1 1
qrs
ii
i
i i ii
etR
t t i
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时：
22
1 1 1
qrs
i i i
i i i
e?
一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根，即：
22
11
qs
ii
ii
e?
由式（ 3-46）和式（ 3-47）可以看出，当多项未定系统误差和随机误差合成时，对某一项误差无论作哪一种误差处理，其最后合成结果均相同。
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成
对于单次测量,可直接按上式求得最后结果的总误差,
但对多次重复测量,由于随机误差具有抵偿性,而系统误差则固定不变,因此总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n,即测量结果平均值的总极限误差公式为：
22
11
1 qs
ii
ii
te n?
在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差，而在多次重复测量的总误差合成中，则必需严格区分各个单项误差的性质。
四、系统误差与随机误差的合成
按标准差合成若测量过程中有 s 个单项未定系统误差,q 个单项随机误差，它们的标准差分别为：
12
12
,,..,,
,,..,,
s
q
u u u
为计算方便，设各个误差传递系数均为 1，则测量结果总的极限误差为
22
11
qs
ii
ii
uR
四、系统误差与随机误差的合成
按标准差合成当各个误差间互不相关时，则：
22
11
qs
ii
ii
u
与极限误差合成的理由相同,对单次测量,可直接按上式求得最后结果的总标准差,但对 n次重复测量,测量结果平均值的总标准差公式则为
22
11
1 qs
ii
ii
u
n
五、误差分配任何测量过程皆包含有多项误差,而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定 。
现在要研究当给定测量结果总误差的允差时,
如何确定各个单项误差？ 在进行测量工作前,应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案,合理进行误差分配,确定各单项误差,以保证测量精度 。
五、误差分配误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问题 。 为便于说明误差分配原理,这里只研究间接测量的函数误差分配,但其基本原理也适用与一般测量的误差分配 。
对于函数的已定系统误差,可用修正方法来消除,
不必考虑各个测量值已定系统误差的影响,而只需研究随机误差和未定系统误差的分配问题 。 根据式 （ 3-
47） 和式 （ 3-50）,这两种误差在误差合成时可同等看待,因此在误差分配时也可同等看待,其误差分配方法完全相同,
五、误差分配现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，由式（ 3-14）
可得
12
222
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2
1
1 2 2
2 2 2
12
...
...
...
n
f f f
yn
x
nn
n
xx
a a a
D D D
1
2 2 22ynD D D
显然，式中 可以是任意值，为不确定解，因此一般需要下列步骤求解。
y? iD i?若已给定 需确定 或相应的 使满足
iD
五、误差分配?按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，
12,..
y
nD D D n
因此可得,11
i
yy
i
f i
x
a
ann
或用极限误差表示,11
i
i
f i
x
ann
即,
如果各个测得值的误差满足式上式，则所得的函数误差不会超过允许的给定值。
五、误差分配?按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差需注意,当有的误差已经确定而不能改变时 （ 如受测量条件限制,必须采用某种仪器测量某一项目时 ）,
应先从给定的允许总误差中除掉,然后再对其余误差项进行误差分配 。
五、误差分配?按可能性调整误差按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况,对于其中有的测量值,要保证它的测量误差不超出允许范围较为容易实现,而对于其中有的测量值则难以满足要求,若要保证它的测量精度：
势必要用昂贵的高精度仪器,或者要付出较大的劳动 。
由式 （ 3-55）,式 （ 3-56） 可以看出,当各个部分误差一定时,则相应测量值的误差与其传递系数成反比 。 所以各个部分误差相等,但实际相应测量值的误差并不相等,
有时可能相差较大 。
由于存在上述两种情况,对按等作用原则分配的误差,
必须根据具体情况进行调整 。 对难以实现测量的误差项适当扩大,对容易实现测量的误差项尽可能缩小,而对其余误差项不予调整 。
五、误差分配?验算调整后的总误差误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误差
若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差。
若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。
五、误差分配?验算调整后的总误差测量某一圆柱体的体积时，可以间接测量圆柱体的直径 D 和高度 h，根据函数式
2
4
DVh
求得体积 V，已知直径和高度的公称值为 20mm和
50mm，如果要求测量体积的相对误差为 1%，试确定直径和高度的测量精度。
解：取 π=3.1416,可计算体积为
2 2 330
00
3 0 1 4 1 6 2 0 5 0 1 5 7 0 8
44
DV h m m m m
五、误差分配?验算调整后的总误差体积的绝对误差为
330 1%15708 1% 157.08V V m m m m
测量直径选用 2级千分尺按照等作用原则分配误差，则直径和高度的极限误差为
1 2 1 5 7,0 8 2 0,0 7 1/ 2 0 5 0
2VVD m m m mV D D hNN
22
1 4 1 5 7,0 8 2 0,3 5 1/ 2 0
2VVh m m m mV h DNN
测量高度选用游标卡尺
0,0 1 3
0,1 5 0
五、误差分配?验算调整后的总误差用这两种量具测量的体积极限误差为
2 2 2 2
2 2 2 2 35 1,3 624V D h D hV V D h D mmDh
335 1,3 6 1 5 7,0 8V m m m m
量具不合理，需调整。选用分度值为 0.05mm的游标卡尺，在 50mm的测量范围内，极限误差为 ± 0.08mm
调整后测量的体积极限误差为
2 2 2 2
2 2 2 2 3128.4524V D h D hV V D h D mmDh
331 2 8,4 5 1 5 7,0 8V m m m m
六、微小误差取舍准则测量过程包含有多种误差时,往往有的误差对测量结果总误差的影响较小 。 当这种误差数值小到一定程度后,
计算测量结果总误差时可不予考虑,则称这种误差为微小误差 。 为了确定误差数值小到什么程度才能作为微小误差而予以舍去,这就需要给出一个微小误差的取舍准则 。
若已知测量结果的标准差为,
2 2 2 2 2 21 2 1 1.,,,,,y K K K nD D D D D D
将其中的部分误差 DK 取出后，则得,
,2 2 2 2 21 2 1 1.,,,,,y K K nD D D D D
若有,,yy
则
kD
称为微小误差，在计算测量结果总误差时可予舍去。
六、微小误差取舍准则根据有效数字运算准则,对一般精度的测量,
测量误差的有效数字取一位 。 在此情况下,若将某项部分误差舍去后,满足,
,(0,1 0,0 5 )y y y
则对测量结果的误差计算没有影响。
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2
12
.,,,,,
.,,,,,
( 0,1 0,0 5 ),,,,,,
K K K n
K K n
Kn
D D D D D D
D D D D D
D D D D
解此式得,
( 0,4 0,3 )
1
3
ky
ky
D
D
六、微小误差取舍准则对于比较精密的测量，误差的有效数字可取二位，
则有,
,(0,0 1 0,0 0 5 )y y y
则对测量结果的误差计算没有影响。 22 2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2
12
4
..,,.,
2
..,,.,
( 0.0 1 0.0 05 ),.,,.,
K K K n
K K n
Kn
b b ac
D D D D D D
a
D D D D D
D D D D
解此式得,
( 0,1 4 0,1 )
1
10
ky
ky
D
D
六、微小误差取舍准则对于随机误差和未定系统误差,微小误差舍去准则是,被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的 1/3~ 1/10
微小误差取舍准则在总误差计算和选择高一级准量等方面都有实际意义 。
计算总误差或误差分配时,若发现有微小误差,可不考虑该误差对总误差的影响 。
选择高一级精度的标准器具时,其误差一般应为被检器具允许总误差的 1/3 ~ 1/10
七、测量方案的确定最佳测量方案的确定,当测量结果与多个测量因素由关时，采用什么方法确定各个因素，
才能使测量结果的误差为最小。
因为已定系统误差可用修正方法来消除，
所以讨论最佳测量方案，只需考虑随机误差和未定系统误差对测量方案的影响。这里只研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案的各种途径,
七、测量方案的确定?选择最佳误差公式函数的标准差为
12
222
2 2 2
12,..
n
f f f
yn
xxx
为最小，可从以下几方面来考虑,y?欲使
间接测量中的部分误差项数愈少,则函数误差也会愈小,
即直接测量值的数目愈少,函数误差也就会愈小 。
若不同的函数公式所包含的直接测量值数目相同,则应选取误差较小的直接测量值的函数公式 。 如测量零件几何尺寸时,在相同条件下测量内尺寸的误差要比测量外尺寸的误差大,应尽量选择包含测量外尺寸的函数公式 。
七、测量方案的确定?选择最佳误差公式例３－８测量某箱体零件的轴心距，已知
1d 2d
2L
L
1L
125,78,1 0dd
LL
mm
试选择最佳测量方案
1
21
12
2
12
11
22
11
22
11
22
L L d d
L L d d
L L L
方法一：
方法二：
方法三：
12
12
12
22
2 2 2
1
22
2 2 2
2
22
22
11
9,1
22
11
1 0,9
22
11
6,4
22
L L d d
L L d d
L L L
m
m
m
七、测量方案的确定?误差传递系数准则由上面的公式可知,若使各个测量值对函数的误差传递系数等于零或为最小,则函数误差可相应减小 。
若误差传递系数等于零,则该项部分误差也将为零,即该测量值的误差对函数误差没有影响 。
若误差传递系数为最小,则可减小该项部分误差对函数误差的影响 。
函数的标准差为
12
222
2 2 2
12,..
n
f f f
yn
xxx
七、测量方案的确定?误差传递系数准则例 3-10 用双球法测量高精度内锥角 α,试确定最佳测量方案。
l 1l
2l
2?
2D
1D
12
1 2 1 2
sin 2 2 2DDl l D D
12
1 2 1 2
2 s i n 22 DDarc l l D D
1
2 2 2 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 22 2 2 2
2
2 2 2 2c o s
2
n
ii
i
l l D D
a
D D D D l l l l
l l l l
综合练习用天平测得长方体合金块的质量,用游标卡尺测得长度,宽和高的数据如下,已知天平的精度为 0.01g,游标卡尺的精度为 0.1mm,试求该合金密度的测量结果 (不考虑粗大误差和变化系统误差 ) 。
序号 质量 m(g) 长度 l（ mm） 宽度 w（ mm） 高 h（ mm）
1 260.01 100.1 39.2 29.8
2 260.02 100.3 39.4 30.0
3 260.04 100.2 39.5 29.9
4 260.03 100.0 39.1 30.1
5 260.00 100.2 39.2 30.2
6 260.02 100.0 39.4 30.1
7 260.04 100.1 39.2 30.2
8 260.05 99.9 39.3 30.3
函数误差
随机误差的合成
系统误差的合成
系统误差与随机误差的合成
误差分配
微小误差取舍准则
最佳测量方案的确定一、函数误差
函数系统误差计算
函数随机误差计算
误差间的相关关系和相关系数一、函数误差由两个或多个误差值合并成一个误差值，叫作误差的合成,
它是间接测量计算误差的基本方法。反过来，己知对一间接的被测量的要求，进而要确定具体测量时对直接测量参数的要求，
这就是误差的分配或误差分解。
误差的分配或误差分解是设计仪器和装置时不可缺少的步骤，即从仪器的总的精度要求出发，确定仪器各组成部分和环节 (包括零件、部件和装调等 )的精度要求。
要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行计算,这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函数增量或做相反计算的问题一、函数误差间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题,
一、函数误差?函数系统误差计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为：
12(,,..,)ny f x x x?
对于多元函数,其增量可用函数的全微分表示,
则上式的函数增量为：
12
12
..,n
n
f f fdy dx dx dx
x x x
若已知各个直接测量值的系统误差为：
12,,,nx x x
一、函数误差?函数系统误差计算用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系统误差：
上式称为函数系统误差公式 。
12
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
( 1,2,...,)
i
f in
x
为各个直接测量值的误差传递系数 。
一、函数误差?函数系统误差计算若函数形式为线性公式：
当当函数为各测量值之和时,其函数系统误差也为各测量值系统误差之和 。
1 1 2 2,.,nny a x a x a x
1 1 2 2 3 3,.,nny a x a x a x a x
12,.,ny x x x
则函数的系统误差为：
时，则有：1ia?
一、函数误差?函数系统误差计算在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按上述同样方法进行计算。
若三角函数为：
可得函数的系统误差：
12(,,..,,)nsin f x x x
12
12
..,n
n
f f fsi n x x x
x x x?
一、函数误差?函数系统误差计算在角度测量中，需要求得的误差不是三角函数误差，而是所求角度的误差,
dsindsin c os d d
c os
用系统误差代替上式中相应的微分量,则有可得正弦函数的角度系统误差公式为：
si n
c os
12
112
11(,.,) n
ni
ini
f f f fx x x x
c os x x x c os x
一、函数误差?函数系统误差计算
s
h
D
例 3-1 用弓高弦长法间接测量最大直径 D，直接测得其弓高 h 和 弦长 s,然后通过函数关系计算求得直径。
如果：
5 0,0,1
5 0 0,1
h m m h m m
s m m s m m
求测量结果。
2s
D = + h4h
一、函数误差?函数随机误差计算随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差来进行评定,因此,函数随机误差计算,就是研究函数 y的标准差与各测量值标准差之间的关系 。
12(,,..,)ny f x x x?
12
12
..,n
n
f f fdy dx dx dx
x x x
12
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
12,,,nx x x
函数：
多元函数增量：
随机误差：
系统随机误差：
一、函数误差?函数随机误差计算为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式,设对各个测量值皆进行了 N 次等精度测量,其相应的随机误差为：
1 11 12 1:,,..,,Nx x x x
2 2 1 2 2 2:,,..,,Nx x x x
12:,,.,,,n n n n Nx x x x
一、函数误差?函数随机误差计算
N 个函数值为：
1 1 1 2 1 1,,,ny f x x x?
2 1 2 2 2 2,,,ny f x x x?
12,,,N n n n ny f x x x?
一、函数误差?函数随机误差计算函数随机误差为：
1 11 21 1
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
2 12 22 2
12
..,n
n
f f fy x x x
x x x
12
12
...N N N n N
n
f f fy x x x
x x x
一、函数误差?函数随机误差计算将上面方程组中的每个方程平方得到：
22
2 2 2
1 11 1 1 1
11
..,2
n
n i j
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
22
2 2 2
2 1 2 2 2 2
11
..,2
n
n i j
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
22
2 2 2
1
11
..,2
n
N N n N iN jN
ijn i j
f f f fy x x x
x x x x
一、函数误差?函数随机误差计算将方程组中各方程相加,可得：
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1
1
2
2 2 2
2 1 2 2 2
2
2
2 2 2
12
11
,..,(,..,,)
(,..,,)
,..,,(,..,,)
2 ( )
nN
N
n n nN
n
nN
im jm
i j m ij
f
y y y x x x
x
f
x x x
x
f
x x x
x
ff
x
xx
一、函数误差?函数随机误差计算将方程两边同时除以 N,可得
222
2 2 2 2
12
12
11
,..,,
2 ( )
y x x x n
n
nN
im jm
i j m ij
f f f
x x x
xff
x x N
定义
1
N
im jm
m
ij
xx
k
N
ij
ij
x i x j
K?
ij ij x i x jk
一、函数误差?函数随机误差计算上式就是函数随机误差公式如果各测量值的随机误差是相互独立的,且 N
适当大时
1 0
N
im jm
m
ij
xx
k
N
222
2 2 2 2
12
12
11
,..,,
2 ( )
y x x x n
n
nN
ij x j x j
i j m ij
f f f
x x x
ff
xx
一、函数误差?函数随机误差计算令
222
2 2 2 2
12
12
,..,,y x x x n
n
f f f
x x x
222
2 2 2
12
12
,.,,,y x x x n
n
f f f
x x x
i
i
f a
x
则
2 2 2 2 2 21 1 2 2,.,,,y x x n x na a a
一、函数误差?函数随机误差计算当各个测量值的随机误差为同一分布时,上式中的标准差用极限误差代替,可得函数的极限误差公式为,
若
2 2 2 2 2 21 1 2 2 2,.,,,l i m y l i m x l i m x n l i n xa a a
1ia?
2 2 212,.,,,l i m y l i m x l i m x l i m x n
2 2 212,.,,,y x x x n
函数的标准差,
函数的极限误差,
一、函数误差?函数系统误差计算
s
h
D
例 3-1 用弓高弦长法间接测量最大直径 D，直接测得其弓高 h 和 弦长 s,然后通过函数关系计算求得直径。
如果：
lim
lim
5 0,0,0 5
5 0 0,0,1
h
s
h m m m m
s m m m m
求测量结果。
2s
D = + h4h
一、函数误差?误差间的相关各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关联对函数总误差的影响大小。
2 2 2 2 2 21 1 2 2,.,,,y x x n x na a a
12
2 2 2 2 2 2
12
1
.,,2
n
n
y x x n x i j i j x i x j
ij
a a a a a
1 1 2 2,..y x x n xna a a
0ij
1ij
一、函数误差?误差间的相关通常所遇到的测量实践多属误差间线性无关或近似线性无关,但线性相关的也常见 。 所以当各误差间相关或相关性不能忽略时,必须先求出各个误差间的相关系数,然后才能进行误差合成计算 。
误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系,
这种依赖关系有强有弱 。 联系最强时,在平均意义上,一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值,此时两误差间具有确定的线性函数关系 。 当两误差间的线性依赖关系最弱时,一个误差的取值与另一个误差的取值无关,这是互不相关的情况 。
一、函数误差?误差间的相关一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间,既有联系而又不具有确定性关系 。
线性依赖关系是指在平均意义上的线性关系,即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向,但两者取值又不服从确定的线性关系,而具有一定的随机性 。
一、函数误差?误差间的相关
相关系数两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若两误差 ξ 与 η 之间的相关系数为 ρ,根据相关系数定义，则有
K
:
:
:K
误差 η 的标准差误差 ξ 的标准差误差 ξ 与 η 之间的协方差一、函数误差?误差间的相关根据概率可知，相关系数的取值范围是,
11
两误差正相关01
两误差负相关10
两误差完全正相关1
两误差完全负相关1
两误差不相关0
一、函数误差?误差间的相关
确定两误差间的相关系数,
1.直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。
2.试验观察和简略计算法
（ 1）观察法用多组测量的对应值作图，将它与标准图形相比，
看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ξ
η
ρ＝１ ρ＝０,５ ρ＝０ ρ＝ -１ρ＝ -０,５
一、函数误差?误差间的相关
（ 2）简单计算法 (点阵计算法 ) (主要用于点数较多时 )
ξ
η
13c os nn
n
1 2 3 4n n n n n
n1n２
n３ n４
（ 3）直接计算法按相关系数的定义直接计算
22
( ) ( )
( ) ( )
ii
ii
一、函数误差?误差间的相关
3、理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。
以上讨论了误差之间相关系数的各种求法,一般先在理论上探求，若达不到目的，对于数值小或一般性的误差间的相关系数可用直观判断法；对与数值大或重要的相关系数宜采用多组成对观测，并分别采用不同的计算方法。
二、随机误差的合成?标准差的合成随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。
标准差的合成若有 q个单项随机误差,它们的标准差分别为：
这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如对间接测量可按式（ 3-13）来求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。
其相应的误差传递系数为：
12,,,q
12,,,qa a a
二、随机误差的合成?标准差的合成根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为
2
11
( ) 2
i i ij i j i j
i i j
a a a
一般情况下各个误差互不相关，相关系数则有,
0ij
2
1
()
q
ii
i
a
用标准差合成的优点：简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算总的标准差。
二、随机误差的合成?极限误差合成在测量实践中,各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示 。
极限误差合成时,各单项极限误差应取同一置信概率,
则按方和根法合成的总极限误差为 。
2
11
( ) 2
i i ij i j i j
i i j
a a a
一般情况下,已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同,不能按上式进行极限误差合成 。 应根据各单项误差的分布情况,引入置信系数,先将误差转化为标准差,再按极限误差合成 。
二、随机误差的合成?极限误差合成经过变换,可得一般的极限误差合成公式为：
2
11
( ) 2
ji i i
ij i j
i i ji i j
at a a
t t t
式 （ 3-34） 中的各个置信系数,不仅与置信概率有关,而且与随机误差的分布有关 。 也就是说
对于相同分布的误差,选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数相同 。
对于不同分布的误差,即使选定相同的置信概率,其相应的各个置信系数也不相同 。
式 （ 3-34） 中的置信系数一般来说并不相同 。 当各单项误差的数目 q较多时,合成的总误差接近于正态分布,因此对合成后的总误差的置信系数 t可按正态分布来确定 。
二、随机误差的合成?极限误差合成当各个单项随机误差均服从正态分布时，式（ 3-34）
中的各个置信系数完全相同,且一般情况下，
1 2 q nt t,.,t t
0ij
2
1
()
q
ii
i
a
由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线形无关或近似线形无关，因此式（ 3-36）是较为广泛使用的极限误差合成公式。
则,
三、系统误差的合成?已定系统误差已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为,
1
r
ii
i
a
12,,..,,r
单项已定系统误差值
12,,..,,ra a a
相应的误差传递系数注：在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因未予消除的已定系统误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
三、系统误差的合成?未定系统误差未定系统误差在测量实践中较为常见,且对于某些较小的已定系统误差,为简化计算,也可不对其进行误差修正,
而将其作未定系统误差处理,
未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握,或不必化费过多精力去掌握,而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围的系统误差 。
特征：在一定条件下客观存在的某一系统误差,一定是落在所估计的误差区间内的一个取值 。 当测量条件改变时,
该系统误差又是误差区间内的另一取值 。 而当测量条件在某一范围内多次改变时,未定系统误差也随之改变,其相应的取值在误差区间内服从某一概率分布 。
三、系统误差的合成?未定系统误差目前对未定系统误差的概率分布,均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的,并采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理 。 但两种假设,在理论上与实践上往往缺乏根据且很难操作,但也有些未定系统误差的极限范围是较容易确定的,例如在检定工作中,
所使用的标准计量器具误差,它对检定结果的影响属未定系统误差,而此误差值一般是已知的 。
三、系统误差的合成?未定系统误差
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值,多次重复测量时其值固定不变,因而不具有抵偿性,利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响,这是它与随机误差的重要差别,
当测量条件改变时,由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性,并且服从一定的概率分布,
这些特征均与随机误差相同,因而评定它对测量结果的影响也应与随机误差相同,即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度 。
三、系统误差的合成?未定系统误差对某一个砝码,一经检定完成,其修正值即已确定不变,
由检定方法引入的误差也就被确定下来了,其值为检定方法极限误差范围内的一个随机取值 。
使用这一个砝码进行多次重复测量时,由检定方法引入的误差则为恒定值而不具有抵偿性 。 但这一误差的具体数值又未掌握,而只知其极限范围,因此属未定系统误差 。
对于同一质量的多个不同的砝码,相应的各个修正值的误差为某一极限范围内的随机取值,其分布规律直接反映了检定方法误差的分布 。 或者反之,检定方法误差的分布也就反映了各个砝码修正值的误差分布规律 。 所以两者具有同样的标准差三、系统误差的合成?未定系统误差
对一批量具,仪器和设备等在加工,装调检定中,随机因素带来的误差具有随机性 。
对某一具体的量具,仪器和设备,随机因素却具有确定性,
实际误差为一恒定值 。 若尚未掌握这种误差的具体数值,则这种误差属未定系统误差 。
由于未定系统误差的取值是具有随机性,并且服从一定的概率分布,因而若干项未定系统误差综合作用时,它们之间就具有一定的抵偿作用 。 这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似,
因而未定系统误差的合成,完全可以采用随机误差的合成公式,对于某一项误差,当难以严格区分为随机误差或未定系统误差时,因不论作哪一种误差处理,最后总误差的合成结果均相同,故可将该项误差任作一种误差来处理 。
三、系统误差的合成?未定系统误差
标准差的合成
12,,...,ru u u
单项未定系统误差标准差
12,,..,,sa a a
相应的误差传递系数
2
11
( ) 2
ss
i i i j i j i j
i i j
u a u a a u u?
0ij
2
1
()
s
ii
i
u a u
则,
若三、系统误差的合成?未定系统误差
极限误差的合成
i i ie t u
单项未定系统误差的极限误差
12,,..,,sa a a
相应的误差传递系数
ss
i i i j i j i j
i i j
e t a e a a e e?
2
11
( ) 2
0ij
2
1
()
s
ii
i
e a e
则,
若四、系统误差与随机误差的合成前面讨论了各种相同性质的误差合成问题,
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差,应将其进行综合,以求得最后测量结果的总误差 。 常用极限误差来表示,但有时也用标准差来表示 。
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成若测量过程中有 r 个单项已定系统误差,s 个单项未定系统误差,q 个单项随机误差，它们的误差值或极限误差分别为：
12
12
12
,,...,
,,...,
,,...,
r
s
q
e e e
为计算方便，设各个误差传递系数均为 1，则测量结果总的极限误差为
2 2
1 1 1
qrs
ii
i
i i ii
etR
t t i
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时：
22
1 1 1
qrs
i i i
i i i
e?
一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根，即：
22
11
qs
ii
ii
e?
由式（ 3-46）和式（ 3-47）可以看出，当多项未定系统误差和随机误差合成时，对某一项误差无论作哪一种误差处理，其最后合成结果均相同。
四、系统误差与随机误差的合成
按极限误差合成
对于单次测量,可直接按上式求得最后结果的总误差,
但对多次重复测量,由于随机误差具有抵偿性,而系统误差则固定不变,因此总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n,即测量结果平均值的总极限误差公式为：
22
11
1 qs
ii
ii
te n?
在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差，而在多次重复测量的总误差合成中，则必需严格区分各个单项误差的性质。
四、系统误差与随机误差的合成
按标准差合成若测量过程中有 s 个单项未定系统误差,q 个单项随机误差，它们的标准差分别为：
12
12
,,..,,
,,..,,
s
q
u u u
为计算方便，设各个误差传递系数均为 1，则测量结果总的极限误差为
22
11
qs
ii
ii
uR
四、系统误差与随机误差的合成
按标准差合成当各个误差间互不相关时，则：
22
11
qs
ii
ii
u
与极限误差合成的理由相同,对单次测量,可直接按上式求得最后结果的总标准差,但对 n次重复测量,测量结果平均值的总标准差公式则为
22
11
1 qs
ii
ii
u
n
五、误差分配任何测量过程皆包含有多项误差,而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定 。
现在要研究当给定测量结果总误差的允差时,
如何确定各个单项误差？ 在进行测量工作前,应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案,合理进行误差分配,确定各单项误差,以保证测量精度 。
五、误差分配误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问题 。 为便于说明误差分配原理,这里只研究间接测量的函数误差分配,但其基本原理也适用与一般测量的误差分配 。
对于函数的已定系统误差,可用修正方法来消除,
不必考虑各个测量值已定系统误差的影响,而只需研究随机误差和未定系统误差的分配问题 。 根据式 （ 3-
47） 和式 （ 3-50）,这两种误差在误差合成时可同等看待,因此在误差分配时也可同等看待,其误差分配方法完全相同,
五、误差分配现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，由式（ 3-14）
可得
12
222
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2
1
1 2 2
2 2 2
12
...
...
...
n
f f f
yn
x
nn
n
xx
a a a
D D D
1
2 2 22ynD D D
显然，式中 可以是任意值，为不确定解，因此一般需要下列步骤求解。
y? iD i?若已给定 需确定 或相应的 使满足
iD
五、误差分配?按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，
12,..
y
nD D D n
因此可得,11
i
yy
i
f i
x
a
ann
或用极限误差表示,11
i
i
f i
x
ann
即,
如果各个测得值的误差满足式上式，则所得的函数误差不会超过允许的给定值。
五、误差分配?按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差需注意,当有的误差已经确定而不能改变时 （ 如受测量条件限制,必须采用某种仪器测量某一项目时 ）,
应先从给定的允许总误差中除掉,然后再对其余误差项进行误差分配 。
五、误差分配?按可能性调整误差按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况,对于其中有的测量值,要保证它的测量误差不超出允许范围较为容易实现,而对于其中有的测量值则难以满足要求,若要保证它的测量精度：
势必要用昂贵的高精度仪器,或者要付出较大的劳动 。
由式 （ 3-55）,式 （ 3-56） 可以看出,当各个部分误差一定时,则相应测量值的误差与其传递系数成反比 。 所以各个部分误差相等,但实际相应测量值的误差并不相等,
有时可能相差较大 。
由于存在上述两种情况,对按等作用原则分配的误差,
必须根据具体情况进行调整 。 对难以实现测量的误差项适当扩大,对容易实现测量的误差项尽可能缩小,而对其余误差项不予调整 。
五、误差分配?验算调整后的总误差误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误差
若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差。
若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。
五、误差分配?验算调整后的总误差测量某一圆柱体的体积时，可以间接测量圆柱体的直径 D 和高度 h，根据函数式
2
4
DVh
求得体积 V，已知直径和高度的公称值为 20mm和
50mm，如果要求测量体积的相对误差为 1%，试确定直径和高度的测量精度。
解：取 π=3.1416,可计算体积为
2 2 330
00
3 0 1 4 1 6 2 0 5 0 1 5 7 0 8
44
DV h m m m m
五、误差分配?验算调整后的总误差体积的绝对误差为
330 1%15708 1% 157.08V V m m m m
测量直径选用 2级千分尺按照等作用原则分配误差，则直径和高度的极限误差为
1 2 1 5 7,0 8 2 0,0 7 1/ 2 0 5 0
2VVD m m m mV D D hNN
22
1 4 1 5 7,0 8 2 0,3 5 1/ 2 0
2VVh m m m mV h DNN
测量高度选用游标卡尺
0,0 1 3
0,1 5 0
五、误差分配?验算调整后的总误差用这两种量具测量的体积极限误差为
2 2 2 2
2 2 2 2 35 1,3 624V D h D hV V D h D mmDh
335 1,3 6 1 5 7,0 8V m m m m
量具不合理，需调整。选用分度值为 0.05mm的游标卡尺，在 50mm的测量范围内，极限误差为 ± 0.08mm
调整后测量的体积极限误差为
2 2 2 2
2 2 2 2 3128.4524V D h D hV V D h D mmDh
331 2 8,4 5 1 5 7,0 8V m m m m
六、微小误差取舍准则测量过程包含有多种误差时,往往有的误差对测量结果总误差的影响较小 。 当这种误差数值小到一定程度后,
计算测量结果总误差时可不予考虑,则称这种误差为微小误差 。 为了确定误差数值小到什么程度才能作为微小误差而予以舍去,这就需要给出一个微小误差的取舍准则 。
若已知测量结果的标准差为,
2 2 2 2 2 21 2 1 1.,,,,,y K K K nD D D D D D
将其中的部分误差 DK 取出后，则得,
,2 2 2 2 21 2 1 1.,,,,,y K K nD D D D D
若有,,yy
则
kD
称为微小误差，在计算测量结果总误差时可予舍去。
六、微小误差取舍准则根据有效数字运算准则,对一般精度的测量,
测量误差的有效数字取一位 。 在此情况下,若将某项部分误差舍去后,满足,
,(0,1 0,0 5 )y y y
则对测量结果的误差计算没有影响。
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2
12
.,,,,,
.,,,,,
( 0,1 0,0 5 ),,,,,,
K K K n
K K n
Kn
D D D D D D
D D D D D
D D D D
解此式得,
( 0,4 0,3 )
1
3
ky
ky
D
D
六、微小误差取舍准则对于比较精密的测量，误差的有效数字可取二位，
则有,
,(0,0 1 0,0 0 5 )y y y
则对测量结果的误差计算没有影响。 22 2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2
12
4
..,,.,
2
..,,.,
( 0.0 1 0.0 05 ),.,,.,
K K K n
K K n
Kn
b b ac
D D D D D D
a
D D D D D
D D D D
解此式得,
( 0,1 4 0,1 )
1
10
ky
ky
D
D
六、微小误差取舍准则对于随机误差和未定系统误差,微小误差舍去准则是,被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的 1/3~ 1/10
微小误差取舍准则在总误差计算和选择高一级准量等方面都有实际意义 。
计算总误差或误差分配时,若发现有微小误差,可不考虑该误差对总误差的影响 。
选择高一级精度的标准器具时,其误差一般应为被检器具允许总误差的 1/3 ~ 1/10
七、测量方案的确定最佳测量方案的确定,当测量结果与多个测量因素由关时，采用什么方法确定各个因素，
才能使测量结果的误差为最小。
因为已定系统误差可用修正方法来消除，
所以讨论最佳测量方案，只需考虑随机误差和未定系统误差对测量方案的影响。这里只研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案的各种途径,
七、测量方案的确定?选择最佳误差公式函数的标准差为
12
222
2 2 2
12,..
n
f f f
yn
xxx
为最小，可从以下几方面来考虑,y?欲使
间接测量中的部分误差项数愈少,则函数误差也会愈小,
即直接测量值的数目愈少,函数误差也就会愈小 。
若不同的函数公式所包含的直接测量值数目相同,则应选取误差较小的直接测量值的函数公式 。 如测量零件几何尺寸时,在相同条件下测量内尺寸的误差要比测量外尺寸的误差大,应尽量选择包含测量外尺寸的函数公式 。
七、测量方案的确定?选择最佳误差公式例３－８测量某箱体零件的轴心距，已知
1d 2d
2L
L
1L
125,78,1 0dd
LL
mm
试选择最佳测量方案
1
21
12
2
12
11
22
11
22
11
22
L L d d
L L d d
L L L
方法一：
方法二：
方法三：
12
12
12
22
2 2 2
1
22
2 2 2
2
22
22
11
9,1
22
11
1 0,9
22
11
6,4
22
L L d d
L L d d
L L L
m
m
m
七、测量方案的确定?误差传递系数准则由上面的公式可知,若使各个测量值对函数的误差传递系数等于零或为最小,则函数误差可相应减小 。
若误差传递系数等于零,则该项部分误差也将为零,即该测量值的误差对函数误差没有影响 。
若误差传递系数为最小,则可减小该项部分误差对函数误差的影响 。
函数的标准差为
12
222
2 2 2
12,..
n
f f f
yn
xxx
七、测量方案的确定?误差传递系数准则例 3-10 用双球法测量高精度内锥角 α,试确定最佳测量方案。
l 1l
2l
2?
2D
1D
12
1 2 1 2
sin 2 2 2DDl l D D
12
1 2 1 2
2 s i n 22 DDarc l l D D
1
2 2 2 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 22 2 2 2
2
2 2 2 2c o s
2
n
ii
i
l l D D
a
D D D D l l l l
l l l l
综合练习用天平测得长方体合金块的质量,用游标卡尺测得长度,宽和高的数据如下,已知天平的精度为 0.01g,游标卡尺的精度为 0.1mm,试求该合金密度的测量结果 (不考虑粗大误差和变化系统误差 ) 。
序号 质量 m(g) 长度 l（ mm） 宽度 w（ mm） 高 h（ mm）
1 260.01 100.1 39.2 29.8
2 260.02 100.3 39.4 30.0
3 260.04 100.2 39.5 29.9
4 260.03 100.0 39.1 30.1
5 260.00 100.2 39.2 30.2
6 260.02 100.0 39.4 30.1
7 260.04 100.1 39.2 30.2
8 260.05 99.9 39.3 30.3
