信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
学习要求
– 能用傅里叶级数的定义、性质和周期信号的傅里叶变换，求解周期信号的频谱。深刻理解周期信号分解为正弦信号线性组合的物理含义和周期信号频谱的特点，并会绘出振幅及相位频谱图。
– 熟练利用傅里叶变换的定义、性质，求解非周期信号的频谱，建立信号频谱宽度的概念。利用常见信号的傅里叶变换对和傅里叶变换的性质，熟练求解信号的正反傅里叶变换。
– 了解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会用帕斯瓦尔公式在时域和频域求解信号的能量。
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
学习要求
– 熟练计算周期信号和非周期信号激励下系统的响应。深刻理解系统的频率响应，并根据对系统进行分类。理解无失真传输、理想低通滤波器的概念与物理含义，了解各种滤波器的含义，
掌握有关信号滤波的计算。
– 理解信号频谱搬移的概念，掌握一般信号调制、
解调和压缩等的分析计算。
– 深刻理解并掌握抽样定理，计算抽样信号的频谱。了解信号的抽样与恢复过程。
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数
4.2 傅里叶级数一,傅里叶级数的三角形式二,傅里叶级数的指数形式
4.3 周期信号的频谱一、周期矩形脉冲的频谱二、周期信号的频谱三、周期信号的功率
4.4 非周期信号的频谱 ——傅里叶变换一、信号的傅里叶变换二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.5 傅里叶变换的性质
4.6 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅立叶变换二、周期信号的傅立叶变换三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系
4.7 LTI系统的频域分析一、频率响应二、无失真传输与理想低通滤波器
4.8 取样定理点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析本章系统分析的独立变量是 频率 。故称为 频域分析 。
思路：
时域：
信号分解 —基本信号 —冲激响应 —yf(t) = h(t)*f(t)
频域：
以 正弦信号 和 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列 不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
0
3
1
i
yixi
T
yx vvVV
由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集信号与系统
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数如三维空间中，以矢量
vx=（ 2,0,0）,vy=（ 0,2,0）,vz=（ 0,0,2)
所组成的集合就是一个 正交矢量集 。
例如三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，
使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集
1,定义：
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和? 2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt (两函数的内积为 0)
则称? 1(t)和? 2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
2,正交函数集：
若 n个函数 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1,t2)内满足
21,0,0d)()( *tt
i
ji jiK
jittt
则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数
3,完备正交函数集：
如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，
不存在函数?(t)(≠0）满足则称此函数集为 完备正交函数集 。
例如,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…} 是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
21 0d)()(tt i ttt
( i =1,2,…,n)
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解设 n个函数 {? 1(t),? 2(t),…,? n(t)}在区间 (t1，
t2)构成一个正交函数集。任一函数 f(t)(t1,t2)用这 n个正交函数的线性组合来近似，表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)内为最小？
通常选误差的方均值 (均方误差 )，使之最小。
ttCtftt t
t
n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数为使上式最小，求导数
0d)]()([2
1 1
2
2
t
t
n
j
jj
ii
ttCtfCC
展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为 0，
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
即 2
1
2
1
0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
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电子教案 4.1 信号分解为正交函数最小均方误差（推导过程见教材）
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t
KCttftt?
当用正交函数去逼近 f(t)时，取的项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当 n→∞ （为完备正交函数集）时，均方误差为零。有
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
称为 (Parseval)泊塞瓦尔公式 。表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号 f(t)，其周期为 T，角频率?=2?/T，当满足 狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 ——称为 f(t)的 傅里叶级数 。
11
0 )s i n ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atf
系数 an,bn称为 傅里叶系数三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt)},n=1,2,… 为（ 0,T)
上完备正交函数集。
称为基波角频率，
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电子教案 4.2 傅里叶级数
，,2,1d)c o s ()(2 2
2
nttntfTa
T
Tn
，,2,1d)s i n()(2 2
2
nttntf
T
b
T
Tn
从表达式可见,an 是 n的偶函数,bn是 n的奇函数。
2
2
0 d)(
2 T
T ttfTa
积分区间可取 (0,T)或 (t0,t0+T)。因此，只要求出系数 an,bn,即可得到 f(t)的三角级数展开式。
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电子教案 4.2 傅里叶级数将上式同频率项合并，可得到
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?t+?1)称为 基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?t+?n)称为 n次谐波 。
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电子教案 4.2 傅里叶级数系数的相互关系为 A0 = a0
22
nnn baA
n
n
n a
ba r c t a n
又 An是 n的偶函数,?n是 n的奇函数。
an = Ancos?n
bn = –Ansin?n
An~n：关系称为单边振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化的规律。
n~n,单边相位谱,反映了各次谐波相位随频率变化的规律。
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电子教案 4.2 傅里叶级数例 1 求周期信号的三角形傅立叶级数。
例 2已知周期信号 求它的傅里叶振幅谱和相位谱。
解：先求 f(t)的最小公共周期。因为
T1/T2=2，比值为有理数。所以 f(t)的最小公共周期为
T=2T2=T1=π
则基波角频率
tttf 4s i n22c o s35)(
2,21 TT
sra d2
)22c o s (2c o s35)( tttf
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电子教案 4.2 傅里叶级数三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。
n
A
4
2
5
3
2?n
n
0
2
n
2
(a) (b)
对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性
1,f(t)为偶函数 ——对称纵坐标
202
2
d)c os ()(4d)c os ()(2
TT
Tn ttntfTttntfTa
0d)s i n()(2 2
2
T
Tn ttntfTb
bn =0，展开为余弦级数,即展开式中只有余弦项，
而没有正弦项。
maA nnn,m为整数,
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2,f(t)为奇函数 ——对称于原点
an =0，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而没有余弦项。
0d)c os ()(2 2
2
T
Tn ttntfTa
202
2
d)s i n()(4d)s i n()(2
TT
Tn ttntfTttntfTb
mmbA nnn 12,
m为整数,
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2
)()()( tftftf
od
2 )()()( tftftf ve
3,f(t)为奇谐函数 ——f(t) = –f(t± T/2)
f(t)
t0 TT / 2
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0
实际上，任意函数 f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)
由于 f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三角形式 的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用 指数形式 的傅里叶级数。
可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
1
)()(0 ]e[e
22 n
tnjtnjn nnAA
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数上式中第三项的 n用 –n代换，因为 A–n=An,?–n= –?n
则上式写为
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
令 A0=A0ej?0,?0=0
n
tjnj
n
nAtf ee
2
1)(?
所以令复数
nn
j
n FFA
nn ee
2
1
称其为 复傅里叶系数,简称傅里叶系数。
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电子教案 4.2 傅里叶级数
)(21)s i nc o s(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n
2
2
2
2
2
2
de)(
1
d)s i n ()(
1
d)c o s ()(
1
T
T
tjn
T
T
T
T
ttf
T
ttntf
T
jttntf
T
n
tjn
nFtf e)(
n = 0,± 1,± 2,…
2
2
de)(1
T
T
tjn
n ttfTF
表明：任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。
指数型傅立叶级数为复傅立叶系数为信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分量，但只是将 n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之和。
指数型傅立叶级数也可以写为由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不同，实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分量和各次谐波分量的和。把
)c o s (2
)(
1
0
)(
n
n
n
n
tnj
n
n
tjn
n
tnFF
eFeFtf n
nnF nnn ~,~?
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数四、周期信号的功率 ——Parseval恒等式
T dttfTP 0 2 )(1
表明：信号的平均功率等于直流和 n次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。
n≥0时,|Fn| = An/2。
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
2
1
20
1
22
0
2
2
2
2
2
1
)
2
(2
)(
1
n
nn
n
n
T
T
A
A
FF
Fdttf
T
P
将 f(t)的傅立叶级数展开式代入信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种 特征量 随信号频率变化的关系，称为 信号的频谱,相应图形称为信号的频谱图 。
周期信号的频谱,指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系。
An~ω和?n~ω的关系信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱单边谱,将 An~ω和?n~ω,n≥0以 ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为 振幅频谱图 和 相位频谱图 。
双边谱,|Fn|~ω和?n~ω的关系。若 Fn为实数，也可直接画 Fn 。
例,周期信号 f(t) =
试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率 Ω，画出它的单边频谱图，并求 f(t) 的平均功率。
63s i n41324co s211 tt
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
63s i n41324co s211 tt
解 首先应用三角公式改写 f(t)的表达式，即
263co s41324co s211)( tttf
显然 1是该信号的直流分量。
34co s21 t 的周期 T1 = 8
323co s41
的周期 T2 = 6
所以 f(t)的周期 T = 24，基波角频率 Ω=2π/T = π/12
根据帕斯瓦尔等式，功率为 P=
32
37
4
1
2
1
2
1
2
11 22
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
34co s21 t 是 f(t)的 [π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
323co s41 是 f(t)的 [π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
( a ) ( b )
o
A n
12
6
4
3
2
0
A
2
1
4
1
ω
o
ω
3
3
4
6
12
3
2?
n
1
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点有一幅度为 1，脉冲宽度为?
的周期矩形脉冲，其周期为 T，
观测频谱特点
f(t)
t
0
T-T
…
1
2
2
tTttfTF
T
T
tjn
T
T
tjn
n de
1de)(1 2
2
2
2
2
2
s in
n
n
T
令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n
n
TjnT
tjn )
2
s i n (2e1
2
2
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
)()2( TnSaTnSaTF n,n = 0,± 1,± 2,…
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
设 T = 4τ画图。
零点为
mn2
所以
mn 2,m为整数。
F n
ω0
2
2
4
4
1
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱特点,
(1) 周期信号的频谱具有谐波 (离散 )性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；
(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、
各谐波的幅度和相位 ——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：
(a) T一定,?变小，此时?（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目,?1/?=（ 2?/?） /(2?/T)=T/? 增多
(b)?一定,T增大，间隔?减小，频谱变密。幅度减小。
如果周期 T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的 离散频谱 就过渡到非周期信号的 连续频谱 。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-35页 ■
电子教案周期、脉宽引起频谱的变化
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 2 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-T 0 T
0
A
t
x ( t ) [ T = 16,? = 2 ]
...,..
-20 -10 0 10 20
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 1 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-36页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱特点,
1 基本特点 —离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量
4 频谱包络线
5,主瓣,宽度,“旁瓣,宽度 ;
6 谱线条数
7 脉宽一定,周期增大,零点不变,谱线变密
8 周期一定,脉宽减小,谱线疏密不变,零点外扩信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换
4.4 非周期信号的频谱 —傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号 f(t)可看成是周期 T→∞ 时的周期信号。
前已指出当周期 T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
TFTFjF n
T
n
T
lim/1lim)(?
(单位频率上的频谱）
称 F(jω)为频谱密度函数。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-38页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
2
2
de)(
T
T
tjn
n ttfTF?
n
tjn
n TTFtf
1e)(
考虑到,T→∞,Ω→ 无穷小，记为 dω；
n Ω→ ω （由离散量变为连续量），而
2
d
2
1
T
同时,∑ →∫
于是,
ttfTFjF
tj
nT de)(lim)(
de)(2 1)( tjjFtf
傅里叶变换式,-‖
傅里叶反变换式
F(jω)称为 f(t)的 傅里叶变换 或 频谱密度函数,简称 频谱 。
f(t)称为 F(jω)的 傅里叶反变换 或 原函数 。
根据傅里叶级数信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-39页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换也可简记为 F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
或 f(t) ←→F(jω )
F(jω)一般是复函数，写为
F(jω) = | F(jω)|e j?(ω) = R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)
的傅里叶变换存在的 充分条件,
ttf d)(
在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在傅里叶变换。
(2)用下列关系还可方便计算一些积分
dttfF )()0( d)(2 1)0( jFf
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换
1,单边指数函数 f(t) = e–?tε(t),? >0
1
0 t
f ( t )
jjtjF
tjtjt
1e1dee)(
0
)(
0
2,双边指数函数 f(t) = e–t?,? >0 1
0 t
f ( t )
220
0 211deedee)(
jjttjF
tjttjt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-41页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
3,门函数 (矩形脉冲 )
2
,0
2
,1
)(
t
t
tg
1
0 t
g τ (t)
2
2
j
tjF
jj
tj
222/
2/
eede)(
)
2
S a (
)
2
s i n (2
4,冲激函数?(t),?′(t)
1de)()( ttt tj
jtttt ttjtj 0ed dde)(')('
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-42页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
5,常数 1
有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1,?(t)
等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。
可构造一函数序列 {fn(t)}逼近 f (t),即而 fn(t)满足绝对可积条件，并且 {fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列 {Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义 f(t)的傅里叶变换 F(j?)为
)(lim)( tftf nn
)(lim)( jFjF nn
这样定义的傅里叶变换也称为 广义傅里叶变换 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-43页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换构造 f?(t)=e-t?,?> 0←→
22
2)(
jF
)(lim1)( 0 tftf
所以
0,
0,02lim)(lim)(
2200?
jFjF
又
2a r c t a n2lim
1
2lim2lim
020220
dd
因此,1←→2(?)
另一种求法,?(t)←→1 代入反变换定义式，有
)(de21 ttj 将?→ -t,t→? )(de2 1 ttj
再根据傅里叶变换定义式，得
)(2)(2de1 ttj
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-44页 ■
电子教案
6,符号函数
4.4 傅里叶变换
0,1
0,1)s gn(
t
tt 1
0 t
s gn (t)
-1
00,e 0,e)(?
t
ttf
t
t
)(lim)s g n ( 0 tft 22 211)()( jjjjFtf
j
jjFt 22lim)(lim)s g n (
2200
7,阶跃函数?(t)
jtt
1)()s g n (
2
1
2
1)(
1
0 t
ε (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-45页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换归纳记忆：
1,F 变换对
2,常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)
j
1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t| ε(t)
22
2
1
1 2πδ(ω)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-46页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
4.5 傅里叶变换的性质一、线性 (Linear Property)
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
then
Proof,F [a f1(t) + b f2(t)]
ttbftaf tj de)]()([ 21?
ttfttf tjtj de)(bde)(a 11
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
0
f ( t )
t1- 1
1
Ans,f (t) = f1(t) – g2(t)
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
g2(t) ←→ 2Sa(ω)
∴ F(jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)
‖
0
f 1 ( t )
t
1
0
g 2 ( t )
t1- 1
1-
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质二、时移性质 (Timeshifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―t0‖ is real constant.
)(e)( 00 jFttf tj
Proof,F [ f (t – t0 ) ]
tttf tj de)( 0?
0
0
ede)( tjj
tt
f
)(e 0 jFtj
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
Ans,f1(t) = g6(t - 5),
f2(t) = g2(t - 5)
g6(t - 5) ←→
g2(t - 5) ←→
∴ F(jω) =
5e)3Sa (6 j?
5e)Sa (2 j?
5e)]S a (2)3S a (6[ j
0
f ( t )
t2- 1
2
1
4 6 8
‖
0
f 1 ( t )
t2
2
1
4 6 8
+
0
f 2 ( t )
t2
2
1
4 6 8
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质 (Symmetrical Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
de)(2 1)( tjjFtf （ 1）
in (1) t →ω,ω→ t then
tjtFf tj de)(2 1)(
（ 2）
in (2) ω → -ω then
tjtFf tj de)(2 1)(
∴ F(j t) ←→ 2π f (–ω) end
F( jt ) ←→ 2π f (–ω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
←→ F(jω) =?
21
1)(
t
tf
Ans:
22
|| 2e
t
if α=1,
2
||
1
2e
t
∴
||
2 e21
2
t
||
2 e1
1
t
* if
22
32)(
2
2
tt
tttf F(jω) =?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质四、频移性质 (Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
where ―ω0‖ is real constant.
F [e jω0t f(t)]
ttf tjtj de)(e 0
ttf tj de)( )( 0
= F[ j(ω-ω0)] end
)(e)]([ 00 tfjF tj
For example 1
f(t) = ej3t ←→ F(jω) =?
Ans,1 ←→ 2πδ(ω)
ej3t × 1←→ 2πδ(ω -3)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = cosω0t ←→ F(jω) =?
Ans:
tjtjtf 00 e
2
1e
2
1)(
F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ω-ω0)]
For example 3
Given that f(t) ←→ F(jω)
The modulated signal f(t) cosω0t ←→?
f(t) = sinω0t←→ F(jω) =?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质 (Scaling Transform Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―a‖ is a nonzero real constant.
Proof,F [ f (a t ) ] =
teatf tj d)(?
For a > 0,F [ f (a t ) ]
d1e)( af aj
at
ajFa?1
for a < 0,
F [ f (a t ) ] de)(1d1e)( ajajat faaf
ajFa?1
That is,f (a t ) ←→ ajFa?|| 1
Also,letting a = -1,f (- t ) ←→ F( -jω)
ajFaatf
||
1)(
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 1
Given that f (t)←→ F( jω),find f (at –b) ←→?
Ans,f (t –b)←→ e -jωb F( jω)
f (at –b) ←→?
ajFa
baj
e|| 1
or
f (at) ←→?
ajFa
||
1
f (at – b) =
)(
a
btaf?
ajFea
baj
||
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = ←→ F(jω) =?
1
1
jt
Ans:
1
1)(e
jt
t
)(e211jt
)(e211 jt
Using symmetry,
using scaling property with a = -1,
so that
f(t) = ←→ F(jω) =
1
1
jt )(e2
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质六、卷积性质 (Convolution Property)
Convolution in time domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t)*f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω)
Convolution in frequency domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)
2
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Proof:
d)()()(*)( 2121 tfftftf
F [ f1(t)*f2(t) ]=
d]de)()[(ded)()( 2121 ttffttff tjtj
Using timeshifting
jtj jFttf
e)(de)( 22
So that,F [ f1(t)*f2(t) ]=
de)()(de)()( 1221 jj fjFjFf
= F1(jω)F2(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
)(s i n
2
jF
t
t
Ans:
)S a (2)(2tg
Using symmetry,
)(2)S a (2 2 gt
)()S a( 2 gt
)(*)(2)]([*)]([2 1s i n 2222
2
ggggt t
g 2 (ω )* g 2 (ω )
2
2- 2 0 ω
F (jω )
π
2- 2 0 ω
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分
(Differentiation and Integration in time domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
)()()()( jFjtf nn
j
jFFxxft )()()0(d)(
ttfjFF d)()()0( 0
Proof:
f(n)(t) =?(n)(t)*f(t) ←→(j ω) n F(jω)
f(-1)(t)=?(t)*f(t) ←→
j
jFFjF
j
)()()0()(]1)([
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
f(t)= 1/t2 ←→?
For example 1
Ans:
jt
2)s g n (
)s g n (22jt
)s g n (1jt
)s g n ()s g n ()(1dd jjtt
||)s g n (1 2t
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For Example2 求如下信号的傅里叶变换应用时域微分特性和时域卷积特性利用时移特性和频移特性
)()(?jFtf 傅立叶变换为已知 傅立叶变换为已知
ttf?
1)(')1(?
)()(' jFjtf? )(1?
j S g nt
0)(
0)()()(1)('
jF
jFjFjj Sg n
ttf
)2()2( 2?tfe tj
2)()2( jejFtf
)2(22 )]2([)2( jtj ejFtfe
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 3
f (t)
2- 2 0 t
2
Determine f (t)←→ F(jω)
f ' ( t )
t2- 2 0
- 1
1
t2- 2
( 1 ) ( 1 )
( - 2 )
f " (t)
Ans,f,(t) =?(t+2) – 2?(t) +?(t –2)
F2(jω)= F [f,(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2
F(jω) =
22
2 )2co s (22
)(
)(
j
jF
Notice,dε(t)/dt =?(t) ←→ 1 ε(t) ← × → 1/(jω)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-64页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分
(Differentiation and Integration in frequency domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
(–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω)
xjxFtfjttf d)()(1)()0(
where
d)(2 1)0( jFf
For example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F(jω)=?
jt
1)()(
Ans:
jtjt
1)(
d
d)(
2
1)(')(
jtt
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Notice,tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→
jj
1)(1)(
It’s wrong,
Because?(?)?(?) and (1/j?)?(?) is not defined.
For example 2 Determine?
d)s in (
a
Ans:
)s in (2)(
2
atg
a
de)s i n(1de)s i n(22 1)(2 tjtja aatg
d)s i n (1)0(2 ag a
2d
)s i n (
0
a
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-66页 ■
电子教案九、帕斯瓦尔关系
(Parseval’s Relation for Aperiodic Signals)
d)(2 1d)( 22 jFttfEProof
ttftfttfE d)()(d)( *2
tjFtf tj dde)(2 1)( *
dde)()(2 1 * ttfjF tj
d|)(|2 1d)()(2 1 2* jFjFjF
|F(jω)|2 is referred to as the energy-density spectrum
of f(t),单位频率上的频谱 (能量密度谱 ） J·s
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-67页 ■
电子教案
For example
Determine the energy of
t
tt
5s in)997co s (2
Ans:
)(5s in 10 gt t
)997()997(5s i n)997co s (2 1010 ggt tt
10)1010(
2
1d)( 2
ttfE
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-68页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质十、奇偶性 (Parity)
If f(t) is real,then
tttfjtttfttfjF tj d)s i n ()(d)c o s ()(de)()(
= R(ω) + jX(ω)
)()(|)(| 22 XRjF
)(
)(a r c t a n)(
R
X
So that (1)R(ω)= R(–ω),X(ω) = – X (–ω)
|F(jω)| = |F(– jω)|,?(ω) = –?(–ω)
(2) If f(t) = f(-t),then X(ω) = 0,F(jω) = R(ω)
If f(t) = -f(-t),then R(ω) = 0,F(jω) = jX(ω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质(f
性质名称 时域 频域线性时移频移调制尺度变换对称性时域卷积
)()( 2211 tfatfa? )()( 21 jFajFa?
)( 0ttf? 0)( tjejF
tjetf 0)(? ))(( 0jF
ttf 0co s)(?
ttf 0s in)(? ) ) ](())(([21 00 jFjF
) ) ](())(([2 00 jFjFj
)(atf )(|| 1 ajFa?
)( jtF )(2f
)()( 21 tftf? )()( 21 jFjF
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质时域相乘时域微分时域积分频域微分频域积分帕塞瓦尔恒等式
)()( 21 tftf )()(
2
1
21 jFjF?
n
n
dt
tfd )( )()( jFj n
t dxxf )(?
j
jFF )()()0(?
)()( tfjt n? n
n
d
jFd
)(
jt
tftf
)()()0( djF?
)(
dttf?
)(2 djF?
2|)(|
2
1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-71页 ■
电子教案
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.6 周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换
1←→2πδ(ω)
由频移特性得
e j ω0 t ←→ 2πδ(ω –ω0 )
e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω 0 )
cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→
π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )]
sin(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/(2j) ←→
jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-72页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换
n
tjn
nT Ftf e)(?
2
2
de)(1
T
T
tjn
Tn ttfTF
n
nT
n
tjn
nT nFjFFtf )(2)(e)(
例 1：周期为 T的单位冲激周期函数?T(t)=
m
mTt )(?
TdtetfTF
T
T
tjn
n
1)(1 2
2
解,
)()()(2)( tnnTt
nn
T?
(1)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-73页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
0- 1 1
f ( t )
t
1
4- 4
解,周期信号 f(t)也可看作一时限非周期信号 f0(t)的周期拓展。即 f(t) =?
T(t)* f0(t)
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
n
njnF )()(0
F(jω) =
nn
nnnn )
2()2S a ()()S a (2
本题 f0(t) = g2(t)←→ )S a(2?
2
2
T
(2)
(2)式与上页 (1)式比较，得 )2(1)(
2 00 T
njF
TjnFF n
这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-74页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 3,求如图周期信号的傅里叶变换。
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
)(3 tf
t
1
2
1?
1?2? 1
f(t) =?T(t)* f0(t)
)2()1(2)()(0 ttttf
20 211)()( jj eejjF
j
e j 2)1(
n
njnFjF )()()( 0
)()1(
2
njne jn
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-75页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换求傅里叶反变换求频谱函数的傅里叶反变换一般有如下几种情况：
1、对频谱函数比较规则且频带有限的函数，可以代定义式求解；
2、大多数情况下，要求熟记常用函数的傅里叶变换对，并利用傅里叶变换的性质求出原函数；
3、采用部分分式展开法,将展开为若干简单分式代数和的形式，然后求出原函数 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-76页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析的原函数。求下列 )(?jF
3s i n)(1 2jF）（
10
1)()2(
ejF
解：（ 1） )]3()3([3s i njt
3s i n2)]3()3([ ttj
3s i n)]3()3([2 ttj
)]3()3([2)]3()3([2)(1 ttjttjtf
)]6()(2)6([41 ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-77页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
10
1)()2(
ejF
解：（ 2）
dejFtf tj )(2 1)(
deedee tjtj 100 1 2 12 1
)1(
s inco s
2te
ttte
例题表明，大多数傅里叶反变换是利用常见函数的傅里叶变换对及其傅里叶变换性质求出，对类似于（ 2）这样的频带有限的规则函数，可以通过傅里叶反变换的定义式求解。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-78页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
4.7 LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。
n
tjn
nFtf e)(对周期信号：
对非周期信号,
de)(
2
1)( tjjFtf
其 基本信号 为 ej?t
一、基本信号 ej?t作用于 LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为 (–∞,∞)，而 t= –
∞总可认为系统的状态为 0，因此本章的响应指零状态响应，常写为 y(t)。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-79页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析设 LTI系统的冲激响应为 h(t)，当激励是角频率 ω的基本信号 ej?t时，其响应
tjjtj hhty ede)(de)()( )(
而上式积分 正好是 h(t)的傅里叶变换，
记为 H(j?)，常称为系统的频率响应函数。
de)( jh
y(t) = H(j?) ej?t
H(j?)反映了响应 y(t)的幅度和相位。
y(t) = h(t)* ej?t
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-80页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析二、一般信号 f(t)作用于 LTI系统的响应
ej?t H(j?) ej?t
2
1 F(j?) ej?t d21 F(j?)H(j?) e
j?t d?
齐次性
de)(2 1 tjjF de)()(2 1 tjjFjH
可加性‖f(t) ‖y(t) =F –1[F(j?)H(j?) ]
Y(j?) = F(j?)H(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-81页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
LTI
* h ( t ) =
②傅氏 变换
③傅氏 反变换
f ( t )
①傅氏 变换
× ＝
y ( t )
F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )
频率响应 H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 Y(j?)与激励 f(t)的傅里叶变换 F(j?)之比，即
)(
)()(
jF
jYjH? )]()([)(
)(
)()()(
fyjj e
jF
jYejHjH
H(j?)?称为 幅频特性 （或 幅频响应 ）； θ (?)称为 相频特性 （或 相频响应 ）。H(j?)?是?的偶函数,θ (?)
是?的奇函数。
频域分析法步骤,傅里叶变换法信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-82页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析及冲激响应解部分分式分解
)(?jH应写出下列系统的频率响 )(th
)(]2[)(]34)[( 2 jFjjYjj
j
jjH
43
2)(
2
3
2
1
1
2
1
34)(
2)(
2
jjjj
jjH
)()(21)( 3 teeth tt
)(2)(')(3)('4)('' tftftytyty
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-83页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。
周期信号
n
tjn
nT Ftf e)(
n
tjn
n
n
tjn
nT jnHFthFtfthty e)(]e*)([)(*)()(
若
1
0 )c o s (
2)( n nnT tnA
Atf?)()()( jejHjH?
则可推导出
1
0 )](c o s [|)(|)0(
2)( n nn ntnjnHAH
Aty
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-84页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,某 LTI系统的?H(j?)?和 θ (?)如图，
若 f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。
|H ( jω ) |
θ( ω )
ω
10
- 10 0
π
1
- π
解法一,用傅里叶变换
F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) +
δ(ω+5)]
+ 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)]
Y(j?) = F(j?)H(j?) =
4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)]
+ 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ]
H(j?)=?H(j?)?ejθ (?)
= 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ]
y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + sin(5t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解法二,用三角傅里叶级数
f(t)的基波角频率 Ω=5rad/s
f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt)
H(0) =1,H(jΩ) = 0.5e-j0.5π,H(j2Ω) = 0
y(t) = 2 + 4× 0.5cos(Ωt – 0.5π)
= 2 + 2sin(5t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-86页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析三、频率响应 H(j?)的求法
1,H(j?) = F [h(t)]
2,H(j?) = Y(j?)/F(j?)
(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。
(2)由电路直接求出。
例 1：某系统的微分方程为
y′(t) + 2y(t) = f(t)
求 f(t) = e-tε(t)时的响应 y(t)。
解,微分方程两边取傅里叶变换
j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?)
2
1
)(
)()(
jjF
jYjH
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-87页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
f(t) = e-tε(t)←→
1
1)(
jjF
Y(j?) = H(j?)F(j?)
2
1
1
1
)2)(1(
1
jjjj
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
例 2：如图电路,R=1Ω,C=1F，以 uC(t)为输出，求其
h(t)。
u C (t)u S (t)
C
R
解,画电路频域模型
U S (jω )
R
U C (jω )
Cj ω
1
1ω
1
ω
1
ω
1
)(
)(
)(
j
Cj
R
Cj
jU
jU
jH
S
C
h(t)= e-t ε(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-88页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例如图所示调制系统,幅频特性和相频特性如图所示。已知)(?jH
c
c
c tts
t
ttf
00,co s)(
s i n)(,
。求 )(ty? )(?jH?
)( tS
)(5 tf
)( tf )( ty
1
c
0c0 0
0
c
0
)(?jH
0)(
0
c
0
0
)(
0
00
)( t
00
)( t
解：
因为解,因为
)()()( tstftf s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-89页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解：因为
)()( 2 cgjF
c
)]()([)( 00jS
)()(2 1)( jSjFjF s
)]()([2 0202 cc gg
c
)()()( jHjFjY s?
])()([2 0000 )(02)(02 tjtj
c
egeg cc
)(21)(21)( 00 00 ttfettfety tjtj
tttf 00 c o s)( tttSa c 00 co s)]([
可见，系统输出为一个调制信号。
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是 信号的传输,一类是 滤波 。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。
1、无失真传输
（ 1） 定义,信号 无失真传输 是指系统的输出信号与输入信号相比，只有 幅度的大小 和 出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。即输入信号为 f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为
y(t) = K f(t–td)
其频谱关系为 Y(j?)=Ke – j?tdF(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-91页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统 h(t),H(j?)的要求是：
(a)对 h(t)的要求,
h(t)=K?(t – td)
(b)对 H(j?)的要求,
H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td
即
H(j?)?=K,θ (?)= –?td
K
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0
上述是信号无失真传输的 理想 条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、
相频特性满足以上条件即可。
(2)无失真传输条件,
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-92页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,系统的幅频特性
|H(jω)|和相频特性如图
(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 ( a ) ( b )
10
-10
π 5
-5
0
0 ω
ω
| H (j ω )|
θ ( ω )
5
-5
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
2、理想低通滤波器
1
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0 ω C- ω C
具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器 。c称为截止角频率。它将低于?c的信号分量无失真传输,而阻止高于?c信号通过。从 0到?c的频带称为滤波器的通带，从?c到无穷的频带称为滤波器的阻带。理想低通滤波器的频率响应为
d
C
d
tj
C
C
tj
gjH
e)(
,0
,e)(
2
冲激响应为
h(t)=?-1[g 2?c(?)e-j?td] =
)](S a [ dcc tt
可见，它实际上是不可实现的非因果系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-94页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
(2)阶跃响应
g(t)=h(t)*?(t)=?
d
)(
)](s i n [d)(
dc
dct ct
t
th
经推导，可得
)(0 s i n121)( dc tt dxx xtg
xx xy y ds in)S i( 0 称为正弦积分
)](S i [121)( dC tttg
1
t d
C
d
t
g (t)
0
t
特点,有明显失真，只要?c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约 9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为 吉布斯现象 。 gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例 1：某理想线性相位低通滤波器的频率响应函数为
其他0
22)(jejH
)(tf )(ty
。
对下列不同的输入 计算滤波器的不同输出
ttSatf 2c os)(5)(1 1?）（
)()(2 22 tSatf?）（
2
)1(3c o s)
2
1(5)(
1
ttSaty
)1()( 22 tfty
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-96页 ■
电子教案
4.8 取样定理
4.8 取样定理取样定理 论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用 离散样本值 表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说，取样定理 在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 。为其互为转换提供了理论依据。
一、信号的取样所谓,取样,就是利用 取样脉冲序列 s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列 离散样本值 的过程。
这样得到的离散信号称为 取样信号 。
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理如图一连续信号 f(t)
f (t)
0
t
用取样脉冲序列 s(t)(开关函数 ）
进行取样,取样间隔 为 TS,fS
=1/TS称为 取样频率 。
t
s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
得取样信号
fS(t) = f(t)s(t)
×
f (t)
s (t)
f s (t)
t
f(t)s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
取样信号 fS(t)的频谱函数为
FS(j?)=(1/2?)F(j?)*S(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-98页 ■
电子教案 4.8 取样定理冲激取样若 s(t)是周期为 Ts的冲激函数序列?Ts (t),则称为 冲激取样 。
如果 f(t) 是 带限信号 [即 f(t)的频谱只在区间
（ -?m,?m)为有限值，而其余区间为 0] 。
设 f(t)←→F(j?)，取样信号 fS(t)的频谱函数
FS(j?)= (1/2?)F(j?)* ωS?ωs(ω)
n
S
S
njFT )]([1
ωS =2π/TS
s(t)=?Ts(t) ←→ω S?ωs(ω)
n
SnTt )(
n
SS n )(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-99页 ■
电子教案 4.8 取样定理
f ( t )
t0
× ( 1 )
δ Ts ( t )
t0 Ts 2 T s- T s
…… =
0 t
……
f s ( t )
Ts 2 T s- T s
1
F (jω )
ω0 ω m- ω m ω
……
( ω S )
ω S δ ωs ( t )
0 ω S- S
2
1 * =
0 ω m- ω m ω S- ω S
F S (jω )
ω
1 / T S
上面在画取样信号 fS(t)的频谱时，设定 ωS ≥2 ωm,这时其频谱 不发生混叠,因此能设法 (如利用低通滤波器 )，
从 FS(j?)中取出 F(j?)，即 从 fS(t)中恢复原信号 f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理二、时域取样定理当 ωS ≥2 ωm时，将取样信号通过下面的低通滤波器
C
CSTjH
||,0
||,)(
其截止角频率 ωC取 ωm<ωC <ωS -ωm 。即可恢复原信号。
由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t)
n
ss
n
s nTtnTfnTt )()()(
H(j?) ←→ h(t) =
)( tSaT ccS
为方便，选 ωC = 0.5ωS,则 TsωC /π =1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-101页 ■
电子教案 4.8 取样定理
)2()( tSath S
所以 根据 f(t)=fS(t)*h(t),有
])(2S a[)()2S a(*)()()(
n
s
s
s
n
s
ss nTtnTf
tnTtnTftf
只要已知各取样值 f(nTs),就出唯一地确定出原信号 f(t)。
时域取样定理,
一个频谱在区间（ -?m,?m)以外为 0的带限信号 f(t),
可唯一地由其在均匀间隔 Ts [Ts<1/(2fm)] 上的样值点
f(nTs)确定。
注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（ 1） f(t)
必须是带限信号 ；（ 2） 取样频率不能太低，必须
fs>2fm,或者说,取样间隔不能太大，必须 Ts<1/(2fm);
否则将发生混叠。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-102页 ■
电子教案通常把最低允许的取样频率 fs=2fm称为 奈奎斯特
（ Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔 Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n m
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
信号与系统
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电子教案频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n m
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-104页 ■
电子教案例 1 有限频带信号 f(t)的最高频率为 200Hz,若对下列信号进行时域抽样，试求信号的奈奎斯特频率 fs与奈奎斯特周期 Ts 。
4.8 取样定理
)2(1 tf）（ )2()(2 tftf?）（
)(3 2 tf）（ )2()(4 tftf?）（
解：（ 1）时域压缩相对于频域展宽
)2(21)2(?jFtf?
这时最高频率为 400 Hz，根据时域抽样定理，最低抽样频率即奈奎斯特频率
Hzff ms 8002
奈奎斯特周期
msfT
m
s 25.12
1
信号与系统
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电子教案 4.8 取样定理
）（ 3
)4）（
其最高频率为 F(jw)的最高频率 200 Hz，奈奎斯特频率为 400
Hz,奈奎斯特周期频域卷积的结果是频域展宽，最高频率为 400 Hz，最低抽样频率和奈奎斯特周期为
)2()(21)2()(2 jFjFtftf）（
msT s 5.2?
)()(2 1)(2 jFjFtf
Hzff ms 8002
msfT
m
s 25.12
1
最高频率为 F(jw/2)的最大频率 400 Hz，最低抽样频率和奈奎斯特周期为
)2(21)()2()( jFjFtftf
Hzff ms 8002 ms
fT ms 25.12
1
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-1页 ■
电子教案 第四章 连续系统的频域分析
学习要求
– 能用傅里叶级数的定义、性质和周期信号的傅里叶变换，求解周期信号的频谱。深刻理解周期信号分解为正弦信号线性组合的物理含义和周期信号频谱的特点，并会绘出振幅及相位频谱图。
– 熟练利用傅里叶变换的定义、性质，求解非周期信号的频谱，建立信号频谱宽度的概念。利用常见信号的傅里叶变换对和傅里叶变换的性质，熟练求解信号的正反傅里叶变换。
– 了解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会用帕斯瓦尔公式在时域和频域求解信号的能量。
信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
学习要求
– 熟练计算周期信号和非周期信号激励下系统的响应。深刻理解系统的频率响应，并根据对系统进行分类。理解无失真传输、理想低通滤波器的概念与物理含义，了解各种滤波器的含义，
掌握有关信号滤波的计算。
– 理解信号频谱搬移的概念，掌握一般信号调制、
解调和压缩等的分析计算。
– 深刻理解并掌握抽样定理，计算抽样信号的频谱。了解信号的抽样与恢复过程。
信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数
4.2 傅里叶级数一,傅里叶级数的三角形式二,傅里叶级数的指数形式
4.3 周期信号的频谱一、周期矩形脉冲的频谱二、周期信号的频谱三、周期信号的功率
4.4 非周期信号的频谱 ——傅里叶变换一、信号的傅里叶变换二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.5 傅里叶变换的性质
4.6 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅立叶变换二、周期信号的傅立叶变换三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系
4.7 LTI系统的频域分析一、频率响应二、无失真传输与理想低通滤波器
4.8 取样定理点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第四章 连续系统的频域分析本章系统分析的独立变量是 频率 。故称为 频域分析 。
思路：
时域：
信号分解 —基本信号 —冲激响应 —yf(t) = h(t)*f(t)
频域：
以 正弦信号 和 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列 不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-6页 ■
电子教案 第四章 连续系统的频域分析
4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
0
3
1
i
yixi
T
yx vvVV
由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-7页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数如三维空间中，以矢量
vx=（ 2,0,0）,vy=（ 0,2,0）,vz=（ 0,0,2)
所组成的集合就是一个 正交矢量集 。
例如三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，
使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-8页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集
1,定义：
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和? 2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt (两函数的内积为 0)
则称? 1(t)和? 2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
2,正交函数集：
若 n个函数 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1,t2)内满足
21,0,0d)()( *tt
i
ji jiK
jittt
则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-9页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数
3,完备正交函数集：
如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，
不存在函数?(t)(≠0）满足则称此函数集为 完备正交函数集 。
例如,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…} 和虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…} 是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
21 0d)()(tt i ttt
( i =1,2,…,n)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-10页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解设 n个函数 {? 1(t),? 2(t),…,? n(t)}在区间 (t1，
t2)构成一个正交函数集。任一函数 f(t)(t1,t2)用这 n个正交函数的线性组合来近似，表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)内为最小？
通常选误差的方均值 (均方误差 )，使之最小。
ttCtftt t
t
n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-11页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数为使上式最小，求导数
0d)]()([2
1 1
2
2
t
t
n
j
jj
ii
ttCtfCC
展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为 0，
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
即 2
1
2
1
0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-12页 ■
电子教案 4.1 信号分解为正交函数最小均方误差（推导过程见教材）
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t
KCttftt?
当用正交函数去逼近 f(t)时，取的项数越多，即 n越大，则均方误差越小。当 n→∞ （为完备正交函数集）时，均方误差为零。有
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
称为 (Parseval)泊塞瓦尔公式 。表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-13页 ■
电子教案 4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号 f(t)，其周期为 T，角频率?=2?/T，当满足 狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 ——称为 f(t)的 傅里叶级数 。
11
0 )s i n ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atf
系数 an,bn称为 傅里叶系数三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt)},n=1,2,… 为（ 0,T)
上完备正交函数集。
称为基波角频率，
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
，,2,1d)c o s ()(2 2
2
nttntfTa
T
Tn
，,2,1d)s i n()(2 2
2
nttntf
T
b
T
Tn
从表达式可见,an 是 n的偶函数,bn是 n的奇函数。
2
2
0 d)(
2 T
T ttfTa
积分区间可取 (0,T)或 (t0,t0+T)。因此，只要求出系数 an,bn,即可得到 f(t)的三角级数展开式。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数将上式同频率项合并，可得到
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?t+?1)称为 基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?t+?n)称为 n次谐波 。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数系数的相互关系为 A0 = a0
22
nnn baA
n
n
n a
ba r c t a n
又 An是 n的偶函数,?n是 n的奇函数。
an = Ancos?n
bn = –Ansin?n
An~n：关系称为单边振幅谱；反映了各次谐波振幅随频率变化的规律。
n~n,单边相位谱,反映了各次谐波相位随频率变化的规律。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数例 1 求周期信号的三角形傅立叶级数。
例 2已知周期信号 求它的傅里叶振幅谱和相位谱。
解：先求 f(t)的最小公共周期。因为
T1/T2=2，比值为有理数。所以 f(t)的最小公共周期为
T=2T2=T1=π
则基波角频率
tttf 4s i n22c o s35)(
2,21 TT
sra d2
)22c o s (2c o s35)( tttf
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数三角形傅里叶级数的单边频谱图如图和所示。
n
A
4
2
5
3
2?n
n
0
2
n
2
(a) (b)
对于周期信号，首先要求出其公共周期，确定有多少次谐波分量，再正确画出振幅和相位频谱图。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性
1,f(t)为偶函数 ——对称纵坐标
202
2
d)c os ()(4d)c os ()(2
TT
Tn ttntfTttntfTa
0d)s i n()(2 2
2
T
Tn ttntfTb
bn =0，展开为余弦级数,即展开式中只有余弦项，
而没有正弦项。
maA nnn,m为整数,
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2,f(t)为奇函数 ——对称于原点
an =0，展开为正弦级数，展开式中只有正弦项，而没有余弦项。
0d)c os ()(2 2
2
T
Tn ttntfTa
202
2
d)s i n()(4d)s i n()(2
TT
Tn ttntfTttntfTb
mmbA nnn 12,
m为整数,
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
2
)()()( tftftf
od
2 )()()( tftftf ve
3,f(t)为奇谐函数 ——f(t) = –f(t± T/2)
f(t)
t0 TT / 2
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0
实际上，任意函数 f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)
由于 f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-22页 ■
电子教案 4.2 傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三角形式 的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用 指数形式 的傅里叶级数。
可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
1
0 )co s (
2)( n nn tnA
Atf?
1
)()(0 ]e[e
22 n
tnjtnjn nnAA
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数上式中第三项的 n用 –n代换，因为 A–n=An,?–n= –?n
则上式写为
11
0 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
令 A0=A0ej?0,?0=0
n
tjnj
n
nAtf ee
2
1)(?
所以令复数
nn
j
n FFA
nn ee
2
1
称其为 复傅里叶系数,简称傅里叶系数。
信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数
)(21)s i nc o s(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n
2
2
2
2
2
2
de)(
1
d)s i n ()(
1
d)c o s ()(
1
T
T
tjn
T
T
T
T
ttf
T
ttntf
T
jttntf
T
n
tjn
nFtf e)(
n = 0,± 1,± 2,…
2
2
de)(1
T
T
tjn
n ttfTF
表明：任意周期信号 f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。
指数型傅立叶级数为复傅立叶系数为信号与系统
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电子教案 4.2 傅里叶级数的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分量，但只是将 n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之和。
指数型傅立叶级数也可以写为由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不同，实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分量和各次谐波分量的和。把
)c o s (2
)(
1
0
)(
n
n
n
n
tnj
n
n
tjn
n
tnFF
eFeFtf n
nnF nnn ~,~?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-26页 ■
电子教案 4.2 傅里叶级数四、周期信号的功率 ——Parseval恒等式
T dttfTP 0 2 )(1
表明：信号的平均功率等于直流和 n次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率之和。上式分别从时域和频域计算之。
n≥0时,|Fn| = An/2。
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
2
1
20
1
22
0
2
2
2
2
2
1
)
2
(2
)(
1
n
nn
n
n
T
T
A
A
FF
Fdttf
T
P
将 f(t)的傅立叶级数展开式代入信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-27页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱
4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种 特征量 随信号频率变化的关系，称为 信号的频谱,相应图形称为信号的频谱图 。
周期信号的频谱,指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系。
An~ω和?n~ω的关系信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-28页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱单边谱,将 An~ω和?n~ω,n≥0以 ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为 振幅频谱图 和 相位频谱图 。
双边谱,|Fn|~ω和?n~ω的关系。若 Fn为实数，也可直接画 Fn 。
例,周期信号 f(t) =
试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率 Ω，画出它的单边频谱图，并求 f(t) 的平均功率。
63s i n41324co s211 tt
信号与系统
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电子教案 4.3 周期信号的频谱
63s i n41324co s211 tt
解 首先应用三角公式改写 f(t)的表达式，即
263co s41324co s211)( tttf
显然 1是该信号的直流分量。
34co s21 t 的周期 T1 = 8
323co s41
的周期 T2 = 6
所以 f(t)的周期 T = 24，基波角频率 Ω=2π/T = π/12
根据帕斯瓦尔等式，功率为 P=
32
37
4
1
2
1
2
1
2
11 22
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-30页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱
34co s21 t 是 f(t)的 [π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
323co s41 是 f(t)的 [π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
( a ) ( b )
o
A n
12
6
4
3
2
0
A
2
1
4
1
ω
o
ω
3
3
4
6
12
3
2?
n
1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-31页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点有一幅度为 1，脉冲宽度为?
的周期矩形脉冲，其周期为 T，
观测频谱特点
f(t)
t
0
T-T
…
1
2
2
tTttfTF
T
T
tjn
T
T
tjn
n de
1de)(1 2
2
2
2
2
2
s in
n
n
T
令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n
n
TjnT
tjn )
2
s i n (2e1
2
2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-32页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱
)()2( TnSaTnSaTF n,n = 0,± 1,± 2,…
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
设 T = 4τ画图。
零点为
mn2
所以
mn 2,m为整数。
F n
ω0
2
2
4
4
1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-33页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱特点,
(1) 周期信号的频谱具有谐波 (离散 )性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；
(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、
各谐波的幅度和相位 ——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-34页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：
(a) T一定,?变小，此时?（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目,?1/?=（ 2?/?） /(2?/T)=T/? 增多
(b)?一定,T增大，间隔?减小，频谱变密。幅度减小。
如果周期 T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的 离散频谱 就过渡到非周期信号的 连续频谱 。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-35页 ■
电子教案周期、脉宽引起频谱的变化
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 2 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-T 0 T
0
A
t
x ( t ) [ T = 16,? = 2 ]
...,..
-20 -10 0 10 20
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 1 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-36页 ■
电子教案 4.3 周期信号的频谱特点,
1 基本特点 —离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量
4 频谱包络线
5,主瓣,宽度,“旁瓣,宽度 ;
6 谱线条数
7 脉宽一定,周期增大,零点不变,谱线变密
8 周期一定,脉宽减小,谱线疏密不变,零点外扩信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-37页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
4.4 非周期信号的频谱 —傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号 f(t)可看成是周期 T→∞ 时的周期信号。
前已指出当周期 T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
TFTFjF n
T
n
T
lim/1lim)(?
(单位频率上的频谱）
称 F(jω)为频谱密度函数。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-38页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
2
2
de)(
T
T
tjn
n ttfTF?
n
tjn
n TTFtf
1e)(
考虑到,T→∞,Ω→ 无穷小，记为 dω；
n Ω→ ω （由离散量变为连续量），而
2
d
2
1
T
同时,∑ →∫
于是,
ttfTFjF
tj
nT de)(lim)(
de)(2 1)( tjjFtf
傅里叶变换式,-‖
傅里叶反变换式
F(jω)称为 f(t)的 傅里叶变换 或 频谱密度函数,简称 频谱 。
f(t)称为 F(jω)的 傅里叶反变换 或 原函数 。
根据傅里叶级数信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-39页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换也可简记为 F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
或 f(t) ←→F(jω )
F(jω)一般是复函数，写为
F(jω) = | F(jω)|e j?(ω) = R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)
的傅里叶变换存在的 充分条件,
ttf d)(
在引入广义函数之后，许多不满足绝对可积条件的函数也存在傅里叶变换。
(2)用下列关系还可方便计算一些积分
dttfF )()0( d)(2 1)0( jFf
信号与系统
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电子教案 4.4 傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换
1,单边指数函数 f(t) = e–?tε(t),? >0
1
0 t
f ( t )
jjtjF
tjtjt
1e1dee)(
0
)(
0
2,双边指数函数 f(t) = e–t?,? >0 1
0 t
f ( t )
220
0 211deedee)(
jjttjF
tjttjt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-41页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
3,门函数 (矩形脉冲 )
2
,0
2
,1
)(
t
t
tg
1
0 t
g τ (t)
2
2
j
tjF
jj
tj
222/
2/
eede)(
)
2
S a (
)
2
s i n (2
4,冲激函数?(t),?′(t)
1de)()( ttt tj
jtttt ttjtj 0ed dde)(')('
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-42页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换
5,常数 1
有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1,?(t)
等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。
可构造一函数序列 {fn(t)}逼近 f (t),即而 fn(t)满足绝对可积条件，并且 {fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列 {Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义 f(t)的傅里叶变换 F(j?)为
)(lim)( tftf nn
)(lim)( jFjF nn
这样定义的傅里叶变换也称为 广义傅里叶变换 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-43页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换构造 f?(t)=e-t?,?> 0←→
22
2)(
jF
)(lim1)( 0 tftf
所以
0,
0,02lim)(lim)(
2200?
jFjF
又
2a r c t a n2lim
1
2lim2lim
020220
dd
因此,1←→2(?)
另一种求法,?(t)←→1 代入反变换定义式，有
)(de21 ttj 将?→ -t,t→? )(de2 1 ttj
再根据傅里叶变换定义式，得
)(2)(2de1 ttj
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-44页 ■
电子教案
6,符号函数
4.4 傅里叶变换
0,1
0,1)s gn(
t
tt 1
0 t
s gn (t)
-1
00,e 0,e)(?
t
ttf
t
t
)(lim)s g n ( 0 tft 22 211)()( jjjjFtf
j
jjFt 22lim)(lim)s g n (
2200
7,阶跃函数?(t)
jtt
1)()s g n (
2
1
2
1)(
1
0 t
ε (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-45页 ■
电子教案 4.4 傅里叶变换归纳记忆：
1,F 变换对
2,常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)
j
1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t| ε(t)
22
2
1
1 2πδ(ω)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-46页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
4.5 傅里叶变换的性质一、线性 (Linear Property)
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
then
Proof,F [a f1(t) + b f2(t)]
ttbftaf tj de)]()([ 21?
ttfttf tjtj de)(bde)(a 11
= [a F1(jω) + b F2(jω) ]
[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-47页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
0
f ( t )
t1- 1
1
Ans,f (t) = f1(t) – g2(t)
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
g2(t) ←→ 2Sa(ω)
∴ F(jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)
‖
0
f 1 ( t )
t
1
0
g 2 ( t )
t1- 1
1-
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-48页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质二、时移性质 (Timeshifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―t0‖ is real constant.
)(e)( 00 jFttf tj
Proof,F [ f (t – t0 ) ]
tttf tj de)( 0?
0
0
ede)( tjj
tt
f
)(e 0 jFtj
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-49页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example F(jω) =?
Ans,f1(t) = g6(t - 5),
f2(t) = g2(t - 5)
g6(t - 5) ←→
g2(t - 5) ←→
∴ F(jω) =
5e)3Sa (6 j?
5e)Sa (2 j?
5e)]S a (2)3S a (6[ j
0
f ( t )
t2- 1
2
1
4 6 8
‖
0
f 1 ( t )
t2
2
1
4 6 8
+
0
f 2 ( t )
t2
2
1
4 6 8
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-50页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质 (Symmetrical Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
de)(2 1)( tjjFtf （ 1）
in (1) t →ω,ω→ t then
tjtFf tj de)(2 1)(
（ 2）
in (2) ω → -ω then
tjtFf tj de)(2 1)(
∴ F(j t) ←→ 2π f (–ω) end
F( jt ) ←→ 2π f (–ω)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-51页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
←→ F(jω) =?
21
1)(
t
tf
Ans:
22
|| 2e
t
if α=1,
2
||
1
2e
t
∴
||
2 e21
2
t
||
2 e1
1
t
* if
22
32)(
2
2
tt
tttf F(jω) =?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-52页 ■
电子教案 4.5 傅里叶变换的性质四、频移性质 (Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
Proof:
where ―ω0‖ is real constant.
F [e jω0t f(t)]
ttf tjtj de)(e 0
ttf tj de)( )( 0
= F[ j(ω-ω0)] end
)(e)]([ 00 tfjF tj
For example 1
f(t) = ej3t ←→ F(jω) =?
Ans,1 ←→ 2πδ(ω)
ej3t × 1←→ 2πδ(ω -3)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = cosω0t ←→ F(jω) =?
Ans:
tjtjtf 00 e
2
1e
2
1)(
F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ω-ω0)]
For example 3
Given that f(t) ←→ F(jω)
The modulated signal f(t) cosω0t ←→?
f(t) = sinω0t←→ F(jω) =?
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质五、尺度变换性质 (Scaling Transform Property)
If f (t) ←→ F(jω) then
where ―a‖ is a nonzero real constant.
Proof,F [ f (a t ) ] =
teatf tj d)(?
For a > 0,F [ f (a t ) ]
d1e)( af aj
at
ajFa?1
for a < 0,
F [ f (a t ) ] de)(1d1e)( ajajat faaf
ajFa?1
That is,f (a t ) ←→ ajFa?|| 1
Also,letting a = -1,f (- t ) ←→ F( -jω)
ajFaatf
||
1)(
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 1
Given that f (t)←→ F( jω),find f (at –b) ←→?
Ans,f (t –b)←→ e -jωb F( jω)
f (at –b) ←→?
ajFa
baj
e|| 1
or
f (at) ←→?
ajFa
||
1
f (at – b) =
)(
a
btaf?
ajFea
baj
||
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 2
f(t) = ←→ F(jω) =?
1
1
jt
Ans:
1
1)(e
jt
t
)(e211jt
)(e211 jt
Using symmetry,
using scaling property with a = -1,
so that
f(t) = ←→ F(jω) =
1
1
jt )(e2
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质六、卷积性质 (Convolution Property)
Convolution in time domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t)*f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω)
Convolution in frequency domain：
If f1(t) ←→ F1(jω),f2(t) ←→ F2(jω)
Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)
2
1
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Proof:
d)()()(*)( 2121 tfftftf
F [ f1(t)*f2(t) ]=
d]de)()[(ded)()( 2121 ttffttff tjtj
Using timeshifting
jtj jFttf
e)(de)( 22
So that,F [ f1(t)*f2(t) ]=
de)()(de)()( 1221 jj fjFjFf
= F1(jω)F2(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example
)(s i n
2
jF
t
t
Ans:
)S a (2)(2tg
Using symmetry,
)(2)S a (2 2 gt
)()S a( 2 gt
)(*)(2)]([*)]([2 1s i n 2222
2
ggggt t
g 2 (ω )* g 2 (ω )
2
2- 2 0 ω
F (jω )
π
2- 2 0 ω
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分
(Differentiation and Integration in time domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
)()()()( jFjtf nn
j
jFFxxft )()()0(d)(
ttfjFF d)()()0( 0
Proof:
f(n)(t) =?(n)(t)*f(t) ←→(j ω) n F(jω)
f(-1)(t)=?(t)*f(t) ←→
j
jFFjF
j
)()()0()(]1)([
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
f(t)= 1/t2 ←→?
For example 1
Ans:
jt
2)s g n (
)s g n (22jt
)s g n (1jt
)s g n ()s g n ()(1dd jjtt
||)s g n (1 2t
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For Example2 求如下信号的傅里叶变换应用时域微分特性和时域卷积特性利用时移特性和频移特性
)()(?jFtf 傅立叶变换为已知 傅立叶变换为已知
ttf?
1)(')1(?
)()(' jFjtf? )(1?
j S g nt
0)(
0)()()(1)('
jF
jFjFjj Sg n
ttf
)2()2( 2?tfe tj
2)()2( jejFtf
)2(22 )]2([)2( jtj ejFtfe
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
For example 3
f (t)
2- 2 0 t
2
Determine f (t)←→ F(jω)
f ' ( t )
t2- 2 0
- 1
1
t2- 2
( 1 ) ( 1 )
( - 2 )
f " (t)
Ans,f,(t) =?(t+2) – 2?(t) +?(t –2)
F2(jω)= F [f,(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2
F(jω) =
22
2 )2co s (22
)(
)(
j
jF
Notice,dε(t)/dt =?(t) ←→ 1 ε(t) ← × → 1/(jω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分
(Differentiation and Integration in frequency domain)
If f (t) ←→ F(jω) then
(–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω)
xjxFtfjttf d)()(1)()0(
where
d)(2 1)0( jFf
For example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F(jω)=?
jt
1)()(
Ans:
jtjt
1)(
d
d)(
2
1)(')(
jtt
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质
Notice,tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→
jj
1)(1)(
It’s wrong,
Because?(?)?(?) and (1/j?)?(?) is not defined.
For example 2 Determine?
d)s in (
a
Ans:
)s in (2)(
2
atg
a
de)s i n(1de)s i n(22 1)(2 tjtja aatg
d)s i n (1)0(2 ag a
2d
)s i n (
0
a
信号与系统
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电子教案九、帕斯瓦尔关系
(Parseval’s Relation for Aperiodic Signals)
d)(2 1d)( 22 jFttfEProof
ttftfttfE d)()(d)( *2
tjFtf tj dde)(2 1)( *
dde)()(2 1 * ttfjF tj
d|)(|2 1d)()(2 1 2* jFjFjF
|F(jω)|2 is referred to as the energy-density spectrum
of f(t),单位频率上的频谱 (能量密度谱 ） J·s
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
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电子教案
For example
Determine the energy of
t
tt
5s in)997co s (2
Ans:
)(5s in 10 gt t
)997()997(5s i n)997co s (2 1010 ggt tt
10)1010(
2
1d)( 2
ttfE
4.5 傅里叶变换的性质信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质十、奇偶性 (Parity)
If f(t) is real,then
tttfjtttfttfjF tj d)s i n ()(d)c o s ()(de)()(
= R(ω) + jX(ω)
)()(|)(| 22 XRjF
)(
)(a r c t a n)(
R
X
So that (1)R(ω)= R(–ω),X(ω) = – X (–ω)
|F(jω)| = |F(– jω)|,?(ω) = –?(–ω)
(2) If f(t) = f(-t),then X(ω) = 0,F(jω) = R(ω)
If f(t) = -f(-t),then R(ω) = 0,F(jω) = jX(ω)
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质(f
性质名称 时域 频域线性时移频移调制尺度变换对称性时域卷积
)()( 2211 tfatfa? )()( 21 jFajFa?
)( 0ttf? 0)( tjejF
tjetf 0)(? ))(( 0jF
ttf 0co s)(?
ttf 0s in)(? ) ) ](())(([21 00 jFjF
) ) ](())(([2 00 jFjFj
)(atf )(|| 1 ajFa?
)( jtF )(2f
)()( 21 tftf? )()( 21 jFjF
信号与系统
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电子教案 4.5 傅里叶变换的性质时域相乘时域微分时域积分频域微分频域积分帕塞瓦尔恒等式
)()( 21 tftf )()(
2
1
21 jFjF?
n
n
dt
tfd )( )()( jFj n
t dxxf )(?
j
jFF )()()0(?
)()( tfjt n? n
n
d
jFd
)(
jt
tftf
)()()0( djF?
)(
dttf?
)(2 djF?
2|)(|
2
1
信号与系统
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电子教案
4.6 周期信号的傅里叶变换
4.6 周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换
1←→2πδ(ω)
由频移特性得
e j ω0 t ←→ 2πδ(ω –ω0 )
e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω 0 )
cos(ω0t)=?(e j ω0 t + e –j ω0 t) ←→
π[δ(ω–ω0 ) +δ(ω+ω0 )]
sin(ω0t)= (e j ω0 t + e –j ω0 t)/(2j) ←→
jπ[δ(ω+ω0 ) – δ(ω – ω0 )]
信号与系统
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电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换
n
tjn
nT Ftf e)(?
2
2
de)(1
T
T
tjn
Tn ttfTF
n
nT
n
tjn
nT nFjFFtf )(2)(e)(
例 1：周期为 T的单位冲激周期函数?T(t)=
m
mTt )(?
TdtetfTF
T
T
tjn
n
1)(1 2
2
解,
)()()(2)( tnnTt
nn
T?
(1)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-73页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
0- 1 1
f ( t )
t
1
4- 4
解,周期信号 f(t)也可看作一时限非周期信号 f0(t)的周期拓展。即 f(t) =?
T(t)* f0(t)
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
n
njnF )()(0
F(jω) =
nn
nnnn )
2()2S a ()()S a (2
本题 f0(t) = g2(t)←→ )S a(2?
2
2
T
(2)
(2)式与上页 (1)式比较，得 )2(1)(
2 00 T
njF
TjnFF n
这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-74页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换例 3,求如图周期信号的傅里叶变换。
F(jω) = Ω?Ω(ω) F0(jω)
)(3 tf
t
1
2
1?
1?2? 1
f(t) =?T(t)* f0(t)
)2()1(2)()(0 ttttf
20 211)()( jj eejjF
j
e j 2)1(
n
njnFjF )()()( 0
)()1(
2
njne jn
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-75页 ■
电子教案 4.6 周期信号傅里叶变换求傅里叶反变换求频谱函数的傅里叶反变换一般有如下几种情况：
1、对频谱函数比较规则且频带有限的函数，可以代定义式求解；
2、大多数情况下，要求熟记常用函数的傅里叶变换对，并利用傅里叶变换的性质求出原函数；
3、采用部分分式展开法,将展开为若干简单分式代数和的形式，然后求出原函数 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-76页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析的原函数。求下列 )(?jF
3s i n)(1 2jF）（
10
1)()2(
ejF
解：（ 1） )]3()3([3s i njt
3s i n2)]3()3([ ttj
3s i n)]3()3([2 ttj
)]3()3([2)]3()3([2)(1 ttjttjtf
)]6()(2)6([41 ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-77页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
10
1)()2(
ejF
解：（ 2）
dejFtf tj )(2 1)(
deedee tjtj 100 1 2 12 1
)1(
s inco s
2te
ttte
例题表明，大多数傅里叶反变换是利用常见函数的傅里叶变换对及其傅里叶变换性质求出，对类似于（ 2）这样的频带有限的规则函数，可以通过傅里叶反变换的定义式求解。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-78页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
4.7 LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。
n
tjn
nFtf e)(对周期信号：
对非周期信号,
de)(
2
1)( tjjFtf
其 基本信号 为 ej?t
一、基本信号 ej?t作用于 LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为 (–∞,∞)，而 t= –
∞总可认为系统的状态为 0，因此本章的响应指零状态响应，常写为 y(t)。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-79页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析设 LTI系统的冲激响应为 h(t)，当激励是角频率 ω的基本信号 ej?t时，其响应
tjjtj hhty ede)(de)()( )(
而上式积分 正好是 h(t)的傅里叶变换，
记为 H(j?)，常称为系统的频率响应函数。
de)( jh
y(t) = H(j?) ej?t
H(j?)反映了响应 y(t)的幅度和相位。
y(t) = h(t)* ej?t
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-80页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析二、一般信号 f(t)作用于 LTI系统的响应
ej?t H(j?) ej?t
2
1 F(j?) ej?t d21 F(j?)H(j?) e
j?t d?
齐次性
de)(2 1 tjjF de)()(2 1 tjjFjH
可加性‖f(t) ‖y(t) =F –1[F(j?)H(j?) ]
Y(j?) = F(j?)H(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-81页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
LTI
* h ( t ) =
②傅氏 变换
③傅氏 反变换
f ( t )
①傅氏 变换
× ＝
y ( t )
F ( j ω ) H ( j ω ) Y ( j ω )
频率响应 H(j?)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 Y(j?)与激励 f(t)的傅里叶变换 F(j?)之比，即
)(
)()(
jF
jYjH? )]()([)(
)(
)()()(
fyjj e
jF
jYejHjH
H(j?)?称为 幅频特性 （或 幅频响应 ）； θ (?)称为 相频特性 （或 相频响应 ）。H(j?)?是?的偶函数,θ (?)
是?的奇函数。
频域分析法步骤,傅里叶变换法信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-82页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析及冲激响应解部分分式分解
)(?jH应写出下列系统的频率响 )(th
)(]2[)(]34)[( 2 jFjjYjj
j
jjH
43
2)(
2
3
2
1
1
2
1
34)(
2)(
2
jjjj
jjH
)()(21)( 3 teeth tt
)(2)(')(3)('4)('' tftftytyty
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-83页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。
周期信号
n
tjn
nT Ftf e)(
n
tjn
n
n
tjn
nT jnHFthFtfthty e)(]e*)([)(*)()(
若
1
0 )c o s (
2)( n nnT tnA
Atf?)()()( jejHjH?
则可推导出
1
0 )](c o s [|)(|)0(
2)( n nn ntnjnHAH
Aty
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-84页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,某 LTI系统的?H(j?)?和 θ (?)如图，
若 f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。
|H ( jω ) |
θ( ω )
ω
10
- 10 0
π
1
- π
解法一,用傅里叶变换
F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) +
δ(ω+5)]
+ 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)]
Y(j?) = F(j?)H(j?) =
4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)]
+ 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ]
H(j?)=?H(j?)?ejθ (?)
= 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ]
y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + sin(5t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-85页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解法二,用三角傅里叶级数
f(t)的基波角频率 Ω=5rad/s
f(t)= 2 + 4cos(Ωt) + 4cos(2Ωt)
H(0) =1,H(jΩ) = 0.5e-j0.5π,H(j2Ω) = 0
y(t) = 2 + 4× 0.5cos(Ωt – 0.5π)
= 2 + 2sin(5t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-86页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析三、频率响应 H(j?)的求法
1,H(j?) = F [h(t)]
2,H(j?) = Y(j?)/F(j?)
(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。
(2)由电路直接求出。
例 1：某系统的微分方程为
y′(t) + 2y(t) = f(t)
求 f(t) = e-tε(t)时的响应 y(t)。
解,微分方程两边取傅里叶变换
j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?)
2
1
)(
)()(
jjF
jYjH
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-87页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
f(t) = e-tε(t)←→
1
1)(
jjF
Y(j?) = H(j?)F(j?)
2
1
1
1
)2)(1(
1
jjjj
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
例 2：如图电路,R=1Ω,C=1F，以 uC(t)为输出，求其
h(t)。
u C (t)u S (t)
C
R
解,画电路频域模型
U S (jω )
R
U C (jω )
Cj ω
1
1ω
1
ω
1
ω
1
)(
)(
)(
j
Cj
R
Cj
jU
jU
jH
S
C
h(t)= e-t ε(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-88页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例如图所示调制系统,幅频特性和相频特性如图所示。已知)(?jH
c
c
c tts
t
ttf
00,co s)(
s i n)(,
。求 )(ty? )(?jH?
)( tS
)(5 tf
)( tf )( ty
1
c
0c0 0
0
c
0
)(?jH
0)(
0
c
0
0
)(
0
00
)( t
00
)( t
解：
因为解,因为
)()()( tstftf s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-89页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析解：因为
)()( 2 cgjF
c
)]()([)( 00jS
)()(2 1)( jSjFjF s
)]()([2 0202 cc gg
c
)()()( jHjFjY s?
])()([2 0000 )(02)(02 tjtj
c
egeg cc
)(21)(21)( 00 00 ttfettfety tjtj
tttf 00 c o s)( tttSa c 00 co s)]([
可见，系统输出为一个调制信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-90页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是 信号的传输,一类是 滤波 。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。
1、无失真传输
（ 1） 定义,信号 无失真传输 是指系统的输出信号与输入信号相比，只有 幅度的大小 和 出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。即输入信号为 f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为
y(t) = K f(t–td)
其频谱关系为 Y(j?)=Ke – j?tdF(j?)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-91页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统 h(t),H(j?)的要求是：
(a)对 h(t)的要求,
h(t)=K?(t – td)
(b)对 H(j?)的要求,
H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Ke-j?td
即
H(j?)?=K,θ (?)= –?td
K
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0
上述是信号无失真传输的 理想 条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、
相频特性满足以上条件即可。
(2)无失真传输条件,
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 4-92页 ■
电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例,系统的幅频特性
|H(jω)|和相频特性如图
(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 ( a ) ( b )
10
-10
π 5
-5
0
0 ω
ω
| H (j ω )|
θ ( ω )
5
-5
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
信号与系统
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
2、理想低通滤波器
1
|H (jω )|
θ (ω )
ω
0 ω C- ω C
具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器 。c称为截止角频率。它将低于?c的信号分量无失真传输,而阻止高于?c信号通过。从 0到?c的频带称为滤波器的通带，从?c到无穷的频带称为滤波器的阻带。理想低通滤波器的频率响应为
d
C
d
tj
C
C
tj
gjH
e)(
,0
,e)(
2
冲激响应为
h(t)=?-1[g 2?c(?)e-j?td] =
)](S a [ dcc tt
可见，它实际上是不可实现的非因果系统。
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析
(2)阶跃响应
g(t)=h(t)*?(t)=?
d
)(
)](s i n [d)(
dc
dct ct
t
th
经推导，可得
)(0 s i n121)( dc tt dxx xtg
xx xy y ds in)S i( 0 称为正弦积分
)](S i [121)( dC tttg
1
t d
C
d
t
g (t)
0
t
特点,有明显失真，只要?c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约 9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为 吉布斯现象 。 gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895
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电子教案 4.7 LTI系统的频域分析例 1：某理想线性相位低通滤波器的频率响应函数为
其他0
22)(jejH
)(tf )(ty
。
对下列不同的输入 计算滤波器的不同输出
ttSatf 2c os)(5)(1 1?）（
)()(2 22 tSatf?）（
2
)1(3c o s)
2
1(5)(
1
ttSaty
)1()( 22 tfty
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电子教案
4.8 取样定理
4.8 取样定理取样定理 论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用 离散样本值 表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说，取样定理 在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 。为其互为转换提供了理论依据。
一、信号的取样所谓,取样,就是利用 取样脉冲序列 s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列 离散样本值 的过程。
这样得到的离散信号称为 取样信号 。
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电子教案 4.8 取样定理如图一连续信号 f(t)
f (t)
0
t
用取样脉冲序列 s(t)(开关函数 ）
进行取样,取样间隔 为 TS,fS
=1/TS称为 取样频率 。
t
s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
得取样信号
fS(t) = f(t)s(t)
×
f (t)
s (t)
f s (t)
t
f(t)s (t)
1
……
T S 2T S 3T S0
取样信号 fS(t)的频谱函数为
FS(j?)=(1/2?)F(j?)*S(j?)
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电子教案 4.8 取样定理冲激取样若 s(t)是周期为 Ts的冲激函数序列?Ts (t),则称为 冲激取样 。
如果 f(t) 是 带限信号 [即 f(t)的频谱只在区间
（ -?m,?m)为有限值，而其余区间为 0] 。
设 f(t)←→F(j?)，取样信号 fS(t)的频谱函数
FS(j?)= (1/2?)F(j?)* ωS?ωs(ω)
n
S
S
njFT )]([1
ωS =2π/TS
s(t)=?Ts(t) ←→ω S?ωs(ω)
n
SnTt )(
n
SS n )(
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电子教案 4.8 取样定理
f ( t )
t0
× ( 1 )
δ Ts ( t )
t0 Ts 2 T s- T s
…… =
0 t
……
f s ( t )
Ts 2 T s- T s
1
F (jω )
ω0 ω m- ω m ω
……
( ω S )
ω S δ ωs ( t )
0 ω S- S
2
1 * =
0 ω m- ω m ω S- ω S
F S (jω )
ω
1 / T S
上面在画取样信号 fS(t)的频谱时，设定 ωS ≥2 ωm,这时其频谱 不发生混叠,因此能设法 (如利用低通滤波器 )，
从 FS(j?)中取出 F(j?)，即 从 fS(t)中恢复原信号 f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
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电子教案 4.8 取样定理二、时域取样定理当 ωS ≥2 ωm时，将取样信号通过下面的低通滤波器
C
CSTjH
||,0
||,)(
其截止角频率 ωC取 ωm<ωC <ωS -ωm 。即可恢复原信号。
由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t)
n
ss
n
s nTtnTfnTt )()()(
H(j?) ←→ h(t) =
)( tSaT ccS
为方便，选 ωC = 0.5ωS,则 TsωC /π =1
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电子教案 4.8 取样定理
)2()( tSath S
所以 根据 f(t)=fS(t)*h(t),有
])(2S a[)()2S a(*)()()(
n
s
s
s
n
s
ss nTtnTf
tnTtnTftf
只要已知各取样值 f(nTs),就出唯一地确定出原信号 f(t)。
时域取样定理,
一个频谱在区间（ -?m,?m)以外为 0的带限信号 f(t),
可唯一地由其在均匀间隔 Ts [Ts<1/(2fm)] 上的样值点
f(nTs)确定。
注意：为恢复原信号，必须满足两个条件：（ 1） f(t)
必须是带限信号 ；（ 2） 取样频率不能太低，必须
fs>2fm,或者说,取样间隔不能太大，必须 Ts<1/(2fm);
否则将发生混叠。
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电子教案通常把最低允许的取样频率 fs=2fm称为 奈奎斯特
（ Nyquist)频率,把最大允许的取样间隔 Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n m
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
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电子教案频域取样定理,
根据 时域与频域的对偶性,可推出频域取样定理。 P191
一个在时域区间（ -tm,tm)以外为 0的 时限信号 f(t)的频谱函数 F(j?)，可唯一地由其在均匀频率间隔 fs[fs<1/(2tm)]
上的样值点 F(jn?s)确定。
4.8 取样定理
n m
mm
m f
tnttnjFjF 2 1,)S a()()(
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电子教案例 1 有限频带信号 f(t)的最高频率为 200Hz,若对下列信号进行时域抽样，试求信号的奈奎斯特频率 fs与奈奎斯特周期 Ts 。
4.8 取样定理
)2(1 tf）（ )2()(2 tftf?）（
)(3 2 tf）（ )2()(4 tftf?）（
解：（ 1）时域压缩相对于频域展宽
)2(21)2(?jFtf?
这时最高频率为 400 Hz，根据时域抽样定理，最低抽样频率即奈奎斯特频率
Hzff ms 8002
奈奎斯特周期
msfT
m
s 25.12
1
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电子教案 4.8 取样定理
）（ 3
)4）（
其最高频率为 F(jw)的最高频率 200 Hz，奈奎斯特频率为 400
Hz,奈奎斯特周期频域卷积的结果是频域展宽，最高频率为 400 Hz，最低抽样频率和奈奎斯特周期为
)2()(21)2()(2 jFjFtftf）（
msT s 5.2?
)()(2 1)(2 jFjFtf
Hzff ms 8002
msfT
m
s 25.12
1
最高频率为 F(jw/2)的最大频率 400 Hz，最低抽样频率和奈奎斯特周期为
)2(21)()2()( jFjFtftf
Hzff ms 8002 ms
fT ms 25.12
1
