信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数
4.2 傅里叶级数
4.3 周期信号的频谱
4.4 非周期信号的频谱 ——傅里叶变换
4.5 傅里叶变换的性质
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.7 LTI系统的频域分析
4.8 取样定理点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析,以 冲激函数 为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而 yf(t) = h(t)*f(t)。
本章将以 正弦信号 和 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列 不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是 频率 。故称为 频域分析 。
矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
0
3
1
i
yixiyx vvVV
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集如三维空间中，以矢量
vx=（ 2,0,0）,vy=（ 0,2,0）,vz=（ 0,0,2)
所组成的集合就是一个 正交矢量集 。
例如对于一个三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，
在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集
1,定义：
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和? 2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt (两函数的内积为 0)
则称? 1(t)和? 2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
2,正交函数集：
若 n个函数? 1(t),? 2(t),…,? n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间 (t1,t2)内满足
21,0,0d)()( *tt
i
ji jiK
jittt
则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数
3,完备正交函数集：
如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，
不存在函数 φ(t)(≠0）满足则称此函数集为 完备正交函数集 。
例如,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…} 是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
21 0d)()(tt i ttt
( i =1,2,…,n)
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有 n个函数?1(t),? 2(t),…,? n(t)在区间 (t1,t2)
构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择各系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)内为最小。
通常使误差的方均值 (称为 均方误差 )最小。均方误差为
ttCtftt t
t
n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数为使上式最小
0d)]()([2
1 1
2
2
t
t
n
j
jj
ii
ttCtfCC
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为 0，写为
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
即 2
1
2
1
0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t
KCttftt?
在用正交函数去近似 f(t)时，所取得项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当 n→∞ 时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
上式称为 (Parseval)巴塞瓦尔公式,表明：在区间 (t1,t2)
f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号 f(t)，其周期为 T，角频率?=2?/T，当满足狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 ——称为 f(t)的 傅里叶级数
11
0 )s i n ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atf
系数 an,bn称为 傅里叶系数
2
2
d)c os ()(2
T
Tn ttntfTa
2
2
d)s i n()(2
T
Tn ttntfTb
可见,an 是 n的偶函数,bn是 n的奇函数。
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电子教案 4.2 傅里叶级数
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
式中,A0 = a0
22
nnn baA n
n
n a
ba r c t a n
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?t+?1)称为 基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?t+?n)称为 n次谐波 。
可见 An是 n的偶函数,?n是 n的奇函数。
an = Ancos?n,bn = –Ansin?n,n=1,2,…
将上式同频率项合并，可写为信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性
1,f(t)为偶函数 ——对称纵坐标
2
2
d)c os ()(2
T
Tn ttntfTa
2
2
d)s i n()(2
T
Tn ttntfTb
bn =0，展开为余弦级数。
2,f(t)为奇函数 ——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
实际上，任意函数 f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)
由于 f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2
)()()( tftftf
od
2
)()()( tftftf
ve
3,f(t)为奇谐函数 ——f(t) = –f(t± T/2)
f(t)
t0 TT / 2
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0
三、傅里叶级数的指数形式三角形式 的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用 指数形式 的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
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电子教案 4.2 傅里叶级数
1
)()(0 ]e[e
22 n
tnjtnjn nnAA
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n nn AA
A
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
上式中第三项的 n用 –n代换,A–n=An,?–n= –?n，
则上式写为
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
令 A0=A0ej?0ej0?t,?0=0
n
tjnj
n
nAtf ee
2
1)(?所以信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数令复数
nn
j
n FFA
nn ee
2
1
称其为 复傅里叶系数,简称傅里叶系数。
)(21)s i nco s(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n
2
2
2
2
2
2
de)(1d)s i n()(1d)c os ()(1
T
T
tjn
T
T
T
T ttfTttntfTjttntfT
n
tjn
nFtf e)(
n = 0,± 1,± 2,…
2
2
de)(1
T
T
tjn
n ttfTF
表明：任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。
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电子教案 4.2 傅里叶级数四、周期信号的功率 ——Parseval等式
n
n
n
n
T FAAdttf
T
2
1
220
0
2 ||
2
1)
2()(
1
直流和 n次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时,|Fn| = An/2。
周期信号一般是功率信号，其平均功率为信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种 特征量 随信号频率变化的关系，称为 信号的频谱,所画出的图形称为信号的 频谱图 。
周期信号的频谱 是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即将 An~ω和?n~ω的关系分别画在以 ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为 振幅频谱图 和 相位频谱图 。因为 n≥0，所以称这种频谱为 单边谱 。
也可画 |Fn|~ω和?n~ω的关系，称为 双边谱 。若 Fn
为实数，也可直接画 Fn。
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电子教案 4.3 周期信号的频谱例,周期信号 f(t) =
试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率 Ω，画出它的单边频谱图，并求 f(t) 的平均功率。
63s i n41324co s211 tt
解 首先应用三角公式改写 f(t)的表达式，即
263co s41324co s211)( tttf
显然 1是该信号的直流分量。
34co s21 t 的周期 T1 = 8
3
2
3co s4
1 的周期 T2 = 6
所以 f(t)的周期 T = 24，基波角频率 Ω=2π/T = π/12
根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=
32
37
4
1
2
1
2
1
2
11 22
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
34co s21 t 是 f(t)的 [π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
323co s41 是 f(t)的 [π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；
画出 f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
( a ) ( b )
o
A n
12
6
4
3
2
0
A
2
1
4
1
ω
o
ω
3
3
4
6
12
3
2?
n
1
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电子教案 4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为 1，脉冲宽度为?的周期矩形脉冲，其周期为 T，如图所示。求频谱。
f(t)
t
0
T-T
…
1
2
2
tTttfTF
T
T
tjn
T
T
tjn
n de
1de)(1 2
2
2
2
2
2
s in
n
n
T
令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n
n
TjnT
tjn )
2
s i n (2e1
2
2
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
)()2( TnSaTnSaTF n,n = 0,± 1,± 2,…
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设 T = 4τ画图。
零点为
mn2
所以
mn 2,m为整数。
F n
ω0
2
2
4
4
1
特点,(1)周期信号的频谱具有谐波 (离散 )性。谱线位置是基频 Ω的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：
(a) T一定,?变小，此时?（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目,?1/?=（ 2?/?） /(2?/T)=T/? 增多。
(b)?一定,T增大，间隔?减小，频谱变密。幅度减小。
如果周期 T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的 离散频谱 就过渡到非周期信号的 连续频谱 。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
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电子教案 4.4 傅里叶变换
4.4 非周期信号的频谱 —傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号 f(t)可看成是周期 T→∞ 时的周期信号。
前已指出当周期 T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
TFTFjF n
T
n
T
lim/1lim)(?
(单位频率上的频谱）
称 F(jω)为频谱密度函数。
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电子教案 4.4 傅里叶变换
2
2
de)(
T
T
tjn
n ttfTF?
n
tjn
n TTFtf
1e)(
考虑到,T→∞,Ω→ 无穷小，记为 dω；
n Ω→ ω （由离散量变为连续量），而
2
d
2
1
T
同时,∑ →∫
于是,
ttfTFjF
tj
nT de)(lim)(
de)(2 1)( tjjFtf
傅里叶变换式,-‖
傅里叶反变换式
F(jω)称为 f(t)的 傅里叶变换 或 频谱密度函数,简称 频谱 。
f(t)称为 F(jω)的 傅里叶反变换 或 原函数 。
根据傅里叶级数信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换也可简记为 F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
或 f(t) ←→F(jω)
F(jω)一般是复函数，写为
F(jω) = | F(jω)|e j?(ω)= R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，
函数 f(t)的傅里叶变换存在的 充分条件,
ttf d)(
(2)用下列关系还可方便计算一些积分
dttfF )()0( d)(2 1)0( jFf
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电子教案 4.4 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换
1,单边指数函数 f(t) = e–?tε(t),? >0
1
0 t
f ( t )
jjtjF
tjtjt
1e1dee)(
0
)(
0
2,双边指数函数 f(t) = e–t?,? >0 1
0 t
f ( t )
220
0 211deedee)(
jjttjF
tjttjt
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换
3,门函数 (矩形脉冲 )
2
,0
2
,1
)(
t
t
tg
1
0 t
g τ (t)
2
2
j
tjF
jj
tj
222/
2/
eede)(
)
2
S a (
)
2
s i n (2
4,冲激函数?(t),?′(t)
1de)()( ttt tj
jtttt ttjtj 0ed dde)(')('
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换
5,常数 1
有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1,?(t)
等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。
可构造一函数序列 {fn(t)}逼近 f (t),即而 fn(t)满足绝对可积条件，并且 {fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列 {Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义 f(t)的傅里叶变换 F(j?)为
)(lim)( tftf nn
)(lim)( jFjF nn
这样定义的傅里叶变换也称为 广义傅里叶变换 。
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换构造 f?(t)=e-t?,?> 0←→
22
2)(
jF
)(lim1)( 0 tftf
所以
0,
0,02lim)(lim)(
2200?
jFjF
又
2a r c t a n2lim
1
2lim2lim
020220
dd
因此,1←→2(?)
另一种求法,?(t)←→1 代入反变换定义式，有
)(de21 ttj 将?→ -t,t→? )(de2 1 ttj
再根据傅里叶变换定义式，得
)(2)(2de1 ttj
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电子教案
6,符号函数
4.4 傅里叶变换
0,1
0,1)s gn(
t
tt 1
0 t
s gn (t)
-1
00,e 0,e)(?
t
ttf
t
t
)(lim)s g n ( 0 tft 22 211)()( jjjjFtf
j
jjFt 22lim)(lim)s g n (
2200
7,阶跃函数?(t)
jtt
1)()s g n (
2
1
2
1)(
1
0 t
ε (t)
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电子教案 4.4 傅里叶变换归纳记忆：
1,F 变换对
2,常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)
j
1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t| ε(t)
22
2
1
1 2πδ(ω)
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
4.5 傅里叶变换的性质一、线性 (Linear Property)
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
then
Proof,F [a f1(t) + b f2(t)]
ttbftaf tj de)]()([ 21?
ttfttf tjtj de)(bde)(a 11
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
0
f ( t )
t1- 1
1
Ans,f (t) = f1(t) – g2(t)
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
g2(t) ←→ 2Sa(ω)
∴ F(jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)
‖
0
f 1 ( t )
t
1
0
g 2 ( t )
t1- 1
1-
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质二、时移性质 (Timeshifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―t0‖ is real constant.
)(e)( 00 jFttf tj
Proof,F [ f (t – t0 ) ]
tttf tj de)( 0?
0
0
ede)( tjj
tt
f
)(e 0 jFtj
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
Ans,f1(t) = g6(t - 5),
f2(t) = g2(t - 5)
g6(t - 5) ←→
g2(t - 5) ←→
∴ F(jω) =
5e)3Sa (6 j?
5e)Sa (2 j?
5e)]S a (2)3S a (6[ j
0
f ( t )
t2- 1
2
1
4 6 8
‖
0
f 1 ( t )
t2
2
1
4 6 8
+
0
f 2 ( t )
t2
2
1
4 6 8
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质 (Symmetrical Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
de)(2 1)( tjjFtf （ 1）
in (1) t →ω,ω→ t then
tjtFf tj de)(2 1)(
（ 2）
in (2) ω → -ω then
tjtFf tj de)(2 1)(
∴ F(j t) ←→ 2π f (–ω) end
F( jt ) ←→ 2π f (–ω)
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
←→ F(jω) =?
21
1)(
t
tf
Ans:
22
|| 2e
t
if α=1,
2
||
1
2e
t
∴
||
2 e21
2
t
||
2 e1
1
t
* if
22
32)(
2
2
tt
tttf F(jω) =?
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质四、频移性质 (Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
where ―ω0‖ is real constant.
F [e jω0t f(t)]
ttf tjtj de)(e 0
ttf tj de)( )( 0
= F[ j(ω-ω0)] end
)(e)]([ 00 tfjF tj
For example 1
f(t) = ej3t ←→ F(jω) =?
Ans,1 ←→ 2πδ(ω)
ej3t × 1←→ 2πδ(ω -3)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = cosω0t ←→ F(jω) =?
Ans:
tjtjtf 00 e
2
1e
2
1)(
F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ω-ω0)]
For example 3
Given that f(t) ←→ F(jω)
The modulated signal f(t) cosω0t ←→?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质 (Scaling Transform Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―a‖ is a nonzero real constant.
Proof,F [ f (a t ) ] =
teatf tj d)(?
For a > 0,F [ f (a t ) ]
d1e)( af aj
at
ajFa?1
for a < 0,
F [ f (a t ) ] de)(1d1e)( ajajat faaf
ajFa?1
That is,f (a t ) ←→ ajFa?|| 1
Also,letting a = -1,f (- t ) ←→ F( -jω)
ajFaatf
||
1)(
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 1
Given that f (t)←→ F( jω),find f (at –b) ←→?
Ans,f (t –b)←→ e -jωb F( jω)
f (at –b) ←→?
ajFa
baj
e|| 1
or
f (at) ←→?
ajFa
||
1
f (at – b) =
)(
a
btaf?
ajFea
baj
||
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = ←→ F(jω) =?
1
1
jt
Ans:
1
1)(e
jt
t
)(e211jt
)(e211 jt
Using symmetry,
using scaling property with a = -1,
so that,
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质六、卷积性质 (Convolution Property)
Convolution in time domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t)*f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω)
Convolution in frequency domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)
2
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Proof:
d)()()(*)( 2121 tfftftf
F [ f1(t)*f2(t) ]=
d]de)()[(ded)()( 2121 ttffttff tjtj
Using timeshifting
jtj jFttf
e)(de)( 22
So that,F [ f1(t)*f2(t) ]=
de)()(de)()( 1221 jj fjFjFf
= F1(jω)F2(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
)(s i n
2
jF
t
t
Ans:
)S a (2)(2tg
Using symmetry,
)(2)S a (2 2 gt
)()S a( 2 gt
)(*)(2)]([*)]([2 1s i n 2222
2
ggggt t
g 2 (ω )* g 2 (ω )
2
2- 2 0 ω
F (jω )
π
2- 2 0 ω
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分
(Differentiation and Integration in time domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
)()()()( jFjtf nn
j
jFFxxft )()()0(d)(
ttfjFF d)()()0( 0
Proof:
f(n)(t) =?(n)(t)*f(t) ←→(j ω) n F(jω)
f(-1)(t)=?(t)*f(t) ←→
j
jFFjF
j
)()()0()(]1)([
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
f(t)= 1/t2 ←→?
For example 1
Ans:
jt
2)s g n (
)s g n (22jt
)s g n (1jt
)s g n ()s g n ()(1dd jjtt
||)s g n (1 2t
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2 Given that f?(t)←→ F1(jω)
Proof
f (t)←→ F1(jω) +?[f(-∞)+ f(∞)]?(?)
j
1
)()]()([)(
1
)(d
d
)(d
)(
1
d
d
)(d
)()(
1
1
ffjF
j
t
t
tf
jF
j
t
t
tf
ftf
t
Proof
)()]()([)(1)()(2)( 1 ffjFjfjF
So
)()]()([)(1)( 1 ffjFjjF
Summary,if f (n)(t)←→ Fn(jω),and f(-∞)+ f(∞) = 0
Then f (t)←→ F(jω) = Fn(jω)/ (jω)n
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 3
f (t)
2- 2 0 t
2
Determine f (t)←→ F(jω)
f ' ( t )
t2- 2 0
- 1
1
t2- 2
( 1 ) ( 1 )
( - 2 )
f " (t)
Ans,f,(t) =?(t+2) – 2?(t) +?(t –2)
F2(jω)= F [f,(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2
F(jω) =
22
2 )2co s (22
)(
)(
j
jF
Notice,dε(t)/dt =?(t) ←→ 1 ε(t) ← × → 1/(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分
(Differentiation and Integration in frequency domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
(–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω)
xjxFtfjttf d)()(1)()0(
where
d)(2 1)0( jFf
For example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F(jω)=?
jt
1)()(
Ans:
jtjt
1)(
d
d)(
2
1)(')(
jtt
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Notice,tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→
jj
1)(1)(
It’s wrong,
Because?(?)?(?) and (1/j?)?(?) is not defined.
For example 2 Determine?
d)s in (
a
Ans:
)s in (2)(
2
atg
a
de)s i n(1de)s i n(22 1)(2 tjtja aatg
d)s i n (1)0(2 ag a
2d
)s i n (
0
a
信号与系统
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电子教案九、帕斯瓦尔关系
(Parseval’s Relation for Aperiodic Signals)
d)(2 1d)( 22 jFttfEProof
ttftfttfE d)()(d)( *2
tjFtf tj dde)(2 1)( *
dde)()(2 1 * ttfjF tj
d|)(|2 1d)()(2 1 2* jFjFjF
|F(jω)|2 is referred to as the energy-density spectrum
of f(t),单位频率上的频谱 (能量密度谱 ） J·s
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
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电子教案
For example
Determine the energy of
t
tt
5s in)997co s (2
Ans:
)(5s in 10 gt t
)997()997(5s i n)997co s (2 1010 ggt tt
10)1010(
2
1d)( 2
ttfE
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质十、奇偶性 (Parity)
If f(t) is real,then
tttfjtttfttfjF tj d)s i n ()(d)c o s ()(de)()(
= R(ω) + jX(ω)
)()(|)(| 22 XRjF
)(
)(a r c t a n)(
R
X
So that (1)R(ω)= R(–ω),X(ω) = – X (–ω)
|F(jω)| = |F(– jω)|,?(ω) = –?(–ω)
(2) If f(t) = f(-t),then X(ω) = 0,F(jω) = R(ω)
If f(t) = -f(-t),then R(ω) = 0,F(jω) = jX(ω)
信号与系统
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电子教案
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.6 周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换
1←→2πδ(ω)
由频移特性得
e j ω0 t ←→ 2πδ(ω –ω0 )
e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω 0 )
cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→
π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )]
sin(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/(2j) ←→
jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )]
信号与系统
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电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换
n
tjn
nT Ftf e)(?
2
2
de)(1
T
T
tjn
Tn ttfTF
n
nT
n
tjn
nT nFjFFtf )(2)(e)(
例 1：周期为 T的单位冲激周期函数?T(t)=
m
mTt )(?
TdtetfTF
T
T
tjn
n
1)(1 2
2
解,
)()()(2)( tnnTt
nn
T?
(1)
信号与系统
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电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
0- 1 1
f ( t )
t
1
4- 4
解,周期信号 f(t)也可看作一时限非周期信号 f0(t)的周期拓展。即 f(t) =?
T(t)* f0(t)
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
n
njnF )()(0
F(jω) =
nn
nnnn )
2()2S a ()()S a (2
本题 f0(t) = g2(t)←→ )S a(2?
2
2
T
(2)
(2)式与上页 (1)式比较，得 )2(1)(
2 00 T
njF
TjnFF n
这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
4.7 LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。
n
tjn
nFtf e)(对周期信号：
对非周期信号,
de)(
2
1)( tjjFtf
其 基本信号 为 ej?t
一、基本信号 ej?t作用于 LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为 (–∞,∞)，而 t= –
∞总可认为系统的状态为 0，因此本章的响应指零状态响应，常写为 y(t)。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析设 LTI系统的冲激响应为 h(t)，当激励是角频率 ω的基本信号 ej?t时，其响应
tjjtj hhty ede)(de)()( )(
而上式积分 正好是 h(t)的傅里叶变换，
记为 H(j?)，常称为系统的频率响应函数。
de)( jh
y(t) = H(j?) ej?t
H(j?)反映了响应 y(t)的幅度和相位。
y(t) = h(t)* ej?t
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析二、一般信号 f(t)作用于 LTI系统的响应
ej?t H(j?) ej?t
2
1 F(j?) ej?t d21 F(j?)H(j?) e
j?t d?
齐次性
de)(2 1 tjjF de)()(2 1 tjjFjH
可加性‖f(t) ‖y(t) =F –1[F(j?)H(j?) ]
Y(j?) = F(j?)H(j?)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
LTI
* h ( t ) =
②傅氏 变换
③傅氏 反变换
f ( t )
①傅氏 变换
× ＝
y ( t )
F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )
频率响应 H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 Y(j?)与激励 f(t)的傅里叶变换 F(j?)之比，即
)(
)()(
jF
jYjH? )]()([)(
)(
)()()(
fyjj e
jF
jYejHjH
H(j?)?称为 幅频特性 （或 幅频响应 ）； θ (?)称为 相频特性 （或 相频响应 ）。H(j?)?是?的偶函数,θ (?)
是?的奇函数。
频域分析法步骤,傅里叶变换法信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。
周期信号
n
tjn
nT Ftf e)(
n
tjn
n
n
tjn
nT jnHFthFtfthty e)(]e*)([)(*)()(
若
1
0 )c o s (
2)( n nnT tnA
Atf?)()()( jejHjH?
则可推导出
1
0 )](c o s [|)(|)0(
2)( n nn ntnjnHAH
Aty
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,某 LTI系统的?H(j?)?和 θ (?)如图，
若 f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。
|H ( jω ) |
θ( ω )
ω
10
- 10 0
π
1
- π
解法一,用傅里叶变换
F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) +
δ(ω+5)]
+ 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)]
Y(j?) = F(j?)H(j?) =
4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)]
+ 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ]
H(j?)=?H(j?)?ejθ (?)
= 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ]
y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + sin(5t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解法二,用三角傅里叶级数
f(t)的基波角频率 Ω=5rad/s
f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt)
H(0) =1,H(jΩ) = 0.5e-j0.5π,H(j2Ω) = 0
y(t) = 2 + 4× 0.5cos(Ωt – 0.5π)
= 2 + 2sin(5t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析三、频率响应 H(j?)的求法
1,H(j?) = F [h(t)]
2,H(j?) = Y(j?)/F(j?)
(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。
(2)由电路直接求出。
例 1：某系统的微分方程为
y′(t) + 2y(t) = f(t)
求 f(t) = e-tε(t)时的响应 y(t)。
解,微分方程两边取傅里叶变换
j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?)
2
1
)(
)()(
jjF
jYjH
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
f(t) = e-tε(t)←→
1
1)(
jjF
Y(j?) = H(j?)F(j?)
2
1
1
1
)2)(1(
1
jjjj
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
例 2：如图电路,R=1Ω,C=1F，以 uC(t)为输出，求其
h(t)。
u C (t)u S (t)
C
R
解,画电路频域模型
U S (jω )
R
U C (jω )
Cj ω
1
1ω
1
ω
1
ω
1
)(
)(
)(
j
Cj
R
Cj
jU
jU
jH
S
C
h(t)= e-t ε(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-66页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是 信号的传输,一类是 滤波 。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。
1、无失真传输
（ 1） 定义,信号 无失真传输 是指系统的输出信号与输入信号相比，只有 幅度的大小 和 出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。即输入信号为 f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为
y(t) = K f(t–td)
其频谱关系为 Y(j?)=Ke – j?tdF(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-67页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统 h(t),H(j?)的要求是：
(a)对 h(t)的要求,
h(t)=K?(t – td)
(b)对 H(j?)的要求,
H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td
即
H(j?)?=K,θ (?)= –?td
K
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0
上述是信号无失真传输的 理想 条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、
相频特性满足以上条件即可。
(2)无失真传输条件,
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,系统的幅频特性
|H(jω)|和相频特性如图
(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 ( a ) ( b )
10
-10
π 5
-5
0
0 ω
ω
| H (j ω )|
θ ( ω )
5
-5
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
2、理想低通滤波器
1
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0 ω C- ω C
具有如图所示幅频、相频特性的系统称为 理想低通滤波器 。
c称为截止角频率。
理想低通滤波器的频率响应可写为：
d
C
d
tj
C
C
tj
gjH
e)(
,0
,e)(
2
(1)冲激响应
h(t)=?-1[g 2?c(?)e-j?td] = )](S a [
dc
c tt
可见，它实际上是不可实现的非因果系统。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
(2)阶跃响应
g(t)=h(t)*?(t)=?
d
)(
)](s i n [d)(
dc
dct ct
t
th
经推导，可得
)(0 s i n121)( dc tt dxx xtg
xx xy y ds in)S i( 0 称为正弦积分
)](S i [121)( dC tttg
1
t d
C
d
t
g (t)
0
t
特点,有明显失真，只要?c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约 9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为 吉布斯现象 。 gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-71页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
3、物理可实现系统的条件就 时域特性 而言，一个 物理可实现的系统,其冲激响应在 t<0时必须为 0，即 h(t)=0,t<0
即 响应不应在激励作用之前出现 。
就 频域特性 来说，佩利（ Paley)和维纳（ Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足
djH 2)(
djH
21
)(ln并且称为 佩利 -维纳准则 。（ 必要条件 ）
从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为 0，但不能在某个有限频带内为 0。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-72页 ■
电子教案
4.8 取样定理
4.8 取样定理取样定理 论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用 离散样本值 表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说，取样定理 在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 。为其互为转换提供了理论依据。
一、信号的取样所谓,取样,就是利用 取样脉冲序列 s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列 离散样本值 的过程。
这样得到的离散信号称为 取样信号 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-73页 ■
电子教案 4.8 取样定理如图一连续信号 f(t)
f (t)
0
t
用取样脉冲序列 s(t)(开关函数 ）
进行取样,取样间隔 为 TS,fS
=1/TS称为 取样频率 。
t
s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
得取样信号
fS(t) = f(t)s(t)
×
f (t)
s (t)
f s (t)
t
f(t)s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
取样信号 fS(t)的频谱函数为
FS(j?)=(1/2?)F(j?)*S(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-74页 ■
电子教案 4.8 取样定理冲激取样若 s(t)是周期为 Ts的冲激函数序列?Ts (t),则称为 冲激取样 。
如果 f(t) 是 带限信号 [即 f(t)的频谱只在区间
（ -?m,?m)为有限值，而其余区间为 0] 。
设 f(t)←→F(j?)，取样信号 fS(t)的频谱函数
FS(j?)= (1/2?)F(j?)* ωS?ωs(ω)
n
S
S
njFT )]([1
ωS =2π/TS
s(t)=?Ts(t) ←→ω S?ωs(ω)
n
SnTt )(
n
SS n )(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-75页 ■
电子教案 4.8 取样定理
f ( t )
t0
× ( 1 )
δ Ts ( t )
t0 Ts 2 T s- T s
…… =
0 t
……
f s ( t )
Ts 2 T s- T s
1
F (jω )
ω0 ω m- ω m ω
……
( ω S )
ω S δ ωs ( t )
0 ω S- S
2
1 * =
0 ω m- ω m ω S- ω S
F S (jω )
ω
1 / T S
上面在画取样信号 fS(t)的频谱时，设定 ωS ≥2 ωm,这时其频谱 不发生混叠,因此能设法 (如利用低通滤波器 )，
从 FS(j?)中取出 F(j?)，即 从 fS(t)中恢复原信号 f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理二、时域取样定理当 ωS ≥2 ωm时，将取样信号通过下面的低通滤波器
C
CSTjH
||,0
||,)(
其截止角频率 ωC取 ωm<ωC <ωS -ωm 。即可恢复原信号。
由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t)
n
ss
n
s nTtnTfnTt )()()(
H(j?) ←→ h(t) =
)( tSaT ccS
为方便，选 ωC = 0.5ωS,则 TsωC /π =1
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理
)2()( tSath S
所以 根据 f(t)=fS(t)*h(t),有
])(2S a[)()2S a(*)()()(
n
s
s
s
n
s
ss nTtnTf
tnTtnTftf
只要已知各取样值 f(nTs),就出唯一地确定出原信号 f(t)。
时域取样定理,
一个频谱在区间（ -?m,?m)以外为 0的带限信号 f(t),
可唯一地由其在均匀间隔 Ts [Ts<1/(2fm)] 上的样值点
f(nTs)确定。
注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（ 1） f(t)
必须是带限信号 ；（ 2） 取样频率不能太低，必须
fs>2fm,或者说,取样间隔不能太大，必须 Ts<1/(2fm);
否则将发生混叠。
信号与系统
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电子教案通常把最低允许的取样频率 fs=2fm称为 奈奎斯特
（ Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔 Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n s
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数
4.2 傅里叶级数
4.3 周期信号的频谱
4.4 非周期信号的频谱 ——傅里叶变换
4.5 傅里叶变换的性质
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.7 LTI系统的频域分析
4.8 取样定理点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析,以 冲激函数 为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而 yf(t) = h(t)*f(t)。
本章将以 正弦信号 和 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列 不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。
这里用于系统分析的独立变量是 频率 。故称为 频域分析 。
矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
0
3
1
i
yixiyx vvVV
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集如三维空间中，以矢量
vx=（ 2,0,0）,vy=（ 0,2,0）,vz=（ 0,0,2)
所组成的集合就是一个 正交矢量集 。
例如对于一个三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，
在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集
1,定义：
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和? 2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt (两函数的内积为 0)
则称? 1(t)和? 2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
2,正交函数集：
若 n个函数? 1(t),? 2(t),…,? n(t)构成一个函数集，
当这些函数在区间 (t1,t2)内满足
21,0,0d)()( *tt
i
ji jiK
jittt
则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数
3,完备正交函数集：
如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，
不存在函数 φ(t)(≠0）满足则称此函数集为 完备正交函数集 。
例如,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…} 是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
21 0d)()(tt i ttt
( i =1,2,…,n)
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有 n个函数?1(t),? 2(t),…,? n(t)在区间 (t1,t2)
构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择各系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)内为最小。
通常使误差的方均值 (称为 均方误差 )最小。均方误差为
ttCtftt t
t
n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数为使上式最小
0d)]()([2
1 1
2
2
t
t
n
j
jj
ii
ttCtfCC
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为 0，写为
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
即 2
1
2
1
0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t
KCttftt?
在用正交函数去近似 f(t)时，所取得项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当 n→∞ 时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
上式称为 (Parseval)巴塞瓦尔公式,表明：在区间 (t1,t2)
f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号 f(t)，其周期为 T，角频率?=2?/T，当满足狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 ——称为 f(t)的 傅里叶级数
11
0 )s i n ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atf
系数 an,bn称为 傅里叶系数
2
2
d)c os ()(2
T
Tn ttntfTa
2
2
d)s i n()(2
T
Tn ttntfTb
可见,an 是 n的偶函数,bn是 n的奇函数。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
式中,A0 = a0
22
nnn baA n
n
n a
ba r c t a n
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?t+?1)称为 基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?t+?n)称为 n次谐波 。
可见 An是 n的偶函数,?n是 n的奇函数。
an = Ancos?n,bn = –Ansin?n,n=1,2,…
将上式同频率项合并，可写为信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性
1,f(t)为偶函数 ——对称纵坐标
2
2
d)c os ()(2
T
Tn ttntfTa
2
2
d)s i n()(2
T
Tn ttntfTb
bn =0，展开为余弦级数。
2,f(t)为奇函数 ——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
实际上，任意函数 f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)
由于 f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2
)()()( tftftf
od
2
)()()( tftftf
ve
3,f(t)为奇谐函数 ——f(t) = –f(t± T/2)
f(t)
t0 TT / 2
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0
三、傅里叶级数的指数形式三角形式 的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用 指数形式 的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
1
)()(0 ]e[e
22 n
tnjtnjn nnAA
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n nn AA
A
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
上式中第三项的 n用 –n代换,A–n=An,?–n= –?n，
则上式写为
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
令 A0=A0ej?0ej0?t,?0=0
n
tjnj
n
nAtf ee
2
1)(?所以信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数令复数
nn
j
n FFA
nn ee
2
1
称其为 复傅里叶系数,简称傅里叶系数。
)(21)s i nco s(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n
2
2
2
2
2
2
de)(1d)s i n()(1d)c os ()(1
T
T
tjn
T
T
T
T ttfTttntfTjttntfT
n
tjn
nFtf e)(
n = 0,± 1,± 2,…
2
2
de)(1
T
T
tjn
n ttfTF
表明：任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数四、周期信号的功率 ——Parseval等式
n
n
n
n
T FAAdttf
T
2
1
220
0
2 ||
2
1)
2()(
1
直流和 n次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时,|Fn| = An/2。
周期信号一般是功率信号，其平均功率为信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种 特征量 随信号频率变化的关系，称为 信号的频谱,所画出的图形称为信号的 频谱图 。
周期信号的频谱 是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即将 An~ω和?n~ω的关系分别画在以 ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为 振幅频谱图 和 相位频谱图 。因为 n≥0，所以称这种频谱为 单边谱 。
也可画 |Fn|~ω和?n~ω的关系，称为 双边谱 。若 Fn
为实数，也可直接画 Fn。
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱例,周期信号 f(t) =
试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率 Ω，画出它的单边频谱图，并求 f(t) 的平均功率。
63s i n41324co s211 tt
解 首先应用三角公式改写 f(t)的表达式，即
263co s41324co s211)( tttf
显然 1是该信号的直流分量。
34co s21 t 的周期 T1 = 8
3
2
3co s4
1 的周期 T2 = 6
所以 f(t)的周期 T = 24，基波角频率 Ω=2π/T = π/12
根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=
32
37
4
1
2
1
2
1
2
11 22
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
34co s21 t 是 f(t)的 [π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
323co s41 是 f(t)的 [π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；
画出 f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
( a ) ( b )
o
A n
12
6
4
3
2
0
A
2
1
4
1
ω
o
ω
3
3
4
6
12
3
2?
n
1
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为 1，脉冲宽度为?的周期矩形脉冲，其周期为 T，如图所示。求频谱。
f(t)
t
0
T-T
…
1
2
2
tTttfTF
T
T
tjn
T
T
tjn
n de
1de)(1 2
2
2
2
2
2
s in
n
n
T
令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n
n
TjnT
tjn )
2
s i n (2e1
2
2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-20页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱
)()2( TnSaTnSaTF n,n = 0,± 1,± 2,…
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设 T = 4τ画图。
零点为
mn2
所以
mn 2,m为整数。
F n
ω0
2
2
4
4
1
特点,(1)周期信号的频谱具有谐波 (离散 )性。谱线位置是基频 Ω的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-21页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：
(a) T一定,?变小，此时?（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目,?1/?=（ 2?/?） /(2?/T)=T/? 增多。
(b)?一定,T增大，间隔?减小，频谱变密。幅度减小。
如果周期 T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的 离散频谱 就过渡到非周期信号的 连续频谱 。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换
4.4 非周期信号的频谱 —傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号 f(t)可看成是周期 T→∞ 时的周期信号。
前已指出当周期 T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
TFTFjF n
T
n
T
lim/1lim)(?
(单位频率上的频谱）
称 F(jω)为频谱密度函数。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-23页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
2
2
de)(
T
T
tjn
n ttfTF?
n
tjn
n TTFtf
1e)(
考虑到,T→∞,Ω→ 无穷小，记为 dω；
n Ω→ ω （由离散量变为连续量），而
2
d
2
1
T
同时,∑ →∫
于是,
ttfTFjF
tj
nT de)(lim)(
de)(2 1)( tjjFtf
傅里叶变换式,-‖
傅里叶反变换式
F(jω)称为 f(t)的 傅里叶变换 或 频谱密度函数,简称 频谱 。
f(t)称为 F(jω)的 傅里叶反变换 或 原函数 。
根据傅里叶级数信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-24页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换也可简记为 F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
或 f(t) ←→F(jω)
F(jω)一般是复函数，写为
F(jω) = | F(jω)|e j?(ω)= R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，
函数 f(t)的傅里叶变换存在的 充分条件,
ttf d)(
(2)用下列关系还可方便计算一些积分
dttfF )()0( d)(2 1)0( jFf
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-25页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换
1,单边指数函数 f(t) = e–?tε(t),? >0
1
0 t
f ( t )
jjtjF
tjtjt
1e1dee)(
0
)(
0
2,双边指数函数 f(t) = e–t?,? >0 1
0 t
f ( t )
220
0 211deedee)(
jjttjF
tjttjt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-26页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
3,门函数 (矩形脉冲 )
2
,0
2
,1
)(
t
t
tg
1
0 t
g τ (t)
2
2
j
tjF
jj
tj
222/
2/
eede)(
)
2
S a (
)
2
s i n (2
4,冲激函数?(t),?′(t)
1de)()( ttt tj
jtttt ttjtj 0ed dde)(')('
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-27页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
5,常数 1
有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1,?(t)
等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。
可构造一函数序列 {fn(t)}逼近 f (t),即而 fn(t)满足绝对可积条件，并且 {fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列 {Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义 f(t)的傅里叶变换 F(j?)为
)(lim)( tftf nn
)(lim)( jFjF nn
这样定义的傅里叶变换也称为 广义傅里叶变换 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-28页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换构造 f?(t)=e-t?,?> 0←→
22
2)(
jF
)(lim1)( 0 tftf
所以
0,
0,02lim)(lim)(
2200?
jFjF
又
2a r c t a n2lim
1
2lim2lim
020220
dd
因此,1←→2(?)
另一种求法,?(t)←→1 代入反变换定义式，有
)(de21 ttj 将?→ -t,t→? )(de2 1 ttj
再根据傅里叶变换定义式，得
)(2)(2de1 ttj
信号与系统
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电子教案
6,符号函数
4.4 傅里叶变换
0,1
0,1)s gn(
t
tt 1
0 t
s gn (t)
-1
00,e 0,e)(?
t
ttf
t
t
)(lim)s g n ( 0 tft 22 211)()( jjjjFtf
j
jjFt 22lim)(lim)s g n (
2200
7,阶跃函数?(t)
jtt
1)()s g n (
2
1
2
1)(
1
0 t
ε (t)
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换归纳记忆：
1,F 变换对
2,常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)
j
1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t| ε(t)
22
2
1
1 2πδ(ω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
4.5 傅里叶变换的性质一、线性 (Linear Property)
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
then
Proof,F [a f1(t) + b f2(t)]
ttbftaf tj de)]()([ 21?
ttfttf tjtj de)(bde)(a 11
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
0
f ( t )
t1- 1
1
Ans,f (t) = f1(t) – g2(t)
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
g2(t) ←→ 2Sa(ω)
∴ F(jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)
‖
0
f 1 ( t )
t
1
0
g 2 ( t )
t1- 1
1-
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质二、时移性质 (Timeshifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―t0‖ is real constant.
)(e)( 00 jFttf tj
Proof,F [ f (t – t0 ) ]
tttf tj de)( 0?
0
0
ede)( tjj
tt
f
)(e 0 jFtj
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
Ans,f1(t) = g6(t - 5),
f2(t) = g2(t - 5)
g6(t - 5) ←→
g2(t - 5) ←→
∴ F(jω) =
5e)3Sa (6 j?
5e)Sa (2 j?
5e)]S a (2)3S a (6[ j
0
f ( t )
t2- 1
2
1
4 6 8
‖
0
f 1 ( t )
t2
2
1
4 6 8
+
0
f 2 ( t )
t2
2
1
4 6 8
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质 (Symmetrical Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
de)(2 1)( tjjFtf （ 1）
in (1) t →ω,ω→ t then
tjtFf tj de)(2 1)(
（ 2）
in (2) ω → -ω then
tjtFf tj de)(2 1)(
∴ F(j t) ←→ 2π f (–ω) end
F( jt ) ←→ 2π f (–ω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
←→ F(jω) =?
21
1)(
t
tf
Ans:
22
|| 2e
t
if α=1,
2
||
1
2e
t
∴
||
2 e21
2
t
||
2 e1
1
t
* if
22
32)(
2
2
tt
tttf F(jω) =?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质四、频移性质 (Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
where ―ω0‖ is real constant.
F [e jω0t f(t)]
ttf tjtj de)(e 0
ttf tj de)( )( 0
= F[ j(ω-ω0)] end
)(e)]([ 00 tfjF tj
For example 1
f(t) = ej3t ←→ F(jω) =?
Ans,1 ←→ 2πδ(ω)
ej3t × 1←→ 2πδ(ω -3)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = cosω0t ←→ F(jω) =?
Ans:
tjtjtf 00 e
2
1e
2
1)(
F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ω-ω0)]
For example 3
Given that f(t) ←→ F(jω)
The modulated signal f(t) cosω0t ←→?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质 (Scaling Transform Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―a‖ is a nonzero real constant.
Proof,F [ f (a t ) ] =
teatf tj d)(?
For a > 0,F [ f (a t ) ]
d1e)( af aj
at
ajFa?1
for a < 0,
F [ f (a t ) ] de)(1d1e)( ajajat faaf
ajFa?1
That is,f (a t ) ←→ ajFa?|| 1
Also,letting a = -1,f (- t ) ←→ F( -jω)
ajFaatf
||
1)(
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 1
Given that f (t)←→ F( jω),find f (at –b) ←→?
Ans,f (t –b)←→ e -jωb F( jω)
f (at –b) ←→?
ajFa
baj
e|| 1
or
f (at) ←→?
ajFa
||
1
f (at – b) =
)(
a
btaf?
ajFea
baj
||
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = ←→ F(jω) =?
1
1
jt
Ans:
1
1)(e
jt
t
)(e211jt
)(e211 jt
Using symmetry,
using scaling property with a = -1,
so that,
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质六、卷积性质 (Convolution Property)
Convolution in time domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t)*f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω)
Convolution in frequency domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)
2
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Proof:
d)()()(*)( 2121 tfftftf
F [ f1(t)*f2(t) ]=
d]de)()[(ded)()( 2121 ttffttff tjtj
Using timeshifting
jtj jFttf
e)(de)( 22
So that,F [ f1(t)*f2(t) ]=
de)()(de)()( 1221 jj fjFjFf
= F1(jω)F2(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
)(s i n
2
jF
t
t
Ans:
)S a (2)(2tg
Using symmetry,
)(2)S a (2 2 gt
)()S a( 2 gt
)(*)(2)]([*)]([2 1s i n 2222
2
ggggt t
g 2 (ω )* g 2 (ω )
2
2- 2 0 ω
F (jω )
π
2- 2 0 ω
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分
(Differentiation and Integration in time domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
)()()()( jFjtf nn
j
jFFxxft )()()0(d)(
ttfjFF d)()()0( 0
Proof:
f(n)(t) =?(n)(t)*f(t) ←→(j ω) n F(jω)
f(-1)(t)=?(t)*f(t) ←→
j
jFFjF
j
)()()0()(]1)([
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
f(t)= 1/t2 ←→?
For example 1
Ans:
jt
2)s g n (
)s g n (22jt
)s g n (1jt
)s g n ()s g n ()(1dd jjtt
||)s g n (1 2t
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2 Given that f?(t)←→ F1(jω)
Proof
f (t)←→ F1(jω) +?[f(-∞)+ f(∞)]?(?)
j
1
)()]()([)(
1
)(d
d
)(d
)(
1
d
d
)(d
)()(
1
1
ffjF
j
t
t
tf
jF
j
t
t
tf
ftf
t
Proof
)()]()([)(1)()(2)( 1 ffjFjfjF
So
)()]()([)(1)( 1 ffjFjjF
Summary,if f (n)(t)←→ Fn(jω),and f(-∞)+ f(∞) = 0
Then f (t)←→ F(jω) = Fn(jω)/ (jω)n
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 3
f (t)
2- 2 0 t
2
Determine f (t)←→ F(jω)
f ' ( t )
t2- 2 0
- 1
1
t2- 2
( 1 ) ( 1 )
( - 2 )
f " (t)
Ans,f,(t) =?(t+2) – 2?(t) +?(t –2)
F2(jω)= F [f,(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2
F(jω) =
22
2 )2co s (22
)(
)(
j
jF
Notice,dε(t)/dt =?(t) ←→ 1 ε(t) ← × → 1/(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分
(Differentiation and Integration in frequency domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
(–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω)
xjxFtfjttf d)()(1)()0(
where
d)(2 1)0( jFf
For example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F(jω)=?
jt
1)()(
Ans:
jtjt
1)(
d
d)(
2
1)(')(
jtt
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Notice,tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→
jj
1)(1)(
It’s wrong,
Because?(?)?(?) and (1/j?)?(?) is not defined.
For example 2 Determine?
d)s in (
a
Ans:
)s in (2)(
2
atg
a
de)s i n(1de)s i n(22 1)(2 tjtja aatg
d)s i n (1)0(2 ag a
2d
)s i n (
0
a
信号与系统
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电子教案九、帕斯瓦尔关系
(Parseval’s Relation for Aperiodic Signals)
d)(2 1d)( 22 jFttfEProof
ttftfttfE d)()(d)( *2
tjFtf tj dde)(2 1)( *
dde)()(2 1 * ttfjF tj
d|)(|2 1d)()(2 1 2* jFjFjF
|F(jω)|2 is referred to as the energy-density spectrum
of f(t),单位频率上的频谱 (能量密度谱 ） J·s
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-52页 ■
电子教案
For example
Determine the energy of
t
tt
5s in)997co s (2
Ans:
)(5s in 10 gt t
)997()997(5s i n)997co s (2 1010 ggt tt
10)1010(
2
1d)( 2
ttfE
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质十、奇偶性 (Parity)
If f(t) is real,then
tttfjtttfttfjF tj d)s i n ()(d)c o s ()(de)()(
= R(ω) + jX(ω)
)()(|)(| 22 XRjF
)(
)(a r c t a n)(
R
X
So that (1)R(ω)= R(–ω),X(ω) = – X (–ω)
|F(jω)| = |F(– jω)|,?(ω) = –?(–ω)
(2) If f(t) = f(-t),then X(ω) = 0,F(jω) = R(ω)
If f(t) = -f(-t),then R(ω) = 0,F(jω) = jX(ω)
信号与系统
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电子教案
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.6 周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换
1←→2πδ(ω)
由频移特性得
e j ω0 t ←→ 2πδ(ω –ω0 )
e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω 0 )
cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→
π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )]
sin(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/(2j) ←→
jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )]
信号与系统
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电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换
n
tjn
nT Ftf e)(?
2
2
de)(1
T
T
tjn
Tn ttfTF
n
nT
n
tjn
nT nFjFFtf )(2)(e)(
例 1：周期为 T的单位冲激周期函数?T(t)=
m
mTt )(?
TdtetfTF
T
T
tjn
n
1)(1 2
2
解,
)()()(2)( tnnTt
nn
T?
(1)
信号与系统
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电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
0- 1 1
f ( t )
t
1
4- 4
解,周期信号 f(t)也可看作一时限非周期信号 f0(t)的周期拓展。即 f(t) =?
T(t)* f0(t)
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
n
njnF )()(0
F(jω) =
nn
nnnn )
2()2S a ()()S a (2
本题 f0(t) = g2(t)←→ )S a(2?
2
2
T
(2)
(2)式与上页 (1)式比较，得 )2(1)(
2 00 T
njF
TjnFF n
这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
4.7 LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。
n
tjn
nFtf e)(对周期信号：
对非周期信号,
de)(
2
1)( tjjFtf
其 基本信号 为 ej?t
一、基本信号 ej?t作用于 LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为 (–∞,∞)，而 t= –
∞总可认为系统的状态为 0，因此本章的响应指零状态响应，常写为 y(t)。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析设 LTI系统的冲激响应为 h(t)，当激励是角频率 ω的基本信号 ej?t时，其响应
tjjtj hhty ede)(de)()( )(
而上式积分 正好是 h(t)的傅里叶变换，
记为 H(j?)，常称为系统的频率响应函数。
de)( jh
y(t) = H(j?) ej?t
H(j?)反映了响应 y(t)的幅度和相位。
y(t) = h(t)* ej?t
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析二、一般信号 f(t)作用于 LTI系统的响应
ej?t H(j?) ej?t
2
1 F(j?) ej?t d21 F(j?)H(j?) e
j?t d?
齐次性
de)(2 1 tjjF de)()(2 1 tjjFjH
可加性‖f(t) ‖y(t) =F –1[F(j?)H(j?) ]
Y(j?) = F(j?)H(j?)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
LTI
* h ( t ) =
②傅氏 变换
③傅氏 反变换
f ( t )
①傅氏 变换
× ＝
y ( t )
F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )
频率响应 H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 Y(j?)与激励 f(t)的傅里叶变换 F(j?)之比，即
)(
)()(
jF
jYjH? )]()([)(
)(
)()()(
fyjj e
jF
jYejHjH
H(j?)?称为 幅频特性 （或 幅频响应 ）； θ (?)称为 相频特性 （或 相频响应 ）。H(j?)?是?的偶函数,θ (?)
是?的奇函数。
频域分析法步骤,傅里叶变换法信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。
周期信号
n
tjn
nT Ftf e)(
n
tjn
n
n
tjn
nT jnHFthFtfthty e)(]e*)([)(*)()(
若
1
0 )c o s (
2)( n nnT tnA
Atf?)()()( jejHjH?
则可推导出
1
0 )](c o s [|)(|)0(
2)( n nn ntnjnHAH
Aty
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,某 LTI系统的?H(j?)?和 θ (?)如图，
若 f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。
|H ( jω ) |
θ( ω )
ω
10
- 10 0
π
1
- π
解法一,用傅里叶变换
F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) +
δ(ω+5)]
+ 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)]
Y(j?) = F(j?)H(j?) =
4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)]
+ 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ]
H(j?)=?H(j?)?ejθ (?)
= 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ]
y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + sin(5t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解法二,用三角傅里叶级数
f(t)的基波角频率 Ω=5rad/s
f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt)
H(0) =1,H(jΩ) = 0.5e-j0.5π,H(j2Ω) = 0
y(t) = 2 + 4× 0.5cos(Ωt – 0.5π)
= 2 + 2sin(5t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-64页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析三、频率响应 H(j?)的求法
1,H(j?) = F [h(t)]
2,H(j?) = Y(j?)/F(j?)
(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。
(2)由电路直接求出。
例 1：某系统的微分方程为
y′(t) + 2y(t) = f(t)
求 f(t) = e-tε(t)时的响应 y(t)。
解,微分方程两边取傅里叶变换
j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?)
2
1
)(
)()(
jjF
jYjH
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
f(t) = e-tε(t)←→
1
1)(
jjF
Y(j?) = H(j?)F(j?)
2
1
1
1
)2)(1(
1
jjjj
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
例 2：如图电路,R=1Ω,C=1F，以 uC(t)为输出，求其
h(t)。
u C (t)u S (t)
C
R
解,画电路频域模型
U S (jω )
R
U C (jω )
Cj ω
1
1ω
1
ω
1
ω
1
)(
)(
)(
j
Cj
R
Cj
jU
jU
jH
S
C
h(t)= e-t ε(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-66页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是 信号的传输,一类是 滤波 。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。
1、无失真传输
（ 1） 定义,信号 无失真传输 是指系统的输出信号与输入信号相比，只有 幅度的大小 和 出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。即输入信号为 f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为
y(t) = K f(t–td)
其频谱关系为 Y(j?)=Ke – j?tdF(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-67页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统 h(t),H(j?)的要求是：
(a)对 h(t)的要求,
h(t)=K?(t – td)
(b)对 H(j?)的要求,
H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td
即
H(j?)?=K,θ (?)= –?td
K
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0
上述是信号无失真传输的 理想 条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、
相频特性满足以上条件即可。
(2)无失真传输条件,
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-68页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,系统的幅频特性
|H(jω)|和相频特性如图
(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 ( a ) ( b )
10
-10
π 5
-5
0
0 ω
ω
| H (j ω )|
θ ( ω )
5
-5
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
2、理想低通滤波器
1
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0 ω C- ω C
具有如图所示幅频、相频特性的系统称为 理想低通滤波器 。
c称为截止角频率。
理想低通滤波器的频率响应可写为：
d
C
d
tj
C
C
tj
gjH
e)(
,0
,e)(
2
(1)冲激响应
h(t)=?-1[g 2?c(?)e-j?td] = )](S a [
dc
c tt
可见，它实际上是不可实现的非因果系统。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
(2)阶跃响应
g(t)=h(t)*?(t)=?
d
)(
)](s i n [d)(
dc
dct ct
t
th
经推导，可得
)(0 s i n121)( dc tt dxx xtg
xx xy y ds in)S i( 0 称为正弦积分
)](S i [121)( dC tttg
1
t d
C
d
t
g (t)
0
t
特点,有明显失真，只要?c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约 9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为 吉布斯现象 。 gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
3、物理可实现系统的条件就 时域特性 而言，一个 物理可实现的系统,其冲激响应在 t<0时必须为 0，即 h(t)=0,t<0
即 响应不应在激励作用之前出现 。
就 频域特性 来说，佩利（ Paley)和维纳（ Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足
djH 2)(
djH
21
)(ln并且称为 佩利 -维纳准则 。（ 必要条件 ）
从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为 0，但不能在某个有限频带内为 0。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-72页 ■
电子教案
4.8 取样定理
4.8 取样定理取样定理 论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用 离散样本值 表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说，取样定理 在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 。为其互为转换提供了理论依据。
一、信号的取样所谓,取样,就是利用 取样脉冲序列 s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列 离散样本值 的过程。
这样得到的离散信号称为 取样信号 。
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理如图一连续信号 f(t)
f (t)
0
t
用取样脉冲序列 s(t)(开关函数 ）
进行取样,取样间隔 为 TS,fS
=1/TS称为 取样频率 。
t
s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
得取样信号
fS(t) = f(t)s(t)
×
f (t)
s (t)
f s (t)
t
f(t)s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
取样信号 fS(t)的频谱函数为
FS(j?)=(1/2?)F(j?)*S(j?)
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理冲激取样若 s(t)是周期为 Ts的冲激函数序列?Ts (t),则称为 冲激取样 。
如果 f(t) 是 带限信号 [即 f(t)的频谱只在区间
（ -?m,?m)为有限值，而其余区间为 0] 。
设 f(t)←→F(j?)，取样信号 fS(t)的频谱函数
FS(j?)= (1/2?)F(j?)* ωS?ωs(ω)
n
S
S
njFT )]([1
ωS =2π/TS
s(t)=?Ts(t) ←→ω S?ωs(ω)
n
SnTt )(
n
SS n )(
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理
f ( t )
t0
× ( 1 )
δ Ts ( t )
t0 Ts 2 T s- T s
…… =
0 t
……
f s ( t )
Ts 2 T s- T s
1
F (jω )
ω0 ω m- ω m ω
……
( ω S )
ω S δ ωs ( t )
0 ω S- S
2
1 * =
0 ω m- ω m ω S- ω S
F S (jω )
ω
1 / T S
上面在画取样信号 fS(t)的频谱时，设定 ωS ≥2 ωm,这时其频谱 不发生混叠,因此能设法 (如利用低通滤波器 )，
从 FS(j?)中取出 F(j?)，即 从 fS(t)中恢复原信号 f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
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电子教案 4.8 取样定理二、时域取样定理当 ωS ≥2 ωm时，将取样信号通过下面的低通滤波器
C
CSTjH
||,0
||,)(
其截止角频率 ωC取 ωm<ωC <ωS -ωm 。即可恢复原信号。
由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t)
n
ss
n
s nTtnTfnTt )()()(
H(j?) ←→ h(t) =
)( tSaT ccS
为方便，选 ωC = 0.5ωS,则 TsωC /π =1
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电子教案 4.8 取样定理
)2()( tSath S
所以 根据 f(t)=fS(t)*h(t),有
])(2S a[)()2S a(*)()()(
n
s
s
s
n
s
ss nTtnTf
tnTtnTftf
只要已知各取样值 f(nTs),就出唯一地确定出原信号 f(t)。
时域取样定理,
一个频谱在区间（ -?m,?m)以外为 0的带限信号 f(t),
可唯一地由其在均匀间隔 Ts [Ts<1/(2fm)] 上的样值点
f(nTs)确定。
注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（ 1） f(t)
必须是带限信号 ；（ 2） 取样频率不能太低，必须
fs>2fm,或者说,取样间隔不能太大，必须 Ts<1/(2fm);
否则将发生混叠。
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电子教案通常把最低允许的取样频率 fs=2fm称为 奈奎斯特
（ Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔 Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n s
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
